Unidad 7: Trminos PrimitivosResumenLos trminos o nociones primitivas son los conceptos que sirven para iniciar el desarrollo de una teora matemtica. De un modo intuitivo, podemos pensar que se trata de las palabras con las que se inicia una de esas teoras. La axiomatizacin de una teora requiere de un conjunto de nociones primitivas, es decir nociones no definidas y un grupo de axiomas que describen las propiedades mnimas que deben satisfacer las nociones primitivas. A partir de estos elementos, respetando las reglas de inferencia lgica, se deben deducir todas las otras proposiciones que constituyen la teora. Es deseable que los axiomas y nociones primitivas tengan un gran contenido intuitivo. Aqu encontrar los postulados y las definiciones bsicas de la geometra clsica tal como aparecen en el libro Elementos escrito por Euclides en el siglo III A. C. Considerando el tiempo en que fue escrito, muchos conceptos y axiomas no fueron explicitados con la rigurosidad que exige la lgica de hoy, y ms bien respondan, en algunos casos a la intuicin. Estos vacos lgicos fueron un motivo para que muchos matemticos se dedicaran a elaborar una presentacin axiomtica adecuada. Uno de tales intentos fue el desarrollado por David Hilbert (1862 1943) y del cual tambin, se enuncian los elementos bsicos.

Desarrollo del contenidoLos Elementos de Euclides es considerado uno de los libros ms influyentes de la historia de la ciencia. Cuenta Mostern [5] que desde la introduccin de la imprenta se han impreso ms de mil ediciones y ha sido usado como texto hasta comienzos del siglo XX. Por otra parte, se considera el inicio de un intento de presentacin formal de una teora. La presentacin de Euclides, comienza, en el Libro I, con cinco nociones comunes, cinco axiomas o postulados y 23 definiciones, ver [1]. A partir de esto deduce las 48 proposiciones que componen el Libro I. Pese a esta formalidad, desde el punto de vista lgico hay continuas mezclas entre lo estrictamente formal y lo intuitivo. Actualmente, la axiomatizacin de una teora requiere de un conjunto de nociones primitivas, es decir nociones no definidas y un grupo de axiomas que describen las propiedades mnimas que deben satisfacer las nociones primitivas. A partir de estos elementos, respetando las reglas de inferencia lgica, se deben deducir todas las otras proposiciones que constituyen la teora. Es deseable que los axiomas y nociones primitivas tengan un gran contenido intuitivo. Volviendo al problema de la geometra, las nociones de punto y recta son nociones primitivas, sin embargo Euclides las define dando una idea intuitiva. En cambio, Hilbert [2, 3], usa como nociones primitivas: punto, recta, plano, incidencia, estar entre y congruencia. El matemtico italiano Pieri, public en la misma poca de Hilbert, 1899, una axiomatizacin que usa slo dos nociones primitivas: punto y movimiento, [6]. Observando la presentacin de Hilbert podemos apreciar que no era tan simple axiomatizar la geometra euclidiana.

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CONCEPTOS ELEMENTALES DE GEOMETRA SEGN LA PRESENTACIN DE EUCLIDES Axiomas o Postulados 1. 2. 3. 4. 5. Trazar una lnea recta desde cualquier punto a cualquier otro punto. Prolongar a una lnea recta cualquier segmento rectilneo. Describir un crculo con cualquier centro y radio. Todos los ngulos rectos son iguales entre s Si una lnea recta que incide sobre dos lneas rectas dadas produce ngulos internos del mismo lado menores que dos rectas, entonces esas dos lneas rectas, prolongadas indefinidamente, se cruzarn por el lado en que los ngulos internos sean menores que dos rectas

El quinto postulado tiene otras formas equivalentes: 1. Dado un punto P y una recta L, el punto fuera de la recta, existe una nica paralela a la recta dada L que pasa por P. 2. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y slo una paralela a dicha recta. Nociones comunes (Axiomas de igualdad) 1. 2. 3. 4. 5. Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre s. Si a cosas iguales se aaden otras iguales, los resultados son iguales. Si de cosas iguales se extraen iguales, los resultados son iguales. Cosas que coinciden una con la otra son iguales. El todo es mayor que sus partes.

