Cours de Finance (M1)

Du hasard à la Bourse

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Reconnaître le hasard:On demande à deux étudiants de jouer à

pile ou face (H Heads T Tails)

Est-ce que les étudiantsont vraiment lancé des

pièces ?Comment savoir si l’un

des deux a triché ?

Du hasard à la Bourse

◼ La notion de hasard « pur »

◼ Issue des jeux de « hasard »

◼ Tirage de dés non pipés, roulette, jeu à pile ou

face

◼ Angle d’une aiguille lancée en l’air

◼ Souvent liée à une équirépartition des risques

◼ Probabilités uniformes

◼ Tirage à pile ou face

◼ Deux événements : pile et face

◼ Probabilité que la pièce tombe sur pile =1

2

◼ « Hasard pur » défini par opposition au

déterminisme

2

http://www.pourlascience.fr/ewb_pages/a/article-les-des-sont-pipes-23561.php

Le hasard pur est-il un pur

concept ?

◼ “I, at any rate, am convinced that He

does not throw dice.”

◼ Albert Einstein, 1926

3

A. Einstein (1921)

Niels Bohr

Einstein, stop telling God what to do!”

Niels Bohr

Du hasard à la Bourse

◼ Le numéro qui apparaît au moment du tirage d’un dé

(non pipé) est connu dès le lancer …

◼ Tout est gouverné par les équations de la mécanique

◼ Vitesse de lancer, angle, capacité d’absorption de l’énergie

cinétique de la surface

◼ Mais forte dépendance du tirage observé par rapport à

une faible variation des conditions initiales

◼ Dans des circonstances « normales », tout se passe

comme si l’on avait un tirage équiprobable

◼ Mais on peut s’en écarter fortement

◼ Voir le numéro du magazine Pour la Science, novembre 2009,

n°385

4

Du hasard à la Bourse

◼ La théorie du chaos étudie le comportement des

systèmes dynamiques très sensibles aux conditions

initiales, un phénomène généralement illustré par

l'effet papillon.

◼ Cela concerne même les systèmes purement déterministes

(Chaos déterministe)

◼ Ce déterminisme non-linéaire peut être approché par

du hasard pur

◼ Les ensembles limites (ou attracteurs) sont des états

de la nature aléatoires

◼ Exemple de l’équiprobabilité de la face sur laquelle

retombe le dé ou la pièce

5

Du hasard à la Bourse

◼ Effet papillon

◼ « Croyez-vous sincèrement que la ruade d'un cheval dans

la campagne française dérange le vol d'un papillon dans

les îles de la Sonde ? »

◼ Denis Diderot, Principes philosophiques sur la matière et le

mouvement, 1770

◼ « Le battement d'ailes d'un papillon au Brésil peut-il

provoquer une tornade au Texas ? »

◼ Edward Lorenz (1972)

◼ Et le corollaire qui nous rend les papillons sympathiques « Si le

battement d'ailes d'un papillon peut déclencher une tornade, il

peut aussi l'empêcher… »

◼ Les équations de la mécanique des fluides sont hautement non-

linéaires (turbulences)

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Du hasard à la Bourse

◼ L’expression des gènes issue des interactions

avec l’environnement (épigénétique) est

déterministe

◼ Mais si complexe, qu’une modélisation aléatoire est

adaptée

◼ Expression Stochastique des Gènes (ESG)

◼ « Il est maintenant clairement démontré que le

hasard se niche au cœur des organismes, dans le

fonctionnement des gènes et des cellules »

◼ Le Hasard au Coeur de la Cellule, 2011

◼ Voir aussi

https://www.pourlascience.fr/sd/genetique/du-

hasard-dans-lexpression-des-genes-1034.php

7

Du hasard à la Bourse

◼ Les générateurs de nombres (pseudo)-aléatoires

◼ Alea (Excel) permet de simuler une valeur entre 0 et 1 selon une

loi uniforme

◼ Qualité discutable, ce qui peut poser de graves problèmes

pratiques (prédiction via machine learning)

◼ Sont des algorithmes déterministes

◼ Un générateur de nombres pseudo-aléatoires est un algorithme

qui génère une séquence de nombres

◼ À partir d’une racine donnée, on peut parfaitement déterminer

la suite de nombres « pseudo-aléatoires »

◼ « vu de loin », ces séquences déterministes sont assez similaires

à de « véritables » suites de nombres aléatoires.

