darja poto ar, fmf 2. 9. 2005 · 2006-10-23 · matematika, 3. letnik 30. ²olska ura ema:t dvojni...

MATEMATIKA, 3. letnik 27. ²olska ura

Tema: Ponovitev Poglavje: Kotne funkcijeOblika: vaje Pripomo£ki:

DARJA POTO�AR, FMF 2. 9. 2005

Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku:

V

α

B1

B1

A

A1

Slika 1

sinα =|AA1||V A|

=|BB1||V B|

cosα =|V B1||V B|

=|V A1||V A|

tanα =sinα

cosαcotα =

cosα

sinα=

1

tanα

Zveze med kotnimi fumkcijami:

sin2 α+ cos2 α = 1

1 + cot2 α =1

sin2 α

1 + tan2 α =1

cos2 α

V pravokotnem trikotnikuopazimo:

sinα = cos(90◦ − α)

cosα = sin(90◦ − α)

Primeri:• V pravokotnem trikotniku meri osnovnica c = 8cm, stranica a = 4cm. Koliko merijo

koti v trikotniku?[R : α = 30◦, β = 60◦]

• Poenostavi (kolikor se da):a) sin3 α+ sinα cos2 αb) cos β − cos β sin2 β − cos3 β[R : a) sinα, b)0]

• Imamo enakokrak trikotnik z osnovnico |AB| = c in kotom γ pri vrhu. Dolo£i obsegkroga, ki se dotika obeh krakov in ima sredi²£e v razpolovi²£u stranice AB.[R : ob = 2πr, r = c·cos(γ/2)

2]


Tema: Prehod na ostri kot, periodi£nost,... Poglavje: Kotne funkcijeOblika: frontalna Pripomo£ki:


α

cosα

sinα

Slika 2

+

+ +

+--

-

-

Slika 3

Zaloga vrednosti sin in cos: | sinα| ≤ 1, | cosα| ≤ 1.

Periodi£nost:

cos(α+ 2πk) = cosα tan(α+ πk) = tanα

sin(α+ 2πk) = sinα cot(α+ πk) = cotα

Sodost, lihost:cos(−α) = cosα . . . cos je soda funkcija

sin(−α) = − sinα . . . sin je liha funkcija

tan, cot(−α) = − tan, cotα . . . tan in cot sta lihi funkciji

Prehod na ostri kot (α):

sin(π − α) = sinα sin(π + α) = − sinα

cos(π − α) = − cosα cos(π + α) = − cosα

Tabela ostrih kotov:

0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2

cosα 1√

3/2√

2/2 1/2 0 −1 0

sinα 0 1/2√

2/2√

3/2 1 0 −1

Primeri:• Naj bo π < α < 3π/2 in sinα = −0, 8. Dolo£i cosα! (Pomagaj si s sliko B.)

[R : cosα = −0, 6]• Naj bo sinα+ cosα = 4/3. Dolo£i 2 sinα cosα!

[R : (4+√

2)(20−√

6)18

]

• Izra£unaj sin (20π/3)+cos (19π/4)

sin2(−11π/3)−cos (19π/6)=?

[R : 4√

6+6√

3−6√

2−12−3

]


Tema: Adicijski izreki Poglavje: Kotne funkcijeOblika: frontalna Pripomo£ki:


Izpeljava adicijskih izrekov:

α

T1(cosα, sinα)

~f~g

β − α

β

T2(cos β, sin β)

Slika 4

~g · ~f = |~g||~f | · cos(α− β); ker imamo enotskokroºnico, sta |~g| = |~f | = 1.~g = (cosα, sinα), ~f = (cos β, sin β)⇒ cos(α− β) = cosα cos β + sinα sin β

�e upo²tevamo cos(α+β) = cos(α− (−β)), sinα = cos(π/2−α) in tan(α+β) = sin(α+β)cos(α+β)

,dobimo adicijske izreke:

A-1 cos(α± β) = cosα cos β ∓ sinα sin β

A-2 sin(α± β) = sinα cos β ± cosα sin β

A-3 tan(α± β) = tan α±tan β1∓tan α tan β

Primeri:• Izpelji adicijski izrek za tangens!• Izra£unaj sin 75◦!

[R :√

2+√

64

]• Dolo£i sin(π/3− α), £e je 0 < α < π in cosα = −3/5.

[R : −3√

3−410

]• Poenostavi izraz sin(α+ β) cosα− cos(α+ β) sinα.

[R : sin β]• �e so α, β, γ koti v trikotniku, pokaºi, da je

cos2 α+ cos2 β + cos2 γ + 2 cosα cos β cos γ = 1.• Izra£unaj cos(α−β+γ), £e je cosα = 12/13, sin β = 8/17, sin γ = 3/5 in so koti α, β, γ

ostri.[R : 943

1105]


Tema: Dvojni in polovi£ni koti Poglavje: Kotne funkcijeOblika: frontalna Pripomo£ki:


Dvojni koti

Kako bi z dosedanjim znanjem izpeljali formulo za sin 2α?Morda z adicijskimi izreki?

sin 2α = sin(α+ α) = sinα cosα+ cosα sinα = 2 sinα cosαcos 2α = cosα cosα− sinα sinα = cos2 α− sin2 α

sin 2α = 2 sinα cosα

cos 2α = cos2 α− sin2 α

Polovi£ni koti

Upo²tevajmo, da je cos2 α = 1− sin2 α in cos 2α = cos2 α− sin2 α = 1− sin2 α− sin2 α.Tako je 2 sin2 α = 1− cos 2α. Zamenjamo α z α/2 in dobimo formulo

sin α2

= ±√

1−cos α2

.

