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Circuiti in regime sinusoidale
www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm(versione del 26-4-2011)
2
Funzioni sinusoidali
fT
2π2
2
TT
f1
AM ampiezza fase iniziale (radianti, rad)
(≤ )
pulsazione (rad/s)
f frequenza (hertz, Hz)
T periodo (secondi, s)
)cos()a( tAt M
3
Regimi sinusoidali
● Si considera un circuito lineare in cui tutti i generatori indipendenti sono sinusoidali e hanno la stessa pulsazione
● Le equazioni del circuito costituiscono un sistema di equazioni differenziali lineari nel quale i termini noti sono funzioni sinusoidali con pulsazione
● Le equazioni generalmente ammettono una soluzione sinusoidale con pulsazione
● Se il circuito è asintoticamente stabile, questa soluzione particolare rappresenta la componente di regime della risposta( regime sinusoidale)
4
Regimi sinusoidali
● Regime sinusoidale: condizione di funzionamento di un circuito nella quale tutte le tensioni e le correnti sono funzioni sinusoidali del tempo aventi la stessa pulsazione
● Fissata la pulsazione, una funzione sinusoidale è definita da due parametri
Ampiezza
Fase
● Il problema della determinazione della soluzione particolare sinusoidale delle equazioni del circuito (cioè della determinazione delle ampiezze e delle fasi di tutte le tensioni e correnti) puòessere ricondotto ad un problema di tipo algebrico mediante la trasformata di Steinmetz
● Il metodo di analisi basato sulla trasformata di Steinmetz è detto anche metodo simbolico
5
Trasformata di Steinmetz
● Trasformata di Steinmetz: S
Ad ogni funzione sinusoidale di pulsazione a(t) AMcos(t+)si associa un numero complesso A avente
modulo AM ( ampiezza della funzione sinusoidale)
argomento ( fase della funzione sinusoidale)
A fasore o numero complesso rappresentativo di a(t)
● Antitrasformata di Steinmetz: S1
)sen(cos)a( jAeAt Mj
MSA
)cos(ReRe)a( )(1 tAeAet Mtj
MtjAAS
6
Interpretazione geometrica
)cos(eRe)a( tAt MtjA
)(ee)( tjM
tj At As
7
Proprietà della trasformata di Steinmetz
Unicità● La trasformata di Steinmetz stabilisce una corrispondenza
biunivoca tra le funzioni sinusoidali di pulsazione e i numeri complessi
BA ttt )b()a(
)cos()b(
)cos()a(
tBt
tAt
M
M
j
M
jM
Bt
At
e)b(
e)a(
SS
B
A
8
Proprietà della trasformata di Steinmetz
Linearità● La trasformata di Steinmetz è un’operazione lineare
BA 212121
21
)b()a()b()a(
:,
kktktktktk
kk
SSS
R
)cos()b(
)cos()a(
tBt
tAt
M
M
j
M
jM
Bt
At
e)b(
e)a(
SS
B
A
9
Proprietà della trasformata di Steinmetz
Regola di derivazione● La trasformata della derivata di una funzione sinusoidale si ottiene
moltiplicando per j la trasformata della funzione
● Dimostrazione:
A
jtjdt
d)a(
a SS
)cos()a( tAt M jMAt e)a(SA
2
cos)sen(a
tAtAdt
dMM
)a(eeeea 22 tjjAjAA
dt
d jM
jjM
j
M SS
A
10
Proprietà della trasformata di Steinmetz
Regola di derivazione● Applicando ricorsivamente la regola di derivazione si possono
ottenere le trasformate delle derivate di ordine superiore
A
AA
AA
nn
n
n
n
jdt
dj
dt
d
jjdt
dj
dt
d
jdt
dj
dt
d
)(aa
)(aa
)(aa
1
1
332
2
3
3
222
2
SS
SS
SS
11
Antitrasformata
● Noto il numero complesso rappresentativo A di una funzione sinusoidale
e nota la pulsazione , è possibile determinare in modo univoco la funzione sinusoidale a(t) mediante la relazione
● Nota:
Vale la relazione tg yx ma questo non consente di affermare che arctgyx
Dato che la funzione tangente ha periodo esistono due valori di nell’intervallo in cui la tangente ha lo stesso valore
Per determinare occorre tenere conto dei segni di x e y
)arg(cos)cos()a( 1 AAA ttAt MS
jyxeA jaM A
12
Antitrasformata – determinazione della fase
13
Antitrasformata – determinazione della fase
01
00
01
)sgn(
0arctg
0)sgn(2
0)sgn(arctg
22
y
y
y
x
x
x
y
x
y
y
yx
y
yxAM
per
per
per
per
per
per
jM eAjyxA
14
Bipoli in regime sinusoidale
● Condizioni di regime sinusoidale
● Tensione e corrente orientate secondo la convenzione dell’utilizzatore:
● Sfasamento fra tensione e corrente: V I
)cos()i(
)cos()v(
IM
VM
tIt
tVt
I
V
jM
jM
eIt
eVt
)i(
)v(
SS
I
V
15
Resistore in regime sinusoidale
)cos()v()i(
)cos()i()v(
VM
IM
tGVtGt
