Delineating efficient portfolios

تحديد المحافظ الفّع�الة

In this chapter we look at the risk and return characteristics of combinations of securities in more detail. We start off with a reexamination of the attributes of combinations of tow risky assets. In doing so we emphasize a geometric interpretation of assets combinations. It is a short step from the analysis of combination of tow or more risky assets to the analysis of combinations of all possible risky assets. After making this step we can delineate that subset of portfolios that will be preferred by all investors who exhibit risk avoidance and who prefer more return to less. This set usually called the efficient set or efficient frontier. Its shape will differ according to the assumptions that are made with respect to lend and borrow funds. Alternative assumptions about short sales and lending and borrowing are examined.

خ"""اطرة و الّعائ"""دفي ه"""ذا الفص"""ل نلقي نظ"""رة على م"""يزات الم لمجموعات من األس""هم بتفص""يل أك""ثر. نب""دأ م""ع مراجّع""ة الص""فات المميزة لمزيج من أصول خطرة. و نقوم بالتفسير الهندسي لم""زيج من األص""ول. و هي خط""وة بس""يطة في تحلي""ل مجموع""ة مكون""ة أص""لين أو أك""ثر من األص""ول الخط""رة لتحلي""ل ال""تراكيب الخط""رةQحد�د تلك المجموع""ة Sن ن الممكنة. و بّعد القيام بهذه الخطوة يمكTن أQفضل مTن قبل كل المستثمرين الذين يفضلون ت Sمن المحافظ التي س

Sو ت""دعىتجنب المخ""اطر و عائ""د أك""بر. ع""ادة بالمجموع""ة الفّع�ال""ة أبالحد الكفؤ

1

COMBINATIONS OF TOW RISKY ASSETS REVISITED

SHORT SALES NOT ALLOWED

مزيج من أصول خط""رة )ال""بيع على المكش""وف غ""يرمسموح به(

تذكر من الفصل الرابع بأن الّعائد المتوقع على محفظ""ة مكون""ة منأصلين تّعطى بالّعالقة :

RP=X AR A+X BRB (5.1)

Where

X A is the fraction of the portfolio held in asset AX B is the fraction of the portfolio held in asset BRP is expected return on the portfolio

RA is expected return on the asset ARB is expected return on the asset B

حيث :

:X A ألصل ضمن ا الجزء من المحفظةaX Bالجزء من المحفظة ضمن األصل :b

RP الّعائد المتوقع على المحفظة :

RA : الّعائد المتوقع على األصلa

RB :الّعائد المتوقع على األصلb

In addition, since we require the investor to be fully invested, the fraction she invests in A plus the fraction she invests in B must equal one, or

نتطلب من المس""تثمر ب""أن يوظ""ف كاف""ة أموال""ه,ن""اباإلضافة بم""ا أن يجب ان يساويBالذي يستثمر في و Aالجزء الذي يستثمر في

الواحد أو

2

X A + X B = 1

We can rewrite this expression as

نستطيع أن نكتب هذا التّعبير بالشكل

X B = 1 - X A (5.2)

Substituting equation (5.2) into equation (5.1), we can express the expected return on a portfolio of tow assets

نس""تطيع أن نّع""بر عن الّعائ""د5.1 بالمّعادل""ة 5.2بتّع""ويض المّعادل""ة المتوقع للمحفظة مكونة من أصلين بالّعالقة :

RP=X AR A+¿ (1 - X A)RB

Notice that expected return on the portfolio is a simple-weighted average of the expected returns on the individual securities, and that weights add to one. The same is not necessarily true of the risk (standard deviation of return) of the portfolio. In chapter 4 the standard deviation of the return on the portfolio was shown to be equal to

σ P=(X A2 σ A

2 +XB2 σ B

2 +2 X A X Bσ AB)1/2

Where

σ P is the standard deviation of the return on the portfolio

σ A2 is the variance of the return on security Aσ B

2 is the variance of the return on security Bσ AB is the covariance between the returns on security A and security B

المتوسط المرجح للّعائدنالحظ بأن الّعائد المتوقع للمحفظة هو وهذا ليس بالضرورة أن يكون صحيحالمتوقع لألوراق المالية،

بالنسبة للخطر )االنحراف المّعياري عن الّعائد( لمحافظ األوراق االنحراف المّعياري للّعائد في محافظ األوراق4المالية. في الفصل

المالية الذي ثبت انه يساوى :

σ P=(X A2 σ A

2 +XB2 σ B

2 +2 X A X Bσ AB)1/2

σاالنحراف المّعياري للّعائد على المحفظة : حيث : P

3

σ AA :التباين للّعائد على األصل 2

σ B B :التباين للّعائد على األصل 2

σ ABالتغاير بين عائد السهمين: A,B

If we substitute Equation (5.2) into this expression, we obtain

( في هذا التّعبيرT، نحصل على :5.2إذا عوضنا المّعادلة )

σ P=[X A2 σ a

2+(1– X A )2σB2 +2 X A ( 1– X A )σ AB]

1/2 (5.3)

Recalling that σ AB=ρABσ A σB where ρAB is the correlation between securities A and B, then equation (5.3) becomes

Sذ�كير بأن σت AB=ρABσ A σB حيث ρAB هو مّعامل األرتباط بين السهمين A :5.3 فتصبح المّعادلة Bو

σ P=[X A2 σ a

2+(1– X A )2σB2 +2 X A ( 1– X A )ρABσ Aσ B]

1/2 (5.4)

The standard deviation of the portfolios is not, in general, a simple-weighted average of the standard deviation of each security. In order to learn more about this relationship, we now study some specific cases involving different degrees of co-movement between securities.

االنحراف المّعياري لمحافظ األوراق المالية في الغالب ليس المتوسط المرجح لكل سهم في هذه المحفظة . لكي نتّعلم أكثر حول هذه الّعالقة، سوف نقوم بدراسة بّعض الحاالت بين األوراق

المالية

We know that a correlation coefficient has maximum value of +1 and minimum value of -1. A value of +1 means that two securities will always move in perfect unison, while a value -1 means that their movements are exactly opposite to each other. We start with an examination of these extreme cases; then we turn to an examination of some intermediate values for the correlation coefficients. As an aid interpreting results, we examine a specific example as well as general expressions for risk and return. For the example we consider two stocks: a large manufacturer of automobiles (“colonel motors”) and an electric utility company operating in a large eastern city (“separated Edison”). Assume the stocks have the following characteristics

+ Qه حد أقصى للقيمةS وحد أدنى للقيمة1نّعرف بأن مّعامل إرتباط ل� بانس""جام1. القيمة +1- Sّعني بأن هناك س""همان س""يتحركان دائم""ا ت

�.1مثالي، بينما القيمة - Sهما ستكون متّعاكس""ة تمام""ا تّعني بأن حركاتطة ف""ة؛ ثم� ننتق""ل للقيم المتوس""� سوف نبدأ باختب""ار الح""االتT المتطر�. و كتفسير مساعد نختبر المثال التالي : نفترض Sلمّعامالت اإلرتباط

4

Colonelس""همان: ش""ركة الس""يارات " أن""ه ل""دينا Motorش""ركة " SهاSeparated Edisonتشغيل مرافق الكهرباء" " إفترض� أن األسهمS ل

Qالتالية Qالخصائُص

Expected return Standard deviation

Colonel Motors 14% 6%

Separated Edison 8% 3%

As you might suspect, the car manufacturer has a bigger expected return and a bigger risk than the eclectic utility

كما ترى إن شركة الس""يارات له""ا عائ""د أك""بر و مخ""اطرة أك""بر منشركة الكهرباء

Case 1-perfect positive correlation )ρ =+1(

(:ρ =+1الحالة األولى – حالة االرتباط الموجب التام )Let the subscript C stand for Colonel Motors and the subscript S stand for separated Edison. If the correlation coefficient is +1, then the equation for the risk on the portfolio, Equation (5.4) simplifies

Colonelس""وف نرم""ز لش""ركة Motors ب""الرمز cو نرم""ز لش""ركة separated Edison بالرمز s+ فإن خطر1 . إذا كان مّعامل األرتباط

المحفظة يّعطى بالّعالقة :

σ P=[Xc2σc

2+(1 – X c)2σ s

2+2 X c (1 – X c)σ cσ s]1 /2 (5.5)

Note that the term in square brackets has the form X2 +2 XY +Y 2 and, thus .can be written as

الحظ أن الّعالقة لها شكل مّعادلة من الدرجة الثانية ل""ذلك يمكن انتكتب كما يلي :

[X ¿¿c σc+(1 – X c)σ s]2 ¿

Since the standard deviation of the portfolio is equal to the positive square root of this expression, we know that

5

بماأن االنحراف المّعياري للمحفظة مس""اوي للج""ذر ال""تربيّعي له""ذاالتّعبير

σ P=Xc σc+ (1– Xc )σ s

While the expected return on the portfolio is

بينما الّعائد المتوقع للمحفظة :

RP=X cRc+(1 – X c) R s

Correlation coefficient equal to +1, both risk and return of portfolio is simply linear combinations of the risk and return of each security. We now illustrate that this true for the stocks in our example. For the two stocks under study

، كل من الخطر و الّعائد للمحفظ""ة هي1مّعاملT اإلرتباط يساوي + وس""وف خطي""ة للخط""ر و الّعائ""د لك""ل س""هم من األس""هم.تركيب""ات

نوض""ح ه""ذه الحقيق""ة بمثالن""ا . ألج""ل األس""هم مح""ل الدراس""ة ل""ديناالجدول التالي :

Table 5.1 the expected return and standard deviation of a portfolio of Colonel Motors and Separated Edison when ρ =+1

الّعائد المتوقع و االنحراف المّعياري للمحفظة عندما5.1الجدول ρ =+1:

X c 0 0.2 0.4 0.5 0.6 0.8 1.0

RP 8.0 9.2 10.4 11 11.6 12.8 14.0

σ P 3.0 3.6 4.2 4.5 4.8 5.4 6.0

RP=X c14+8 (1– Xc )= 8+ 6X c

σ P=Xc6+3 (1– Xc )= 3 + 3X c

Table 5.1 presents the return on a portfolio for selected values of X cand figure 5.1 presents a graph of this relationship. Note that the relationship is a straight line. The equation of the straight line could easily be derived as follows. Utilizing the equation presented above for σ Pto solve for X c yields

X يظهر الّعائ""د على المحفظ""ة للقيم""ة 5.1الجدول c 5.1 و الش""كل يظهر رسم بياني لهذه الّعالق""ة .نالح""ظ أن الّعالق""ة هي عالق""ة خ""ط

6

مستقيم .مّعادلة الخط المستقيم تستنتج كما يلي . باالس""تفادة منXالمّعادلة أعاله اليجاد c بداللة σ P:

X c=σP3

−1

Substituting this expression for X cinto the equation for RPand rearranging yields

بتّعويض هذا التّعبير بالمّعادلة و إعادة ترتيب المّعادلة تصبح :

RP=2 + 2σ P

Figure 5.1 relationship between expected return and standard deviation when ρ =+1

ρ 1عندما = +الّعالقة بين الّعائد المتوق�عT واإلنحراف المّعياري

In the case of perfectly correlated assets, the return and risk on the portfolio of the two assets is a weighted average of the return and risk on the individual assets. There is no reduction in risk from purchasing both assets. This can be seen by examining connecting the two assets. Nothing has been gained by diversifying rather than purchasing the individual assets.