Predznak je odvisen od intervala, na katerem leºi α/2.

Podobno lahko iz cos 2α = cos2 α− (1− cos2 α) dobimo cos2 α = 1+cos 2α2 in od tod

cos α2 = ±

√1+cos α

2 .

Primeri:

• Poenostavi izraz cos2(2x)− sin2(2x).[R : cos 4x]

• Naj bo sinx = 1/√

5 in π/2 < x < π. Dolo£i sin 2x, cos 2x.[R : sin 2x = −4/5, cos 2x = 3/5]

• Poenostavite sin 2x−2 sin x1+cos 2x−2 cos x

[R : tan x]

• Poenostavite (4 tan α2 − 4 sin3 α

2cos α

2) : sin α

[R : 2]


Tema: Vaje Poglavje: Kotne funkcijeOblika: vaje Pripomo£ki:


1. Izra£unaj natan£no (brez kalkulatorja), rezultat racionaliziraj!

a)tan(945◦) cos2(−600◦)

sin2(34π/6)

[R :√

3/3]

b) (cos 2π − 4 sin 750◦) : (1 + 4 cos 13π4

)− tan(−20π/3) cot 1140◦

[R : 6−2√

2−7

]

2. Poenostavi:

a) cos−1 x · (1 + cot2 x)−1 + sinx · tan−1 x[R : 1/ cosx]

b) 1/2 · sin(5π − 2x) : cotx+ sin2(5π/2− x)[R : 1]

c)sin−1 x− sin x

cotx+ (1 + tan2 x) · cosx

1 + cot2 x

[R : 1/ cosx]

3. Naj bo cosα = −3/5, π/2 < α < π.Izra£unaj: sin 2α, cos 2α, sin(α+ π).[R : sin 2α = −24/25, cos 2α = −7/25, sin(α+ π) = −4/5]

4. Izra£unaj cos(π/3− 2x), £e velja cotx = −3/4, π/2 < x < π.[R : −7−24

√3

50]

5. Ugotovi sodost oz. lihost funkcije:

f(x) =sin x · tan xx3 · cosx

.

[R : f(x) je liha]


Tema: Faktorizacija Poglavje: Kotne funkcijeOblika: frontalna Pripomo£ki:


Izpeljava:

• sin(α+ β) = sinα cos β + cosα sin βsin(α− β) = sinα cos β − cosα sin βSe²tejemo in dobimo: sin(α+ β) + sin(α− β) = 2 sinα cos β.

De�nirajmo: α+ β = γ, α− β = δ =⇒ α = γ+δ2, β = γ−δ

2. ♣

Tako dobimo naslednji dve enakosti:

sin γ + sin δ = 2 sin(γ + δ

2) cos(

γ − δ

2)

sin γ − sin δ = 2 sin(γ − δ

2) cos(

γ + δ

2)

• cos(α+ β) = cosα cos β − sinα sin βcos(α− β) = cosα cos β + sinα sin β

∗�e zgornji dve vrstici se²tejemo in upo²tevamo ♣, dobimo enakost

cos γ + cos δ = 2 cos(γ+δ2

) cos(γ−δ2

).

∗�e pa zgornji dve vrstici od²tejemoin zopet upo²tevamo ♣, pa dobimo

cos γ − cos δ = −2 sin(γ+δ2

) sin(γ−δ2

).

Primeri:• sin 2x+ cos 4x =?, cos 105◦ − cos 75◦ =?

[R : 2 sin 3x cosx, −1]• Poenostavi 1+sin x

1−sin x.

• Dokaºi: cos(α+ π/6) + cos(α− π/6) =√

3 cosα.• �e je α oster kot, dokaºi, da je

√1 + sinα−

√1− sinα = 2 sin

α

2.


Tema: Raz£lenitev produkta Poglavje: Kotne funkcijeOblika: frontalna Pripomo£ki:


Izpeljava:

∗ sin(α+ β) + sin(α− β) = 2 sinα cos β

sinα cos β = 12[sin(α+ β) + sin(α− β)]

∗ cos(α+ β) + cos(α− β) = 2 cosα cos β

cosα cos β = 12[cos(α+ β) + cos(α− β)]

∗ cos(α+ β)− cos(α− β) = −2 sinα sin β

sinα sin β = −12[cos(α+ β)− cos(α− β)]

Primeri:

• Poenostavi:sin(3x− y)− sin(3y − x)

cos 2x+ cos 2y=

[R : tan(x− 2y)]• Poenostavi:

sin(30◦ − x)− cosx

sin x− cos(30◦ − x)=

[R :√

3]• Poenostavi: 2− tanα− cotα !

[R : 2 sin 2α−2sin 2α

]• Poenostavi: sinα+ sin β + sin γ, kjer so α, β, γ koti v trikotniku.• Izpeljimo naslednji dve formuli: tanα± tan β in cotα± cot β!

[R : tanα+ tan β = sin(α±β)cos α·cos β

, cotα+ cot β = ± sin(α±β)sin α·sin β

]

• Dokaºi, da velja: cos(α+ β) cos(α− β) = cos2 β − sin2 α!• Dokaºi: 4 sin(π/4 + α) sin(π/4− α) cos 2α = 1 + cos 4α.


