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Congruencia de triángulos. 1
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Dos figuras geométricas son congruentes si tienen el mismo tamaño y la misma forma. DEFINICIÓN: Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados respectivamente congruentes, lo mismo que sus ángulos.
Si ABC DEF , entonces:
; ;AB FD AC DE BC FE
; ; A D B F C E
Lados correspondientes son los que se oponen a ángulos congruentes y viceversa. Hay seis condiciones, que se pueden reducir a 3 mediante teoremas. Antes de demostrar los teoremas se da el siguiente postulado POSTULADO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. POSTULADO LADO – ANGULO – LADO (L – A – L) Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo que forman en uno, son respectivamente congruentes a los dos lados y el ángulo que forman en el otro.
Si
; ; AB DF BC FE B F
Entonces ABC DEF
DEFINICIÓN: Un corolario es una proposición que no necesita prueba particular, sino que se deduce fácilmente de lo demostrado antes. TEOREMA: (COROLARIO DEL POSTULADO ANTERIOR) Si dos triángulos rectángulos tienen sus catetos congruentes, entonces son congruentes.
;AB DE BC EF ABC DEF
Congruencia de triángulos. 2
TEOREMA En todo triangulo isósceles los ángulos de la base son congruentes
HIPÓTESIS: ABC es isósceles con CA CB
TESIS: CAB CBA
RAZÓN AFIRMACIÓN
1. En CA se toma un punto D y en CB se
toma un punto E, tal que CD CE 1. Postulado de construcción de segmentos
2. Trazamos DB y AE 2. Dos puntos determinan un segmento
3. CA CB 3. De hipótesis
4. CD CE 4. De 1. Construcción.
5. C C 5. Propiedad reflexiva
6. CAE CBD 6. L – A – L. De 3, 4, 5
7. CAE CBD 7. De 6. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes.
8. CD CE 8. De 1
9. CA + AD = CB + BE 9. De 8. Adición de segmentos 10. CA + AD = CA + BE 10. Sustitución de 3 en 9
11. AD BE 11. De 10. La ley cancelativa
12. ;CDB CEA DB AE 12. De 6. Partes correspondientes de triángulos congruentes
13. ABD EAB 13. De 11 y 12. L – A – L
14. EAB DBA 14. De 13. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes.
15. CAB CBA 15. De 14 y 7. Resta de ángulos. NOTA: Este teorema también se puede enunciar así: Si dos lados de un triángulo son congruentes entonces los ángulos opuestos a ellos son congruentes. COROLARIO: En un triángulo equilátero sus ángulos son congruentes, es decir es equiángulo.
HIPÓTESIS: ABC es un triángulo equilátero
TESIS: A B C
Congruencia de triángulos. 3
TEOREMA En todo triangulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base es mediana, altura y pertenece a la mediatriz de la base.
HIPÓTESIS: CD es la bisectriz de ACB
ABC es isósceles con CA CB A – D – B
TESIS: CD es mediana, altura y pertenece a la mediatriz.
1. CA CB 1. De hipótesis.
2. 1 2 2. De hipótesis. Definición de bisectriz.
3. CD CD 3. Propiedad reflexiva
4. CDA CDB 4. De 1, 2 y 3. Postulado L – A – L
5. AD DB 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.
6. D punto medio de AB 6. De 5. Definición de punto medio
7. CD es mediana 7. De 6. Definición de mediana
8. CDA CDB 8. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes.
9. m ( CDA) + m ( CDB) = 180º 9. De hipótesis A – D – B. Forman un par lineal
10. m ( CDA) + m ( CDA) = 180º 10. Sustitución de 8 en 9.
11. 2m ( CDA) = 180º, m ( CDA) = 90º 11. De 10. Propiedad de los Reales
12. CD AB 12. De 11. Definición de perpendicularidad
13. CD es altura 13. De 12. Definición de altura
14. CD es mediatriz 14. De 12 y 6. Definición de mediatriz.
NOTA: Se demuestra también que si en un triángulo, una altura es mediana o bisectriz entonces el triángulo es isósceles. Que es el RECIPROCO del teorema anterior. Demuéstrelo. TEOREMA DE CONGRUENCIA. ANGULO LADO ANGULO (A – L – A) Si dos triángulos tienen un lado congruente, adyacente a dos ángulos respectivamente congruentes, entonces los triángulos son congruentes.
HIPÓTESIS:
; ;A P AB PQ B Q
TESIS: ABC PQR
NOTA: Este teorema se demostrará cuando se vea el método indirecto de demostración.
Congruencia de triángulos. 4
TEOREMA DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. LADO-LADO-LADO (L – L – L) Si dos triángulos tienen sus tres lados respectivamente congruentes, entonces son congruentes.
HIPÓTESIS:
AB DE
AC DF
BC EF
TESIS: ABC DEF
1. En el semiplano de borde AB que no
contiene a C, se traza AP , tal que
y BAP D AP DF
1. Postulado de construcción de ángulos y segmentos.
2. Trazamos PB 2. Dos puntos determinan un segmento
3. AB DE 3. De hipótesis.
4. APB DEF 4. De 3 y 1. L – A – L
5. PB EF 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.
6. PB EF BC 6. De hipótesis y 5. Propiedad transitiva
7. PBC es isósceles 7. De 6 y definición de triangulo Isósceles
8. BCP BPC
8. De 7. En un triángulo isósceles a los lados congruentes se oponen ángulos congruentes.
9. AP DF AC 9. De hipótesis y de 1
10. CAP es isósceles 10. De 9. Definición de triangulo isósceles.
11. ACP APC 11. De 10. En un triángulo isósceles a los lados congruentes se oponen ángulos congruentes.
12. m ( ACB) = m( ACP) + m( BCP) 12. Adición de ángulos.