tRItRt
VI
IV
G
R
0
IV
MM RIV
la tensione e la corrente sono in fase
16
Induttore in regime sinusoidale
)2
cos()sen(i
)v(
IMIM tLItLIdt
dLt
22
IV
MM LIV
la corrente è in quadratura in ritardorispetto alla tensione
17
Induttore – relazioni tra i fasori
LX L Reattanza:
Suscettanza:L
L XLB
11
dt
dLt
i)v(
VVI
IIV
L
L
jBL
j
jXLj
1
18
Condensatore in regime sinusoidale
)2
cos()sen(v
)i(
VMVM tCVtCVdt
dCt
22
IV
MM CVI
la corrente è in quadratura in anticiporispetto alla tensione
19
Condensatore – relazioni tra i fasori
CBC Suscettanza:
Reattanza:C
C BCX
11
dt
dCt
v)i(
IIV
VVI
C
C
jXC
j
jBCj
1
20
Impedenza e ammettenza
● Le relazioni tra i fasori della tensione e della corrente per ilresistore, l’induttore e il condensatore sono casi particolari delle equazioni
YVIZIV
Resistore
Induttore
Condensatore
Componente
Cj
1
Lj
1Lj
Cj
R G
Z Y
21
Impedenza e ammettenza
● Più in generale, per un bipolo lineare non contenente generatori indipendenti, la tensione e la corrente sono legate tra loro da relazioni differenziali lineari omogenee
Per la proprietà di linearità e la regola di derivazione della trasformata di Steinmetz, le corrispondenti relazioni tra i fasori della tensione e della corrente sono lineari algebriche omogenee, e quindi ancora del tipo
● Nel caso generale Z e Y sono funzioni complesse della pulsazione
YVIZIV
)()()( jXRZ
)()()( jBGY
22
Impedenza
● Per un bipolo lineare non contenente generatori si definisce impedenzail rapporto
● Il modulo dell’impedenza è uguale al rapporto tra le ampiezze della tensione e della corrente
● L’argomento dell’impedenza è uguale allo sfasamento tra la tensione e la corrente
j
M
M
I
Ve
I
VΖ
M
M
I
VZ
IV )arg(Z
jXR Z R resistenzaX reattanza
(unità di misura ohm)
corrente in ritardo sulla tensione corrente in anticipo sulla tensione
23
Ammettenza
● Il reciproco dell’impedenza è detto ammettenza
● Valgono le relazioni
j
M
M
V
Ie
1
V
I
ZY
jBG Y
22))((
1
XR
jXR
jXRjXR
jXR
jXR
Y
222222ZZ
X
XR
XB
R
XR
RG
222222YY
B
BG
BX
G
BG
GR
22
1
BG
jBG
jBG
Z
G conduttanzaB suscettanza
(unità di misura siemens)
24
Esempio - Bipolo RL serie
IVVV SSLSRS
SSLSRS
LjR
dt
dLtiRttt
i
)()(v)(v)v(
S
SSS LX
RRLjRZ
22
22
2222
)(
)()()(
1
SS
S
SS
S
SS
S
SS
S
LR
LB
LR
RG
LR
Lj
LR
R
ZY
25
Esempio - Bipolo RL serie
22 )( SS LR Z
S
S
R
Larctg)arg(Z
200,0
SS LR
La corrente è in ritardo rispetto alla tensione
26
Esempio - Bipolo RL parallelo
VIIIVVI
PPRLRP
PP
t
PPPPLPRP
Lj
RLRjj
tLdt
d
Rdt
ddxx
Lt
Rttt
1111
)v(1v1i
)v(1
)v(1
)(i)(i)i(
27
Esempio - Bipolo RL parallelo
22
2
22
22
22
2
22
22
)(
)()()(
1
PP
PP
PP
PP
PP
PP
PP
PP
LR
LRX
LR
LRR
LR
LRj
LR
LR
YZ
P
P
PP
LB
RG
Lj
R 1
111
Y
28
Esempio - Bipolo RL parallelo
22 )(11
1
PP LR
Z
P
P
L
Rarctg)arg(Z
200,0
PP LR
La corrente è in ritardo rispetto alla tensione
29
Esempio - Bipolo RC serie
IVVVIIV
SSCSRS
SS
t
SS
SSCSRS
CjR
CjRj
tCdt
dR
dt
ddxx
CtRttt
11
)i(1iv
)i(1
)i()(v)(v)v(
30
Esempio - Bipolo RC serie
S
S
SS
CX
RR
CjR 11
Z
2
2
22
22
22
)(1
)(1)(1)(1
1
SS
S
SS
SS
SS
S
SS
SS
CR
CB
CR
CRG
CR
Cj
CR
CR
ZY
31
Esempio - Bipolo RC serie
22
)(
1
SS C
R
Z
SSCR
1arctg)arg(Z
02
0,0
CC LR
La corrente è in anticipo rispetto alla tensione
32
Esempio - Bipolo RC parallelo
VIII
PP
CPRP
PP
CPRP
CjR
dt
dCt
Rttt
1
v)v(
1)(i)(i)i(
P
PPP CB
RG
CjR
11
Y
2
2
2
2
2
2
)(1
)(1
)(1)(1
1
PP
PP
PP
P
PP
PP
PP
P
CR
CRX
CR
RR
CR
CRj
CR
R
YZ
33
Esempio - Bipolo RC parallelo
22 )(
1
1
PP
CR
Z
)arctg()arg( PPCR Z
02
0,0
CC LR
La corrente è in anticipo rispetto alla tensione
34
Analisi di circuiti in regime sinusoidale
Equazioni dei componenti
● Generatori indipendenti:sono note le tensioni o le correnti sono noti anche i loro fasori
● Bipoli lineari:
● Generatori dipendenti:per la proprietà di linearità, le relazioni tra i fasori sono
G
G
II
VV
YVI
ZIV
1212
1212
VVIV
VIII
r
g
35
Analisi di circuiti in regime sinusoidale
Equazioni dei collegamenti
● Le relazioni tra le grandezze funzioni del tempo sono espresse da equazioni algebriche lineari omogenee del tipo
Per le proprietà di unicità e di linearità della trasformata di Steinmetz
Le leggi di Kirchhoff valgono anche per i fasori delle tensionie delle correnti
