capitolo 1: matrici determinanti e sistemi lineari …...matrici determinanti e sistemi lineari...
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CAPITOLO 1: MATRICI DETERMINANTI E SISTEMI LINEARI MATRICI Siano ed due numeri appartenenti ad N . La tabella di numeri reali n m
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
mnmmm
n
n
aaaa
aaaaaaaa
A
..........................................
......
......
321
2232221
1131211
è chiamata matrice. Possiamo abbreviare la notazione scrivendo ( )ijaA = , con ,ℜ∈ija m,...,i 1= e . n,...,j 1=Diremo che questa è una matrice (numero delle righe) per (numero delle colonne) ovvero una matrice
m nnm× . Per esempio la seconda colonna
della matrice è e la quarta riga
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
2
32
22
12
ma...
aaa
( )na...aaaa 444434241
(il numero degli elementi di una colonna è uguale al numero delle righe; il numero degli elementi di una riga è uguale al numero delle colonne). Chiameremo la componente della matrice, elemento comune alla riga ed alla
ija esimaij −esimai − esimaj − colonna.
Denoteremo la matrice A anche con e nmA × ( ) nmA × se vogliamo metterene in evidenza le dimensioni . Quando denotiamo una matrice con ( )ija , allora denota la riga ei j la colonna di appartenenza del numero . ija ESEMPIO 1. La seguente è una matrice 32× :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −01
10
21
.
Ha due righe e tre colonne: le righe sono ( )101 − (prima riga)
e ( (seconda riga); le colonne sono (prima colonna),
(seconda colonna) e (terza colonna).
)012 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛21
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛10
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−01
Le righe di una matrice possono essere viste come delle orizzontali o “vettori riga”, mentre le colonne possono essere viste come delle verticali o “vettori colonna”. Un vettore riga di, dimensione
, è una matrice , mentre un vettore colonna, di dimensione , è una matrice .
nm× uplen −
uplem −n n×1 n
1×n
ESEMPIO 2. Per la matrice risultano ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−21
1
304
331 =a e . 122 −=a
•un singolo numero può essere visto come la matrice a 11× : ( . )a•sia ( ) nmija
×una matrice. Se nm = (numero delle righe uguale al numero
delle colonne) allora la matrice è detta quadrata. •definiamo matrice nulla quella matrice con tutti gli elementi . La
matrice nulla è la matrice .
0=ija
45×
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
00000000000000000000
La matrice nulla di dimensione nm× sarà denotata nmO × . PRODOTTO DI UNA MATRICE PER UN NUMERO REALE Siano e ℜ∈c ( ) nmijaA
×= una matrice.
Definiamo la matrice la cui cA esimaij − componente è , scriveremo ijca( ) nmijcacA
×= .
Scriveremo A− per la matrice ( )A1− : ( ) nmijaA×
= ⇒ ( ) nmijaA×
−=− .
ESEMPIO 3. Siano , ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=21
1
304
A ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
01
10
21
B e 2=c . Allora
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=21
1
304
22A ( ) =⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅−⋅⋅
⋅⋅⋅
2212
12
320242
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−42
2
608
, ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
02
20
42
2B e
. ( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−
−=−=−
211
304
1 AA
SOMMA DI MATRICI Quando sono della stessa dimensione è definita la somma di due matrici. Siano ( ) nmijaA
×= e ( ) nmijbB
×= due matrici con le stesse dimensioni.
Definiamo BA + la matrice ( ) nmijd×
con ijijij bad += , per ogni
m,...,i 1= e . n,...,j 1=
ESEMPIO 4. Siano ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
31
10
22
A e ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=
11
02
31
B .
Allora . ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=+
42
12
51
BA
•se è la matrice nulla, di dimensione O nm× , allora abbiamo
AOAAO =+=+ . Inoltre ( ) OAAAA =−=−+ ; la matrice A− è chiamata inversa additiva della matrice A . MATRICE TRASPOSTA Siano ( )
nmijaA×
= e ( )mnijbB
×= due matrici. Fissati { }mi ,...,1∈ e
consideriamone rispettivamente le componenti { nj ,...,1∈ }
Amatrice Bmatrice
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
→−.
......
ijarigai e .
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
→−
.
....
.
.
jibrigaj
↑− colonnaj ↑− colonnai Se le due componenti sono uguali, allora la matrice B è chiamata trasposta della matrice A e denotata TA . Data una matrice si ottiene la trasposta scambiandone le righe con le colonne. Se A è una matrice , allora la sua trasposta,nm× TA , è una matrice la cui prima riga è la prima colonna di
mn×A , la seconda riga è la seconda
colonna di A , etc.. Un caso importante è quello di una matrice quadrata A ( nm = ) per cui
TAA = . Una tale matrice è detta simmetrica.
