cours de finance (m1) - free
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Cours de Finance (M1)
Diversification du risque
1
Variance du taux de rentabilité d’un portefeuille de
deux titres : 𝝈𝑷𝟐 = 𝑿𝟏
𝟐𝝈𝟏𝟐 + 𝟐𝝆𝟏,𝟐𝑿𝟏𝑿𝟐𝝈𝟏𝝈𝟐 + 𝑿𝟐
𝟐𝝈𝟐𝟐
Don’t put all your eggs in one basket
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Plan de la séance du
◼ Rentabilité
◼ Définition du taux de rentabilité
◼ Rentabilité historique et espérée
◼ Rentabilité d’un portefeuille
◼ Risque
◼ écart-type (volatilité) du taux de rentabilité
◼ Diversification des risques
◼ Coefficient de corrélation linéaire
◼ Diversification du risque
◼ Dossier complémentaire : hedge funds et probabilités
◼ Exercice : Actifs risqués parfaitement corrélés2
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Objectifs pédagogiques de la séance
◼ Savoir calculer un taux de rentabilité d’un titre ou
d’un portefeuille de titres
◼ Comprendre les notions de rentabilité historique et
espérée et leurs limites
◼ Savoir calculer ces rentabilités historiques et espérées
◼ Comprendre les notions de risque de marché liés à
l’investissement en actions
◼ Savoir calculer un écart type d’un taux de rentabilité
◼ Comprendre la notion de diversification des risques
◼ Savoir manipuler un coefficient de corrélation
3
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Diversification (partie 3)
◼ Risque d’un portefeuille formé de deux actifs
◼ Expression en fonction de l’allocation
◼ Coefficient de corrélation linéaire
◼ Définition
◼ Illustrations numériques
◼ Portefeuilles dans le plan écart-type / rentabilité attendue
◼ Préférences moyenne – variance
◼ Comparaison entre portefeuille et titres individuels
◼ Bénéfices de diversification
◼ Impact du coefficient de corrélation
◼ Augmentation du nombre du titres
◼ Limites de la diversification
4
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5
La compagnie verte vend des parapluiesla compagnie rouge des crèmes solaires
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6
En fusionnant ces deux entreprises, les résultats sont plus stables
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Le concept de corrélation
7Source, Columbia preMBA finance
Exercice
- corrélation positive parfaite
- Corrélation négative parfaite
- Pas de corrélation
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La théorie du portefeuille : coefficient de
corrélation linéaire
8
Corrélation positive
Corrélation négative
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La théorie du portefeuille : coefficient de
corrélation linéaire
9