k k
k k
t
t
0)(v
0)(i
k k
k k
0
0
V
I )(v)(i tt kkkk SS VI
36
Analisi di circuiti in regime sinusoidale
● Le equazioni di un circuito lineare in regime sinusoidale, scritte in termini di fasori, hanno la stessa forma delle equazioni di un circuito lineare resistivo in regime stazionario
● Le proprietà e metodi di analisi dedotti a partire delle equazioni generali dei circuiti resistivi possono essere estesi ai circuiti in regime sinusoida-le con le sostituzioni: Resistenza Impedenza Conduttanza Ammettenza Tensione Fasore della tensione Corrente Fasore della corrente
● In particolare si possono estendere ai circuiti in regime sinusoidale le relazioni di equivalenza riguardanti collegamenti tra resistori o
generatori (serie, parallelo, stella-triangolo, formule di Millman ecc.) i metodi di analisi generali (metodo delle maglie,metodo dei nodi e
metodo degli anelli) il teorema di sovrapposizione i teoremi di Thévenin e Norton
37
Impedenze in serie e in parallelo
● Impedenze in serie
● Impedenze in parallelo
kkk
k
N
kk
IZV
II
VV
1
N
kKS
S
1
ZZ
IZV
kkk
k
N
kk
VYI
VV
II
1
N
k k
PP
N
kKP
P
1
1
111
ZY
Z
YY
VYI
38
Partitore di tensione e di corrente
● Partitore di tensione
● Partitore di corrente
N
kk
jj
1
Z
ZVV
N
kk
jj
1
Y
YII
39
Trasformazioni dei generatori
GGGG YVIZIV
40
Equivalenza stella-triangolo
231312
23133
231312
23122
231312
13121
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
1
32312123
2
32312113
3
32312112
Z
ZZZZZZZ
Z
ZZZZZZZ
Z
ZZZZZZZ
41
Teorema di sovrapposizione
● Ipotesi:
circuito lineare contenente
NV generatori indipendenti di tensione vG1(t), ..., vGNV(t)
NI generatori indipendenti di corrente iG1(t), ..., iGNI(t)
tutti i generatori sono sinusoidali con la stessa pulsazione condizioni di regime sinusoidale
I fasori della tensione e della corrente del generico lato i sono combinazioni lineari dei fasori delle tensioni e delle correnti impresse dai generatori indipendenti
IV
IV
N
kGkik
N
kGkiki
N
kGkik
N
kGkiki
11
11
IβVyI
IzVαV
42
Funzioni di rete
● I coefficienti delle combinazioni sono funzioni complesse della pulsazione e sono detti funzioni di di rete
● Le funzioni di rete che mettono in relazione i fasori della tensione e della corrente dello stesso lato sono dette funzioni di immettenza
● Le funzioni di rete che mettono in relazione fasori di tensioni e correnti di lati diversi sono dette funzioni di trasferimento
h
khGk
iik
Gh
Gh
0
0
I
VV
Iy
kh
hGk
iik
Gh
Gh
0
0
I
VI
Iβ
(adimensionale) (ha le dimensioni di un’impedenza)
(ha le dimensioni di un’ammettenza) (adimensionale)
h
khGk
iik
Gh
Gh
0
0
I
VV
Vα
kh
hGk
iik
Gh
Gh
0
0
I
VI
Vz
43
Funzioni di immettenza
● Impedenza di ingresso
● Ammettenza di ingresso
kh
hGk
kk
Gh
Gh
0
0IN )(
I
VI
VZ
h
khGk
kk
Gh
Gh
0
0)(
I
VV
IY
44
Funzioni di trasferimento
● Rapporto di trasferimento di tensione
● Rapporto di trasferimento di corrente
h
khGk
iik
Gh
Gh
0
0)(
I
VV
Vα
kh
hGk
iik
Gh
Gh
0
0)(
I
VI
Iβ
45
Funzioni di trasferimento
● Impedenza di trasferimento
● Ammettenza di trasferimento
kh
hGk
iik
Gh
Gh
0
0)(
I
VI
Vz
h
khGk
iik
Gh
Gh
0
0)(
I
VV
Iy
46
Teorema di Thévenin
● Ipotesi: condizioni di regime sinusoidale il bipolo A-B è formato da componenti lineari e generatori
indipendenti il bipolo A-B è comandato in corrente
Il bipolo A-B equivale a un bipolo formato da un generatore indipenden-te di tensione V0 in serie con un’impedenza Zeq V0 è la tensione a vuoto del bipolo A-B Zeq è l’impedenza equivalente del bipolo A-B con i generatori
indipendenti azzerati
AB0AB IZVV eq
47
Teorema di Norton
● Ipotesi: condizioni di regime sinusoidale il bipolo A-B è formato da componenti lineari e generatori
indipendenti il bipolo A-B è comandato in tensione
Il bipolo A-B equivale a un bipolo formato da un generatore indipenden-te di corrente Icc in parallelo con un’ammettenza Yeq Icc è la corrente di cortocircuito del bipolo A-B Yeq è l’ammettenza equivalente del bipolo A-B con i generatori
indipendenti azzerati
ABAB VYII eqcc
48
N-porte lineari in regime sinusoidale
● Per un N-porte lineare in condizioni di regime sinusoidale le relazioni costitutive, in termini di fasori, sono del tipo