Tema: Graf funkcije f(x) = sinx Poglavje: Kotne funkcijeOblika: frontalna Pripomo£ki: ravnilo


� f(x) = sinx . . .SINUSOIDA

• sin(−x) = − sin x. . . prezrcalimo £ez izhodi²£e

• sin(x+ 2πk) = sinx . . . perioda je 2π!

• Najve£ja vrednost: sin x = 1 =⇒ x = π2

+ 2πk, k ∈ Z

• Najmanj²a vrednost: sin x = −1 =⇒ x = −π2

+ 2πk, k ∈ Z

• Ni£le: sinx = 0 =⇒ x = 0 + πk, k ∈ Z

Slika 5: sinusoida

Primeri:• Nari²i graf funkcije f(x) = 1 + sinx.• Dolo£i najve£jo in najmanj²o vrednost funkcije f(x) = 3 + 2 sinx.

[R : max = 4, min = 2]• Za kak²ne x ni de�niran izraz

sin x

1− sin2 x?

[R : x = ±π2

+ 2kπ]

MATEMATIKA, 3. letnik 35 (1). ²olska ura

Tema: Graf funkcije f(x) = cosx Poglavje: Kotne funkcijeOblika: frontalna Pripomo£ki: ravnilo


� f(x) = cosx . . .KOSINUSOIDA

• cos(−x) = cosx. . . simetri£na glede na x - os

• cos(x+ 2πk) = cosx . . . perioda je 2π!

• Najve£ja vrednost: cosx = 1 =⇒ x = 0 + 2πk, k ∈ Z

• Najmanj²a vrednost: cosx = −1 =⇒ x = π + 2πk, k ∈ Z

• Ni£le: cosx = 0 =⇒ x = π2

+ πk, k ∈ Z

• sin(x+ π/2) = cos x

Slika 6: kosinusoida

Primeri:• Nari²imo graf funkcije f(x) = | cosx|.• Nari²imo graf funkcije f(x) = − cosx+ 1

2.

• V istem koordinatnem sistemu nari²i graf funkcije f(x) = cosx−1 in premico y = −1/2ter zapi²i njuna prese£i²£a.[R : (π

3+ kπ,−1

2), (−π

3+ kπ,−1

2), k ∈ Z]

MATEMATIKA, 3. letnik 35 (2). ²olska ura

Tema: Graf funkcije f(x) = tan x, cotx Poglavje: Kotne funkcijeOblika: frontalna Pripomo£ki: ravnilo


� f(x) = tanx• tan(−x) = − tan x• tan(x+ πk) = tan x . . . perioda je π

tan x = sin xcos x

. . . racionalna funkcija• Ni£le: sin x = 0 =⇒ x = 0 + πk, k ∈ Z• Poli: cosx = 0 =⇒ x = π

2+ πk, k ∈ Z

Slika 7: tangens

� f(x) = cotx• cot(−x) = − cotx• cot(x+ πk) = cotx . . . perioda je π

cotx = cos xsin x

. . . racionalna funkcija• Ni£le: cosx = 0 =⇒ x = π

2+ πk, k ∈ Z

• Poli: sin x = 0 =⇒ x = 0 + πk, k ∈ Z

Slika 8: kotangens


Tema: Risanje grafov kotnih funkcij Poglavje: Kotne funkcijeOblika: frontalna, vaje Pripomo£ki: ravnilo


Vaja:Dolo£i de�nicijsko obmo£je funkcij:

a) f(x) = 3 + 2 sinx

b) f(x) = 1−tan2 x1+tan2 x

.

RISANJE GRAFOV:

f(x) = A sin(ωx+ ϕ) + c = A sin(ω(x+ϕ

ω)) + c

A . . . amplituda, razteg po y - osiω . . . frekvenca nihanja, razteg po x - osi:

ω < 1 ⇒ razteg

ω > 1 ⇒ skr£itev

ϕω. . . premik po x - osi

c . . . premik po y - osiT = 2π

ω. . . perioda, na koliko se graf funkcije ponavlja

1. Nari²imo graf funkcije f(x) = sin 2x!

• Ni£le: sin 2x = 0 =⇒ 2x = 0 + πk =⇒ x = π/2k, k ∈ Z• Najve£ja vrednost: sin 2x = 1 =⇒ 2x = π/2+2πk =⇒ x = π/4+πk, k ∈ Z• Perioda: T = 2π

2= π

2. f(x) = sin x2

• Ni£le: sin x2

= 0 =⇒ x2

= 0 + πk =⇒ x = 0 + 2πk, k ∈ Z• Najve£ja vrednost: sin x

2= 1 =⇒ x

2= π/2 + 2πk =⇒ x = π + 4πk, k ∈ Z

• Perioda: T = 2π1/2

= 4π


Tema: Risanje grafov kotnih funkcij Poglavje: Kotne funkcijeOblika: frontalna, vaje Pripomo£ki: ravnilo


Nari²imo grafe naslednjih funkcij:

1. f(x) = sin(x2− π

4) = sin(1

2(x− π

2))!

a) Najprej nari²emo funkcijo sinx.

b) sin 12x . . . razteg po x - osi

c) sin(12(x− π

2 )) . . . premik po x - osi za π/2 v desno!

