Conceitos primitivos

Geometria de Posição

Professora Rosana QuirinoProfessora Rosana Quirino

Entes Primitivos:não podem ser definidos.

A

Ponto:

r

Reta:

Plano:

sem dimensão 1

dimensão2

dimensões

Postulado:propriedade que não possui demonstração.

Teorema:propriedade que possui demonstração.

Conceitos primitivos

A partir do mundo real, matemáticos da antiguidade, como Euclides (séc. III a.C.) estabeleceram entes com os quais construíram a geometria. Três desses entes destacam-se por serem conhecidos intuitivamente. São eles: o ponto, o ponto, a reta e o plano.a reta e o plano.

O PontoO PontoOlhando-se a noite para um céu

estrelado vêem-se as estrelas, que, intuitivamente, podem ser consideradas pontos. Em geometria, o ponto, elemento concebido sem dimensão, massa nem volume, é uma noção primitiva.

A RetaA RetaSuponha agora que fosse possível

esticar, indefinidamente e nos dois sentidos, um fio de elástico. Em nossa imaginação, e apenas nela, visualizaríamos o que chamamos de retareta.. Em geometria, o conceito de reta – concebido intuitivamente – também é uma noção primitiva.

O PlanoO PlanoConsidere o tampo liso de uma mesa,

sem nenhum tipo de fresta ou ondulação. Esse tampo possibilitaria a visualização concreta de um planoplano. Entretanto, o conceito geométrico de plano implica que, por intuição, ele seja entendido ilimitadamente em todas as direções. Plano é uma noção primitiva.

Representando os conceitos de modo geométrico, temos, então:

A

ponto r

retaα

plano

A proposição usada por Hilbert (1862 – 1943), e normalmente adotada por nós, é a seguinte:

• Os pontos são indicados por letras maiúsculas (A, B, C etc.).

• As retas são indicadas por letras minúsculas (r, s, t etc.).

• Os planos são indicados por letras gregas (α,β,γ etc.).

Posições primitivas, postulados ou axiomas.Posições primitivas, postulados ou axiomas.

Postulados da existência

P1 – Existem infinitos pontos

P2 – Em uma reta e fora dela existem infinitos pontos

A C E

DB

F

P3 – Em um plano e fora dele existem infinitos pontos

α

A

BC

E

F

D

r

Postulados da determinação

P4 – Dois pontos distintos determinam uma única reta r

A

B

P5 – Três pontos não-colineares determinam um único plano

α

A B

C

Postulado da inclusão

P6 – Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, a reta está contida (está inclusa) nesse plano

α

rA

B

A α B α

A r

A r

r α∩

Postulados da separação

P7 – Postulado da separação da reta : todo ponto de uma reta, separa-a em duas partes às quais ela pertence.

A BO r

OA e OB são semi-retas opostas de origem O.

P8 – Postulado da separação : toda reta de um plano separa-o em duas partes na quais ela está contida; qualquer segmento de reta com um extremo em cada parte e nenhuma nesta reta de separação intercepta-a em um único ponto.

α1 α2

r

OA B

α

α1 e α 2 são semi

- planos opostos de α.

P9 – Postulado da separação :Todo plano separa o espaço em duas partes nas quais ele está contido; qualquer segmento de reta com um extremo em cada parte e nenhum nesse plano de separação intercepta-o em um único ponto.

α

E1

E2

A

B

O

E1 e E2 são semi-espaços opostos de origem α

AB

Posições relativas entre duas retasPosições relativas entre duas retas

Consideremos duas retas, r e s, do espaço. Elas podem ser:

se todos os pontos de uma são pontos da outra.

• Coincidentes:Coincidentes:

rs

Indicamos:

r = s

• Paralelas:Paralelas:se estão contidas no mesmo plano (coplanares) e não têm ponto comum.

α

r

s

Indicamos:

r//s

r//s ↔

r α

s α

r ∩ s = ø

∩∩

• Concorrentes:Concorrentes:

Se tem um único ponto em comum.

r

s

Indicamos:

r x s

r x s ↔ r s = {P}

∩

• Reversas (ou não Reversas (ou não coplanares):coplanares):

Se não existe plano que as contenha simultaneamente.

α

A

B

r

OBS: No espaço, o fato de duas retas não serem paralelas não significa necessariamente que elas sejam concorrentes, como acontece no plano. Duas retas reversas não são paralelas nem concorrentes.

Observação:

1.Se duas retas são concorrentes e formam um ângulo de 90º, dizemos que elas são perpendiculares.

Indicamos:

rs

r s

2. Se duas retas são reversas e formam um ângulo de 90º, dizemos que elas são ortogonais.

α

A

B

r

s

Indicamos:

r s

Determinação de planosDeterminação de planos

Existem quatro maneiras pelas quais um plano fica determinado:

• Por três pontos não-colineares (postulado 5):Por três pontos não-colineares (postulado 5):

α

A B

C

• Por um ponto P e uma reta r, de modo que P Por um ponto P e uma reta r, de modo que P r: r:

α

P B

C De fato, se considerarmos os pontos distintos B e C de r, teremos três pontos B, C e P não-colineares e, pelo P5 eles determinam um plano.

• Por duas retas concorrentes:Por duas retas concorrentes:

αs

r

De fato, se considerarmos os pontos distintos A e B de modo que A P, A r, B P, B s, temos que, pelo P5, os pontos A, B e P determinam um plano

A

B

• Por duas retas paralelas:Por duas retas paralelas:

α

r

sA

B

C De fato, se considerarmos os pontos distintos A, B e C de modo que A r, B r e C s, temos que, pelo P5, esses três pontos determinam um plano.

Posições relativas entre uma retaPosições relativas entre uma reta e um plano e um plano

Consideremos uma reta e um plano α. Podem ocorrer três casos:

Todos os pontos de r são pontos de αα . .

• 1º Caso: r contida em 1º Caso: r contida em αα

α

r

r α r ∩ α = r ∩

• 2º Caso: r paralela a 2º Caso: r paralela a αα

r e αα não têm ponto em comumnão têm ponto em comum

α

r // α ↔ r ∩ α =

r

É válido o seguinte teorema:

Uma reta r e um plano α são paralelos se, e somente se, existe uma reta s contida em α, de modo que r e s sejam paralelas.

α

r

s

• 3º Caso: r concorrente 3º Caso: r concorrente com com αα r e αα têm um único ponto em comumtêm um único ponto em comum . .

Indicamos: r xIndicamos: r x αα

α P

r x α ↔ r ∩ α = {P}

Se r for perpendicular a todas as retas de α que passam por P, então dizemos que r é perpendicular a α

Indicamos:

r s

α

r

P

Para o 3º caso é válido o seguinte teorema:Para o 3º caso é válido o seguinte teorema:

Uma reta r concorrente com um plano α em P é perpendicular a α se, e somente se, existem duas retas, s e t, contidas em α, e passando por P, de modo que r seja perpendicular a ambas.

α

r

P

s