Ensino Superior
3- Volume de Sólidos
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 2
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Dados um plano a, uma reta r desse plano e uma região R do plano a inteiramente contida num dos semi-planos de a determinado por r, vamos considerar o sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno da reta r.
Para isso usaremos ainda seções transversais e tomaremos como eixo orientado o eixo de rotação (a reta r).
Introdução:
a
Volume de SólidosVolume de Sólidos
Volume de um sólido quando é conhecida a
área de qualquer secção transversal.
Exemplo 1:
Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de uma pirâmide reta de base quadrada - sendo b a medida da aresta da base e h a altura da pirâmide – é
Colocando o sistema de eixos de modo que o eixo y seja perpendicular à base da pirâmide reta, passando pelo centro, temos:
.3
1 2hb
Para cada corte transversal na altura h - y, temos que a secção obtida é um quadrado, paralelo à base, cuja área é (2x)2.Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever:
e daí
Volume de SólidosVolume de Sólidos
2x
Volume de SólidosVolume de Sólidos
Exemplo 1:
Logo, o volume da pirâmide é dado por:
e daí
22 4)2()( xxyA
Exemplo 2:
Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de um cilindro reto, de altura h e cuja base é um círculo de raio r, é V = r2h.
Colocando o sistema de eixos de modo que a origem do sistema esteja no centro da base do cilindro e o eixo x seja perpendicular à base do cilindro, temos:
Para cada corte transversal na altura x, temos que a secção obtida é um círculo, paralelo à base, cuja área é r2.
Logo, o volume do cilindro é dado por:
Volume de SólidosVolume de Sólidos
h
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exemplo 3: Considere a região delimitada por , o eixo x e as retas x = -a e x = a, sendo girada ao redor do eixo x. O sólido originado é uma esfera de raio a. Mostre que seu volume é .
O volume da esfera gerada é:
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exemplo 3:
Exemplo 4:
Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de um cone reto, de altura h e cuja base é um círculo de raio r, é V = r2h/3.
Colocando o sistema de eixos de modo que a origem do sistema esteja no vértice do cone e o eixo x seja perpendicular à base do cone, temos:
Volume de SólidosVolume de Sólidos
Exemplo 4:
Para cada corte transversal na altura x, temos que a secção obtida é um círculo, paralelo à base, cuja área é y2.
Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever:
e daí ou seja, a área de cada secção transversal é.
Logo, o volume do cilindro é dado por:
Volume de SólidosVolume de Sólidos
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exemplo 5: Seja o triângulo R, dado na figura abaixo. Calcular o volume do cone gerado pela rotação de R em torno do eixo OY.Para cada y [0,1] a seção transversal ao eixo OY é um círculo gerado pela rotação do segmento horizontal de comprimento x. Logo, possui área A = x2 e o volume do cone é igual a:
Usando semelhança de triângulos temos:
Portanto:
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exemplo 6: Seja a região R do plano limitada pela curva y = -x2 + 1 e o eixo OX. Determinar o volume do sólido obtido com a rotação de R em torno do eixo de OX.A intersecção da curva com o eixo OX é dada por: -x2 + 1 = 0.: x2 = 1.: x = ± 1.Para cada x [-1, 1] a seção transversal ao eixo OX é um círculo gerado pela rotação do segmento vertical de comprimento y. Logo, possui área A = y2 e o volume do sólido é igual a:
Portanto:
y
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exemplo 7: Seja a região R do plano limitada pelo eixo OY e pelas curvas Determinar o volume do sólido obtido com a
rotação de R em torno do eixo de OY. Na figura temos representada a região R. Como R é simétrica em relação OY, uma das duas regiões R1 ou R2 girando em torno de OY gera todo o sólido. Vamos considerar a região R1.
Para cada y [1/4, 4] a seção transversal ao eixo OY é um círculo gerado pela rotação do segmento horizontal de comprimento x. Logo, possui área A = x2 e o volume do sólido é igual a:
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exemplo 7:
Portanto:
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exemplo 8: Seja a ciclóide de equações paramétricas
8.1. Esboce a curva.Usando as derivadas
obteremos a curva abaixo.