d) T = 4π . . . perioda

2. f(x) = 2 cos(π − 2x) = 2 cos(2x− π) = 2 cos 2(x− π2)

a) cosx

b) cos 2x . . . skr£itev po x - osi

c) cos 2(x− π2 ) . . . premik po x - osi za π/2 v desno

d) 2 cos 2(x− π2 ) . . . razteg po y - osi

e) T = π . . . perioda

3. f(x) = − cos(x2

+ π4) = − cos 1

2(x+ π

2)

a) Nari²imo najprej f(x) = cos x2 :

cosx

2= 0 cos

x

2= 1 cos

x

2= −1

x

2=

π

2+ πk

x

2= 0 + 2πk

x

2= π + 2πk

x = π + 2πk x = 0 + 4πk x = 2π + 4πk

b) cos 12(x + π

2 ) . . . premik po x - osi za π/2 v levo

c) − cos 12(x + π

2 ) . . . zrcaljenje preko x - osi

4. f(x) = −23cos(x− π

4)


Tema: Vaje - risanje grafov kotnih funkcij Poglavje: Kotne funkcijeOblika: vaje Pripomo£ki: ravnilo


1. f(x) = | sin x|+ 1

a) sin x

b) | sin x| . . . kar je negativnega, prezrcalimo £ez x - os

c) | sinx|+ 1 . . . premik po y - osi za 1 gor

2. f(x) = 12cos 2x+ 1

3. f(x) = sin2 x

sin2 x = sinx · sin x = −12(cos 2x− cos 0) = −1

2cos 2x+ 1

2cos 0 = −1

2cos 2x+ 1

2

Torej, risali bomo funkcijo f(x) = −12 cos 2x + 1

2 .

4. A sin(ωx + ϕ) = A sin(ωx) cos ϕ + A cos(ωx) sinϕ

a = A cos ϕb = A sinϕa2 + b2 = A2 in tanϕ = b

af(x) = a sin(ωx) + b cos(ωx)

Primer:

Kako nari²emo funkcijo f(x) =√

3 sinx− cos x?a =

√3, b = −1, A2 = 4, A = ±2

tanϕ = −√

33 ⇒ ϕ = −π/6

f(x) = ±2 sin(x− π/6) in ker je sin(−π/6) = −1/2, je

f(x) = +2 sin(x− π/6).

5. f(x) = 2 sin 3x + 2√

3 cos 3x[R : f(x) = +4 sin(3x + π/3)]


Tema: Vaje Poglavje: Kotne funkcijeOblika: vaje Pripomo£ki: ravnilo


1. Izra£unaj brez kalkulatorja:sin2 2π

3cos 15π

4

cos2 25π6

sin 25π4

=

[R : 1]

2. Poenostavi:cos−1 x− cosx

sin x cos−1 x− 1

sin−1 x− sin x=

[R : − tan2 x sin x]

3. Faktoriziraj(poenostavi):sin(30◦ − x)− cosx

sin x− cos(30◦ − x)

[R :√

33

]

4. Dolo£i de�nicijsko obmo£je funkcije

f(x) = 3√

2 sinx− 1 + cos x− 2!

[R : Df = [π6

+ 2kπ, 5π6

+ 2kπ], k ∈ Z]

5. Nari²i graf funkcije f(x) = 2 cos(x3

+ π6) + 1.

Dolo£i ni£le, de�nicijsko obmo£je in zalogo vrednosti![Ni£le: x = 3π

2+ 6kπ, k ∈ Z]

6. Poenostavi in nari²i:

f(x) = cos(5π − 4x

2)− sin(4π − 2x).

[R : f(x) = 2 sin 2x]


Tema: f(x) = arcsinx Poglavje: Kroºne funkcijeOblika: frontalna Pripomo£ki: ravnilo


� f(x) = arcsinx

• Naj bo y ∈ R med -1 in 1. Ena£ba sin x = y ima neskon£no re²itev (glejmo grafsin x). Izkaºe se: £e poznamo eno re²itev ena£be, vse druge re²itve lahko s to danopreprosto izrazimo.

� �e je 0 ≤ y ≤ 1, ima ena£ba sin x = y natanko eno re²itev na intervalu [0, π2].

� �e pa je −1 ≤ y ≤ 0, ima ena£ba sin x = y natanko eno re²itev na intervalu[−π

2, 0].

Zdruºimo oba primera: Naj bo −1 ≤ y ≤ 1. Ena£ba sin x = y ima na intervalu[−π

2, π

2] natanko eno re²itev , ki jo ozna£imo z

arcsiny.

• De�nicija:

arcsin y je tak kot med −π2in π

2, da je njegov sinus enak y.

arcsin y ∈ [−π2

π2],

sin(arcsin y) = y

• Funkcija arcsin : [−1, 1] −→ [−π2, π

2] je bijektivna.

• arcsinx je inverzna funkciji sin x, zato jo dobimo tako, da graf sin x preslikamo £ezsimetralo lihih kvadrantov.(Nari²i graf!)

Primeri:• Izra£unaj arcsin 0!

Re²itev: Ena£ba sinx = 0 ima re²itev x = 0. Zato je arcsin 0 = 0.

• Izra£unaj na pamet: arcsin√

32, arcsin(tan π

4).

[R : π3, π

2]

• Dana je funkcija f(x) = arcsin(x+ 1) + π4.

a) Izra£unajte f(0), f(−1/2).b) Izra£unajte ni£lo funkcije f in nari²ite njen graf.c) Zapi²ite de�nicijsko obmo£je in zalogo vrednosti.[R : a) f(0) = 3π

4, f(−1

2) = 5π

12, b) x = −1−

√2

2, c) Df = [−2, 0], Zf = [−π

4, 3π

4]]


Tema: f(x) = arccos x, f(x) = arctanx Poglavje: Kroºne funkcijeOblika: frontalna Pripomo£ki: ravnilo


� f(x) = arccosx

• Ena£ba cosx = y (−1 ≤ y ≤ 1) ima na intervalu [0, π] natanko eno re²itev, ki joozna£imo z

arccosy.

