curs 5: matrici. determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5i.pdf · 2019-11-22 · 6.4. inversa...
TRANSCRIPT
![Page 1: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/1.jpg)
CURS 5: Matrici. Determinanti
22 noiembrie 2019
![Page 2: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/2.jpg)
Thm. Regula lui Laplace
(dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
![Page 3: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/3.jpg)
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
![Page 4: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/4.jpg)
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
![Page 5: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/5.jpg)
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
![Page 6: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/6.jpg)
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n,
iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
![Page 7: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/7.jpg)
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
![Page 8: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/8.jpg)
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
![Page 9: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/9.jpg)
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
![Page 10: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/10.jpg)
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i :
detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
![Page 11: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/11.jpg)
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
![Page 12: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/12.jpg)
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j :
detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
![Page 13: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/13.jpg)
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
![Page 14: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/14.jpg)
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In
In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
![Page 15: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/15.jpg)
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0.
In acest caz A−1 = 1detAA∗.
![Page 16: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/16.jpg)
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
![Page 17: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/17.jpg)
Thm. Regula lui Laplace (dezvoltarea dupa maimulte linii)
Fie A ∈Mn(K) si p ∈ {1, ...,n}.
a) Atunci detA = ∑1≤j1<...<jp≤n
∆i1,...,ipj1,...,jp
Ai1,...,ipj1,...,jp
;
(Suma se face dupa toti indicii 1 ≤ j1 < ... < jp ≤ n, iardezvoltarea este dupa liniile i1, i2, ..., ip);
b) Analog avem Regula de dezvoltare dupa mai multe coloane.
Corolar:
a) Dezvoltarea dupa linia i : detA =n
∑j=1
aijAij ;
b) Dezvoltarea dupa coloana j : detA =n
∑i=1
aijAij ;
c) A ⋅A∗ = A∗ ⋅A = (detA)In In particular A este inversabila⇐⇒ detA ≠ 0. In acest caz A−1 = 1
detAA∗.
![Page 18: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/18.jpg)
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
![Page 19: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/19.jpg)
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate
ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
![Page 20: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/20.jpg)
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A,
se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
![Page 21: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/21.jpg)
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:
a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
![Page 22: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/22.jpg)
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele
a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
![Page 23: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/23.jpg)
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;
b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
![Page 24: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/24.jpg)
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii
cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
![Page 25: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/25.jpg)
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;
c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
![Page 26: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/26.jpg)
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii
la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
![Page 27: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/27.jpg)
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
![Page 28: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/28.jpg)
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K)
se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
![Page 29: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/29.jpg)
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara
daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
![Page 30: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/30.jpg)
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E
se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
![Page 31: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/31.jpg)
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din
matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
![Page 32: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/32.jpg)
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In
prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
![Page 33: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/33.jpg)
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
![Page 34: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/34.jpg)
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K)
a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
![Page 35: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/35.jpg)
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii,
revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
![Page 36: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/36.jpg)
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A
la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
![Page 37: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/37.jpg)
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii
El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
![Page 38: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/38.jpg)
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K)
corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
![Page 39: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/39.jpg)
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii.
Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
![Page 40: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/40.jpg)
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,
revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
![Page 41: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/41.jpg)
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei
A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
![Page 42: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/42.jpg)
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane
Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
![Page 43: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/43.jpg)
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K)
corespunzatoare transformarii.
![Page 44: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/44.jpg)
6.4. Inversa unei matrici cu transformari elementare:Definitii:
Urmatoarele transformari efectuate ın matricea A, se numesctransformari elementare:a) Schimbarea ıntre ele a doua linii;b) Inmultirea unei linii cu un element nenul a ∈ K ;c) Adunarea unei linii la alta linie.
O matrice patratica E ∈Mn(K) se numeste matriceelementara daca E se obtine din matricea unitate In prinaplicarea unei transformari elementare.
Thm.
Efectuarea ın matricea A ∈Mm,n(K) a unei transformarielementare pe linii, revine la ınmultirea matricei A la stanga cumatricea elementara de linii El ∈Mm(K) corespunzatoaretransformarii. Efectuarea unei transformari elementare pe coloane,revine la ınmultirea matricei A la dreapta cu matrica elementarape coloane Ec ∈Mn(K) corespunzatoare transformarii.
![Page 45: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/45.jpg)
De exemplu:
Fie
A = [a11 a12 a13a21 a22 a23
] ∈M2,3(K). Daca dorim sa efectuam
ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)
corespunzatoare transformarii: El = [1 01 1
] obtinuta din
I2 = [1 00 1
] adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea A la
stanga cu matricea elementara El obtinem:
El ⋅A = [a11 a12 a13
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]
.