8

9

« Quiconque considère des méthodes arithmétiques pourproduire des nombres aléatoires est, bien sûr, en train decommettre un péché » (Joseph Von Neumann)

« La génération de nombres aléatoires est trop importante pour être confiée au hasard »

Joseph Von Neumann

Clifford Pickover

Du hasard à la Bourse

◼ Le non-déterminisme des cours boursiers

(futurs) est un élément important de la

théorie financière moderne

◼ Par opposition au « démon (ou au génie) de

Laplace »

◼ «Une intelligence … Rien ne serait incertain

pour elle, et l'avenir, comme le passé, serait

présent à ses yeux. »

◼ Pierre-Simon de Laplace, 1814

◼ Mais pour Laplace, cette certitude nous est

inaccessible et seul un résultat probable peut

être proposé

10

Du hasard à la Bourse

◼ Citation de Laplace

◼ Mais l'ignorance des différentes causes à l'origine des

événements et leurs complexités nous empêchent d'atteindre la

même certitude dans la plupart des phénomènes.

◼ Ainsi il y a des choses qui sont incertaines pour nous, des

choses qui sont plus ou moins probables, et nous cherchons à

compenser notre impossibilité de les connaître en déterminant

leurs différents degrés de vraisemblance.

◼ C'est ainsi que nous devons à la faiblesse de l'esprit humain

l'une des plus délicates et des plus ingénieuses théories

mathématiques, les probabilités.

◼ Essai philosophique sur les probabilités, 1814

◼ https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96200351/f9.image.texteI

mage11

Du hasard à la Bourse

◼ Les exemples précédents relèvent d’un pseudo hasard ou

hasard épistémique (relatif à la connaissance), lié à une

ignorance ou une incapacité pratique à prévoir le futur.

◼ La mécanique quantique donne au hasard pur (ou

ontologique) une position centrale.

◼ C’est le concept même de déterminisme dans la

représentation du monde qui est remis en question

◼ Quand un effet survient par pur hasard, il n’a pas de cause

◼ Un objet quantique n'a pas de localisation tant que la

position n'est pas mesurée

◼ Principe d’incertitude d’Heisenberg (ou d’indétermination)

◼ Un prix d’actif financier n’est pas connu tant qu’il n’y a pas

de transaction (committed quote ?)12

Du hasard à la Bourse

◼ Si on n’est pas capable de prévoir un phénomène

aussi simple que le résultat d’un lancer de dé

◼ Alors que l’on connait les causes

◼ Vitesse de lancer, angle, nature de la surface

◼ Et les relations entre les causes et les effets

◼ Les équations de la mécanique

◼ Il est peu crédible de prétendre prédire l’évolution du

cours de l’euro par rapport au dollar

◼ Les causes sont beaucoup plus nombreuses

◼ Certaines mal identifiées a priori, mal hiérarchisées

◼ Les mécanismes entre causes et conséquences sont

complexes et controversées

13

Du hasard à la Bourse

◼ Considérons les dynamiques financières complexes comme

le fruit du hasard

◼ Est-on pour autant revenu au niveau zéro de la connaissance ?

◼ Non, car la connaissance est celle de la loi de probabilité qui

« gouverne » l’apparition du phénomène.

◼ Par exemple, la probabilité de tirer 421 est de …

◼ C’est une « certaine » connaissance

◼ C’est ce à quoi prétend la finance moderne

◼ On a déplacé le champ de la connaissance

◼ Dans ce contexte, il est possible de prendre des décisions

intelligentes en matière de choix d’investissement14

Du hasard à la

Bourse

◼ Quelles lois de probabilité pour les rentabilités ?

◼ Loi « normale » ou gaussienne très souvent utilisée

◼ Courbe « en cloche »

◼ Dépendant de deux paramètres (moyenne et écart-type)

◼ Souvent critiquée…

◼ Sous-estimation de l’occurrence de krachs boursiers

◼ Il faut prendre en compte les fluctuations de la volatilité

15

Du hasard à la Bourse

◼ Markovitz est à l’origine d’un saut qualitatif

◼ Modélisation probabiliste des rentabilités boursières

◼ Les rentabilités sont des variables aléatoires

◼ On peut calculer leur espérance

◼ Leur écart-type

◼ Le coefficient de corrélation entre deux rentabilités

◼ Les choix de portefeuille deviennent un problème

d’ingénieur financier

16

Du hasard à la Bourse

◼ Comment déterminer l’espérance de la rentabilité

◼ À partir d’observations historiques

◼ Moyenne des rentabilités passées sur une longue période

◼ Converge vers la rentabilité attendue (espérée)

◼ Répétition d’expériences ?

◼ Pour un jeu de dés, grand nombre de lancers

◼ fréquence d’apparition d’un nombre donné, disons 3

◼ Nombre d’apparitions du nombre 3 rapporté au nombre de

tirages

◼ Fréquence : approximation de la probabilité

◼ Approche fréquentiste

◼ Peu applicable à la Bourse17

Du hasard à la Bourse

◼ Différence entre jeu de dés et

évolution des cours boursiers ?

