.Inst. Edu JORGE ROBLEDO PLANEACION DEL PRIMER PERIODO

Matemáticas grado 6° año 2012

MATERIALES: Cuaderno de 100h cuadriculado, block de hojas milimetradas, calculadora, lápiz, borrador, lapicero de color verde.

Geometría

Geometría (del griego geō, 'tierra'; metería, 'me-dir'), rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades de las medidas y formas de las figu-ras

Y y Espacio Plano (Tres Dimensiones) (Dos dimensiones) X X z

En su forma más elemental, la geometría se preo-cupa de problemas métricos como el cálculo del área, diámetro y perímetros de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos.

Elementos del plano cartesiano:

1. ejes principales: son dos rectas que se cruzan perpendicularmente. Una de ellas llamada eje “x” y la otra llamada eje “y” pero a para-lelas a éstas hay otros ejes que se llaman se-cundarios.

2. El punto donde se encuentran los ejes princi-pales se llaman origen del plano cartesiano.

3. El punto donde se encuentren los ejes secun-darios se llaman coordenadas cartesianas.

4. El punto donde se interceptan 2 ejes secunda-rios, o un eje secundario y uno principal es llama Coordenadas cartesianas. Las coorde-nadas se representan como una pareja de va-lores (x abscisas, yordenada). quiere decir que la primer componente(abscisas) representa el valor de la (x), y la segunda componente(Or-denada) es el valor de la (y)

Definiciones preliminares en geometría:

Punto, recta y plano son términos no definibles.

1 punto: figura geométrica a dimensional, es de-cir no tiene dimensión, pero por abuso del lengua-je se define con la huella que deja un lápiz per-fectamente puntiagudo al dejarlo caer en una hoja de papel

2. Recta o línea: conjunto de puntos que van des-de menos infinito hasta mas infinito de una misma dirección. Comúnmente se usa el sinónimo de Recta para referirse a una línea en geométrica. Para nombrarla se utiliza una letra del abeceda-

rio. Dicho de otro modo recta significará siempre una línea que se prolonga indefinidamente en dos sentidos opuestos. Al dibujar una recta, se trazan puntas de flechas para enfatizar el hecho de que la recta no termina.

S

Postulados

Por dos puntos pasa una recta y solamente una.

Dos rectas no pueden tener más que un solo punto común Una línea tiene una sola dimensión: longi-tud

Propiedades de la recta:

I. Dos rectas se intersecan en un punto, y sólo en uno.

II. Si fuera de una recta se encuentra un punto, el punto y la recta están conteni-dos en un plano, y sólo en uno.

III. Si dos rectas se intersecan, ambas están contenidos en un plano, y sólo en uno.

IV. Si en una misma recta están tres puntos, no más de uno está situado entre los otros dos.

V. En un rayo existe un punto, y sólo uno, situado a una distancia dada del punto extremo del rayo.

VI. Un segmento tiene un punto medio y só-lo uno.

1. semirrecta: segmento de recta de la cual co-nocemos en donde comienza pero no donde termina.

A

C

B

2. segmento de recta: pedazo de recta de el cual sabemos en donde comienza y también en donde termina. Para nombrarlo utilizamos dos letras del abecedario, una al inicio y otra al final.

A B

F C

H

3. Prolongación de un segmento de recta: para prolongar un segmento de recta trazamos lí-neas punteadas a partir de los segmentos de recta en uno o ambos lados si es el casa.

A B

Dos o más rectas se pueden relacionar como para-lelas o secantes:

a. paralelas: dos rectas son paralelas cuando una esta al lado de la otra, es decir a la misma distancia y nunca se juntan ni tampoco se se-paran.

Ejemplo: l1

l2

Para representar líneas paralelas se utiliza el sím-bolo “║”. Del ejemplo anterior se puede hacer la anotación l1 ║ l2, que se lee: “l1 paralela con l2

”

Actividad: realizar dos graficas de rectas que se intercepten ellas y dos que se interceptan sus pro-longaciones

Ángulo: grado de apertura que existe entre dos rectas que se cortan en un punto común llamado vérticeRectas paralelas: rectas que al prolongarse conti-nuamente no llegan a tocarse en ningún punto.Se denota como l1|| l2

l1

l2

Rectas perpendiculares: rectas que se cortan en-tre sí formando siempre un ángulo recto

b. rectas secantes: dos rectas son secantes cuan-do se interceptan en alguna parte.

Ejemplo:

Vértice

Actividad en de papel milimetradoDibujar Puntos Dibujar 5 líneas Dibujar 5 semirrectas Dibujar 5 segmento

de R 5Dibujar 5 Prolonga-ción de una semirrec-ta

Dibujar líneas parale-las

Dibujar Líneas perpen-diculares

Dibujar líneas secan-tes

Figuras geométrica de dos lados

Las figuras geométricas de dos lados son común-mente llamados ángulos.