• De�nicija:

arccos y je tak kot med 0 in π, da je njegov kosinus enak y.

arccos y ∈ [0, π],cos(arccos y) = y

• Funkcija arccos : [−1, 1] −→ [0, π] je bijektivna.

• arccos x je inverzna funkciji cosx.(Nari²i graf!)

� f(x) = arctanx

• Ena£ba tan x = y ima na intervalu (−π2, π

2) natanko eno re²itev, ki jo ozna£im z

arctany.

• De�nicija:

arctan y je tak kot ∈ (−π2, π

2), da je njegov tangens enak y.

arctan y ∈ [−π2, π

2],

tan(arctan y) = y

• Funkcija arctan : R −→ (−π2, π

2) je bijektivna.

• arctanx je inverzna funkciji tan x. (Nari²i graf!)

Primeri:• Izra£unaj arccos(− cot π

4), arctan(sin 3π

2).

[R : π, −π4]

• Za funkcijo f(x) = arctanx+ π6zapi²ite ni£lo, ena£bi asimptot in nari²ite njen graf.

[R : ni£la: x = −√

33, asimptoti: y = −π

3, y = 2π

3]


Tema: Kot med dvema premicama Poglavje: Kotne funkcijeOblika: frontalna Pripomo£ki: ravnilo


Kot med dvema premicama:

3x+ 1− y = 54x+ 2y − 3 = 0Izra£unaj kot, pod katerim se sekata zgornji premici!

Izpeljava:

α2

p1

α1

αp2

Slika 9

α2 = α1 + αα = α2 − α1

tanα = tanα2 − tanα1

tanα =sinα2

cosα2

− sinα1

cosα1

=sinα2 · cosα1 − sinα1 · cosα2

cosα2 · cosα1

=tanα2 − tanα1

1 + tanα2 · tanα1

T2

x1 x2

T1

y2

y1

Slika 10

tanα =y2 − y1

x2 − x1

= k

Na² primer:k1 = 3 = tanα1

k2 = −2 = tanα2=⇒ tanα = −2−3

1+(−2)·3 = 1 =⇒ α = π/4

Primeri:• Izra£unaj kot med premicama y − 1 + 5x = 0 in −5y + 10x− 2 = 0.

[R : α = 37◦52‘]• Dolo£i implicitno ena£bo premice, ki poteka skozi to£ko T (2,−1) in seka premico

2x− y = 2 pod kotom α = π/4.[R : 3y − x+ 5 = 0]


Tema: Polarni koordinatni sistem Poglavje: Polarni zapis C ²tevilOblika: frontalna Pripomo£ki:


Slika!

1. Pretvarjanje iz kartezi£nih v polarne koordinate T (x, y) −→ T (r, ϕ):

r =√x2 + y2, tanϕ =

y

x

Primer:Spremeni to£ki T (3, 3) in T (−2,−2) v polarni koordinati.

2. Pretvarjanje iz polarnih v kartezi£ne koordinate T (r, ϕ) −→ T (x, y):

x = r · cosϕ, y = r · sinϕ

Primer:Spremeni to£ko T (2, 330◦) v kartezi£ne koordinate.

Polarni zapis C ²tevil:

z = a+ bi

|z| =√a2 + b2 . . . absolutna vrednost kompl. ²tevila,

tanϕ = ba . . . argument kompl. ²tevila,

a = |z| · cos ϕ, b = |z| · sinϕ

=⇒ z = |z| cos ϕ + i|z| sinϕ oz.

z = |z|(cos ϕ + i sinϕ) zapis kompleksnega ²tevila v polarnem

Primeri:

• z = 1− i in z = −√

3 + i zapi²i v polarni obliki.

[R : z1 =√

2(cos π4 − i sin π

4 ), z2 = 2(cos π6 − i sin π

6 )]• Kaj predstavlja mnoºica to£k |z| = 2 ?

[R : kroºnica: S(0, 0), r = 2]• Predstavi v polarni obliki:

a) cos π10 − i sin π

10b) −3(cos π

5 + i sin π5 )


Tema: Ra£unanje v C - Moivrova formula Poglavje: Polarni zapis C ²tevilOblika: frontalna Pripomo£ki:


z = |z|(cosϕ+ i sinϕ)w = |w|(cosψ + i sinψ)

1. Produkt:

z · w = |z||w|(cosϕ+ i sinϕ)(cosψ + i sinψ) =

= |z · w|(cosϕ cosψ − sinϕ sinψ + i(sinϕ cosψ + cosϕ sinψ))

= |z · w|(cos(ϕ+ ψ) + i sin(ϕ+ ψ))

2. Inverz:

z−1 =1

z=

z

|z2|=|z|(cosϕ− i sinϕ)

|z2|=

1

|z|(cosϕ− i sinϕ)

3. Potenciranje:

zn = |z|n(cosnϕ+ i sinnϕ), n ∈ Z

(cosϕ+ i sinϕ)n = cosnϕ+ i sinnϕ Moivrova formula

Primer: z = 1 + i, z10 =? [R : 32i]

