Szczególna teoria względności

(Materiały na spotkanie

28 lutego 2013)

„Klub dyskusyjny fizyków”

CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA

Przedział czasoprzestrzenny pomiędzy zdarzeniami

Odległość w czasie i przestrzeni pomiędzy zdarzeniami

Zdarzenia mają miejsce w czasie i przestrzeni

Czas

tprzeszłość chwila obecna przyszłość

Przestrzeń

x

y

z

(x,y,z)

|

0

|

1 minuta

PRZESZŁOŚĆ CHWILA OBECNA PRZYSZŁOŚĆ

Będziemy więc mówić o CZASOPRZESTRZENI

( Minkowski XX w. )

nie ma miejsca w przestrzeni, w której czas nie upływa, oraz

nie ma zjawisk zachodzących w jakiejś chwili poza przestrzenią.

Czasoprzestrzeń to zbiór zdarzeń, które zachodzą w jakimśmiejscu przestrzeni w jakiejś chwili czasu

( zaniedbujemy czas trwania zjawiska i jego rozmiary przestrzenne)

wprowadzamy układ odniesienia i zegar, który mierzy czas,

zdarzenie zaszło w chwili t w miejscu ( x,y,z )

zdarzenie X = ( ct, x, y, z),

czasoprzestrzeń zbiór { X }

Transformacja Galileusza

v

K’K

Tak więc w fizyce klasycznej:

L

K K’

v

DD

L

x x’

Klasycznie

(1) Prędkość światła w próżni ma zawsze stałą wartość, która nie zależy od ruchu ani źródła, ani odbiornika światła.

(2) W dwóch układach odniesienia poruszających się względem siebie ruchem jednostajnym wszystkie prawa przyrody są ściśle takie same i nie ma sposobu wyróżnienia bezwzględnego ruchu jednostajnego.

Z doświadczenia więc wynika, że

Uogólnienia zasady

Galileusza na

wszystkie zjawiska w

przyrodzie

c = const

(3) Położenia i prędkości zmieniają się przy przejściu od jednego układu inercjalnego do drugiego zgodnie z transformacją klasyczną. Mamy więc jawną sprzeczność. Nie można pogodzić z sobą (1), (2) i (3).

Ale:

1) oraz 2)wyklucza

transformacje Galileusza, a 3)

ja akceptuje

L

K K’

v

DDL

x x’

W układzie K

W układzie K’

Relatywistycznie

Odległość czasoprzestrzenna pomiędzy zdarzeniami jest identyczna w każdym układzie

odniesienia

Jak zmienić transformacje Galileusza aby w każdym układzie odniesienia prędkość światła była taka sama?

„Trzeba podejrzewać czas” mówił Einstein.

Zakładamy więc, że zachodzi:

i postaramy się znaleźć parametry . Mogą one zależeć jedynie od względnej szybkości dwóch układów odniesienia, v.

Gdy x=0 oraz t=0, to także x’=0 oraz t’=0

v

K’K

W układzie K początek układu K’ (x’= 0) porusza się z szybkością v:

czyli

W układzie K’ początek układu K (x=0) porusza się z szybkością –v:

czyli

Skorzystamy z równości przedziałów czasoprzestrzennych w obydwu układach:

czyli

Aby to równanie było spełnione muszą być spełnione relacje:

Z relacji 1)

Ze związku 2)

Relacja 3) jest wtedy spełniona automatycznie

Transformacja Galileusza

Transformacja Lorentza

Transformacje odwrotne otrzymamy, zamieniając prędkość v na -v

Gdy wzajemna prędkość układów v jest mała w porównaniu z prędkością światła, wtedy transformacja Lorentza przechodzi w transformację Galileusza:

Dla dwóch układów poruszających się wzdłuż osi x otrzymaliśmy:

Związki te nazywają się transformacją Lorentza, wynikają z nich:

Transformacja prędkości pomiędzy układami

Skrócenie długości,

Wydłużenia czasu,

Względność równoczesności zdarzeń.

).xc

vt(t

,zz

,yy

),tvx(x

2

).xc

vt(t

,zz

,yy

),vtx(x

2

Hendrik Lorentz (1853 – 1928)

Transformacja prędkościDla prędkości wzdłuż osi x:

Związek odwrotny:

v - v

Widać, że spełniony jest pierwszy postulat Einsteina, prędkość światła jest zawsze równa c.

Wzory do wyprowadzenie relacji na skrócenie długości i wydłużenie (dylatację) czasu i badania zjawiska równoczesności zdarzeń:

W dalszym ciągu będziemy powoływać się na wzory 1), 2), 3), 4).

Te same relacje w fizyce klasycznej mają zupełnie inną postać:

Transformacja Lorentza

Transformacja Galileusza

v

K’K

Z układu K mierzymy czas upływający w K’

x’

Nieruchomy zegar w układzie

K’

Dylatacja czasu

Z relacji 4) gdzie wstawiamy:

Otrzymamy:Obserwując

ruchomy zegar, widzę, że na nim

czas płynie wolniej

I odwrotnie, z układu K’ obserwuje nieruchomy zegar w układzie K. Zegar spoczywa w układzie K a więc:

Musimy skorzystać z relacji 2), otrzymamy:

I ponownie wniosek jest ten sam, jeżeli względem mnie zegar się porusza to widzę, że czas na nim płynie wolniej.

v

K’K

Skrócenie długości Lorentza (kontrakcja długości)

Z układu K dokonujemy pomiaru długości pręta w układzie K’

Korzystamy z relacji 3) gdzie wstawiamy: i otrzymujemy:

Mierząc z układu K pręt spoczywający w K’, widzę że jest on krótszy

I odwrotnie, z układu K’ dokonujemy pomiaru pręta spoczywającego w układzie K.