Definiciones bsicas (Libro I) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. Punto es lo que no tiene partes. Lnea es lo que tiene longitud y no ancho. Los extremos de una lnea son puntos. Una lnea recta es una lnea tal que dados 2 puntos de ella, el segmento determinado por ella est contenido en la recta. Una superficie es lo que tiene ancho y largo solamente. Los extremos de una superficie son lneas. Una superficie plana es una superficie que contiene a todas sus rectas. Un ngulo plano es la inclinacin de una recta respecto a otra en un plano, las rectas se cortan y no coinciden. Cuando las rectas que forman (contienen) el ngulo son rectas, el ngulo se llama rectilneo. Cuando una recta levantada sobre otra forma ngulos adyacentes iguales, cada ngulo es recto, y la lnea recta levantada se llama perpendicular a la recta sobre la cual se levant. Un ngulo obtuso es un ngulo mayor que un ngulo recto. Un ngulo agudo es un ngulo menor que un ngulo recto. Frontera es el extremo de alguna cosa. Una figura es lo que est contenido por una frontera o varias. Un crculo es una figura plana contenida por una lnea tal que todas las rectas (segmentos) que van desde esta lnea hasta un punto dentro de la figura son iguales entre ellas. El punto en el interior se llama centro del crculo. El dimetro de un crculo es cualquier segmento rectilneo que pasa por el centro y esta limitado por puntos de la circunferencia del crculo. Tal segmento corta al crculo en dos.

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18. Un semicrculo es la figura comprendida por el dimetro y la circunferencia cortada por l. 19. Figuras rectilneas son aquellas que estn contenidas por lneas rectas. Trilteras se llaman aquellas contenidas por tres lneas rectas, cuadrilteras las contenidas por cuatro y multilteras aquellas contenidas por ms de 4 lneas rectas. 20. Entre las figuras trilteras, un tringulo equiltero es el que tiene sus tres lados iguales, un tringulo issceles es el que tiene solamente 2 lados iguales y tringulo escaleno es el que tiene sus tres lados distintos. 21. Entre las figuras trilteras, un tringulo rectngulo es el que tiene un ngulo recto, un tringulo obtusngulo es el que tiene un ngulo obtuso, y un tringulo agudngulo (acutngulo) es el que tiene sus tres ngulos agudos. 22. Entre las figuras cuadrilteras, un cuadrado es el que tiene sus lados iguales y sus ngulos rectos. Un rectngulo (oblongo) es el que tiene sus ngulos rectos, pero no es equiltero. Un rombo es una figura equiltera, pero no tiene ngulos rectos y un romboide es el que tiene sus lados y ngulos opuestos iguales, pero no es equiltero ni rectngulo. Todos los otros cuadrilteros se llaman trapecios. 23. Son rectas paralelas las que, estando en el mismo plano y prolongadas indefinidamente en ambas direcciones no se encuentran. PRESENTACIN AXIOMTICA DE HILBERT Nociones primitivas : punto, recta, plano. Relaciones entre estos elementos: incidencia, estar entre, igual ( congruencia). Axiomas: En esta presentacin los axiomas estn agrupados segn su naturaleza, en cinco grupos. I.Axiomas de incidencia. II.Axiomas de orden. III.Axiomas de congruencia. IV.Axioma de las paralelas. V.Axiomas de continuidad. Axiomas de incidencia Se utilizarn como sinnimos : 1. La recta L y el punto P son incidentes 2. p L 3. La recta L pasa por P 4. La recta L contiene al punto P

I1: Dos puntos pertenecen al menos a una recta. I2: Dos puntos cualesquiera pertenecen a una lnea recta. I3: Tres puntos que no pertenecen a una misma recta pertenecen al menos a un plano. I4: Tres puntos no colineales determinan un nico plano. I5: Si dos puntos de una recta pertenecen a un plano, todos los puntos de la recta pertenecen a un mismo plano. 6: Si un punto pertenece a dos planos, existe al menos otro punto que pertenece a los dos planos. 7: Existen al menos cuatro puntos que no pertenecen a un mismo plano. Nota: I1 es un axioma lineal. I2, I3 son axiomas del plano y los axiomas I4 a I7 se refieren al espacio. En particular, I6 implica que el espacio tiene a lo ms 3 dimensiones y I7 implica que el espacio tiene al menos 3 dimensiones. Axiomas de orden (palabra clave entre)

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II.1: Si A,B,C son puntos de una recta y si B est entre A y C, entonces B est entre C y A. II.2: Si A,B,C son tres puntos diferentes de una recta, uno y slo uno de ellos est entre los otros dos. Recprocamente: S uno de los rdenes: ABC, BCA, CAB es vlido para los puntos A, B, C en una recta, entonces A, B, C son diferentes entre ellos. A, B y C en una recta, entonces A, B y C son diferentes entre ellos. II.2.a Si A, B , C y D son puntos de una recta para la cual los rdenes ABC y BCD son vlidos, se sigue que ABD es tambin vlido. II.2.b. Si A, B , C y D son puntos de una recta para los cuales los rdenes ABC y ABD son vlidos, entonces el orden BCD o BDC es vlido.