![Page 46: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/46.jpg)
De exemplu:
Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23
] ∈M2,3(K).
Daca dorim sa efectuam
ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)
corespunzatoare transformarii: El = [1 01 1
] obtinuta din
I2 = [1 00 1
] adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea A la
stanga cu matricea elementara El obtinem:
El ⋅A = [a11 a12 a13
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]
.
![Page 47: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/47.jpg)
De exemplu:
Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23
] ∈M2,3(K). Daca dorim sa efectuam
ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)
corespunzatoare transformarii: El = [1 01 1
] obtinuta din
I2 = [1 00 1
] adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea A la
stanga cu matricea elementara El obtinem:
El ⋅A = [a11 a12 a13
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]
.
![Page 48: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/48.jpg)
De exemplu:
Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23
] ∈M2,3(K). Daca dorim sa efectuam
ın A transformarea elementara pe linii,
adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)
corespunzatoare transformarii: El = [1 01 1
] obtinuta din
I2 = [1 00 1
] adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea A la
stanga cu matricea elementara El obtinem:
El ⋅A = [a11 a12 a13
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]
.
![Page 49: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/49.jpg)
De exemplu:
Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23
] ∈M2,3(K). Daca dorim sa efectuam
ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2,
consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)
corespunzatoare transformarii: El = [1 01 1
] obtinuta din
I2 = [1 00 1
] adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea A la
stanga cu matricea elementara El obtinem:
El ⋅A = [a11 a12 a13
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]
.
![Page 50: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/50.jpg)
De exemplu:
Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23
] ∈M2,3(K). Daca dorim sa efectuam
ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara
de linii El ∈M2(K)
corespunzatoare transformarii: El = [1 01 1
] obtinuta din
I2 = [1 00 1
] adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea A la
stanga cu matricea elementara El obtinem:
El ⋅A = [a11 a12 a13
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]
.
![Page 51: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/51.jpg)
De exemplu:
Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23
] ∈M2,3(K). Daca dorim sa efectuam
ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii
El ∈M2(K)
corespunzatoare transformarii: El = [1 01 1
] obtinuta din
I2 = [1 00 1
] adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea A la
stanga cu matricea elementara El obtinem:
El ⋅A = [a11 a12 a13
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]
.
![Page 52: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/52.jpg)
De exemplu:
Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23
] ∈M2,3(K). Daca dorim sa efectuam
ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)
corespunzatoare transformarii: El = [1 01 1
] obtinuta din
I2 = [1 00 1
] adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea A la
stanga cu matricea elementara El obtinem:
El ⋅A = [a11 a12 a13
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]
.
![Page 53: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/53.jpg)
De exemplu:
Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23
] ∈M2,3(K). Daca dorim sa efectuam
ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)
corespunzatoare transformarii:
El = [1 01 1
] obtinuta din
I2 = [1 00 1
] adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea A la
stanga cu matricea elementara El obtinem:
El ⋅A = [a11 a12 a13
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]
.
![Page 54: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/54.jpg)
De exemplu:
Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23
] ∈M2,3(K). Daca dorim sa efectuam
ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)
corespunzatoare transformarii: El = [1 01 1
] obtinuta din
I2 = [1 00 1
]
adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea A la
stanga cu matricea elementara El obtinem:
El ⋅A = [a11 a12 a13
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]
.
![Page 55: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/55.jpg)
De exemplu:
Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23
] ∈M2,3(K). Daca dorim sa efectuam
ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)
corespunzatoare transformarii: El = [1 01 1
] obtinuta din
I2 = [1 00 1
] adunand linia L1 la linia L2.
Inmultind matricea A la
stanga cu matricea elementara El obtinem:
El ⋅A = [a11 a12 a13
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]
.
![Page 56: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/56.jpg)
De exemplu:
Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23
] ∈M2,3(K). Daca dorim sa efectuam
ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)
corespunzatoare transformarii: El = [1 01 1
] obtinuta din
I2 = [1 00 1
] adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea
A la
stanga cu matricea elementara El obtinem:
El ⋅A = [a11 a12 a13
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]
.
![Page 57: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/57.jpg)
De exemplu:
Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23
] ∈M2,3(K). Daca dorim sa efectuam
ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)
corespunzatoare transformarii: El = [1 01 1
] obtinuta din
I2 = [1 00 1
] adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea A la
stanga cu matricea elementara
El obtinem:
El ⋅A = [a11 a12 a13
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]
.