Tym razem musimy w tym samym czasie w układzie K zmierzyć położenie końców, czyli musimy przyjąć:

Wtedy należy wykorzystać równanie 1) i otrzymamy:

A więc zupełnie symetrycznie otrzymamy, iż pręt mierzony w układzie ruchomym jest krótszy od pręta spoczywającego .

v

K’K

Równoczesność zdarzeń

W różnych punktach ( ) w układzie K’ w tym samym czasie zachodzą dwa zdarzenia. Te dwa zdarzenia będą zachodziły w różnym czasie w układzie K.

Korzystamy z relacji 4) i mamy

W tym samym miejscu w układzie K’ ( ) zachodzą dwa zdarzenia w różnym czasie .

Podobnie jak w fizyce klasycznej zdarzenia te w układzie K zajdą w różnym miejscu w przestrzeni. Korzystamy z relacji 3) i otrzymamy:

Zdarzenia zachodzą więc w różnym miejscu:

W przypadku klasycznym jest podobnie, tylko czynnik γ =1

Jakie wnioski wynikają z faktu, że przedział czasoprzestrzenny jest identyczny w każdym układzie odniesienia

Możemy rozróżnić trzy przypadki:

Najpierw przypadek 1). Skoro P12 > 0, to zawsze mogżemy znaleźć taki układ odniesienia, w którym opisywane dwa zdarzenia zachodzą w tym samym miejscu w różnym czasie, wtedy:

Nie istnieje jednak układ w którym zdarzenia te mogłyby zajść w tym samym czasie, zawsze bowiem musi zachodzić:

Takie zdarzenia, skoro mogą zajść w tym samym miejscy w różnym czasie, to jedno z nich może być skutkiem drugiego, jeżeli:

to zdarzenia „2” może być skutkiem zdarzenia „1”

Przypadek 2). Teraz zawsze P12=0, a więc w każdym układzie zachodzi:

A więc w każdym układzie mamy:

Dowolne dwa zdarzenia, dla których zachodzi P12=0 mogą być połączone sygnałem świetlnym, ten sam foton może być obecny przy obydwu zdarzeniach.

I wreszcie przypadek 3). Skoro P12 < 0, to zawsze mogżemy znaleźć taki układ odniesienia, w którym zdarzenia zachodzą w tym samym czasie , wtedy:

jest odległością pomiędzy zdarzeniami zachodzącymi w danym układzie odniesienia w tym samym czasie.

W omawianej sytuacji nie ma układu odniesienia, w którym jakiekolwiek dwa zdarzenia mogą zajść w tym samym miejscu w przestrzeni, zawsze bowiem:

Tak więc w zbiorze zdarzeń P12 < 0 nie ma dwóch, dla których jedno może być skutkiem drugiego.

x

ct

Przyszłość

Przeszłość

Teraźniejszość

Teraźniejszość

Stożek świetlny

);,()xx()tt(c 22

P

2

P

2 Px Przedział czasoprzestrzenny

),(2 Px

02

02

02

Stożek świetlny

A

B

CC może wpływać na nas (P)

My (P) możemy wpływać na B

A nie ma wpływu na nas (P), i my nie mamy wpływu na A

Geometrię o opisanych własnościach nazywamy geometrią pseudoeuklidesową

02

Z podręcznika „Fizyka, spojrzenie na czas, przestrzeń i materię”; PWN, Warszawa 2002.

Masa, pęd, energiaJak definiujemy się masę?

1) Newton: masa jest miernikiem „ilości materii”.

2) Masa to parametr, który określa ciężar ciała.

3) Masa jest miernikiem bezwładności ciała: .

Dla uogólnienia masy na przypadek relatywistyczny najlepsza definicja to:

4) Masa to parametr, przez który trzeba pomnożyć prędkość ciała aby otrzymać zachowany pęd.

Jeżeli prawo zachowania pęd zachodzi w jednym układzie, to jest spełnione w każdym innym układzie inercjalnym:

Bo spełniona jest trywialna relacja:

Pęd jest zachowany także dla zderzeń niesprężystych, ale pod jednym warunkiem:

Pęd będzie zachowany w każdym układzie inercjalnym jeżeli masa jest zachowana.

Aby wyprowadzić relacje E =mc2, przejdziemy do układu środka masy:

Mamy wtedy relacje:

W układzie środka masy obowiązuje prawo zachowania pędu nawet gdy długości pędów zmieniają się, o ile zmiana jest identyczna dla jednej i drugiej cząstki.

zd. sprężystezd. niesprężyste

Tylko dla zderzeń sprężystych (λ=1) zachowana jest energia kinetyczna:

Mamy bowiem:

i wtedy zachodzi:

Każda inna definicja energii kinetycznej np.

będzie zachowana w układzie środka masy,ale ta definicja z kwadratem ma jeszcze jedną zaletę, jeżeli energia jest zachowana w jednym układzie to będzie zachowana w każdym innym układzie inercjalnym:

Jeżeli więc pęd i masa są zachowane, to energia kinetyczna zdefiniowana w tradycyjny sposób, jeżeli jest zachowana w jednym układzie, to jest zachowana w każdym układzie inercjalnym:

Ta konstrukcja jest dobra w sytuacji nierelatywistycznej, gdzie prawo dodawania prędkości ma postać:

W przypadku relatywistycznym ta reguła nie obowiązuje, mamy bowiem:

Powstaje pytanie, jak zdefiniować masę, pęd i energię aby otrzymać prawa zachowania ważne w każdym układzie inercjalnym.

Następne spotkanie klubuCzwartek,

4 kwietnia 2013