congruencia de triángulos
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1.Concepto: dos triángulos son congruentes si sus lados respectivos y los ángulosopuestos a dichos lados son congruentes.
A
B
CP
Q
R
Entonces podemos afirmar:
Por lo tanto:
ABC PQR
AB PQ
AC PR
BC QR
m A m P
m B m Q
m C m R
2.CONDICINES SUFICIENTES PARA LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
CASO: ángulo – lado – ángulo ( A L A )
Son congruentes un lado y los ángulos adyacentes.
AC MN
m A m N
m C m M
CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS.
CASO: lado – ángulo – lado ( L A L )
Si son congruentes dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
A
B
S N
T
C
AB ST
AC SN
m A m S
CASO: lado – lado – lado ( L L L )
Si son congruentes los tres lados.
Problemas resueltos:
1.Hallar el valor de “x”
Desarrollo:
Estamos en caso LAL los triángulosSon congruentes
entonces a ángulos iguales se oponen Lados iguales.
X + 5 = 12
X = 7
2.En la figura encuentra el valor de «a»
Desarrollo:
Si observamos estamos en un caso, ALA. Lostriángulos son congruentes.
A ángulos iguales se oponen ladosiguales.
a = 12
3.En la figura, halla «a + b»
Desarrollo:
Se observa que hay dos ángulos congruentes y un Lado común entre ellos.
Caso: ALA.
A ángulos congruentelados iguales.
A + b
10 + 4 =14
4.En la figura AM = BCHalla : MBC
Desarrollo:
x
x73°
107°
107°
N
De la figura se observa que el triángulo ANM es congruente con el triánguloBMC.
Caso: LAL
Resolviendo en el triángulo BMC se tiene:
X = 39°
5.En la figura halla MB
Desarrollo:
45°
45m C
El triángulo ABC es isósceles.
Observando la figura ( ALA) :
AMB CRB
MB = 8
Conocimiento previo:
DISTANCIA ENTRE DE UN PUNTO( P ) A UNA RECTA .
L
P
d
Es la longitud ( d) de la perpendicularTrazada del punto ( P ) a la recta.
DISTANCIA DE UN PUNTO ( Q ) A UN SEGMENTO ( AB)
A B
Q
d
L
Es la longitud ( d ) de la perpendicular al segmento o a su prolongación.
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
La mediatriz es una recta ( L ) perpendicularque pasa por el punto medio del segmento( AB )
A B
L
APLICACIONES:
1.EN LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Cualquier punto de la bisectriz equidista de los lados del ángulo
A
B
P
Donde:
AP = PB
2.EN LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO.
A B
P
Cualquier punto de la mediatrizequidista de los extremos del segmento.
3.EN UN TRIÁNGULO ISÓSCELES
En todo triángulo isósceles la bisectriz del ángulo desigual es la altura, mediana y se encuentra contenida en la mediatriz.
M
BASE MEDIA
Es el segmento que une los puntos mediosde dos lados de un triángulo es paralelo ymide la mitad de su longitud y se lodenomina base media.
//MN AC2
ACMN
En un triángulo la base media genera4 triángulos congruentes.
Ejemplos:
1.En la figura ABCD es un cuadrado, BH = 3m y DF = 5m .Halla HF
Desarrollo:
3
5
5
3
Los triángulos rectángulos tienen igual hipotenusay ángulos agudos iguales. ( ALA )
AH = 5 + 3 = 8 m
2.En la figura halla «x» si HB = HC.
Desarrollo:
Por propiedad de la bisectriz de un ángulo se tiene que:
X = 20°
3. En la figura L es mediatriz y AB = MCHalla «x»
desarrollo
55°
Los triángulos AMH y MHC son congruentes ( mediatriz de un segmento)
55°
el triángulo ABM es isósceles.
X = 70°
H
A C
M
4.En un triángulo ABC se ubican P , Q y Mlos puntos medios de AB , BC y AC.Si PQ // AC Y 70m PMQ
Desarrollo:
A
B
CM
PQ
70°
Halla m PBQ
por propiedad de base media:
X = 70°