13. m ( APB) = m ( APC) + m ( BPC) 13. Adición de ángulos
14. m ( APB) = m( ACP) + m( BCP) 14. Sustitución de 8 y 11 en 13
15. m ( ACB) = m( APB) 15. De 12 y 14. Ley transitiva
16. ABC APB 16. De 15, 6, 9. L – A – L
17. ABC DEF 17. De 4 y 16. Propiedad transitiva
Congruencia de triángulos. 5
EJERCICIOS RESUELTOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Demostrar que en un triángulo isósceles las bisectrices de los ángulos de la base son
congruentes.
HIPÓTESIS: ABC es isósceles con AB AC
y CEBD son bisectrices
TESIS: CEBD
1. m ACB m ABC 1. De hipótesis. Los ángulos opuestos a los lados congruentes de un triángulo isósceles son congruentes.
2.
2
m ACBm DBC 2. De hipótesis. Definición de bisectriz
3.
2
m ABCm ECB 3. De hipótesis. Definición de bisectriz
4. m DBC m ECB 4. De 1, 2, 3. Por ser mitades de ángulos congruentes.
5. BC BC 5. Propiedad reflexiva.
6. ECB DBC 6. De 1, 4, 5. A – L – A
7. BD CE 7. De 6. Por ser lados correspondientes de triángulos congruentes.
Si AB y CD se bisecan en un punto K, demostrar que 1) 2)AC BD AD BC
HIPÓTESIS: K es punto medio de AB
K es punto medio de CD
TESIS: AC BD y AD BC
1. K es punto medio de AB 1. De hipótesis
2. AK KB 2. De 1. Definición de punto medio
3. K es punto medio de DC 3. De hipótesis.
4. CK KD 4. De 3. Definición de punto medio.
5. AKC DKB 5. Por ser opuestos por el vértice.
6. AKC DKB 6. De 5, 4, 2. Postulado L – A – L
7. AC BD 7. De 6. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.
NOTA: La segunda parte se demuestra de la misma manera.
Congruencia de triángulos. 6
HIPÓTESIS: ABC es equilátero.
AE BF CD
TESIS: EFD es equilátero.
1. A B C 1. De hipótesis. Un triángulo equilátero es equiángulo.
2. AE BF CD 2. De hipótesis.
3. AB = BC = CA 3. De hipótesis. Definición de triángulo equilátero.
4. AE+EB=BF+FC=CD+DA 4. De 3. Adición de segmentos 5. AE+EB=AE+FC=AE+DA 5. Sustitución de 2 en 4 6. EB = FC = DA 6. De 5. Ley cancelativa
7. AED EBF FCD 7. De 6, 2, 1. L – A – L
8. DE EF FD
8. De7. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.
9. DEF es equilátero. 9. De 8. Definición de triángulo equilátero
HIPÓTESIS: DE AE
;DE EC AE EB
D A
D – F – H – B; A – G – H – C
TESIS: 1)
2)
CEG BEF
CFH BGH
1. D A 1. De hipótesis.
2. DE AE 2. De hipótesis.
3. AEG = DEF 3. De hipótesis. Son ángulos rectos.
4. DEF EAG 4. De 1,2, 3, A – L – A
5. DFE EGA 5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes
Congruencia de triángulos. 7
6. EFH EGH 6. De 5. Por tener el mismo suplemento
7. FEG FEG 7. Propiedad reflexiva
8. EF EG 8. De 4. Lados correspondientes en triángulos congruentes
9. CEG BEF 9. De 6, 7, 8. A – L – A
10. C B 10. De 9. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes
11. HFC HGB 11. Tienen el mismo suplemento
12. EC EB 12. De 9. Lados correspondientes en triángulos congruentes
13. FC GB 13. De 12 y 8. Resta de segmentos
14. FHC BGH 14. De 10, 11, 13. A – L –A
HIPÓTESIS: AB EF
DB LF
AC y EH son medianas
AC EH
TESIS: LEF ABD
1. LF DB 1. De hipótesis.
2. AC y EH son medianas 2. De hipótesis
3. H y C son puntos medios 3. De 2. Definición de mediana
4. LH HF y DC CB 4. De 3. Definición de punto medio
5. ( )
( )2
m LFm HF y
( )( )
2
m DBm CB 5. De 4. Definición de punto medio.
6. HF CB 6. De 1 y 5. Propiedad transitiva
7. ;EH AC EF AB 7. De hipótesis
8. EHF ACB 8. De 6 y 7. L – L – L
9. F B 9. De 8. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes
10. ABD LEF 10. De 1, 7, 9. L – A – L
Congruencia de triángulos. 8
HIPÓTESIS: CA CB
DA DB C – E – D ; A – E – B
TESIS: AB CD
1. AC BC 1. De hipótesis.
2. ABC es isósceles. 2. De 1. Definición de triangulo isósceles.
3. 1 2 3. De 2. Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes
4. AD BD 4. De hipótesis.
5. ADB es isósceles. 5. De 4. Definición de triangulo isósceles.
6. 3 4 6. De 5. En un triángulo isósceles a los lados congruentes se oponen ángulos congruentes.