في حال""ة األرتب""اط الت""ام بين األص""ول .الّعائ""د و المخ""اطرة على المحفظ""ة لألص""ول ه""و المتوس""ط الم""رجح للّعائ""د و الخط""ر على األصول .ليس هناك تخفيض للخطر من ش""راء كال األص""لين . و ه""ذاQرى باختبار االرتباط بين األصول. ال شيء تم اكتس""ابه من يمكن أن ي

التنويع سوى شراء المزيد من األصول

7

Case 2-perfect negative correlation )ρ =-1(

تام – سالب االرتباط الثانية :ρ =-1 الحالة

We know examine the other extreme: tow assets that move perfectly together but in exactly opposite directions. In this case the standard deviation of the portfolio is [from equation (5.4) with ρ =-1]

. : هذه في متّعاكسين باتجاهين لكن و � مّعا يتحركان أصالن األخرى المتطرفة الحالة نختبر سوفللمحفظة : المّعياري االنحراف إن الحالة

σ P=[Xc2σc

2+(1 – X c)2σ s

2−2 Xc (1 – Xc )σc σs]1 /2 (5.6)

Once again the equation for standard deviation can be simplified. The term in the brackets is equivalent to either of the following two expressions:

مّعاد بتبسيط نقوم أخرى . لمرة المّعياري االنحراف من ة ألي مكافئة األقواس في التّعبير إن�التاليين : التّعبيرين

[X ¿¿c σc−(1 – Xc )σs]2¿

Or

[−X ¿¿c σc+(1 – X c) σs]2 ¿ (5.7)

Thus σ p is either

σ p=Xc σc−( 1– Xc )σ s

Or

σ p=−X cσ c+(1 – Xc )σ s (5.8)

Since we took the square root to obtain an expression for σ p and since the square root of negative number is imaginary, either of the above equations holds only when its right-hand side is positive. A further examination shows the right-hand side of one equation is simply -1 times

8

the other. Thus, each equation is valid only when the right-hand side is positive. Since one is always positive when the other is negative (except when both equations equal zero), there is a unique solution for the return and risk of any combination of securities C and S. these equations are very similar to the ones we obtained when we had a correlation of the +1. Each also plots as a straight line when σ p is plotted againstX c. Thus, one would suspect that an examination of the return on the portfolio of two assets as a function of the standard deviation would yield two straight lines, one for each expression for σ p .as we observe in a moment, this is , in Fact, the case .

σبما أننا أخذنا الجذر التربيّعي للحصول على التّعبير ل" pو بما الجذر أي من المّع""ادالت أعاله ه""و محتم""ل ,التربيّعي لّعدد سلبي مستحيل

فقط عندما يكون الجانب األيمن موجب.وهناك اختبار آخر يظهر بأن . وهك""ذا ف""إن ك""ل1الجانب األيمن للمّعادلة هو ببس""اطة مس""او¥TT ل" -

مّعادل""ة هي ممكن""ة م""ا دام الج""انب األيمن م""وجب.و بم""ا أن أح""د� )إال في حال""ة كال � و اآلخر س""الب دوم""ا طرفي المّعادلة موجب دوما المّعادلتين مساو¥T للصفر( فهناك حل فريد لكل من الّعائ""د و الخط""ر

.هذه المّعادالت مشابهة بش""كل كب""يرs و cألي مزيج من السهمين .كل مخطط1لتلك التي حصلنا عليها عندما كان مّعامل االرتباط +

σبمثابة خط مستقيم عندما يرسم pبّعكس X c يّعتق"د .و هكذا فسوف اختبار الّعائ""د لمحفظ""ة مكون""ة من أص""لين كوظيف""ة لالنح""راف بأن

المّعياريسوف ينتج خطان مستقيمان.خط مستقيم لكل تّعبير بدالل""ةσ pكما نالحظ هذه هي القضية في الواقع.

The value of σ p for equation (5.7) or (5.8) is always smaller than the value of σ p for the case where ρ =+1[Equation (5.5)] for all values of X c between 0 and 1.thus the risk on portfolio of assets is always smaller when the correlation coefficient is -1 when it is+1.we can go one step further. If two securities are perfectly negatively correlated (i.e., they move in exactly opposite directions), it should always be possible to find some combination of these two securities that has zero risk. By setting either Equation (5.7) or (5.8) equal to 0, we find that a portfolio with X c=σ s/ (σ s+σ c) will have zero risk. Since σ s>0 andσ s+σ c>σ s, this implies that 0 <X c<¿1 or that zero risk portfolio will always involve positive investment in both securities.

σقيمة p دوم""ا تك""ون أص""غر من قيم""ة 5.8 أو 5.7 في المّعادلتين σ p X( بالنسبة لجميع القيم ل" 5.5 )المّعادلة ρ =+1حيث c 0 الواقّعة بين

.اذا ك""ان ل""دينا س""همان بينهم""ا ارتب""اط س""الب ت""ام فإن""ه من1و المحتمل إيجاد بّعض المجموع""ات من األس""هم ال""تي ال تحت""وي على

للص"""فر س"""نجد أن5.8 أو 5.7خط"""ر.بمس"""اواة أي المّع"""ادلتين Xالمحفظة لقيمة c=σ s( /σ s+σ cستكون خالية من الخطر .و بم""ا أن )

σ s>0 و σ s+σ c>σ s 0 فإن ذلك ي""دل على أن< X c<¿1أو أن المحفظ""ة � استثمار موجب لكال السهمين. خالية الخطر ستتضمن دوما

9

Now let us return to our example. Minimum risk occurs X c= 3/ (3+6) = 13

. Further more, for the

case of perfect negative correlation,

Xبالّعودة لمثالنا .يظهر لدينا أن الخطر األصغر c =3( /3+6 = )13

.و بشكل أكبر وبحالة االرتباط السالب التام

RP= 8 + 6X c

σ p=6 X c−3 ( 1– Xc )

Or

σ p=−6 X c+3 (1 – Xc )

There are two equations relating σ p to X c . Only one is appropriate for any value ofX c.the appropriate equation to define σ p for any value of X cis that equation for which σ p≥0.note that if σ p>0 from one equation, then σ p<0for the other. Table (5.2) presents the return on the portfolio of X c and figure (5.2) presents graph of this relationship.

σيوجد هناك مّعادلتان ل" p بداللة X c"واحدة منهما مالئمة ألي قيمة ل. X c المّعادلة المالئمة لتحيد قيمة . σ p "من أجل أي قيمة ل X cو التي

σتجّعل p≥0 نالحظ أنه إذا كان.σ p>0في احدى المّعادلتين فسيكون σ p<0 يظهر الّعائد على المحفظة5.2 في المّعادلة األخرى.الجدول

Xللقيم المختارة ل" c يظهر الرسم البياني لهذه5.2 و الشكل الّعالقة

Notice that combination of the two securities exists that provides a portfolio with zero risk employing the formula developed before for the composition of the zero risk portfolios.X c Equal 3/ (3+6) or 1/3 we can see this is correct from figure 5.2 or by substituting 1/3 for X c in the equation for portfolio risk given previously. We have once again demonstrated the most powerful result of diversification: the ability of combinations of securities to reduce risk. In fact it is not uncommon for combination of two securities to have less risk than either asset in the combination.

مالحظة إن مجموعة من أصلين ي""زود المحفظ""ة خالي""ة من الخط""رXبتوظيف الصيغة المط""ورة قب""ل ت""ركيب المحفظ""ة خالي""ة الخط""ر c

3/1 أو بتّع""ويض 5.2 نستطيع أن نرى ذلك من الشكل 3/1تساوي Xبقيمة cأثبتن"ا م"رة أخ"رى.� في مّعادل"ة خط"ر المحفظ"ة المّعط"اة س"ابقا

أن النتيج""ة األق""وى للتنوي""ع : ق""درة تركيب""ة االس""هم على تقلي""ل الخطر .في الحقيقة من الشائع لتركيبة من أص""لين أن يك""ون ل""ديها

خطر أقل من األصول التي في هذه التركيبة.

10

We have now examined combinations of risky assets for perfect positive and prefect negative correlation. In figure 5.3 we have plotted both of these relationships on the same graph. From this graph we should be able to see intuitively where portfolios of these two stocks should lie if correlation coefficient took on intermediate values. From the expression for the standard deviation [Equation (5.4)] we see that for any value between 0 and 1 the lower correlation the lower is the standard deviation of the portfolio. The standard deviation reaches its lowest value for ρ =-1 (curve SBC) and its highest value for ρ =+1 (curve SAC). Therefore, these two curves should represent the limits within which all portfolios of these two securities must lie for intermediate values of the correlation coefficient. We would speculate that an intermediate correlation might produce a curve such as SOC in figure 5.3. We demonstrate this by returning to our example and constructing the relationship between risk and return for portfolios of our two securities when correlation coefficient is assumed to be 0 and +0.5.

بّعد أن قمنا باختبار بّعض المجموعات من األصول الخطرة في حالة يوضح5.3االرتباط التام الموجب واالرتباط التام السالب.و الشكل

كال الّعالقتين. من الرسم البياني و بشكل حدسي نحن ق""ادرين على أن نرى أين يجب أن تتوضع المحافظ إذا أخ""ذ مّعام""ل االرتب""اط قيم

و من5.4متوسطة.من المّعادلة التي تّعبر عن االنحراف المّعي""اري يمكن أن ن"""رى أن االرتب"""اط االدنى ه"""و1 و 0أج"""ل أي قيم بين

اإلنحراف المّعياري يبلغ أدنى قيمة له االنحراف المّعياري للمحفظة.ρعن""د ρ(و فيمت""ه و أعلى قيم""ة ل""ه عن""د SBC )المنح""نى 1-= =+1

(. و لهذا ف"إن ه"ذان المنحني"ان يجب أن يمثال الح"دودSAC)المنحنى التي يجب أن تتوض""ع عليه""ا المحاف""ظ من أج""ل القيم المتوس""طة لمّعمل األرتباط.سوف نتصور أن مّعام""ل االرتب""اط المتوس""ط يمكن

, سوف نثبت هذا ب""الّعودة5.3في الشكل SOCأن يّعطي منحنى ك" إلى مثالنا و انشاء عالقة بين الخطر و الّعائد للمحافظ عن"دما يك"ون

0.5 و 0مّعامل االرتباط بين

Table 5.2 the expected return and standard deviation of portfolio of Colonel Motors and Separated Edison when ρ =-1

الّعائد المتوق""ع و االنح""راف المّعي""اري للمحفظ""ة ال""تي5.2الجدول ρ =-1لدينا عندما

X c 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

RP 8 9.2 10.4 11.6 12.8 14.0

σ P 3 1.2 0.6 2.4 4.2 6.0

11

8

Figure 5.2 relationship between expected return and standard deviation when ρ =-1

الّعالقة بين الّعائد المتوق�ع واإلنحراف المّعياري عندما5.2الشكل ρ =-1

Figure 5.3 relationships between expected return and standard deviation for various correlation

Coefficients

الّعالقة بين الّعائد المتوق�ع واإلنحراف المّعياري5.3الشكل لمّعامالت ارتباط مختلفة

12

Case 3-no relationship between returns on Assets )ρ =0(:

األصول 3الحالة على الّعوائد بين عالقة هناك ( :ρ =0)ليس

The expression for return on the portfolio remains unchanged; but nothing that the covariance term drops out, the expression for standard deviation becomes

عالقة الّعائد على المحفظة تبقى دون تغيير . لكن ال شيء في بندالتغاير ينخفض و تّعبير االنحراف المّعياري يصبح:

σ P=[Xc2σc

2+(1 – X c)2σ s

2]1/2

For our example this yields

و في مثالنا ينتج لدينا :σ P=[(6)2 Xc

2+(3)2 (1– X c)2]1 /2

σ P=[45 X c2−18 Xc+9]1 /2

Table 5.3 presents the returns and standard deviation on the portfolio of colonel motors and Separated Edison for selected values ofX c.