ESEMPIO 5. •se , allora . ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=21
1
304
A ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=23
10
14TA
Notiamo che ( ) =TTA =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
T
23
10
14
A=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−21
1
304
.
•se , allora ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=
101013131
A⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=
101013131
TA e TAA = .
NOTA 1.•se A e B sono matrici della stessa dimensione, allora
. ( ) TTT BABA +=+
•( ) AATT = .
PRODOTTO DI MATRICI Siano ( ) nmijaA
×= e ( )
pnjkbB×
= due matrici con il numero delle colonne
della prima uguale al numero delle righe della seconda. È possibile definirne la matrice prodotto ( ) pmikcAB ×= , ove
( ) ( ) ( ) ( ) ∑=
=++++=n
jjkijnkinkikikiik baba...bababac
1332211 .
ESEMPIO 6. Le matrici e ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=×21
1
304
23A ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=× 0
110
21
32B possono
essere moltiplicate tra di loro. Sono definite le matrici AB , di dimensione , e33× BA , di dimensione 22× . Calcoliamo le componenti della matrice ( ) 33×= ikcAB . Componente . 11cSi moltiplicano le componenti della prima riga della matrice A per le corrispondenti componenti della prima colonna della matrice B :
( ) 6211421
1411 =⋅+⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=c .
Componente . 12cSi moltiplicano le componenti della prima riga della matrice A per le corrispondenti componenti della seconda colonna della matrice B :
( ) 1110410
1412 =⋅+⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=c .
Componente . 13cSi moltiplicano le componenti della prima riga della matrice A per le corrispondenti componenti della terza colonna della matrice B :
( ) ( ) 4011401
1413 −=⋅+−⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=c .
Componente . 21cSi moltiplicano le componenti della seconda riga della matrice A per le corrispondenti componenti della prima colonna della matrice B :
( ) ( ) 2211021
1021 −=⋅−+⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=c .
Componente . 22cSi moltiplicano le componenti della seconda riga della matrice A per le corrispondenti componenti della seconda colonna della matrice B :
( ) ( ) 1110010
1022 −=⋅−+⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=c .
Componente . 23cSi moltiplicano le componenti della seconda riga della matrice A per le corrispondenti componenti della terza colonna della matrice B :
( ) ( ) ( ) 0011001
1023 =⋅−+−⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=c .
Componente . 31cSi moltiplicano le componenti della terza riga della matrice A per le corrispondenti componenti della prima colonna della matrice B :
( ) 7221321
2311 =⋅+⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=c .
Componente . 32cSi moltiplicano le componenti della terza riga della matrice A per le corrispondenti componenti della seconda colonna della matrice B :
( ) 2120310
2332 =⋅+⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=c .
Componente . 33cSi moltiplicano le componenti della terza riga della matrice A per le corrispondenti componenti della terza colonna della matrice B :
( ) ( ) 3021301
2333 −=⋅+−⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=c .
In definitiva = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−21
1
304
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −01
10
21
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
−
327012416
.
Calcoliamo le componenti della matrice ( ) 22×= ikdBA . Componente . 11dSi moltiplicano le componenti della prima riga della matrice B per le corrispondenti componenti della prima colonna della matrice A :
( ) 1304
10111 =⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=d .
Componente . 12dSi moltiplicano le componenti della prima riga della matrice B per le corrispondenti componenti della seconda colonna della matrice A :
( ) 121
110112 −=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−=d .
Componente . 21dSi moltiplicano le componenti della seconda riga della matrice B per le corrispondenti componenti della prima colonna della matrice A :
( ) 8304
01221 =⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=d .
Componente . 22dSi moltiplicano le componenti della seconda riga della matrice B per le corrispondenti componenti della seconda colonna della matrice A :
( ) 121
101222 =
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=d .
In definitiva = ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −01
10
21
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−21
1
304
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −1811
.
Ragionando sulle sole dimensioni si deduce che la moltiplicazione di matrici non è una operazione commutativa.
ESEMPIO 7. Siano , e
tre matrici di diversa dimensione.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=× 231
51232A
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=×
122143
23B
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=× 1131
22C
Sono definite le matrici prodotto ( ) 22×= ABAB con
AB = = ; ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛231512
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
122143
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1241515
( ) 23×= BCBC con
BC = = ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
122143
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−− 1131
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
−
5153
51;
( ) ( )( ) 22×= BCABCA con
( )BCA = = ; ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛231512
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
−
5153
51
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 08
300
( ) ( )( ) 22×= CABCAB con
( )CAB = = . ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1241515
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−− 1131
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 08
300
Risulta ( ) ( )CABBCA = .