con
● Nel caso di componenti resistivi i coefficienti delle matrici A e B sono reali, mentre nel caso di componenti dinamici, in generale, sonocomplessi
● Se il componente è comandato in corrente oppure in tensione èpossibile rappresentarlo mediante parametri di impedenza o di ammettenza che costituiscono una generalizzazione dei parametri di resistenza e di conduttanza
0BiAv
NNN
N
NNN
N
NN bb
bb
Β
aa
aa
A
I
I
i
V
V
v
1
111
1
11111
49
Matrice di impedenza
● Matrice di impedenza
Ziv
NNN
N
NN zz
zz
Z
I
I
i
V
V
v
1
11111
khk
jjk
h
0I
I
Vz
50
Matrice di ammettenza
● Matrice di ammettenza
Yvi
NNN
N
NN yy
yy
Y
I
I
i
V
V
v
1
11111
khk
jjk
h
0V
V
Iy
51
Doppi bipoli lineari in regime sinusoidale
● Per i doppi bipoli lineari in regime sinusoidale è possibile generalizzare anche le matrici ibride e di trasmissione
● Nel caso di componenti dinamici i coefficienti delle matrici, in generale, sono complessi
2
1
2
1
2221
1211
2
1
V
IH
V
I
hh
hh
I
VMatrice ibrida
2
1
2
1
2221
1211
2
1
I
VH
I
V
hh
hh
V
IMatrice ibrida inversa
2
2
2
2
1
1
I
VT
I
V
DC
BA
I
V Matrice di trasmissione(matrice catena)
1
1
1
1
2
2
I
VT
I
V
DC
BA
I
V Matrice di trasmissione inversa(matrice catena inversa)
52
Significato dei parametri di impedenza
z11 impedenza di ingresso a vuoto alla porta 1
z21 impedenza di trasferimento a vuoto dalla porta 1 alla porta 2
z22 impedenza di ingresso a vuoto alla porta 2
z12 impedenza di trasferimento a vuoto dalla porta 2 alla porta 1
01
111
2
I
I
Vz
01
221
2
I
I
Vz
02
112
1
I
I
Vz
02
222
1
I
I
Vz
53
Significato dei parametri di ammettenza
y11 ammettenza di ingresso in cortocircuito alla porta 1
y21 ammettenza di trasferimento in cortocircuito dalla porta 1 alla porta 2
y22 ammettenza di ingresso in cortocircuito alla porta 2
y12 ammettenza di trasferimento in cortocircuito dalla porta 2 alla porta 1
01
111
2
V
V
Iy
01
221
2
V
V
Iy
02
112
1
V
V
Iy
02
222
1
V
V
Iy
54
Significato dei parametri ibridi
h11 impedenza di ingresso in cortocircuito alla porta 1
h21 rapporto di trasferimento di corrente in cortocircuito dalla porta 1 alla porta 2
h22 ammettenza di ingresso a vuoto alla porta 2
h12 rapporto di trasferimento di tensione a vuoto dalla porta 2 alla porta 1
01
111
2
V
I
Vh
01
221
2
V
I
Ih
02
112
1
I
V
Vh
02
222
1
I
V
Ih
55
Significato dei parametri di trasmissione
01
2
2
1
I
V
V
A01
2
2
1
VV
I
B
01
2
2
1
I
I
V
C01
2
2
1
VI
I
D
56
Trasformatore ideale in regime sinusoidale
● Le tensioni alla porta 1 e alla porta 2 sono in fase tra loro
● Le correnti alla porta 1 e alla porta 2 sono in opposizione di fase
21
21
1i
Ki
Kvv
21
21
1II
VV
K
K
57
Induttori accoppiati in regime sinusoidale
● Le equazioni sono un caso particolare di rappresentazione mediante di coefficienti di impedenza
dt
tdL
dt
tdMt
dt
tdM
dt
tdLt
)(i)(i)(v
)(i)(i)(v
22
12
2111
2212
2111
IIV
IIV
LjMj
MjLj
2
1
2
1
2
1
2
1
I
IZ
I
I
V
V
LjMj
MjLj
58
Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale
● Potenza assorbita dal bipolo
cos2
1)2cos(
2
1
)cos()2cos(2
1
)cos()cos()i()v()p(
MMIVMM
IVIVMM
IMVM
IVtIV
tIV
tItVttt
IV
IM
VM
tIt
tVt
)cos()i(
)cos()v(
59
Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale
60
Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale
● La potenza è data dalla somma di un termine sinusoidale con pulsazione 2 (potenza fluttuante) e di un termine costante
● L’ampiezza del termine oscillante è
● Il termine costante rappresenta il valore medio sul periododella potenza istantanea
● cos è detto fattore di potenza
Il fattore di potenza è il rapporto tra il termine costante e l’ampiezza del termine oscillante
A parità di ampiezza di v e i, il valore medio sul periodo della potenza istantanea aumenta al crescere del fattore di potenza
T
MMm IVdttT
p0
cos2
1)p(
1
MM IV21
61
Potenza assorbita da un bipolo in regime sinusoidale
● Il fattore di potenza cos vale 1 se la tensione e la corrente sono in fase ( 0)
● Aumentando || il fattore di potenza si riduce fino ad annullarsi quando tensione e corrente sono in quadratura