7. m ( CAD)=m ( 1)+m ( 3) 7. Adición de ángulos.
8. m ( CBD)=m ( 2)+m ( 4) 8. Adición de ángulos
9. m ( CBD)= m ( 1)+m ( 3) 9. Sustitución de 3 y 6 en 8 10. m ( CAD) = m ( CBD) 10. De 7 y 9. Propiedad transitiva.
11. CAD CBD 11. De 10 y de hipótesis. L – A – L
12. ACD DCB 12. De 11. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes.
13. CE es bisectriz 13. De 12. Definición de bisectriz
14. CE es altura 14. De 13 y 2. En un triángulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base es también altura.
15. CE AB 15. De 14. Definición de altura.
16. CD AB 16. De 15 y de hipótesis C – E – D
Congruencia de triángulos. 9
HIPÓTESIS: AB AF
AC AE A – B – C; A – F – E
TESIS: 1)BE CF
2)AD es bisectriz de CAE
1. AB AF 1. De hipótesis
2. A A 2. Propiedad reflexiva
3. AC AE 3. De hipótesis
4. ABE ACF 4. De 1, 2, 3. L – A – L
5. BE CF 5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes
6. BC AC AB 6. Resta de segmentos
7. FE AE AF 7. Resta de segmentos.
8. FE AC AB 8. Sustitución de 1 y 3 en 7.
9. BC FE 9. De 6 y 8. Propiedad transitiva.
10. ABE AFC 10. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes.
11. CBD es el
suplemento de ABE
11. De hipótesis. A – B – C. Definición de ángulos suplementarios
12. DFE es el
suplemento de AFC
12. De hipótesis. A – F – E. Definición de ángulos suplementarios
13. CBD DFE 13. De 10, 11 y 12. Por tener el mismo suplemento.
14. C E 14. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes.
15. BDC DFE 15. De 14, 9, 13. A – L – A
16. DB DF 16. De 15. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes
17. AD AD 17. Propiedad reflexiva.
18. BAD FAD 18. De1, 16, 17. L – L – L
19. BAD FAD 19. De 18. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes.
20. AD es bisectriz de
CAE
20. De 19. Definición de bisectriz.
Congruencia de triángulos. 10
PROPOSICIONES DE VERDADERO O FALSO
1. Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y el lado de uno, son respectivamente congruentes a dos ángulos y el lado del otro. ( )
2. Si los catetos de un triángulo rectángulo son congruentes a los catetos de otro triangulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes. ( )
3. Dos triángulos son congruentes si dos lados y un ángulo de uno son respectivamente congruentes a dos lados y un ángulo del otro. ( )
4. L – L – A siempre se cumple en la congruencia de triángulos. ( ) 5. Dos triángulos que tienen un lado congruente y las alturas trazadas a esos lados
congruentes, son congruentes. ( ) 6. Dos triángulos equiláteros son congruentes. ( ) 7. Dos triángulos equiláteros son congruentes si un lado de uno de ellos es congruente a un
lado del otro. ( ) 8. Dos triángulos son congruentes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes. ( ) 9. Si los lados congruentes de un triángulo isósceles son congruentes s los lados
congruentes de otro triangulo isósceles entonces los triangulo son congruentes. ( ) 10. La altura de un triángulo pasa por el punto medio del lado al cual fue trazada. ( ) 11. Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes congruentes, entonces sus ángulos
correspondientes son congruentes. ( ) 12. Si dos triángulos tienen sus ángulos correspondientes congruentes, entonces los lados
correspondientes son congruentes. ( ) 13. Ningún par de ángulos de un triángulo escaleno son congruentes. ( ) 14. Los lados de un triángulo son rectas. ( ) 15. Existe un triángulo RST en el cual el ángulo R sea congruente con el ángulo T. ( ) 16. El suplemento de un ángulo, siempre es un ángulo obtuso. ( ) 17. Una perpendicular a una recta biseca a la recta. ( ) 18. La mediana trazada a la base de un triángulo isósceles es perpendicular a la base. ( ) 19. Un triángulo equilátero es equiángulo. ( ) 20. Si dos ángulos tienen el mismo suplemento entonces son congruentes. ( ) 21. Si dos ángulos tienen el mismo complemento entonces son congruentes. ( ) 22. La bisectriz de un ángulo de un triángulo biseca al lado opuesto al ángulo. ( )
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. En la figura se tiene que:
AG GE ED FG GB BC .
Demostrar que: D C
Congruencia de triángulos. 11
2.
HIPÓTESIS: CD es altura. AD DB
TESIS: 1) ACD BCD
2) CA CB
3. Demostrar que en un triángulo isósceles las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes.
4.
HIPÓTESIS: ; ; E B ADE ACB B – C – D – E
TESIS: EAD BAC
5.
HIPÓTESIS: ;AB AD AE es bisectriz de BAD
A – C – E
TESIS: 1)
2)
BC CD
BCE DCE
6.
