CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

A ideia de número positivo e número negativo

Nossa sociedade é repleta de números. Em nosso dia a dia está envolvido muitos número tanto positivos, que já conhecemos e também, números negativos que vamos conhecer agora. Alguns exemplos são clássicos como o de temperatura. Ex: “Hoje a temperatura mínima será de 3 graus Celsius negativos ou -3 ºC”Temos também exemplo de saldo de gols negativo, dados de extratos bancários entre outros exemplos.

O conjunto dos números inteiros

ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} ou = {0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, ...}ℕ

Observe agora o conjunto dos números inteiros negativos:

{..., ‒6, ‒5, ‒4, ‒3, ‒2, ‒1}

Reunindo os números naturais ( ) com os números inteiros negativos,ℕobtemos o conjunto dos números inteiros, que é representado assim:

ℤ = {..., ‒6, ‒5, ‒4, ‒3, ‒2, ‒1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6 }

Nós já conhecemos do 6º ano o conjunto do números naturais

+ =

O conjunto dos números inteiros

• 1• 2• 3• 4

ℕ

•••

• ‒1• ‒2• ‒3• ‒4

•••

• ‒2• ‒1• 0• 1• 2

ℤ •••

•••

A representação dos números inteiros em uma reta

O conjunto dos números inteiros

0r‒ 1‒ 2‒3‒4‒5 +5+4+3+2+1... ...

A representação dos números inteiros em uma reta

O ponto D está no sentido positivo, a 4 unidades a direita de O: corresponde aonúmero inteiro 4 ou +4.

O ponto W está no sentido negativo, a 4 unidade a esquerda de O: corresponde aonúmero inteiro –4.

O conjunto dos números inteiros

0r

+5+4+3+2+1 +6 +7 +8 +9 +10 +11 +12 +13 +14‒10‒11‒ 12 ‒9 ‒8 ‒7 ‒6 ‒5 ‒4 ‒3 ‒2 ‒1

U X W Z O B D H

A distância do ponto A (representado por –2) à origem (O) é 2 unidades.

O número 2, que expressa a distância de A à origem, é chamado de valorabsoluto ou módulo do número inteiro –2. Indicamos assim: |–2| = 2.

módulo

Note que a distância do ponto B (representado por +2) à origem (O) também é 2 unidades, ou seja, o valor absoluto ou o módulo de +2 também é 2. Simbolicamente |+2| = 2.

O conjunto dos números inteiros

Módulo ou valor absoluto de um número inteiro

0‒1‒2‒3 +3+2+1

A O B

O conjunto dos números inteiros

Módulo ou valor absoluto de um número inteiro

O módulo de um número diferente de zero é sempre positivo.

|–3| = 3 |23| = 23

|–21| = 21 |–105| = 105

Números opostos ou simétricos

A O B

0‒1‒2‒3‒4 +4+3+2+1... ...

• O simétrico de +3 –(+3) = ‒3• O oposto de –4 –(‒4) = +4 ou 4

• ‒2 e +2 são números simétricos

Comparação de números inteiros

Comparar dois números significa dizer se o primeiro é maior do que (>),menor do que (<) ou igual (=) ao segundo número.

–3 < +3 4 = 4 5 > 4

Qualquer número negativo é menor que o número positivo.

O menor número entre dois números negativos é aquele tem o maior módulo.

–5 < +3 –10 < 1

–3 < - 2 –1 > –3

Adição de números inteiros

Somando inteiros positivos

Quando as duas parcelas são positivas, o resultado da adição é semprepositivo e o módulo do resultado é obtido somando os módulos das parcelas.

(+7) + (+4) = 7+ 4 = 11 ou +11

Somando inteiros negativos

Quando as duas parcelas são negativas, o resultado da adição é semprenegativo e seu módulo é obtido somando os módulos das parcelas.

(–4) + (–4) = –4 – 4 = – 8

(+5) + (+5) = +5 + 5 = +10

(–1) + (–1) = –1 – 1 = –2

Somando inteiros opostos

Quando as duas parcelas são dois números inteiros opostos ou simétricos, oresultado é zero.

(–6) + (+6) = –6 + 6 = 0 (–10) + (+10) = –10 + 10 = 0

Somando inteiros não opostos

Quando as parcelas têm sinais diferentes e não são números opostos, o sinal do resultado é o sinal do número que tem maior módulo. E o módulo do resultado é obtido subtraindo o módulo menor do módulo maior.

(–2) + (+5) = –2 + 5 = +3 (–9) + (+3) = –9 + 3 = –6

Adição de números inteiros

Propriedades da adição

Propriedade comutativaA ordem das parcelas não altera a soma.

(–3) + (+7) = +4(+7) + (–3) = +4

(–3) + (+7) = (+7) + (–3)

Propriedade associativa[(–7) + (+4)] + (+3) = [–3] + (+3) = 0

(–7) + [(+4) + (+3)] = (–7) + (+7) = 0[(–7) + (+4)] + (+3) = (–7) + [(+4) + (+3)]

Propriedade do elemento neutro (+5) + 0 = 0 + (+5) = +5 (–3) + 0 = 0 + (–3) = (–3) = –3

O zero é o elemento neutro da adição.

Propriedade do elemento oposto O oposto de –5 é +5, pois (–5) + (+5) = 0

Subtração de números inteiros

(–9) – (+2) = –9 – 2 = –11

o sinal de “menos” indica o oposto do +2, ou seja, –2.