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
8.2. Seja R a região do plano limitada pela ciclóide e pela reta y = -1. Determinar uma expressão em integrais que represente o volume do sólido obtido com a rotação de R em torno do eixo de OX.
Seja a função y = f(x) tal que seu gráfico é a ciclóide. Para cada x [-4, 0] a seção transversal ao eixo OX é um anel circular de raio interno igual a 1 e raio externo igual a y. Logo possui área igual a: A = y2 - .12 = y2 - e o volume do sólido é igual a:
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Substituindo x em função de t na integral anterior temos:
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
8.3. Determinar uma expressão em integrais que represente o volume do sólido obtido com a rotação de R em torno da reta x = 1. Sejam as funções x1 = x1(y) e x2 = x2(y), funções
cujos gráfico são respectivamente os arcos da ciclóide obtidos para t [ , 2 ] e para t [0, ]. Para cada y [-5 , -1] a seção transversal ao eixo OY é um anel circular de raio externo respectivamente é 1 - x1 e 1 – x2 .
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Logo, a seção transversal tem área A = (1- x1)2 - (1- x2 )2 e o volume do sólido é igual a:
Substituindo y em função de t nas integrais acima temos:
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exemplo 9: Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo OY, do círculo de raio 1 e centro em (4,0).
Tomemos as equações paramétricas do círculo:
Sejam x1 = x1(y) e x2 = x2(y), funções cujos gráfico são
respectivamente os semi–círculos obtidos para t [-/2, /2] e para t [/2, 3/2]. Para cada y [-1 , 1] a seção transversal ao eixo OY é um anel circular de raios externo e interno respectivamente iguais a x1(y) e x2(y). Logo, a seção transversal
tem área A = .x12 - x2
2 e o volume do sólido é igual a:
Volume de SólidosVolume de Sólidos
ou usando simetria
Substituindo por t temos:
Nesses problemas observamos que temos um sólido compreendido entre dois planos paralelos e que é conhecida a área da secção transversal obtida por um plano qualquer paralelo aos planos inicialmente dados, então o volume do sólido é dado por
Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever:
conforme a secção transversal seja perpendicular ao eixo x ou y, respectivamente.
Volume de SólidosVolume de Sólidos
ou
Essa é uma primeira maneira de encontrarmos o volume de um sólido, quando a área de qualquer secção transversal é conhecida.
Volume de SólidosVolume de Sólidos
Volume de um sólido de revolução, obtido pela
rotação em torno ao eixo x - ou y - de um conjunto A.
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Cálculo do volume
Seja f uma função contínua num intervalo [a,b], sendo f(x) 0 para todo x, tal que a x b. Considere o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x1 = a e x2 = b.
A
x1=a x2=b
B
Seja B o sólido obtido através da rotação do conjunto A em torno do eixo x:
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Cálculo do volume
Considerando uma partição P do intervalo [a,b]: P = {a = x0, x1, x2, ..., xn = b},
tal que a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b, seja:
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Cálculo do volume
- Seja ainda xi = xi – xi-1 o comprimento do intervalo [xi-1 , xi].
- Para cada intervalo [xi-1 , xi], escolhemos um ponto qualquer ci.
- Para cada i, i = 1, ..., n, construímos um retângulo Ri, de base xi e
altura f(ci).
- Fazendo cada retângulo Ri girar em torno do eixo dos x, o sólido de
revolução obtido é um cilindro, cujo volume é dado por:
ii
base
xcfV
alturaAV
.)(
.2
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Cálculo do volume
A soma dos volumes dos n cilindros, que representaremos por Vn, é dada
por:
n
iiin
nnn
xcfV
xcfxcfxcfV
1
2
22
221
21
)]([
)]([...)]([)]([
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Cálculo do volume
– A medida que n cresce muito e cada xi torna-se muito
pequeno, a soma dos volumes dos n cilindros aproxima-se do que intuitivamente entendemos como o volume do sólido B.