HIPÓTESIS: ABC es equilátero
AE BF CD TESIS: EFD es equilátero.
Congruencia de triángulos. 12
7. Sea ABC un triángulo isósceles, con CA CB . D es el punto medio de AC y E es el punto
medio de BC . Demostrar que el triángulo ACE es congruente con el triángulo BCD. 8.
HIPÓTESIS: E – F – C; E – G – B; A – G – H – C; D – F – H – B
ED EA
DE EC
AE EB D A
TESIS: 1)
2)
CEG BEF
CFH BGH
9.
HIPÓTESIS: AI IC CD BI IH HF
TESIS: EH EC
10.
HIPÓTESIS: B es punto medio de AC
;AD CE BD BE
TESIS: 1)
2) es isosceles.
E D
APC
Congruencia de triángulos. 13
11.
HIPÓTESIS:
AB AF
BD DF
BAC FAE
TESIS: 1)
2)
AC AE
BC FE
12. Demostrar que en un triángulo isósceles: A. Las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes. B. Las alturas trazadas a los lados congruentes son congruentes. C. Los segmentos de las bisectrices de los ángulos opuestos a los lados congruentes son
congruentes.
13. Si en un triángulo ABC se cumple que AB AC . R es un punto que pertenece al lado
AB ; D es un punto que pertenece al lado AC ; RC DB .En base con esta información se
puede demostrar que ?AR AD Justificar la respuesta. 14.
HIPÓTESIS: AE BC
AC BE
TESIS: 1)
2) es isosceles
DEA DCB
ABD
15.
HIPÓTESIS: 1 2
3 4
A – E – C y D – E – B
TESIS: 1)
2)
AE EC
DE AC
Congruencia de triángulos. 14
16.
HIPÓTESIS: ; ; 1 2AB AF DB DF
TESIS: 1)
2)
B F
DC DE
SUGERENCIA: Trazar AD
17.
HIPÓTESIS:
OED ODE
A C
AE DC
TESIS: 1)
2)
BF BH
OF OH
18.
HIPÓTESIS: ; ;AF AB FE BC DF DB
TESIS: 1)
2)
EAD CAD
ED CD
19.
HIPÓTESIS: EAD CAD
AF AB
TESIS: 1)
2)
DF DB
EF CB
Congruencia de triángulos. 15
20.
HIPÓTESIS: ; ;AR SC AB CD BS DR
TESIS: 1)
2)
BSA DRS
PR PS
21.
HIPÓTESIS: BD es mediana
;AE BF CF BF
TESIS: AE CF
22.
HIPÓTESIS: y son medianas
AC AE
CF EB
TESIS: AD CE
23.
HIPÓTESIS: ;AB BC DC BC
ABD DCA
TESIS: ABC DCB
24. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados congruentes de un triángulo isósceles al punto medio de la base son congruentes.
25. Si el segmento de recta que une el vértice B del triángulo ABC al punto medio M de AC
se alarga en una distancia igual a su propia longitud hasta E entonces EC AB
26. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un triángulo
equilátero forman otro triángulo equilátero.
Congruencia de triángulos. 16
27.
HIPÓTESIS: ;TR TS PR PS
TESIS: TRP TSP
28.
HIPÓTESIS: A – B – C – D
1 2
AB CD
TESIS: A D
29.
HIPÓTESIS: AB AC
BD CE
TESIS: 1)
2)
ACD ABE
BDC CEB
30.
HIPÓTESIS: biseca a CE BF
TESIS: C E
Congruencia de triángulos. 17
31. Se tiene un triángulo isósceles ABC, con AB AC , se toma un punto E sobre AB y se
toma un punto F sobre AC de tal manera que AE AF . Se traza la altura AH , se traza el triángulo EHF. Demostrar que EHA FHA y que EFH FEH
SOLUCIONARIO DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
1. En la figura se tiene que:
AG GE ED FG GB BC .
Demostrar que: D C
1. AG GE ED FG GB BC 1. De hipótesis
2. AD AG GE ED 2 Suma de segmentos
3. FC FG GB BC 3 Suma de segmentos
4. FC AG GE ED Sustitución de 1 en 3
5. AD FC 5 De 2 y 4, propiedad transitiva
6. AGB FGE 6. Ángulos opuestos por el vértice
7.GA GE GB GF 7 De 1
8. AGB FGE 8 De 7 y 6 por teorema L – A – L
9. F A 9. De 8, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes
10. FE AB 10. De 8 por ser lados correspondientes en triángulos congruentes
11. FEC ABD 11. De 10, 9 y 5, L – A – L
12. D C 12. De 11, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes
Congruencia de triángulos. 18
2.