Se è una matrice ( mx...xxxX 321= ) m×1 (potremmo anche riscrivere con le virgole per guadagnare spazio) e ( mx,...,x,xX 21= )
( ) nmijaA×
= , allora risulta definito il prodotto XAY = e
( )mx,...,x,xY 21= =
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
mnmm
n
n
a......aa...............
a......aaa......aa
21
22221
11211
( )ny,...,y,y 21 ,
↑ ↑ ↑ m×1 nm× n×1 dove mkmkkk ax...axaxy +++= 2211 . In questo caso Y è ancora un vettore riga, ma di diversa dimensione.
D’altra parte siano , , e 1×nX
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
nx......xx
X2
1
( ) nmijaA×
= . Allora è definito
anche il vettore colonna AXY = :
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
mnmm
n
n
a......aa...............
a......aaa......aa
21
22221
11211
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
nx......xx
2
1
= ,
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
my...yy
2
1
↑ ↑ ↑ nm× 1×n 1×m dove niniii xa...xaxay +++= 2211 . •se A è una matrice quadrata allora è definito il prodotto AA che risulta essere ancora una matrice quadrata delle stesse dimensioni di A . Sarà denotata 2A . Similmente può essere definita la matrice quadrata pA , con ∈p N .
•possiamo definire matrice unitaria, di dimensione nn× , la matrice con
, ovvero , con la
proprietà:
nI
⎩⎨⎧
≠=
=ji,,ji,
aij 01
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
100000010000
001000000100000010000001
...
........................
...
...
...
...
In
nnnnnnn IBIIB == ×× .
•se Aè una matrice quadrata nn× , allora possiamo definire . nIA =0
NOTA 2. •se A è una matrice nn× e p , ∈q N , allora
qppqqp AAAAA +== . •il prodotto di due matrici non è commutativo.
Con e sono definite le matrici prodotto⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
1023
A ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
5012
B ABe BA .
Però
AB= = e⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1023
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −5012
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛5076
BA= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −5012
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1023
= . ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛5036
In alcuni casi può essere AB= BA .
PROPRIETÀ DEL PRODOTTO DI MATRICI Siano , , , e nmA × pnB × pnC × qpD × ℜ∈a . •legge distributiva. Sono definite le matrici CB + , ( )CBA + , AB , AC , aB , , e risultano ,
( )aBA ( )ABa( ) ACABCBA +=+ ( ) ( )ABaaBA = .
•legge associativa. Sono definite le matrici AB , ( )CAB , BC , ( )BCA e risulta ( )CAB = . ( )BCA•legge della trasposta di un prodotto.
TB è una matrice di dimensione np × , TA è una matrice di dimensione e sono definiti i prodotti di matricimn× AB , TT AB . Inoltre ( ) TTT ABAB = .
ESEMPIO 8. Con e risultano ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
102
31
1A ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=01
24
10
B
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
13
01
21TA ,
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −=
021
140
TB ,
=AB⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
102
31
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 0
124
10
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
−=
3141140
182e
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −=
021
140
TT AB ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −13
01
21
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−=
3111448
102; si osserva che
. ( ) TTT ABAB = MATRICE INVERSA Non esiste una operazione di divisione per le matrici. Sotto certe ipotesi, per le matrici quadrate, è possibile definire la matrice inversa. DEFINIZIONE Sia data la matrice . La matrice nnA × B è una inversa per A se . nIBAAB ==Per l’esistenza dei due prodotti deve essere . nnB ×
NOTA 3. La matrice inversa con la proprietà nIBAAB == può essere definita solo per le matrici quadrate. Siano e . nmA × qpB ×
Se è definito il prodotto AB , allora pn = e ( ) qmAB × . Se , allora . nIAB = qm =Se è definito il prodotto BA , allora mq = e ( ) npBA × . Se , allora nIBA = np = . In conclusione qpnm === .
ESEMPIO 9. La matrice ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
21
23
12B è l’inversa della
matrice . ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
4321
A
AB= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛4321
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−
21
23
12= ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−−+−
23661132
= = e ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1001
2I
BA= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−
21
23
12⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛4321
= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−+−+−234432
23
23 = = .
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1001
2I
Una matrice quadrata si dice singolare se non ha inversa; quella che ha inversa si dice non singolare o invertibile. PROPRIETÀ DELLA MATRICE INVERSA Senza sapere come e quando si determina la matrice inversa, è possibile, con la sola definizione, provarne le seguenti proprietà. •l’inversa di una matrice non singolare è unica. Siano B e D due inverse della matrice A . Allora
nIBAAB == , . nIDAAD ==
nIBA = ⇒ ( ) DDIDBABAD n === ⇒ ( ) DADB = (ove ) ⇒ nIAD =DB = .