يظهر لنا الّعائد و االنحراف المّعياري للمحفظة من5.3الجدول أجل القيم المختارة.

A graphical presentation of the risk and return on these portfolios is shown in figure 5.4. There is one point on this figure that is worth special attention:

The portfolio that has minimum risk. This portfolio can be found in general by looking at the equation for risk

عرض تخطيطي للخطر و الّعائد على المحفظة في الشكل.هناك مسألة تسترعي االنتباه :5.4

المخاطرة في المحفظة في حدودها الدنيا .وم مثل هذه المحفظة� يمكن أن توجد بالنظر إلى مّعادلة الخطر غالبا

σ P=[Xc2σc

2+(1 – X c)2σ s

2+2 X c (1 – X c)σ cσ s ρcs]1 /2

Table 5.3 the expected return and standard deviation of portfolio of Colonel Motors and Separated Edison when ρ = 0

ρ الّعائد المتوقع و االنحراف المّعياري للمحفظة عندما 5.3الجدول = 0:

13

X c 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

RP 8 9.2 10.4 11.6 12.8 14.0

σ P 3 2.68 3.00 3.79 4.48 6.0

Figure 5.4 relationship between expected return and standard deviation when ρ = 0

الّعالقة بين الّعائد المتوقع و االنحراف المّعياري5.4الشكل ρ = 0للمحفظة عندما

To find the value of X c that minimizes this equation, we take the derivative it with respect to X c, set the derivative equal to zero, and solve for X cthe derivative is

Xاليجاد قيمة c. نشتق المّعادلة بالنسبة ل" التي تقلل المّعادلةX cو , � للصفر و نحل االشتقاق بداللة Xنجّعل االشتقاق مساويا c :

∂σ P∂ Xc

=( 12)[2 X cσ c

2−2σc2+2 Xc σ s

2+σc σs ρcs−4 Xc σc σs ρcs]

[Xc2σ c

2+ (1– Xc )2σs2+2 Xc ( 1– Xc )σc σ sρcs ]

1/2

Setting this equal to zero and solving for X c yields

X c=σ s

2−σc σ sρ csσc

2+σs2−2σc σs ρcs

In the present case (ρcs=0¿ this reduce to

X c=σs

2

σc2+σs

2

14

Continuing with the previous example, the value of X c that minimize the risk is

X c=9

9+39=1

5 = 0.20

This is minimum risk portfolio that was shown in figure 5.4.

Case 4 ـــ intermediate risk (ρ = 0.5)

متوسط )4الحالة ( :ρ = 0.5خطر

The equation for the risk of portfolios composed of Colonel Motors and Separated Edison when the correlation is 0.5 is

:0.5إن مّعادلة خطر المحفظة عندما يكون االرتباط

σ P=[(6)2 Xc2+(3)2 (1– X c)

2+2 Xc (1– Xc ) (3 ) (6 )( 12)]

1 /2

σ P=(27 X c2+9)1 /2

Table 5.4 presents the returns and risks on alternative portfolios of our two stocks when the correlation between them is 0.5.

يظهر الّعوائد المتوفّعة و الخطر للمحافظ البديلة5.3الجدول 0.5عندما يكون االرتباط بينها

This risk-return relationship is plotted in figure 5.5 along with the risk-return relationships for other intermediate values of correlation coefficient. Notice that in this example if ρ = 0.5, then the minimum risk is obtained at value of X c=0 or where investor has placed 100% of his funds in Separated Edison. This point could have been derived analytically from equation (5.9). Employing this equation yields

مع الّعالقات5.5هذه الّعالقة بين الّعائد و الخطر يّعبر عنها بالشكل االخرى للّعئد و المخاطرة من أجل القيم المتوسطة االخرى

فإن القيمة الدنياρ = 0.5لمّعامالت االرتباط.في هذا المثال اذا كان Xللخطر يحصل عليها عندما تكون قيمة cصفر أو عندما يضع

.هذه المسأألةSeparated Edisonالمستثمر كامل أمواله في شركة � من المّعادلة 5.9يمكن ، تستنتج تحليليا

X c=9−18(0.5)

9+39+2 (18 )(0.5)=¿0

Table 5.4 the expected return and standard deviation of portfolio of Colonel Motors and Separated Edison when ρ = 0.5

15

الّعائد المتوقع و االنحراف المّعياري للمحفظة عندما5.3الجدول 5.ρ = 0:

X c 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

RP 8 9.2 10.4 11.6 12.8 14.0

σ P 3 3.17 3.65 4.33 5.13 6.0

Figure 5.5 relationship between expected return and standard deviation for various correlation coefficients

الّعالقة بين الّعائد المتوقع و االنحراف المّعياري من5.4الشكل أجل قيم مختلفة لمّعامل االرتباط.

In this example (ρcs=0.5¿ there is no combination of the two securities that is less risky asset by it self, though combinations are still less risky than they were in the case of perfect positive correlation. The particular value of the correlation coefficient for which no combination of two securities is less risky the least risky security depends on the characters of the assets in question. Specifically, for all assets there is some value of ρ such that the risk on the portfolio can no longer be made less than the risk of the least risky asset in the portfolio.

تبقى المجموع""ات أق""ل مخ""اطرة من تل""ك¿ρcs=0.5)في هذا المث""ال ال"تي يك"ون بينه"ا ارتب"اط م"وجب ت"ام .هن"اك قيم مّعين"ة لمّع"امالت� و ه""ذا االرتباط لكل م""زيج أق""ل خط""ورة من االس""هم االق""ل خط""را� من أجل جمي""ع االص""ول يوج""د هن""اك يّعتمد على الشخاص. وتحديدا

16

ك""الخطر على المحفظ""ة لم تّع""د تس""تطيع أن تفل""ل خط""رρقيم ل" األصول في المحفظة

We have developed some insights into combinations of two securities or portfolios from the analysis performed to this point. First, we have noted that the lower (closed to -1) the correlation coefficient between assets, all other attributes held constant, the higher the payoff from diversification. Second, we have seen that the combinations of two assets can never have more risk than that found on a straight line connecting the two assets in expected return standard deviation space. Finally, we have produced a simple expression for finding the minimum variance portfolio when two assets are combined in a portfolio. We can use this to gain more insight into the shape of the curve along which all possible combination of assets must lie in expected return standard deviation space. This curve, which is called portfolio possibilities curve, is the subject of the next section

طورن""ا بّعض اآلراء ح""ول ت""راكيب من أوراق مالي""ة أو محاف""ظ من� .الحظن""ا أن مّعام""ل خالل التحلي""ل ال""ذي قمن""ا ب""ه ح""تى اآلن . أوال

( بين األص""ول م""ع بق""اء الّعوام""ل1االرتب""اط األدنى)الق""ريب من -� رأين""ا أن ال""تراكيب األخرى ثابتة يؤدي إلى أعلى ربح من التنويع.ثانيا�من تل""ك الموج""ودة على من أص""لين ال يمكن أن تك""ون أك""ثر خط""را الخط المستقيم بين أص""لين في ح""يز االنح""راف المّعي""اري و الّعائ""د� نتج ل""دينا تّعب""ير بس""يط اليج""اد الخط""ر األدنى المتوق""ع .و أخ""يرا للمحفظة المكونة من أصلين. يمكننا استخامه في ش""كل المنح""نى حيث تتزضع عليه كل المحافظ الممكنة في حيز االنحراف المّعياري و الّعائ""د المتوق""ع .ه""ذا المنح""نى ي""دعى منح""نى االحتم""االت و ه""و

.موضوع الفصل القادم

Shape of portfolio possibilities curve

Reexamine the earlier figures in this chapter and note that the portion of the portfolio possibilities curve that lies above the minimum variance portfolio is convex. This is not due to the peculiarities of the examples we have chosen but rather is a general characteristic of all portfolio problems.

17

شكل منحنى االحتماالت :

بالّعودة إلى األشكال الس""ابقة في بداي""ة الفص""ل نالح""ظ في مح""نى السواء للمحفظة أن القسم الذي يقع ف""وق المحفظ""ة ذات الخط""ر األدنى أنه محدب. و هذا ليس بسبب خصوصية األمثلة التي اخترناها و لكن على الّعكس من ذل"""ك فإنه"""ا م"""يزة عام"""ة لك"""ل مش"""اكل

المحفظة .

This can easily be demonstrated. Remember that the equation and diagrams we have developed are appropriate for all combinations of securities and portfolios. We now examine combination of the minimum variance portfolio and an asset that has a higher return and risk.

و يمكن البرهنة على ذلك بس""هولة. ن""ذكر ب""أن المّعادل""ة و الرس""وم البيانية التي طورناها مالئمة لكل تراكيب األس""هم و المحاف""ظ .لق""د اختبرنا تركيبة المحفظة ذات الخطر األدنى و األص""ول ذات الّعائ""د و

الخطر األعلى

Figures 5.6a, 5.6b represent three hypothesized shapes for combinations of Colonel Motors and the minimum variance portfolio. The shape depicted in 5.6b cannot be possible since we have demonstrated that combinations of assets cannot have more risk than that found on a straight line connecting two assets (and that only in case of perfect positive correlation)

Colonel يظهر ثالثة أشكال مفترضة لتركيب""ة " 5.6aالشكل Motors غ""ير5.6b" و المحفظة ذات الخطر األدنى . الشكل المرس""وم في

ممكن من""ذ أن أثبتن""ا أن ه""ذه ال""تراكيب ال يمكن أن تك""ون أك""ثرمخاطرة من تلك الموجودة على الخط المستقيم .

18

Figure 5.6 various possible relationships for expected return and standard deviation when the minimum variance portfolio and Colonel Motors are combined.