Ángulos: Figura geométrica que se forma con la intersec-ción o la prolongación de dos rectas secantes o perpendiculares..

Lado inicial

Vértice

Lado final

Los ángulos tienen las siguientes partes o elemen-tos:

1. se conforma por la intercepción de 2 líneas secantes

2. el punto donde se intercepta es el vértice del ángulo

3. tiene un lado inicial 4. tiene un lado final

Un ángulo se puede nombrar de dos formas: una con nuestro alfabeto induarabigo o el alfabeto griego

1. con el alfabeto griego: para nombrar un ángulo con el alfabeto griego se puede utilizar una de las siguientes letras:

Ejemplo

2. con el alfabeto induarabigo: para nombrar un ángulo con el alfabeto utilizamos la letra que va en el medio.

Actividad: dibujar 5 ángulos y nombrarlos

Forma de medir un ángulo Para medir un ángulo lo podemos hacer de dos maneras:1. positivo: cuando lo hacemos al sentido contra-

rio de las manecillas del reloj

2. negativa: cuando lo hacemos en el mismo sentido de las manecillas de el reloj

Medida de un ángulo

Para medir un ángulo utilizamos un elemento lla-mado transportador

Para medir un ángulo se utilizamos un instru-mento llamado transportador.

Colocando el vértice del ángulo en el vértice del transportador de tal forma coincida el vértice del transportador, y el lado inicial del ángulo quede en le punto cero del transportador

EJEMPLOS: la siguiente gráfica muestra como efectuar la medida en los ángulos: alfa( ) y el BAC

Alfa α Nu νBeta β Xi ξGamma γ Ómicron οDelta δ Pi πÉpsilon ε Rho ρZeta ζ Sigma σEta η Tau τTeta θ Ípsilon υIota ι Fi φKappa κ Ki χLambda λ Psi ψMu μ Omega ω

A

CB

BAC

Clas i f i cac ión de ángu los se gún su me dida

Ángulo Agudo: Ángulo en tr e 0 º y 90 º

Ángulo Re cto : Ángulo de 90 º .

Ángulo Obt uso: Á ngu lo mayor de

90 º .

Ángulo mayor de 90 º .

L lano = 180°

Cóncavo > 270°

Nulo = 0 º

Completo = 360°

Negat ivo < 0 º

Mayor de 360°

En resumen:

Según su medida angular en grados sexagesimales

(un grado sexagesimal es la 90a. parte del ángulo

recto), un ángulo se define como:

 

Actividad2 en hojas de papel milimetrado2 ángulos agudos Líneas 52 ángulos rectos Segmento de R 52 ángulos obtusos Líneas paralelas2 ángulos agudos Líneas secantes

Actividad 3

Conclusiones:

1. Una circunferencia tiene 360°

2. Una circunferencia se compone de mu-chos ángulos centrales.

3. Una circunferencia se compone de mu-chos ángulos centrales

RELACIONES DE ANGULOS CON LA CIRCUNFE-RENCIA

1. Un ángulo central:Es aquel tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados se intersecan con la circunferencia. Ejemplo

A B

0 D C

Los ángulos AOB y el ángulo COD, son igua-les, tiene la misma medida.

2. Ángulo Inscrito.

Ángulo cuyo vértice es un punto de la circunfe-rencia y sus lados son secantes a ésta.

B

0 D

3. Ángulo circunscrito

Ángulo cuyo vértice está por fuera de la circun-ferencia y sus lados son tangentes a ésta. B

0 D

RELACIONES ENTRE ANGULOSÁngulos consecutivos: Dos ángulos son consecutivos cuando el lado final del primero es el lado inicial del segundo.

Elaborar la siguiente construcción: sobre un mis-mo punto construir 5 ángulos. Luego sobre ese mismo punto construir una circunferencia

Se denominan:

Ángulos complementarios: si suman 90º,

Ángulos suplementarios: si suman 180º

ÁNGULOS QUE SE FORMAN CON DOS REC-TAS SECANTES:

Se dice que dos ángulos son congruentes cuando

ambos ángulos tienen la misma medida.

Los ángulos opuestos por el vértice son un ejem-

plo de ángulos congruentes.

1. Los ángulos y el ángulo , son iguales, tiene la misma medida. Es decir son opues-tos por el vértice Dos ángulos son opuestos por el vértice si tiene el vértice en común y los lados de uno de ellos son la prolongación de los lados del otro. Los ángulos y el án-gulo , son opuestos por el vértice

2. Ángulos consecutivos son aquellos que están uno al lado del otro. Es decir, el lado final del uno es el lado inicial del otro. Los ángulos y el ángulo , son ánulos complementarios,

Actividad 3: Dibujar y nombrar 5 pa-res de ángulos consecutivos.