HIPÓTESIS: CD es altura. AD DB
TESIS: 1) ACD BCD
2) CA CB
1. AD DB 1. De hipótesis
2. D es punto medio de
AB
2. De 1, definición de punto medio
3. CD es mediana 3. De 2, definición de mediana
4. CD es altura 4. De hipótesis
5. ABC es isósceles 5. De 3 y 4, por ser una mediana también altura
6. CD es bisectriz 6. De 5, 3 y 4, en un triángulo isósceles la altura sobre la base es también bisectriz.
7. ACD BCD 7. De 6, definición de bisectriz
8. CA CB 8. De 5, definición de triangulo isósceles.
Congruencia de triángulos. 19
3. Demostrar que en un triángulo isósceles las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes.
HIPÓTESIS ABC es isósceles
y AD BE son medianas
TESIS AD BE
1. ABC es isósceles 1. De hipótesis
2. CA CB 2. De 1, definición de triangulo isósceles
3. AD es mediana 3. De hipótesis
4. D es punto medio de
CB
4. De 3, definición de mediana
5. BE es mediana 5. De hipótesis
6. E es punto medio de
CA
6. De 5, definición de mediana
7. AE BD 7. De 6, 4 y 2, por ser mitades de segmentos congruentes
8. EAB DBA 8. De 1, los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes
9. AB AB 9. Propiedad reflexiva
10. ABE ABD 10. De 9, 8 y 7 L – A – L
11. AD BE 11. De 10, por ser lados correspondientes de triángulos congruentes
Congruencia de triángulos. 20
4. HIPÓTESIS: ; ; E B ADE ACB B – C – D – E
TESIS: EAD BAC
Este ejercicio se demuestra utilizando el teorema L – A – A, que se demostrará en la siguiente unidad.
1. E B 1. De hipótesis
2. ABE es isósceles 2. De 1, por tener dos ángulos congruentes
3. AB AE 3. De 2, definición de triangulo isósceles
4. ADE ACB 4. De hipótesis
5. ABC ADE 5. De 3, 1 y 4 L – A – A
6. EAD BAC 6. De 5, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes
Congruencia de triángulos. 21
5.
HIPÓTESIS: ;AB AD AE es bisectriz de BAD
A – C – E
TESIS: 1)
2)
BC CD
BCE DCE
1. AB AD 1. De hipótesis
2. AE es la bisectriz de BAD 2. De hipótesis
3. 1 2 3. De 2, definición de bisectriz
4. AC AC 4. Propiedad reflexiva
5. ACB ACD 5. De 1, 3 y 4, L – A – L
6. ACB ACD 6. De 5, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes
7. BCE es el suplemento de ACB 7. Definición de ángulos suplementarios
8. DCE es el suplemento de ACD 8. Definición de ángulos suplementarios
9. BCE DCE 9. De 7 y 8, por tener el mismo suplemento
Congruencia de triángulos. 22
6.
HIPÓTESIS: ABC es equilátero.
AE BF CD
TESIS: EFD es equilátero
1. A B C 1. De hipótesis. Un triángulo equilátero es equiángulo.
2. AE BF CD 2. De hipótesis.
3. AB = BC = CA 3. De hipótesis. Definición de triángulo equilátero.
4. AE+EB=BF+FC=CD+DA 4. De 3. Adición de segmentos
5. AE+EB=AE+FC=AE+DA 5. Sustitución de 2 en 4
6. EB = FC = DA 6. De 5. Ley cancelativa
7. AED EBF FCD 7. De 6, 2, 1. L – A – L
8. DE EF FD 8. De7. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.
9. DEF es equilátero. 9. De 8. Definición de triángulo equilátero
Congruencia de triángulos. 23
7. Sea ABC un triángulo isósceles, con CA CB . D es el punto medio de AC y E es el punto
medio de BC . Demostrar que el triángulo ACE es congruente con el triángulo BCD
HIPÓTESIS isósceles, con ABC CA CB
D y E son puntos medios.
TESIS ACE BCD
1.CA CB 1. De hipótesis
2. C C 2. Propiedad reflexiva
3. D es punto medio de CA y E es punto
medio de CB 3. De hipótesis
4.CD CE 4. De 1 y 3, por ser mitades de segmentos congruentes
5. ACE BCD 5. De 1, 2 y 4 L – A – L
Congruencia de triángulos. 24
8.
HIPÓTESIS: DE AE
;DE EC AE EB
D A
D – F – H – B; A – G – H – C
TESIS: 1)
2)
CEG BEF
CFH BGH
1. D A 1. De hipótesis.
2. DE AE 2. De hipótesis.
3. AEG = DEF 3. De hipótesis. Son ángulos rectos.
4. DEF EAG 4. De 1,2, 3, A – L – A
5. DFE EGA 5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes
Congruencia de triángulos. 25
9.
HIPÓTESIS: AI IC CD BI IH HF
TESIS: EH EC En este ejercicio también emplearemos el teorema L – A – A que se demostrará en la próxima unidad.
1. AI IC CD BI IH HF 1. De hipótesis
2. AD AI IC CD 2 Suma de segmentos
3. BF BI IH HF 3 Suma de segmentos
4. BF AI IC CD Sustitución de 1 en 3
5. AD BF 5 De 2 y 4, propiedad transitiva
6. BIC AIH 6. Ángulos opuestos por el vértice
7. IB IH IA IC 7 De 1
8. BIC AIH 8 De 7 y 6 por teorema L – A – L
9. B A 9. De 8, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes
10. AH BC 10. De 8 por ser lados correspondientes en triángulos congruentes
11. AHD BCF 11. De 10, 9 y 5, L – A – L
12. D F 12. De 11, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes
13. HEF CED 13. Por ser ángulos opuestos por el vértice
14. FH DC 14. De hipótesis
15. ECD EHF 15. De 14, 13 y 12, por teorema L – A – A
16. EH EC 16. De 15, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes
Congruencia de triángulos. 26
10.