الّعالقات الممكنة للّعائد المتوقع و االنحراف المّعياري5.6الشكل "Colonel" Motorsعند تشكيل المحفظة ذات الخطر األدنى و

But what about the shape presented in figure 5.6 c? Here all portfolios have less risk than the straight line connecting Colonel Motors ands minimum variance portfolio. However this is impossible. Examine the portfolio labeled U and V. These are simply combinations of the minimum variance portfolio and Colonel Motors. Since U and V are portfolios, all combinations of U and V must lie either on a straight line connecting U and V or above such a straight line. Hence 5.6c is impossible and the only legitimate shape is that shown in 5.6a, which is a concave curve. Analogous reasoning can be used to show that if we consider combination of the minimum variance portfolio with higher variance and lower return, the curve must be convex, that is, it must look like Figure 5.7a rather than 5.7b or 5.7c.

أقل مخاطرة من تلك5.6cإن المحافظ الموجودة في الشكل الموجودة على الخط المستقيم على أية حال هذا مستحيل .بفحُص

19

و هي تركيبة بسيطة من المحفظةv و uاالمحفظة المحددة ب" عبارة عنv و u" بما أن Colonel Motorsذات التباين الألصغر و "

يجب أن تتوضع إما على الخطv و uمحافظ فإن كل التراكيب ل" أو أعلى كالخط المستقيم .لذلك فإنv و uالمستقيم المتصل ب"

مستحيل و الشكل الصحيح فقط الشكل الظاهر في5.6cالشكل 5.6aو المتمثل بالمنحنى المقّع�ر .و باستنتاج مماثل يمكن أن يكون .

� إلظهار فيما إذا اعتبرنا تركيبة المحفظة ذات الخطر األدنى مفيدا المنحنى يجب أن يكون محدب.و يشبهفبتباين أعلى و عائد أدنى ,

S من 5.7aالشكل 5.7c أو 5.7b بدال

20

Figure 5.7 various possible relationships between expected return and standard deviation of return when the minimum variance portfolio is combined with portfolio S.

الّعالقات الممكنة بين الّعائد المتوقع و االنحراف5.7الشكل المّعياري عندما تتحد المحفظة ذات التباين األدنى و المحفظة

SThe Efficient Frontier with No Short Sales

الحدود الفّع�الة بدون بيع على المكشوف

In theory we would plot all conceivable risky assets and combinations of risky assets in a diagram in return standard deviation space. We used the words “in theory, “not because there is a problem in calculating the risk and return on a stock or portfolio, but because there are an infinite number of possibilities that must be considered. Not only must all possible grouping of risky assets be considered, but all grouping must be considered in all possible percentage composition. If we were to plot all possibilities in risk-return space, we would get a diagram like Figure 5.8. We have taken the liberty of representing combinations as a finite number of points in constructing the diagram. Let us examine the diagram and see if we can eliminate any part of it from consideration by the investor. In Chapter 4 we reasoned that an investor would prefer more return to less and would prefer less risk to more. Thus, if we could find a set of portfolio that

1. Offered a bigger return for the same risk or

2. Offered a lower risk for the same return, we would have identified all portfolios an investor could considered holding. All other portfolio could be ignored.

S سنقوم برسم كل االصول الخطرة و المجموعات من األصول نظريا الخطرة في خط بياني للّعائد و االنحراف المّعياري.و يجب أن يؤخ""ذ� نقتص""ر على بّعين االعتب""ار ك""ل التص""نيفات المئوي""ة المحتمل""ة و أال االصول الخطرة فقط.أذا قمنا برسم كل االحتماالت سنحص""ل على

.قمن""ا بتمثي""ل المجموع""ات بّع""دد5.8خ""ط بي""اني كم""ا في الش""كل محدود من النقاط في تشكيل الخط البي""اني.اذا قمن""ا بإلق""اء نظ""رة على الخ"""ط البي"""اني يمكنن"""ا أن نزي"""ل أي ج"""زء من"""ه من اعتب"""ار

المستثمر .يمكننا أن نجد مجموعة المحفظة التي :

-تمنح عائد أكبر بنفس درجة المخاطرة 1

- تمنح خطر أقل بنفس الّعائد.سنقوم بتحديد ك""ل المحاف""ظ ال""تي2سيأخذها المستثمرون بحسبانهم والمحافظ األخرى يمكن تجاهلها.

21

Let us take a look at Figure 5.8. Examine portfolio A and B. Note that portfolio B would be preferred by all investors to portfolio A because it offers a higher return with the same level of Risk

مفضلة من قبلB نالحظ أن الحفظة 5.8بإلقاء نظرة على الشكل ألنه""ا تمنح عائ""د أعلى بنفسAك""ل المس""تثمرين على المحفظ""ة

مستوى الخطر.

Figure 5.8 Risk and return possibilities for various assets and portfolio.

احتماالت الخطر و الّعائد ألصول و محافظ مختلفة5.8 الشكل

We can also see that portfolio C would be preferable to portfolio A because it offers less risk at the same level of return. Notice that at this point in our analysis we can find no portfolio that dominates portfolio C or portfolio B. It should be obvious at this point that an efficient set of portfolio cannot include interior portfolios. We can reduce the possibility set even further. For any point in risk-return space we want to move as far as possible in direction of increasing return and as far as possible in direction of decreasing risk. Examine the point D which is an exterior point. We can eliminate D from further consideration since portfolio E exists, which has more return for the same risk. This is true for every other portfolio as we move up the outer shell from D to point C. Point C cannot be eliminated since there is no portfolio that has less risk for the same return or more return for the same risk. But what is point C? It is the global minimum variance portfolio. Now examine point F. Point F is on the outer shell, but point E has less risk for the same return. As we move up the outer shell curve from point F, all portfolios are dominated until we come to portfolio B. Portfolio B cannot be eliminated for there is no

22

portfolio that has the same return and less risk or the same risk and more return than point B. Point B represents that portfolio (usually a single security) that offers the highest expected return of all portfolios. Thus the efficient set consists of the envelope curve of all portfolios that lie between the global minimum variance portfolio and the maximum return portfolio. This set of portfolios is called the efficient frontier.

سيتم تفضيلهاB نالحظ أن المحفظة 5.8بالقاء نظرة على الشكل من قبل كل المستثمرين ألن مخاطرتها أقل عند نفسAعلى

مستوى الّعائد.مالحظة إلى هذا الحد من التحليل الذي نقوم به لم .من الواضحB أو المحفظةCنجد محفظة تسيطر على المحفظة

أن الموقع الفّعال للمحفظة ال تتضمن المحافظ الداخلية . بإمكاننا من أجل أي نقطةأن نقلل من إمكانية المجموعة أكثر من ذلك

في حيز الّعائد و المخاطرة نرغب بالتحرك باتجاه زيادة الّعائد و Dتخفيض المخاطرة أكبر قدر من اإلمكان بانظر إلى النقطة

منذ وجودDوالتي هي نقطة داخلية يمكننا تجاهل النقطة و هذا . والتي لديها عائد أكبر بنفس مستوى المخاطرةEالمححفظة

ينطبق على جميع المحافظ األخرى كلما اتجهنا نحو األعلى من بما أنه ال يوجدC ال يمكننا إلغاء النقطة C إلى النقطة Dالنقطة

محفظة تّعطي خطر أقل بنفس الّعائد أو عائد أعلى بنفس مستوى تّعبر عن المحفظة ذات الخطر األدنى . بالنتقالCالخطر النقطة

نجد أنها في الطبقة الخارجية كل المحافظ سائدةFإلى النقطة ألنه ال يوجدB .ال يمكن إلغاء النقطة Bحتى نصل إلى النقطة

محفظة تّعطي نفس الّعائد بخطر أقل أو نفس مستوى الخطر و تظهر بأن تلك المحفظة Bالنقطة .Bبّعائد أعلى أكثر من النقطة

� تّعطي عائد أعلى من كل المكونة من ورقة مالية واحدة غالبا المحافظ األخرى.لذلك فإن الموقع الفّعال مشكل من غالف

المحيط بالمنحنى لجميع المحافظ الواقّعة بين المحفظة ذات الخطر األدنى و المحفظة ذات الّعائد األعلى .هذا الموقع للمافظ

يدعى الحد الفّعال

23

Figure 5.9 The efficient frontier.

الحد الفّع�ال5.9الشكل

Figure 5.9 represents a graph of the efficient frontier. Notice that we have drawn the efficient frontiers as a concave function. The proof that it must be concave follows logically from the earlier analysis of the combination of two securities or portfolios.

يظهر مخطط بياني للحد الفّعال.نالحظ بأنننا رسمنا5.9الشكل الحد الفّعال كتابع مقّعر.الدليل على أنه يجب أن يكون مقّعر

منطقي من خالل التحليل السابق الذي أجري على تركيبة مناألوراق المالية أو محافظ

24

Figure 5.10 An impossible shape for the efficient frontier.

الشكل المستحيل للحد الفّع�ال5.10الشكل

The efficient frontier cannot contain a convex region such as that shown in Figure 5.10 since as argued earlier U and V are portfolios and combinations of two portfolios must be concave. Up to this point we have seen that the efficient frontier is a concave function in expected return standard deviation space that extends from the minimum variance portfolio to the maximum return portfolio. The portfolio problem, then, is to find all portfolios along this frontier. The computational procedures necessary to do so will be examined in Chapter 6.

الحد الفّع�ال ال يمكن أن يحتوي على منطقة محد�ب""ة كم""ا ه""و ظ""اهر� أن 5.10في الشكل . هما محافظ وأنu , v. بما أننا ناقشنا سابقا

الم""زيج المك""ون من محفظ""تين يجب أن يك""ون مقّع""ر.ح""تى ه""ذه النقطة وجدنا أن خط الحد الفّعال هو مقّعر في حيز الّعائد المتوق""ع و االنحراف المّعياري و الذي يمتد من المحفظة ذات التب""اين األدنىS هي إيج""اد إلى المحفظ""ة ذات الّعائ""د األعلى.مش""كلة المحفظ""ة إذا المحاف""ظ ال""تي تق""ع على ط""ول ه""ذا الح""د. اإلج""راءات الحس""ابية

ضرورية وسيتم التّعرف عليها في الفصل السادس.

25

The Efficient Frontier with Short Sales Allowed

الحد الفّعال و البيع على المكشوف مسموح به

In the stock market (and many other capital markets), an investor can often sell a security that he or she does not own. This process is called short selling and is described in Chapter3; however, the mechanics of short sales are worth repeating here. It involves in essence taking a negative position in a security. Short sales exist in sizable amounts on the New York Stock Exchange (as well as other securities markets) and the amount of short sales in New York Stock Exchange stocks is reported in the New York Times every Monday. In a moment we will discuss the incorporation of short sales into our analysis. Before we do so, however, it is worthwhile pointing out that we have not been wasting our time by studying the case where short sales are disallowed. There are two reasons why this is true. The first is that most institutional investors do not short sell. Many institutions are forbidden by law from short selling, whereas still others operate under a self-imposed constraint for bidding short sales. The second is that the incorporation of short sales into our analysis involves only a minor extension of the analysis we have developed up to this point.