Actividad 2: Dibujar y nombrar 5 pa-res de ángulos Opuestos por el vértice.

Actividad 1: Dibujar y nombrar 5 pa-res de ángulos consecutivos.

3. Dos ángulos son Ángulos suplementarios cuando son consecutivos y la suma de sus valores es un ángulo de 180º Si se conoce un ángulo, su ángulo suplementario se puede averiguar restando sus grados a 180. Por con-siguiente el suplemento de ángulo es lo que le falta a dicho ángulo para medir 180º.

1. Dos ángulos son Ángulos Complementarios cuando son consecutivos y la suma de sus valores es un ángulo de 180º Si se conoce un ángulo, su ángulo suplementario se puede averiguar restando sus grados a 180. Por consiguiente el complemento de ángulo es lo que le falta a dicho ángulo para medir 90º.

1. Des ángulos son opuestos por el vértice tiene el vértice en común y los lados de uno de ellos son la prolongación de los lados del otro.

2. Los ángulos AOC y el ángulo DOB, son iguales, tiene la misma medida. Por ser opuestos por el vértice,

Ángulos que se forma entre dos rectas y una se-cante que las corta

3 1 2 4 5 6 7

8

Relaciones:Ángulos externos: 1, 3, 7, 8.Ángulos internos: 2,4,5,6.

Ángulos internos alternos: 2,4,5,6.

Figuras geométrica de tres lados:

Las figuras geométricas de dos lados son los triángulos, tienen las siguientes partes o elemen-tos:

1. Según la longitud de sus lados

Equilátero: Es el único triángulo regular, todos     sus lados tienen la misma longitud

Isósceles: El lado distinto se llama base = AB, y tiene dos lados de igual longitud

Escaleno: Tiene todos sus lados de diferente longitud

2. Según sus ángulos Acutángulo:  Sus 3 ángulos interiores son agu-dos. 

Rectángulo: < CAB = 90° , < ABC y < BCA = agudos. Lados que forman < recto se llaman cate-tos. El otro, hipotenusa.

Actividad 4: Dibujar y nombrar 5 pa-res de ángulos suplementarios.

Actividad 5: Dibujar y nombrar 5 pa-res de ángulos Complementarios.

  Obtusángulo: < CAB = obtuso.  < ABC y < BCA = agudos. 

 

Altura: recta que corta perpendicularmente un la-do de una figura cerrada

Punto medio: punto de una recta que la divide exactamente en dos partes iguales

Bisectriz: semirrecta que divide a un ángulo exac-tamente en otros dos ángulos iguales; tiene su origen en el vértice y esta en el mismo plano.

Mediana: recta que parte de un vértice en una fi-gura hasta el punto medio de su lado opuesto

Diagonal: segmento rectilíneo trazado desde dos vértices distintos de una figura geométrica

Línea quebrada o poligonal: se llama así a la fi-gura formada por segmentos consecutivos de rec-tas no pertenecientes a una recta continua.

Plano: área bidimensional específica del espacio

Semiplano: porción de un plano que ha sido cor-tado por una recta

Polígonos: poli = varios y gonos= lados(figuras de varios lados) . figuras planas cerradas , com-puestas de rectas que forman sus lados

Poliedros: poli = varios y hederos = caras(figuras de varias caras) figuras tridimensionales cerradas, compuestas de polígonos que forman sus caras

Lugar geométrico: se llama así a todo conjunto de puntos que tiene la misma propiedad.

Triangulo rectángulo y sus partes

Plano

Plano. Es una superficie llana que se extiende in-

definidamente. El tablero, una puerta o la ventana

nos da la idea de un plano.

Igual que en la recta, y en todas las figuras geo-

métricas, se puede considerar un plano como un

conjunto de puntos.

Postulados:

Por tres puntos no alineados pasa un plano y sola-

mente uno.

Si una recta tiene dos puntos comunes con un pla-

no, toda la recta está contenida en el plano.

Dos puntos de un mismo semiplano determinan

un segmento que no corta a la recta que da origen

a los dos semiplanos; y dos puntos de distinto se-

miplano determinan un segmento que corta a la

recta.

Si dos planos tienen un punto común tiene una

recta común.

