Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Potenza in regime sinusoidale, pag. 1
Potenza istantanea in regime sinusoidale
)( cos)( vtVtv θω +=
La potenza istantanea è:
+
–v
generatore sinusoidale
rete lineare passiva
i
)( cos)( itIti θω +=
)( cos)( cos)()()( iv ttIVtitvtp θωθω ++⋅=⋅=
)(2 cos2
1)( cos
2
1iviv tIVIV θθωθθ ++⋅+−⋅=
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Potenza in regime sinusoidale, pag. 2
Potenza istantanea in regime sinusoidale
)(2 cos2
1)( cos
2
1)( iviv tIVIVtp θθωθθ ++⋅+−⋅=
Tê2 T t
p
)( cos21
ivIV θθ −⋅
IV ⋅21
0
La potenza istantanea è periodica con periodo T/2
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Potenza in regime sinusoidale, pag. 3
Potenza istantanea in regime sinusoidale
)(2 cos2
1)( cos
2
1)( iviv tIVIVtp θθωθθ ++⋅+−⋅=
Tê2 T t
p
)( cos21
ivIV θθ −⋅
IV ⋅21
0
p < 0 potenza erogatap > 0 potenza assorbita
Potenza media
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Potenza in regime sinusoidale, pag. 4
Nello studio di molti fenomeni (assorbimento della luce da parte dell’occhio umano, misura dell’energia assorbita da un utente, riscaldamento a microonde, ecc.) non conta il valore che la potenza assume istante per istante, ma piuttosto il valore medio della potenza nel tempo:
dttpT
PT
)(1
0∫=
Potenza media
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Potenza in regime sinusoidale, pag. 5
)(2 cos2
1)( cos
2
110∫
++⋅+−⋅=
T
iviv dttIVIVT
P θθωθθ
si ha
)( cos2
1ivIVP θθ −⋅=
poiché )( cos
2
1 )( cos
2
110∫ −⋅=−⋅T
iviv IVdtIVT
θθθθ
0 )(2 cos211
0∫ =++⋅T
iv dttIVT
θθω
Potenza media
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Potenza in regime sinusoidale, pag. 6
( ))(sin )( cos2
1
)(2
1
2
1 *
iviv
iv
jIV
IV
θθθθ
θθ
−+−⋅=
−∠⋅=⋅IV
Considerando i fasori di tensione (V = V∠θv) e corrente (I = I∠θi) si ha:
{ } )( cos2
1Re
2
1 *ivIVP θθ −⋅=⋅= IV
da cui
Potenza media
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Potenza in regime sinusoidale, pag. 7
Se θv = θi (tensione e corrente in fase → carico resistivo) si ha:
0)( cos2
1 =−⋅= ivIVP θθ
22 ||2
1
2
1
2
1)( cos
2
1I⋅=⋅=⋅=−⋅= RIRIVIVP iv θθ
Se θv – θi = ± 90 (tensione e corrente in quadratura →carico reattivo) si ha:
Potenza media assorbita da un carico
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Potenza in regime sinusoidale, pag. 8
VTh+–
+
–
ZTh
I
VZTh = RTh + j XTh
ZLZL = RL + j XL
La potenza media assorbita dal carico ZL è:
{ } { } { }
2LTh
2LTh
L2
Th
2
LTh
ThL
2L2L
*L
*
)()(2/||
2
||2
||Re21
Re21
Re21
XXRR
RR
RP
+++=
+=
==⋅⋅=⋅=
VZZ
V
IIZIIZIV
Massimo trasferimento di potenza media
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Potenza in regime sinusoidale, pag. 9
Per quale valore di ZL si ha il massimo trasferimento di potenza media?