في سوق األوراق المالية غالباَ ما يستطيع المستثمر أن يبيع ورقة مالية ال يملكها.و هذه الّعملية تسمى البيع على المكشوف وتم

التّعرف عليها في الفصل الثالث . و على الرغم من ذلك فإن آليةالبيع على المكشوف تستحق إعادتها هنا

إن سبب أخذ الجهة السالبة في األوراق المالية.البيع على المكشوف موجود بكميات ضخمة في سوق نيويورك لألوراق

المالية باالضافة إلى أسواق مالية أخرى و حجم التّعامل بالبيع علىNew York Timesالمكشوف يصدر كل يوم اثنين في صحيفة

في اللحظة التي قررنا فيها أن نناقش اندماج البيع على المكشوف في التحليل و قبل ذلك جدير بالذكر أننا لم نكن نضيع وقتنا بدراسة

الحالة حيث أن البيع على المكشوف مرفوض.يوجد سببان لهذهS إن مّعظم المستثمرون المؤسساتيون ال يقومون بالبيع الحقيقة:أوال على المكشوف.ألن مّعظم المؤسسات ممنوعة بالقانون من البيع

على المكشوف. بينما اليزال هناك آخرون يّعملون تحت قيود� إن ادماج البيع على � على البيع على المكشوف.ثانيا مفروضة ذاتيا المكشوف في تحليلنا مقتضى فقط كامتداد رئيسي للتحليل الذي

وصلنا إليه حتى اآلن .

In this section we will employ a simplified description of the way short sales work. This has been the general description of short sales in the literature, but in footnotes and in Chapter 6 we present both the deficiencies of this description and an alternative, more realistic description of short sales. Our description of short sales, which treats short sales as the ability to sell a security

26

without owning it, assumes that there are no special transaction costs involved in this process. Let us see how this process might work.

في هذا القسمT سنستخدم وص""ف بس""يط لطريق""ة عم""ل ال""بيع علىS لل""بيع على المكش""وف في األدب، � عام""ا المكشوف. كان هذا وص""فا

Qقد�م كل من عيوب هذا الوص""ف6لكن في الهوامش و في الفصل ن ووصف بديل أكثر واقّعي""ة لل""بيع على المكش""وف.وص""فنا لل""بيع على المكشوف، الذي يّعتبر البيع على المكشوف كالقدرة على بيع س""ند

Tالكه،مفترضين أنه ليس لدينا نفقات تداول خاص�ة في بدون إمت مشتركة

. الّعملية لنرى كيف تجري هذه الّعمليةهذه

Let us assume an investor believed that the stock of ABC Company, which currently sells for $100 per share, is likely to be selling for $95 per share (expected value) at the end of year. In addition, the investor expects ABC Company to pay a $3.00 dividend at the end of the year. If the investor bought one share of ABC stock, the cash flow would be -$100.00 at time zero when the stock is purchased and + $3.00 from the dividend, plus +$95.00 from selling the stock at time 1. The cash flows are

و الذي قيمتهABCلنفترض أنه لدينا مستثمر اعتقد بأن سهم شركة $ )القيمة المتوقّعة( في نهاية95$ سيباع ب" 100الحالية

الّعام.باإلضافة إلى ذلك المستثمر يّعتقد بأن الشركة ستقوم باجراء $ للسهم في نهاية الّعام.إذا قام المستثمر بشراء سهم3توزيّعات

$ في100 فإن التدفقات النقدية سوف تكون - ABCفي شركة $ من3الوقت صفر عندما يكون السهم مQQQشترى باألضافة إلى

و التدفقات النقدية1 من بيع السهم في الوقت 95التوزيّعات و تكون :

TimePurchase Stock 0 1

Dividend -100 +3Sell Stock +95

Total Cash Flow -100 +98

Unless this stock had very unusual correlations with other securities, it is unlikely that an investor with these expectations would want to hold any of it in his own portfolio. In fact, an inventor would really like to own negative amounts of it. How might the inventor do so? Assume a friend, Joelle, owned a share of ABC Company and that the friend had different expectations and wishes to continue holding it. The investor might borrow Joelle’s stock under the promise that she will be no worse off lending him the stock. The investor could then sell the stock, receiving $100. When the company pays the $3.00 dividend, the investor must reach into his own pocket and pay Joelle $3.00. He has a cash flow of -$3.00. He has to do this because neither he nor Joelle now own the stock and he promised that Joelle would be no worse off by lending

27

him the stock. Now at the end of the year, the investor could purchase the stock for $95 and give it back to Joelle. The cash flows for the investor are

إال أذا ارتبط السهم بّعالقة اس"تثنائية ب"أوراق مالي"ة أخ"رى. من غ"ير المحتمل مع هذه التوقّعات أن المستثمر س""يريد االحتف""اظ ب""أي من هذه األسهم في محفظته .في الحقيقة سيود امتالك كميات س""البة منها.كيف يمكن أن يقوم المستثمر بذلك ؟ افترض أن لديك ص""ديق

و ه""ذا الص""ديق ك""انت لدي""هABC س""هم في ش""ركة Joelleو ليكن ق""د يس"تّعير المس"تثمر س"همتوقّعات مختلفة و سيو�د االحتفاظ به .

Joelleبإغارت""ه الس""هم.بّع""د تحت الوعد.سوف لن تكون � أسوء ح""اال $.عن""دما تق""وم100ذلك يمكن أن يبيع المس""تثمر الس""هم و يس""تلم

ه $ توزيّع""ات .3الش""ركة ب""دفع T""ن يص""ل إلى جيبS المس""تثمر يجب أ$3.00الخاص ويدفع ل"جويل

TimeSell Stock 0 1

Pay Dividend +100 -3Buy Stock -95

Total Cash Flow +100 -98

Notice in the example that the lender of the stock is no worse of by the process and the borrower has been able to create a security that has the opposite characteristics of buying a share of the ABC Company. In the real world Joelle might require some added compensation for lending her stock, but we will continue to use this simplified description of short selling in analyzing portfolio possibilities. It was clear that when an investor expected the return on a security to be negative, short sales made sense. Even in the case where returns are positive, short sales can make sense, for the cash flow received at time zero from short selling one security can be used to purchase a security with a higher expected return. Return to an example employing Colonel Motors and Separated Edison. Recall that the expected return for Separated Edison was 8% while it was 14% for Colonel Motors. If we disallow short sales, the highest return an investor can get is 14% by placing 100% of the funds in Colonel Motors. With short sales higher returns can be earned by short selling Separated Edison and placing the inventor’s original capital plus the initial cash flow from short sales in Colonel Motors. In doing so, however, there is a commensurate increase in risk. To see this more formally we return to the case where the correlation coefficient between the two securities is assumed to be 0.5 and see what happens when we allow short sales. The earlier calculations in Table 5.4 and the diagram in Figure 5.5 are still valid, but now they must be extended to consider values of X greater than 1 and less than 0. Some sample calculations are shown in Table 5.5

28

� بسبب الّعملية الحظ المثال حيث أن مقرض السهم ليس أسوأ حاال و المقترض قادر على خلق ورقة مالية تّعكس خصائُص شراء سهم

يجب أن يطلب تّعويضاتJoelle.في الواقع ABCمن الشركة لقيامه باقراض السهم . لكننا سنستمر الستخام هذا الوصف

البسيط لّعملية البيع على المكشوف في تحليل احتماالت المحفظة.من الواضح أن المستثمر توقع أن يكون عائد على السهم

�.حتى في حالة الّعوائد سالب .البيع على المكشوف كان منطقيا كانت موجبة البيع على المكشوف منطقي .للتدفق النقدي المتلقى

من البيع على المكشوف ورقة مالية يمكن أن0في الوقت تستخدم في شراء ورقة مالية بّعائد أعلى.

Colonelب"""الّعودة إلى المث"""ال و باس"""تخدام Motors و Separated Edison بالّعودة إلى الّعائد المتوق""ع لس""هم.Separated Edisonال""ذي Colonel% و ك""ان ل" 8ك""ان Motors 14%إذا رفض""نا ال""بيع على .

المكشوف ,ف""إن أعلى عائ""د يمكن للمس""تثمر أن يحص""ل علي""ه ه""وColonel% بوض"""ع ك"""ل أموال"""ه في 14 Motorsم"""ع ال"""بيع على.

TTTQج""نى ب""البيع على المكش""وف ل" المكش""وف أعلى عائ""د يمكن أن يSeparated Edisonووض""ع المس""تثمر رأس مال""ه األص""لي باإلض""افة

Colonelالت"""دفق النق"""دي األولي من ال"""بيع على المكش"""وف في Motors.بالقيام بذلك بأي طريقة هناك زيادة متناسبة في الخطر.

� نّع""ود للحال""ة حيث افترض""نا أنّعام""ل االرتب""اط بين لنرى ذلك رس""ميا و نرى م"اذا س"يحدث عن"د الس"ماح ب"البيع على0.5ورقتين ماليتين

و المخط""ط البي""اني5.4المكشوف.الحسابات السابقة في الجدول � لكن اآلن يجب أن يتوس""ع العتب""ار قيم5.5في الشكل الزال صالحا

X بّعض نم"""اذج الحس"""ابات تظه"""ر في0 و أق"""ل من 1 أك"""بر من 5.5الجدول

Table 5.5

X c -1 0.8 -0.6 -0.4 -0.2 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

R 2.0 3.2 4.4 5.6 6.8 15.2 16.4 17.6 18.8 20.0

σ 6.0 5.13 4.33 3.65 3.17 6.92 7.87 8.84 9.82 10.82

29

The new diagram with short sales is shown in figure 5.11. The reader should note that with short sales, portfolios exist that give infinite expected rates of return. This should not be too surprising since with short sales one can sell securities with low expected returns and use proceeds to buy securities with high expected returns. For example, suppose an investor had $100 to invest in colonel motors and separated Edison. the investor could place the entire $100 in colonel motors and get a return of $14 or %14 on the other hand the investor could sell $1000 worth of separated Edison stock short and buy 1100$ worth of colonel Motors, the expected earnings on the investment in colonel motors is 154 $ while the expected cost of borrowing separated Edison is 80$ therefore the expected return would be 74$ or 74% on the original 100 $ investment. Is this a preferred position? The expected return would increase from 14% to 74% but the standard deviation would increase from 6% to 57.2% whether an investor should take the position offering the higher expected return would depend on the investor‘s preference for return relative to risk. We have more to say about this in chapter 10.