HIPÓTESIS: B es punto medio de AC
;AD CE BD BE
TESIS: 1)
2) es isosceles.
E D
APC
1. B es punto medio de AC 1. De hipótesis
2. AB BC 2. De 1, definición de punto medio
3. ;AD CE BD BE 3. De hipótesis
4. BCE ABD 4. De 2 y 3, por el teorema L – L – L
5. D E 5. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes
6. C A 6. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes
7. APC es isósceles 7. De 6, por tener dos ángulos congruentes
Congruencia de triángulos. 27
11.
HIPÓTESIS:
AB AF
BD DF
BAC FAE
TESIS: 1)
2)
AC AE
BC FE
1. AB AF 1. De hipótesis
2. BD DF 2. De hipótesis
3. AD AD 3. De hipótesis
4. ADB ADF 4. De 1, 2 y 3, teorema L – L – L
5. B F 5. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes
6. BAC FAE 6. De hipótesis
7. ABC AFE 7. De 6, 5 y 1, por el teorema A – L – A
8. AC AE 8. De 7, por ser lados correspondientes de triángulos congruentes
9. BC FE 9. De 7, por ser lados correspondientes de triángulos congruentes
Congruencia de triángulos. 28
12. Demostrar que en un triángulo isósceles: A. Las medianas trazadas a los lados congruentes son congruentes. B. Las alturas trazadas a los lados congruentes son congruentes. C. Los segmentos de las bisectrices de los ángulos opuestos a los lados congruentes son
congruentes. De este ejercicio vamos a hacer el numeral c.
HIPÓTESIS: Triangulo ABC isósceles, con CA CB
BE es bisectriz del ángulo CAB
es bisectriz del ángulo CBA
AD
BE
TESIS: AD BE
1. EAB DBA 1. De hipótesis, por ser los ángulos de la base de un triangulo isósceles
2. BE es la bisectriz de CBA 2. De hipótesis.
3. 1 2 3. De 2, definición de bisectriz de un ángulo
4. AD es la bisectriz de CAB 4. De hipótesis
5. 3 4 5. De 4, definición de bisectriz de un ángulo
6. ( ) ( 3) ( 4)m EAB m m 6. Suma de ángulos
7. ( ) ( 1) ( 2)m DBA m m 7. Suma de ángulos
8. ( 4) ( 3) ( 1) ( 2)m m m m 8. De 1, 6 y 7, propiedad transitiva
9. 2 ( 4) 2 ( 2)m m 9. De 3,5 y 8, suma de ángulos
10. ( 4) ( 2)m m 10. De 9, propiedad cancelativa
11. AB AB 11. Propiedad reflexiva
12. ABE ABD 12. De 11, 10 y 1, teorema A – L – A
13. AD BE 13. De 12, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes
Congruencia de triángulos. 29
13. Si en un triángulo ABC se cumple que AB AC . R es un punto que pertenece al lado
AB ; D es un punto que pertenece al lado AC ; RC DB .En base con esta información se
puede demostrar que ?AR AD Justificar la respuesta.
Para demostrar que ?AR AD deberíamos demostrar primero que el triángulo ARC es
congruente con el triángulo ADB y el teorema L – L – A no lo hemos demostrado y además veremos más adelante que este teorema no se cumple siempre. Para que este teorema se cumpla es necesario que los lados opuestos a los ángulos congruentes sean los lados mayores en los triángulos. El teorema L – L – A si se cumple en los triángulos rectángulos.
Congruencia de triángulos. 30
14.
HIPÓTESIS: AE BC
AC BE
TESIS: 1)
2) es isosceles
DEA DCB
ABD
1. AE BC 1. De hipótesis
2. AC BE 2. De hipótesis
3. AB AB 3. Propiedad reflexiva
4. AEB BCA 4. De 1, 2 y 3, por el teorema L – L – L
5. DEA DCB 5. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes.
6. EDA CDB 6. Por ser ángulos opuestos por el vértice
7. EDA CDB 7. De 1, 5 y 6, por el teorema L – A – A
8. DE DC 8. De 7, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes
9. DA AC DC 9. Resta de segmentos
10. DB BE DE 10. Resta de segmentos
11. DB AC DC 11. Sustitución de 2 y 8 en 10
12. DA DB 12. De 11 y 9, propiedad transitiva
13. ABD es isósceles 13. De 12, definición de triangulo isósceles
Congruencia de triángulos. 31
15.
HIPÓTESIS: 1 2
3 4
A – E – C y D – E – B
TESIS: 1)
2)
AE EC
DE AC
1. 1 2 1. De hipótesis
2. 3 4 2. De hipótesis
3. DB DB 3. Propiedad reflexiva
4. DBA DBC 4. De 1, 2 y 3, por el teorema A – L – A
5. DA DC 5. De 4, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes
6. ADC es isósceles 6. De 5, definición de triangulo isósceles
7. DE es bisectriz de ADC 7. De 1, definición de bisectriz de un ángulo
8. DE es mediana 8. De 7 y 6, la bisectriz del ángulo opuesto a la base de un triángulo isósceles es también mediana
9. E es punto medio de AC 9. De 8, definición de mediana
10. AE EC 10. De 9, definición de punto medio
11. DE es altura 11. De 6 y 8, en un triángulo isósceles la mediana sobre la base es también altura
12. DE AC 12. De 11, definición de altura en un triangulo
Congruencia de triángulos. 32
16.
