curso electromagnetismo ii

Notas de curso de

Electromagnetismo II

Prof. Antonio Fernandez-Ranada

Curso 2006/07

Universidad Complutense

Facultad de FısicaCiudad Universitaria, Madrid

Bibliografıa

• F. Sanchez Quesada, L. L. Sanchez Soto, M. Sancho Ruiz, y J. Santamarıa,

“Fundamentos de electromagnetismo”(Sıntesis, Madrid, 2000)

• J. R. Reitz, F. J. Milford y R. W. Christy, “Fundamentos de la teorıa

electromagnetica”(Addison Wesley, 1994).

• S. Velayos, “Temas de fısica III”(Copigraf, Madrid, 1976).

• P. Lorrain, D.R. Courson, “Campos y ondas electromagneticas”(Selecciones

Cientıficas, Madid, 1994).

• R. Feynman, R.B. Leighton y M. Sands, ”“Fısica, Vol. II: Electromagnetismo

y materia”(Addison-Wesley Iberoamericana, Madrid, 1987).

• R.K Wangness, “Campos electromagneticos”. (Editorial Limusa, Mexico,

1979).

Con la colaboracion del estudiante Julian Moreno Mestre en la preparacion

de las figuras.

0–2—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

notas EM II (v. 1/diciembre/2006)

Indice general

1. Recordatorio de las ecuaciones de Maxwell 1–1

1.1. Ecuaciones del electromagnetismo estatico . . . . . . . . . . . . . 1–1

1.2. Las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–2

1.3. Condiciones en la frontera entre dos materiales distintos . . . . . 1–3

2. Problemas de contorno en campos estaticos I 2–1

2.1. Teorema de Green. Representacion integral del potencial elec-

trostatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–1

2.2. Unicidad de la solucion de los problemas de contorno de Dirichlet

y Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–4

2.3. El teorema de reciprocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–5

2.4. Solucion del problema electrostatico de valores en el borde con las

funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–6

2.5. El metodo de las imagenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–9

2.5.1. Carga puntual y plano conductor a tierra . . . . . . . . . . 2–9

2.5.2. Carga puntual y esfera conductora a tierra . . . . . . . . . 2–11

2.5.3. Carga puntual y esfera conductora, cargada y aislada . . . 2–15

2.5.4. Carga puntual y esfera conductora a un potencial fijo . . . 2–15

2.5.5. Esfera conductora en un campo electrico uniforme . . . . . 2–16

2.6. Sistemas de conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–17

3. Problemas de contorno en campos estaticos II: Separacion de

variables 3–1

3.1. Metodo de separacion de variables en coordenadas cartesianas . . 3–1

notas EM II (v. 1/diciembre/2006)—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

0–3

Indice general

3.1.1. Un caso bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–3

3.2. La ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas . . . . . . . . . . 3–5

3.2.1. Ecuacion de Legendre y polinomios de Legendre . . . . . . 3–6

3.2.2. Problemas simples con simetrıa azimutal . . . . . . . . . . 3–8

3.2.3. Funciones asociadas de Legendre y Armonicos esfericos . . 3–10

3.3. La ecuacion de Laplace en coordenadas cilındricas. Funciones de

Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–12

4. Energıa y fuerzas en campos electrostaticos 4–1

4.1. Energıa electrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–1

4.1.1. Caso de varias cargas puntuales . . . . . . . . . . . . . . . 4–1

4.1.2. Caso de una distribucion de carga . . . . . . . . . . . . . . 4–3

4.1.3. Densidad de energıa de un campo electrostatico . . . . . . 4–4

4.1.4. Masa electromagnetica. El modelo de electron de Abraham-

Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–7

4.1.5. Desarrollo multipolar de la energıa de una distribucion de

carga en un campo exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–10

4.2. Energıa de un sistema de conductores . . . . . . . . . . . . . . . . 4–14

4.3. Energıa electrostatica en dielectricos . . . . . . . . . . . . . . . . 4–15

4.4. Fuerzas en sistemas electrostaticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–18

5. Energıa y fuerzas en sistemas magnetostaticos. 5–1

5.1. Energıa magnetostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5–1

5.2. Energıa de un cuerpo en un campo magnetostatico . . . . . . . . 5–4

5.3. Fuerzas en sistemas magnetostaticos . . . . . . . . . . . . . . . . 5–5

5.4. Dipolo en un campo magnetostatico. Fuerza, torque y energıa. . . 5–6

5.5. El teorema de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5–8

6. Introduccion a las ondas electromagneticas 6–1

6.1. Las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–1

6.2. La ecuacion de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–2

6.2.1. Ecuaciones de onda de los potenciales escalar y vectorial y

transformaciones de gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–3

0–4—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—


Indice general

6.3. Ondas electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–6

6.3.1. Ondas planas en medios no conductores . . . . . . . . . . 6–6

6.3.2. Ondas planas en un medios conductores . . . . . . . . . . 6–8

6.4. Soluciones retardadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–10


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

0–5

Indice general

0–6—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—


Capıtulo 1

Recordatorio de las ecuaciones de

Maxwell

1.1. Ecuaciones del electromagnetismo estatico

Recordemos que el electromagnetismo estatico se basa en las cuatro ecuaciones

siguientes

Electrostatica : ∇ · E =ρ

ε0, ∇× E = 0, (1.1)

Magnetostatica : ∇ ·B = 0, ∇×B = µ0j, (1.2)

siendo E, B, j y ρ independientes del tiempo de la coordenada espacial r . Para

aplicarlas a sistemas que incluyan partıculas cargadas, es preciso anadir la segun-

da ley de Newton y la fuerza de Lorentz

F = q (E + v ×B) . (1.3)

Como se ve, los dos pares de ecuaciones (1.1) y (1.2) estan desacoplados; por

tanto tambien lo estan la electricidad y el magnetismo estaticos, lo que significa

que podemos resolver separadamente cada uno de esos dos pares. En el caso

no estatico, es decir con campos, densidades de carga y de corriente libres que

varıan en el tiempo, esas ecuaciones son incompletas. Para completarlas, es preciso

anadir dos terminos nuevos en los que aparecen las derivadas temporales de los

vectores electrico E y magnetico B. Esos dos terminos estan asociados a dos

fenomenos nuevos de gran importancia: la induccion de Faraday y la corriente de

desplazamiento de Maxwell. La novedades que aportan esos dos terminos se puede

resumir ası: la derivada del campo E respecto al tiempo es fuente del campo B y

viceversa.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

1–1

Capıtulo 1. Recordatorio de las ecuaciones de Maxwell

1.2. Las ecuaciones de Maxwell

Concretando lo dicho mas arriba, debemos anadir los terminos −∂B/∂t a la

segunda ecuacion(1.1) y ∂D/∂t a la densidad de corriente j en (1.2), de modo

que las cuatro ecuaciones de Maxwell toman la forma

∇ · E =ρ

ε0, (1.4)

∇ ·B = 0 , (1.5)

∇× E = −∂B∂t

, (1.6)

∇×B = µ0j + µ0ε0∂E

∂t. (1.7)

Cuando el medio es un material distinto del vacıo, estas ecuaciones se escriben

a menudo en la forma

∇ ·D = ρ, (1.8)

∇ ·B = 0, (1.9)

∇× E = −∂B∂t, (1.10)

∇×H = j +∂D

∂t, (1.11)

a las que se deben anadir las relaciones constitutivas D = εE, B = µH y, si la

corriente no esta dada a priori, tambien j = σE.

En muchas ocasiones, se trata de estudiar como varıa el campo electro-

magnetico en interaccion con cargas libres cuyo movimiento no esta dado a priori

sino que esta afectado por los campos. Tomemos el caso especialmente interesante

de electrones cuyas posiciones y velocidades son rk, vk. Para tratarlo, hay que

acoplar las ecuaciones de Maxwell a las de movimiento de cada carga. Para ello

hay que hacer dos cosas

(i) Tomar como densidad de carga del conjunto de electrones

ρe = −e∑

k

δ(3)(r− rk) , (1.12)

y como densidad de corriente

je = −e∑

k

δ(3)(r− rk)vk . (1.13)

(ii) Anadir las ecuaciones de movimiento de los electrones

d

dt

[mvk

(1− v2k/c

2)1/2

]= Fk = −e(E + vk ×B). (1.14)

1–2—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—


1.3. Condiciones en la frontera entre dos materiales distintos

que es la segunda de Newton en su forma relativista, con la fuerza Fk sobre cada

carga dada por la expresion de Lorentz y tomando los campos E = E(r, t) y

B = B(r, t) en la posicion de cada carga. En el caso en que v/c 1 podemos

aproximar el primer miembro por su expresion no relativista d(mv)/dt.

Estas ecuaciones estan siendo comprobadas incontables veces cada dıa, tanto

desde el punto de vita teorico como en su aplicacion a multitud de instrumentos

y dispositivos, de los que tenemos muchos en nuestros hogares. Constituyen una

parte muy importante de la fısica basica.

1.3. Condiciones en la frontera entre dos mate-

riales distintos

Cuando dos dielectricos estan en contacto a traves de una superficie S, se

plantea un problema, pues la superficie no pertenece propiamente a ninguno (no

esta definida su permitividad) y hay una discontinuidad en ella. Para resolver

este problema, se recurre al teorema de Gauss, como veremos a continuacion.

Consideraremos aquı solamente una situacion estatica.

Sean dos medios 1 y 2, en contacto a traves de una superficie, con permi-

tividades ε1 y ε2, tal como indica la figura, siendo n la normal a la superficie de

contacto, dirigida del medio 1 al 2. Tomemos la superficie S, un cilindro con bases

de area ∆a, cada una en uno de los medios, y apliquemos el teorema de Gauss

al vector desplazamiento D, suponiendo que en la superficie de contacto hay una

densidad de cargas libres σ.∫D · n da = (D2 · n−D1 · n) ∆a = σ∆a,

o sea

(D2 −D1) · n = σ. (1.15)

Por tanto, si hay densidad de cargas libres en la superifice de contacto, la com-

ponente normal del vector desplazamiento tiene una discontinuidad.

Consideremos ahora el rectangulo de la figura, con dos lados paralelos a la

superficie de contacto y dos de longitud despreciable perpendiculares a ella. Sean

t el vector unitario tangente a la superficie de contacto en el plano del rectangulo.

Aplicando el teorema de Stokes a la circulacion del vector E, resulta

(E2 − E1) · t = 0,


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

1–3


y como el vector t es arbitrario en el plano tangente a la superficie de contacto

(E2 − E1)× n = 0. (1.16)

Como vemos, la componente tangencial del campo electrico es continua, con in-

dependencia de que existan o no cargas electricas libres en la superficie.

Conviene a veces plantear esta cuestion en terminos del potencial Φ. Las

ecuaciones (1.15) y (1.16) se pueden escribir como

ε2∂Φ

∂n

∣∣∣∣2

− ε1∂Φ

∂n

∣∣∣∣1

= σ, (1.17)

∂Φ

∂t

∣∣∣∣2

− ∂Φ

∂t

∣∣∣∣1

= 0, (1.18)

donde ∂n y ∂t son las derivadas segun la normal a la superficie y segun una

tangente. La segunda establece que, salvo una constante aditiva en uno de los dos

potenciales,

Φ1 = Φ2

a lo largo y ancho del contacto.

Veamos que ocurre con el vector polarizacion. Un razonamiento analogo al

hecho para el vector desplazamiento, nos lleva a

(P2 −P1) = −σP .

Si 2 es el vacıo, P2 = 0, con lo que

σP = P · n,

como cabıa esperar.

Consideremos ahora la frontera entre dos medios sometidos a un campo

magnetico. Tomemos una superficie tipo pıldora, es decir un cilindro de pequena

altura, con eje perpendicular a la frontera y con una base en cada medio. Apli-

cando el teorema de Gauss, se tiene que

(B2 −B1) · n = 0, o sea B2n −B1n = 0. (1.19)

La componente normal de B es continua en una frontera.

Sea ahora un circuito C en forma de rectangulo, con dos lados de longitud

` y paralelos al vector t, tangente a la superficie, y los otros dos muy cortos y

normales a ella, suponiendo que circula por S una densidad superficial de corriente

1–4—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—


1.3. Condiciones en la frontera entre dos materiales distintos

k (cantidad de corriente por unidad de longitud normal a ella). Calculando la

circulacion del vector intensidad magnetica H a lo largo de C, resulta

(H2 · `t−H1 · `t) = |k× `t|, o sea H2t −H1t = |k× t| ,

siendo k es la densidad superficial de corriente (o sea la corriente transportada

or unidad de longitud perpendicaula en la capa superficial). Como t es un vector

tangente arbitrario, se tiene

(H2 −H1)× n = k. (1.20)

O sea: si no hay carga libre superficial, la componente tangencial de H es continua.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

1–5


1–6—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—


Capıtulo 2

Problemas de contorno en

campos estaticos I

En este capıtulo se explica como se resuelve la ecuacion de Poisson del poten-

cial electrostatico en un volumen V si se conoce la distribucion de carga en V y

las condiciones de contorno sobre los valores de Φ o de ∂nΦ = ∇Φ ·n en el borde

S = ∂V . Se probara la unicidad de la solucion de este problema, de manera que no

pueden existir dos potenciales distintos que cumplan las mismas condiciones de

contorno. Por desgracia son muy pocos los casos que puedan resolverse de modo

simple, por lo que hay que usar metodos aproximados, de tipo numerico, grafico,

etc. Hay metodos basados en desarrollos en serie que son lentamente convergentes

a menudo.

2.1. Teorema de Green. Representacion integral

del potencial electrostatico

Supongamos dos funciones φ(r), ψ(r) arbitrarias y continuas, de clase C2 en el

interior de un volumen V bordeado por una superificie S = ∂V . Representaremos

por ∂ /∂n a la derivada en direccion de la normal exterior a S (o sea saliendo de

V ). Se cumple identicamente que

∇ · (φ∇ψ) = φ∇2ψ + ∇φ ·∇ψ, (2.1)

sobre la superficie se tiene

φ∇ψ · n = φ∂ψ

∂n.

De (2.1) se sigue


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

2–1

Capıtulo 2. Problemas de contorno en campos estaticos I

∫V

(φ∇2ψ + ∇φ ·∇ψ

)dv =

∫S

φ ∂n ψ da, (2.2)

Figura 2.1:

expresion valida para todo par φ, ψ de clase C2 en V y conocida como primera

identidad de Green. Si repetimos intercambiano las dos funciones y se resta, se

tiene ∫V

(φ∇2ψ − ψ∇2φ

)dv =

∫S

(φ ∂nψ − ψ ∂nφ) da, (2.3)

que es la segunda identidad de Green o el teorema de Green. Conviene insistir en

que es valida para cualquier par de funciones de clase C2. Nos interesa especial-

mente esta relacion cuando se aplica al potencial electrostatico Φ de la siguiente

manera. Tomemos

φ = Φ, y ψ =1

|r− r′|.

El teorema de Green se puede escribir entonces como∫S

[Φ(r′)

∂

∂n′

(1

|r− r′|

)− 1

|r− r′|∂Φ(r′)

∂n′

]da′ =

−4π

∫V

[Φ(r′)δ(r− r′)− 1

4πε0

ρ(r′)

|r− r′|

]dv′,

de donde se deduce la siguiente ecuacion integral para el potencial Φ en puntos

de V (en el interior de S)

Φ(r) =1

4πε0

∫V

ρ(r′)

|r− r′|dv′ (2.4)

+1

4π

∫S

[1

|r− r′|∂Φ(r′)

∂n′− Φ(r′)

∂

∂n′1

|r− r′|

]da′,

2–2—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—


2.1. Teorema de Green. Representacion integral del potencial electrostatico

Notese que (i) se han usado las ecuaciones ∇2(1/|r − r′|) = −4πδ(r − r′) y

∇2Φ = −ρ/ε0;(ii) si el punto r esta fuera de S, el primer miembro de (2.4) se anula.

(iii) si se aplica esa formula al caso de una carga en el espacio infinito, solo queda

el primer termino en el segundo miembro, recuperandose el resultado ya conocido.

(iv) en el caso de una distribucion ρ dentro de V , se anula la integral de superficie

cuando S tiende a infinito. Para comprobarlo, basta con tomar una esfera SR y

hacer que R → ∞, sustituyendo Φ por su serie multipolar. El primer termino

(el de carga, en q/r) da un integrando nulo sobre la esfera y los demas dan

integrandos que decaen como R`+1 con ` ≥ 1.

El primer termino del segundo miembro de (2.4) es la contribucion de la

densidad de carga en el volumen V . Si ρ = 0 en V queda

Φ(r) =1

4π

∫S

[1

|r− r′|∂Φ(r′)

∂n′− Φ(r′)

∂

∂n′1

|r− r′|

]da′, (2.5)

Esta integral de superficie es el efecto de las cargas exteriores a S. Si fuera de

S no hay cargas, se anula. Su interpretacion es la siguiente. El primer termino

es equivalente al potencial creado por una distribucion superficial de carga con

densidad

σ = ε0∂Φ

∂n′(2.6)

y el segundo lo es al potencial creado por una distribucion superficial de momento

dipolar de potencia

D = −ε0Φn. (2.7)

(Recordemos que una capa de momento electrico dipolar es una distribucion

superficial de dipolos normales a la capa y que su potencia es el momento dipolar

por unidad de area.)

Capa dipolar. Se llama capa dipolar a una superficie que tiene una den-

sidad de momento dipolar electrico normal a ella. Se puede considerar como un

par de superficies muy proximas, una trasladada de la otra segun el vector d y

con densidades superificiales de carga ±σ, en el lımite `→ 0 con σd = D(r) igual

a una funcion prefijada.

El potencial creado por una tal capa se puede escribir como

Φ(r) =1

4πε0

(∫S

σ(r′)

|r− r′|da′ −

∫S′

σ(r′)

|r− r′ − dn|da′)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

2–3


Teniendo en cuenta el desarrollo de Taylor (con d |r− r′|)

1

|r− r′ − `n|=

1

|r− r′|− `n ·∇

(1

|r− r′|

)+ · · ·

se llega de inmediato a

Φ(r) =1

4πε0

∫S

D(r′)n ·∇′(

1

|r− r′|

)da′ .

lo que justifica considerar al segundo termino de la derecha de (2.4) como una

capa dipolar con potencia (2.6).

2.2. Unicidad de la solucion de los problemas de

contorno de Dirichlet y Neumann

Supongamos una distribucion de carga ρ en V , para la que queremos hallar

una solucion de la ecuacion Poisson ∇2Φ = −ρ/ε0. La ecuacion integral (2.4)

parece indicar que para hallar el potencial son necesarias dos condiciones, los

valores de Φ y de ∂nΦ en la superficie. Pero no es ası, pues en general el potencial

y su derivada normal sobre S no son independientes entre sı. Por eso (2.4) no es

una solucion de un problema de condiciones en el borde sino una ecuacion integral

para Φ.

Las condiciones de contorno que vamos a considerar son:

a) de Dirichlet: Φ prescrita en S.

b) de Neumann: ∂nΦ prescrita en S.

Veremos ahora que la solucion dentro de V queda determinada por cualquiera

de estas dos condiciones.

Sean dos soluciones Φ1 y Φ2 que tienen la misma laplaciana en V y cumplen

la misma condicion en S (bien de Dirichlet, bien de Neumann). Sea

U = Φ2 − Φ1.

En ese caso ∇2U = 0 en V y bien U = 0 bien ∂nU = 0 en S. De la primera

identidad de Green (2.2) se sigue∫V

(U∇2U +∇U · ∇U

)dv =

∫S

U∂nU da. (2.8)

2–4—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—


2.3. El teorema de reciprocidad

Tanto con las condiciones de contorno de Dirichlet como con las de Neumann,

esta ecuacion se reduce a ∫V

|∇U |2 dv = 0, (2.9)

o sea ∇U = 0, y U = constante en V . La condicion de Dirichlet implica que

esa constante se anula; la de Neumann no, pero las dos soluciones se diferencian

entonces en una constante irrelevante pues el campo electrico es el mismo para

las dos soluciones.

2.3. El teorema de reciprocidad

Sean n cargas puntuales qj situadas en los puntos rj y sean Φj los valores del

potencial en rj debidos a las demas cargas (distintas a la j-esima). Se tiene

Φj =1

4πε0

∑i

′ qirij

, (2.10)

donde la prima en la sumatoria indica que se excluye el caso i = j. Si se colocan

otras cargas q′j en los mismos puntos y eso da lugar a los valores Φ′j del potencial

Φ′j =

1

4πε0

∑i

′ q′i

rij

, (2.11)

y multiplicamos (2.10) por q′j y (2.11) por qj, sumando luego en j

∑j

Φjq′j =

∑j

Φ′jqj , (2.12)

igualdad que se conoce como teorema de reciprocidad. Es debido a Green. Se

puede generalizar a n conductores. Notese que los dos miembros de (2.12) son

iguales a ∑j

∑i

′ 1

4πε0

qiq′j

rij

.

Supongamos ahora que todos los conductores excepto los dos correspondientes

a i y j estan a tierra, es decir su potencial vale Φ = 0. En ese caso

Φiq′i + Φjq

′j = Φ′

iqi + Φ′jqj . (2.13)

Sean las dos situaciones A: qi = 0, qj = q y B: q′i = q, q′j = 0


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

2–5


Se cumple entonces

Φiq = Φ′jq, ⇒ Φi = Φ′

j

Esto significa que el potencial que adquiere i debido a una carga q en j (o sea

Φi) es igual al que adquiere j debido a una carga q en i (o sea Φ′j).

2.4. Solucion del problema electrostatico de val-

ores en el borde con las funciones de Green

En esta seccion se obtienen las soluciones de los problemas de Dirichlet y

Neumann mediante el metodo de las funciones de Green. Definimos la funcion

de Green G de la ecuacion de Poisson como el potencial creado por una carga

unidad y puntual (o como el potencial por unidad de carga), o sea

∇2G(r, r′) = − 1

ε0δ(3)(r− r′). (2.14)

Se tiene

G(r, r′) =1

4πε0

1

|r− r′|, (2.15)

por lo que el potencial creado por la distribucion de carga en el espacio abierto

ρ(r) sera

Φ(r) =

∫R3

G(r− r′)ρ(r′) dv′ =1

4πε0

∫ρ(r′)

|r− r′|, (2.16)

como se puede comprobar aplicado el operador ∇2 y derivando dentro del signo

integral, pues

∇2Φ = − 1

ε0

∫R3

δ(3)(r− r′)ρ(r′)dv′ = − ρ

ε0.