المخطط البياني الجديد مع البيع على المكشوف يظهر في الش""كل .القارئ يجب أن يالحظ ذلك م"ع ال"بيع على المكش"وف,بقيت5.11

المحاف""ظ ال""تي تّعطي عوائ""د متوقّع""ة غ""ير مح""دودة.وه""ذا يجب أال� منذ أنتم البيع على المكشوف لألوراق المالية بمّعدالت يكون مفاجئا عائد منخفض""ة و اس""تخدام األرب""اح لش""راء أوراق مالي""ة ذات عوائ""د

$100متوقّعة أعلى.على سبيل المث""ال اف""ترض أن مس""تثمر يمل""ك " " colonel motorsلالستثمار في ".المستثمرseparated Edison"و

$14" و يحصل على عائد colonel motors$ في "100قد يضع كل % من جه""ة أخ""رى و المس""تثمر يتطي""ع أن ي""بيع م""ا قيمت""ه14أو

separated$ من أس"""هم "1000 Edisonبي"""ع على المكش"""وف و " colonel قيم"""ة1100يش"""تري motorsاألي"""رادات المتوقّع"""ة من

colonelاالستثمار في motors 154بينم""ا التكلف""ة المتوقّع""ة من $ separatedاالق""تراض Edison ل""ذلك ف""أن الّعائ""د المتوق""ع80 هي $

$ . هل ه""ذا100% من االستثمار األصلي في 74$ أو 74سيكون % و لكن74 % إلى 14الرأي مفضل ؟ الّعائد المتوقع سيرتفع من

% إذا ك""ان يجب57.2% إلى 6االنح""راف المّعي""اري س""يرتفع من على المس""تثمر أن يأخ""ذ وض""ع ع""رض عائ""دمتوقع مرتف""ع فإن""ذلك سيّعتمد على أولوية المس""تثمر للّعائ""د بالنس""بة للخط""ر.و س""نتحدث

10عن ذلك في الفصل

30

Figure 5.11 Expected return and standard deviation combinations of colonel motors and separated Edison when short sales are not allowed.

الّعائد المتوقع و االنحراف المّعياري للتراكيب عندما5.11الشكل يكون البيع على المكشوف غير مسموح به

Figure 5.12 the efficient set when short sales are not allowed.

المجموعة الفّع�الة عندما يكون البيع على 5.12الشكل المكشوف غير مسموح به.

In figure 5.11 we have constructed the diagram for combinations of colonel motors and separated Edison, assuming a correlation coefficient of 0.5. Notice that all portfolios offering

31

returns above the global minimum variance portfolio lie along a concave curve. The reasoning for this is directly analogous to that presented when short sales were not allowed

colonel المخطط البياني لتراكيب " أنشأنا 5.11في الشكل motors " " وseparated Edison 0.5"مفترضين أن مّعامل االرتباط.

مالحظة كل المحافظ تّعطي عوائد فوق المحفظة ذات التباين األدنى على طول المنحنى المقّعر .تّعليل ذلك مماثل بشكل مباشر

للمقترح عندما يكون البيع على المكشوف غير مسموح .

When we extend this analysis to the efficient frontiers of all securities and portfolios, we get a figure such as figure 5.12, where MVBC is the efficient set. Since combinations of two portfolios are concave, the efficient still starts with the minimum variance portfolio, but when short sales are allowed it has no finite upper bound

عندما وسّعنا التحليل للحدود الفّعالة لكل األسهم و هيMVBC حيث 5.12المحافظ .نحصل على شكل كالشكل

الموقع الفّعال.بما أن تركيبة من محفظتين هي مقّعرة ,الحد الفّعال مازال يبدأ عند المحفظة ذات الخطر األدنى لكن عندما يكون البيع

� ليس له حد أعلى محدود على المكشوف مسموحا

The efficient frontier with riskless lending and borrowing

Up to this point we have been dealing with portfolios of risky assets. The introduction of a riskless asset into our portfolio possibility set considerably simplifies the analysis. We can consider lending at riskless rate as investing in an asset with certain outcome (e.g., a short term government bill or savings account). Borrowing can be considered as selling such a security short, thus borrowing can take place at the riskless rate. We call the certain rate of return on the riskless asset RF . Since the return is certain, the standard deviation of a return on the riskless asset must be zero. We first examine the case were investors can lend and borrow unlimited amounts of funds at the riskless. Initially assume that the investor is interested in placing part of the funds in some portfolio A and either lending or borrowing. Under this assumption we can easily determine the geometric pattern of all combinations of portfolio A and lending or borrowing. Call X the fraction of original funds that the investor places in portfolio A. Remember that X can be greater than 1because we were assuming that the investor can borrow at the riskless rate and invest more than his initial funds in portfolio A. If X is the fraction of funds the investor places in portfolio A, (1 - X) must be the fraction of funds that were placed in the riskless assets. The expected return on the combination of riskless asset and risky portfolio is given by

حتى هذه النقطة تّعاملنا مع محافظ مكونة من أصول خطرة.إدخال األصول الخالية الخطر في المحافظ المحتملة يبسط التحليل بشكل كبير .نستطيع أن نّعتبر أن اإلقراض عند مّعدل خ"الي الخط"ر عب"ارة

32

عن استثمار في األصول التي تّعطي دخل مح""دود .االق""تراض يّعت""بر كمت""اجرة في الف""ترة القص""يرة.و هك""ذا يمكن أن يؤخ""ذ االق""تراض

RFبمّعدل خالي الخطر.نرمز لمّعدل الّعائد خالي الخطر ب" و بم"ا أن. الّعائد محدد فإن االنحراف المّعياري عن الّعائ""د خ""الي الخط""ر يجب

أن يكون صفر.

� باختبار الحالة حيث بإمكان المستثمرين إقراض و اقتراض نقوم أوال كميات غير محدودة من األموال بال مجازف""ة.في البداي""ة نف""ترض أن

إما باإلقراضAالمستثمر مهتم بوضع جزء من أمواله في المحفظة أو االقتراض.تحت ه"ذه الفرض"ية نس"تطيع بس"هولة تحدي"د النم"وذج

و اإلقراض و االقتراض .نرم""ز ب"Aالهندسي لكل تراكيب المحفظة X للجزء من األموال الموضوعة في المحفظة A ن""ذكر ب""أن Xق""د

ألننا افترضنا أن المستثمر يستطيع أن يقترض عند1تكون أكبر من مّعدل خالي الخطر و يستطيع أن يس""تثمر ب""أكثر من أموال""ه األولي""ة

ج""زء من األم""وال ال""تي وض""ّعهاX .إذا ك""انت Aفي المحفظ""ة - 1) . فإن Aالمستثمر في المحفظة X)يجب أن تكون الج""زء

من األموال الموضوعة في األصول الخالية الخط""ر. الّعائ""د المتوق""علتركيبة األصول الخالية الخطر و المحفظة الخطرة تّعطى بالّعالقة :

Rc=(1−X)RF+X RA

The risk on the combination is

يكون : التركيبة خطر

σ C=¿¿

Since we have already argued that is zero

للصفر مساوي بأنه � سابقا ناقشنا أننا بما

σ c=[X2σ A2 ]1/2 =X σ A

Solving this expression for X yields

تنتج لدينا :Xبالحل بداللة

X=σCσ A

33

Substituting this expression for X into the expression for expected return on the combination yields

بالّعائد المتوقع ينتج لدينا : Xباستبدال قيمة

Rc=(1−σ Cσ A

)RF+σCσ AR A

Rearranging terms,

بترتيب الحدود :

Rc=RF+(R A−RFσ A

)σC

Note that this is the equation of a straight line. All combinations of riskless lending or borrowing with portfolio A lie on a straight line in expected return standard deviation space. The intercept of the line (on the return axis) is RF , and the slope (RA−RF)/σ A. Furthermore, the line passes through the point (σ A,RA¿. This line shown in Figure 5.13. Note that the left of point A we have combinations of lending and portfolio A, whereas to the right of point A we have combination of borrowing and portfolio A.

نالحظ أنها مّعادلة مستقيم . كل مجموعات اإلقراض و االقتراض تتوضع على الخط المستقيم .تلكAحفظة مالخالية الخطر في ال

σ(/RA−RF و الميل )RFالمسافة من الخط )على محور الّعائد( هي A. σعالوة على ذلك المستقيم يمر على النقطة A,RA¿كما في ).

A حيث أننا نالحظ مجموعات اإلقراض و المحفظة 5.13الشكل علىA و مجموعات االقتراض و المحفظة Aعلى يمين النقطة

Aيسار النقطة

34

Figure 5.13 expected return and risk when the risk- free rate is mixed with portfolio A.

الّعائد المتوقع و الخطر عندما تمزج مّعدالت خالية5.13الشكل Aالخطر في المحفظة

The portfolio A we selected for this analysis had no special properties. Combinations of any security or portfolio and riskless lending and borrowing lie along a straight line in expected return standard deviation of return space. Examine Figure 5.14. We could have combined portfolio B with riskless lending and borrowing and held combinations along the line RFB

rather thanRF A . Combinations along RFBare superior to combinations along RF A since they offer greater return for the same risk. It should be obvious that we would like to do is to rotate the straight line passing through RF as far as we can in a counterclockwise direction. The furthest we can rotate it is through point G. Point G is the tangency point between the efficient frontier and a ray passing through the point RF on the vertical axis. The investor cannot rotate the ray further because by the definition of the efficient frontier there are no portfolios lying above the line passing through RFand G.

ال""تي اخترناه""ا للتحلي""ل ليس له""ا خص""ائُص مم""يزة .أنAالمحفظة تركيبة أي س""هم أو محفظ""ة و اإلق""راض و االق""تراض خ""الي الخط""ر يتوض""ع على ط""ول الخ""ط المس""تقيم للّعائ""د المتوق""ع و االنح""راف

نج""د أنن""ا دمجن""ا بين5.14المّعي""اري . بإلق""اء نظ""رة على الش""كل في ح""ال اإلق""راض و االق""تراض خ""الي المخ""اطر Bالمحفظ""ة

� من RFBالمجموع""ات المحتف""ظ به""ا على ط""ول الخ""ط RF ب""دال A. متفوقة على كل المجموعات الموجودةRFBالمجموعات على طول

بما أنها عرضت عائد أكبر و بنفس درجة المخاطرة . على طول

بق""درRFمن الواض""ح أن أنن""ا قمن""ا بت""دوير الخ""ط المس""تقيم ح""ول االمكان باتجاه عقارب الساعة .أبّعد نقط""ة نس""تطيع فيه""ا أن نق""وم

هي نقطة تماس الحد الفّعال م""ع الش""ّعاعG .النقطة Gبالتدوير هي على المحور الّعم"ودي.المس"تثمر ال يس"تطيع أن ي"دورRFالمار من

الش""ّعاع أك""ثر من ذل""ك بس""بب تّعري""ف الح""د الفّع""ال بأن""ه ال يوج""دG و RFمحافظ متوضّعة على الخط المار من

35

Figure 5.14 combination of the riskless asset and various risky portfolios.

خطرة 5.14الشكل محافظ و الخطر خالية االصول من تركيبة

All investors who believed they faced the efficient frontier and riskless lending and borrowing rates shown in figure 5.14 would hold the same portfolio of risky assets portfolio G. some of these investors who were very risk-averse would select a portfolio along segment RF """"G and place some of their money in riskless asset and some in risky portfolio G. Others who were mush more tolerant of risk would hold portfolios along the segment G """H , borrowing funds and placing their original capital plus the borrowed funds in portfolio G. still other investors would just place the total of their original funds in risky portfolio G. All of these investors would hold risky portfolios with exact composition of portfolio G. thus, for the case of riskless lending and borrowing, identification of portfolio G constitutes a solution to the portfolio problems. The ability to determine the optimum portfolio of risky assets without having to know anything about the investor has a special name. It is called the separation theorem.