L’inversa della matrice A , quando esiste, sarà denotata da 1−A .
•se la matrice A è non singolare risulta ( ) AA =−− 11 .
La scrittura può essere letta in due modi:”nIAAAA == −− 11 1−A è
l’inversa di A” ovvero “ A è l’inversa di 1−A ”. •siano e due matrici non singolari, allora nnA × nnB × ( ) 111 −−− = ABAB .
Poiché ( )ABAB 11 −− = ( )BAAB 11 −− = BB 1− = , nI
( )11 −− ABAB = ( ) 11 −− ABBA = 1−AA = e per l’unicità della matrice inversa si ha la tesi.
nI
•siano e due matrici non singolari tali che nnA × nnB × nIAB = , allora
e, per definizione,nIBA = 1−= AB .
nIAB = (moltiplicando a destra per la matrice A) ⇒ ( ) AABAAAB == ; (moltiplicando a sinistra per la matrice( ) ABAA = 1−A ) ⇒
⇒ . ( ) AABAAA 11 −− = nIBA =
• sia A una matrice non singolare allora la matrice TA è non singolare e
( ) ( )TT AA 11 −−= .
1−= AAIn ⇒ ( ) ( ) ( ) TTTTnn AAAAII 11 −− === ;
AAIn1−= ⇒ ( ) ( ) ( )TTTT
nn AAAAII 11 −− === .
Per le due implicazioni precedenti la matrice ( )TA 1− risulta essere una inversa della matrice TA . Per l’unicità della matrice inversa possiamo
porre ( ) ( )TT AA 11 −−= .
Quali sono delle condizioni sufficienti affinché una matrice quadrata A sia non singolare? Deve essere il suo determinante diverso da zero. DETERMINANTE E’ possibile calcolare solo il determinante di una matrice quadrata. Determinante di ordine 1. Sia , cioè 11×A ( )aA = (matrice ridotta ad un numero). Allora il determinante della matrice A , denotato ( )Adet , risulta essere . ( ) aAdet = Determinante di ordine . 2
Sia , . Definiamo 22×A ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2221
1211
aaaa
A ( ) 21122211 aaaaAdet −= .
ESEMPIO 10. Il determinante della matrice è ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
4321
A
( ) 2643241 −=−=⋅−⋅=Adet .
Il determinante della matrice ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=
5432
B è
( ) ( ) ( ) 24352 =⋅−−⋅−=Bdet .
NOTA 4. Se allora22×A ( ) ( )TAdetAdet = .
Se , allora , ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
dcba
A ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
dbca
AT ( ) bcadAdet −= e
( ) cbadAdet T −= .
Determinante di ordine 3 .
Sia . Allora ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A ( )Adet =
332211 aaa + +312312 aaa 322113 aaa 332112 aaa− 322311 aaa− 312213 aaa− .
Un metodo per calcolare il determinante di una matrice 33× sarà di seguito illustrato. •con le colonne della matrice A si scrive la tabella
32
22
12
31
21
11
33
23
13
32
22
12
31
21
11
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
;
↑1a ↑2a ↑3a ↑1a ↑2a
•si considera la diagonale (prima da sinistra)
33
22
11
aa
a
ed il prodotto dei suoi elementi: ; 332211 aaa•si considera la diagonale
31
23
12
aa
a
ed il prodotto dei suoi elementi: ; 312312 aaa•si considera la diagonale
32
21
13
aa
a
ed il prodotto dei suoi elementi: ; 322113 aaa•si considera la diagonale (prima da destra)
31
22
13
aa
a
ed il prodotto dei suoi elementi cambiato di segno: 312213 aaa− ; •si considera la diagonale
32
23
11
aa
a
ed il prodotto dei suoi elementi cambiato di segno: 322311 aaa− ; •si considera la diagonale
33
21
12
aa
a
ed il prodotto dei suoi elementi cambiato di segno: 332112 aaa− ; • è uguale alla somma (algebrica) dei sei prodotti precedentemente definiti.
( )Adet
ESEMPIO 11. Calcolare il determinante della matrice . ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
132213321
A
Si scrive la tabella e si considerano i sei prodotti: ,
, 312
231
123
312
231
1111 =⋅⋅
8222 =⋅⋅ 27333 =⋅⋅ , 6213 −=⋅⋅− , 6321 −=⋅⋅− e 6132 −=⋅⋅− . Allora = ( )Adet 186662781 =−−−++ .
NOTA 5. •siano e . Allora nnA × nnB × ( ) ( ) ( )BdetAdetABdet = .
• ( ) ( )TAdetAdet = .
•se esiste 1−A allora ( ) ( )AdetAdet 11 =− ; segue dalla prima proprietà
ricordando che risulta ( ) 1=nIdet .