4. Kvocient:z

w=|z||w|

(cos(ϕ− ψ) + i sin(ϕ− ψ))

Primer: (3−3i)10

(2+2i)2=? [R : −4 · 310]

5. Koreni enote: Re²itvam ena£be zn = 1 pravimo n-ti koreni enote. Te re²itve pasestavljajo oglji²£a pravilnega n-kotnika in to so ²tevila

zk = cos2kπ

n+ i sin

2kπ

n,

kjer je k = 0, 1, 2, ..., n− 1.Primer: Poi²£i korene enote ena£b x4 = 1 in x3 = 1.[R : xk = cos 2kπ

4+ i sin 2kπ

4, k = 0, 1, 2, 3

xk = cos 2kπ3

+ i sin 2kπ3, k = 0, 1, 2]

Primeri:• Dolo£i vse z, ki re²ijo ena£bo z3 = 1− i.

[R : z0 = 6√

2(cos 7π12

+ i sin 7π12

)

z1 = 6√

2(cos 15π12

+ i sin 15π12

)

z2 = 6√

2(cos 23π12

+ i sin 23π12

)]


Tema: Ra£unanje v C - Vaje Poglavje: Polarni zapis C ²tevilOblika: vaje Pripomo£ki:


1. Izra£unaj:

(

√2

2+

√2i

2)12.

[R : −1]

2. Zapi²i v polarni obliki kompleksna ²tevila:

(1 + i√

3)5

(1− i)10.

[R : cos π12− i sin π

12]

3. Re²i ena£bo: ix2 − 8 = 0.[R : z0 = 2(cos 3π

6+ i sin 3π

6)

z1 = 2(cos 7π6

+ i sin 7π6

)z2 = 2(cos 11π

6+ i sin 11π

6)]

4. Re²i ena£bo in nari²i re²itve: z−3 = −64i[R : zk = 1

4(cos(π

6+ 2kπ

3) + i sin(π

6+ 2kπ

3)), k = 0, 1, 2]

5. Imamo ²tevili z1 = −1 + i√

3 in z2 = 1 + i.

a) Zapi²i ²tevili v polarni obliki.

b) Ugotovi absolutno vrednost in argument ²tevila w = z1

z2.

c) Izra£unaj od tod cos 75◦, sin 75◦.

[R : z1 = 2(cos 5π3

+ i sin 5π3

), z2 =√

2(cos π4

+ i sin π4),

|w| =√

2, ϕ = 17π12,

cos 75◦ =√

6−√

24

, sin 75◦ =√

6+√

24

]


Tema: Ena£be: sin x = y, cosx = y Poglavje: Trigonometri£ne ena£beOblika: frontalna Pripomo£ki:


1. sinx = y y ∈ [−1, 1] ♠

• Eno re²itev ºe poznamo:x1 = arcsin y, x1 ∈ [−π

2, π

2].

• Ker je sin(π − x) = sinx, je tudi x2 = π − x1 re²itev ena£be ♠(slika!).

Vse druge re²itve dobimo tako, da tema dvema pri²tejemo ve£kratnike ²tevila2π.

Re²itve ena£be ♠ so torej:x1 = arcsin y + 2kπ,

x2 = π − arcsin y + 2kπ, k ∈ Z.

Primer: sin x = 12

x1 = arcsin 1/2 + 2kπ = π/6 + 2kπ, k ∈ Zx2 = π − π/6 + 2kπ = 5π/6 + 2kπ, k ∈ Z

2. cosx = y y ∈ [−1, 1] ♣

• x1 = arccos y, x1 ∈ [0, π]

• Ker je cos soda funkcija , je tudi x2 = −x1 = − arccos y re²itev ena£be ♣(slika).

Re²itve ena£be cosx = y so:

x1 = arccos y + 2kπ,

x2 = − arccos y + 2kπ, k ∈ Z.

Primer: cosx =√

32

x1 = arcsin√

3/2 + 2kπ = π/6 + 2kπ, k ∈ Zx2 = −π/6 + 2kπ, k ∈ Z

3. sinx = cosα

Prepi²emo v sin x = sin(π2− α.)

Od tod je x1 = π/2− α+ 2kπ inx2 = π − (π/2− α) + 2kπ = π/2 + α+ 2kπ, k ∈ Z.


Tema: Ena£be tan x = y, cotx = y Poglavje: Trigonometri£ne ena£beOblika: frontalna Pripomo£ki:


1. tan x = y ♥

Edina re²itev na (−π/2, π/2) je x1 = arctan y. Ker ima tangens periodo π, dobimovse re²itve tako, da pri²tejemo x1 ve£kratnike ²tevila π. Vse re²itve ena£be ♥ sotorej

x = arctan y + kπ, k ∈ Z.

Primer: tan x = −1x = arctan(−1) + kπ = −π/4 + kπ, k ∈ Z

2. cotx = y

Vse re²itve te ena£be so (z istim premislekom kot zgoraj):

x = arccot y + kπ, k ∈ Z.

Primer: cotx =√

3tan x = 1/

√3

x = arctan(√

3/3) + kπ = π/6 + kπ, k ∈ Z

Primeri:• Re²i ena£be:

a) sin 2x = −√

3/2[R : x1 = −π

6+ kπ, x2 = 2π

3+ kπ]

b) cot(3x+ π/4) = −1[R : x = −π

6+ kπ

3]

c) 2 cos 3x+ 1 = 0[R : x1 = 2π

9+ 2kπ

3, x2 = −2π

9+ 2kπ

3]

d) 2 sin(x+ 7π6

)− 1 = 0[R : x1 = −π + 2kπ, x2 = −π

3+ 2kπ]

• Kje ni de�nirana funkcija f(x) = 11+2 sin x

?