![Page 58: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/58.jpg)
De exemplu:
Fie A = [a11 a12 a13a21 a22 a23
] ∈M2,3(K). Daca dorim sa efectuam
ın A transformarea elementara pe linii, adunarea liniei L1 la liniaL2, consideram matricea elementara de linii El ∈M2(K)
corespunzatoare transformarii: El = [1 01 1
] obtinuta din
I2 = [1 00 1
] adunand linia L1 la linia L2. Inmultind matricea A la
stanga cu matricea elementara El obtinem:
El ⋅A = [a11 a12 a13
a11 + a21 a12 + a22 a13 + a33]
.
![Page 59: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/59.jpg)
Thm(de obtinere
a inversei prin transformarielementare pe linii:)
Daca A ∈Mn(K) este o matrice inversabila, atunci exista osuccesiune de transformari elementare pe liniile matricei cu blocuri[A∣In], care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B] si ın acestcaz B = A−1.
![Page 60: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/60.jpg)
Thm(de obtinere a inversei prin transformari
elementare pe linii:)
Daca A ∈Mn(K) este o matrice inversabila, atunci exista osuccesiune de transformari elementare pe liniile matricei cu blocuri[A∣In], care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B] si ın acestcaz B = A−1.
![Page 61: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/61.jpg)
Thm(de obtinere a inversei prin transformarielementare pe linii:)
Daca A ∈Mn(K) este o matrice inversabila, atunci exista osuccesiune de transformari elementare pe liniile matricei cu blocuri[A∣In], care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B] si ın acestcaz B = A−1.
![Page 62: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/62.jpg)
Thm(de obtinere a inversei prin transformarielementare pe linii:)
Daca A ∈Mn(K)
este o matrice inversabila, atunci exista osuccesiune de transformari elementare pe liniile matricei cu blocuri[A∣In], care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B] si ın acestcaz B = A−1.
![Page 63: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/63.jpg)
Thm(de obtinere a inversei prin transformarielementare pe linii:)
Daca A ∈Mn(K) este o matrice inversabila,
atunci exista osuccesiune de transformari elementare pe liniile matricei cu blocuri[A∣In], care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B] si ın acestcaz B = A−1.
![Page 64: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/64.jpg)
Thm(de obtinere a inversei prin transformarielementare pe linii:)
Daca A ∈Mn(K) este o matrice inversabila, atunci exista osuccesiune de transformari elementare
pe liniile matricei cu blocuri[A∣In], care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B] si ın acestcaz B = A−1.
![Page 65: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/65.jpg)
Thm(de obtinere a inversei prin transformarielementare pe linii:)
Daca A ∈Mn(K) este o matrice inversabila, atunci exista osuccesiune de transformari elementare pe liniile matricei cu blocuri[A∣In],
care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B] si ın acestcaz B = A−1.
![Page 66: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/66.jpg)
Thm(de obtinere a inversei prin transformarielementare pe linii:)
Daca A ∈Mn(K) este o matrice inversabila, atunci exista osuccesiune de transformari elementare pe liniile matricei cu blocuri[A∣In], care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B]
si ın acestcaz B = A−1.
![Page 67: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/67.jpg)
Thm(de obtinere a inversei prin transformarielementare pe linii:)
Daca A ∈Mn(K) este o matrice inversabila, atunci exista osuccesiune de transformari elementare pe liniile matricei cu blocuri[A∣In], care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B] si ın acestcaz B = A−1.
![Page 68: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/68.jpg)
Thm(de obtinere a inversei prin transformarielementare pe linii:)
Daca A ∈Mn(K) este o matrice inversabila, atunci exista osuccesiune de transformari elementare pe liniile matricei cu blocuri[A∣In], care o transforma ıntr-o matrice de forma [In∣B] si ın acestcaz B = A−1.