ANCORA SULLA MATRICE INVERSA Sia tale che . Allora esistennA × ( ) 0≠Adet 1−A . Vediamo cosa accade nel caso 2=n .
Siano , con⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
dcba
A ( ) 0≠−= bcadAdet , e (“candidata”
matrice inversa), con (la condizione
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
wzyx
X
2IAX = 2IXA = , per quanto già visto è inutile).
2IAX = ⇔ = ⇔ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛dcba
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛wzyx
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1001
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++
dwcydzcxbwaybzax
= ⇔ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1001
⎩⎨⎧
=+=+
01
dzcxbzax
e . ⎩⎨⎧
=+=+
10
dwcybway
Questi ultimi sono due sistemi di due equazioni e due incognite.
ESEMPIO 12. Determinare, se esiste, l’inversa della matrice .
Poiché la matrice inversa esiste. Le componenti si
ottengono risolvendo il sistema
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
3412
A
( ) 246 =−=Adet
⎩⎨⎧
=+=+
03412
zxzx
, nelle incognite x e z , ed il
sistema ⎩⎨⎧
=+=+
13402
wywy
, nelle incognite e . y w
Primo sistema:
⎩⎨⎧
=+=+
03412
zxzx
⇔ ⇔ ⎩⎨⎧
=+=+
068448
zxzx
⎩⎨⎧
=−=+
42448
zzx
⇔ ⎩⎨⎧
−=+−=
212
zzx
⇔ ⎪⎩
⎪⎨⎧
−==
223
zx ;
Secondo sistema:
⎩⎨⎧
=+=+
13402
wywy
⇔ ⇔ ⎩⎨⎧
=+=+
268048
wywy
⎩⎨⎧
−=−=+22
048w
wy⇔
⎩⎨⎧
=−=
12w
wy⇔
⎩⎨⎧
=−=1
21
wy .
Allora la matrice inversa risulta essere
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−=12
21
23
X .
SISTEMI LINEARI Un sistema con p equazioni lineari e incognite può essere scritto nella forma
q
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=++++
=++++=++++
pqpqppp
cxa....xaxaxa..........................................................................................................................cxa....xaxaxacxa....xaxaxa
332211
22323222121
11313212111
.
Poniamo per la matrice , qpA ×
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
pqppp
q
q
a.....aaa..................................................a.....aaaa.....aaa
321
2232221
1131211
1×qX per il vettore colonna e per il vettore colonna .
Allora il sistema può essere riscritto nella forma vettoriale
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
qx..xxx
3
2
1
1×pC
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
pc..
ccc
3
2
1
CAX = (dimensionalmente 11 ××× = pqqp CXA ). A è la matrice dei coefficienti, X è il vettore colonna incognito o delle incognite e C è il vettore colonna dei termini noti. Per il sistema riveste importanza la matrice
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
qpqppp
q
q
ca.....aaa............................................................ca.....aaaca.....aaa
B
321
22232221
11131211
,
di dimensione ( 1+ )× qp , chiamata matrice completa del sistema. La matrice B si ricava dalla matrice A aggiungendovi, a destra, una
colonna, formata dalle componenti del vettore colonna ( ) esimaq −+1 C . ESEMPIO 13. •per il sistema, con equazioni e le incognite 2 2 x e , y
⎩⎨⎧
=−=+
41
232
yxyx
, la matrice completa è . ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=421132
B
•per il sistema, con equazioni e le incognite 3 3 x , e y z ,
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=−+=+−
205
233
2
zyxzyxzyx
, la matrice completa è⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−=
223101135121
B .
•per il sistema, con equazioni e le 5 incognite 3 x , , y z , u e v ,
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=−+=++−
0105
vuvzyvuyx
, la matrice completa è ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−=
011000110110021011
B .
METODO DI RIDUZIONE DI GAUSS Il metodo di riduzione di Gauss, mediante trasformazioni della matrice completa B, permette: •di stabilire se il sistema: non ha soluzioni, ha una sola soluzione, ha infinite soluzioni. •se esistono soluzioni, di “preparare” il sistema per il calcolo delle stesse. Le trasformazioni della matrice B sono legate ad operazioni sulle equazioni del sistema che non ne variano le soluzioni. •scambiare tra di loro due righe:
( )
( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
+
............................b...bbbb
............................b...bbbb
............................
qjjjjj
qiiiii
14321
14321 →
; ( )
( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
+
............................b...bbbb
............................b...bbbb
............................
qiiiii
qjjjjj
14321
14321
• moltiplicare una riga per una costante 0≠α :
( )
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
..........................
..........................b......bbb
..........................
..........................
qiiii 1321 →
; ( )
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
αααα +
..........................