• Re²i ena£bi:a) cosx = cos π

5

[R : x1,2 = ±π5

+ 2kπ]b) cotx = tan 10◦

[R : x = 80◦ + kπ]


Tema: Uvedba nove neznanke Poglavje: Trigonometri£ne ena£beOblika: frontalna Pripomo£ki:


1. Re²imo ena£bo:2 sin2 x− 3 sin x+ 1 = 0 F

sin x = t . . . uvedemo novo neznanko

Ena£ba F se spremeni v kvadratno ena£bo:

2t2 − 3t+ 1.

Re²itvi: t1 = 1, t2 = 1/2Re²itvi F: t1 = 1 =⇒ x1 = π/2 + 2kπ

t2 = 1/2 =⇒ x2 = π/6 + 2kπx3 = 5π/6 + 2kπ, k ∈ Z

2.2 sin2 x = cos x+ 1

2 sin2− cosx− 1 = 02(1− cos2 x)− cosx− 1 = 0−2 cos2 x− cosx+ 1 = 0 . . . uvedemo novo neznanko

t = cos x2t2 + t− 1 = 0Resitve: t1 = −1 =⇒ x1 = π + 2kπ

t2 = 1/2 =⇒ x2 = π/3 + 2kπx3 = −π/3 + 2kπ

3. Re²i ena£bo

sin−1 x− cot x =13

tanx

[R : x1,2 = ±π3 + 2kπ]

4. Re²i ena£bo

3 sinx− 4 sin3 x = 0

[R : x1 = kπ,x2,3 = ±π

6 + 2kπ,x4 = 5π

6 + 2kπ,x5 = 7π

6 + 2kπ]


Tema: Homogene ena£be Poglavje: Trigonometri£ne ena£beOblika: frontalna Pripomo£ki:


1. Re²imo ena£bo3 sin2 x− 4 sin x cosx+ cos2 x = 0

Ena£bo delimo s cos2 x. Kaj pa £e je cosx = 0? Potem iz ena£be vidimo, da je tudisin x = 0, to pa ne more biti, saj velja zveza sin2 x+ cos2 x = 1.Z deljenjem dobimo ena£bo

3 tan2 x− 4 tanx+ 1 = 0 ♠

Uvedemo novo neznanko tan x = t.Re²itvi ena£be ♠ : t1 = 1, t2 = 1/3.Re²itvi prvotne ena£be: x1 = π/4 + kπ

x2 = arctan 13

+ kπ, k ∈ Z

2.2 sin2 x+ cos2 x =

3

2sin 2x

Upo²tevamo formulo za dvojne kote: sin 2x = 2 sinx cosx2 sin2 x+ cos2 x = 3 sinx cosxPo premisleku od prej²njega primera lahko ena£bo delimo s cos2 x, preuredimo indobimo ena£bo

2 tan2 x− 3 tanx+ 1 = 0

Uvedemo novo neznanko tan x = t in dobimo re²itvi t1 = 1, t2 = 1/2.Re²itvi prvotne ena£be: x1 = π/4 + kπ

x2 = arctan 12

+ kπ, k ∈ Z

3. Re²i ena£bo5 cos x+ 12 sinx = 13

Namig: Pomagaj si s polovi£nimi koti. [R : x = 2 arctan(2/3) + 2kπ]

cosx = cos2(x

2)− sin2(

x

2)

sin x = 2 sinx

2cos

x

2

1 = cos2(x

2) + sin2(

x

2)

4. Re²imo ²e ena£bo1 + tanx

1− tan x= 1 + sin 2x


Tema: Adicijski izreki, faktorizacija,... Poglavje: Trigonometri£ne ena£beOblika: frontalna Pripomo£ki:


Ponovimo adicijske izreke, formule za faktorizacijo in raz£lenitev produkta!!!

Re²imo naslednje ena£be:

1.cos2 x− sin2 x = cos 4x

Ena£bo prevedemo na cos 2x− cos 4x = 0, uporabimo faktorizacijocosα− cos β = −2 sin α+β

2sin α−β

2in zgornja ena£ba se prevede na

2 sin 3x · sin x = 0

• sin 3x = 0 =⇒ 3x = 0 + kπ =⇒ x1 = 0 + kπ/3, k ∈ Z.• sin x = 0 =⇒ x2 = 0 + kπ, k ∈ Z.

2.sin x−

√3 cos x = 1

Ena£bo delimo z 2 in dobimo

1

2sin x−

√3

2cosx =

1

2.

�e upo²tevamo, da je 1/2 = cos π/3 in√

3/2 = sin π/3 in tako nastane ena£ba

cosπ

3sin x− sin

π

3cosx =

1

2.