![Page 69: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/69.jpg)
EXAMEN PARTIAL: 7 Decembrie (Sambata);
ora 9-11;
Sala Aula Instalatii;
structura examen 4 probleme tip seminar, curs sauT.A.;
1 problema ”Relatii binare”;
1 problema ”Vectori sau Generari de Suprafete”;
1 problema ”Matrici si determinanti+ Vectori si Valoriproprii”’
1 problema ”Forma Jordan si Aplicatii ”;
![Page 70: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/70.jpg)
EXAMEN PARTIAL: 7 Decembrie (Sambata); ora 9-11;
Sala Aula Instalatii;
structura examen 4 probleme tip seminar, curs sauT.A.;
1 problema ”Relatii binare”;
1 problema ”Vectori sau Generari de Suprafete”;
1 problema ”Matrici si determinanti+ Vectori si Valoriproprii”’
1 problema ”Forma Jordan si Aplicatii ”;
![Page 71: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/71.jpg)
EXAMEN PARTIAL: 7 Decembrie (Sambata); ora 9-11;
Sala Aula Instalatii;
structura examen 4 probleme tip seminar, curs sauT.A.;
1 problema ”Relatii binare”;
1 problema ”Vectori sau Generari de Suprafete”;
1 problema ”Matrici si determinanti+ Vectori si Valoriproprii”’
1 problema ”Forma Jordan si Aplicatii ”;
![Page 72: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/72.jpg)
EXAMEN PARTIAL: 7 Decembrie (Sambata); ora 9-11;
Sala Aula Instalatii;
structura examen
4 probleme tip seminar, curs sauT.A.;
1 problema ”Relatii binare”;
1 problema ”Vectori sau Generari de Suprafete”;
1 problema ”Matrici si determinanti+ Vectori si Valoriproprii”’
1 problema ”Forma Jordan si Aplicatii ”;
![Page 73: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/73.jpg)
EXAMEN PARTIAL: 7 Decembrie (Sambata); ora 9-11;
Sala Aula Instalatii;
structura examen 4 probleme tip seminar,
curs sauT.A.;
1 problema ”Relatii binare”;
1 problema ”Vectori sau Generari de Suprafete”;
1 problema ”Matrici si determinanti+ Vectori si Valoriproprii”’
1 problema ”Forma Jordan si Aplicatii ”;
![Page 74: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/74.jpg)
EXAMEN PARTIAL: 7 Decembrie (Sambata); ora 9-11;
Sala Aula Instalatii;
structura examen 4 probleme tip seminar, curs sau
T.A.;
1 problema ”Relatii binare”;
1 problema ”Vectori sau Generari de Suprafete”;
1 problema ”Matrici si determinanti+ Vectori si Valoriproprii”’
1 problema ”Forma Jordan si Aplicatii ”;
![Page 75: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/75.jpg)
EXAMEN PARTIAL: 7 Decembrie (Sambata); ora 9-11;
Sala Aula Instalatii;
structura examen 4 probleme tip seminar, curs sauT.A.;
1 problema ”Relatii binare”;
1 problema ”Vectori sau Generari de Suprafete”;
1 problema ”Matrici si determinanti+ Vectori si Valoriproprii”’
1 problema ”Forma Jordan si Aplicatii ”;
![Page 76: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/76.jpg)
EXAMEN PARTIAL: 7 Decembrie (Sambata); ora 9-11;
Sala Aula Instalatii;
structura examen 4 probleme tip seminar, curs sauT.A.;
1 problema ”Relatii binare”;
1 problema ”Vectori sau Generari de Suprafete”;
1 problema ”Matrici si determinanti+ Vectori si Valoriproprii”’
1 problema ”Forma Jordan si Aplicatii ”;
![Page 77: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/77.jpg)
EXAMEN PARTIAL: 7 Decembrie (Sambata); ora 9-11;
Sala Aula Instalatii;
structura examen 4 probleme tip seminar, curs sauT.A.;
1 problema ”Relatii binare”;
1 problema ”Vectori sau Generari de Suprafete”;
1 problema ”Matrici si determinanti+ Vectori si Valoriproprii”’
1 problema ”Forma Jordan si Aplicatii ”;
![Page 78: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/78.jpg)
EXAMEN PARTIAL: 7 Decembrie (Sambata); ora 9-11;
Sala Aula Instalatii;
structura examen 4 probleme tip seminar, curs sauT.A.;
1 problema ”Relatii binare”;
1 problema ”Vectori sau Generari de Suprafete”;
1 problema ”Matrici si determinanti+ Vectori si Valoriproprii”’
1 problema ”Forma Jordan si Aplicatii ”;
![Page 79: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/79.jpg)
EXAMEN PARTIAL: 7 Decembrie (Sambata); ora 9-11;
Sala Aula Instalatii;
structura examen 4 probleme tip seminar, curs sauT.A.;
1 problema ”Relatii binare”;
1 problema ”Vectori sau Generari de Suprafete”;
1 problema ”Matrici si determinanti+ Vectori si Valoriproprii”’
1 problema ”Forma Jordan si Aplicatii ”;
![Page 80: CURS 5: Matrici. Determinantiusers.utcluj.ro/~todeacos/curs5I.pdf · 2019-11-22 · 6.4. Inversa unei matrici cu transform ari elementare: De nit˘ii: Urm atoarele transform ari efectuate](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022040114/5e2b157f27e3b116501bf25a/html5/thumbnails/80.jpg)
EXAMEN PARTIAL: 7 Decembrie (Sambata); ora 9-11;
Sala Aula Instalatii;
structura examen 4 probleme tip seminar, curs sauT.A.;
1 problema ”Relatii binare”;
1 problema ”Vectori sau Generari de Suprafete”;
1 problema ”Matrici si determinanti+ Vectori si Valoriproprii”’
1 problema ”Forma Jordan si Aplicatii ”;