HIPÓTESIS: ; ; 1 2AB AF DB DF
TESIS: 1)
2)
B F
DC DE
SUGERENCIA: Trazar AD
1. AB AF 1. De hipótesis
2. DB DF 2. De hipótesis
3. AD AD 3. Propiedad reflexiva
4. ADB ADF 4. De 1, 2 y 3, por el teorema L – L – L
5. B F 5. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes
6. 1 2 6. De hipótesis
7. ABC AFE 7. De 6, 5 y 1, por el teorema A – L – A
8. BC EF 8. De 7, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes
9. DC DB BC 9. Resta de segmentos
10. DE DF EF 10. Resta de segmentos
11. DE DB BC 11. Sustitución de 2 y 8 en 10
12. DC DE 12. De 9 y 11, propiedad transitiva
Congruencia de triángulos. 33
17.
HIPÓTESIS:
OED ODE
A C
AE DC
TESIS: 1)
2)
BF BH
OF OH
1. A C 1. De hipótesis
2. OED ODE 2. De hipótesis
3. AE DC 3. De hipótesis
4. AD AE ED 4. Suma de segmentos
5. EC DC ED 5. Suma de segmentos
6. EC AE ED 6. Sustitución de 3 en 5
7. AD EC 7. De 4 y 6, propiedad transitiva
8. FAD HCE 8. De 7, 2 y 1, por el teorema A – L – A
9. FA HC 9. De 8, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes
10. ABC es isósceles 10. De 1, por tener dos ángulos congruentes
11. BA BC 11. De 10, definición de triangulo isósceles
12. BF BA FA 12. Resta de segmentos
13. BH BC HC 13. Resta de segmentos
14. BH BA FA 14. Sustitución de 11 y 9 en 13
15. BF BH 15. De 12 y 14, propiedad transitiva
16. EOD es isósceles 16. De 2, por tener dos ángulos congruentes
17. OE OD 17. Definición de triangulo isósceles
18. FD HE 18. De 8, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes
19. OF FD OD 19. Resta de segmentos
20. OH HE OE 20. Resta de segmentos
21. OH FD OD 21. Sustitución de 18 y 17 en 20
22. OF OH 22. De 21 y 19, propiedad transitiva
Congruencia de triángulos. 34
18.
HIPÓTESIS: ; ;AF AB FE BC DF DB
TESIS: 1)
2)
EAD CAD
ED CD
1. AF AB 1. De hipótesis
2. DF DB 2. De hipótesis
3. AD AD 3. Propiedad reflexiva
4. ADF ADB 4. De 1, 2 y 3 por el teorema L – L – L
5. EAD CAD 5. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes
6. 1 2 6. De 4, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes
7. El suplemento de 3 es 1 7. Definición de ángulos suplementarios
8. El suplemento de 4 es 2 8. Definición de ángulos suplementarios
9. 3 4 9. De 6, 7 y 8 por tener el mismo suplemento
10. FE BC 10. De hipótesis
11. FED BCD 11. De 10, 9 y 2, por el teorema L – A – L
12. ED CD 12. De 11, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes
19. Para demostrarlo analizar el ejercicio 18.
Congruencia de triángulos. 35
20.
HIPÓTESIS:
AR SC
AB CD
BS DR
TESIS: 1)
2)
BSA DRS
PR PS
1. AR SC 1. De hipótesis
2. AB CD 2. De hipótesis
3. BS DR 3. De hipótesis
4. AS AR RS 4. Suma de segmentos
5. CR SC RS 5. Suma de segmentos
6. CR AR RS 6. Sustitución de 1 en 5
7. AS CR 7. De 4 y 6, propiedad transitiva
8. ABS CDR 8. De 2, 3 y 7, teorema L – L – L
9. BSA DRS 9. De 8, por ser ángulos correspondientes de triángulos congruentes
10. RPS es isósceles 10. De 9, por tener dos ángulos congruentes
11. PR PS 11. De 10, definición de triangulo isósceles.
Congruencia de triángulos. 36
21.
HIPÓTESIS: es mediana
y
BD
AE BF CF BF
TESIS: AE CF
1. es medianaBD 1. De hipótesis
2. D es punto medio de
AC 2. De 1, definición de median en un triangulo
3. AD DC 3. De 2, definición de punto medio
4. AED DFC 4. De hipótesis, por ser ángulos rectos por definición de perpendicularidad.
5. 1 2 5. Por ser ángulos opuestos por el vértice
6. AED CFD 6. De 5, 4 y 3, por el teorema L – A – A
7. AE CF 7. De 6, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes
Congruencia de triángulos. 37
22.
HIPÓTESIS: , y se cortan en G
y son medianas
AC AE
CF EB AD
EB CF
TESIS: AD CE
1. AC AE 1. De hipótesis
2. ACE es isósceles 2. De 1, definición de triángulos isósceles
3. y CF EB son
medianas 3. De hipótesis
4. AD es mediana 4. De 3 y de hipótesis, las 3 medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro o centro de gravedad.