Statistics 101: Understanding CorrelationYoutube : https://youtu.be/4EXNedimDMs (affichage de sous-titres)
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Coefficient de correlation corrélation linéaire
10http://stattrek.com/m/statistics/correlation-video.html
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La théorie du portefeuille : écart-type du taux
de rentabilité
◼ Rentabilité d’un portefeuille
◼ 𝑹𝑷 = 𝑿𝟏𝑹𝟏 + 𝑿𝟐𝑹𝟐, 𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 = 𝟏◼ 𝑿𝟏 fraction de la richesse investie dans le titre 1
◼ Écart-type de la rentabilité d’un portefeuille
◼ 𝛔 𝑹𝑷 = 𝝈𝑷, 𝛔 𝑹𝟏 = 𝝈𝟏,𝛔 𝑹𝟐 = 𝝈𝟐,
◼ 𝝈𝑷 = 𝑿𝟏𝟐𝝈𝟏
𝟐 + 𝟐𝑿𝟏𝑿𝟐𝝆𝟏𝟐𝝈𝟏𝝈𝟐 + 𝑿𝟐𝟐𝝈𝟐
𝟐
◼ 𝝆𝟏𝟐 est le coefficient de corrélation linéaire entre 𝑹𝟏 et 𝑹𝟐
◼ −𝟏 ≤ 𝝆𝟏𝟐 ≤ 𝟏
◼ 𝝈𝑷 dépend de 𝝆𝟏𝟐 qui mesure le degré de liaison entre
𝑹𝟏 et 𝑹𝟐
11
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12
𝝈𝟏 = 𝝈𝟐 = 𝟒𝟎%, 𝝆𝟏𝟐 = 𝟎, 𝟓
En bleu, 𝑿𝟏 → 𝝈𝑷 𝑿𝟏
𝝈𝒎𝒊𝒏
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La théorie du portefeuille : coefficient de
corrélation linéaire
◼ Si 𝝆𝟏𝟐 > 𝟎, les prix des actions 1 et 2 tendent à
varier dans le même sens
◼ C’est le cas le plus fréquent
◼ Si 𝝆𝟏𝟐 < 𝟎, les prix des actions 1 et 2 tendent à
varier dans des sens opposés
◼ Cas rare (parapluies et crèmes solaires)
◼ Si les prix des actions varient de manière
indépendante, alors 𝝆𝟏𝟐 = 𝟎
◼ Cas fréquent en salle de classe…
13
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La théorie du portefeuille : coefficient de
corrélation linéaire
◼ Coefficient de corrélation linéaire entre 𝑹𝟏 et 𝑹𝟐
◼ 𝝆𝟏𝟐 = 𝑬𝑹𝟏−𝑬𝟏
𝝈𝟏×
𝑹𝟐−𝑬𝟐
𝝈𝟐
◼
𝑹𝟏−𝑬𝟏
𝝈𝟏: rentabilité centrée réduite du titre 𝟏
◼ Mesure de la tendance des rentabilités à varier dans le
même sens ou en sens inverse
◼ Le coefficient de corrélation linéaire a une valeur
comprise entre −𝟏 et +𝟏 : −𝟏 ≤ 𝝆𝟏𝟐 ≤ +𝟏
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La théorie du portefeuille : coefficient de
corrélation linéaire
◼ Illustrations numériques 𝝆𝟏𝟐 = 𝑬𝑹𝟏−𝑬𝟏
𝝈𝟏×
𝑹𝟐−𝑬𝟐
𝝈𝟐
◼ Titre 1
◼ Rentabilités du titre 𝟏 les 4 dernier jours : +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%
◼ Probabilités assignées à chacune de ces quatre journées = Τ𝟏 𝟒
◼ On rappelle que 𝑬𝟏 = 𝟎%,𝝈𝟏 = 𝟏%
◼ Ici𝑹𝟏−𝑬𝟏
𝝈𝟏= 𝑹𝟏
◼ Titre 𝟐◼ Rentabilités du titre 𝟐 les 4 dernier jours : +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%
◼ Probabilités assignées à chacune de ces quatre journées = Τ𝟏 𝟒
◼ On remarque que 𝑹𝟐 = 𝑹𝟏
◼ 𝝆𝟏𝟐 = Τ𝟏 𝟒 × 𝟏 × 𝟏 + Τ𝟏 𝟒 × −𝟏 × −𝟏 + Τ𝟏 𝟒 ×−𝟏 × −𝟏 + Τ𝟏 𝟒 × 𝟏 × 𝟏 = +𝟏
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La théorie du portefeuille : coefficient de
corrélation linéaire
◼ Illustrations numériques 𝝆𝟏𝟐 = 𝑬𝑹𝟏−𝑬𝟏
𝝈𝟏×