II. 3: Si A y B son diferentes de la recta L, existe un punto vlido.

D L , para el cual el orden ABD es C L para la cual el orden ACB

II. c: Si A y B son puntos diferentes de la recta L, existe un punto es vlido. III. Axiomas de Congruencia.

Existen ciertas relaciones entre segmentos que se expresan mediante la palabra igual o congruente y que posee las siguientes propiedades. Axioma III-1 Igualdad de segmentos: Todo segmento

AB es igual a si mismo: AB = AB y AB = BA . Si AB es igual A' B ' , entonces A' B' es igual a AB . Si AB es igual A' B' y A' B' es igual a A' ' B ' ' , entonces AB es igual a A' ' B ' ' . AB = A' B '

Axioma III-2 Si A y B son puntos en una recta L y A es un punto en la recta L, entonces siempre es posible encontrar sobre la recta L, a uno u otro lado de A un nico punto B tal que Axioma III-3 Si los segmentos

AB y BC sobre la recta L no tienen puntos comunes, y si A' B' y

B 'C ' sobre la recta L no tienen puntos comunes, entonces se cumple que las igualdades AB = A' B ' y BC = B 'C ' implican que AC = A'C ' .

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Definicin: Sea P un plano y h,k dos semirrayos diferentes que parten de un punto O en P y que pertenecen a rectas distintas. El sistema de estos semirrayos se llama ngulo y se designa con el smbolo (h,k) o (k,h). Los semirrayos se llaman lados del ngulo y el punto O se llama vrtice del ngulo. Se llama interior del ngulo la regin del plano tal que al unir dos puntos cualesquiera de ella el segmento queda totalmente contenido en ella. Axioma III-4 Dado un (h,k) en un plano P y una recta L en un plano P en el cual se fija un lado de L y h es un semirrayo de la recta L que parte de un punto O. Entonces, existe un nico semirrayo k de modo que el (hk) sea congruente con el (h,k) tal que los puntos interiores de (hk) se encuentren en el lado de L. En smbolos:

(h,k) = (h,k).Todo ngulo es congruente consigo mismo. Axioma III-5 Si el (h,k) es congruente con el (hk) y el (hk), entonces el (h,k) es congruente con el (hk).

(hk) es congruente con el = A'C ' ACB

Axioma III-6 Si para los tringulos ABC y ABC valen las congruencias AB = A' B ' , AC y BAC = BAC, entonces tambin se tienen las congruencias ABC = ABC y = ACB. IV. Axioma de paralelismo

En un plano P por un punto A fuera de una recta L se puede trazar una y slo una recta que no corte a la recta L. Tal recta se llama la paralela con la recta L por el punto P. VI.Axioma de continuidad (axioma de Arqumedes) Dados dos puntos A y B sobre una recta L, siempre es posible construir una sucesin de puntos

A1 , A2 ,... An tales que: A1 est entre A y B, A2 entre A1 y B, A3 entre A2 y B, etc, donde Ai Ai 1 son segmentos iguales y An esta entre An 1 y B.

Textos consultados: 1. T. L. Heath: The thirteen books of Euclids Elements. Dover.N.Y. ,1956. 2. D. Hilbert: Grundlagen der Geometrie. Teubner Studienbcher Mathematik, 1972. Stuttgart,

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3. B. Kerkjrt: Les Fondements de la Gomtrie. Tome 1. Gauthier-Villars, Paris , 1969. 4. A. M. Legendre et M .A. Blanchet : lments de Gomtrie. Librairie des Firmin Didot Frres. Paris, 1866. 5. J. Mostern : Historia de la filosofa. Vol 5. Alianza Editorial, Madrid, 1985. 6. P. Suppes : Introduction to Logic. Van Nostrand Reinhold Company, 1969.

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