�e dobro pogledamo zgornjo formulo, vidimo, da je to ravno adicijski izrek za sinus.

sin(x+π

3) =

1

2

• x− π/3 = π/6 + 2kπ =⇒ x1 = π/2 + 2kπ

• x− π/3 = π − π/6 + 2kπ =⇒ x2 = 7π/6 + 2kπ, k ∈ Z

3. cos 4x · cos 2x = cos 5x · cosx[R : x1 = π

6+ kπ

6, x2 = π

2+ kπ]

4.1 + cos 2x

sin 2x=

cosx

1− cos 2x

[R : x = π2

+ kπ]


Tema: Vaje Poglavje: Trigonometri£ne ena£beOblika: vaje Pripomo£ki:


Re²imo naslednje ena£be:

1. Najprej dam besedo dijakom za vpra²anja, ki so jim nerazumljiva.

2. 4 sin2 x− sin2 2x = 1

[R: x1 = π/4 + 2kπ, x2 = 3π/4 + 2kπ, x3 = −π/4 + 2kπ, x4 = 5π/4 + 2kπ]

3.√

sin x =√

cosx

[R: x = π/4 + 2kπ]

4. sin x · sin 2x = 1

a) sinx = −1 ∧x = −π/2 + 2kπ ∧

sin 2x = −1

2x = −π/2 + 2kπ =⇒ x = −π/4 + kπ=⇒ nima re²itve

b) sinx = 1 ∧x = π/2 + 2kπ ∧

sin 2x = 1

2x = π/2 + 2kπ =⇒ x = π/4 + kπ=⇒ nima re²itve

Ena£ba 3. nima re²itve!!!

5. cosx+ cos 3x = cos 2x+ cos 4x

[R: x1 = π/2 + kπ, x2 = −2kπ, x3 = 2kπ/5]

6.√

2 sin(cos x) = 1Namig: Nova neznanka!

[R: x1 = arccos(π/4) + 2kπ, x2 = 2π − arccos(π/4) + 2kπ, x3 = arccos(3π/4) + 2kπ,

x4 = 2π − arccos(3π/4) + 2kπ]


Tema: Vaje za kontrolno nalogo Poglavje: Kotne funkcijeOblika: vaje Pripomo£ki:


1. Natan£no izra£unaj cos(17π/3− 2x), £e velja π/2 < x < 3π/2 in cotx = −3.

[R: 4+3√

310 ]

2. Poenostavi izraz2 sin2 x− 1

sin 2x.

[R: −2 cot 2x]

3. Dolo£i de�nicijsko obmo£je funkcije

f(x) = 3√

2 sinx− 1 + cos x− 2.

[R: x ∈ [π/6 + 2kπ, 5π/6 + 2kπ]]

4. Faktoriziraj:sin(x+ 15◦)− cos(x− 15◦)

1− tan x

[R: −√

22 cos x]

5. Nari²i graf funkcijef(x) = 2 cos(

x

3+π

6) + 1.

Dolo£i ni£le, de�nicijsko obmo£je in zalogo vrednosti.

6. Re²i ena£be:

a) 2 sin x = tanx

[R: x1,2 = ±π/3 + 2kπ, x3 = kπ]

b)

tan 3x =cos 675◦ · tan(25π

6)

sin(16π3

) · cot(11π4

)

[R: x = 1/3 arctan(√

2/3) + kπ/3]

c)√

3 cos(2x− π/3) + 3/2 = 0[R: x1 = 7π/12 + kπ, x2 = −π/4 + kπ]


Tema: Kontrolna naloga Poglavje: Kotne funkcijeOblika: frontalna Pripomo£ki:


Vzorec kontrolne naloge:

1. Natan£no izra£unaj tan(2y − x), £e je cot y = 5 in cotx = 1/2.[R : −19/22]

2. a) α = 2z − 3w, kjer je z = 2+i3−i

in w = 1 + i.Izra£unaj α10![R : 215]

b) Re²i ena£bo z4 = 8− 8i√

3.

[R : z0 = 2(cos 5π12

+ i sin 5π12

),z1 = 2(cos 11π

12+ i sin 11π

12),

z2 = 2(cos 17π12

+ i sin 17π12

),z3 = 2(cos 23π

12+ i sin 23π

12).]

3. Nari²i graf funkcije f(x) = − sin(x/2− π/2) + 2. Dolo£i ni£le, de�nicijsko obmo£jein zalogo vrednosti.[R : Ni£le:/, Df = R, Zf = [1, 3]]

4. Poenostavi izrazsin 2α− 2 sinα

1 + cos 2α− 2 cosα.

[R : tanα]

5. Re²i trigonometri£ni ena£bi:

a) 4 cos2 x− 3 tan−2 x+ 1 = 0[R : x1,2 = ±π

4+ 2kπ, x3,4 = ±3π

4+ 2kπ]

b) 3 sin x+ 2 cosx = 3[R : x1 = π

2+ 2kπ, x2 = 2arctan(1/5) + 2kπ, k ∈ Z]


Tema: Poprava kontrolne naloge Poglavje: Kotne funkcijeOblika: frontalna Pripomo£ki:


Razdelim kontrolne, da jih dijaki pregledajo.

Naredimo popravo in dam poudarek na najpogostej²e napake.

V primeru prevelikih negativnih ocen se dogovorimo za popravljanje kontrolne naloge,druga£e pa lahko manj²e ²tevilo dijakov, ki so pisali negativno oceno, ustno popravijooceno med teko£o ²olsko uro.


Tema: Ustno spra²evanje Poglavje: Kotne funkcijeOblika: frontalna Pripomo£ki:


�e kdo ºeli popraviti negativno oceno, doseºeno na kontrolni nalogi, se lahko javi.

Druga£e spra²ujem po dogovorjenem vrstnem redu.

darja poto ar, fmf 2. 9. 2005 · 2006-10-23 · matematika, 3. letnik 30. ²olska ura ema:t dvojni...

Documents