كل المستثمرين ال""ذين يّعتق""دون أنهم يواجه""ون خ""ط الح""د الفّع""الرى في الش""كل Q""5.14مّعدل اإلقراض و االقتراض خ""الي الخط""ر و ت

سيحتفظون بنفس المحفظ""ة ذات األص""ول الخط""رة في المحفظ""ةGبّعض ه""ؤالء المس""تثمرين من المتحفظين للخط""ر س""يقومون .

و يض"ّعون بّعض أم"والهمRF """"Gباختيار محفظة على طول القسم آخ"رون أك"ثر . و Gفي األصول خالية الخطر و المحفظة الخط"رة

قدرة على احتم""ال الخط""ر س""يحتفظون بالمحاف""ظ ال""تي تق""ع على , اق""تراض األم""وال و وض""ّعها في رأس الم""الG""""" H طول القسم

.Gاألصلي باإلضافة إلى األموال المقترض""ة في المحفظ""ة م""ازال هناك مستثمرون آخ"رون سيض"ّعون مجم"ل أم"والهم في المحفظ""ة

36

س""يحتفظون بمحاف""ظ خط""رة .كل ه""ؤالء المس""تثمرينG الخطرة .و بالنتيج""ة من أج""ل مس""ألة اإلق""راض وGبنفس تركيب المحفظة

�Gاالق""تراض الخ""الي من الخط""ر , تّعري""ف المحفظ""ة يش""كل حال لمش""اكل المحفظ""ة.الق""درة على تحدي""د المحفظ""ة المثلى لألص""ولالخطرة بدون مّعرفة أي شيء عن المستثمر تدعى نظرية الفصل .

Let us for moment examines the shape of the efficient frontier under more restrictive assumptions about the ability of investors to lend and borrow at the risk-free rate. There is no question about the ability of investors to lend at the risk-free rate (buy government securities). If they can lend but not borrow at this rate, the efficient frontier becomes RF """G """"H in figure 5.15. Certain investors will hold portfolios of risky assets located between G and H.

� حول بفحُص شكل الحدود الفّع�الة تحت الفرضيات األكثر تقييدا قدرة المستثمرين على أن يقرضوا و يقترضوا عند مّعدل خالي

الخطر.اذا استطاعوا أن يقرضوا دون أن يقترضوا عند هذا المّعدل . كما في الشكلRF""G"" Hخط الحدود الفّع�الة يصبح

.مستثمرون محددون سيحتفظون بمحافظ تحوي على أصول5.15 .H و Gخطرة موجودة بين

Figure 5.15 the efficient frontier with lending but not borrowing at the riskless rate.

الحدود الفّع�الة في حال اإلقراض فقط عند مّعدل5.15الشكل خالي الخطر

37

Figure 5.16 the efficient frontier with riskless lending and borrowing at different rate.

الحدود الفّع�الة بظروف إقراض و اقتراض خالية5.16الشكل الخطر عند مّعدالت مختلفة

However, any investor who held some riskless asset would place all remaining funds in the risky portfolio G.

على أية حال، أي� مستثمر يحتفظ ببّعض األصول خالية الخطر.Gسيضع كل األموال المتبقية لديه في المحفظة الخطرة

Another possibility is that investors can lend at one rate but must pay a different and presumably higher rate to borrow. Calling the borrowing rate RF ' the efficient frontier would become RF """G """"H""""I in figure 5.16. Here there is a small range of risky portfolios that would be optional for investors to hold. If RFand RF’ are not too far apart, the assumption of riskless lending and borrowing at the same rate might provide a good approximation to the optimal range G """"H of risk portfolios that investors might consider holding.

Sن يقرضوا عند نسبةا إلمكانية األخرى بأن المستثمرين يمكن أ واحدة و لكن يدفّعوا بنسبة مختلفة و أعلى عند االقتراض و مّعدل

RFاالقتراض في الشكلRF """G"""" H""""I و الحدود الفّع�الة تصبح ' . و يوجد هنا مدى صغير للمحافظ الخطرة سيكون اختياري5.16

Sن يحتفظوا بها . إذا كانت ’ ليستا بّعيدتانRF و RFللمستثمرين أ�. فرضية اإلقراض و االقتراض الخالي من الخطر عند نفس جدا

38

للمحافظ G"""" Hالمّعدل يمكن أن يؤمن تقريب جيد للمدى األمثل الخطرة التي قد يحتفظ بها المستثمرون

Three examples:

Let’s return to the two examples discussed in chapter 4.Consider first the allocation between equity and dept. the minimum variance portfolio is given by equation 5.9.the estimated inputs for bonds and stocks are

� التخصيُص بين بالّعودة إلى المثالين في البحث السابق.نراعي أوال حقوق الملكية و الدين.المحفظة ذات الخطر األصغر تّعطى

.لديك المدخالت المحسوبة للسندات و األسهم كما5.9بالمّعادلة يلي:

RS∧P=12.5% ρS∧P, B=0.45 σ S∧P=14.9 RB=6 %

σ B=4.8

Plugging the values for standard deviation and correlation into equation 5.9 gives

يّعطي5.9بتّعويض قيم االنحراف المّعياري و االرتباط في المّعادلة :

X S∧P=(4.8)2−0.45 ( 4.8 )(14.9)

(4.8)2+(14.9)2−2(0.45)( 4.8 )(14.9)

X S∧P=0.051

Thus minimum variance portfolio involves short selling stock. The associated standard deviation is 4.75%, which is slightly less than standard deviation associated with investing 100% in bonds. The dots in figure 5.17 are plots of all combinations of the S&P index and Lehman brothers aggregate bond index, ranging from the global minimum variance portfolio to the portfolio representing 150% in common stock and -50% in bonds. The dot next to the global minimum variance portfolio represents the expected return and standard deviation of the portfolio with 0% in common stocks

و نتيجة لذلك فإن المحفظة ذات الخطر األصغر تتض""من أس""هم بي""ع % ,وه""و أق""ل4.75على المكشوف.االنح""راف المّعي""اري المرتب""ط

من االنح""راف المّعي""اري المرتب""ط باالس""تثمار في الس""ندات بنس""بة عبارة عن خرائط لكل المجموعات5.17%.النقط في الشكل 100

Lehman و مؤش""ر S&Pمن مؤش""ر brothersللس""ندات. تص""نيف % في50% في األسهم و 150المحفظة ذات الخطر األصغر يمثل

الس"ندات. النقط""ة ال"تي على يمين المحفظ""ة ذات الخط""ر األص"غر

39

تمثل الّعائد المتوقع و االنحراف المّعياري للمحفظ""ة ال"تي ال تحت""ويعلى أسهم

As we move to the right each dot represents the expected return and standard deviation of a portfolio with 10% more in common stock. This is the efficient frontier with short sales allowed (although it would continue to the right). The efficient frontier with no short sales is figure 4.4. In this case the global minimum variance portfolio is 100%in bonds.

ونحن نتحرك نحو اليمين كل نقطة تمثل الّعائد المتوقع واالنحراف ٪ في األسهم المشتركة.وهذه هي10المّعياري للمحفظة مع

الحدود الفّع�الة مع السماح بالبيع على المكشوف)بالرغم من أنه يستمر نحو اليمين( الحدود الفّع�الة مع عدم السماح بالبيع على

.في هذه الحالة المحفظة ذات4.4المكشوف تظهر في الشكل %سندات.100الخطر األصغر هي التي تحوي

At the time of this revision the interest rate on treasury bills was about 5%.using this as a riskless lending and borrowing rate, the tangency portfolio is portfolio T shown in figure 5.17. We will see how this calculated in the next chapter. The expected return and risk for portfolio T as read from the graph are 13.54% and 16.95% respectively. Thus the slope of the line connecting the tangency portfolio and the efficient frontier is

٪.5في وقت التّعديل كان سّعر الفائدة على أذون الخزانة بلغ نحو اس""تخدام ه""ذا بأن""ه مّع""دل اإلق""راض واالق""تراض خ""الي الخط""ر ، و

.5.17 المبين""ة في الش""كل tالمحفظ""ة المماس""ة هي المحفظ""ة س""نرى كي""ف يحس""ب ه""ذا في الفص""ل الت""الي. الّعائ""دات المتوقّع""ة

٪16.95 ٪ و 13.54 من الرسم البياني هي tوالمخاطر للمحفظة على التوالي. وهكذا ميل الخط الذي يربط بين الحقيب""ة المماس""ة و

الحد الفّعال هو :

40

13.54−516.96

=0.50

And the equation of the efficient frontier with riskless lending and borrowing is

و مّعادلة الحدود الفّع�الة بظروف اإلقراض واالقتراض الخاليالمخاطر :

RP=5+0.5 σP

Once we know the expected return of portfolio T we can easily determine its composition. Simply recall that

نس""تطيع بس""هولة Tبمجرد أن نّعرف الّعائد المتوقع على المحفظة تحديد تكوينه وأكتفي هنا باإلشارة إلى أن:

RP=X S∧PRS∧P+( 1– XS∧P ) RB¿¿

13.54=X S∧P (2.5 )+(1 – XS∧P ) 6.0

And

X S∧P=116% X B=−16 %

The second example we examined in chapter 4 was a combination of a domestic portfolio represented by the S&P index and an international portfolio represented by an average international funds. All combinations of these two funds without short sales were represented by figure 4.5. Note that part of these combinations is inefficient.

المث""ال الث""اني ال""ذي اختبرن""اه في الفص""ل الراب""ع ك""ان م""زيج من محفظة محلية ممثل"ة بمؤش"ر س"تاندرد آن"د ب"ورز و محفظ"ة دولي"ة ممثلة بصناديق استثمار دولية.كل المجموع""ات المكون""ة من ه""ذين

5.4النوعين من األموال بدون بي""ع على المكش""وف تمث""ل بالش""كل مع مالحظة جزء من هذه المجموعات ليس فّعال

The estimated inputs were

RS∧P=12.5%σ S∧P=14.9 ρS∧P,∫¿=0.33¿

R∫ ¿=10.5%¿σ∫¿=14.0¿

Solving for the global minimum variance portfolio we have

X S∧P=(14)2−0.33 (14 )(14.9)

(14.9)2+(14)2−2(0.33)(14 )(14.9)

41

X S∧P=0.45

Thus the global minimum variance portfolio is obtained by investing 0.45in the S&P index and 0.55 in foreign portfolio. The resulting standard deviation is11.76, which is less than the standard deviation of both portfolios. This is an example of how diversification can reduce risk. Note that it is inefficient to hold the foreign portfolio by it self. An investor wishing to accept the risk of 14% on the foreign portfolio could obtain an expect return of 12.31% by putting 90.7% in the S&P index and 9.3 in the foreign portfolio. Thus at a 14% standard deviation the increase in expected return from using the optimum combination is 1.81% with no increase in risk. The efficient frontier with no short sales is the scatter of dots in figure 5.18 from the global minimum variance portfolio to 100% in S&P index. The dot to right of the global minimum variance portfolio is expected return and standard deviation of return when there is 50% in the S&P index. Each dot as we move to the right represents the expected return and standard deviation of return as we increase the amount in the S&P index by 10%. The efficient frontier with short sales allowed is the complete scatter of dots shown in Figure 5.18 (although it would continue to the right).