..........................b......bbb....................................................
qiiii 1321
• sostituire una riga con la stessa sommata ad un’altra:
( )
( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
+
.....................b......bb
.....................b......bb
.....................
qjjj
qiii
121
121 →
( )
( ) ( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+++ ++
+
.....................bb......bbbb
.....................b......bb
.....................
qiqjijij
qiii
112211
121;
• scambiare tra di loro due delle prime colonne (l’ultima non si tocca!): q
( )( )
( ) ( ) ( )( )( )
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
+−−−
+
+
1
1111
1222
1111
qppjpi
qpjpip
qji
qji
b...b...b...b...b...b...
........................b...b...b...b...b...b...
→
( )( )
( ) ( ) ( )( )( )
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
+−−−
+
+
1
1111
1222
1111
qppipj
qpipjp
qij
qij
b...b...b...b...b...b...
........................b...b...b...b...b...b...
(attenzione alle incognite!). Si opera fino ad ottenere una matrice B equivalente (cioè a cui corrisponde un sistema con le stesse soluzioni) con : • (componente in alto a sinistra); 011 ≠b•dalla seconda riga, il primo elemento non nullo, se esiste, si trova a destra del primo elemento non nullo della riga precedente. ESEMPIO 14.
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
0000000202310013212302003120
3210421
←←
errore!!
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
0000000202000013212002003120
3210421
O.K.
Quando una matrice ha questa struttura si dice che è a scalini: •nella riduzione a scalini di una matrice col metodo di Gauss, il modo di operare non è unico; •l’esistenza ed il numero delle soluzioni di un sistema non dipende dalla riduzione a scalini della sua matrice completa. Si considera la sua ultima riga non nulla (non costituita da tutti ). 0Se l’unico elemento non nullo è quello più a destra allora il sistema non ha soluzione, altrimenti esistono delle soluzioni. Sia “ s = numero delle incognite meno il numero delle righe non nulle della matrice completa ridotta a scalini”.
Se 0=s allora la soluzione è unica, come vettore colonna, e facilmente calcolabile; Se 0>s allora occorrono s parametri per descrivere tutte le soluzioni. La matrice a scalini, per come è costruita, non può essere 0<s .
ESEMPIO 15. •si riduca a scalini la matrice . ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=421132
B
Si moltiplica per 2− la riga: ; a2 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−− 842132
si sostituisce alla riga la somma delle due righe: . a2 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 770132
Questa è una matrice a scalini.
•per il sistema , con equazioni e le 2 incognite ⎩⎨⎧
=−=+
41
232
yxyx
2 x , , la
matrice completa è
y
B che ridotta a scalini diventa . ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 770132
Allora la soluzione è unica e la si può trovare risolvendo il sistema equivalente
⎩⎨⎧
−==+
71
732
yyx
.
Il sistema è detto equivalente perché ha tutte e solo le soluzioni del sistema di partenza. Dalla seconda equazione otteniamo 1−=y ; sostituendo il valore trovato nella prima equazione abbiamo 132 =−x ⇔ 2=x .
L’unica soluzione del sistema è il vettore colonna . Per comodità,
invece di , possiamo scrivere
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−12
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−12 ( )T12 − ovvero ( )T1,2 − .
ESEMPIO 16. •si riduca a scalini la matrice ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−=
223101135121
B .
Si sostituisce alla riga la riga meno la riga: a3 a3 a1
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
315001135121
aa 13 −←
(sono segnate le variazioni dell’ultima matrice rispetto alla precedente); si moltiplica per 3 la riga: a1
; ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
31500113
15363 a13 ⋅←
si sostituisce alla riga la riga meno la riga: a2 a1 a2
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
31501547015363
aa 21 −← ;
si moltiplica per 75 la riga: a2
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
315050
15363
775
720 a27
5 ⋅← ;
si divide per la riga (la si moltiplica per 3 a1 31 ) e si sostituisce la riga
con la somma della e della riga:
a3a2 a3
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
754
727
775
720
00
505121
aa
a
32
131
+←
⋅←;
si moltiplica per 57 la riga, e per a2 27
7 la riga: a3
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
2100154705121
a
a
3
2
27757
⋅←
⋅← .
La matrice ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
2100154705121
è a scalini.
•per il sistema , di 3equazioni nelle 3 incognite ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=−+=+−
205
233
2
zyxzyxzyx
x , e y z ,
la matrice completa è B che ridotta a scalini diventa ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
2100154705121
.
Allora la soluzione è unica e la si può trovare risolvendo il sistema
. ⎪⎩
⎪⎨
⎧
==+−=+−
2155
472
zzyzyx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==+−=+−
2155
472
zzyzyx
⇔ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
==+−=+−
2155
8722
zyyx
⇔ ⎪⎩
⎪⎨
⎧
==−=−
273
72
zyyx
⇔ ⎪⎩
⎪⎨
⎧−
===−
21
32
zyyx
⇔
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
===+
21
32
zy
x ⇔ .