ÁREA

Área: superficie ocupada por puntos continuos que se desplazan en dos direcciones. Si una recta la desplaza-mos de posición, su huella generara un área. Posee dos dimensiones: el largo, el ancho

CUADRO DE AREAS Y VOLUMENES

AREAS

NOMBRE DEFINICION FIGURA TERMINOS FORMULA

TriánguloEs la porción de plano limitada por tres seg-mentos de recta.

h=alturab=base

Paralelogramo

Son los cuadriláteros que tienen sus lados opuestos iguales y pa-ralelos.

h=altura b=base A=b.h

CuadradoCuadrilátero de cuatro lados y 4 ángulos igua-les.

l=lado d=diagonal

RomboCuadrilátero cuyas dos diagonales se cruzan en ángulo de 90º

d=diagonal mayor d'=diagonal menor

Trapecio

Cuadrilátero que tiene dos de sus lados para-lelos y los otros dos no.

b=base mayor b'=base menor h=altura

Polígono regular

Es la porción de plano limitada por segmentos de recta, es regular si todos sus lados y án-gulos son iguales.

a=apotema l=lado n=número de lados

CírculoEs la porción de plano limitada por la circunfe-rencia.

r=radio A=p.r²

VOLUMENVolumen: espacio ocupado por puntos continuos que se desplazan en tres direcciones. Si un área la desplaza-mos de posición, su huella generara un volumen. Posee tres dimensiones: el largo, el ancho y la altura

VOLUMENES

NOMBRE DEFINICION FIGURA TERMINOS FORMULA

Prisma

Cuerpo geométrico cu-yas bases son dos po-ligonos iguales y para-lelos y sus caras late-rales son paralelogra-mos

B=área de la base h=altura V=h.B

Ortoedro Prisma cuyas bases son dos rectángulos.

l=largo a=ancho h=altura V=h.l.a

CuboOrtoedro donde las tres dimensiones son iguales.

a=lado V=a³

Pirámide

Cuerpo geométrico cu-ya base es un polígono cualquiera y sus caras laterales triangulos

B=área de la base h=altura

Cilindro

Es el Cuerpo geometri-co engendrado por la revolución de un rec-tángulo alrededor de uno de sus lados

r=radioh=altura V=h.p.r²

Cono

Es el Cuerpo geometri-co engendrado por la revolución de un trián-gulo rectángulo alrede-dor de uno

r=radioh=altura

Esfera

Cuerpo geometrico en-gendrado por la revolu-ción completa de un semicírculo alrededor de su diámetro.

r=radio

Figuras geométrica de cuatro o más lados:

Las figuras geométricas de tres lados son los cuadri-láteros, tienen las siguientes partes o elementos:

Cuadriláteros:

Tienen 4 lados.

Pentágonos

Tienen 5 lados.

Hexágonos

Tienen 6 lados.

Heptágonos

Tienen 7 lados.

Octágonos

Tienen 8 lados.

Eneágono

Tiene los 9 lados.

Decágono

Tiene 10 lados.

Endecágono

Tiene 11 lados.

Dodecágono

Tiene 12 lados.

Tridecágono

Tienen 13 lados.

Tetra decágono

θ

Cateto adyacente

Cateto opuesto

Hipotenusa

Tiene 14 lados.

Pentadecágono

Tiene 15 lados.

Hexadecágono

Tiene 16 lados.

Heptadecágono

Tiene 17 lados.

Octadecágono

Tiene 18 lados.

Eneadecágono

Tienen 19 lados.

Icoságono

Tiene 20 lados.Según sus ángulos

Convexos

Cuestionario de definiciones básicas de geometría: (Nota: Resolver este cuestionario para el quiz oral)

1. ¿Qué es un punto?2. ¿Qué es una recta?3. ¿Qué es un segmento de recta?4. ¿Qué es una semirrecta?5. ¿Qué es una prolongación de una recta?6. ¿Qué son rectas secantes entres si?7. ¿Qué es un ángulo?8. ¿Cómo se mide un ángulo?9. ¿En medida de ángulos que es un grado? 10. ¿Qué es un ángulo agudo? 11. ¿Qué es un ángulo recto?12. ¿Qué es un ángulo llano?13. ¿Qué es un ángulo obtuso?14. ¿Qué es un ángulo completo?15. ¿Qué es complemento de un ángulo?16. ¿Qué es suplemento de un ángulo?17. Qué son ángulos adyacentes?18. ¿Que son ángulos consecutivos?19. ¿Qué es un triangulo?20. ¿Cuántos tipos de triángulos hay?21. ¿Qué es un triangulo rectángulo?22. ¿Qué es un triangulo obtusángulo?23. ¿Qué es un triangulo equilátero?24. ¿Qué es un triangulo isósceles?25. ¿Qué es un triangulo acutángulo?26. ¿Qué es una recta tangente a una circunferencia? 27. ¿Qué es perímetro en geometría? 28. ¿Qué es una recta tangente a un circunferencia?29. ¿Qué es una recta Secante a una circunferencia?30. ¿Qué es el diámetro en una circunferencia?31. ¿Qué es un arco en una circunferencia?32. ¿En medida de ángulos que es un Radian?33. ¿Qué es una circunferencia unitaria?34. ¿Cuántos son los cuadrantes en el plano cartesiano?35. ¿Qué es una figura geométrica circunscrita en otra?36. ¿Qué es una figura geométrica inscrita en otra?