و هك""ذا المحفظ""ة ذات الخط""ر األص""غر يمكن أن نحص""ل عليه""ا في المحفظ""ة0.55 في مؤشر ستاندرد آند ب""ورز و 0.45باستثمار

و ال""ذي ه""و أق""ل من11.76األجنبي""ة.االنح""راف المّعي""اري الن""اتج االنح""راف المّعي""اري لكال المحفظ""تين.و ه""ذا مث""ال على أن التنوي""ع

% من14يقل""ل من الخط""ر. ل""دينا مس""تثمر على اس""تّعداد لقب""ول % بوض""ع12.31الخطر لمحفظة أجنبية ليحص""ل على عائ""د متوق""ع

% في المحفظ"""ة9.3% بمؤش"""ر س"""تاندرد آن"""د ب"""ورز و 90.7 % سوف14األجنبية.و كذا فإنه عند االنحراف المّعياري المساوي ل

و1.81يزداد الّعائد المتوق""ع من اس""تخدام الم""زيج األمث""ل و يك""ون بدون زيادة في المخاطرة. إن الحدود الفّع�ال""ة ب""دون عملي""ات ال""بيع

من5.18على المكش""وف تمث""ل بالنق""اط المبّع""ثرة في الش""كل % في مؤش"""ر100المحفظ"""ة الّعالمي"""ة ذات الخط"""ر األدنى إلى

ستاندرد آند بورز. النقط""ة ال""تي تق""ع على يمين المحفظ""ة الّعالمي""ة ذات الخط""ر األدنى هي الّعائ""د المتوق""ع و االنح""راف المّعي""اري عن""د

% في مئشر ستاندرد آن""د ب""ورز.,ك""ل نقط""ة عن""دما نتح""رك إلى50 اليمين تمثل الّعائد و االنحراف المّعي""اري بزي""ادة الكمي""ة في مؤش""ر

%.إن الحدود الفّع�الة التي تتض""من ال""بيع10ستاندرد آند بورز بنسبة على المكشوف تتمثل في النقاط المبّعثرة بش""كل كام""ل كم""ا ن""رى

% في100من الحفظة ذات الخطر األدنى حتى 5.18في الشكل .النقط""ة ال""تي على يمين المحفظ""ة ذات الخط""ر األدنىS&Pمؤشر

S&P% في مؤش"ر 50هي الّعائد المتوقع و اإلنحراف المّعياري عند .كل نقطة باتجاه اليمين تظهر الّعائد المتوقع و االنح""راف المّعي""اري

42

.الح""د الفّع""ال م""عS&P% في مؤش""ر 10عن الّعائ""د بّع""دا اخف""اض السماح بالبيع على المكشوف هو انتش""ار ت""ام للنق""ط الظ""اهرة في

) على الرغم من أنها ستستمر نحو اليمين(5.18الشكل

If the riskless lending and borrowing rate 5%, then the tangency portfolio is 61% in the S &P index and 39% in the international portfolio. The associated mean return is 11.72 and standard deviation of return is 12.4%. Thus the slop of the efficient frontier with riskless lending and borrowing is

Qق""د�ر ب" %ف""إن5إذا كان مّعدل اإلقراض واالقتراض الخلي الخاطر ي % في مؤشر ستاندرد آن""د ب""ورز و61المحفظة المماسة تكون عند

و االنح""راف11.72% في المحفظة الدولي""ة, الّعائ""د المتوس""ط 39 . و هكذا فإن ميل خط الحد الفّعال بظروف إقراض12.4المّعياري

و اقتراض خالي الخطر :

11.72−512.04

=¿.588

And the equation of the efficient frontier is

ومّعادلة الحدودT الفّع�الة هي :

RP=¿ 5+.588σ P

As a third example consider the asset allocation problem across bonds, domestic stocks, and international stocks. We continue to use all the inputs from the prior example. We need one additional input, the correlation coefficient between bonds and the international portfolio.

كمث""ال ث""الث فك""ر في مش""كلة توزي""ع األص""ول بين الس""ندات و األسهم المحلية، واألسهم الدولية.سوف نستمر باستخدام المدخالت من المث""ال الس""ابق . و نحت""اج إلى م""دخل إض""افي و ه""و مّعام""ل

االرتباط بين السندات و المحافظ الدولية

43

Figure 5.18 the efficient frontier.

خط الحد الفّع�ال5.18شكل

Figure 5.19 Combination of bonds, domestic stocks, and international stocks.

مجموعة من السندات و األسهم المحلية، واألسهم5.19شكل الدولية

Past data indicate a value of .05 is reasonable. Various combinations of these three assets, some of which lie on the efficient frontier and some of which do not, are plotted as dots in Figure 5.19. Note that both the international portfolio and the bond portfolio are obviously dominated by other portfolios. The figure does not include portfolios involving short sales. Thus, since the S &P has the highest expected return it is not dominated. The efficient frontier would be the dots that have the highest mean return for a given standard deviation.

مّعقول""ة. ل""دينا مجموع""ات0.5تشير البيانات السابقة إلى أن قيمة مختلفة من هذه األصول الثالثة حيث يقع بّعضها على الحد الفّع""ال و

. نالح""ظ5.19بّعضها ال يقع و هي مخطط""ة بنق""ط كم""ا في الش""كل بأن كل من المحفظة الدولية و محفظ"ة الس"ندات مس"يطر عليهم"ا

Sتضم�ن المحافظ ال""تي من قبل المحافظ األخرى بوضوح. الشكل ال ي.و هك""ذا و بم""ا أن س""تاندرد آن""د ب""ورز Sالبيع على المكش""وف Qتضم�نS ت تمل"""""ك أعلى درج"""""ات في الّعائ"""""د المتوق"""""ع فهي ليس"""""ت المسيطرة.الحدود الكفؤة ستكون النقاط التي لها أعلى عائد مقابل

االنحراف المّعياري المّعطى

The tangency portfolio with a riskless lending and borrowing rate has the following portfolios.

44

المحفظة المماسة في ظروف اإلقراض و االقتراض خالية المخاطرلها المحافظ التالية :

X S∧P=.581

X B=.038

X∫¿¿ =.0381

The expected return of this portfolio is 11.49%, and the standard deviation is 11.64%. Thus the slop of efficient frontier with riskless lending and borrowing is .558 and the equation of the efficient frontier is

% و االنحراف المّعياري11.49الّعائد المتوقع لهذه المحفظة % و هكذا فإن ميل الحد الفّعال في ظروف إقراض و11.64

و مّعادلة خط الحد الفّعال :0.558اقتراض خالية المخاطر يساوي

RP= 5 + .558σ P

Comparing this to the efficient frontier derived with two risky assets and riskless assets shows this efficient frontier dominates the efficient frontier using only S&P and bonds as the risky assets but to three places to the right of the decimal point is identical to the efficient frontier using only the S&P and the international portfolio as the risky assets. Thus, adding bonds to the combination of the S&P and international portfolio doesn’t lead to much improvement in the efficient frontier with riskless lending and borrowing.

بمقارنة هذه النتيجة م""ع ح""دود كف""وءة اش""تقت بأص""لين خط""رين وأصولT خالية المخاطر يظهران أن هذه الحدودT الفّع�الة تسيطر على الحدودT الفّع�الة التي تستخدم مؤشر ستاندارد آند بورز و الس""ندات كأصول الخطرة و لكن إلى ثالثة أماكن إلى يمين الفاصلة الّعش""رية مطابقة للحدود الفّع�الة التي تس""تخدم مؤش""ر س""تاندارد آن ب""ورز و المحافظ الدولية كأصول خطرة. و هك""ذا، إن إض""افة الس""ندات إلى المحافظ الدولية ال يؤدي إلى تحس�ن كبير في الحد الفّعال بظ""روف

إقراض و اقتراض خالي المخاطر.

CONCLUSION

In this chapter we have defined the geometric properties of that set of portfolio all risk-avoiding investors would hold regardless of their specific tolerance for risk. We have defined this set- the efficient frontier - under alternative assumptions about short sales and the ability of the investor to lend and borrow at the riskless rate. Now that we understand the geometric properties of the efficient frontier, we have in a position to discuss solution techniques to the portfolio problem.

45

الخاتمة :

Tتّعرفن""ا على الخص""ائُص الهندس""ية لمجموع""ة منفي ه""ذا الفص""ل محافظ األوراق المالية للمس""تثمرين المتحفظين بغض النظ""ر عن

ا ه""ذه المجموع""ة - الح""دود تقبلهم لدرجة مّعين""ة من الخط""ر. S""فن عر� الفّع�الة - تحت الفرضيات البديلة حول البيع على المكشوف وقدرة المستثمر اإلقراض و اإلقترض عند مّعدل الخالي من الخط""ر، اآلن فهمنا الخصائُص الهندسية للح""د الفّع""ال ، و بمك""ان بحيث نس""تطيع

أن نناقش الحلول التقنية لمشكلة المحفظة

QUESTIONS AND PROBLEMS

1. Return to the example presents in Problem 1, Chapter 4.

A. Assuming short selling is not allowed:

(1) For securities 1 and 2 find the composition, standard deviation, and expected return of that portfolio that has minimum risk.

(2) On the same graph plot the expected return and standard deviation for all possible combinations of securities 1 and 2.

(3) Assuming that investors prefers more to less and are risk avoiders indicates in red those sections of the diagram in Part 2 that are efficient.

(4) Repeat steps 1,2 and 3 for all other possible pair wise combinations of the securities shown in Problem 1 of Chapter 4.

B. Assuming short selling is allowed:(1) For securities 1 and 2 find the composition, standard deviation, and expected

return of That portfolio that has minimum risk.(2) On the same graph plot expected return and standard deviation for all possible

Combinations of securities 1 and 2.(3) Assuming that investors prefers more to less and are risk avoiders indicates in red

those sections of the diagram in Part 2 that are efficient.(4) Repeat steps 1,2 and 3 for all other possible pair wise combinations of the

securities shown in Problem 1 of Chapter 4.C. Assuming that the riskless lending and borrowing rate is 5%, and short sales are allowed,

find the location of the optimal portfolio from among those considered. Repeat for a rate of 8%.

2. Answer the question to Problem 1 with data from chapter 4, Problem 2.

3. For Problem 2 find the composition of the portfolio that has minimum variance foe each two security combinations you considered.

46

4. Derive the expression for the location of all portfolios of two securities in expected return standard deviation space when the correlation between the two securities is -1.

Expected Return Standard DeviationSecurity 1 10% 5%Security 2 4% 2%

5.

For the 2 securities shown plot all combinations of the 2 securities in RPσP space. Assume ρ = 1, -1, 0. For each correlation coefficient what is the combination that yields the minimumσ P and what is thatσ P ? Assume no short selling.

6. In problem 5, assume a riskless rate of 10%. What is the optimal investment?

47