● Per || > 2 il fattore di potenza diventa negativo e vale 1 se la tensione e la corrente sono in opposizione di fase
● cos 0 in ogni semiperiodo l’energia assorbita dal bipolo è 0
● cos 0 in ogni semiperiodo l’energia assorbita dal bipolo è 0
questa condizione si può verificare solo se il bipolo è attivo
per un bipolo passivo si ha necessariamente cos 0
62
Potenza assorbita da un resistore
VMM tIVt 22cos12
1)p(
22
2
1
2
1
2
1MMMMm GVRIIVp 0
63
Potenza assorbita da un induttore
2
22cos2
1
222cos
2
1)p( 2
VMVMM tLItIVt
0cos2
1 MMm IVp
2
64
Potenza assorbita da un condensatore
2
22cos2
1
222cos
2
1)p( 2
VMVMM tCVtIVt
0cos2
1 MMm IVp
2
65
Componenti attiva e reattiva della corrente
● Nel caso generale, si può scomporre la corrente istantanea nellasomma di due termini:
uno in fase con la tensione (come nei resistori)
componente attiva: iA(t) uno in quadratura con la tensione (come negli induttori e nei
condensatori)
componente reattiva: iR(t)
)(i
)2/cos(sen
)(i
)cos(cos
)sen(sen)cos(cos
])()cos[(
)cos()i(
t
tI
t
tI
tItI
tI
tIt
R
VM
A
VM
VMVM
IVVM
IM
66
Componenti attiva e reattiva della corrente
Rappresentazione nel piano complesso
VV
V
jM
j
MR
jMA
IjI
I
esenesen
ecos
2I
I
67
Potenza istantanea attiva e reattiva
● Scomposizione della potenza istantanea
● Potenza istantanea attiva
● Potenza istantanea reattiva
)(p)(p)(i)v()(i)v()(i)(i)v()p( tttttttttt RARARA
)22cos(1cos2
1
)cos(cos
)cos(cos)cos()(p2
VMM
VMM
VMVMA
tIV
tIV
tItVt
)22(sensen2
1
)(sensen)cos()(p
VMM
VMVMR
tIV
tItVt
68
Potenza istantanea attiva e reattiva
69
Potenza istantanea attiva e reattiva
● La potenza istantanea attiva non cambia mai segno (se cos > 0 è sempre 0)
flusso unidirezionale di energia (dall’esterno verso il bipolo se cos > 0)
● La potenza istantanea reattiva è una funzione sinusoidale del tempo con pulsazione 2 l’energia ad essa associata fluisce alternativamente
dall’esterno verso il bipolo e viceversa
in un intervallo di durata pari a un semiperiodo di v e i, l’energia complessivamente scambiata tra il circuito e il bipolo è nulla
70
Potenza attiva
● Potenza attiva:valore medio sul periodo della potenza istantanea attiva = valore medio sul periodo della potenza istantanea (unità di misura watt, W)
● Un intervallo t T può essere approssimato con un numero intero di periodi
L’energia assorbita da un bipolo in un intervallo di durata molto grande rispetto al periodo può essere ottenuta dalla relazione
cos2
1)p(
1)(p
1
00
MM
TT
A IVdttT
dttT
P
tPtwa ),0(
71
Potenza reattiva
● Potenza reattiva: valore massimo della potenza istantanea reattiva col segno di
● L’unità di misura della potenza reattiva è il volt-ampere reattivo (VAR)
● Q è un indice dell’entità degli scambi energetici associati alla potenza istantanea reattiva
● Convenzionalmente si attribuisce
segno alla potenza reattiva assorbita dagli induttori
segno alla potenza reattiva assorbita dai condensatori
sen2
1)sgn()(pmax MMR IVtQ
72
Potenza apparente
● Potenza apparente: è definita dalla relazione
● L’unità di misura della potenza apparente è il volt-ampere (VA)
● La potenza apparente coincide con l’ampiezza del termine oscillante della potenza istantanea
● S dipende solo dalle ampiezze della tensione e della corrente
MM IVS2
1
73
Triangolo delle potenze
● Rappresentazione grafica delle relazioni tra potenza attiva reattiva e apparente
tg
sen
cos
22
PQ
SQ
SP
QPS
74
Potenza complessa
● Si definisce potenza complessa la quantità
● Inserendo le espressioni di V e I si ottiene
Quindi si ha
*
2
1VIN
jQPIVjIV
IVIV
MMMM
jMM
jM
jM
IV
sen2
1cos
2
1
e2
1ee
2
1N
QIV
PIV
MM
MM
sen2
1Im
cos2
1Re
N
N
)arg(2
1
N
N SIV MM
(I* indica il coniugato di I)
75
Conservazione delle potenze complesse(Teorema di Boucherot)
● Ipotesi: Circuito con l lati Versi di riferimento scelti per tutti i lati secondo la convenzione
dell’utilizzatore Condizioni di regime sinusoidale Vk, Ik (k 1, ..., l) fasori delle tensioni e delle correnti
La somma delle potenze complesse assorbite dai componenti del circuito è nulla
Le somme delle potenze attive e delle potenze reattive assorbite dai componenti sono nulle
● Dimostrazione: I fasori Vk e Ik soddisfano le leggi di Kirchhoff. Se i fasori delle