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
===
21
1
zyx
L’unica soluzione del sistema è ( )T2,1,1 − .
Si possono fare più operazioni per volta però è meglio se la somma e la sostituzione di righe sono fatte in tempi diversi!
ESEMPIO 17. •si riduca a scalini la matrice⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−=
1511473124111
B .
Operazioni di riduzione a scalini:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−
151141462416444
a
a
2214⋅←⋅←
;
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−
153021060
16444
aa
aa
3221
−←−← ;
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−
153015304111
a
a
2
1
2141
⋅←
⋅←
;
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
000015304111
aa 32 +←.
La matrice è a scalini. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
000015304111
•per il sistema , di 3equazioni e le 3 incognite ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=+−=−+
1574
432
zyxzyxzyx
x , e y z ,
la matrice completa è B che ridotta a scalini diventa . ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
000015304111
Allora la soluzione non è unica (vedere Esempio 19).
ESEMPIO 18. Si riduca a scalini la matrice ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−=
835501223111
B .
Operazioni per la riduzione a scalini:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−
166101005101030101010
a
a
a
3225110
⋅←⋅←⋅←
;
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−−
16110030150030101010
aa
aa
3221
−←−← ;
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−−
16110021003111
a
a
2
1
151101
⋅←
⋅←
;
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−−−
1611002211003111
a211⋅← ;
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−
600021003111
aa
a
32
2111
+←
⋅← .
La matrice è a scalini. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−
600021003111
•per il sistema ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−
=−+=++=−+
803
35522
zyxzyxzyx
, di 3 equazioni e le 3 incognite x , e y
z , la matrice completa è B , che ridotta a scalini diventa . ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−
600021003111
Allora il sistema non ha soluzioni; la terza equazione diventerebbe “0 ”. 6−=
CALCOLO DELLE SOLUZIONI DI UN SISTEMA LINEARE, QUANDO QUESTA NON E’ UNICA Limitiamoci ad alcuni esempi.
ESEMPIO 19. Determinare tutte le soluzioni del sistema ,
di 3 equazioni e le incognite
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=+−=−+
1574
432
zyxzyxzyx
3 x , e y z . Per quanto già visto nell’Esempio 17 al sistema corrispondono la matrice
completa ridotta a scalini ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
000015304111
ed il sistema di due equazioni e
tre incognite ⎩⎨⎧
=−=−+
14
53 zyzyx
.
•soluzione particolare del sistema. Con una certa libertà si cerca una soluzione (non nulla) del sistema.
Ponendo otteniamo il sistema 0=z⎪⎩
⎪⎨
⎧
==+
=
134
0
yyx
z, che ha per soluzione
( T0,, 3
13
11 ) . Questa è una soluzione particolare, non nulla, del sistema in esame. •sistema omogeneo associato e sua soluzione. Il sistema omogeneo ridotto, associato al sistema di partenza, è
(se ⎩⎨⎧
=−=−+
0530
zyzyx
CAX = è un sistema lineare, allora OAX = , ove è
un vettore colonna con tutti gli elementi nulli è il sistema omogeneo associato).
O
Questo sistema ha sempre soluzioni, almeno la soluzione nulla. •una delle tre incognite (in generale s delle incognite) viene vista come un parametro (conserva per semplicità lo stesso nome), e la si sposta a destra del segno "" = . •il vincolo, nella scelta del parametro, è il seguente: la matrice quadrata (di dimensione uguale al numero delle righe non nulle della matrice ridotta a scalini) che si forma con i coefficienti rimasti a sinistra del segno "" = uguale deve avere gli elementi sulla diagonale principale non nulli e tutti gli elementi al di sotto della stessa nulli. Rispettato il vincolo, vi è una certa libertà. Trasformiamo l’incognita z in parametro.
•sistema corrispondente: ⎩⎨⎧
==+
zz
yyx
53;
•matrice quadrata: ; ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛3011
•conti per la soluzione del sistema omogeneo:
⎩⎨⎧
==+
zz
yyx
53 ⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−=−=
==
zzzyzx
zyzz
32
35
35 .
•la soluzione generale del sistema omogeneo associato è ( )Tzzz ,, 35
32− , con
. ℜ∈z
La trasformazione dell’incognita in parametro, y⎩⎨⎧
−−
=−=−
yy
zzx
35, è
ammissibile; mentre la trasformazione dell’incognita x in
parametro,⎩⎨⎧ −
=−=−
053x
zyzy
, non è conveniente.
•soluzione generale del sistema: la soluzione generale del sistema si ottiene sommando alla soluzione generale del sistema omogeneo associato la soluzione particolare precedentemente ottenuta. Per il sistema in esame la soluzione generale è ( ) +−
Tzzz ,, 3
532 ( )T0,, 3
13
11 .
ESEMPIO 20. Determinare tutte le soluzioni del sistema
, di 3 equazioni e le incognite ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−
=+++=+++=+++
13
0
532253uzyxuzyxuzyx
4 x , , y z e u .
•matrice completa: . ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
1513232513
01111B
•riduzione della matrice completa:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
315396641026
06666
a
a
a
332216
⋅←⋅←⋅←
,
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−
3117706244001111
aa
aa
a
3221
161
−←−←
⋅←
,
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−
622141402171414001111
a
a
32
227
⋅←
⋅← ,
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
15150003122001111
aa
a
32
271
+←
⋅← ,
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
110003122001111
a3151 ⋅←
.
La matrice è a scalini. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
110003122001111
•esistenza della soluzione e numero di parametri necessari per descriverla: il sistema ha soluzione e necessitano 134 =−=s (numero incognite meno numero righe non nulle della matrice ridotta) parametri.
•sistema equivalente da risolvere: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−=+−=+++
130
22uuzyuzyx
, ovvero
,con la scelta di come parametro (la matrice quadrata
corrispondente a questa scelta è ).
⎪⎩
⎪⎨
⎧−−
=−=+−=++
1232 yy
uuzuzx
y
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
100120111
•soluzione particolare del sistema equivalente:
posto otteniamo il sistema 0=y
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==−=−−=−+
0131201
yu
zzx
, che può essere facilmente
risolto a partire dalla seconda equazione;
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==−=−−=−+
0131201
yu
zzx
⇔ ⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−=
=−=+
01421
yuzzx
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−=−=
=−
01212
yuz
x
⇔ ;
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−=−=
=
0123
yuzx
una soluzione particolare del sistema è ( )T1,2,0,3 −− . •soluzione generale del sistema omogeneo associato: il sistema omogeneo associato è
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−=+−=+++
000
22uuzyuzyx
, ovvero ⎪⎩
⎪⎨
⎧−−
=−=+−=++
022 yy
uuzuzx
.
•soluzione del sistema omogeneo:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
−=−−=+
yyu
yzyzx
022
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
===
−=+
yyu
yzyyx
0 ⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
===
−=
yyu
yzyx
0
2
;
la soluzione generale del sistema omogeneo è ( )Tyyy 0,,,2− , con . ℜ∈y
•soluzione generale del sistema: ( ) +− Tyyy 0,,,2 ( )T1,2,0,3 −− , con . ℜ∈y
ESEMPIO 21. Determinare tutte le soluzioni del sistema
, di 3equazioni e le incognite ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=−+=++−
0102
vuvzyuuyx
5 x , , y z , e u v .
•matrice completa: , già a scalini. ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−
011000110110021011
•esistenza della soluzione e numero di parametri necessari per descriverla: il sistema ha soluzione e necessitano 235 =−=s parametri.
•sistema da risolvere: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=−+=++−
0102
vuvzyvuyx
, ovvero ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−−
==−=+
uyuy
vvzvx
12
, dopo
aver scelto le incognite e come parametri (alla scelta corrisponde la
matrice quadrata ).
y u
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−100110
201
•soluzione particolare del sistema: dopo aver posto 0== uy otteniamo il
sistema , ⇔ , che ha per soluzione
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
==−=+==
010200
vvzvxuy
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=====
01000
vzxuy
( )T0,0,1,0,0 ;
•soluzione generale del sistema omogeneo associato.
il sistema omogeneo associato è ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−−
==−=+
uy
uy
vvzvx 2
;
si pone e si determina la soluzione del sistema dipendente solo dal parametro :
0=uy
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=−=−
=+==
0
20
vyvzyvx
uyy
⇔ ;
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=−=
===
0
0
vyzyx
uyy
soluzione . ( )Tyyy 0,0,,, −Si pone e si determina una soluzione del sistema dipendente solo dal parametro u :
0=y
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−==−
−=+==
uvvz
uvxuu
y
02
0
⇔ ⇔ ;
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=−=−=−
==
uvuzuuxuu
y
2
0
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−=−=
===
uvuzuxuu
y 0
soluzione . ( )Tuuuu −− ,,,0,La soluzione generale del sistema omogeneo è ( ) +− Tyyy 0,0,,, ( )Tuuuu −− ,,,0, , con ℜ∈u,y . •soluzione generale del sistema: ( ) +T0,0,1,0,0 ( ) +− Tyyy 0,0,,, ( )Tuuuu −− ,,,0, , con ℜ∈u,y .