Conviene hacer una advertencia respecto a la notacion. En sus tratamientos

generales, los libros de EDP definen la funcion Green de modo algo distinto como

∇2G(r, r′) = δ(3)(r− r′), G(r, r′) = − 1

4π

1

|r− r′|. (2.17)

Es facil pasar de una a otra definicion.

Una prueba simple de (2.15) es la siguiente:

∇(− 1

4π

1

|r− r′|

)=

1

4π

r− r′

|r− r′|3, ∇2

(− 1

4π

1

|r− r′|

)= δ(3)(r− r′), (2.18)

2–6—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—


2.4. Solucion del problema electrostatico de valores en el borde con lasfunciones de Green

La primera ecuacion se obtiene simplemente por derivacion. Para probar la

segunda, consideremos la integral (tomando r′ = 0)

I =

∫R3

f(r)∇2

(−1

4πr

)d3r =

∫R3

∇ ·(f∇−1

4πr

)d3r −

∫R3

∇f · ∇(−1

4πr

)d3r,

donde la funcion f(x, y, z) es arbitraria salvo que la suponemos tendiendo a cero

en el infinito. La primera integral se anula pues es igual a

−∫

S

f∇1

r· nrr

2dΩ =

∫S

f(R, θ, φ)dΩ = 0,

ya que ∇(1/r) = ∂(1/r)/∂r eR y siendo S la superficie de radio R → ∞. Como

consecuencia I es igual a la segunda integral (con su signo)

I = −∫

R3

∂rf∂r

(−1

4πr

)r2drdΩ = −

∫4π

dΩ

4π

∫ ∞

0

∂rfdr = f(0).

Es facil probar que la “funcion”∇2(1/r) se anula en todas partes salvo en el origen

donde tiene una singularidad. Las dos ultimas ecuaciones prueban que, dentro de

una intergral en R3, se comporta como menos δ(3)(0) multiplicada por 4π. O sea

que podemos escribir

∇2

(1

r

)= −4πδ(3)(r). (2.19)

Un punto muy importante es que a la solucion de (2.14) se le puede sumar una

solucion arbitraria de la ecuacion de Laplace ∇2Φ = 0, de modo que deberemos

definir mas generalmente la funcion de Green

G(r, r′) =1

4πε0

1

|r− r′|+ F (r− r′), (2.20)

con ∇2F = 0. Como ya se dijo antes, la ecuacion (2.4) no es de ayuda aquı porque

aparecen en la integral tanto Φ como ∂nΦ que no son independientes. El metodo

de las funciones de Green permite eliminar una u otra de las dos integrales de

superficie eligiendo adecuadanente la funcion F . Notese que r′ es la coordenada

de la fuente y r, la del punto de observacion.

Apliquemos el teorema de Green (2.3) con φ = Φ, ψ = G(r, r′). Resulta la

siguiente generalizacion de (2.4)

Φ(r) =

∫V

ρ(r′)G(r, r′)dv′ (2.21)

+ ε0

∫S

[G(r, r′)

∂Φ(r′)

∂n′− Φ(r′)

∂G(r, r′)

∂n′

]da′,


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

2–7


Tenemos la libertad de elegir la funcion F en la funcion de Green. Podemos

elegirla de modo que cumpla la condicion de Dirichlet

GD(r, r′) = 0, si r′ ∈ S, (2.22)

con lo que el primer termino en la integral de superficie en (2.4) se anula de modo

que la solucion del problema de contorno es

Φ(r) =

∫V

ρ(r′)GD(r, r′)dv′ − ε0

∫S

Φ(r′)∂GD(r, r′)

∂n′, da′, (2.23)

En el caso de la condicion de Neumann, hay que tener cuidado. Parecerıa que

habrıa que tomar

∂GN

∂n′(r, r′) = 0 si r′ ∈ S,

pues de ese modo se elimina el segundo termino en la integral de superficie. Pero

eso llevarıa a una contradiccion, ya que si aplicamos el teorema de Gauss a (2.10)

resulta ∫S

∂GN

∂n′da′ = − 1

ε0

por lo que la condicion mas simple sobre GN debe ser

∂GN

∂n′(r, r′) = − 1

Sε0si r′ ∈ S, ) (2.24)

donde S es el area del borde. La solucion del problema de Neumann es pues

Φ(r) = 〈Φ〉S +

∫V

ρ(r′)GN(r, r′) dv′ + ε0

∫S

∂Φ

∂n′GN(r, r′) da′, (2.25)

donde 〈Φ〉 es el valor medio del potencial en S, o sea una constante.

El problema de Neumann mas frecuente es el llamado problema exterior, en

el que V esta bordeado por dos superficies, una interior y finita y la otra en el

infinito. El area de S es infinita por lo que el valor medio del potencial se anula

y la expresion anterior se simplifica.

Notese que en el caso de Dirichlet la funcion de Green es simetrica, es decir

G(r, r′) = G(r′, r). No ocurre necesariamente ası en el caso de Neumann, pero se

puede encontrar una funcion simetrica (ver Jackson seccion 1.10, p. 40).

2–8—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—


2.5. El metodo de las imagenes


El metodo de las imagenes se refiere al calculo del potencial creado por una o

varias cargas puntuales en presencia de superficies frontera. Como se dijo antes,

la funcion de Green para unas condiciones de frontera es igual a la de Green en

todo el espacio (2.11) mas una solucion de la ecuacion de Laplace en V , es decir

un potencial creado por cargas exteriores a V . En algunas situaciones es posible

deducir de la geometrıa del problema que un cierto numero pequeno de cargas,

con valores adecuados y situadas fuera de V , pueden simular las condiciones de

contorno. Esas cargas se llaman imagenes. En esos casos, la solucion se reduce

a la suma de los potenciales creados por las cargas reales y las imagenes en una

region ampliada sin condiciones de contorno.

2.5.1. Carga puntual y plano conductor a tierra

Un caso simple e interesante es aquel en que V es un semiespacio bordeado

por un plano conductor infinito conectado a tierra. En el interior de V hay una

carga puntual. Supongamos que el plano es el xy, que esta a potencial cero y que

la carga q es positiva y esta situada en el punto P ≡ r1 = (0, 0, d). Cabe esperar

lo siguiente: a) que las lıneas de campo salgan radialmente de la carga, de modo

que su aspecto muy cerca de ella sea el mismo que el de una sola carga; b) que

la carga q atraiga cargas negativas del conductor que se concentraran bajo ella

(en el origen de coordenadas), disminuyendo su densidad hacia el infinito; y c)

que las lıneas de campo vayan de la carga al plano, de modo que lleguen a el

perpendicularmente. En la figura se representa el aspecto de esas lıneas.

Sabemos ademas que el potencial debe obedecer la ecuacion de Laplace. El

problema es como calcularlo. Para ello acudimos a un truco. Imaginemos una

carga −q situada en el punto P ′ ≡ r2 = (0, 0,−d) y consideremos el sistema de

las dos cargas sin el plano. El calculo es sencillo. No cabe duda que el potencial

en el semiespacio z > 0 cumple nuestros requerimientos, pues se aproxima al de

una carga q en el punto P , obedece Laplace en ese semiespacio y es nulo en el

plano z = 0. Podemos imaginar ahora que tenemos dos conductores: el plano

con potencial cero y una esfera pequena centrada en P con carga q cuyo radio a

hacemos tender a cero. Las condiciones de contorno son: en el plano, condicion

de Dirichlet pues se da el potencial Φ = 0, y en la esfera se da la carga total, lo

que es equivalente a dar la densidad superficial de carga q/4πa2 y el potencial

Φ, cuando a es muy pequeno, o sea tambien de Dirichlet. Tambien en este caso

hay un teorema de unicidad, por eso esa solucion, obtenida de una forma tan


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

2–9


aparentemente artificial, es la buena que buscamos.

Figura 2.2: Carga puntual y plano conductor a tierra. El eje z es la recta que pasa

por la carga real q y su imagen q′. Las lıneas continuas de campo son las reales y

las de trazos sus imagenes.

En la figura se representa la solucion. Podemos interpretarla diciendo que las

lıneas salen de la carga y son atraıdas por el plano, por lo que solo la que sale

hacia arriba a lo largo del eje z llega al infinito. Sea ρ la coordenada radial en el

plano. El campo electrico en el plano es igual a (0, 0, Ez) con

Ez =1

4πε0

−2q

ρ2 + d2cos θ =

1

4πε0

−2q

ρ2 + d2

d

(ρ2 + d2)1/2=

1

4πε0

−2qd

(ρ2 + d2)3/2,

donde ρ2 = x2 + y2, por lo que la densidad superficial es

σ = ε0Ez = ε01

4πε0

−2qd

(ρ2 + d2)3/2.

La carga total en el plano debe ser −q. Para comprobar que es ası en la solucion

obtenida, integremos la densidad de carga

Carga =

∫ ∞

0

σ 2πρdρ = −q.

Este metodo se conoce como metodo de las imagenes porque hemos tratado el

plano como un espejo y considerado “la imagen” de la carga q. Es muy util para

calcular campos electricos y potenciales, incluso en situaciones mas complicadas.

Comparemos ahora este resultado con la teorıa formal expuesta en la seccion

anterior. Se trata de un problema de Dirichlet, siendo la condicion de contorno

2–10—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



Φ = 0 en S que es el plano xy en este caso. Segun (2.14) la funcion de Green

debe ser

GD(r, r′) =1

4πε0

1

|r− r′|+ F (r− r′), (2.26)

con ∇2F = 0 y de modo que se cumpla (2.15). Tiene que ocurrir para ello que

GD = 0 cuando r ∈ S. Para conseguirlo, basta con tomar para F el potencial

creado por la carga imagen de valor −q y colocada en (0, 0 − d), quedando la

funcion de Green como

GD(r, r′) =1

4πε0

(1

|r− r′|− 1

|r− r2|

), (2.27)

siendo r2 = r′−2dez. Notese que esta funcion de Green es el potencial creado por

una carga unidad en r′ y otra menos la unidad en r′ − 2dez. Usando la ecuacion

(2.22) resulta para el potencial en el semiespacio z > 0

Φ(r) =

∫V

ρ(r′)GD(r, r′)dv′, (2.28)

pues Φ = 0 en el plano, que da el resultado correcto pues la densidad es ρ =

qδ(3)(r− r1), con r1 = (0, 0, d).

En el caso general en que, en vez de una carga, hubiese una distribucion en

z > 0 dada por la densidad ρ(r), la formula anterior serıa valida. Se podrıa

interpretar como el efecto de dos distribuciones de carga una la real y otra la

imagen.

Es facil ver que si la condicion fuese de Neumann ∂nΦ = 0 en el plano,

manteniendo la carga q en la misma posicion, la carga imagen deberıa ser tambien

igual a q. La funcion de Green serıa entonces

GN(r, r′) =1

4πε0

(1

|r− r′|+

1

|r− r2|

), (2.29)

siendo r2 = r′ − 2dez, pues ∂n′GN = 0 en el plano.

2.5.2. Carga puntual y esfera conductora a tierra

Consideremos una esfera conductora de radio a conectada a tierra, es decir con

Φ = 0 y una carga puntual q situada en p en un sistema de referencia con origen

en el centro de la esfera. El objetivo es encontrar el potencial para r > a que se

anule en r = a. Intentemos resolver el problema con una unica carga imagen q′.

Parece razonable suponer que la posicion de esa imagen p′ este en la lınea entre


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

2–11


q y el centro de S. El potencial creado por las dos cargas es

Φ(r) =1

4πε0

(q

|r− p|+

q′

|r− p′|

)(2.30)

Queremos que este potencial se anule en la esfera, o sea en r = a. Busquemos

si hay valores de q′ y p′ que aseguran esa condicion. Sean n y n′ dos vectores

unitarios en las direcciones de r y p, de modo que el potencial se puede escribir

como

Φ(r) =1

4πε0

(q

|rn− pn′|+

q′

|rn− p′n′|

)(2.31)

En r = a ese potencial vale

Φ(r = a) =1

4πε0

(q

a|n− (p/a)n′|+

q′

p′|n′ − (a/p′)n|

)(2.32)

Se ve que si elegimosq

a= −q

′

p′,

p

a=a

p′

resulta Φ(r = a) = 0. Esto indica que la magnitud y la posicion de la carga

imagen es

q′ = −apq, p′ =

a2

p, (2.33)

Es importante entender el significado del potencial (2.30)

Figura 2.3:

2–12—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



Las posiciones entre las dos cargas, la real y su imagen, estan relacionadas

por una transformacion de inversion

(r, ϑ, ϕ) ⇒(a2

r, ϑ, ϕ

),

mas adelante volveremos sobre ello.

Una vez encontrada la carga imagen podemos calcular la densidad superficial

de carga inducida en S por la carga q (ver Figura 2.4). Su valor esta dado por

la derivada normal del potencial en la superficie de la esfera, o sea (derivando en

(2.31))

σ = −ε0∂Φ

∂r

∣∣∣∣r=a

= − q

4πa2

(a

p

)1− a2/p2

(1 + a2/p2 − 2a cos γ/p)3/2

donde γ es el angulo entre n y n′. Notese que σ = ε0E(r) pues el campo en el

borde de la esfera es precisamente E(r = a) = −∂Φ/∂r. La carga inducida total

es la integral sobre S de esa densidad y es igual a q′, como se deduce facilmente

del teorema de Gauss.

Figura 2.4: Densidad superficial de carga σ inducida en la esfera de radio a,

conectada a tierra, como consecuencia de una carga puntual q a la distancia p del

centro (en unidades de −q/4πa2 y como funcion del angulo γ, en los casos p = 2a

y p = 4a). El recuadro muestra las lıneas de campo para p = 2a.

Notese tambien que la funcion F usada para calcular la funcion de Green con

la condicion de contorno adecuada es el potencial creado por la carga imagen,

cuya laplaciana se anula fuera de la esfera.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

2–13


Es interesante calcular la fuerza entre la carga real q y la esfera. Una primera

manera de hacerlo es calcular la que hay entre la carga y su imagen. Entre ellas

hay una distancia p− p′ = p(1− a2/p2) La fuerza es atractiva y de magnitud

F =1

4πε0

q2

a2

a3

p3

(1− a2

p2

)−2

(2.34)

A grandes separaciones decrece como la inversa del cubo de la distancia. Cerca

de la esfera es proporcional al cuadrado de la inversa de la distancia de q a la

superficie de S.

Se puede llegar tambien a (2.34) calculando la fuerza entre la carga q y la

distribucion σ mediante una integracion sobre S.

Transformacion de inversion

En el problema anterior las posiciones p y p′ de las dos cargas estan rela-

cionadas por la llamada transformacion de inversion, que pasa del punto P al P ′

de modo que

P ≡ (r, ϑ, ϕ) ⇒ P ′ ≡(a2

r, ϑ, ϕ

)(2.35)

Notese que los puntos de la esfera centrada en el origen y con radio a son in-

variantes por esta transformacion. Ocurre ademas que si Φ(r, ϑ, ϕ) es el potencial

producido por la distribucion de carga ρ(r, ϑ, ϕ), o sea si

∇2Φ(r, ϑ, ϕ) = −ρ(r, ϑ, ϕ)/ε0

resulta que el potencial Φ′ es el producido por ρ′ donde

Φ′(r, ϑ, ϕ) =(ar

)Φ(a2

r, ϑ, ϕ), ρ′(r, ϑ, ϕ) =

(ar

)5

(a

r, ϑ, ϕ)

lo que significa que

∇2Φ′(r, ϑ, ϕ) = −ρ′(r, ϑ, ϕ)/ε0

La transformacion para una carga puntual es

q′ en (r, ϑ, ϕ) ⇒(ra

)q en (a2/r, ϑ, ϕ)

La transformacion I de inversion por una esfera (la de radio a en este caso. No

confundir con r ⇒ −r) tiene interes en geometrıa. Alguna de sus propiedades

son

i) Es involutiva, o sea I2 = 1.

ii) Transforma el interior de la esfera en el exterior y vicecersa.

iii) Transforma una superficie esferica que no pasa por el centro en otra superficie

2–14—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



esferica.

iv) Si la superficie esferica pasa por el centro es transformada en un plano y

viceversa.

v) Conserva los angulos (es conforme).

En otros casos de otra geometrıa de los conductores y las cargas existen trans-

formaciones que cumplen la misma funcion que la inversion en el de la esfera

conductora y el punto.

2.5.3. Carga puntual y esfera conductora, cargada y ais-

lada

Si queremos considerar el problema de una esfera conductora, aislada y con

carga Q podemos hacerlo mediante una superposicion. Imaginemos la esfera de

la seccion anterior, con su carga q′ distribuida por su superficie. Se desconecta de

tierra y se le anade la carga (Q − q′), con lo que la carga total se hace igual a

Q. La carga anadida se distribuye uniformemente sobre la superficie, pues es la

unica manera de que el campo electrico siga siendo normal a la ella. El potencial

de la carga adicional (Q − q′) es el mismo que el de una carga puntual con esa

magnitud situada en el origen. O sea que el total vale

Φ(r) =1

4πε0

(q

|r− p|+

q′

|r− p′|+Q+ aq/p

r

)(2.36)

y la fuerza entre la carga q y la esfera

F =1

4πε0

q

p2

[Q− qa3(2p2 − a2)

p(p2 − a2)2

](2.37)

2.5.4. Carga puntual y esfera conductora a un potencial

fijo

Otro problema de solucion sencilla es el de una carga puntual y una esfera

conductora conectada a una fuente de tension que la mantiene al potencial V . La

expresion del potencial es como la del caso anterios, excepto que ahora hay que

poner en el origen la carga 4πε0V a, en vez de (Q− q′). Tendremos pues

Φ(r) =1

4πε0

(q

|r− p|+

q′

|r− p′|

)+V a

r(2.38)

pues la suma de los dos primeros terminos es nula para r = a, como ya vimos, y

el tercero produce un potencial V . La fuerza entre la carga y la esfera es ahora,


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

2–15


como no es demasiado difıcil mostrar

F =q

p2

[V a− 1

4πε0

qap3

(p2 − a2)2

], (2.39)

2.5.5. Esfera conductora en un campo electrico uniforme

Sea una esfera de radio a, centrada en el origen de coordenadas, conductora

y a tierra, situada en el campo electrico E = E0 ez. Un tal campo electrico puede

considerarse como producido por dos cargas ±Q colocadas en los puntos ∓R (ver

figura). Si esas cargas estan lejos, o sea si R a, el campo que producen en

los alrededores de la esfera es aproximadamente constante, paralelo al eje z y de

modulo igual a E0 ' 2Q/4πε0R2. En el lımite R,Q→∞, manteniendo constante

Q/R2, esa aproximacion se hace exacta.

Figura 2.5:

Teniendo en cuante las secciones anteriores, la esfera de radio a sometida a

las cargas ±Q situadas en z = ∓R produce un potencial como el de estas dos

cargas mas sus dos imagenes ∓Qa/R en z = ∓a2/R, o sea

Φ =Q/4πε0

(r2 +R2 + 2rR cos θ)1/2− Q/4πε0

(r2 +R2 − 2rR cos θ)1/2(2.40)

− aQ/4πε0R(r2 + a4/R2 + 2a2r cos θ/R)1/2

+aQ/4πε0

R(r2 + a4/R2 − 2a2r cos θ/R)1/2,

siendo r, θ las coordenadas del punto de observacion. En los denominadoes de los

dos primeros terminos se saca el factor comun R y se desarrolla en serie de r/R;

2–16—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—


2.6. Sistemas de conductores

en los terminos tercero y cuarto se saca fuera el factor r y se expande en a/R. El

resultado es

Φ =1

4πε0

(−2Q

R2r cos θ +

2Q

R2

a3

r2cos θ

)+ · · ·

por lo que el potencial vale

Φ = −E0

(r − a3

r2

)cos θ . (2.41)

El primer termino de (2.41) (−E0z) corresponde al campo constante E0ez. El

segundo, al potencial de las cargas inducidas, que es el de un dipolo con momento

dipolar p = 4πε0E0a3.


Consideremos un sistema de N conductores en un volumen V con borde

∂V = S y consideremos el problema del potencial con condiciones de contorno.

El problema se dice cerrado si todos ellos estan dentro de la cavidad formada

por otro conductor que contiene a los demas. Si no lo es, se dice que es abierto.

Podemos imaginar entonces que los conductores estan dentro de una superficie

esferica equipotencial con Φ = 0 cuyo radio tiende a infinito.

Tomemos el caso en que se prescriben los valores del potencial en los conduc-

tores Φj, j = 1, 2, . . . , N . Definimos a continuacion N estados del sistema de la

siguiente manera. En primer lugar, supongamos que todos los conductores estan

a tierra excepto el primero. En ese caso las cargas de todos ellos quedan determi-

nados por Φ1. La dependencia es ademas lineal. Si se dobla Φ1 se doblan todos

los potenciales y las cargas en los demas, o sea que

Qi = Ci1Φ1,

siendo los Ci1 unos ciertos coeficientes que estan determinados por el valor de Φ1.

Si repetimos el argumento considerando estados en que todos menos el k-esimo

estan a tierra, tendremos

Qi = CikΦk.

Como el problema es lineal, el estado general sera una superposicion de los N

estados ası obtenidos, por lo que en general

Qi =N∑

j=1

CijΦj


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

2–17


Esto significa que, dados los Cij, queda determinado el potencial en todo el vol-

umen V , una vez dados los potenciales a que esta cada conductor. Pero, como

los coeficientes Cij i = 1, . . . , N quedan determinados por el valor de Φj, segun

vimos antes, resulta que el problema esta bien planteado. Los Cii se suelen lla-

mar coeficientes de capacidad y los Cij, i 6= j, coeficierntes de influencia, si bien

algunos autores llaman de capacidad a todos.

Podemos plantear otro problema que es parecido pero distinto. Se trata de la

obtencion de los potenciales de los conductores en funcion de las cargas de cada

uno. Se puede demostrar que existen unos coeficientes Pij, llamados coeficientes

de potencial tales que

Φj =N∑

i=1

PjiQi

La matriz Pij es obviamente la inversa de Cij. Notese que Cij es igual a la carga

que adquiere el conductor i cuando todos los demas estan a tierra, excepto el

conductor j que esta a potencial unidad positivo de +1 V. Como en tal situacion

las lıneas de campo salen del conductor j, el unico a potencial positivo, y bien se

van al infinito bien entran en los demas conductores, las cargas en estos deben

ser negativas. Por tanto los coeficientes de influencia deben ser negativos y los de

capacidad, positivos,

Cii > 0, Cij < 0, si i 6= j.

Ademas la carga positiva debe ser mayor o igual que la suma de las negativas en

valor absoluto (pues algunas lineas pueden ir al infinito), por tanto

Cii ≥ −N∑

j 6=i

Cij.

Podrıa parecer que para describir el sistema son necesarios N2 coeficientes, pero

no es ası porque la matriz Cij es simetrica, o sea que basta con N(N + 1)/2 (lo

mismo debe ocurrirle a su inversa Pij). Esta es una consecuencia del teorema de

reciprocidad demostrado en la seccion 2.3.

Ejemplo: capacidad de un conductor Un condensador es un sistema de

dos condutores en influencia total, lo que significa que las cargas son iguales y

opuestas, o sea que vale el signo igual en la desigualdad anterior, Q2 = −Q1.

Podemos escribir los potenciales en la forma

V1 = (P11 − P12)Q1, V2 = (P21 − P22)Q1,

y como la matriz Pij es simetrica

V1 − V2 = (P11 + P22 − 2P12)Q1

2–18—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



Si definimos V = V1 − V2 y Q = Q1, resulta que

V =Q

C, siendo C =

1

P11 + P22 − 2P 12

la capacidad del condensador. Si el conductor 2 esta a tierra (V2 = 0, y Q2 =

−Q1), se tiene Q1 = C11V1,, o sea que la capacidad es

C = C11

y ademas C12 = −C11.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

2–19


Problemas

2.1 La region entre las placas de un condensador de laminas planas y paralelas, de

extension infinita y separadas por la distancia d esta llena con una distribucion

de carga con densidad volumica ρ = ρ0x, siendo x la coordenada en direccion

normal a las placas. El potencial en las placas x = 0 y x = d es igual a 0 y V ,

respectivamente. Calcular:

a) el potencial entre las placas Φ(x);

b) el campo electrico entre las placas;

c) La fuerza por unidad de area ejercida sobre las placas.

2.2 Un sistema de conductores consiste en tres largos cilindros coaxiales, uno

interior macizo de radio a, otro intermedio de radios b y c y el mas exterior de

radio interior d (a < b < c < d). Los cilindros interior y exterior estan conectados

a potenciales V1 y V2, respectivamente y el intermedio esta a tierra. Resolviendo

la ecuacion de Laplace hallar:

a) el potencial en las regiones a < r < b y c < r < d, y

b) la carga por unidad de longitud en cada conductor.

2.3 Una esfera conductora maciza de radio R1 tiene una cavidad vacıa, tambien

esferica y de radio R2, pero no concentrica. Esta rodeada por un dielectrico ex-

terior de permitividad ε. Se coloca una carga puntual q dentro de la cavidad, a

una distancia a de su centro. Hallar la expresion del potencial en las distintas

regiones del espacio.

2.4 Un conductor plano horizontal indefinido, a potencial cero, tiene una protu-

berancia semiesferica de radio R. En la vertical del centro de la semiesferica a

una distancia D (> R) del plano hay una carga puntual q. Hallar:

a) la expresion del potencial en todo el espacio y

b) la fuerza sobre la carga q.

2.5 Alrededor de una esfera conductora de radio R y que esta conectada a tierra,

gira en un plano diametral horizontal (sin gravedad) una carga puntual q de masa

m. Calcule:

a) el valor de la velocidad v con que tiene que girar la carga para que se mantenga

en una orbita estable de radio d = 10R, y

b) si la esfera estuviese conectada a una baterıa con V voltios, calcule el valor

de V para que la carga q gire con la misma velocidad v en una orbita estable de

radio d = 20R.

2–20—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



2.6 Una esfera conductora de radio R esta aislada y tiene una carga Q. Su centro

esta en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas. Alineadas con su

centro y a ambos lados y a la misma distancia 2R, se colocan dos cargas puntuales

de valor Q (en los puntos (0, 0± 2R). Se pide calcular:

a) el potencial de la esfera,

b) la fuerza sobre cada una de las dos cargas puntuales y

c) la densidad superficial de carga en los puntos del ecuador de la esfera, en el

plano z = 0.

2.7 Mediante el metodo de las imagenes, estudiar el potencial electrostatico en

los siguientes casos:

a) una esfera conductora en un campo electrico uniforme E0 y

b) un cilindro de longitud infinita en un campo uniforme E0 perpendicular al eje

del cilindro.

2.8 Una esfera conductora de radio R esta aislada con una carga Q. Se coloca un

dipolo electrico a una distancia a del centro de la esfera, cuyo momento dipolar

p esta dirigido radialmente desde el centro de la esfera y hacia afuera. Hallar:

a) el potencial electrico de la esfera y

b) el campo electrico en los puntos que distan R y 2a del centro de la esfera,

segun la direccion del centro al dipolo.

2.9 Un alambre indefinido, por el que circula una corriente de intensidad I,

esta situado en un medio de permeabilidad µ1 que ocupa un semiespacio limitado

por un plano paralelo al alambre y a la distacia d de el. En el otro semiespacio

hay un medio de permeabilidad µ2 (> µ1). Determinar

a) los campos en ambas regiones y

b) la fuerza sobre el alambre, indicando si es atractiva o repulsiva respecto al

plano.

2.10 Se tiene una carga puntual q entre dos planos conductores separados por la

distancia d. la carga dista d1 de uno de ellos. Aplicando el teorema de reciprocidad,

hallar la carga inducida en cada uno de ellos.

2.11 Dos esferas conductoras de radios a y b tienen sus centros separados la

distancia c ( a, b). Hallar los coeficientes de influencia del sistema hasta el

segundo orden de aproximacion, es decir, despreciando terminos en (a/c)3, (b/c)3

y en potencias mas altas.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

2–21


2.12 Tres esferas conductoras identicas de radio a estan colocadas en los verticies

de un triangulo equilatero de lado b ( a). Inicialmente las tres tienen la misma

carga q. A continuacion se descargan una a una y sucesivamente se conectan a

tierra y se desconectan. ¿Cual es la carga de cada una al final de este proceso?

2–22—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—


Capıtulo 3

Problemas de contorno en

campos estaticos II: Separacion

de variables

Uno de los metodos mas usados en Fısica Matematica para resolver ecua-

ciones en derivadas parciales es el de la separacion de variables. Se sabe que la

ecuacion de Laplace y otras relacionadas son separables en once sistemas dis-

tintos de coordenadas (Morse and Feshbach, Methods of Theoretical Physics, 2

vol. McGraw-Hill, New York 1953). En este curso desarrollaremos solo tres casos:

cartesianas, cilındricas y esfericas.

3.1. Metodo de separacion de variables en coor-

denadas cartesianas

La ecuacion de Laplace en coordenadas cartesianas es

∂2Φ

∂x2+∂2Φ

∂y2+∂2Φ

∂z2= 0. (3.1)

Se ve claramente que la ecuacion anterior tiene soluciones factorizadas de la forma

Φ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z). (3.2)

es decir, como el producto de tres funciones, una por cada coordenada. Como

consecuencia el problema de reduce a la solucion de tres ecuaciones diferenciales

ordinarias, pues sustituyendo en (3.1) y dividiendo por Φ, se llega a

1

X(x)

d2X

dx2+

1

Y (y)

d2Y

dy2+

1

Z(z)

d2Z

dz2= 0. (3.3)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

3–1

Capıtulo 3. Problemas de contorno en campos estaticos II:Separacion de variables

Como cada uno de los tres sumandos depende de una variable independiente

distinta, cada uno de ellos debe ser igual a una constante (una positiva y dos

negativas o al reves), o sea

1

X

d2X

dx2= −α2,

1

Y

d2Y

dy2= −β2, (3.4)

1

Z

d2Z

dz2= +γ2

de modo que

α2 + β2 = γ2.

Se han elegido como positivas las constantes correspondientes a las coordenadas

x, y, lo cual es arbitrario, podrıa ser cualquier par. En todo caso esto indica que

el potencial se puede expresar mediante combinaciones lineales de productos de

funciones

Φαβγ = e±iαxe±iβye±√

α2+β2z. (3.5)

Como α, β son completamente arbitrarias y podemos elegir como positiva una

cualquiera de las constantes (solo importa los signos relativos), se pueden generar

por combinaciones lineales una enorme cantidad de soluciones a la ecuacion de

Laplace.

En el caso de que una de las constantes se anule, la solucion sera un polinomio

de grado 1 en la variable correspondiente. Ası, si α = 0, X = Ax + A′. Si dos

constantes se anulan, lo hacen las tres y entonces tendremos la solucion

Φ = (Ax+ A′)(By +B′)(Cz + c′).

Las constantes α y β se determinan mediante las condiciones de contorno. Tomem-

os un ejemplo simple. Sea el volumen V en que queremos calcular el potencial el

interior de una caja en forma de paralelepıpedo V ≡ (0 < x < a, 0 < y < b, 0 <

z < c). Sean las condiciones de contorno Φ = 0 en todas las caras, excepto la

z = c que esta al potencial V (x, y). Las condiciones de contorno Φ = 0 en x = 0,

y = 0 o z = 0 indican que la solucion es una suma de funciones de la forma

X = senαx,

Y = sen βy, (3.6)

Z = senh(√α2 + β2 z)

3–2—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—


3.1. Metodo de separacion de variables en coordenadas cartesianas

Para que Φ = 0 en x = a e y = b, debe cumplirse αa = nπ y βb = mπ, con n, m

enteros. Definiendo

αn =nπ

a,

βm =mπ

b, (3.7)

γnm = π

√n2

a2+m2

b2,

resulta que las funciones

Φnm = sen(αnx) sen(βmy) senh(γnmz),

cumplen las condiciones de contorno en cinco caras (excepto en z = c). Como la

ecuacion es lineal, podemos escribir la solucion como una serie en esas funciones

Φ(x, y, z) =∞∑

n,m=1

Anm sen(αnx) sen(βmy) senh(γnmz). (3.8)

Al mismo tiempo, sabemos que la funcion V (x, y) puede desarrollarse del modo

V (x, y) =∞∑

n,m=1

Vnm sen(αnx) sen(βmy) (3.9)

siendo los coeficientes Vnm

Vnm =4

ab

∫ a

0

dx

∫ b

0

dyV (x, y) sen(αnx) sen(βmy). (3.10)

Por lo tanto la solucion del problema esta dada por la serie (3.8) con

Anm =Vnm

sinh(γnmc)(3.11)

De esa forma se cumple la condicion de contorno en z = c.

En el caso de que el potencial fuese no nulo en las seis caras, se tomarıa una

suma de seis potenciales, cada uno como (3.9), nulo en cinco de las seis caras.

3.1.1. Un caso bidimensional

En el caso bidimensional, tendremos en vez de (3.5) las funciones

e±iαxe±αy, o tambien e±αxe±iαy.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

3–3


Consideremos el problema de determinar el potencial en la region R ≡ (0 ≤ x ≤a, y ≥ 0), con las condiciones de contorno Φ = 0 en x = 0 y x = a, Φ = V en

y = 0, 0 ≤ x ≤ a y Φ → 0 para y →∞. Teniendo en cuenta lo dicho mas arriba,

resulta que la solucion debe ser una suma de funciones del tipo e−αy sen(αx), con

α > 0. Las condiciones de contorno implican pues que

Φ(x, y) =∞∑

n=1

Ane−nπy/a sen(nπx/a), (3.12)

Los coeficientes An se determinan por la condicion de contorno en y = 0. Los

coeficientes de Fourier de Φ(x, 0) son

An =2

a

∫ a

0

Φ(x, 0) sen(nπx/a)dx. (3.13)

Si Φ(x, 0) = V = constante,

An =4V

πn

1, si n es impar

0, si n es par(3.14)

El potencial esta pues dado por la serie

Φ(x, y) =4V

π

∑n impar

1

ne−nπy/a sen(

nπx

a). (3.15)

3–4—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—


3.2. La ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas

3.2. La ecuacion de Laplace en coordenadas esferi-

cas

En coordenadas esfericas, la ecuacion de Laplace toma la forma

1

r2

∂2

∂r2(r2Φ) +

1

r2 sen θ

∂

∂θ

(sen θ

∂Φ

∂θ

)+

1

r2 sen2 θ

∂2Φ

∂ϕ2= 0, (3.16)

Si factorizamos el potencial en la forma

Φ =U(r)

rP (θ)Q(ϕ). (3.17)

Sustituyendo en (3.16),

PQd2U

dr2+

UQ

r2 sen θ

d

dθ

(sen θ

dP

dθ

)+

UP

r2 sen2 θ

d2Q

dϕ2= 0

Dividiendo por UPQ/r2 sen2 θ,

r2 sen2 θ

[1

U

d2U

dr2+

1

Pr2 sen θ

d

dθ

(sen θ

dP

dθ

)]+

1

Q

d2Q

dϕ2= 0 (3.18)

Como toda la dependencia en ϕ esta concentrada en el ultimo termino de la

izquierda, este debe ser igual a una constante, que tomamos como negativa (−m2).

O sea1

Q

d2Q

dϕ2= −m2, (3.19)

cuya solucion es

Q = e±imϕ. (3.20)

Para que Q sea univaluada,m debe ser un entero, si todo el angulo 2π es admisible

(si la constante en (3.19) fuese positiva tampoco serıa univaluada). Por las mismas

razones podemos separar las dos ecuaciones de P y U , como

1

sen θ

d

dθ

(sen θ

dP

dθ

)+

(`(`+ 1)− m2

sen2 θ

)P = 0 (3.21)

d2U

dr2− `(`+ 1)

r2U = 0,

siendo `(`+ 1) otra constante (real) de integracion. La ultima ecuacion (la de U)

tiene como solucion general

U = Ar`+1 +B r−`, (3.22)

pero no sabemos aun como es `.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

3–5


3.2.1. Ecuacion de Legendre y polinomios de Legendre

Es costumbre expresar la primera de las ecuaciones (3.21) en funcion de x =

cos θ. Toma ası la forma

d

dx

[(1− x2)

dP

dx

]+

[`(`+ 1)− m2

1− x2

]P = 0. (3.23)

Esta es la llamada ecuacion generalizada de Legendre y sus soluciones las funciones

asociadas de Legendre.

Consideraremos en primer lugar la ecuacion ordinaria de Legendre o simple-

mente ecuacion de Legendre que es la correspondiente a m = 0, cuyas soluciones

son conocidas como los polinomios de Legendre. Esa ecuacion es pues

d

dx

[(1− x2)

dP

dx

]+ `(`+ 1)P = 0. (3.24)

Buscaremos soluciones que esten bien definidas en todo el intervalo −1 ≤ x ≤1, que incluye a los polos norte y sur. Ensayemos una solucion en forma de serie

P (x) =∞∑

j=0

ajxj. (3.25)

Si sustituimos en (3.23), resulta la serie

∞∑j=0

j(j − 1)ajxj−2 − [j(j + 1)− `(`+ 1)]ajx

j = 0

Los coeficientes de cada potencia de x deben anularse separadamente. Esto de-

termina una relacion de recurrencia en los coeficientes

aj+2 =

[j(j + 1)− `(`+ 1)

(j + 1)(j + 2)

]aj, (3.26)

La solucion queda determinada por a0 y a1. Si se toma a1 = 0 se tiene una

funcion par en x, si a0 = 0 una funcion impar. Separaremos los dos casos. En

general, la serie diverge en el eje pues la relacion de terminos sucesivos cumple

a2xj+2/ajx

j → 1, si x→ 1 y j →∞, o sea que no tiene buen comportamiento y

diverge en x = ±1, es decir, en las lıneas polares θ = 0, π. La unica manera de

que no ocurra ası (caso en que no habrıa soluciones aceptables) es que la serie

termine, es decir que sea un polinomio porque un coeficiente se anule, y con el

todos los que le siguen a causa de la relacion de recurrencia.

Para que eso ocurra, se necesita obviamente que ` sea un numero entero

positivo o nulo. Incluso en ese caso, solo una de las soluciones linealmente in-

dependientes es acotada en las lıneas polares. Esto es esperable, pues si a1 = 0

3–6—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



(resp. a0 = 0), la serie es par (resp. impar) y solo puede terminar para ` par

(resp. ` impar). Para cada valor de ` la solucion es un polinomio de grado ` en x,

con la misma paridad que `. Esas soluciones son los polinomios de Legendre. Los

primeros son

P0(x) = 1,

P1(x) = x,

P2(x) =1

2(3x2 − 1), (3.27)

P3(x) =1

2(5x3 − 3x),

P4(x) =1

8(35x4 − 30x2 + 3),

Haciendo un poco de algebra con la expresion de los coeficientes de la serie (3.25)-

(3.26), se puede obtener la representacion siguiente

P`(x) =1

2` `!

d`

dx`(x2 − 1)`. (3.28)

que es la definicion canonica, conocida tambien como formula de Rodrıgues (siem-

pre se podria introducir una constante multiplicativa). Los polinomios de Legen-

dre forman un conjunto de funciones ortogonales en el intervalo (−1,+1), de

modo que toda funcion definida en ese intervalo se puede escribir como una serie

de polinomios de Legendre. En efecto se puede probar con un caculo simple, solo

que usa algo de algebra, que∫ 1

−1

P`′(x)P`(x)dx =2

2`+ 1δ`′`, (3.29)

por lo que un conjunto de funciones ortonormales es

U`(x) =

√2`+ 1

2P`(x).

(ver Jackson “Classical electrodynamics”, 3rd edition, John Wiley and Sons, New

York 1995; Abramowitz and Stegun “Handbook of mathematical functions”; Ar-

fken and Weber “Matehmatical methods for physicists”, Academic Press, New

York, 1995.)

Sea una funcion f(x) definida en el intervalo −1 ≤ x ≤ +1. Su representacion

en terminos de los polinomios de Lagendre es

f(x) =∞∑

`=0

A`P`(x) (3.30)

A` =2`+ 1

2

∫ 1

−1

f(x)P`(x)dx.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

3–7


3.2.2. Problemas simples con simetrıa azimutal

De la solucion de la ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas, resulta que

si el problema tiene simetrıa azimutal (tambien llamada simetrıa cilındrica, o sea

si el sistema es invariante bajo rotaciones en torno a un eje) entonces m = 0 y la

solucion general se reduce a

Φ(r, θ) =∞∑

`=0

[A` r

` +B` r−(`+1)

]P`(cos θ). (3.31)

Esfera con hemisferios a distinto potencial. Supongamos que queremos

calcular el potencial en el interior de una esfera de radio a, con la condicion de

contorno en su superficie Φ(a, θ, ϕ) = V (θ). Si no hay cargas en el origen, el

coeficiente B` = 0, por lo que se debe cumplir

V (θ) =∞∑

`=0

A` a` P`(cos θ),

que es una expansion en serie de polinomios de Legendre, por lo que los coefi-

cientes valen

A` =2`+ 1

2a`

∫ π

0

V (θ)P`(cosθ) sen θdθ

Sea como ejemplo una esfera en la que dos hemisferios estan aislados entre sı y a

distinto potencial, de modo que

V (θ) =

+V, if 0 ≤ θ < π/2

−V, if π/2 < θ ≤ π(3.32)

Los coeficientes se anulan en este caso si ` es par y si es impar valen

A` =V

a`(2`+ 1)

∫ 1

0

P`(x)dx

Usando la formula de Rodrigues se puede probar tras, un calculo no muy com-

plicado, que si ` es par A` = 0 y si ` es impar

A` = (−1

2)(`−1)/2 (2`+ 1)(`− 2)!!

2((`+ 1/2)!

V

a`,

por lo que el potencial vale

Φ(r, θ) = V

[3

2

r

aP1(cos θ)− 7

8

(ra

)3

P3(cos θ) +11

16

(ra

)5

P5(cos θ) + · · ·](3.33)

3–8—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



Para tener el potencial en el exterior de la esfera, basta con sustituir (r/a)` por

(a/r)`+1.

Potencial de la carga unidad: desarrollo multipolar. Una propiedad

muy importante y util es que la serie (3.31) con la condicion de contorno es una

representacion unica del potencial, por lo que puede conocerse en todo el volumen

si se conoce en una region menor. Mas concretamente y como P`(1) = 1, P`(−1) =

(−1)`, en el eje de simetrıa el potencial se escribe como

Φ(r = z) =∞∑

`=0

[A` r

` +B` r−(`+1)

](3.34)

para z > 0; para z < 0 cada termino debe ser multiplicado por (−1)`. Supon-

gamos que se conoce la funcion que da el potencial en la parte positiva del eje

de simetrıa y que se desarrolla en serie de potencias de r = z siendo conocidos

los coeficientes. Pues bien la expresion para todo punto del espacio, se obtiene

simplemente multiplicando cada potencia r` y r−(`+1) por P`(cos θ).

Como ejemplo tomemos el potencial creado en r por una carga unidad situada

en r′, que puede expresarse en la forma

1

|r− r′|=

∞∑`=0

r`<

r`+1>

P`(cos γ) (3.35)

donde r< (r>) es el menor (mayor) valor de r y r′ y γ es el angulo entre r y r′.

La ecuacion anterior (3.35) se conoce como desarrollo multipolar del potencial de

la carga unidad o desarrollo en ondas parciales del potencial de la carga unidad.

La prueba es la siguiente.

Tomemos los ejes de modo que r′ este en la parte positiva del eje z. El potencial

tiene entonces simetrıa azimutal alrededor del eje z, por lo que

1

|r− r′|=

∞∑`=0

[A` r

` +B` r−(`+1)

]P`(cos γ).

Si r esta en la parte positiva del eje z, el miembro de la derecha de esta ecuacion

toma la forma (3.34), mientras que el de la izquierda vale

1

|r− r′|≡ 1

(r2 + r′2 − 2rr′ cos γ)1/2→ 1

|r − r′|.

Esta expresion puede desarrollarse como

1

|r− r′|=

1

r>

∞∑`=0

(r<

r>

)`

.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

3–9


Por tanto para obtener la expresion en todo el espacio, basta con multiplicar cada

termino por P`(cos γ). Ası se obtiene (3.35) como se querıa probar.

Potencial creado por un anillo. Otro ejemplo es el potencial creado por

una carga q distribuida uniformemente a los largo de un anillo de radio a. El

problema tiene simetrıa azimutal alrededor del eje del anillo. Supongamos que

esta situado de modo perpendicular al eje z, con su centro en el punto (0, 0, b).

Es evidente que el potencial en el eje de simetrıa en el punto con z = r es igual

a q/4πε0 dividido por la distancia AP , o sea

Φ(z = r) =1

4πε0

q

(r2 + c2 − 2cr cosα)1/2,

donde c2 = a2 + b2 y α = arctan(a/b). Podemos usar la ecuacion (3.35) para

expresar la inversa de la distancia AP , de modo que para r > c

Φ(z = r) =q

4πε0

∞∑`=0

c`

r`+1P`(cosα)

y para r < c la forma correspondiente es

Φ(z = r) =q

4πε0

∞∑`=0

r`

c`+1P`(cosα).

Lo mismo que antes, podemos escribir el potencial en un punto generico simple-

mente multiplicando cada termino por P`(cos θ). O sea

Φ(r, θ) =q

4πε0

∞∑`=0

r`<

r`+1>

P`(cosα)P`(cos θ),

donde r< (r>) es el menor (mayor) de r y c.

3.2.3. Funciones asociadas de Legendre y Armonicos esferi-

cos

En la ultima parte hemos tratado problemas con simetrıa azimutal. Si el rango

del azimut es toda la circunferencia [0, 2π], se pueden resolver todos los problemas

(en principio), con m entero pero el problema general necesita de soluciones con

m no entero.

Si pasamos de la ecuacion ordinaria de Legendre (3.24) a la generalizada

(3.23), se puede probar que para que tenga soluciones aceptables (por estar bien

definidas y ser finitas) en todo el intervalo −1 ≤ x ≤ +1,

3–10—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



(i) el parametro ` debe ser bien cero bien un entero positivo y

(ii) el entero m solo puede tomar los valores −`,−(`− 1), .,0, ..., (`− 1), `.

En otras palabras, m y ` deben ser enteros y ademas ` > 0 y |m| ≤ `. Con

esas condiciones existe una solucion regular para cada par `,m, que se conocen

como funciones asociadas de Legendre, denotadas Pm` (x). Se definen mediante la

formula

Pm` (x) = (−1)m(1− x2)m/2 dm

dxmP`(x).

Pero notese que eso implica una eleccion de signos, aunque es la mas habitual. La

formula de Rodrigues se puede generalizar para incluir a todas con independencia

del valor de m

Pm` (x) =

(−1)m

2` `!(1− x2)m/2 d`+m

dx`+m(x2 − 1)`. (3.36)

Las funciones Pm` y P−m

` deben ser proporcionales ya que son soluciones de la

misma ecuacion que depende de m a traves de su cuadrado. De hecho se tiene

P−m` = (−1)m (`−m)!

(`+m)!Pm

` .

Con un valor fijo de m las funciones Pm` forman un comjunto ortogonal en el

ındice ` en el intervalo −1 ≤ x ≤ +1. De hecho∫ 1

−1

Pm`′ (x)Pm

` (x)dx =2

2`+ 1

(`+m)!

(`−m)!δ`′`, (3.37)

Resulta muy util combinar las dos funciones angulares en la solucion de la

ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas. La funciones ası obtenidas se cono-

cen como esfericos armonicos (o armonicos esfericos). Su definicion precisa, con

el convenio mas usual de signos es

Y`m(θ, ϕ) =

√2`+ 1

4π

(`−m)!

(`+m)!Pm

` (cos θ)eimϕ, (3.38)

Propiedades:

i) Cambio de signo de m

Yl,−m(θ, ϕ) = (−1)m Y ∗l,m(θ, ϕ)

ii) Las relaciones de normalizacion y ortogonalidad:∫ 2π

0

dϕ

∫ π

0

dθ sen θ Y ∗`′,m′(θ, ϕ)Y`m(θ, ϕ) = δ`′`δm′m.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

3–11


iii) Las relaciones de completitud son

∞∑`=0

∑m=−`

Y ∗`m(θ′, ϕ′)Y`m(θ, ϕ) = δ(ϕ− ϕ′)δ(cos θ − cos θ′).

Los armonicos esfericos forman un conjunto completo de funciones ortogonales

sobre la esfera unidad, de modo que cualquier funcion g(θ, ϕ) se puede expresar

como

g(θ, ϕ) =∞∑

`=0

A`mY`m(θ, ϕ), (3.39)

A`m =

∫4π

dΩY ∗`m(θ, ϕ) g(θ, ϕ).

Algunos armonicos esfericos

` = 0, Y00 =1√4π

` = 1,

Y11 = −√

38π

sen θeiϕ

Y10 =√

34π

cos θ(3.40)

` = 2,

Y22 = 1

4

√152π

sen2 θe2iϕ

Y21 = −√

158π

sen θ cos θeiϕ

Y20 =√

54π

(32cos2 θ − 1

2)

Los armonicos con m < 0 se pueden obtener a partir de la propiedad (i) de poco

mas arriba.

Solucion general de la ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas.

En resumen, la solucion general de la ecuacion de Laplace en esas coordenadas es

Φ(r, θ, ϕ) =∞∑

`=0

∑m=−`

[A`m r

` +B`m r−(`+1)

]Y`m(θ, ϕ). (3.41)

3.3. La ecuacion de Laplace en coordenadas cilındri-

cas. Funciones de Bessel

En coordenadas cilındricas (ρ, ϕ, z) (note that ρ =√x2 + y2, ϕ = arctan(y/x), z =

z), la ecuacion de Laplace toma la forma

1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂Φ

∂ρ

)+

1

ρ2

∂2Φ

∂ϕ2+∂2Φ

∂z2= 0, (3.42)

3–12—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—


3.3. La ecuacion de Laplace en coordenadas cilındricas. Funciones de Bessel

o tambien∂2Φ

∂ρ2+

1

ρ

∂Φ

∂ρ+

1

ρ2

∂2Φ

∂ϕ2+∂2Φ

∂z2= 0, (3.43)

Para aplicar el metodo de la separacion de variables, escribimos

Φ(ρ, ϕ, z) = R(ρ)Q(ϕ)Z(z), (3.44)

que conduce a las tres ecuaciones diferenciales ordinarias

d2Z

dz2− k2Z = 0,

d2Q

dϕ2+ ν2Q = 0, (3.45)

d2R

dρ2+

1

ρ

dR

dρ+

(k2 − ν2

ρ2

)R = 0,

Las soluciones de las dos primeras ecuaciones son

Z(z) = e±kz, Q(ϕ) = eiνϕ.

La constante ν debe ser un entero; k puede ser en principio un numero cualquiera.

De momento supondremos que es real y positivo.

La ecuacion con el cambio x = kρ toma la forma

d2R

dx2+

1

x

dR

dx+

(k2 − ν2

x2

)R = 0, (3.46)

y es conocida como ecuacion de Bessel, siendo sus soluciones las funciones de

Bessel de orden ν. Priemro veamos como se comportan las soluciones cerca de

x = 0 (o sea del eje z). Para x→ 0, podemos despreciar el 1 en el parentesis del

segundo miembroy vemos que

R ∼ x±ν .

Ensayemos una solucion en serie

R(x) = xα

∞∑j=0

ajxj, (3.47)

con α = ±ν, Resulta que podemos elegir series con todos los coeficientes im-

pares iguales a cero. Variando ν se pueden obtener funciones pares e impares.

Sustituyendo la serie en la ecuacion, se llega a la relacion de recurrencia

a2j = − 1

4j(j + α)a2j−2,


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

3–13


para j = 1, 2, 3, .... Iterando esa recurrencia, es posible expresar todos los coefi-

cientes como

a2j =(−1)j α!

22j j! (α+ j)!a0

Se toma por convenio a0 = [2αα!]−1. Por ello se encuentran ası dos soluciones

Jν(x) =(x

2

)ν∞∑

j=0

(−1)j

j! Γ(j + ν + 1)

(x2

)2j

(3.48)

J−ν(x) =(x

2

)−ν∞∑

j=0

(−1)j

j! Γ(j − ν + 1)

(x2

)2j

(3.49)

donde Γ(x) es la funcion gamma de Euler que es una generalizacion de la factorial.

De hecho se cumple

Γ(n+ 1) =

n! si n ≥ 0

∞ si n < 0(3.50)

Las dos soluciones J±ν(x) son las funciones de Bessel de primera clase de

orden ±ν. Pero se puede probar que para ν entero no son independientes, pues

J−n(x) = (−1)nJn(x).

En ese caso se necesita una segunda solucion. Incluso cuando ν no sea entero,

no se usa el par J±ν sino el Jν(x) y Nν(x), siendo esta ultima

Nν =Jν(x) cos νπ − J−ν(x)

sen νπ,

que se conoce como funcion de Neumann o tambien funcion de Bessel de segunda

especie.

Comportamiento cerca de 0 y cerca de ∞. Tomaremos ya ν = n ≥ 0

suponiendolo entero. Se puede probar que los comportamientos de de las funciones

de Bessel de primera y segunda clase cerca de ρ = 0 y ρ = ∞ son

x 1, Jn(x) → 1

n!

(x2

)n

, (3.51)

Nn(x) →

2π[log(

x2

)+ 0,5772...

], n = 0,

− (n−1)!π

(x2

)n, n 6= 0,

x 1, n, Jn(x) →√

2πx cos(x− nπ

2− π

4

), (3.52)

Nn(x) →√

2πx sen(x− nπ

2− π

4

),

3–14—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



Mediante estas funciones se puede expresar la solucion general de la ecuacionde

Laplace en coordenadas cilındricas en forma de una serie en la que cada termino es

el producto de las tres funciones R(ρ)Q(ϕ)Z(z) multiplicadas por un coeficiente

a determinar en funcion de los coeficientes. El resumen de estas funciones es

R(ρ) = AnJn(kρ) + bnNn(kρ), k 6= 0,

R(ρ) = Arn +Br−n, k = 0,

Φ(ϕ) = Cn cosnϕ+Dn senϕ, n 6= 0 (3.53)

Φ(ϕ) = Cϕ+D, n = 0, (3.54)

Z(z) = Ekekz + Fke

−kz, k 6= 0,

Z(z) = Ez + F, k = 0.

Si n y k se anulan a la vez

Φ = (A log r +B)(Cφ+D)(Ez + F ).

Notese que que si n = 0 y toda la circunferencia (o sea todo el intervalo 0 ≤ ϕ ≤2π) esta dentro de la region V , entonces C = 0.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

3–15


Problemas

3.1 Un bloque conductor, que ocupa el semiespacio y < 0 y esta conectado a

tierra, tiene una ranura de seccion rectangular, con paredes en los planos x = 0

y x = a, fondo en y = 0 y abierta en y = −b (con b a). La ranura se cubre

por una placa que esta aislada del bloque y sobre la que se establece un potencial

V = V0 sen(πx/a). Hallar la distribucion del potencial dentro de la ranura.

3.2 Se tiene un sistema formado por dos esferas concentricas de radios R1 y

R2 (> R1). El potencial es nulo en la esfera interior y vale Φ(R2, θ) = V0 cos θ en

la exterior. Determinar el potencial y el campo en la region r > R1. Comprobar

que el campo electrico solo tiene componente normal en la superficie r = R1.

3.3 En un dielectrico homogeneo e isotropo, de permitividad ε y que llena todo el

espacio, se ha practicado una cavidad esferica de radio R en cuyo centro hay un

dipolo de momento p. Calcular el potencial en todo punto del espacio, ası como

las cargas de polarizacion en la superficie de la cavidad.

3.4 Un cono conductor de semiangulo α, a potencial V0 esta colocado frente a un

plano conductor a tierra, con su eje perpendicular al plano, tal como se indica en

la figura. Hallar:

a) el potencial electrico en la region α ≤ θ ≤ π/2 (o sea fuera del cono, entre este

y el plano)

b) el campo electrico, y

c) la densidad de carga inducida en el cono y en el plano.

3.5 Se tiene un cilindro circular de radio a y longitud ` ( a), cargado con la

densidad superficial σ = σ0 sen 2ϕ C/m2, siendo σ0 una constante y ϕ el azimut.

Determinar el potencial en todo el espacio.

3.6 Una esfera conductora de radio a conectada a tierra esta rodeada por un

estrato esferico de radio interior a y exterior b cargado con la densidad volumica de

carga ρ. En conjunto esta a su vez rodeado por otra superficie esferica concentrica

a potencial V . Calcular el potencial y el campo electrico en todo el espacio.

3.7 Se tiene una esfera imanada, con imanacion uniforme M0 = M0ez (en la

direccion del eje z). Hallar los campos H y B dentro y fuera de la esfera.

3–16—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



3.8 En un iman permanente con imanacion M uniforme se ha hecho una cavidad

esferica pequena de radio R en una region donde el campo inicial era H0. Hallar

el campo resultante dentro y fuera de la cavidad.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

3–17


3–18—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—


Capıtulo 4

Energıa y fuerzas en campos

electrostaticos

4.1. Energıa electrostatica

Sea un sistema de cargas electricas en una situacion estacionaria, o sea en

reposo. La energıa total de un sistema de partıculas puntuales se expresa como

la suma de sus energıas cineticas y sus energıas potenciales. Estas ultimas son

de dos clases, las correspondientes a fuerzas entre esas partıculas y las debidas

a fuerzas exteriores. Consideraremos ahora un sistema de cargas en posiciones

fijas que formen un sistema aıslado, es decir que no este afectaado por fuerzas

exteriores. En estas condiciones su energıa es la potencial de interaccion entre

ellas y se llama su energıa electrostatica.

Si una carga q se mueve desde la posicion 1 a la posicion 2 bajo el efecto de

un campo electrico, el trabajo realizado por el campo es W =∫ 2

1F · dr, o sea

W = q

∫ 2

1

E · dr = −q∫ 2

1

∇Φ · dr = −q (Φ2 − Φ1) .

Conviene suponer que la fuerza electrostatica esta exactamente equilibrada con

otra fuerza igual a F′ = −qE, de modo que la carga no se acelere. En esas

condiciones, el trabajo efectuado por esta otra fuerza es W = q(Φ2 − Φ1)

4.1.1. Caso de varias cargas puntuales

Se define la energıa electrostatica de un sistema de N cargas puntuales

(q1, . . . , qN) en las posiciones (r1, . . . , rN) como la diferencia de energıa poten-


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

4–1

Capıtulo 4. Energıa y fuerzas en campos electrostaticos

cial entre ese estado y otro en el que las cargas estuviesen infinitamente alejadas

unas de otras. Dicho de otro modo, es el trabajo en contra del campo necesario

para trasladar las cargas desde el segundo estado al primero sin acelerarlas, como

se indico mas arriba.

Supongamos que la primera esta en r1 (se puede trasladar a esa posicion sin

ningun trabajo). Para colocar la segunda es necesario el trabajo

W2 =q2q1

4πε0r21,

siendo r21 = |r2 − r1|. Para colocar la tercera el trabajo es

W3 = q3

[q1

4πε0r31+

q24πε0r32

],

siguiendo el proceso, resulta que el trabajo para colocar las N cargas es igual a

U =N∑

j=1

Wj =N∑

j=1

(j−1∑k=1

qjqk4πε0rjk

).

Podemos abreviar esta expresion como

U =N∑

j=1

j−1∑k=1

Wjk.

Si consideramos Wjk como una matriz, haciendo Wjj = 0 (sin usar el convenio

de los ındices repetidos), podemos escribir

U =1

2

N∑j=1

N∑k=1

Wjk,

o tambien

U =1

2

N∑j=1

N∑k=1

′ qjqk4πε0rjk

=1

2

∑j 6=k

qjqk4πε0rjk

, (4.1)

donde la misma cantidad aparece escrita de dos formas distintas (la prima en la

primera forma significa que se excluye el termino con k = j en la suma). Aun

otra manera es la siguiente. El potencial en la posicion de la carga j-esima debido

a las otras N − 1 es

Φj =N∑

k=1

′ qk4πε0rjk

por lo que la energıa electrostatica del sistema es

U =1

2

N∑j=1

qjΦj. (4.2)

4–2—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



Conviene subrayar que en la expresion anterior Φj es el potencial creado en la

posicion de la partıcula j-esima por las demas N −1. Se excluyen efectos de cada

partıcula sobre sı misma.

4.1.2. Caso de una distribucion de carga

Si se tiene una distribucion volumica ρ(r) y otra superficial σ(r), el resultado

es el mismo. De hecho dividiendo el volumen en elementos diferenciales, se puede

extender el resultado anterior, de modo que la energıa electrostatica es

U =1

2

∫V

ρ(r)Φ(r)dv +1

2

∫S

σ(r)Φ(r)da. (4.3)

Si las distribuciones anteriores no estan asociadas a conductores y hay ademas n

conductores, su carga se distribuye por su superficie y su volumen es una region

equipotencial. Sean Qj y Φj la carga y el potencial del conductor j-esimo, la

expresion anterior debe sustituirse por

U =1

2

∫V

ρ(r)Φ(r) dv +1

2

∫S

σ(r)Φ(r) da+1

2

∑j

QjΦj. (4.4)

Ejemplo: Esfera uniformemente cargada. Sea una esfera de radio a con

carga q, distribuida uniformemente con densidad volumica ρ = 3q/4πa3. Como

se vio mas arriba, el potencial vale

Φ =3q

8πε0a

(1− r2

3a2

), dentro

Φ =q

4πε0r, fuera.

La energıa electrostatica es pues

U =1

2

∫V

ρΦ(r)dv =3q2

20πε0a=

4πa5ρ2

15ε0,

como se puede comprobar facilmente haciendo la integral.

En el caso de una distribucion de carga en la superficie de la esfera, es facil

comprobar que la energıa electrostatica es

U =1

2

∫S

σΦ(a)da =q2

8πε0a=

2πa5ρ2

9ε0.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

4–3


4.1.3. Densidad de energıa de un campo electrostatico

Veremos ahora como se puede expresar la energıa electrostatica de una for-

ma alternativa de gran importancia. Sea un sistema formado por las densidades

volumica ρ y superficial σ. Supongamos que esta acotado en el espacio y se puede

encerrar dentro de una superficie esferica Σ. La densidad superficial se extiende

a la superficie S, union de las de los conductores en el sistema. Sabemos que se

cumple

ρ = ε0∇ · E, σ = ε0E · n,

siendo n un vector normal a la superficie de los conductores. La ecuacion (4.3)

toma la forma

U =1

2

∫V

ε0Φ∇ · E dv +1

2

∫S

ε0ΦE · n da. (4.5)

Se cumple la identidad

Φ∇ · E = ∇ · (ΦE)− E · ∇Φ

por lo que sustituyendo en (4.5) y usando el teorema de la divergencia,

U =1

2

∫S+Σ

Φε0E · n′ da+1

2

∫V

ε0E · E dv +1

2

∫S

Φε0E · n da.

Notese ahora que las dos integrales sobre S se cancelan, pues en primera n′

apuenta hacia adentro de los conductores (y hacia fuera de Σ) y en la segunda

n apunta hacia afuera de los conductores. Si hacemos que Σ tienda al infinito, la

integral sobre Σ tiende a cero, pues Φ ∼ 1/r y E ∼ 1/r2 mientras que el area

de Σ crece como r2 (podemos imaginar que Σ es una superficie esferica de radio

R→∞). Queda pues

U =1

2

∫V

D · E dv, (4.6)

donde D = ε0E es el vector desplazamiento electrico. Esta integral parece indicar

que la energıa electrostatica esta estendida por el espacio, mientras que expre-

siones anteriores parecıan decir que esta en las partıculas. ¿Donde esta realmente

4–4—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



esa energıa? No es facil responder a esta cuestion, que tiene aspectos muy sutiles.

En el caso de sistemas dinamicos, es decir dependientes del tiempo, resulta muy

conveniente admitir la idea de que la energıa electrostatica esta distribuida por el

espacio con densidad de energıa igual a

u =1

2D · E. (4.7)

Notese que esa densidad de energıa puede escribirse tambien como

u =1

2ε0E

2 =1

2

D2

ε0.

Por tanto

U =1

2ε0

∫E2 dv =

1

2

∫D · E dv =

∫1

2

D2

ε0dv (4.8)

Autoenergıa electrostatica. Examinando las ecuaciones (4.7)-(4.8) obser-

vamos que la energıa electrostatica a que conducen es siempre positiva, lo que

sorprende pues es evidente que la de dos cargas puede ser negativa. ¿Como es es-

to posible? La razon esta en los llamados terminos de autoenergıa electrostatica.

Consideremos dos cargas puntuales q1 y q2 situadas en r1 y r2. El campo electrico

en r es igual a

E =1

4πε0

(q1

r− r1

|r− r1|3+ q2

r− r2

|r− r2|3

),

por lo que la ecuacion (4.8) dice que

U =1

4πε0

∫ [q21

8π|r− r1|4+

q22

8π|r− r2|4+ q1q2

(r− r1) · (r− r2)

4π|r− r1|3|r− r2|3

]dv (4.9)

Los dos primeros terminos dan la energıa correspondiente al campo electrico de

cada partıcula, por eso se conocen como terminos de autoenergıa. Son divergentes

si las partıculas son puntuales. El tercero es la energıa potencial mutua, como se

prueba a continuacion.

Hagamos el cambio de variables

r → ρ =r− r1

|r1 − r2|.

La tercera integral de la derecha en (4.9) toma ası la forma

Uint =1

4πε0

q1q2|r1 − r2|

, (4.10)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

4–5


lo que muestra que es la energıa potencial de interaccion entre las dos cargas.

Para probarlo, basta con tener en cuenta que (siendo n = (r1 − r2)/|r1 − r2|, un

vector unitario y constante)

r−r1 = ρ r12, r−r2 = (ρ+n)r12, |r−r1| = ρr12, |r−r2| = |ρ+n|r12, d3r = r312d

3ρ.

El tercer termino toma la forma

Uint =1

4πε0

q1q2|r1 − r2|

× 1

4π

∫ρ · (ρ + n)

ρ3|ρ + n|3d3ρ,

En el integrando se puede sustituir la igualdad

ρ + n

|ρ + n|3= −∇

(1

|ρ + n|

),

con lo que la ultima integral vale

I = −∫

ρ

ρ3· ∇(

1

|ρ + n|

)d3ρ,

= −∫∇ ·(

ρ

ρ3|ρ + n|

)d3ρ+

∫1

|ρ + n|∇ · ρ

ρ3d3ρ

=

∫1

|ρ + n|4πδ(3)(ρ)d3ρ = 4π, (4.11)

donde se ha integrado por partes, siendo nula la integral de superficie en el infinito

(o sea se ha aplicado el teorema de Gauss). Por tanto la integral anterior vale uno

y el tercer termino en (4.9) es igual a la energıa de interaccion dada por (4.10),

como se querıa probar.

Parece pues que debe haber un error al pasar de (4.3) a (4.8). Pero ¿donde

esta? Notese que no hay terminos de autoenergıa en (4.1), pero sı en (4.3), pues

todo el potencial interactua con toda la carga (Φ(r) se multiplica por ρ(r) con

el mismo r). Por tanto deberıamos, para ser coherentes, restar los terminos de

autoenergıa, lo que se puede hacer del modo siguiente, si las cargas son puntuales

y ρ(r) =∑

k qkδ(r− rk)

U =1

2

∫V

ρ(r)Φ(r)dv − 1

2

∑k

∫V

Φkqkδ(r− rk)dv

El segundo termino es la suma de las N autoenergıas, de modo que

U =ε02

∫V

(E2 −

∑k

E(k) 2

)dv ,

4–6—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



donde E es el campo electrico total y E(k), el creado por cada partıcula. O sea

que al eliminar las auotenergıas se recupera (4.1) exactamente.

La expresion (4.6) para la energıa electrostatica es indispensable para el es-

tudio de fenomenos dinamicos, pero la fundamentacion aquı dada es inevitable-

mente demasiado simple. En la asignatura Electrodinamica clasica se estudia esta

cuestion con mayor profundidad.

Tension electrostatica. Como ilustracion, podemos calcular la fuerza por

unidad de area sobre la superficie de un conductor con densidad superficial de

carga σ. En el entorno de la superficie, la densidad de energıa es

u =ε02|E|2 =

σ2

2ε0.

Imaginemos un desplazamiento pequeno ∆x de un elemento se area ∆a de la

superficie conductorta, segun la normal y hacia afuera. La energıa electrostatica

decrece en una cantidad W igual al producto de la densidad de energıa u por el

volumen excluido ∆v = ∆x∆a, igual a

W = − σ2

2ε0∆a∆x .

Esto significa que hay una fuerza hacia afuera por unidad de area sobre las cargas,

o sea una presion, igual a

p =σ2

2ε0

conocida como tension electrostatica.

4.1.4. Masa electromagnetica. El modelo de electron de

Abraham-Lorentz.

Las integrales de autoenergıa en (4.9) pueden parecer extranas o molestas.

Para entender esta cuestion conviene decir que hay una diferencia entre las ma-

neras en que fallan la dinamica de Newton y el electromagnetismo de Maxwell.

La primera tuvo que ser abandonada porque no da buenos resultados a altas

velocidades, pero es una teorıa coherente en sı misma. Se basa en la idea de accion

a distancia, tan contraria a la mucho mas antigua de accion por contacto defendida

por Aristoteles. Usa masas puntuales, idealizacion de masas muy pequenas frente

a la escala del problema considerado, pero eso no plantea dificultades.

Al electromagnetismo le ocurre algo muy distinto, pues la idea de carga pun-

tual lleva a divergencias en las energıas de los sistemas, cosa no de despreciar si


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

4–7


tenemos en cuenta que el electron parece ser una partıcula puntual, al menos su

tamano no se aprecia hasta escalas del orden de ∼ 10−18 m . Esto no es necesa-

riamente malo, pues lo que importa son las diferencias de energıa, pero un analisis

detallado de los procesos de emision de radiacion por cargas aceleradas y, en gen-

eral, de la dinamica de partıculas cargadas encuentra cosas sorprendentes. La

Electrodinamca Cuantica, es decir la version cuantica del electromagnetismo de

Maxwell, llamada a menudo por sus siglas inglesas QED, sigue teniendo proble-

mas con los infinitos que plagan sus calculos. En muchos casos se pueden eliminar

esos infinitos mediante un procedimiento conocido como renormalizacion, pero no

siempre. Para entender el problema tomemos una partıcula cargada con su carga

distribuida en una superficie esferica de radio a (lo que se llama a veces modelo

de pelota de pin-pon). Con ese radio, la masa electromagnetica vale la del elec-

tron multiplicada por un factor del orden de 1, dependiente de la forma de la

distribucion de carga.

El campo electrostatico se anula dentro y fuera vale E = q/4πε0r2. La densi-

dad de energıa u es pues

u =ε02E2 =

q2

32π2ε0r2, (4.12)

para r ≥ a y 0 para r < a. La energıa electrostatica correspondiente vale

U =

∫r≥a

u2d3r =q2

8πε0

∫ ∞

a

dr

r2=

q2

8πε0a, (4.13)

que diverge para una partıcula puntual. Esa es la energıa electrostatica del campo

del electron. En 1881, Sir Joseph J. Thomson (1856-1940), quien en 1997 des-

cubrirıa el electron, escribio un artıculo argumentando que una parte al menos de

la masa deberıa tener origen electromagnetico. Mostro en el que si una partıcula

cargada se mueve con velocidad v su campo electrico tiene energıa cinetica igual

a

Telec =U

c2v2

2= f

q2

4πε0ac2v2

2, (4.14)

donde f es un numero que depende de la forma de la distribucion, igual a 1/2 en el

caso del modelo de la pelota de pin-pon. Esto se descubrio antes de la relatividad.

Fue interpretado de inmediato que una parte de la masa es o puede ser de origen

electromagnetico, de modo que en general la de una partıcula es

m = m0 +melec, siendo melec =1

2

q2

4πε0ac2, (4.15)

en el modelo de pelota de pin-pon.

4–8—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



Esta masa depende del radio a. Por eso se definio el radio clasico del electron

como

r0 =q2

4πε0mc2= 2,8× 10−15 m. (4.16)

Una esfera cargada con tal radio tiene energıa electrica igual a la energıa en reposo

del electron mc2 multiplicada por un factos del orden de 1, que depende de la

forma particular de la distribucion de carga (bola maciza o pelota de pin-pon,

por ejemplo).

En general un campo electromagnetico dependiente del tiempo, lleva una den-

sidad de momento lineal que vale

g =1

c2(E×H) . (4.17)

Si un electron se mueve a velocidades no relativistas, produce un campo electrico

y un campo magnetico que valen

E =1

4πε0

r

r3, B =

v

c2× E, (4.18)

expresiones validas a pequenas velocidades. Si consideramos a un electron como

una esfera hueca de radio a, el momento lineal asociado al campo vale pelec =∫r>a

g d3r, que, tras un poco de algebra da

pelec =2

3

q2

4πε0ac2v =

4

3melecv, (4.19)

por lo que el momento del electron vale

p = (m0 +4

3melec)v (4.20)

Podrıamos definir la masa electromagnetica usando (4.19), m′elec = 4melec/3, pero

entonces la ecuacion (4.15) tendrıa un factor incorrecto.

Un calculo que use el valor exacto de los campos (valido a cualquier velocidad)

da en vez de (4.19) la expresion

melec(v) =melec(0)√1− v2/c2

, (4.21)

esto sorprendio mucho porque nadie habıa pensado que la masa pudiese depender

de la velocidad y parecıa que la masa “neutra” m0 era independiente de v pero la

electromagnetica dependıa de v segun la formula anterior. Cuando se descubrio el

electron se penso que era un atomo de electricidad, por lo que cabrıa suponer que

toda su masa es de origen electromagnetico con m0 = 0 en su caso. Con estas idea,


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

4–9


M. Abraham propuso en 1903 un modelo de electron, basado en parte en la obra

anterior de Lorentz, conocido como modelo de Abraham o de Abraham-Lorentz.

Desde el punto de vista de la teorıa de la relatividad, esa energıa de un electron

en reposo podrıa ser igual a la energıa en reposo mec2. En ese caso la masa

electromagnetica serıa igual

melec =U

c2=

q2

8πε0ac2(4.22)

Sin embargo subsiste el problema del factor 4/3 entre la masa definida ası y a

partir de la expresion del momento. La solucion a este problema tardo en encon-

trarse. La discrepancia se elimina mediante un tratamiento relativista riguroso,

tomando luego el lımite no relativista, en vez de trabajar desde el principio en

el lımite de pequenas veloccidades. De ese modo se transforma el factor 4/3 en 1

(ver F. Rohrlich, “Classical charged particles”, Addison-Wesley, Reading, 1965).

4.1.5. Desarrollo multipolar de la energıa de una distribu-

cion de carga en un campo exterior

Sea una distribucion rıgida de carga ρ(r), localizada dentro de un volumen V

y sometida a un potencial exterior Φ(r). Su energıa electrostatica vale

Uext =

∫V

ρ(r)Φ(r) d3r, (4.23)

Suponiendo que el potencial sea desarrollable en serie en la region V y tomando

un origen adecuado, resulta

Φ = Φ(0) + r · ∇Φ(0) +1

2

∑i

∑j

xixj∂2Φ

∂xi∂xj

(0) + · · ·

Teniendo en cuenta que E = −∇Φ, la expresion anterior puede escribirse como

Φ(r) = Φ(0)− r · E(0)− 1

2

∑i

∑j

xixj∂Ej

∂xi

(0) + · · ·

Como el campo exterior verifica∇ · E = 0, podemos restar el termino r2∇ · E(0)/6,

con lo que queda

Φ(r) = Φ(0)− r · E(0)− 1

6

∑i

∑j

(3xixj − r2δij)∂Ej

∂xi

(0) + · · · (4.24)

4–10—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



Sustituyendo ahora en (4.23), resulta

Uext = qΦ(0)− p · E(0)− 1

6

∑i

∑j

Qij∂Ej

∂xi

(0) + · · · (4.25)

siendo p el momento dipolar y Qij la matriz de momentos cuadripolar, y analoga-

mente para los terminos que siguen. Notese como interacciona la distribucion de

carga con el potencial exterior: la carga con el potencial, el dipolo con el campo

electrico, el cuadrupolo con el gradiente del campo y analogamente los multipolos

sucesivos con derivadas mas altes del campo.

Recordatorio sobre dipolos y cuadrupolos electricos. El potencial crea-

do por un dipolo electrico es

Φ1(r) =1

4πε0

p · rr3

, (4.26)

donde p =∫

Vρ(r′)r′dv′ es el momento dipolar electrico de la distribucion. Es

facil comprobar que si la distribucion es de dos cargas puntuales opuestas +q y

−q a la distancia a, como antes, p se reduce al momento dipolar definido como

p = qa.

El momento dipolar electrico tiena una propiedad senalable. Si la carga total

q es distinta de cero, no es una cantidad intrınseca pues depende del origen de

coordenadas. En efecto, si se traslada el origen de O a O′, el nuevo momento vale

p′ = p− qOO′

como se comprueba facilmente. Por ello, si q 6= 0 y se toma como origen el centro

de cargas, definido por el vector R =∫ρ(r′)r′dv′/q, se anula el termino dipolar de

la expansion. Ası ocurre con el potencial gravitatorio de la tierra, si el origen del

coordenadas se toma en el centro del planeta. Pero si q = 0, caso de una molecula

no ionizada o del sistema de dos cargas +q y −q, el momento dipolar tiene un

sentido intrınseco: toma el mismo valor en todos los sistyemas de referencia.

Cuadrupolo electrico. El potencial creado por un cuadrupolo electrico es

Φ2(r) =1

2

1

4πε0

∑ij

Qijxixj

r5, (4.27)

donde las Qij son las componentes de la matriz momento cuadrupolar

Qij =

∫ρ(r′)

(3x′ix

′j − r′ 2δij

)dv′. (4.28)

Las Qij juegan respecto al potencial cuadrupolar el mismo papel que las compo-

nentes del vector p en el potencial dipolar. Notese que no son todas independi-

entes porque la matriz tiene traza nula, o sea que∑Qkk = 0. Hay pues cinco


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

4–11


componentes independientes. Es facil comprobar que este tercer termino (4.27)

se reduce al potencial cuadrupolar antes estudiado.

Un caso especialmente frecuente e interesante es el de una distribucion de

simetrıa cilındrica, en el que la funcion ρ = ρ(r, θ) no depende del azimut. Se

cumple entonces

Q11 = Q22 = −1

2Q33,

por lo que

Φ2(r) =Q

4πε0

2z2 − x2 − y2

4r5=

1

4πε0

Q

4r3

(3 cos2 θ − 1

),

donde Q = Q33 se suele llamar momento cuadrupolar de la distribucion (no con-

fundir con la carga). Si la distribucion tiene simetrıa esferica, Q = 0. Si es un

elipsoide de revolucion macizo con densidad constante en su interior, con semiejes

a, a y c, el valor de Q es

Q =2

5q(c2 − a2

),

como se prueba facilmente usando para los puntos del interior del elipsoide las

coordenadas λ, α y β, tales que x = aλ senα cos β, y = aλ senα sen β, z =

cλ cosα, con 0 < λ < 1, 0 < α < π, 0 < β < 2π. Notese que Q > 0 si

c > a (forma de melon) y que Q < 0 si c < a (forma de mandarina). Estos dos

tipos de elipsoide se califican de prolato y oblato, respectivamente. La Tierra es

aproximadamente un elipsoide oblato y como (a − c)/a = 1/298, resulta que el

momento cuadrupolar de masa es Q = −2,016 × 10−3Ma2, siendo M la masa

total y a el radio ecuatorial.

Vemos ası que una distribucion de carga se caracteriza por un conjunto de

momentos multipolares, uno monopolar que coincide con la carga q, tres dipolares

pk que son las componentes del momento dipolar electrico, cinco cuadrupolares

Qij componentes de la matriz momento cuadrupolar, etc. En general, el termino

`-polar se caracteriza por (2` + 1) momentos 2`-polares. Se trata de cantidades

que describen la forma de la distribucion. Su enorme interes estriba en que es

mucho mas facil hacer aproximaciones sucesivas gracias a ellos que calcular los

potenciales de modo exacto.

Ejemplo. Momentos cuadrupolares de los nucleos atomicos. Los

nucleos atomicos no suelen tener forma esferica, aunque sı simetrıa azimutal, sien-

do su momento cuadrupolar electrico distinto de cero (sus momentos dipolares

electricos se anulan si se toma como origen de coordenadas su centro de masas).

4–12—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



La consecuencia es que el potencial que crean no es puramente culombiano sino

que tiene un termino cuadrupolar. Aunque su efecto es pequeno (forma parte de

lo que se llama estructura hiperfina del espectro), puede observarse y medirse el

valor de Q mediante tecnicas de radiofrecuencia, determinando ası si el nucleo es

amelonado o anaranjado.

Un ejemplo interesante es el deuteron, el nucleo del deuterio, formado por un

proton y un electron, cuyo momento cuadrupolar es igual a QD = e(2,74±0,02)×10−27 cm2. El potencial electrico creado por un nucleo de deuterio es pues igual

a

ΦD =1

4πε0

[e

r+QD

r3(3 cos2 θ − 1)

]Como QD > 0, el deuteron esta amelonado, aunque no mucho pues el cuadrado

de su radio es aproximadamente 10−26 cm2.

Momentos cuadrupolares de algunos nucleos

Z Elemento A Q (e× 10−24 cm)

1 H 2 +0.00274

3 Li 6 −0,002

7 0.1

4 Be 9 +0.03

13 Al 27 +0.155

17 Cl 35 −0,078

92 U 233 +3.4

Dipolo en un campo electrostatico. Energıa, fuerza y torque. La

energıa de un monopolo (o sea de una carga) en un potencial Φ es U = qΦ y la

fuerza que actua sobre el F = qE. Consideremos ahora un dipolo formado por

dos cargas +q y −q separadas un vector a (de la negativa a la positiva), de modo

que p = qa con a pequeno. La fuerza sobre ese dipolo cuando esta en un campo

E es

F = qE(r)− qE(r− a) = q(a · ∇)E,

o sea Fi = q(∑

k ak∂k)Ei. Su energıa potencial es

U = qΦ(r)− qΦ(r− a) = −p · E.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

4–13


El torque (o momento de la fuerza) sobre un monopolo (o sea una carga

puntual) es N = r × F = qr × E. Si el campo es central, el torque respecto al

centro se anula y se conserva el momento angular. Veamos cuanto vale el torque

sobre un dipolo.

N = qr× E(r)− q(r− a)× E(r− a).

Teniendo en cuenta que E(r− a) = E(r)− (a · ∇)E(r), resulta

N = p× E(r) + r× (p · ∇)E = p× E(r) + r× F.

De forma analoga se calcula el caso de un cuadrupolo. Tiene especial interes

la energıa potencial de interaccion de dos monopolos a distancia r. De todo lo

anterior se deduce que vale

U =p1 · p2 − 3(p1 · n)(p2 · n)

4πε0|r1 − r2|3,

siendo n el vector unitario en la direccion (r1 − r2). Notese que la interaccion

dipolo-dipolo puede ser atractiva o repulsiva, dependiendo de la orientacion rela-

tiva de los dipolos. Para direcciones fijas de los dipolos, la energıa de interaccion,

promediada sobre la posicion relativa, se anula.

4.2. Energıa de un sistema de conductores

La expresion de la energıa de un sistema de conductores en el vacıo es

U =1

2

∑k

QkΦk, (4.29)

A primera vista puede parecer la misma expresion que (4.2), pero hay una difer-

encia: en (4.29) esta incluida la energıa de formacion de la distribucion de carga

dentro de cada conductor, o sea que al potencial de cada conductor contribuye

tambien el termino correspondiente a su propia carga, cosa que no ocurre en el ca-

so de las cargas puntuales. Mediante los coeficientes de capacidad o de potencial,

podemos expresar esa energıa como

U =1

2

∑i

∑j

PijQiQj =1

2

∑i

∑j

CijΦiΦj.

Supongamos ahora un conductor descargado y aislado en un campo externo E0.

Si el conductor es pequeno, podemos suponer que ese campo esta creado por una

carga q a gran distancia. Se produce entonces una polarizacion del conductor,

4–14—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—


4.3. Energıa electrostatica en dielectricos

pues una carga positiva q′ se movera a favor del campo y otra negativa −q′ en

contra. Tendremos entonces una energıa electrostatica

U =1

2qΦ,

donde Φ es el potencial creado por la carga redistribuida del conductor en la

posicion de q. La redistribucion de la carga produce un momento dipolar electrico

p cuyo potencial vale

Φ =p · r

4πε0r3,

siendo r el vector de posicion desde el conductor a la carga puntual. La energıa

electrostatica se puede escribir pues

U =1

2q

p · r4πε0r3

=1

2p · qr

4πε0r3= −1

2p · E0, (4.30)

Notese el factor 1/2, debido a que el dipolo es inducido por lo que no hay que

almacenar energıa en formarlo.

Teorema de Thomson. Con este nombre se conoce la siguiente propiedad

de extremo que cumple la energıa electrostatica de un sistema de conductores:

En un sistema de conductores fijos y aislados, las cargas se distribuyen sobre

sus superficies de forma tal que la energıa del campo electrostatico sea mınima.

No daremos aquı la prueba de este teorema, aunque es simple.


En principio, los resultados obtenidos para cargas en el vacıo no son ge-

neralizables de forma simple al caso en que haya medios dielectricos. La razon es

que, en este caso, no solo se realiza trabajo en el proceso de colocar las cargas

en sus posiciones, sino que ademas se produce una polarizacion adicional en los

dielectricos. Partiremos de condiciones generales, prescindiendo al principio de la

linealidad en la respuesta del dielectrico y manteniendo las fronteras rıgidas, de

modo que no habra trabajo mecanico para deformar el sistema.

Supongamos que ya hay una densidad de carga libre y localizada ρ(r) en el

sistema y que provocamos una variacion pequena δρ. Tendremos una variacion

de la energıa electrostatica igual al trabajo necesario para anadir la carga δρ(r)

δU =

∫V

Φ(r)δρ(r) dv, (4.31)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

4–15


siendo Φ el potencial creado por la carga ya existente. Se tiene

δρ = δ(∇ ·D) = ∇ · (δD).

Sustituyendo en (4.31), resulta

δU =

∫V

Φ∇ · (δD) dv =

∫V

∇ · (Φ δD) dv −∫

V

∇Φ · δD dv.

El teorema de Gauss nos dice que la primera integral es igual a una de superficie

que se anula (pues la distribucion esta localizada), por lo que

δU =

∫V

E · δD dv.

Podemos pensar que la distribucion se construye haciendo que D (y ρ) crezca

desde cero por lo que

U =

∫V

dv

∫ D

0

E · δD. (4.32)

Este es el resultado general, pero no se puede proseguir a menos que dispongamos

de una relacion constitutiva D = D(E). En el caso de dielectricos lineales D = εE,

de modo que

E · δD = E · (εδE) = εE · δE =ε

2δ|E|2.

Se sigue que la energıa electrica y su densidad valen

U =1

2

∫V

ε|E|2 dv, u =1

2εE2 (4.33)

que son las expresiones buscadas.

Tambien podemos escribir la energıa que

U =1

2

∫V

E ·D dv, (4.34)

o como

U =1

2

∫V

ρΦdv. (4.35)

Recordemos que esto solo es valido para medios lineales.

Es interesante calcular la variacion de energıa al introducir un cuerpo dielectri-

co de permitividad ε1 (con respuesta lineal) y volumen V1 el en el seno de un

campo electrico previamente existente E0 debido a una distribucion de cargas

libres ρ0 en un medio de permitividad ε0 (por el momento no lo identificamos con

la permitividad del vacıo). La energıa electrostatica inicial es

U0 =1

2

∫V

E0 ·D0 dv,

4–16—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



donde D0 = ε0E0. Con las cargas fijas en sus posiciones, se introduce un dielectrico

de volumen V1, de modo que el campo cambia de E0 a E. Podemos considerar que

hay una susceptibilidad ε(r) que vale ε1 en V1 y ε0 fuera de V1. Para eliminar los

problemas matematicos podemos suponer que ε(r) varıa continuamente al pasar

del uno al otro dielectrico. La energıa vale tras la insercion

U1 =1

2

∫V

E ·D dv,

La variacion de la energıa puede expresarse como

∆U =1

2

∫(E ·D− E0 ·D0) dv,

=1

2

∫(E ·D0 − E0 ·D) dv +

1

2

∫(E + E0) · (D−D0) dv,

(se ha sumado y restado la misma cantidad). La segunda integral I se anula, pues,

como ∇× (E + E0) = 0, se sigue que E + E0 = −∇Φ′, por tanto

I = −1

2

∫∇Φ′ · (D−D0) dv,

que integrando por partes se transforma en

I =1

2

∫Φ′∇ · (D−D0) dv = 0,

pues ∇ · (D−D0) = 0 pues la densidad de carga libre no cambia con la insercion

del nuevo dielectrico (mas la integral de superficie de Φ′(D−D0) que tambien es

nula). Por tanto el cambio en la energıa vale

∆U =1

2

∫V

(E ·D0 − E0 ·D) dv. (4.36)

Notese que el integrando solo es no nulo en V1 ya que fuera el integrando se anula

pues D = ε0E y D0 = ε0E0. Por lo tanto

∆U = −1

2

∫V1

(ε1 − ε0)E · E0 dv (4.37)

Si el medio 0 es el vacıo, la polarizacion vale P = (ε1 − ε0)E, resultando

∆U = −1

2

∫V1

P · E0 dv. (4.38)

Como resumen la densidad de energıa electrostatica de un dielectrico colocado en

un campo E0 cuyas fuentes estan fijas es

u = −1

2P · E0 (4.39)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

4–17


4.4. Fuerzas en sistemas electrostaticos

Fuerzas a cargas constantes. La energıa electrostatica puede considerarse

como una energıa potencial en el sentido siguiente. Sea un sistema electrostatico

constituido por dielectricos y conductores, cargados y en equilibrio, bajo la ac-

cion de fuerzas electricas y mecanicas. Supongamos que esta aislado, o sea que

los conductores no estan conectados a baterıas que permitan el desplazamiento

de cargas. Imaginemos que una parte del sistema realiza un desplazamiento in-

finitesimal dr = (dx, dy, dz), debido a las propias fuerzas electricas del sistema,

con resultante F. Ejerce, por tanto, un trabajo W , dado por

W = F · dr = Fxdx+ Fydy + Fzdz . (4.40)

Ese trabajo se hace a expensas de la energıa electrostatica del sistema, de modo

que

W = −dU . (4.41)

Por tanto se tiene

Fx = −(∂U

∂x

)Q

, Fy = −(∂U

∂y

)Q

, Fz = −(∂U

∂z

)Q

, o sea F = −∇QU ,

(4.42)

donde el subındice Q indica que la derivada se hace a carga constante. Supong-

amos que, en vez de desplazamientos lineales, el sistema o una parte de el gira

un angulo φ alrededor de un cierto eje con vector unitario n. Sea φ = φn. En vez

de (4.40) se tiene ahora

W = N · dφ

y en vez de (4.42),

Nx = −(∂U

∂φ1

)Q

, Ny = −(∂U

∂φ2

)Q

, Nz = −(∂U

∂φ3

)Q

.

Naturalmente, el vector N el el torque que ejerce el campo sobre alguna de las

partes del sistema.

Sea ahora una coordenada general ξ, de modo que δξ representa un desplaza-

miento generalizado como consecuencia de una fuerza electrica Fξ, el trabajo re-

alizado es W = Fξδξ y solo se puede hacer a expensas de la energıa electrostatica,

por lo que necesariamente

dU = −Fξδξ, (4.43)

por lo que debe cumplirse

Fξ = −(∂U

∂ξ

)Q

, (4.44)

4–18—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



donde el subındice Q indica de nuevo que la derivada parcial debe hacerse a carga

constante.

Notese que se supone aquı que el unico desplazamiento del sistema es el corre-

spondiente a la variacion δξ. Todo esto se puede formalizar mediante el principio

de los trabajos virtuales.

Tension electrostatica. Como ilustracion, podemos calcular la fuerza por

unidad de area sobre la superficie de un conductor con densidad superficial de

carga σ. En el entorno de la superficie, la densidad de energıa es

u =ε02|E|2 =

σ2

2ε0.

Imaginemos un desplazamiento pequeno ∆x, segun la normal y hacia fuera, de

un area elemental ∆a de la superficie condutora. La energıa electrostatica decrece

en una cantidad igual al producto de la densidad de energıa u por el volumen

excluido ∆x∆a

W = − σ2

2ε0∆a∆x.

Esto significa que hay una fuerza hacia fuera por unidad de area igual a

p =σ2

2ε0,

conocida como tension electrostatica (o presion electrostatica).

La expresion anterior para p se ha obtenido a carga constant, pero es facil

entender que se obtiene el mismo resultado a potencial constante por lo que la

tension electriostatica es la misma en los dos casos (probar con la esfera).

Otra manera de obtener este resultado en el caso de una esfera conductora de

radio a y con carga q es la siguiente. La energıa electrostatica y su variacion al

cambiar el radio de a a a+ δa son

U =q2

8πε0a, δU = − q2

8πε0a2δa.

por lo que, segun (4.44), la fuerza asociada a a es

Fa = −(∂U

∂a

)Q

=q2

8πε0a2,

Esa fuerza actua sobre toda la superficie, para hallar la tension electrostatica,

debemos dividirla por 4πa2, con lo que

p =1

2

q2

(4πa2)2ε0=

σ2

2ε0,


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

4–19


pues σ = q/4πa2.

Fuerzas a potenciales constantes. Otra situacion distinta es la de un sis-

tema cuyos conductores se mantienen a potenciales constantes, mediante conex-

iones a baterıas. En este caso la carga cambia y no vale lo anterior, pues hay

que incluir en el balance energetico la energıa aportada por las baterıas Wbat. El

trabajo realizado por el sistema toma la forma por tanto

W = Wbat − dU. (4.45)

Necesitamos una relacion entre Wbat y dU para relacionar el trabajo con la

variacion de la energıa electrostatica. Partimos de que la energıa de un sistema

de conductores cargados es

U =1

2

∑k

QkΦk,

por lo que la variacion de la energıa U debida a variaciones en las cargas pero

manteniendo constantes los potenciales es

δU =1

2

∑k

ΦkδQk,

al tiempo que el trabajo realizado por las baterıas para variar las cargas de esa

manera es

Wbat =∑

k

ΦkδQk,

por lo que

Wbat = 2δU, y W = δU = Fxdx+ Fydy + Fzdz

de donde finalmente

Fξ =

(∂U

∂ξ

)V

, (4.46)

que solo se diferencia en el signo de la expresion a carga constante (4.44).

Ejemplo: Fuerza sobre un dielectrico en un condensador. Sea un con-

densador plano paralelo cuyas placas tienen dimensiones (a, b) en las direcciones

(x, y) y estan separadas por la distancia c en la direccion z. Se mantienen a la

diferencia de potencial constante V . El espacio entre las placas esta ocupado por

un dielectrico de permitividad ε en una longitud x paralelamente al eje x. La

fuerza sobre el dielectrico se puede expresar mediante la ecuacion (4.44) (pues

son los potenciales los que son constantes en este caso, no las cargas) a partir de

4–20—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



la expresion de la energıa electrostatica, que depende de x. Con los datos de la

figura, la energıa electrostatica vale

U(x) =1

2ε

(V

c

)2

bcx+1

2ε0

(V

c

)2

bc(a− x).

Se sigue que

Fx =

(dU

dx

)V

=1

2

(V

c

)2

bc(ε− ε0).

Notese que, si se quiere extraer el dielectrico, es necesario aplicar una fuerza

externa igual a −Fx que contrarreste a la fuerza electrostatico. Notese tambien

que la fuerza va en el sentido en que se incrementa el volumen de dielectrico

dentro del condensador.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

4–21


Problemas

4.1 Un condensador plano de area S = a × b tiene ocupado el espacio entre sus

placas por dos dielectricos de permitividades ε1 y ε2 que llenan cada uno la mitad

del espacio entre ellas, tal como se indica en la figura. La separacion entre las

placas es d. Supongamos que, manteniendo las placas conectadas a una baterıa

de ddp V , se extrae el dielectrico de permitividad ε2, a velocidad constante v.

Calcular: a) el balance energetico del proceso; y b) la corriente electrica que

circula entre la baterıa y el condensador durante el proceso de extraccion. Se

desprecian los efectos de borde y el rozamiento.

Figura 4.1: Problema 4.1

4.2 Dos esferas conductoras identicas de radio a tienen cargas q1 y q2, siend

r ( a) la distancia entre sus centros.

a) Calcular la energıa electrostatica del sistema;

b) calcular el cambio de esa energıa electrostatica si se conectan mediante un

alambre conductor.

4.3 Una esfera conductora descargada de masa m y radio R flota con una cuarta

parte de su volumen sumergida en un lıquido dielectrico de permitividad ε. Cal-

cular el potencial al que hay que conectar la esfera para que quede sumergida la

mitad de su volumen.

4.4 Una esfera conductora de radio a = 1 mm se conecta a tierra y se situa en

el centro de un condensador plano paralelo y vacıo, con capacidad por unidad de

superficie 90 pF/m2, sometido a una ddp de 1 V. Suponiendo que la superficie de

cada placa es 0.5 m2, calcular

4–22—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



Figura 4.2: Problema 4.2

a) el momento dipolar inducido en la esfera y

b) la energıa de interaccion de la esfera con el condensador.

Figura 4.3:

4.5 Dos cilindros conductores coaxiales de radios R1 y R2 (R1 < R2) y longitud

` estan situados como se indica la figura, siendo x la longitud del condensador

que forman y que esta lleno de aire. Se suspende verticalmente la armadura

interna, de masa M , mediante un muelle conductor de masa despreciable que

esta a potencial cero, manteniendose fija la armadura externa. Si esta se conecta

a tierra, las oscilaciones en torno a la posicion de equilibrio x0 tienen periodo T .

Estando el sistema en reposo, se aplica una ddp V a la armadura exterior, lo que

provoca que, tras un transitorio, se alcance una nueva posicion de equilibrio, para


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

4–23


la que el alargamiento del muelle es a. Calcular el valor de a y la energıa electrica

almacenada en el condensador.

Figura 4.4:

4.6 Calcular la fuerza por unidad de longitud entre los conductores de una lınea

bifilar situada en el aire, teniendo los conductores seccion circular de radio R,

siendo D la separacion entre sus ejes y V la diferencia de potencial entre ellos.

Figura 4.5:

4.7 Dos recipientes de base S y altura a, comunicados por un tubo como se indica

en la figura, contienen un lıquido de densidad δ y permitividad relativa εr. Uno

de ellos esta dentro de un condensador plano paralelo con sus mismas dimen-

siones (area S y distancia entre placas a). Inicialmente, el circuito esta abierto,

el conductor descargado y el lıquido llega a la altura b en los dos recipientes. Si

el condensador se conecta a una baterıa con ddp V0, ocurre que la diferencia de

alturas en los dos recipientes es x. Calcular

a) el campo en las dos regiones del condensador (dentro y fuera del lıquido) en

4–24—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



funcion de V0, despreciando los efectos de borde.

b) El valor de V0 en funcion de x y

c) la energıa suministrada por la baterıa durante el proceso.

Figura 4.6:

4.8 a) ¿Cuanto trabajo hay que hacer para llevar una carga q desde el infinito

hasta una distancia r > b del centro de una esfera conductora de radio b conectada

a tierra mediante un alambre de resistencia nula?

b) ¿Circulara corriente por el alambre como resultado de esta operacion?

c) Si la esfera tuviera una carga Q y se encontrase aislada, ¿cual serıa el trabajo

para mover del mismo modo la carga q?

d) Comparar los resultados de a) y c), explicando la diferencia.

4.9 Sobre una esfera de plastico rıgido de radioR0 se ha colocado una capa esferica

cerrada de un material conductor perfectamente elastico. Cuando se conecta dicha

carga al potencial V0, esta se dilata hasta un radio R > R0. Suponiendo el vacıo

entre las dos esferas, calcular R.

4.10 Determinar la fuerza de atraccion entre las placas de un condensador plano

de area de placas S y distancia entre ellas c, al que se aplica una ddp igual a

V , si el espacio entre las placas esta ocupado por dos dielectricos imperfectos de

permitividad ε y conductividades σ1 y σ2 que ocupan cada uno un volumen de

base S y altura c/2.

¡Ojo! Notese que las σk son conductividades, no densidades superficiales de

carga.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

4–25


4–26—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—


Capıtulo 5

Energıa y fuerzas en sistemas

magnetostaticos.

5.1. Energıa magnetostatica

Induccion electromagnetica. De los experimentos de Faraday al principio

de siglo (y de Henry en EEUU) se deduce que si el flujo magnetico φ a traves de

un circuito cambia, se genera una fuerza electromotriz inducida E dada por

E = −dφ

dt.

Esta ley es completamente independiente de la causa del cambio de flujo, de si

es debida a un cambio en B o de la forma o el tamano del circuito. Es una ley

experimental. Para que ası ocurra, es preciso que se cree un campo electrico tal

que

E =

∮E · dl.

Consideremos ahora el establecimiento de un campo magnetico al variar el flujo

a traves de un circuito, cuya corriente I puede expresarse como

E0 + E = IR,

siendo E0 la fem aportada por un generador, E la fem inducida y R la resistencia.

Para crear el campo magnetico asociado al circuito se necesita una cierta energıa.

El trabajo realizado por E0 para mover la carga dq = Idt a traves del circuito es

E0dq = E0Idt = −EIdt+ I2Rdt,

= Idφ+ I2Rdt, (5.1)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

5–1

Capıtulo 5. Energıa y fuerzas en sistemas magnetostaticos.

donde se ha usado la ley de Faraday −Edt = dφ. El segundo termino a la derecha

corresponde al efecto Joule y es una energıa que se pierde en calor y no contribuye

a la creacion de campo magnetico. El otro termino, Idφ es el trabajo efectuado

contra la fuerza electromotriz del circuito (Ley de Lenz!); es la parte del trabajo

de la baterıa δWbat que sirve para crear campo magnetico. Escribimos por tanto

para el trabajo realizado

δWbat = Idφ.

Si el circuito es rıgido y se desprecian las perdidas de energıa por efecto Joule y no

hay elementos con histeresis (o sea, si consideramos medios magneticos lineales),

δWbat es el cambio en la energıa magnetica del circuito.

Supongamos ahora que hay n circuitos. El trabajo contra las fem inducidas

para llegar a las corrientes Ik es

dUm =n∑1

Ikdφk. (5.2)

Si los cambios en los flujos dφk son causados por cambios en las corrientes, pode-

mos escribir

dφi =n∑

j=1

dφij

dIjdIj =

n∑j=1

MijdIj. (5.3)

donde Mij se llama coeficiente de induccion mutua entre los circuitos i y j. Si

i = j, se escribe Mii = Li y se le llama coeficiente de aitoinduccion del circuito i.

La energıa magnetica Um del sistema de n circuitos estacionarios y rıgidos es el

resultado de integrar la ecuacion (5.2) desde corrientes (y flujos) nulos hasta la

dada por Ik, φk. Esa energıa no depende de como aumentan las corrientes (como

ocurrıa en el caso electrostatico con las cargas), por lo que podemos tomar las

corrientes “finales”Ik, multiplicarlas por α(t) y hacer que esta funcion varıe de 0

a 1. El resultado sera

Um =∑

k

Ikφk

∫ 1

0

αdα

O sea que la energıa magnetica de un conjunto de circuitos rıgidos (sin deforma-

cion) inmersos en medios magneticos lineales es

Um =1

2

∑Ikφk. (5.4)

expresion analoga a la electrostatica

Ue =1

2

∑QkΦk,

5–2—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—


5.1. Energıa magnetostatica

en la que Φ no es flujo sino potencial. Como los flujos son

φk =

∫Sk

B · n da =

∮Ck

A · dlk,

se puede escribir

Um =1

2

∑k

∮Ck

IkA · dlk.

Si dividimos todo el espacio en circuitos tubulares de radio infinitesimal, podemos

sustituir Ikdlk → j dv y cambiar la suma por una integral de volumen, con lo que

Um =1

2

∫V

j ·A dv, (5.5)

que es una expresion de la energıa magnetica. Notese que la expresion correspon-

diente para la energıa electrostatica es

Ue =1

2

∫V

ρΦ dv, (5.6)

Si tenemos en cuenta que ∇×B = µ0j y que

∇ · (A×B) = B · ∇ ×A−A · ∇ ×B

resulta de (5.5)

Um =1

2µ0

∫V

B · ∇ ×A dv − 1

2µ0

∫S

A×B · n da. (5.7)

La segunda integral del lado derecho se anula llevando la superficie al infinito

(estamos suponiendo un conjunto de corrientes dentro de un volumen acotado),

por lo que queda

Um =1

2µ0

∫V

B2dv, (5.8)

que es la expresion de la energıa magnetica en funcion del campo B. Notese

que eso representa que hay una densidad de energıa magnetica um = B2/2µ0

extendida por el espacio. La intensidad magnetica H = B/µ0 corresponde en el

caso magnetico al vector desplazamiento D en el electrico. La densidad de energıa

se puede escribir

um =1

2H ·B.

Notese la semejanza con la densidad de energıa electrostatica

ue =1

2D · E.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

5–3


Energıa magnetica e inductancias. Partimos ahora de la ecuacion (5.4) y

de la expresion de los flujos

φk =

∫Sk

B · n da =

∮Ck

A(rk) · dlk , con A(rk) =µ0

4π

∑i

∫Ci

Iidlirik

,

es decir como una suma de integrales a lo largo de los circuitos Ck que suponemos

rıgidos. Los flujos magneticos valen, por tanto,

φk =∑ki

MkiIi,

donde

Mki =µ0

4π

∫Ck

∫Ci

dlk · dlirik

= Mik (5.9)

(a veces denotada Lki) es la el coeficiente de induccion mutua (o la inductancia)

entre los circuitos i y k. Es una cantidad puramente geometrica (o sea, solo de-

pende de la geometrıa de los circuitos y no de la intensidad u otras cantidades

fısicas). La ecuacion anterior que define a Mki se conoce como formula de Neu-

mann. Las cantidades diagonales Lii = Li son los coeficientes de autoinduccion o

autoinductancias de cada circuito.

Sustituyendo en (5.4), se tiene para la energıa magnetica

Um =1

2

∑ik

MikIiIk , (5.10)

expresion analoga a Ue = 12

∑CikQiQk para la electrica. Definiendo la auto-

energıa magnetica como

Uself =1

2

∑i

LiI2i ,

podemos escribir

Um =1

2

∑i6=k

MikIiIk + Uself .

5.2. Energıa de un cuerpo en un campo magne-

tostatico

El problema de calcular el cambio de energıa cuando se introduce un cuerpo

en un campo magnetostatico cuyas fuentes de corriente permanecen invariantes

se puede tratar de modo muy parecido al del caso electrostatico. Supongamos

5–4—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—


5.3. Fuerzas en sistemas magnetostaticos

una region V del espacio vacıo, con permeabilidad µ0 en donde hay un campo B0

creado por unas ciertas corrientes. La energıa magnetica sera

Um0 =1

2

∫V

B0 ·H0 dv.

A continuacion, se anulan las fuentes del campo, reduciendolo a cero, y se intro-

duce un cuerpo magnetico de volumen V1. Luego se restauran las corrientes a su

valor anterior. Supongamos por simplicidad que el material 1 es lineal, o sea que

B = µ1H. Razonando como en el caso electrostatico se llega a la expresion para

el cambio de la energıa electrostatica

∆Um =1

2

∫V1

(µ1 − µ0)H ·H0 dv. (5.11)

Esto se puede escribir en la forma

∆Um =1

2

∫V1

M ·B0 dv, (5.12)

5.3. Fuerzas en sistemas magnetostaticos

Si, en un sistema constituido por circuitos recorridos por corrientes electricas,

una de las partes del sistema realiza un desplazamiento generalizado δξ bajo el

efecto de las fuerzas magneticas, el trabajo mecanico sera δW = Fξδξ, que o

bien es aportado por las baterias o por la energıa interna del sistema (o sea la

magnetica), de modo que

δW = Fξδξ = δWbat − dUm. (5.13)

Consideremos dos casos:

(i) Flujos constantes (analogo al de cargas constantes en el caso electrostatico).

No hay trabajo de las baterıas, por lo que

Fξδξ = −dUm,

por lo que las fuerzas valen

Fξ = −(∂Um

∂ξ

)φ

.

(ii) Corrientes constantes (analogo al de potenciales constantes)

dUm =1

2

∑i

Iidφi, δWbat =∑

i

Iidφi, ⇒ δWbat = 2dU


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

5–5


de donde δW = dU , por lo que

Fξ = +

(∂Um

∂ξ

)I

.

Fuerzas entre circuitos e inductancias La fuerza que actua sobre el cir-

cuito i-esimo es pues

Fiα = +

(∂Um

∂xiα

)I

=1

2

∑j 6=k

IjIk∂Mjk

∂xiα

. (5.14)

Notese que la coordenada xiα es de traslacion del circuito i-esimo. Tomemos el

caso de solo dos circuitos. Su energıa de interaccion magnetica es

Um = I1I2M12,

donde no se ha incluido la autoenergıa

Uself =1

2(I2

1L1 + I22L2),

siendo Lk = Mkk las autoinductancias o coeficientes de autoinduccion.

La expresion de la fuerza (5.14) nos permite calcular la que actua entre esos

dos circuitos. Resulta que la fuerza que hace el 1 sobre el 2 es igual a

F21 =µ0

4πI1I2

∫ ∫(dl1 · dl2)∇2

(1

|r2 − r1|

)= −µ0

4πI1I2

∫ ∫r2 − r1

|r2 − r1|3dl1 · dl2

5.4. Dipolo en un campo magnetostatico. Fuerza,

torque y energıa.

Recordemos que un dipolo electrico situado en un campo electrostatico sufre

una fuerza nula si el campo E es uniforme e igual a

F = (p · ∇)E, o sea, Fi = pk∂kEi,

en general. El torque sobre el es

τ = N = p× E(r) + r× (p · ∇)E.

Si el campo es uniforme, el segundo termina de la derecha se anula. La energıa

del dipolo es

U = −p · E.

5–6—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—


5.4. Dipolo en un campo magnetostatico. Fuerza, torque y energıa.

Figura 5.1: Torque sobre un circuito de corriente.

Notese que F = −∇U . El mınimo de esa energıa se obtiene cuando los vectores

p y E son paralelos y tienen el mismo sentido.

Veremos que las expresiones correspodientes al caso magnetico se parecen

mucho a estas.

Consideremos ahora un circuito a lo largo de la curva plana C, por el que

circula la intensidad de corriente I y supongamos que esta sometido a un campo

magnetico uniforme B. Elijamos coordenadas de modo que el circuito este en el

plano xy y que el campo magnetico sea perpendicular al eje x, lo que no implica

ninguna perdida de generalidad (ver figura 5.1). El torque vale

τ = I

∫C

r× (dr×B) = I

∫C

[(r ·B)dr− (r · dr)B] .

La integral de (r · dr)B es nula, pues es el producto del campo magnetico por∫dr2/2 = 0. Teniendo en cuenta que z = 0, dz = 0, B1 = 0 e

∫Cydy = 0, resulta

τ1 = I

∫C

yB2dx, τ2 = I

∫C

yB2dy = 0; τ2 = 0.

La unica componente no nula es la primera. Notese que∫

Cydx es el area A

encerrada por el circuito (si el circuito se recorre en el sentido positivo en el plano

xy, entonces la integral es −A), o sea que τ1 = IAB2. Si definimos un vector m

perpendicular al circuito, en el sentido dextrogiro, cuyo modulo sea el producto

de la intensidad I por el area A, resulta que el torque sobre el circuito vale

τ = m×B. (5.15)

El vector m es su momento magnetico. Notese que el circuito podrıa ser una

orbita electronica en un atomo o un spin.

Energıa. Es facil ver que el torque dado por (5.15) se deduce de la energıa

U = −m ·B. (5.16)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

5–7


Sea θ el angulo que forman B y m (ver figura). Si consideramos a U como la

energıa potencial, podemos definir la fuerza generalizada asociada al angulo θ

como

Nθ = −∂θU = − sen θBm.

Esto significa que el torque tiene el mismo modulo que el producto vectorial m×B

y ademas tiende a disminuir el valor de θ, o sea a llevar al vector m sobre el vector

B. Luego se cumple (5.15).

Una consecuencia de las expresiones −p ·E y −m ·B para las energıas de los

dipolos es que su estado de equilibrio estable es el de θ = 0. O sea que los dipolos

p y m tienden a alinearse con los campos E y B, con el mismo sentido ademas.

Para entender la relacion entre la energıa y el torque, es util considerar el

trompo de Lagrange. La energıa potencial, es en este caso, U = mgh cos θ, donde

h es la distancia del vertice del trompo a su centro de masas y θ el angulo polar

de su eje. Notese que el signo es el opuesto, lo que corresponde a que la gravedad

tiende a hacer bajar al trompo, mientras que los campos E y B tienden a subir

a los momentos dipolares.

Otra consecuencia de (5.16) es que si el campo magnetico es inhomogeneo,

como en el famoso experimento de Stern y Gerlach, hay una fuerza no nula sobre

el dipolo magnetico dada por

F = −∇U = ∇(m ·B) = (p · ∇)B, (5.17)

o sea Fi = pk∂kBi.

5.5. El teorema de Poynting

Entre las propiedades mas importantes del campo electromagnetico esta la

forma que toma la conservacion de la energıa electromagnetica. Se sigue de la

seccion anterior que la densidad total de energıa almacenada en un campo elec-

tromagnetico estatico es

u =1

2(E ·D + B ·H) . (5.18)

Hacemos la hipotesis adicional de que (5.18) es la densidad total de energıa elec-

tromagnetica, incluso en el caso de campos dependientes del tiempo.

Supongamos que un campo interactua con un conjunto de partıculas, elec-

trones en general, pero tambien pueden ser otras. La tasa de trabajo (o potencia)

5–8—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



del campo sobre una carga q es qv · E, donde v es la velocidad de la carga, sin

que intervenga en ello el campo magnetico B pues la fuerza que ejerce qv×B es

siempre perpendicular a la velocidad. En el caso de una distribucion continua de

carga y corriente la potencia efectuada por el campo en el volumen V es∫V

j · E d3x. (5.19)

Esta potencia representa una transformacion de energıa electromagnetica en ener-

gıa mecanica o termica y tiene que ser igual a la tasa de disminucion de energıa

electromagnetica. La ecuacion (5.19) se puede escribir (usando las de Maxwell)

en la forma ∫V

j · E d3x =

∫V

[E · (∇×H)− E · ∂D

∂t

]d3x. (5.20)

Usando la identidad vectorial

∇ · (E×H) = H · (∇× E)− E · (∇×H),

y la ley de Faraday, es decir la ecuacion de Maxwell (1.10), resulta que (5.20) se

puede escribir como∫V

j · E d3x = −∫

V

[∇ · (E×H) + E · ∂D

∂t+ H · ∂B

∂t

]d3x. (5.21)

Suponemos ahora que el medio macroscopico es lineal en sus propiedades elec-

tricas y magneticas. Podemos escribir entonces la ecuacion anterior en la forma∫V

[∂u

∂t+∇ · (E×H)

]d3x = −

∫V

j · E d3x. (5.22)

Como el volumen es arbitrario, esta ecuacion integral equivale a la ecuacion de

continuidad∂u

∂t+∇ · S = −j · E, (5.23)

donde

S = E×H, (5.24)

es el llamado vector de Poynting (por John Henry Poynting (1852-1914), profesor

en Birmingham que lo introdujo). Tiene dimensiones de energıa/(area× tiempo)

y representa el flujo de energıa electromagnetica. Notese que, como S aparece solo

a traves de su divergencia, podrıamos anadirle un rotacional que, sin emargo no

influye en estos desarrollos. Las consideraciones relativistas implica, sin embargo,

que la definicion anterior del vector de Poynting es unica.

Conservacion de la energıa. Las ecuaciones (5.22) y (5.23) son expresiones

del principio de la conservacion de la energıa. La primera es la forma integral y


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

5–9


dice simplemente que la tasa de cambio de la energıa electromagnetica total en

V es igual a la suma de la que fluye a traves del borde S = ∂V , mas la que se

transfiere a la energıa cinetica de las cargas o se pierde por efecto Joule en forma

de calor, por unidad de tiempo, es igual a cero.

La segunda esta en forma diferencial y es una afirmacion mas fuerte que la

primera. Dice que la conservacion vale para cualquier volumen incluido en V . Los

segundos miembros representan la energıa que transfiere el campo a la cinetica

de las cargas a que pierde por efecto Joule, en forma de calor.

Si la energıa de las partıculas en V es Emec y ninguna de ellas sale de V , su

variacion sera igual al trabajo del campo

dEmec

dt=

∫V

j · E d3x (5.25)

El teorema de Poynting expresa la conservacion de la energıa total del sistema

formado por las cargas y el campo E = Emec + U , de modo que

dE

dt=

d

dt(Emec + U) = −

∫S

n · S da, (5.26)

siendo la energıa electromagnetica

U =

∫u d3x =

ε02

∫V

(E2 + c2B2) d2x. (5.27)

Conservacion del momento lineal. Es posible dar un tratamiento similar

el momento lineal. La fuerza sobre una partıcula cargada viene dada por la ley

de Lorentz

F = q(E + v ×B).

Por tanto si la suma de los momentos lineales de todas las partıculas en V se

denota como Pmec, resulta

dPmec

dt=

∫V

(ρE + j×B) d3x, (5.28)

donde la suma sobre las partıculas se ha cambiado en una integral sobre una

densidad de fuerza. Usando ahora las ecuaciones de Maxwell

ρ = ε0∇ · E, j =1

µ0

∇×B− ε0∂E

∂t,

podemos escribir el integrando de (5.28) en la forma

ρE + j×B = ε0

[E(∇ · E) + B× ∂E

∂t− c2 B× (∇×B)

].

5–10—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



Teniendo en cuenta que

B× ∂E

∂t= − ∂

∂t(E×B) + E× ∂B

∂t,

y anadiendo el termino c2B(∇·B) = 0 al parentesis cuadrado anterior nos queda

ρE + j×B = ε0 [E(∇ · E) + c2 B(∇ ·B)

− E× (∇× E)− c2 B× (∇×B)− ε0∂

∂t(E×B)]

Sustituyendo en (5.28), resulta

dPmec

dt+

d

dt

∫V

ε0(E×B) d3x (5.29)

= ε0

∫V

[E(∇ · E)− E× (∇× E) + c2 B(∇ ·B)− c2 B× (∇×B)]d3x.

La forma del primer termino a la izquierda sugiere que, de manera provisional,

identifiquemos el segundo tambien a la izquierda con el momento lineal total del

campo electromagnetico en el volumen V

Pem = ε0

∫V

E×B d3x = µ0ε0

∫E×H d3x.

=1

c2

∫V

S d3x. (5.30)

El vector

g =1

c2(E×H) =

S

c2, (5.31)

serıa la densidad de momento lineal electromagnetico y la ecuacion (5.29) ex-

presarıa la ley de conservacion del momento lineal. Supongamos que los campos

estan suficientemente localizados, sin precisar mas que significa esto (que no hay

campos de radiacion, o que estos se establecieron desde hace un tiempo finito).

Veremos en un momento que el segundo miembro de (5.29) es la integral de una

divergencia y que, aplicando el teorema de Stokes es nulo. En ese caso resulta

d

dtPmec +

d

dt

∫V

g d3x =d

dt(Pmec + Pem) = 0 (5.32)

es decir que se conserva la suma del momento lineal mas el electromagnetico.

El tensor de tensiones de Maxwell. Para que todo ello tenga sentido es

necesario que la integral del segundo miembro de (5.29) se pueda escribir en la

forma de la integral de superficie sobre S ≡ ∂V de algo que sea intepretable como

un flujo del momento lineal.


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

5–11


Veamos si eso es factible. Empecemos por calcular la parte electrica del

integrando del segundo miembro de (5.29). Tomemos la primera componente

[E(∇ · E)− E× (∇× E)]1 que vale

= E1

(∂E1

∂x1

+∂E2

∂x2

+∂E3

∂x3

)− E2

(∂E2

∂x1

− ∂E1

∂x2

)+ E3

(∂E1

∂x3

− ∂E3

∂x1

)=

∂

∂x1

(E21) +

∂

∂x2

(E1E2) +∂

∂x3

(E1E3)−1

2

∂

∂x1

(E21 + E2

2 + E23)

Esto indica que la componente j-esima de (5.29) se puede escribir

[E(∇ · E)− E× (∇× E)]j =∑

k

∂

∂xk

(EjEk −1

2E · E δjk)

Lo mismo se puede decir de la parte magnetica, con lo que, si definimos el tensor

de tensiones de Maxwell Tjk como

Tjk = ε0

[EjEk + c2BjBk −

1

2(E · E + c2 B ·B)δjk

], (5.33)

podemos escribir (5.29) como

d

dt(Pmec + Pem)j =

∑k

∫V

∂

∂xk

Tjk d3x. (5.34)

Aplicando el teorema de Stokes (o de la divergencia) al segundo miembro, resulta

d

dt(Pmec + Pem)j =

∫S

∑k

Tjknk d2a. (5.35)

siendo n es el vector unitario saliente y normal a S.

Estas dos ultimas ecuaciones son formulaciones del principio de conservacion

del momento lineal total (el mecanico mas el electromagnetico), si∑

k Tjknk es

la componente j-esima del flujo de momento lineal por unidad de area a traves

de S hacia el interior del volumen V . De modo equivalente, si es la fuerza por

unidad de area transmitida a traves de S y que actua sobre el sistema total de

partıculas y campos que hay dentro de V . En mecanica de medios continuos las

fuerzas por unidad de area se llaman tensiones (la presion es un caso particular),

lo que explica el nombre dado al tensor Tjk.

5–12—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



Problemas

5.1 Estudiar mediante razonamientos energeticos, las fuerzas que se producen

entre dos circuitos estacionarios.

5.2 Lo mismo que en el problema 1, pero entre dos solenoides coaxiales, uno de

los cuales penetra dentro del otro.

5.3. Como en el problema 1, pero entre dos laminas paralelas con corrientes

superficiales iguales y opuestas.

5.4 Dado un solenoide muy largo con n vueltas por unidad de longitud y radio R,

calcular la fuerza radial por unidad de longitud sobre una vuelta del arrollamiento

suponiendo: a) que la intensidad de corriente se mantiene constante; b) que el flujo

se maniene constante (mediante una bobina supercondutora aislada).

5.5 Las placas cuadradas de un condensador plano, de lado a y separadas por la

distancia y, estan conectadas a una baterıa de fem V0, cerrando el circuito una

resistencia R. Hallar: a) la fuerza electrica sobre las placas, indicando direccion y

sentido; b) la fuerza magnetica; y c) determınese si hay un valor de la resistencia

R para el cual la fuerza neta sobre las placas se anule y, en caso afirmativo,

calculese tomando como datos a = 1 m, y = 1 cm despreciando el efecto de los

bordes.

5.6 Un solenoide largo y estrecho de radio a tiene n espiras por unidad de longitud

y esta recorrido por la corriente I0 que a partir de un cierto instante inicial

empieza a decrecer linealmente hasta anularse, segun la ecuacion I = I0 − kt. Se

coloca de manera coaxial con el solenoide un tubo conductor de conductividad σ,

permitividad ε0 y permeabilidad µ0 y de de radios b y c (siendo c > b > a). Se

pide calcular durante el tiempo que tarda en anularse la corriente: a) la energıa

magnetica almacenada en el solenoide por unidad de longitud; b) el flujo por

unidad de longitud del vector de Poynting a traves de la seccion del tubo; c) el

balance energetico mediante la comprobacion del teorema de Poynting en el tubo

conductor.

5.7. Un condensador plano paralelo, cuyas placas circulares tienen radio R y

distan entre sı c, esta lleno de in dielectrico imperfecto de permitividad ε y con-

ductividad σ. El condensador esta inicialmente descargado y comienza a cargarse

mediante una corriente electrica de intensidad constante I0. Hallar: a) La ecuacion


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

5–13


diferencial que describe la carga en las placas en funcion del tiempo Q(t); b) el

vector de Poynting en el interior del condensador; c) el flujo del vector de Poynting

a traves del area lateral del condensador comprobando el teorema de Poynting.

5.8 Un condensador planoparalelo de placas circulares de radio R y distantes

entre sı h esta lleno de un material dielectrico de permitividad ε. La diferencia de

potencial entre sus placas era igual a V0 hasta el tiempo t = 0 y a partir de ese

momento empieza a disminuir segun la funcion

V = V0 (1− t/τ) ,

donde V0 y τ dos constantes, hasta anularse en el instante t = τ , siendo V = 0 a

partir de ese momento. Despreciando el efecto del borde calcular: a) Los campos

electrico y magnetico en el interior del condensador en el intervalo temporal 0 <

t < τ ; b) El flujo del vector de Poynting a traves del area lateral del condensador

r = R, comprobando el teorema de Poynting.

5.9 Un condensador planoparalelo de placas circulares de radio R y distantes

entre sı h esta lleno de un material dielectrico inhomogeneo cuya permitividad

depende de la distancia al eje del condensador r como

ε = ε0

(1 +

r

R

).

A partir del tiempo t = 0 se establece una dieferencia de potencial entre las placas

que varıa en el tiempo como

V = V0

(1− e−t/τ

),

siendo V0 y τ dos constantes. Calcular: a) Los campos electrico y magnetico en

el interior del condensador; b) El flujo del vector de Poynting a traves del area

lateral del condensador r = R, comprobando el teorema de Poynting.

5–14—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—


Capıtulo 6

Introduccion a las ondas

electromagneticas

6.1. Las ecuaciones de Maxwell

Recordemos que las ecuaciones de Maxwell, en el caso de un medio general,

no necesariamente el espacio vacıo, se suelen escribir en la forma

∇ ·D = ρ, (6.1)

∇ ·B = 0, (6.2)

∇× E = −∂B∂t, (6.3)

∇×H = j +∂D

∂t, (6.4)

a las que se deben anadir las relaciones D = εE, B = µH y, si la corriente no

esta dada a priori, tambien j = σE.

En muchas ocasiones, se trata de estudiar como varıa el campo electro-

magnetico en interaccion con cargas libres cuyo movimiento no esta dado a priori

sino que esta afectado por los campos. Tomemos el caso especialmente intere-

sante de electrones cuyas posiciones y velocidades son rk, vk. En ese caso hay que

acoplar las ecuaciones de Maxwell con las de movimiento de cada carga. Para ello

hay que hacer dos cosas

(i) Tomar como densidad de carga del conjunto de electrones

ρe = −e∑

k

δ(3)(r− rk), (6.5)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

6–1

Capıtulo 6. Introduccion a las ondas electromagneticas

y como densidad de corriente

je = −e∑

k

δ(3)(r− rk)vk (6.6)

(ii) Anadir las ecuaciones de movimiento de los electrones

d

dt

[mvk

(1− v2k/c

2)1/2

]= Fk = −e(E + vk ×B). (6.7)

que es la segunda de Newton en su forma relativista, con la fuerza Fk sobre cada

carga dada por la expresion de Lorentz y tomando los campos E = E(r, t) y

B = B(r, t) en la posicion de cada carga. En el caso en que v/c 1 podemos

aproximar el primer miembro por su expresion no relativista d(mv)/dt.

Estas ecuaciones estan siendo comprobadas incontables veces cada dıa, tanto

desde el punto de vita teorico, como en su aplicacion a multitud de instrumentos

y dispositivos, como los que tenemos en nuestras casas. Constituyen una parte

muy importante de la fısica basica.

6.2. La ecuacion de ondas

Tomando el rotacional de la ecuacion (1.10) (o sea de la ley de Faraday), se

tiene

∇× (∇× E) = −∂t∇×B,

que puede escribirse en la forma (pues ∇× (∇×A) = ∇(∇ ·A)−∇2A)

∇(∇ · E)−∇2E = −∂t (µj + µε∂tE) ,

o sea

−∇2E +1

ε∇ρ = −µσ∂tE− εµ∂2

t E.

Suponiendo que el espacio (o el medio) no tiene cargas libres, ρ = 0, resulta

que el campo electrico satisface la ecuacion

∇2E− εµ∂2E

∂t2− µσ

∂E

∂t= 0. (6.8)

Podemos proceder de modo analogo con el campo H. Se tiene

∇× (∇×H) = ∇× j +∇× ∂D

∂t.

Sustituyendo adecuadamente, esta ecuacion se transforma en

∇× (∇×H) = σ∇× E + ε∂

∂t∇× E.

6–2—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



Intercambiando el orden de las derivadas espaciales y temporales en el segundo

termino de la derecha y usando la tercera ecuacion de Maxwell en el primero,

tambien de la derecha, resulta

∇× (∇×H) = −σµ∂H∂t

− εµ∂2H

∂t2.

Como ∇× (∇×H) = ∇(∇ ·H)−∇2H, la ecuacion de ondas para H resulta

∇2H− εµ∂2H

∂t2− µσ

∂H

∂t= 0. (6.9)

Supongamos que la conductividad es cero (o que la resistividad es infinita).

La ecuaciones de onda se transforman en

∇2E− 1

v2

∂2E

∂t2= 0, (6.10)

∇2H− 1

v2

∂2H

∂t2= 0. (6.11)

donde v vale

v =1√εµ

(6.12)

que son dos ecuaciones clasicas de ondas con velocidad v. En el vacıo se tiene

v =1

√ε0µ0

= 299 792 458 m/s = c. (6.13)

6.2.1. Ecuaciones de onda de los potenciales escalar y vec-

torial y transformaciones de gauge

Como ya vimos, la ecuacion ∇ · B nos dice que el campo magnetico es un

rotacional, o sea que existe un campo vectorial A tal que B = ∇×A. Ello implica

que la ley de Faraday ∇×E = −∂tB puede escribirse como ∇× (E + ∂tA) = 0,

lo que dice que (E + ∂tA) es el gradiente de una funcion Φ. Recapitulando

E = −∇Φ− ∂A

∂t, B = ∇×A. (6.14)

A y Φ son los potenciales escalar y vectorial que pueden usarse para definir el

campo electromagnetico con solo cuatro funciones.

Sustituyendo en las dos ecuaciones de Maxwell (1.8) y (1.11) estas expresiones

de los campos E y B, resulta

∇2Φ +∂

∂t(∇ ·A) = −1

ερ (6.15)

∇2A −µε∂2A

∂t2−∇

(∇ ·A + µε

∂Φ

∂t

)= −µj (6.16)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

6–3


Sumando y restando a la primera c−2∂2Φ/∂t2, estas dos ecuaciones se pueden

reescribir en la forma

∇2Φ − 1

c2∂2Φ

∂t2+∂

∂t

(∇ ·A +

1

c2∂Φ

∂t

)= − 1

ε0ρ (6.17)

∇2A − 1

c2∂2A

∂t2−∇

(∇ ·A +

1

c2∂Φ

∂t

)= −µ0j, (6.18)

donde nos concentramos en el caso del espacio vacıo, siendo c = (ε0µ0)−1/2 es la

velocidad de la luz en el vacıo.

Transformaciones de gauge. Sea ξ una funcion cualquiera de (r, t) (con

buen comportamiento). Podemos cambiar los potenciales mediante la siguiente

transformacion de gauge

Φ → Φ′ = Φ− ∂ξ

∂t,

A → A′ = A +∇ξ. (6.19)

Es facil comprobar que los campos E,B permanecen inalterados bajo esta trans-

formacion. Gracias a ello se pueden elegir potenciales que simplifiquen los prob-

lemas. Por ejemplo, si los elegimos de modo que se cumpla la llamada condicion

de Lorenz (o gauge de Lorenz)1

∇ ·A +1

c2∂Φ

∂t= 0 , (∂µA

µ = 0) , (6.20)

las ecuaciones de onda (6.17)-(6.18) toman la forma mas simple

∇2Φ − 1

c2∂2Φ

∂t2= − 1

ε0ρ (6.21)

∇2A − 1

c2∂2A

∂t2= −µ0j, (6.22)

es decir que son dos ecuaciones clasicas de onda con terminos de fuente. Al hacer

una transformacion de gauge para fijar la forma de las ecuacion se dice que se

fija el gauge. Es facil comprender que siempre es posible hacer que los potenciales

cumplan la condicion de Lorenz. Si Φ, A cumplen (6.17)-(6.18) y elegimos la

funcion ξ como una solucion de

∇2ξ − 1

c2∂2ξ

∂t2= −

(∇ ·A +

1

c2∂Φ

∂t

),

que siempre tiene solucion, los nuevos potenciales obtenidos mediante la trans-

formacion de gauge (6.19) obedecen las ecuaciones simplificadas (6.21)-(6.22).

1No confundir con Hendrik Antoon Lorentz.

6–4—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



Notese que (6.21)-(6.22) se reducen en el caso estatico a

∇2Φ = − 1

ε0ρ, ∇2A = −µ0j, (6.23)

como cabıa esperar.

Se suele usar la notacion

= ∇2 − 1

c2∂2

∂t2,

para el llamado operador de D’Alembert o dalambertiano. Las ecuaciones de onda

con la condicion de Lorenz se pueden escribir de forma compacta

Φ = −ρ/ε0, A = −µ0j,

ecuaciones conocidas como de Klein-Gordon con fuente. A pesar de la condicion

de gauge, los potenciales no quedan completamente determinados. Siempre se

pueden cambiar sin modificar la forma de (6.21)-(6.22) de las ecuaciones de onda

haciendo transformaciones de gauge con una funcion que cumpla la ecuacion

homogenea de Klein-Gordon

ξ = 0.

Otra condicion de gauge frecuentemente usada es la condicion de Coulomb

∇ ·A = 0, (6.24)

que conduce a las ecuaciones de onda

∇2Φ = − 1

ε0ρ (6.25)

∇2A − 1

c2∂2A

∂t2= −µ0j +

1

c2∂∇Φ, (6.26)

El interes del gauge de Coulomb es que el potencial escalar es el potencial in-

stantaneo creado por la densidad de carga ρ (de ahı viene el nombre, pues Φ se

obtiene con la ley de Coulomb como en el caso estatico)

Φ(r, t) =1

4πε0

∫V

ρ(r′, t)r− r′

|r− r′|3dv. (6.27)

Si descomponemos la corriente como la suma de dos terminos j = j‖ + j⊥, de

modo que ∇× j‖ = 0 (se dice que es longitudinal o irrotacional) y ∇ · j⊥ = 0 ( se

dice que es transversal o solenoidal), se tiene

∇2A− 1

c2∂2A

∂t2= −µ0j⊥, (6.28)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

6–5


pues se sigue de la ecuacion de continuidad que

µ0ε0∂∇Φ

∂∂t= µ0j‖.

Una propiedad interesante de la condicion de Coulomb es que, si no hay densidad

de carga, ρ = 0, con lo que Φ = 0, de modo que con ese gauge

E = −∂A∂t, B = ∇×A.

6.3. Ondas electromagneticas

6.3.1. Ondas planas en medios no conductores

Supongamos un medio no conductor, o sea cuya conductividad se anula σ = 0.

Los dos campos E y B obedecen la ecuacion clasica de ondas,

∇2E− 1

c2∂2E

∂t2= 0, (6.29)

∇2B− 1

c2∂2B

∂t2= 0, (6.30)

con c = (εµ)−1/2, pero eso no basta: deben relacionarse entre sı de modo que cum-

plan ademas las ecuaciones de Maxwell. Notese que estas ecuaciones se refieren a

un medio sin fuentes, caracterizado por ε, µ, o sea sin cargas ni corrientes libres.

La soluciones de esas ecuaciones se denominan ondas electromagneticas.

Estudiaremos una clase muy importante de soluciones, las ondas monocromaticas,

que son las caracterizadas por una sola frecuencia (o sea un solo color). Siguiendo

un metodo estandar, buscaremos soluciones de la forma

E(r, t) = Es(r)e−iωt, B(r, t) = Bs(r)e

−iωt

entendiendo que la funcion que representa a los campos fısicos esta dada por

la parte real de esas funciones complejas. Notese que Es y Bs seran tambien

complejos, aunque con el mismo desfasaje ϕ los dos, de modo que el campo

electrico sera proporcional a cos(ωt+ ϕ) y el magetico, a sen(ωt+ ϕ).

Sustituyendo en las ecuaciones de Maxwell en el vacıo, se obtienen las ecua-

ciones para las amplitudes complejas

∇ ·Bs = 0 , ∇× Es − iωBs = 0 (6.31)

∇ ·Ds = 0 , ∇×Hs + iωDs = 0 .

6–6—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



Al sustituir en (6.29) resulta

e−iωt

(∇2Es +

ω2

c2Es

)= 0.

Diremos que la solucion es una onda plana si la amplitud de la onda es la misma

dentro de cada plano perpendicular a una direccion que sera la de propagacion.

Tomando el eje x paralelo a esa direccion, esto implica que E = Es(x), lo que

simplifica la ecuacion ad2Es

dx2+ω2

c2Es = 0,

cuya solucion es

Es(x) = E0e∓iωx/c,

donde E0 es un vector constante. Ademas se tiene

E(x, t) = <[(uxE0x + uyE0y + uzE0z) e

iϕe∓iωx/ce−iωt]

= (uxE0x + uyE0y + uzE0z) cos (kx− ωt+ ϕ) ,

Tomaremos para simplificar el signo − en ωt. Como el campo electrico solo de-

pende de x, la ecuacion ∇ · E = 0 se simplifica a dE0x/dx = 0, pero como E0

depende sinusoidalmente de x segun la ecuacion anterior, resulta que E0x = 0,

o sea que la condicion de divergencia nula implica que el campo electrico es

transversal: solo son distintas de cero las componentes normales a la direccion de

propagacion. O, en otras palabras, el campo electrico es paralelo a los frentes de

onda.

Esto significa que el campo electrico tiene la forma

E(x, t) = < (uyE0y + uzE0z) eiϕe−iωx/ce−iωt,

= (uyE0y + uzE0z) cos (kx− ωt+ ϕ) , (6.32)

where k = ω/c es la componente x del vector de ondas. Como las otras dos

componentes son nulas es tambien su modulo, tambien llamado el numero de

ondas.

Para obtener el campo magnetico, emplearemos la ecuacion de Maxwell ∇×E = −∂tB. El rotacional de (6.23) esta dado por

∇× E = [uyE0z − uzE0y] k sen(kx− ωt+ ϕ),

por lo que los campos magnetico y electrico deben valer

E(x, t) = (uyE0y + uzE0z) cos (kx− ωt+ ϕ) ,

B(x, t) =

(−uy

E0z

c+ uz

E0y

c

)cos (kx− ωt+ ϕ)) (6.33)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

6–7


donde se aprecia bien la transversalidad de la onda.

Esta onda se transmite hacia la derecha con velocidad v = ω/k = (εµ)−1/2

velocidad de la onda = v = ux(εµ)−1/2. (6.34)

El ındice de refraccion vale, por tanto,

n =√εrµr, (6.35)

en funcion simple de la permitividad y la permeabilidad relativas.

Notese que hay dos modos de polarizacion plana que se obtienen haciendo

E0y = 0 y E0z = 0, respectivamente. Finalmente veamos cuanto vale el vector de

Poynting

S =1

µ0

E×B =1

µ0

(E2

0y + E20z

)cos2(kx− ωt)ux, (6.36)

en el que se ha hecho ϕ = 0 por simplicidad. Notese que el flujo de energıa va en

el sentido positivo del eje x como cabıa esperar y que los tres vectores E, H y S

forman un triangulo rectangulo con la misma axilidad que el de referencia.

Los modulos de los campos electrico y magnetico en un medio no conductor

estan relacionados por la impedancia caracterıstica Z,

Z =E

H= cµ =

√µ

ε, (6.37)

que tiene dimensiones de resistencia y vale en el vacıo Z0 =√µ0/ε0 ' 376,7 Ω.

6.3.2. Ondas planas en un medios conductores

En un medio conductor y siguiendo el mismo procedimiento que en la seccion

anterior, la ecuacion de ondas se reduce a

∇2Es +ω2

c2Es + iωgµEs = 0.

Como antes, tomaremos Es como una funcion de x. Si escribimos

Es = E0eiγx, (6.38)

la ecuacion (6.31) implica que

Bs =γ

ωux × E0e

iγx, (6.39)

6–8—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



Sustituyendo en la ecuacion de ondas para E resulta

−γ2 + ω2εµ+ iωgµ = 0,

con lo que

γ =(ω2εµ+ iωgµ

)1/2,

notese que la constante de propagacion, es decir el modulo del vector de ondas es

complejo. Un poco de algebra nos dice que

γ = α+ iβ = ∓(ω4ε2µ2 + ω2g2µ2)1/4(cosϕ+ i senϕ),

ϕ =1

2arctan

g

ωε, notese que 0 ≤ ϕ ≤ π

4

o sea

α = ∓ω√εµ/2

[1 +

√1 + (g2/ω2ε2)

]1/2

, β = ωgµ/2α,

β = ω√εµ/2

[√1 + (g2/ω2ε2)− 1

]1/2

, α2 − β2 = ω2εµ,

y donde se han usado las identidades cos 2ϕ = (1 + tan2 2ϕ)−1/2 y cosϕ = [(1 +

cos 2ϕ)/2]1/2.

Las ondas planas viajando paralelamente al eje x corresponden a

E(x, t) = <(E0e

i(γx−ωt)).

B(x, t) = <(γω

u1 × E0e(iγx−ωt)

).

Tomando por simplicidad E0 = E0u2, resulta

E(x, t) = E0 e−βx cos(αx− ωt)u2, (6.40)

B(x, t) = E0e−βx

[−βω

sen(αx− ωt) +α

ωcos(αx− ωt)

]u3.

Se observan dos diferencias con el caso de medios no conductores:

i) Hay una diferencia de fase ϕ = arctan(β/α) entre los campos electrico y

magnetico;

ii) Es claro que esta onda se amortigua exponencialmente en la direccion de

su propagacion, debido al factor exponencial.

Este segundo efecto se debe a una transferencia de energıa del campo electro-

magnetico a las cargas en el conductor. La distancia caracterıstica es δ = 1/β,

llamada profundidad de penetracion (skin depth). A cada intervalo de longitud δ

que se recorre, los campos decaen en un factor e. Desde el punto de vista fısico,


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

6–9


es importante porque indica cuanto puede penetrar una onda electromagnetica

en un conductor.

Notese que si la conductividad tiende a cero, la expresion de los campos tiende

a la de los medios no conductores, sin atenuacion ni desfase entre E y B.

Tomemos un ejemplo.

A pequena frecuencia g εω, ϕ = π/4 y

β =√ωgµ sen

π

4=√ωgµ/2.

La conductividad de la plata es g ' 3× 107 mhos /m en el rango de frecuencias

de microondas2. Si la frecuencia es de 1010 Hz, valor comun en microondas, la

profundidad de penetracion es

δ =

√2

ωgµ' 9,2× 10−5cm.

Notese que cuanto mejor conductor sea el material menos penetra en el la onda.

Por lo tanto en ese caso el llamado efecto pelicular es muy pequeno y la onda

penetra muy poco en el metal. Una pared de plata y otra de un metal mas barato

con bano de plata darıan el mismo resultado para evitar que se fuguen las ondas

de una guıa de ondas.

Otro ejemplo: calcular la frecuencia a la que la profundidad de penetracion

en el agua de mar es de un metro. Este tipo de agua tiene µ = µ0 y g ≈ 4,3 S/m.

Por tanto

ω =2

gµδ2= 1,85× 105 s−1,

o sea f = 29,3×103 Hz. O sea a la frecuencia de 30 kc (=30 kHz) la penetracion es

de un metro. Este ejemplo es relevante para las comunicaciones de un submarino

que puede ası captar una senal sin salir a la superficie.

6.4. Soluciones retardadas

La ecuaciones de onda para los potenciales (??) y (??) con fuentes son de la

forma

∇2Ψ− 1

c2∂2Ψ

∂t2= −f(r, t), (6.41)

donde f es una distribucion de carga o de corriente. Para resolver esta ecuacion

es util encontrar una buena funcion de Green, al igual que en electrostatica.

2Un mho es un ohm inverso; es una unidad de conductancia, es decir de resistencia inversa.Actualmente se usa mas la denominacion “Siemens”, sımbolo “S”.

6–10—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



Supongamos el caso simple en que el volumen V es todo el espacio, o sea que no

hay bordes. Introducimos la transformacion de Fourier

Ψ(r, t) =1

2π

∫ ∞

−∞Ψ(r, ω) e−iωtdω,

f(r, t) =1

2π

∫ ∞

−∞f(r, ω) e−iωtdω. (6.42)

Las transformaciones inversas son

Ψ(r, ω) =

∫ ∞

−∞Ψ(r, t) eiωtdt,

f(r, ω) =

∫ ∞

−∞f(r, t) eiωtdt. (6.43)

Si ahora se inserta (6.42) en (6.41), se prueba que la transformada de Ψ(r, t)

obedece la ecuacion inhomogenea de Helmholtz

(∇2 + k2)Ψ(r, ω) = −f(r, ω), (6.44)

siendo k = ω/c, para cada valor de ω. Esta ecuacion es una PDE elıptica parecida

a la de Poisson a la que se reduce para k = 0. La funcion de Green independiente

del tiempo es la solucion de

(∇2 + k2)Gk(r, r′) = −δ(r− r′). (6.45)

Como no hay bordes, la funcion de Green debe ser esfericamente simetrica, de-

pendiendo solo del modulo R = |r − r′|. La forma del operador de Laplace en

coordenadas esfericas muestra que la funcion de green Gk(R) es solucion de

1

R

d2

dR2(RGk) + k2Gk = −δ(R). (6.46)

Excepto en R = 0, el producto RGk(R) satisface la ecuacion homogenea

d2

dR2(RGk) + k2(RGk) = 0,

cuya solucion general es

RGk(R) = AeikR +Be−ikR.

En el lımite R → 0, domina el primer termino sobre el segundo en el segundo

miembro. La funcion de Green debe ser singular en r = r′, es decir en R = 0.

Ello hace que domine el termino en ∇2 sobre el en k2 en (6.45). En ese lımite


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

6–11


la ecuacion se reduce a la de Poisson, por tanto de nuestro conocimiento de la

electrostatica podemos decir que la normalizacion correcta es

lımkR→0

Gk(R) =1

4πR.

La solucion general para la funcion de Green independiente del tiempo es pues

Gk(R) = AG(+)k (R) +BG

(−)k (R) (6.47)

donde

G(±)k (R) =

e±ikR

4πR, (6.48)

con A+B = 1.

Las funciones de Green dependientes del tiempo satifacen la ecuacion(∇− 1

c2∂2

∂t2

)G(±)(r, t; r′, t′) = −δ(r− r′)δ(t− t′). (6.49)

Sustituyendo el segundo miembro en (6.43), resulta que la fuente de (6.44) es

−f(r, ω) = −δ(r− r′)eiωt′ ,

con lo que las soluciones son G(±)k (R)eiωt′ . Yendo ahora a (6.42), resulta que la

funcion de Green dependiente del tiempo cumple

G(±)(R, τ) =1

2π

∫ ∞

−∞

e±ikR

4πRe−iωτ dω, (6.50)

donde τ = t− t′ es la diferencia de tiempos. Eso se puede escribir como

G(±)(R, τ) =1

4πR

1

2π

∫ ∞

−∞e−iω(τ∓R/c) dω,

y teniendo en cuenta que

1

2π

∫ ∞

∞e−iωσdω = δ(σ),

resulta que

G(±)(R, τ) =1

4πδ

(τ ∓ R

c

)(6.51)

o, de modo mas explıcito,

G(±)(r, t; r′, t′) =δ (t′ − [t∓ |r− r′|/c])

|r− r′|. (6.52)

6–12—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



Las funciones G(+) y G(−) se conocen como funciones de Green retardadas y

avanzadas, respectivamente. Notemo que la solucion de la ecuacion de partide en

esta seccion (6.41) es evidentemente

Ψ(r, t) =

∫ ∫G(+)(r− r′, t− t′)f(r′, t′)d3r′dt′, (6.53)

o tambien

Ψ(r, t) =

∫[f(r′, t′)]ret|r− r′|

d3r′. (6.54)

Aplicandolo a los potenciales escalar y vectorial, se tiene pues

Φ(r, t) =1

4πε0

∫V

ρ(r′, t−R/c)

Rd3r′, (6.55)

A(r, t) =µ0

4π

∫V

j(r′, t−R/c)

Rd3r′, (6.56)


nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—

6–13


Problemas

6.1 Sea una onda monocromatica y plana en un medio dielectrico homogeneo,

lineal e isotropo. Probar que los promedios temporales de de las densidades de

energıa electrica y magnetica, Ue y Um, son iguales.

6.2 La constante solar es la densidad de potencia radiante que llega a la Tierra

procedente del Sol, o sea P/4πR2, siendo P la potencia solar y R la distancia

Tierra-Sol. Su valor es 1,35 kW/m2. Aproximando la radiacion solar por una onda

plana, calcular los campos E y H ası como el aprovechamiento de esta energıa

en los siguientes casos: a) para calefaccion y agua caliente en paneles termicos

con un 70 % de rendimiento, estimando la superficie necesaria para abastecer un

circuito calefactor de 5 kW; b) para el funcionamiento de un televisor de 200 W,

mediante paneles fotovoltaicos con rendimiento del 20 %, estimando la superficie

necesaria. Supongase en ambos casos que la inclinacion de los rayos solares es de

30 respecto a la vertical.

6.3 Una onda electromagnetica plana de frecuencia f = 5 MHz se propaga por

un medio de parametros σ = 4 S/m, µr = 1 y εr = 72. El campo electrico de la

onda viene dado por E = E0e−γzax + E0e

−γzay. Determinar: a) la constante de

atenuacion, de fase de propagacion y la velocidad de fase a la frecuencia de la

onda; b) el campo H asociado al campo E; c) el valor medio de la densidad de

potencia y la direccion en la que se propaga.

6.4 El campo electrico de una onda electromagnetica plana que se propaga en el

vacıo esta dado por E = E0ei(ωt−kz) j, donde E0 es real. Un carrete circular plano

de radio a y N vueltas tiene su centro en el origen de coordenadas. Su orientacion

es tal que uno de sus diametros coincide con el eje z y su plano forma un angulo θ

con el eje y. Hallar la fem inducida en el carrete suponiendo que a λ (= 2π/k).

6.5 En un medio dielectrico de permitividad µ0 se propaga una onda electro-

magnetica plana y polarizada linealmente cuya frecuencia es f = 1 MHz. El

ındice de refraccion del medio es n = 1,5 y la amplitud del campo electrico,

E0 = 2 × 10−5 V/m. Se desea conocer: a) la impedancia intrınseca del medio

y los valores instantaneos del campo electrico, del campo magnetico, del vector

de Poynting y de la densidad de energıa electromagnetica; b) la energıa media

transportada por la onda y la energıa media almacenada en el medio; c) si se

coloca un carrete cuadrado plano con 100 vueltas y 0,5 m de lado cuyo plano es

6–14—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—



paralelo a la direccion del campo electrico, ¿cuanto vale la fem inducida en el? d)

Discutir cuanto valdrıa esa fem si la frecuencia fuese de f = 1 GHz.

6.6 - Una onda plana, con polarizacion lineal y con frecuencia 10 MHz se propaga

en un medio de permeabilidad µ0 cuyo ındice de refraccion es 1.5. Un carrete de

prueba, cuadrado de lado a = 10 cm, que tiene 100 vueltas, se orienta de modo

que detecta la maxima fem inducida posible. Esta resulta ser de 250 mV. Calcular:

a) los valores instantaneos de los campos; b) la intensidad media de la onda; c)

si se pudiese aumentarse suficientemente la frecuencia de la onda, ¿podrıa darse

el caso de que la fem detectada con la misma orientacion que antes era maxima

fuese ahora mınima? ¿Que valor deberıa tener la frecuencia correspondiente?

6.7 Considerese la propagacion de una onda electromagnetica en un conductor.

a) Demostrar que, para conductividad pequena, la constante de atenuacion se

aproxima a un lımite superior al aumentar la frecuencia. b) Comparar la aten-

uacion de dos ondas con λ = 10 cm, una en agua dulce (con σ = 10−3 Ω−1m−1)

y otra en agua de mar (con σ = 4 Ω−1m−1), suponiendo εr en los dos casos. c)

Encontrar las velocidades de fase y de grupo en medios de alta conductividad.

6.8 - Una corriente uniforme I0 circula por un alambre conductor recto e ilimitado,

a partir del instante inicial t = 0. Determinar los potenciales retardados en todo

el espacio.

6.9 Una onda electromagnetica plana, polarizada linealmente segun el eje x, se

propaga paralelamente al eje z, en un medio no magnetico, con ciertas perdidas.

Su frecuencia es 1 MHz y su velocidad de fase 1,8×108 m/s. En una cierta region

del espacio, la intensidad de la onda vale 10 W ·m−2s−1 y en un kilometro decrece

a 0.99 de su valor original. a) Calculese la profundidad de penetracion de la

onda. ¿Es un buen conductor ese medio? b) En la region indicada se coloca un

carrete cuadrado con 100 espiras y lados a = 20 cm (paralelo al eje z) y b = 10

cm (paralelo al eje x). Estımese el valor de la fem inducida: b1) a partir de los

valores del campo magnetico en la seccion del carrete; b2) a partir de los valores

del campo electrico en el carrete. (Justificar las aproximaciones)

6.10 Demostrar que se pueden obtener soluciones de las ecuaciones de Maxwell

en un medio no conductor, libre de carga, isotropo y homogeneo tomando bien

E = <∇× [∇× (Fn)] , B = <εµ

∂

∂t[∇× (Fn)]

notas EM II (v. 1/diciembre/2006)—

Ant

onio

Fern

ande

z-Ran

ada

2006

—

6–15


bien

B = <∇× [∇× (Fn)] , E = <−εµ ∂

∂t[∇× (Fn)]

,

donde n es un vector unitario y constante y F es una solucion de la ecuacion

clasica de ondas.

En este enunciado hay una precision innecesaria y quizas un error. Si es ası,

¿cual o cuales son exactamente?

6.11 En la teorıa de la relatividad especial las cantidades (x, y, z, ict) y (Ax, Ay, Az, iΦ/c)

son cuadrivectores en el espacio-tiempo. Demostrar que definiendo el llamado ten-

sor electromagnetico o tensor de Faraday,

Fij =∂Aj

∂xi

− ∂Ai

∂xj

resulta que sus componentes son las de B y iE/c. Mostrar tambien que las ecua-

ciones ∑i

∂Fij

∂xi

= 0,∂Fjk

∂xi

+∂Fki

∂xj

+∂Fij

∂xk

= 0

son precisamente las ecuaciones de Maxwell en el espacio vacıo.

6–16—A

nton

ioFe

rnan

dez-

Ran

ada

2006

—


curso electromagnetismo ii

Education