Definição
– Seja y = f(x) uma função contínua não negativa em [a,b]. Seja R a região sob o gráfico de f de a até b. O volume do sólido B, gerado pela revolução de R em torno do eixo x, é definido por:
n
iii
xmáxn xcfV
i 1
2
0)]([lim
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Cálculo do volume
– A soma que aparece no slide anterior pode ser substituída pelo símbolo de integral, uma vez que a função é contínua no intervalo e o limite existe. Logo:
– Vamos analisar agora o volume de alguns sólidos
em certas situações especiais.
A
x1=a x2=b
B
dxxfVb
a
n 2)]([
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Quando a função f(x) é negativa em alguns pontos de [a,b].
- A fórmula do volume permanece válida, pois |f(x)| = (f(x))2.
(b)
(a) O sólido gerado pela rotação da figura (a)
é o mesmo gerado pela rotação da figura (b).
(b)
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exercício 1: Se f(x) = x2, determine o volume do sólido gerado pela
revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no intervalo [1, 2].
De acordo com a definição: dxxfVb
a 2)]([
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exercício 2: Se f(x) = x2 + 1, determine o volume do sólido gerado
ela revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no intervalo [-1, 1].
- De acordo com a definição: dxxfVb
a 2)]([
15
561
3
2
5
11
3
2
5
1
3
2
5
1
)12(
]1[
1
1
35
1
1
24
1
1
22
xxx
dxxx
dxxV
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exercício 3: Seja f(x) = sen x, x [a, b]. Calcule o volume do sólido
gerado pela rotação do gráfico de f, ou seja pela rotação da região
delimitada pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x = 0 e x = .
O volume do sólido é dado por:
0 0
C4
2xsen
2
xxsen2
0
2 dxxsenV
24
0
24
2
2
2
00
2
xsenxdxxsenV
Integral Indefinida
Sejam as identidades trigonométricas:
2
cos2x1xcos
2
cos2x1xsen 22
Assim,
dxcos2x2
1dx
2
1dx
2
cos2x1dxxsen2
2
sen2x
2
1
10
x
2
1 10
Cusen2
1
duucos2
1dxcos2x
dx2
du2
dx
du
2xu
dxcos2x
C4
2xsen
2
xxsen2
Revisão
INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS QUADRÁTICAS DASFUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SEN(X) E COS(X)
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Quando, ao invés de girar ao redor do eixo dos x, a região A gira em torno do eixo dos y.
- Neste caso, temos: dyygVd
c
)]([ 2
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exercício 4: Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da
região limitada por y = x3, y = 0 e x = 1 em torno do eixo y.
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exercício 5: Considere a região do plano delimitada pelo eixo x, o
gráfico de y = x, para 0 x 2, sendo girada primeiro ao redor do
eixo x e depois ao redor do eixo y. Calcule o volume dos dois sólidos gerados.
a) A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de , para é girada ao redor do eixo x:
O volume do sólido é dado por:
0 2 0 2
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exercício 5:
b) A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de , para é girada ao redor do eixo y:
O volume do sólido é dado por:
2
0
2
0
2
0
42
0
22 dyydyy
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exercício 5:
b) A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de , para é girada ao redor do eixo y:
O volume do sólido é dado por:
2
0
2
0
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exemplo 6: Calcule o volume de um sólido de revolução obtido pela rotação ao redor do eixo x da região compreendida pelo gráfico de y = x e y = 1/x, no intervalo [1/2, 3]. Calcule também o volume do sólido obtido ao girar a mesma região ao redor do eixo y.
a)
1
1
1/2 3
S1
S2 V1
V2
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Logo, o volume do sólido é:
Efetuando os últimos cálculos, temos:
Exemplo 6:
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exemplo 6:
b)
1
1
1/2 3
S1
S2
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Nesse caso, o volume do sólido gerado, calculado pelo método das cascas, é:
Efetuando os últimos cálculos, temos:
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Quando a região A está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) de a até b:
Supondo f(x) g(x), para qualquer x que pertença ao intervalo [a, b], o volume do sólido B, gerado pela rotação de R em torno do eixo x, é dado por:
dxxgxfxVb
a
)()( )( 2 2
2 2 )()()( xgxfxA
Volume de SólidosVolume de Sólidos
dxxgxfxVb
a
)()( )( 2 2
2 2 )()()( xgxfxA
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exercício 6: Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região
limitada por x2 = y - 2, 2y - x - 2 = 0 e x = 0 em torno do eixo x.