O sinal de menos na frente do parênteses, colchetes ou chaves indica ooposto do número.

(–5) – (– 3) =

oposto de (–3), que é +3

–5 + 3 = –2

No conjunto dos números inteiros (ℤ), a subtração é sempre possível.

Adição algébrica e soma algébricaUma expressão numérica que contém somente as operações de adição e subtração representa uma adição algébrica.

15 – [18 – (–6 – 9)] =

= 15 – [18 – (–15)] =

= 15 – [18 + 15] =

= 15 – 33 =

= –18

Assim, –18 é a soma da expressão15 – [18 – (–6 – 9)].

10 + {–12 + [5 – (1 – 9)] – 7} =

= 10 + {–12 + [5 – (–8)] – 7} =

= 10 + {–12 + [5 + 8] – 7} =

= 10 + {–12 + 13 – 7} =

= 10 + {–6} =

= 10 – 6 =

= 4

Assim, 4 é a soma da expressão10 + {–12 + [5 – (1 – 9)] – 7}.

Multiplicação de números inteiros

Multiplicação de dois números inteiros positivos

(+3) . (+5) = 0 . (+8) = 0

3 . 5 = 15

(+10) . (+5) = +50

A multiplicação de dois números inteiros positivos dá como resultado um número inteiro positivo. Os módulos devem ser multiplicados.

Multiplicação de dois números inteiros com sinais diferentes(+5) . (– 3) = 5 . (– 3) = (– 3) + (– 3) + (– 3) + (– 3) + (– 3) = – 15

(– 7) . (+5) = – (+7) . (+5) = – (+35) = –35

O resultado da multiplicação (produto) de dois números inteiros de sinaisdiferentes é sempre negativo e seu módulo é o produto dos módulos dosdois fatores.

+15

Multiplicação de dois números negativos

(–5) . (–3) = – (+5) . (–3) =

(–5) = – (+5)

+15

O resultado da multiplicação de números com sinais diferentes é sempre um número negativo.

O resultado da multiplicação (produto) de dois números inteiros negativos é sempre positivo, e seu módulo é o produto dos módulos dos dois fatores.

(–5) . (–3) . (+2) = (+15) . (+2) = +30

(–5) . (–3) . (–2) = (+15) . (–2) = –30

Nos demais casos, contamos o número de fatores negativos: se esse número for par, o resultado será positivo; se esse número for ímpar, o resultado será negativo.

– (–15) =

Propriedades da multiplicação em ℤ

Propriedade comutativa(–2) . (+5) = –10

(+5) . (–2) = –10(–2) . (+5) = (+5) . (–2)

A ordem dos fatores não altera o produto.

Propriedade associativa[(–8) . (+9)] . (+3) = (–72) . (+3) = –216

(–8) . [(+9) . (+3)] = (–8) . (+27) = –216[(–8) . (+9)] . (+3) = (–8) . [(+9) . (+3)]

Propriedade do elemento neutro

(+6) . (+1) = (+1) . (+6) = +6 O número +1 é o elemento neutro da multiplicação.

Propriedade distributiva(+3) . [(+2) + (–5)] = (+3) . (+2) + (+3) . (–5) = +6 – 15 = –9

Divisão de números inteiros

A divisão é a operação inversa da multiplicação.

Se 3 . 5 = 15, então 15 : 5 = 3 e 15 : 3 = 5.

(+20) : (+5) = (+4)

(–30) : (–6) = (+5)

(+40) : (–5) = (–8)

sinais diferentes

Não existe divisão por zero.

Nem sempre é possível realizar a divisão em . Por exemplo, (–7) : (+2) ℤnão pode ser realizada em , pois o ℤquociente não é um número inteiro.

Potenciação: número inteiro na base e número natural no expoente

Base 0 e expoente diferente de 0

01 = 0 02 = 0 . 0 = 0

Base positiva(+8)1 = +8

(+2)3 = (+2) . (+2) . (+2) = +8

Base negativa(–5)1 = –5 (–6)2 = (–6) . (–6) = +36

Quando o expoente é ímpar, o sinal do resultado é negativo e seu módulo éobtido fazendo a potenciação do módulo da base. Quando o expoente é par, o sinal do resultado é positivo e seu módulo é obtido fazendo a potenciação do módulo da base.

Produto de potências de mesma base:

am . an = am + n

Quociente de potências de mesma base:

am : an = am – n, com a ≠ 0

Potência de uma potência:

(am)n = am . n

Propriedades da potenciação em ℤ

Potência de um produto ou de um quociente:

(a . b)n = an . bn = , (b ≠ 0)

Raiz quadrada exata de número inteiro

Raiz quadrada exata dos números inteiros positivos e do zero

A raiz quadrada de um número negativo é impossível em ℤ

Por exemplo:

Por exemplo:

= 3, pois 3 . 3 = 9, podemos escrever = +3, pois (+3)2 = +9.

é impossível em , pois não existe número inteiro que elevado ℤao quadrado dê +10.

é impossível em , pois não existe número inteiro que elevado ℤao quadrado dê –9.

Outras expressões numéricas com números inteiros

Exemplos:

(–3 + 9 – 1 – 7)2 =

= (–11 + 9)2 =

= (–2)2 =

= +4

= (+6) : (+2) + (+25) . (–4) =

= (+3) + (–100) =

= –97

(–2) . [(–3) – (–2)] =

= (–2) . [(–3) + (+2)] =

= (–2) . (–1) =

= +2

: (+2) + (–5)2 . (–4) =