2LTh
2LTh
L2
Th
)()(2/||
XXRR
RP
+++= V
[ ] 0)()(
)(||22
LTh2
LTh
LThL2
Th
L
=+++
+−=∂∂
XXRR
XXR
X
P V
[ ][ ] 0
)()(2
)(2)()(||22
LTh2
LTh
LThLLTh2
LTh2
Th
L
=+++
+−+++=∂∂
XXRR
RRRXXRR
R
P V
RL = RTh XL = –XTh
Massimo trasferimento di potenza media
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Potenza in regime sinusoidale, pag. 10
In regime sinusoidale, il massimo trasferimento di potenza media si ha quando
RL = RTh, XL = –XTh ⇒ ZL = Z*Th
e la potenza media fornita al carico è
Th
2Th
max 8
||
RP
V=
Quando ZL = Z*Th si dice che il
carico è adattato al generatore
Valori efficaci
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Potenza in regime sinusoidale, pag. 11
Il valore efficace di una corrente (tensione) periodica è la corrente (tensione) costante in grado di fornire ad un resistore la stessa potenza della corrente (tensione) periodica
I cos (ωt+θi)
R
Ieff
V cos (ωt+θv)
+
–
R Veff
+
–
Valore efficace della corrente
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Potenza in regime sinusoidale, pag. 12
)(cos1
)(1
0
22
0
2 ∫∫ +⋅=⋅=T
i
TdttIR
TdttiR
TP θω
2
0
2
21
2
)2cos(211 IRdt
tIR
T
Ti ⋅=++⋅= ∫
θω
2effIRP ⋅=
Si ha:
ma anche:
e quindi:
2eff
II =
Valore efficace della tensione
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Potenza in regime sinusoidale, pag. 13
)(cos1
)(1
0
22
0
2
∫∫ +==T
v
Tdtt
R
V
Tdt
R
tv
TP θω
R
Vdt
t
R
V
T
Tv
2
0
2
21
2
)2cos(211 =++= ∫
θω
R
VP
2eff=
Si ha:
ma anche:
e quindi:
2eff
VV =
Potenza media e valori efficaci
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Potenza in regime sinusoidale, pag. 14
)cos(21
ivIVP θθ −⋅=
)cos(effeff ivIV θθ −⋅=
)cos(22
iv
IV θθ −⋅=
Potenza apparente e fattore di potenza
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Potenza in regime sinusoidale, pag. 15
)cos( )cos(effeff iviv SIVP θθθθ −=−⋅=
S = Veff·Ieff è detta potenza apparente e si misura in VA (voltampere)
pf = P/S = cos(θv–θi) è il fattore di potenza
Fasori efficaci
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Potenza in regime sinusoidale, pag. 16
Definendo i fasori efficaci:
vV θ∠== effeff2
VV iI θ∠== effeff
2
II
si ha:
)(eff
eff
eff
effivI
V θθ −∠===IV
IV
Z
Fattore di potenza
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Potenza in regime sinusoidale, pag. 17
Il fattore di potenza è il coseno dello sfasamento tra la tensione e la corrente e coincide con il coseno dell’argomento dell’impedenza:
)( ivi
v
I
V
I
V θθθθ −∠=
∠∠==
IV
Z
• carico resistivo ⇒ θv–θi = 0 ⇒ pf = 1La potenza media coincide con la potenza apparente
• carico reattivo ⇒ θv–θi = ±90° ⇒ pf = 0La potenza media è nulla
Potenza complessa
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Potenza in regime sinusoidale, pag. 18
La potenza complessa è:
+
–
I
V Z
( )
( ))(sin )( cos
)(sin )( cos2
1
2
1
effeff*effeff
*
iviv
iviv
jIV
jIV
θθθθ
θθθθ
−+−⋅=⋅=
−+−⋅=⋅=
IV
IVS
*
2eff
*
22
eff2 ||||
2
1||||
2
1
ZV
ZV
IZIZS ==⋅=⋅=
Poiché V = Z·I e Veff = Z·Ieff si ha:
Potenza complessa
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Potenza in regime sinusoidale, pag. 19
( ))(sin )( coseffeff iviv jIV θθθθ −+−⋅=S
jQPjXR +=⋅+= 2eff ||)( IS
Poiché Z = R +j X si ha:
Vale anche:
e quindi:
)(sin
)( cos
effeff
effeff
iv
iv
IVQ
IVP
θθθθ
−⋅=−⋅= potenza reale o attiva
potenza reattiva
Potenza complessa
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Potenza in regime sinusoidale, pag. 20
P = Veff·Ieff cos(θv–θi) è la potenza media fornita al carico. Questa è l’unica potenza utile ed è anche la potenza che il carico realmente dissipa. Si misura in Watt (W).