correnti soddisfano la LKI, anche i loro coniugati la soddisfano La proprietà deriva direttamente dal teorema di Tellegen
02
1
1
*
1
l
kkk
l
kk IVN 00
11
l
kk
l
kk QP
76
Additività delle potenze complesse
● Si assume che il lato l del circuito sia costituito da un bipolo
● Si divide il circuito in due parti
una formata dal solo lato l una formata dagli altri lati (che complessivamente costituiscono un
bipolo)
● Per il teorema di Boucherot vale la relazione
● Nl è la potenza erogata dal bipolo l, cioè la potenza assorbita dal bipolo formato dagli altri componenti
La potenza complessa assorbita da un bipolo formato da più compo-nenti collegati tra loro è pari alla somma delle potenze assorbite dai singoli componenti
La stessa proprietà vale per le potenze attive e per le potenze reattive
1
1
1
1
1
1
,l
kkl
l
kkl
l
kkl QQPPNN
77
Potenza complessa in funzione di Z e Y
22*22
22*22
2**2**
2
1
2
1Im
2
1
2
1Im
2
1
2
1Re
2
1
2
1Re
2
1)(
2
1
2
1
2
1
2
1
VVYIIZ
VVYIIZ
VYYVVIZZIIVIN
BXQ
GRP
VYVI
IZIV
)(
)(
jBG
jXR
0,00
0,00
BXQ
GRP
78
Segni delle parti reali e immaginarie di Z e Y
● Si considera un bipolo formato da componenti R, L, C passivi
● Dalle espressioni delle potenze complesse in funzione di Z e Y e dalla proprietà di additività delle potenze, a seconda del tipo di componenti contenuti nel bipolo, si ricavano le seguenti condizioni:
Re[Z] Im[Z] Re[Y] Im[Y]P Q
Componenti
R
L
C
R-L
R-C
L-C
R-L-C
79
Valori efficaci
● Si definisce valore efficace di una funzione a(t) periodica di periodo T la quantità
● In particolare, se a(t) è sinusoidale, risulta
T
eff dttT
A0
2 )(a1
2)]22cos(1[
22
)(cos2
2
0
2
2
0
22
MM
Meff
Adtt
A
dttAA
80
Valori efficaci
● Espressioni della potenza attiva e reattiva in funzione dei valori efficaci
● Potenza assorbita da un resistore
Il valore efficace di una tensione (corrente) sinusoidale corrisponde al valore di una tensione (corrente) costante che applicata a un resistore dà luogo ad una dissipazione di potenza pari al valore medio sul periodo della potenza assorbita dal resistore in regime sinusoidale
sensen2
1
coscos22
cos2
1
effeffMM
effeffMM
MM
IVIVQ
IVIV
IVP
22effeff GVRIP
81
Valori efficaci
● E’ possibile definire la trasformata di Steinmetz anche facendo riferimento ai valori efficaci invece che ai valori massimi
● La trasformata così definita conserva le stesse proprietà della trasformata basata sui valori massimi
● Le impedenze e le ammettenze (essendo definite come rapporti tra fasori) non cambiano se si fa riferimento ai valori efficaci
● L’espressione della potenza complessa diviene
)sen(cos22
)a( jA
eA
t MjMee SA
)cos(Re2Re)a( ][][ )(1 tAeAet Mtj
Mtj
eee AAS
*eeIVN
82
Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva
● Si considera un bipolo formato da un generatore di tensione sinusoidale VG in serie con un impedenza Z caricato da un’impedenza ZC
Al variare di ZC, la potenza attiva ceduta al carico è massima quando vale la condizione ZC Z* (adattamento coniugato)
In queste condizioni la potenza attiva (potenza disponibile) vale
jXR Z
CCC jXR Z
R
V
RP GeffG
d 48
22
V
83
Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva dimostrazione (1)
● Corrente e tensione nel carico
● Potenza attiva ceduta al carico
● Al variare di XC il denominatore è minimo (e quindi PC è massimo) se
● In queste condizioni
C
G
ZZ
VI
C
CG
ZZ
ZVV
])()[(22
Re
2
1Re
22
2
2
2
*
*
CC
CG
C
CG
C
G
C
CGC XXRR
RP
V
ZZ
ZV
ZZ
V
ZZ
ZV
XX C
2
2
)(2 C
CGC RR
RP
V
84
Teorema del massimo trasferimento di potenza attiva dimostrazione (2)
● Al variare di PC il massimo si ottiene per
cioè RC R infatti:
PC è positivo per RC > 0 e si annulla per R 0 e R la derivata di PC si annulla solo per RC R questo punto deve corrispondere a un massimo
Quindi deve essere RC R, XC X ZC Z*
● In queste condizioni si ha
0)(
)(2)(
2 4
22
C
CCCG
C
C
RR
RRRRR
R
P V
RRR
RPP GG
dC 8)(2
2
2
2
max
VV
85
Rendimento
● In condizioni di adattamento coniugato la potenza attiva erogata dal generatore vale
Il rendimento definito come rapporto tra la potenza attiva erogata dal generatore e la potenza attiva ceduta al carico è