𝑹𝟐−𝑬𝟐
𝝈𝟐
◼ Rentabilités du titre 𝟏 les 4 dernier jours : +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%
◼ Les rentabilités du titre 𝟐 sont maintenant égales à :
◼ +𝟐%,−𝟐%,−𝟐%,+𝟐%◼ On sait que 𝑬𝟐 = 𝟎%, 𝝈𝟐 = 𝟐%
◼ Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction
sont : 𝑹𝟐−𝑬𝟐
𝝈𝟐= +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%
◼ Ces valeurs normalisées sont identiques à celle du titre 2 dans le
transparent précédent
◼ Le calcul du coefficient de corrélation est identique
◼ 𝝆𝟏𝟐 = Τ𝟏 𝟒 × 𝟏 × 𝟏 + Τ𝟏 𝟒 × −𝟏 × −𝟏 + Τ𝟏 𝟒 ×−𝟏 × −𝟏 + Τ𝟏 𝟒 × 𝟏 × 𝟏 = +𝟏
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La théorie du portefeuille : coefficient de
corrélation linéaire
◼ Illustrations numériques 𝝆𝟏𝟐 = 𝑬𝑹𝟏−𝑬𝟏
𝝈𝟏×
𝑹𝟐−𝑬𝟐
𝝈𝟐
◼ Rentabilités du titre 𝟏 les 4 dernier jours :
◼ +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%
◼ Les rentabilités du titre 𝟐 sont maintenant égales à :
◼ −𝟏%,+𝟏%,+𝟏%,−𝟏%
◼ On sait que 𝑬𝟐 = 𝟎%, 𝝈𝟐 = 𝟏%
◼ Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction
sont : 𝑹𝟐−𝑬𝟐
𝝈𝟐= 𝑹𝟐 = −𝑹𝟏= −𝟏%,+𝟏%,+𝟏%,−𝟏%
◼ Le calcul du coefficient de corrélation donne :
◼ 𝝆𝟏𝟐 = Τ𝟏 𝟒 × 𝟏 × −𝟏 + Τ𝟏 𝟒 × −𝟏 × 𝟏 + Τ𝟏 𝟒 ×−𝟏 × 𝟏 + Τ𝟏 𝟒 × 𝟏 × −𝟏 = −𝟏
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La théorie du portefeuille : coefficient de
corrélation linéaire
◼ Illustrations numériques 𝝆𝟏𝟐 = 𝑬𝑹𝟏−𝑬𝟏
𝝈𝟏×
𝑹𝟐−𝑬𝟐
𝝈𝟐
◼ Rentabilités du titre 𝟏 les 4 dernier jours :
◼ +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%
◼ Les rentabilités du titre 𝟐 sont maintenant égales à :
◼ +𝟏%,−𝟏%,+𝟏%,−𝟏%
◼ On vérifie que 𝑬𝟐 = 𝟎%, 𝝈𝟐 = 𝟏%
◼ Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction
sont : 𝑹𝟐−𝑬𝟐
𝝈𝟐= 𝑹𝟐 = +𝟏%,−𝟏%,+𝟏%,−𝟏%
◼ Le calcul du coefficient de corrélation donne
◼ 𝝆𝟏𝟐 = Τ𝟏 𝟒 × 𝟏 × 𝟏 + Τ𝟏 𝟒 × −𝟏 × −𝟏 + Τ𝟏 𝟒 ×−𝟏 × 𝟏 + Τ𝟏 𝟒 × 𝟏 × −𝟏 = 𝟎
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La théorie du portefeuille : coefficient de
corrélation linéaire
◼ Dernier exemple
◼ Rentabilités du titre 𝟏 les 6 dernier jours :
◼ +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%, −𝟏%,+𝟏%
◼ Les rentabilités du titre 𝟐 sont maintenant égales à :
◼ +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%,+𝟏%
◼ On vérifie que 𝑬𝟐 = 𝑬𝟏 = 𝟎%, 𝝈𝟐 = 𝝈𝟏 = 𝟏%
◼ Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction sont : 𝑹𝟐−𝑬𝟐
𝝈𝟐= 𝑹𝟐 = +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%, +𝟏%
◼ Le calcul du coefficient de corrélation donne
◼ 𝝆𝟏𝟐 = Τ𝟏 𝟔 × 𝟏 × 𝟏 + Τ𝟏 𝟔 × −𝟏 ×−𝟏 + Τ𝟏 𝟔 × −𝟏 × −𝟏 +Τ𝟏 𝟔 × 𝟏 × −𝟏 + Τ𝟏 𝟔 × −𝟏 × 𝟏 + Τ𝟏 𝟔 × 𝟏 × 𝟏 = 𝟎, 𝟑𝟑
◼ Ici, les rentabilités des titres 1 et 2 sont identiques 4 jours sur
6, et opposées les deux autres jours.