Q = Veff·Ieff sin(θv–θi) misura lo scambio di energia fra il generatore e la parte reattiva del carico. Si misura in volt-ampere reattivi (VAR).
Q = 0 per carichi resistiviQ < 0 per carichi capacitivi (θv < θi)Q > 0 per carichi induttivi (θv > θi)
Potenza complessa: riassunto
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Potenza in regime sinusoidale, pag. 21
)( cos ivS
P θθ −=
)( 2
1effeff
*ivIVjQP θθ −∠⋅=+=⋅= IVS potenza
complessa
22effeff|| QPIVS +=⋅== S
)( cos }Re{ ivSP θθ −== S
)(sin }Im{ ivSQ θθ −== S
potenza apparente
potenza reale o attiva
potenza reattiva
fattore di potenza
Triangolo delle potenze
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Potenza in regime sinusoidale, pag. 22
ZX
R
SQ
P
θv–θi
Im
Re
θv–θi
Im
Re
Triangolo delle potenze
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Potenza in regime sinusoidale, pag. 23
S Q
P
SQ
P
θv–θi
Im
Re θv–θi
Im
Re
Carico induttivo Q > 0 Carico capacitivo Q < 0
Conservazione della potenza complessa
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Potenza in regime sinusoidale, pag. 24
01
=∑=
N
nnS
In un circuito, la potenza complessa, la potenza reale e la potenza reattiva si conservano
Se il circuito include N elementi, con la convenzione degli utilizzatori si ha:
In generale, la legge di conservazione non vale per le potenze apparenti:
01
=∑=
N
nnP 0
1
=∑=
N
nnQ
0||11
≠=∑∑==
N
nn
N
nnS S
Rifasamento
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Potenza in regime sinusoidale, pag. 25
Molti carichi domestici e industriali sono di tipo induttivo. Essi hanno quindi un fattore di potenza pf > 0.
L
V
+
–
R
IL
S1Q1
P
θ1
Im
Re
θ1 V
IL
carico
induttivo
Rifasamento
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Potenza in regime sinusoidale, pag. 26
Il fattore di potenza può essere massimizzato introducendo una capacità in parallelo al carico.
L
V
+
–
R
IL
S1Q1
P
θ1
Im
Re
θ1 V
IL
I
C
IC
IC QC
θ2
IC
S2
θ2
Q2
I
Rifasamento
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Potenza in regime sinusoidale, pag. 27
Per il carico induttivo originale si ha:
P = S1cosθ1 Q1 = S1sinθ1 = P tgθ1
Per aumentare il fattore di potenza da cosθ1 a cosθ2 senza alterare la potenza reale (P = S2cosθ2) si deve avere
Q2 = S2sinθ2 = P tgθ2 da cui
QC = Q1 – Q2 = P (tgθ1 – tgθ2)
Ricordando che QC = V2eff/XC = ωCV2
eff si ottieneS1
Q1
P
θ1
Im
Re
QC
S2
θ2
Q22
eff
212
eff
)tgtg(
V
P
V
QC C
ωθθ
ω−==
Rifasamento
Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Potenza in regime sinusoidale, pag. 28
Il rifasamento riduce l’ampiezza della corrente in ingresso al carico (|I| < |IL|) a parità di potenza reale assorbita.
L
V
+
–
R
IL
θ1 V
IL
I
C
IC
IC
θ2
IC
I