◼ Pour le jeu de dés, on connaît a priori

la loi de probabilité d’apparition des

numéros

◼ De par la nature même du jeu

◼ Probabilité uniforme

◼ On ne connaît pas a priori les lois de

probabilité des rentabilités boursières

18

Du hasard à la Bourse

◼ Distinction entre risque et incertain

◼ Frank Knight

◼ Risque : calculable (utilisation des probabilités)

◼ Incertain : non calculable

◼ Limites cognitives, rationalité limitée

◼ We also know there are known unknowns; that is to say we

know there are some things we do not know. But there are

also unknown unknowns - the ones we don't know we don't

know.

◼ D. Rumsfeld à propos de la politique américaine en Irak

◼ en.wikipedia.org/wiki/There_are_known_knowns

19

F. Knight

Du hasard à la Bourse

◼ Connaissance ou pas des lois de probabilité◼ http://fr.reuters.com/article/frEuroRpt/idFRL6N0Q415T20140729?pageNumber=2&virtualBrandChannel=0

◼ Annonce des résultats trimestriels 2014 de Deutsche Bank

◼ "Il y a une incertitude de taille sur le calendrier et sur

l'ampleur de l'impact potentiel. Par conséquent, le coût réel

des frais de justice sur le bilan de l'exercice 2014 est

imprévisible" a toutefois prévenu la banque.

◼ Ici, la banque se refuse à communiquer une valeur

moyenne ou un intervalle de confiance des coûts juridiques

◼ Peu d’éléments de comparaison, grande variabilité des

sanctions, durcissement ou pas de la politique judiciaire aux

États-Unis

20

Bias cognitifs : comment reconnaître

l’aléatoire ?

◼ Comme le montre D. Kahneman, l’appréhension

cognitive de l’aléatoire n’est pas naturelle et demande

un « effort » et une éducation de l’esprit◼ Recherche de causalités a posteriori donnant l’illusion de liens de

cause à effet (narrative fallacy)

◼ Le « système 1 » du cerveau humain est une « machine

interprétative » (jumping to conclusions)

◼ Exemples de biais cognitifs courants◼ On suppose que les rentabilités boursières suivent une marche

aléatoire

◼ À la date courante, le « hit » prend la valeur 1 si la rentabilité est

positive, 0 sinon.

◼ Une chronique boursière va alors induire une suite de valeurs 101101

21

Bias cognitifs : comment reconnaître

l’aléatoire ?

◼ Si l’hypothèse de marche aléatoire est vérifiée, alors les valeurs

successives de 0 ou de 1 sont indépendantes et la probabilité

d’obtenir la valeur 0 ou 1 est ½

◼ Comme dans un jeu de pile ou face

◼ Considérons maintenant les suites de valeurs suivantes

◼ 11111111 (le marché boursier est haussier à toutes les dates)

◼ 10101010 (les hausses compensent les baisses afin qu’il y ait autant de

hausses que de baisses)

◼ 11110000 (le marché suit d’abord une tendance haussière régulière et se

retourne)

◼ 10110011 (le marché évolue de manière erratique avec une tendance à la

hausse).

◼ Quelles sont les évolutions qui vous semblent typiques d’une

marché aléatoire et celles qui ne le sont pas? Quelles sont les

évolutions les plus probables, les moins probables ?

22

Bias cognitifs : comment reconnaître

l’aléatoire ?

◼ L’exemple précédent illustre les problématiques associées au

big data et au data mining en matière financière

◼ Autre exemple du même type

◼ Graphique de gauche : distribution équirépartie « uniforme » totalement

non aléatoire

◼ Graphique de droite : distribution tirée d’une loi de probabilité uniforme

23

Bias cognitifs : comment

reconnaître l’aléatoire ?

◼ Londres au moment de la 2ième guerre

mondiale: Répartition des impacts des V1

◼ On remarque que les régions Nord-Est est

Sud-Ouest sont épargnées

◼ On a supposé que les Allemands évitaient

de bombarder ces zones pour protéger leurs

espions

24

Bias cognitifs : comment reconnaître

l’aléatoire ?