La condizione di adattamento coniugato non rappresenta una soluzione ottimale nel caso in cui è importante ottenere rendimenti elevati
RRP GG
GG 42Re
2
12* VV
V
5.04
8 2
2
G
G
G
C R
RP
P
V
V
86
Rifasamento
● Distribuzione dell’energia elettrica (schema semplificato)
● Impedenza equivalente della linea:
● Condizioni di funzionamento ottimali:
Ampiezza della tensione sul carico praticamente indipendente dalla corrente (normalmente gli utilizzatori sono progettati facendo riferimento a un valore nominale della tensione sono tollerati scostamenti di pochi percento dal valore nominale prefissato)
Minima dissipazione di potenza nella linea
LLL jXR Z
Linea di distribuzione
Generatore Utilizzatore
87
Rifasamento
● Al crescere dell’ampiezza della corrente I nella linea
si riduce l’ampiezza della tensione sul V carico
aumentano le perdite per effetto Joule lungo la linea
2MLL 2
1IRP
IZVV LGM V
Linea di distribuzione
Generatore Utilizzatore
88
Rifasamento
● Fissata l’ampiezza tensione VM, a parità di potenza attiva P assorbita dal carico l’ampiezza della corrente è inversamente proporzionale al fattore di potenza
L’ampiezza della componente attiva dellacorrente è fissata dal valore della potenzaattiva
Al diminuire del fattore di potenza (cioèall’aumentare dell’angolo ) aumental’ampiezza della componente reattivadella corrente (e quindi l’ampiezza dellacorrente totale)
Per ridurre le perdite occorre aumentare il fattore di potenza del carico
cos
2
MM V
PI
89
Rifasamento
● Un basso fattore di potenza risulta svantaggioso per il fornitore di energia elettrica
Se il valore medio mensile del fattore di potenza risulta inferiore a certi limiti vengono applicate delle maggiorazioni sul costo dell’energia
● Le norme attuali, per impianti a bassa tensione con potenza impegnata 15 kW, prevedono:
per cos 0.9 nessuna penale
per 0.7 cos 0.9 pagamento di una penale commisurata al rapporto tra l’integrale della potenza reattiva (energia reattiva) e quello della potenza attiva (energia attiva) nel periodo di fatturazione
i limiti sono prossimi ai valori di cos per cui l’energia attiva e quella reattiva sono uguali (cos 0.707) e l’energia reattiva èpari al 50% dell’energia attiva (cos 0.894)
per cos < 0.7 obbligo da parte dell’utente di prendere provvedi-menti per aumentare il fattore di potenza
90
Rifasamento
● Per aumentare il fattore di potenza si ricorre al rifasamento del carico
● Si collega in parallelo all’utilizzatore un bipolo puramente reattivo con reattanza di segno opposto a quella del utilizzatore stesso
● Se il carico è ohmico-induttivo XU 0, (caso più comune) la reattanza XR deve essere negativa ( condensatore)
91
Rifasamento
● Dimensionando opportunamente la reattanza XR si può fare in modo che
gli scambi di potenza reattiva avvengano prevalentemente tra il carico e il bipolo di rifasamento, riducendo gli scambi di potenza reattiva con il generatore
la componente reattiva IR della corrente nel carico circoli prevalen-temente nel bipolo di rifasamento, riducendo l’ampiezza della cor-rente reattiva IR nella linea
92
Rifasamento
● La potenza reattiva assorbita complessivamente dal carico e dal bipolo di rifasamento è
● Per portare il fattore di potenza da cos ad un valore accettabile cosla potenza reattiva assorbita dal bipolo di rifasamento deve essere
● Se il bipolo di rifasamento è un condensatore (capacità = CR) si ha
Quindi la capacità di rifasamento vale
22M
R
)tg(tg)tg(tg2
effV
P
V
PC
2MRR 2
1VCQ
RQQQ
)()(R tgtgPQQQ
93
Risonanza serie
● Bipolo RLC serie in regime sinusoidale
● Si studia il comportamento del bipolo al variare della pulsazione
● Pulsazione di risonanza:
● Per 0
Im[Z] 0
|Z| è minimo
arg(Z) 0
CLjR
CjLjR
11Z
22 1
CLRZ
RC
L
1
arctg)arg(Z
LC
10
94
Risonanza serie
CLjR
1Z
22 1
CLRZ
● prevale la reattanza capacitiva
● prevale la reattanza induttiva
● la reattanza si annulla
95
Risonanza serie
● la corrente è in anticipo sulla tensione
● la tensione è in anticipo sulla corrente
● la tensione e la corrente sono in fase
RC
L
1
arctg)arg(Z
96
Risonanza serie
97
Risonanza serie