19
On peut obtenir différentes valeurs du coefficient de
corrélation 𝝆𝟏𝟐 alors même que
𝑬𝟏, 𝑬𝟐, 𝝈𝟐, 𝝈𝟐 sont identiques
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Théorie du portefeuille : diversification,
illustration numérique
◼ Reprenons un de nos exemples précédents avec deux titres
◼ Rentabilités du titre 𝟏 les 4 dernier jours égales à :
◼ +𝟏%,−𝟏%,−𝟏%,+𝟏%, 𝑬𝟏 = 𝟎%, 𝝈𝟏 = 𝟏%
◼ Rentabilités du titre 𝟐 les 4 dernier jours égales à :
◼ +𝟏%,−𝟏%,+𝟏%,−𝟏%, 𝑬𝟐 = 𝟎%, 𝝈𝟐 = 𝟏%
◼ Considérons un portefeuille équipondéré 𝑿𝟏 = 𝑿𝟐 = 𝟎, 𝟓◼ Les rentabilités sont données par 𝑿𝟏𝑹𝟏 + 𝑿𝟐𝑹𝟐◼ +𝟏%,−𝟏%,𝟎%, 𝟎%
◼ L’espérance de rentabilité est 𝑿𝟏𝑬𝟏 + 𝑿𝟐𝑬𝟐 = 𝟎%
◼ La variance du taux de rentabilité est égale à Τ𝟏 𝟒 × 𝟏𝟐+
Τ𝟏 𝟒 × −𝟏𝟐+ Τ𝟏 𝟒 × 𝟎𝟐 + Τ𝟏 𝟒 × 𝟎𝟐 = Τ𝟏 𝟐
◼ L’écart-type est égal à Τ𝟏 𝟐 ≈ 𝟎, 𝟕𝟏%
◼ Diminution du risque sans diminution de l’espérance de rentabilité
◼ Cette diminution du risque n’est effective que les 2 dernières journées
20
𝝆𝟏𝟐 = 𝟎
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coefficient de corrélation
linéaire
◼ Prix non synchrones : perturbations dans les calculs
◼ Ajustements statistiques à prévoir pour estimations non biaisées
21
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22
𝝈𝑷 = 𝑿𝟏𝟐𝝈𝟏
𝟐 + 𝟐𝑿𝟏𝑿𝟐𝝆𝟏𝟐𝝈𝟏𝝈𝟐 + 𝑿𝟐𝟐𝝈𝟐
𝟐
Ecart-type de la rentabilité d’un portefeuille composé de deux actifs
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Ensembles des portefeuilles composés des
titres 1 et 2 (différents niveaux de corrélation)
◼ Impact du coefficient de corrélation sur le niveau de
risque d’un portefeuille
◼ Exemple :
◼ 𝜎1 = 25%, 𝜎2 = 15%,
◼ 𝑋1 = 50%, 𝑋2 = 1 − 𝑋1 = 50%
◼ 𝝈𝑷𝟐 = 𝑿𝟏
𝟐𝝈𝟏𝟐 + 𝟐𝝆𝟏,𝟐𝑿𝟏𝑿𝟐𝝈𝟏𝝈𝟐 + 𝑿𝟐
𝟐𝝈𝟐𝟐
◼ 𝑬𝑷 = 𝑿𝟏𝑬𝟏 + 𝑿𝟐𝑬𝟐23
𝝆𝟏,𝟐 -100% -50% 0% 50% 100%
𝝈𝑷 5% 11% 15% 18% 20%
𝑬𝑷 15% 15% 15% 15% 15%
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Corrélation entre le S&P500 et les ADR DB
24
Fin septembre 2015 – Fin septembre 2016, calculée sur 50 jours glissants
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Correlation between stocks and oil
25
http://www.bloomberg.com/news/videos/2016-01-25/inside-the-correlation-between-oil-and-equities
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Correlation between stocks and oil
26
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MIT Open Course
27
https://www.youtube.com/watch?v=8TJQhQ2GZ0Y (lecture en streaming dans youtube permet d’afficher les sous-titres)
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Le concept de diversification
◼ Actions Michelin (1), Carrefour (2)
◼ Coefficient de corrélation :
◼ 𝜎𝑃, le risque d’un portefeuille
équipondéré n’est que de 𝟑𝟎%
28
1 235%, 42% = =
120,32 =
1 250%X X= =
30%P
=
P
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Réduction du risque avec le nombre de titres
dans le portefeuille
◼ Variance du portefeuille
◼ 𝝈𝑷𝟐 décroit avec le nombre
de titres 𝑰◼ 𝝈𝟐 variance d’un titre,
◼ 𝝆 : coefficient de
corrélation
◼ Risque incompressible 𝝆𝝈𝟐
29
22 2 1
1P
I I
= + −
𝝆𝝈𝟐: risque incompressible
Prisque pouvant être éliminé
par la diversification
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Réduction du risque avec le nombre de titres
dans le portefeuille
30
Réduction rapide du risque en fonction du
nombre de titres
Avec 20 titres, 98% du risque
diversifiable est éliminé
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Démonstration du résultat précédent
◼ Rappel
◼ Titres symétriques