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exercício 7: Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada pela parábola
e pela reta
De acordo com a definição: dxxgxfVb
a 22 )]([)]([
dxxxV })]5(2
1[ )]13(
4
1{[ 222
1
3
)13(4
1 2xy
)5(2
1 xy
dxxxxx
V ]}4
25
4
10
4[)]
1616
26
16
169({[
2421
3
dxxxxx
V ]}16
10040426169{[
1
3
242
dxxxx
V ]16
694030[
1
3
24
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exercício 7: dxxxxV )694030(16
1
3
24
)3()1(|692
40
3
30
516
1
3
235
FFx
xxxV
1
3
235
|692010516
xxxx
V
)3(69)3(20)3(10
5
)3(692010
5
1
1623
5V
207180270
5
2436930
5
1
16
V
117
5
24339
5
1
16
V
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
156
5
244
16
V
5
780244
16
V
80
1024
5
1024
16
V
Exercício 7:
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exercício 8: A região limitada pela parábola cúbica y = x3, pelo eixo
dos y e pela reta y = 8, gira em torno do eixo dos y. Determinar o volume do sólido de revolução obtido. De acordo com a definição:
dyygVd
c
.)]([ 2
dyyV .][8
0
23
dyyV .8
0
3
2
)0()8(|5
3.
8
0
3
5
FFyV
5
96
5
32.3
5
)2(3
5
830)8.(
5
3
3 35
3 53
5
V
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Quando a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados.
a b
y = f(x)
AdxLxfV
b
a
])([ 2
Se o eixo de revolução
for a reta y = L, temos:
L
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Quando a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados.
c
d
y = f(x)
A
Se o eixo de revolução
for a reta x = M, temos:
M
dyMygVd
c
])([ 2
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Volume de SólidosVolume de Sólidos
Volume de um sólido pelo método dos invólucros
cilíndricos.
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Cálculo do volume
Podemos imaginar o sólido como sendo constituído por cascas cilíndricas.
O volume de cada uma das cascas é dado por:
ou ainda, colocando e ,
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Cálculo do volume
Seja f uma função contínua num intervalo [a,b], com a x < b. Considere o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x1 = a e x2 = b.
Suponhamos que a região gira ao redor do eixo y, gerando um sólido D, cujo volume queremos calcular.
onde
indica o raio de cada invólucro
e indica sua altura.
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exercício 10: Através do método dos invólucros cilíndricos encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de y = x , para 0 x 2, ao redor do eixo y.
Usando o método dos invólucros cilíndricos, temos:
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exemplo 11: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre os gráficos de y = x3 e y = x, para 0 x 1, ao redor do eixo y.
As duas funções se encontram nos pontos (0,0) e (1,1).
O volume do sólido pode ser calculado pelo método das cascas e, portanto, é igual a:
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exemplo 12: Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno ao eixo x, do conjunto de todos os pontos (x, y) tais que 0 x y e x2 + y2 2.
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Inicialmente, para obter a região do plano, assinalada na primeira figura, precisamos encontrar a intersecção da reta com a circunferência, sendo x 0:
Logo, x = 1:
Assim, a variação de x ocorre no intervalo e o volume procurado é dado por:
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exemplo 13: Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno ao eixo x, do conjunto x2 + (y – 2) 1.
Após a rotação, obtemos o seguinte sólido, que é denominado toro.
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Inicialmente, a região pode ser encarada como delimitada pelos gráficos das funções:
Logo, a integral que nos fornece o volume do sólido será:
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Vamos calcular o mesmo volume pelo método dos invólucros cilíndricos:
Vamos encontrar primeiramente as primitivas da integral: