curs1 dreapta si pl

7/31/2019 Curs1 Dreapta Si Pl

1/18

PLANUL I DREAPTA N SPAIU

1.1 Ecuaia general a unui plan1.2 Tipuri de ecuaii ale unui plan

1.3 Ecuaiile canonice ale dreptei n spaiu

1.4Tipuri de ecuaii ale unei drepte

1.5 Dreapta de intersecie a dou plane. Fascicol de plane

1.6 Probleme metrice

1.1. Ecuaia general a unui planEcuaia general a unui plan n spaiu este dat de urmtoarea teorem:

Teorema 1. Un punctM(x,y,z) E3 se gsete ntr-un plan dac i numai dac verific

ecuaia 0+ + + =Ax By Cz D , cuA, B, C, D , nenule simultan.

Demonstraie:

Fie un plan dinE3 i fie un punctM0(x0,y0,z0) fixat.

Fie3

N Ai Bj Ck V= + + , un vector nenul perpendicular pe plan, N .

Fie un punct oarecareM(x,y,z) E3 din planul .

M

0M

0M

N


2/18

Avem atunci:

( ) ( ) ( )0 0 0 0M M x x i y y j z z k= + +

ntruct N ,N este perpendicular pe orice dreapt din plan, deci 0M M N

( ) ( ) ( )0 0 0 00 0M M N A x x B y y C z z = + + =

Ax + By + Cz + (Ax0 By0 Cz0) = 0, adic Ax + By + Cz + D = 0, unde

D = Ax0 By0 Cz0.

Reciproc, fie }0,0),,{( 222 >++=+++= CBADCzByAxzyxS . Vom arta c

mulimea S reprezint un plan. ntr-adevr, dac SzyxM ),,( 0000 i SzyxM ),,( ,

atunci avem:

( ) ( ) ( )0 0 0 0A x x B y y C z z + + = .

Fie N Ai B j Ck= + + . Evident N este nenul, iar din relaia de mai sus rezult c

MM0 este perpendicular pe N, oricare ar fi SM . Aadar, S reprezint planul care

trece prin 0M i este perpendicular pe N . Reamintim c prin direcia dreptei dnelegem

orice dreapt care este paralel sau coincide cu dreapta d.

Ecuaia 0+ + + =Ax By Cz D se numete ecuaia general a planului.

Vectorul N Ai Bj Ck= + + se numete normala la planul .

Cazuri particulare de plane

1) Ecuaia planelor de coordonate:

PlanulxOy are ecuaiaz= 0.PlanulxOzare ecuaiay = 0.

PlanulyOzare ecuaiax= 0.

2) Ecuaia unui plan paralel cu planele de coordonate:

Un plan xOy are ecuaiaz=z0 (constant).

2

2


3/18

Un plan yOz are ecuaiax=x0 (constant).

Un plan xOz are ecuaiay =y0 (constant).

3) Ecuaia unui plan ce trece prin originea O(0, 0, 0) :

Dac originea O aparine planului i nlocuind n ecuaia general a planului rezult c D= 0, i deci ecuaia planului este:Ax+By + Cz= 0.

4) Ecuaia unui plan paralel cu axele de coordonate

De exemplu: un plan paralel cu Ox, are ecuaiaBy +Cz+D = 0.

ntr-adevr, dac N Ai Bj Ck= + + este un vector normal la plan, atunci N i , deci

0 1 0 0 0 0N i A B C A = + + = = .

Aadar ecuaia planului paralel cu axa Ox este:By + Cz+D = 0.

n mod analog, ecuaia planului paralel cu axa Oy este:Ax+ Cz+D = 0,

ecuaia planului paralel cu axa Ozeste:Ax+By +D = 0.

5) Ecuaia unui plan ce conine o ax de coordonate

De exemplu, planul ce conine axa Ox, deci trece prin origine, are ecuaia de forma:

By + Cz= 0.

Planul ce conine Oy are ecuaia:Ax+ Cz= 0.

Planul ce conine Ozare ecuaia:Ax+By = 0.

1.2. Tipuri de ecuaii ale unui plan

0. Ecuaia unui plan ce trece prin M0(x0, y0, z0) i este perpendicular pe vectorul

N Ai Bj Ck= + + este:

( ) ( ) ( )0 0 0 0A x x B y y C z z + + = .

1. Ecuaia unui plan ce trece printr-un punct M0(x0, y0, z0) i este paralel cu dou direcii

date,1 1 1 1

v l i m j n k = + +r

i2 2 2 2

v l i m j n k = + +r

este:

0 0 0

1 1 1

2 2 2

0

x x y y z z

l m n

l m n

= .

3

3


4/18

ntr-adevr, dac M(x, y, z) aparine planului, atunci vectorii0 1 2

, ,M M v v sunt coplanari,

deci produsul mixt (0 1 2

, ,r r

M M v v ) = 0.

Rezult:0 0 0

1 1 1

2 2 2

0

x x y y z z

l m n

l m n

= .

2. Ecuaia unui plan ce trece prin dou puncte Mi(xi, yi, zi) i = 1,2 i este paralel cu o

direcie dat ( ), ,=v l m n este1 1 1

2 1 2 1 2 10

x x y y z z

x x y y z z

l m n

= .

ntr-adevr, dac M(x, y, z) aparin planului, atunci vectorii1 1 2

, ,M M M M vr

sunt

coplanari, deci produsul lor mixt ( )1 1 2, ,M M M M vr = 0.

3. Ecuaia unui plan ce trece prin trei puncte necoliniare Mi(xi,yi,zi), i = 1, 2, 3. Se reduce

la cazul 2, deci scriem ecuaia unui plan ce trece prin punctele M1 iM2 i este paralel cu

1 3M M . Dac M(x, y, z) aparine planului, atunci rezult c produsul mixt

( )1 1 2 1 3, , 0M M M M M M = deoarece vectorii 1 1 2 1 3, ,M M M M M M , sunt coplanari.

M0(x

0,y

0,z

0)

v1(l

1,m

1,n

1)

v2(l2,m2,n2)

M(x,y,z)

M1

v

M2

M

4

4


5/18

1 1 1

1 1 1

2 1 2 1 2 1

2 2 2

3 1 3 1 3 1

3 3 3

1

10 0

1

1

x y zx x y y z z

x y zx x y y z z

x y zx x y y z z

x y z

= =

Caz particular

Fie M1(a, 0, 0), M2(0, b, 0), M3(0, 0, c) puncte de intersecie cu axele de coordonate.

Calculnd, avem ecuaia 1 0x y z

a b c+ + = ecuaia planului prin tieturi.

Aplicaia 1. S se scrie ecuaia planului care trece prin origine, prin punctul M1(x1,y1,z1) i

este perpendicular pe planul (P) ax + by + cz+ d= 0.

Soluie: Fie planul cutat () de ecuaie:AX+By + Cz+D = 0.

ntruct planul ():

trece prin origine, rezult cD = 0.

conine peM1, rezult cAx1 +By1 + Cz1 = 0.

perpendicular pe planul (P), rezult cAa +Bb + Cc = 0.

M1 M

2

M3

M

M1

x

y

z

a

b

c

5

5


6/18

n aceste condiii obinem: 1 1 1 1 1 1

A B C

y z x z x y

b c a c a b

= = ecuaia planului () este:

(cy1 bz1)x + (az1 cz1)y + (bx1 ay1)z= 0.

1.3. Ecuaiile canonice ale unei drepte n spaiu

Propoziia 1. Fie M0(x0, y0, z0) punct fix, vectorul nenul = + +rv li mj nk i un punct

oarecare M(x, y, z) aparinnd dreptei d ce trece prin M0 i este paralel cu v . Atunci

coordonatele (x,y,z) ale punctuluiMverific ecuaiile:

0 0 0x x y y z z

l m n

= = (ecuaiile canonice ale dreptei n spaiu).

Demonstraie: 0 0 0 =M M v M M v ( ) ( ) ( )0 0 0 0M M x x i y y j z z k= + + ,

0 0 0

0 0 0 0

i j kx x y y z z

x x y y z z tl m nl m n

= = = = , t (parametru real).

Observaie.

Din

0

0

0

= = =

x x tl

y y tm

z z tn

0

0

0

= + = + = +

x x tly y tm

z z tn

, cu t , reprezint ecuaiile parametrice ale dreptei.

6

6


7/18

1.4. Tipuri de ecuaii ale unei drepte n spaiu

1. Ecuaia dreptei ce trece prin dou puncteMi(xi,yi,zi), i = 1, 2.

Fie ( ) ( ) ( )1 2 2 1 2 1 2 1= = + + uuuuuuur rr rr

l m n

v M M x x i y y j z z k iM(x,y,z) punct oarecare pe dreapta

M1M2.

innd seama dePropoziia 1, 1.3, rezult c1 1 1

2 1 2 1 2 1

x x y y z z

x x y y z z

= =

.

Aplicaia 1. S se scrie ecuaia dreptei care trece prin origine i prin punctulA(a, b, c).

Soluie:

x y z

a b c= = saux = at, y = bt, z= ct.

Aplicaia 2. Fie punctulM(a, b, c) i dreapta (d): 0 0 0x x y y z z

l m n

= = .

Se cer:a) ProieciaMa punctuluiMpe dreapta (d);

b) SimetriculMal punctuluiMfa de (d);

c) Ecuaia unei drepte ce trece prinMi este perpendicular pe (d) i intersecteaz planul

(P).

7

7

P

M

M

M

M1


8/18

a) Dreapta (d) are vectorul director v li mj nk = + + .

Avem de asemenea, ecuaiile parametrice ale dreptei (d):

0

0

0

x = x +tl

y = y +tm

z = z +tn

, t . (1)

Scriem ecuaia unui plan (P) ce conine punctulMi este perpendicular pe (d):

l(x a) + m(y b) + n(z c) = 0. (2)

FieM(x, y, x) punctul de intersecie al dreptei (d) cu planul (P): ( ) ( ) { }'P d M=I .

Aflm valoarea parametrului tnlocuind relaia (1) n relaia (2):

0 0 02 2 2

( ) ( ) ( )l a x m b y n c z t

l m n

+ + =

+ +(3)

i n sfrit coordonatelex, y, xale punctului M, proiecia punctului M, din relaia (1)folosind valorile parametrului tdin relaia (3).

b) FieM"(x",y",z") simetricul punctuluiMfa de (d).

Atunci, conform relaiei care d coordonatele mijloculuiMal unui segment n funcie de

coordonatele capetelor segmentuluiMiM, avem:

"' " 2 '

2

"' " 2 '2

"' " 2 '

2

a xx x x a

b yy y y b

c zz z z c

+= =

+= =

+= =

c) Dreapta trece prinMiM', are deci ecuaia:

' ' '

x a y b z c

x a y b z c

= =

1.5. Dreapta de intersecie a dou plane. Fascicol de plane

Fie dou plane neparalele. Ele se intersecteaz dup o dreapt d, de ecuaie:

8

8


9/18

( )1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

0 ( ):

0 ( )

A x B y C z D Pd

A x B y C z D P

+ + + = + + + =

(1)

Ne propunem s gsim ecuaiile canonice ale dreptei (d). Pentru aceasta alegem un punct

M0(x0,y0,z0) d. Mai precis (x0,y0,z0) este o soluie particular a sistemului (1), adic:1 0 1 0 1 0 1

2 0 2 0 2 0 2

0

0

A x B y C z D

A x B y C z D

+ + + = + + + =

.

Determinm direcia dreptei d, = + +rv li mj zk , adic determinm l, m, n.

Scriem normalele la planeleP1 iP2, adic:

( )

( )

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

= + +

= + + rr r r

N A i B j C k P

N A i B j C k P

1

2

r

rr

v N

v N 1 2

rv N N

Dar 1 2 1 1 1

2 2 2

i j k

N N A B C li mj nk

A B C

= = + +rr r r r

, unde :

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2, ,

B C A C A B

l m nB C A C A B= = = ,

deci ecuaia dreptei este

0 0 0x x y y z z

l m n

= = ,

9

9

d

2N

uuur

1N

uur

2P

1P


10/18

cu l, m, n dai de1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

, ,B C A C A B

l m nB C A C A B

= = =

Fascicol de plane

Definiie. Se numete fascicol de plane mulimea tuturor planelor care conin o dreapt

dat (d).

Propoziie. Fie dreapta (d), intersecia planelorP1 iP2, adic

( )1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

0 ( ):

0 ( )

+ + + = + + + =

A x B y C z D Pd

A x B y C z D P

Planele nu sunt paralele, deci ecuaia unui plan ce aparine fascicolului de plane generat dedreapta (d) este:

(A1x +B1y + C1z+D1) + ( A2x +B2y + C2z+D2) = 0 cu 2 + 2 0, , .

Dac = 1 i = 0 rezult A1x + B1y + C1z + D1 = 0 deci (P1) este de forma

enunat.

Dac = 0, = 1 rezultA2x +B2y + C2z+D2 = 0 deci (P2) este de forma enunat

i planul (P1) + (P2) = 0 conine dreapta d.Se poate arta c fascicolul definit de dreapta deste de forma 1P1 + 2P2 = 0.

1.6. Probleme metrice

1.6.1. Distana de la un punct la un plan

Propoziie: FieAx +By + Cz+D = 0 planul (P) iM0(x0,y0,z0), un punct care nu aparine

planului (P). Atunci distana de la punctulM0 la planul (P) este:

( ) 0 0 002 2 2

,Ax By Cz D

d M PA B C

+ + +=

+ +.

10

10

P

M0(x

0,y

0,z

0)

M(x,y,z)


11/18

Demonstraie: FieM' (x',y',z') proiecia luiM0 pe plan.

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2'

0 0 0 0 0, ' ' '= = + + d M P M M x x y y z z .

Deoarece0

'M M este coliniar cu N Ai Bj Ck= + + rezult c:

0 0 0

' ' ', ,

x x y y z zt t

A B C = = = i mai departe

0

0

0

'

''

x x At

y y Bt

z z Ct

=

= =

Atunci ( ) ( )2 2 2 2 2 2 20 ,d M P t A B C t A B C = + + = + + .

Pe de alt parte (x',y',z') verific ecuaia planului (P) deci:

( ) ( ) ( )0 0 0 0A At x B Bt y C Ct z D + + + + + =

( )0 0 0

0 0 002 2 2 2 2 2,

Ax By Cz DAx By Cz Dt d M P

A B C A B C

+ + ++ + += =+ + + + .

1.6.2. Distana de la un punct M0 la o dreapt d n spaiu

Propoziie: Fie dreapta (d),M0d,M1(x1,y1,z1) proiecia luiM0(x0,y0, z0) pe dreapta (d).

Atunci distana de la punctulM0 la dreapta (d) este:

( )0 1

0,

=

r

r

M M vd M d

v,

unde v este vectorul director al dreptei (d).

Demonstraie:

11

11

M

M0(x

0,y

0,z

0)

(d)M

1(x

1,y

1,z

1)v


12/18

Dac proiectm punctulM0 pe dreapta (d), obinem:

( ) ( ) 0 10 1 0 1 0 1 0 0sin( , ) , sin 90 ,M M v

M M v M M v M M v d M d v d M dv

= = =o

uuuuuuur uuuuuuur uuuuuuurr r rr

1.6.3. Unghiul a dou plane

Definiie.Unghiul a dou plane este unghiul dintre normalele celor dou plane.

Fie ecuaiile planelor (P1) i (P2):

( )

( )

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

0

0

P A x B y C z D

P A x B y C z D

+ + + =

+ + + =

i fie ecuaiile normalelor lor:

1 1 1 1

2 2 2 2

N A i B j C k

N A i B j C k

= + +

= + +r rr r

Atunci 1 2 1 2 1 2cos ( , )N N N N P P = S

1 2 1 2 1 2 1 2

1 22 2 2 2 2 2

1 2 1 1 1 2 2 2

cos ( , )N N A A B B C C

P PN N A B C A B C

+ += =

+ + + +S r r

Aplicaia 1. S se scrie unghiul dintre planele (P1) i (P2), date de ecuatiile:

(P1) 2x y + 3z+ 2 = 0

(P2) x +y z+ 5 = 0.

1 2 1 2 1 2 1 2

1 22 2 2 2 2 2

1 2 1 1 1 2 2 2

cos ( , ) 0.0587N N A A B B C C

P PN N A B C A B C

+ += = =

+ + + +S r r

Aplicaia 2. S se gseasc proiecia ortogonal a punctuluiM0(x0,y0,z0) pe dreapta:

12

12


13/18

( ) 1 1 1

1 2 3

x x y y z z

m m m

= = .

Soluie:

Considerm datele:

M0(5, 0, 2) ( )2 1 3

:3 2 4

x y z = =

Proiecia M(x, y, z) a punctuluiM0 pe dreapta dat se afl la intersecia dreptei () cu

planul dus prinM0 perpendicular pe .

Ecuaia planului n cazul nostru este 3(x 5) + 2y + 4(z+ 2) = 0 sau 3x + 2y + 4z 7 = 0.

nlocuim n aceast ecuaie a planului ecuaiile parametrice ale dreptei ( ) i obinemvaloarea parametrului real t.

( )

2 3

: 1 2

3 4

x t

y t

z t

= + = + = +

29t+ 13 = 0 13

29t= .

Deci19 3 35

' , ,29 29 29

M

.

1.6.4. Distana dintre dou drepte n spaiu

Fie dreptele:

( )

( )

1 1 1

1

1 1 1

2 2 2

2

2 2 2

x x y y z zd

l m n

x x y y z zd

l m n

= = =

= = =

Avem trei cazuri:

1) Drepte concurente 1 2 Id d . Deoarece d1 i d2 sunt dou drepte concurente n

acelai plan rezult c distana dintre ele este 0, atunci1 2 1 2

, ,M M v vr r

coplanare.

13

13

(d1)


14/18

2)Drepte paralele 1 2Pd d . Dreptele sunt coplanare, deci putem scrie atunci distana de la

M1 la dreapta d2 ca n 1.6.2.

( ) ( )1 2 2 2 1 1

1 2 2 1

2 1

, ,M M v M M v

d M d d M d v v

= = =

r r

r r .

3) Drepte oarecare n spatiu

Distana dintre d1 i d2 este lungimea perpendicularei comune celor dou drepte.

14

14

M1

M2 (d2)

1v

2v

(d1)

M2

v2

M1

(d2)

(d1)

v1

M2 v2

M1

(d2)

v1

3v v3


15/18

Perpendiculara comun celor dou drepte este o dreapt perpendicular i pe d1 i pe d2 i

care intersecteaz dreptele d1 i d2.

Fie 1v i 2v vectorii directori ai dreptelord1 i d2 , respectiv.

n punctulM2 ducem un vector 3v echipolent cu 1v .Suporturile vectorilor 1v i 2v formeaz un plan. Rezult c dreapta d1 este paralel cu

acest plan.

Deci distana dintre cele dou drepte este nlimea paralelipipedului format de

vectorii 1 2,v v i 1 2M M .

Vparalelipiped = ( )1 2 1 2, ,M M v vr r

= Sbazei paralelipiped hparalelipiped

DarSbazei= 1 2v v ;

Atunci hparalelipiped= ( )( )1 2 1 2

1 2

1 2

, ,,

M M v vd d d

v v=

r r

r r

Exerciii.

1) S se scrie ecuaia unui plan cunoscnd P(2, 3, 4) undePeste piciorul perpendicularei

(proiecia) punctului O(0, 0, 0) pe plan.

Soluie:

x

y

z

0(0,0,0)

P(2,3,4)

15

15


16/18

Ecuaia planului care trece prin punctualP(2,3,4) este:

( ) ( ) ( )2 3 4 0A x B y C z + + = ,

undeA, B, Csunt parametrii directori ai normalei N la plan, ( )N Ai Bj Ck P= + + .

n cazul nostru:

2 3 4 2, 3, 4N OP i j k A B C= = + + = = = .

Ecuaia planului devine deci:

2 4 3 9 42 16 0 2 3 4 29 0x y x y z + + = + + =

2) Se d dreapta d:1 0

2 3 0

x y z

x y z

+ = + + + =

.

S se scrie ecuaia unui plan (P) ce conine drepta d i este perpendicular pe planul

(P*) :x +y +z+ 1900 = 0.

Soluie :

Planul (P) aparine fascicolului de plane determinat de dreapta d, adic:( ) ( )1 2 3 0x y z x y z + + + + + = , cu 2 2 0 +

( ) ( ) ( )2 3 0D

A B C

x y z + + + + + + =1 2 314 2 43 14 2 43 1 2 3 .

Normala la planul (P) este deci :N Ai Bj Ck= + + .

Pe de alt parte, normala la planul (P*) este : *N i j k= + + .

Dar* *

0 0N N N N A B C = + + =

2 0 4 0cu + + + + = = .

Introducnd n ecuaia fascicolului obinem ecuaia planului (P):

( ) ( )4 1 2 3 0 / : 0 2 5 3 7 0x y z x y z x y z + + + + + = + + = .

16

16


17/18

3) Se d dreapta (d) de ecuaii2 4

3 1 1

x y z+ = = i M(1, 2, 3). S se scrie ecuaia unui

plan (P) ce trece prin punctulMi este perpendicular pe dreapta d.

Soluie :

Ecuaia planului cutat este de forma:

( ) ( ) ( )0 0 0 0A x x B y y C z z + + = ,

unde: x0 = 1 ,y0 = 2,z0 = 3 (punctul ( )M P )

C= 1, B = 1, A = 3 (dreapta (d) este normal la planul (P)),

deci ecuaia planului devine :

( ) ( ) ( )3 1 1 2 1 3 0x y z+ + + = , adic 3 3 0x y z+ + = .

Probleme propuse.

1) S se scrie ecuaia dreptei ce trece prin punctulM0(1, 1, 3) i este perpendicular

pe planulx +y +z+ 3 = 0.

2) S se calculeze distana de la punctulM(1, 1, 1) la planul 3x +y +z+ 7 = 0.

3) S se rescrie ecuaiile dreptei care trece prin punctul (2, 5, 3) i este:

a) paralel cu axa Oz;

b) paralel cu dreapta1 2 3

4 6

x y z

y

+= =

.

4) S se scrie ecuaia dreptei AB undeA(2, 1, 0), ( )1, 1, 2 3B i s se calculeze

cosinii directori ai direciei determinate de dreaptaAB.

5) S se scrie ecuaia dreptei care trece prin origine i prin punctulA(a, b, c).

6) Se consider dreapta determinat de puncteleA(1, 2, 3),B(2, 1, 4). S se gseasc

punctele ei de intersecie cu planele de coordonate.

17

17


18/18

18

18

curs1 dreapta si pl

Documents