◼ Portefeuille équipondéré 𝑿𝟏 = 𝑿𝟐 = ⋯ = 𝑿𝑰
◼ Comme σ𝒊=𝟏𝑰 𝑿𝒊 = 𝟏, 𝑿𝒊 = Τ𝟏 𝑰 , 𝒊 = 𝟏,… , 𝑰
31
2 2 2
1 1 1,
I I I
P i i ij i j i j
i i j j i
X X X = = =
= +
I: Nombre de titres
, 1, ,i
i I = =, , 1, ,ij
i j n = =
2 2 22 2
2 21 1 1,
1
( 1)
11 1 1
I I I
P
i i j j i
I I
I I
I I I I
= = =
= = −
= −
= + = + −
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32
Théorie du portefeuille : diversification
◼ Risques non « diversifiables » ?
◼ Le tableau ci-contre montre
qu’une « mauvaise année »
◼ Comme 2008
◼ Les performances des actifs
risqués peuvent être fortement
négatives
◼ Uniformément négative
◼ Par taille
◼ Par zone géographique
◼ Par secteur d’activité
◼ Ceci ne remet pas en cause le
principe de diversification
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Théorie du portefeuille : diversification
◼ En période de crise financière, les corrélations tendent à
être plus élevées
◼ 120 plus grandes entreprises européennes
◼ Corrélations en 2008 et en 2013
33
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34
Théorie du portefeuille : diversification
◼ Risques non diversifiables ?
◼ Facteurs économiques communs
◼ Sources de risque affectant simultanément tous les secteurs de l’économie
◼ Contagion
◼ Propagation d’une difficulté locale à l’ensemble de l’économie
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Théorie du portefeuille : diversification
◼ La diversification des portefeuilles
permet de réduire le risque
◼ Sans diminution de l’espérance de
rentabilité
◼ Elle a des limites : risque
incompressible
◼ La tendance à la diversification
internationale et l’interconnexion
des économies rendent les krachs
financiers globaux
35
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Risques et diversification des risques
◼ Capital Humain = VAN des revenus futurs issus de
l’activité professionnelle
◼ Le principal actif, aucune diversification
◼ Peut être très risqué (entrepreneurs, professions libérales,
banquiers d’affaires, artistes, sportifs)
◼ Résidence principale
◼ À nouveau beaucoup de risque, d’autant plus que le
financement par endettement est élevé
◼ Concentration du risque
◼ Pourquoi ?
◼ Tolérance au risque, biais d’optimisme, normes sociales
(effets de distinction).36
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Risques et diversification des risques
◼ Actifs financiers
◼ Les riches diversifient beaucoup mieux leur patrimoine
financier
◼ Ils ont aussi plus d’actifs financiers (en proportion de leur
patrimoine).
◼ Home bias : diversification internationale insuffisante
◼ Fiscalité ? Prescripteurs ? Peur de l’étranger ?
◼ Les seniors prennent plus de risques que les jeunes
◼ À richesse donnée
◼ Sachant que qu’il y a beaucoup plus de seniors riches que de
jeunes riches
◼ Contraire à la théorie ?
37
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Risques et diversification des risques
◼ Pour de nombreuses entreprises à l’actionnariat
diversifié, pas d’intérêt clair à diversifier les risques
◼ Les risques sont transmis aux actionnaires qui peuvent les
diversifier.
◼ Fin des conglémérats financiers (ITT)
◼ Même s’il existe des pratiques de couverture financière ou
d’assurance des risques industriels (transferts de risque)
◼ Sauf le cas d’entreprises patrimoniales ou familiales
◼ Quelques actionnaires importants
◼ On revient au cas des particuliers
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