◼ Reprenons notre graphique et divisons le en 4 parties égales séparées par

les diagonales

◼ Les impacts sont maintenant régulièrement répartis …

◼ How We Know What Isn't So: The Fallibility of Human Reason in

Everyday Life, T. Gilovitch, http://bias123.com/clustering_illusion

◼ Un test statistique formel (Clarke, 1946) ne permet pas de rejeter

l’hypothèse d’une distribution uniforme

◼ http://jumpthecurve.net/change/unlearning-lesson-26-stop-looking-for-patterns/

◼ http://www.squawkpoint.com/2013/01/patterns-in-data/25

Finance comportementale

Illusions statistiques

◼ Les graphiques précédents ont une

implication pratique pour la gestion

financière…

◼ En abscisses, la rentabilité en 𝑡 − 1, en

ordonnées la rentabilité en 𝑡

◼ Les points de coordonnées (𝑅𝑡−1,𝑡 , 𝑅𝑡,𝑡+1)

étant situés en haut à gauche (deuxième

quadrant) et en bas à gauche (quatrième

quadrant)

◼ Ou encore plutôt le long de la seconde

bissectrice

◼ Il s’agit d’un « claire indication » en faveur

d’une stratégie « contrarian »26

𝑹𝒕,𝒕+𝟏

𝑹𝒕−𝟏,𝒕

Buy to the sound ofcannons, sell to thesound of trumpetsNathan Rothschild 1810

Bias cognitifs : comment

reconnaître l’aléatoire ?

◼ « Contrarian vs momentum»

27

Warren Buffet

Les stratégies momentum parient sur l’extrapolationde tendances, les stratégies contrarian sur un retourà la moyenne. Dans un cas comme dans l’autre, onne croit à l’hypothèse de marchés efficients

Biais cognitifs

◼ Des biais cognitifs ont été mis en évidence

par les psychologues et les économistes

◼ Finance comportementale

◼ D. Kahneman étudie les mécanismes

cognitifs et les constructions déformées du

passé et de l’avenir

◼ Biais de reconstruction, biais d’optimisme

◼ Examine la prise de décision financière en

faisant le lien entre psychologie,

microéconomie et développement du

capitalisme

◼ Part III Overconfidence

◼ Part IV Choices28

Bias cognitifs : comment

reconnaître l’aléatoire ?

◼ Les deux systèmes cognitifs

◼ Système automatique ou système 1

◼ Intuitif, instinctif

◼ Système réflectif ou système 2

◼ Rationnel

29

Système automatique Système réflectif

Non contrôlé Contrôlé

Sans effort Exige des efforts

Associatif Déductif

Rapide Lent

Inconscient Conscient

Exprime un talent Applique des règles

Bias cognitifs : comment

reconnaître l’aléatoire ?

◼ Les deux systèmes cognitifs à l’oeuvre

◼ Deux tables (R. N. Shepard (1990), Mind

Sights)

30

Bias cognitifs : comment reconnaître

l’aléatoire ?

◼ Le système 1 nous indique que la table de gauche est plus

longue et étroite que celle de droite

◼ Une estimation moyenne est que

◼ La table de gauche est trois fois plus longue que large

◼ Celle de droite est une fois et demi plus longue que large

◼ En fait, les dimensions des deux tables sont identiques

◼ Biais visuel

◼ Il ne suffit pas de voir pour croire …

◼ Il s’agit d’une erreur de jugement

◼ Celui qui la commet est pourtant persuadé qu’il a raison

◼ Dès des raisonnements statistiques et de prise de risque sont

en jeu, ce type de biais est fréquent

31

Bias cognitifs : comment reconnaître

l’aléatoire ?

◼ Deux tables (R. N. Shepard (1990), Mind Sights)

32

Parce que tu m’as vu, tu as cru. Heureux ceux qui n’ont

pas vu, et qui ont cru !Jean 20, 29

L’incrédulité de Saint Thomas

◼ Évolution de la richesse en jouant à pile ou face

(gain de +/- un euro) : marche aléatoire

◼ le tracé met en évidence des tendances

◼ A posteriori, peuvent être aussi bien haussières que baissières

◼ L’absence de tendance est l’exception, plutôt que la règle

◼ En outre, les évolutions purement aléatoires

présentent des aspects cycliques …

Battre le marché ?

33

Sans être un statisticien, Fama a posé des questions importantes quant à la dynamique des prix des actifs financiers.

La notion d’efficience faible des marchés est associée à celle de marche aléatoire.

Ces différents concepts financiers ou statistiques ont été précisés par la suite

◼ Le graphique de gauche montre l’évolution de la richesse en

jouant à pile ou face (gain de +/- un euro) : marche aléatoire

◼ Le graphique de droite représente l’évolution de la richesse

d’un actionnaire américain entre 2007 et 2013

◼ On aimerait bien dire que le marché devrait bientôt se retourner

◼ Alors que sous l’hypothèse de marche aléatoire, il peut aussi bien

continuer à monter que rebaisser

Battre le marché ?