● Potenza complessa assorbita:
● Potenza attiva:
● Potenza reattiva:
Q 0
Q 0
Q 0
22)
1(
2
1
2
1MI
CLjR
IZN
2
2
1MRIP
22
2
1
2
1MM I
CLIQ
98
Risonanza serie
● Corrente nell’induttore:
Energia nell’induttore:
● Tensione del condensatore:
Energia nel condensatore:
● In condizioni di risonanza:
In condizioni di risonanza l’energia totale accumulata nel bipolo RLC si mantiene costante
)cos()i()(i IML tItt
)(cos)(i)(w 22212
21
IML tLItLt
)sen(1)(v1IMCC tI
Ct
Cj
IV
)(sen2
1)(v)(w 22
22
21
IMCC tIC
tCt
)(sen)(sen2
1)(w 0
2202
10
2202
0
IMIMC tLItIC
t
202
1)(w)(w MCL LItt
99
Fattore di merito
● In condizioni di risonanza, si definisce fattore di merito la quantità
● Per un bipolo RLC serie, se l’ampiezza della corrente in condizioni di risonanza è IM0 si ottiene
● L’espressione dell’impedenza del bipolo può essere posta nella forma
RCR
L
TRI
LIQ
M
M
0
0
02
021
202
1
0
12
0
001
11
1jQR
RCR
LjR
CLjRZ
0
0
2T
20Q Energia accumulataEnergia dissipata in un periodo
100
Curve di risonanza
● Per caratterizzare la risposta in frequenza di un bipolo RLC serie, di solito si considera la funzione di trasferimento
● Se V è fissato, H rappresenta anche il rapporto tra la corrente nel bipolo al variare di e la corrente in condizioni di risonanza I0
0
001
1)(
jQ
RR
ZV
VH
0
)(I
IH
101
Curve di risonanza
102
Curve di risonanza
103
Larghezza di banda
● Se V è fissato, l’ampiezza della corrente nel bipolo, e quindi la potenza attiva assorbita, sono massime per 0
● In queste condizioni si ha
● La potenza attiva assorbita può essere espressa in funzione di come
● Larghezza di banda (a metà potenza), B: ampiezza dell’intervallo compreso tra le pulsazioni 1 e 2 per cui risulta P = P0/2
● All’aumentare di Q0 il modulo di H() presenta un picco sempre piùstretto nell’intorno di 0
La larghezza di banda diminuisce con l’aumentare del fattore di merito
20
2
0 2
1
2
1M
M RIR
VP
0
220
22 )()(2
1
2
1PIRRIP MM HH
12 B
104
Larghezza di banda
● La potenza attiva assorbita dal bipolo vale P = P0/2 se è verificata la relazione
● Le soluzioni positive di questa equazione sono
Quindi si ha
● Per valori sufficientemente elevati di Q0 (in pratica per Q0 ≥ 10), si può ritenere
10
00
Q 020
0
02
Q
20
021 4
11
2
1,
oQQ
0
012 Q
B
22
11, 0
0021
B
Q
RCR
LB 2
0
105
Risonanza parallelo
● Bipolo RLC parallelo in regime sinusoidale
● Si studia il comportamento del bipolo al variare della pulsazione
● Pulsazione di risonanza:
● Per 0
Im[Y] 0
|Y| è minimo
arg(Y) 0
LC
10
LCjG
LjCjG
11Y
22 1
LCGY
GL
C
1
arctg)arg(Y
106
Risonanza parallelo
LCjGY
1
22 1
LCGY
● prevale la suscettanza induttiva
● prevale la suscettanza capacitiva
● la suscettanza si annulla
107
Risonanza parallelo
● la tensione è in anticipo sulla corrente
● la corrente è in anticipo sulla tensione
● la tensione e la corrente sono in fase
GL
C
1
arctg)arg(Y
108
Risonanza parallelo
109
Risonanza parallelo
● Potenza complessa assorbita:
● Potenza attiva:
● Potenza reattiva:
Q 0
Q 0
Q 0
22* )1
(2
1
2
1MV
LCjG
VYN
2
2
1MGVP
22
2
1
2
1MM CVV
LQ
110
Risonanza parallelo
● Tensione del condensatore:
Energia nel condensatore:
● Corrente nell’induttore:
Energia nell’induttore:
● In condizioni di risonanza:
In condizioni di risonanza l’energia totale accumulata nel bipolo RLC si mantiene costante
)cos()v()(v VMC tVtt
)(cos)(v)(w 22212
21
VMC tCVtCt
)sen(1)(i1VMLL tV
Lt
Lj
VI
)(sen2
1)(i)(w 22
22
21
VMLL tVL
tLt
)(sen)(sen2
1)(w 0
2202
10
2202
0
VMVML tCVtVL
t
202
1)(w)(w MCL CVtt
111
Fattore di merito
● Per un bipolo RLC parallelo il fattore di merito è
In questo caso l’ammettenza può essere espressa come
LGG
C
TGV
CVQ
M
M
0
0
02
021
202
1
0
12
0
001
11
1jQG
LGG
CjG
LCjGY
112
Larghezza di banda
● Per caratterizzare la risposta in frequenza di un bipolo RLC serie, di solito si considera la funzione di trasferimento
● Se I è fissato, H rappresenta anche il rapporto tra la tensione nel bipolo al variare di e la tensione in condizioni di risonanza V0
● L’andamento di H in funzione di coincide con quello visto per il bipolo RLC serie
● La larghezza di banda in questo caso vale
0
001
1)(
jQ
GR
YI
IH
0
)(V
VH
LGG
C
QB 2
00
0