34

Bias cognitifs : comment

reconnaître l’aléatoire ?

◼ To the untrained eye, randomness appears as

regularity or tendency to cluster◼ William Feller

◼ Les statisticiens Dickey et Fuller se sont intéressés

aux marches aléatoires

◼ 𝑃𝑡+1 − 𝑃𝑡 = 𝑎0 + 𝛿𝑃𝑡 + 휀𝑡, 휀𝑡 ∼ 𝑖𝑖𝑑 0, 𝜎2

◼ 𝑎0 = 0, 𝛿 = 0 correspond à l’absence de

tendance et de force de rappel (marche aléatoire)

◼ Pour une volatilité annuelle de 25%, on a en

moyenne une augmentation de 20% pour un

marché haussier

◼ Et une diminution de 20% si le marché baisse…

35

Dickey

Feller

Fuller

Probabilités objectives ou

subjectives ?

◼ Une autre vision des probabilités

◼ Degré de croyance dans la survenance d’un événement ou dans

la plausibilité d’une hypothèse

◼ Souvent un événement de nature unique

◼ Ne se prêtant donc pas à une répétition d’expériences

◼ Opinion personnelle dires d’expert, Opinion collective

◼ Probabilité que B. Obama soit réélu

◼ Selon vous-même, d’après les sondages, les bookmakers, …

◼ Certains auteurs comme Ramsey (1931) ou Savage (1954)

insistent sur la notion de « probabilité subjective »

◼ Ces degrés de croyance peuvent être réévalués en fonction des

interactions avec d’autres agents ou de nouvelles informations

◼ Ceci peut donner un caractère rationnel à ces « croyances »,

Keynes (1921)36

L. Savage

Probabilités subjectives ou

objectives ?

◼ En finance, on retrouve cette dualité d’approches

◼ Approche classique, objective, fréquentiste des probabilités

appliquées aux rentabilités boursières

◼ Les principaux éléments de décision (espérance et écart-types des

rentabilités, …) peuvent alors être déterminés par des méthodes

statistiques standard

◼ Ces quantités sont supposées stables au cours du temps

◼ Approches privilégiant l’analyse des croyances subjectives

sur le futur telles que reflétées dans les prix de marché

◼ Ou en fonction des opinions d’expert

◼ Certains acteurs de marché peuvent considérer que de telles

probabilités « prospectives » peuvent être déterminées

◼ D’autres qu’elles sont indicatives avec un degré de confiance variable

◼ Les acteurs de marché ne pensent pas qu’on « joue » à un jeu dont les

règles seraient fixes37

Finance comportementale

◼ Approches normatives et positives◼ Espérance d’utilité de la valeur du

portefeuille◼ Von Neumann et Morgenstern (1944)

◼ Distorsion des probabilités◼ Approche duale de Yaari (1987)

◼ Théorie des perspectives◼ Kahneman et Tverski (1979)

◼ Préférences moyenne-variance◼ Cadre d’analyse le plus classique et le plus simple

pour analyser les choix de portefeuille

◼ Utilisé dans un cadre professionnel

◼ Résultats intuitifs : diversification

◼ Cohérence avec le modèle d’évaluation des actifs

financiers (MEDAF)

◼ Finance comportementale38

Théorie des perspectives

◼ Mise en perspective de la théorie

de l’utilité espérée

◼ Von Neumann et Morgenstern

◼ Principal outil de la théorie

microéconomique

◼ Et de ses limites en matière de

gestion des risques

◼ Aversion aux pertes

◼ Cadrage en gros plan

◼ Concepts très utiles pour tout

décideur financier

39

Finance, probabilités, statistiques et leur

bon usage

◼ Quelques références complémentaires sur les problèmes

méthodologiques

◼ A Statistical Guide for the Ethically Perplexed

◼ L. Hubert & H. Wainer

◼ http://www.crcpress.com/product/isbn/9781439873687

◼ Le livre ne concerne pas particulièrement la finance, mais on retrouve

les mêmes problèmes méthodologiques dans d’autres domaines où les

données sont importantes pour la prise de décision

◼ 4.3 : paris et le « spread betting », 5 : corrélation et 6 : prévision

◼ http://www.youtube.com/watch?v=6c1WDlTXceM (pour une

présentation par un des auteurs

◼ Transparents sont en accès libre, mais moins en rapport avec le cours

◼ Ce que mesurent les probabilités

◼ M. Cozic & B. Walliser

◼ http://www.centre-cournot.org/?wpfb_dl=114

◼ Ontologique/objectif/irréductible/fréquentiste vs

épistémique/subjectif/radical/révélation

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