5. AD es altura 5. De 2 y 4, en un triángulo isósceles la mediana sobre la base es también altura
6. AD CE 6. De 5, definición de altura de un triangulo
Congruencia de triángulos. 38
23.
HIPÓTESIS: ;AB BC DC BC
ABD DCA
TESIS: ABC DCB
1. ABD DCA 1. De hipótesis
2. y DCA ABC son rectos 2. De hipótesis, por definición de perpendicularidad
3. El complemento de es ACB DCA 3. De 2, definición de ángulos complementarios
4. El complemento de es DBC ABD 4. De 2, definición de ángulos complementarios
5. ACB DBC 5. De 1, 3 y 4, por tener el mismo complemento
6. DCB ABC 6. De 2, por ser ángulos rectos.
7. BC BC 7. Propiedad reflexiva
8. DCB ABC 8. De 7, 6 y 5, por el teorema A – L – A
Congruencia de triángulos. 39
24. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados congruentes de un triángulo isósceles al punto medio de la base son congruentes
HIPÓTESIS: ABC es isósceles con CA CB D, E y F son puntos medios
TESIS: DF EF
1. A B 1. De hipótesis, por ser ángulos opuestos a los lados congruentes de un triángulo isósceles
2. F es punto medio de AB 2. De hipótesis
3. AF FB 3. De 2, definición de punto medio de un segmento
4. CA CB 4. De hipótesis
5. DA EB 5. De 4 y de hipótesis, por ser mitades de segmentos congruentes
6. DAF EBF 6. De 5, 3 y 1, por el teorema L – A – L
7. DF EF 7. De 6, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes
Congruencia de triángulos. 40
25. Si el segmento de recta que une el vértice B del triángulo ABC al punto medio M de AC
se alarga en una distancia igual a su propia longitud hasta E entonces EC AB
HIPÓTESIS: es punto medio de M AC
BM MC
TESIS: EC AB
1. es punto medio de M AC 1. De hipótesis
2. AM MC 2. De 1, definición de punto medio
3. 1 2 3. Por ser ángulos opuestos por el vértice
4. BM ME 4. De hipótesis
5. MEC MAB 5. De 2, 3 y 4, por el teorema L – A – L
6. EC AB 6. De 5, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes
Congruencia de triángulos. 41
26. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un triángulo equilátero forman otro triángulo equilátero.
HIPÓTESIS:
es equilátero
D, E y F son puntos medios de los lados del triángulo
ABC
TESIS DEF es equilátero
1. AB BC CA 1. De hipótesis, definición de triángulo equilátero
2. AF FB BE EC CD DA 2. De 1 y de hipótesis, definición de punto medio, por ser mitades de segmentos congruentes
3. A B C 3. Por ser ángulos opuestos a lados congruentes en un triangulo
4. DFA DEC EFB 4. De 2 y 3, por el teorema L – A – L
5. DF DE EF 5. De 4, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes
6. DEF es equilátero 6. De 5, definición de triángulo equilátero
Congruencia de triángulos. 42
27.
HIPÓTESIS TR TS
PR PS
TESIS TRP TSP
1. RTS es isósceles 1. De hipótesis, definición de triangulo isósceles
2. TRS TSR 2. De 1, por ser ángulos de la base de un triángulo isósceles
3. RPS es isósceles 3. De hipótesis, definición de triangulo isósceles
4. 1 2 4. De 3, por ser ángulos de la base de un triángulo isósceles
5. ( ) ( ) ( 1)m TRP m TRS m 5. Resta de ángulos
6. ( ) ( ) ( 2)m TSP m TSR m 6. Resta de ángulos
7. ( ) ( ) ( 1)m TSP m TRS m 7. Sustitución de 2 y 4 en 6
8. TRP TSP 8. De 5 y 7, propiedad transitiva
Congruencia de triángulos. 43
28.
HIPÓTESIS 1 2
A B C D
AB CD
TESIS A D
1. 1 2 1. De hipótesis
2. BEC es isósceles 2. De 1, por tener dos ángulos congruentes
3. EB EC 3. De 2, en un triángulo a ángulos congruentes se oponen lados congruentes
4. 3 es el suplemento de 1 4. De hipótesis, definición de ángulos suplementarios
5. 4 es el suplemento de 2 5. De hipótesis, definición de ángulos suplementarios
6. 3 4 6. De 1, 4 y 5, por tener el mismo suplemento
7. AB CD 7. De hipótesis
8. ABE DEC 8. De 7, 6, y 3, por el teorema L – A – L
9. A D 9. De 8, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes
Congruencia de triángulos. 44
29.
HIPÓTESIS AB AC
BD CE
TESIS 1) ACD ABE
2) BDC CEB
1. AD AB BD 1. Suma de segmentos
2. AE AC CE 2. Suma de segmentos
3. AB AC 3. De hipótesis
4. BD CE 4. De hipótesis
5. AE AB BD 5. Sustitución de 3 y 4 en 2
6. AD AE 6. De 1 y 5, propiedad transitiva
7. A A 7. Propiedad reflexiva
8. ACD ABE 8. De 7, 6 y 3, por teorema L – A – L
9. ABC es isósceles 9. De 3, definición de triangulo isósceles
10. 1 2 10. De 9, por ser los ángulos de la base de un triangulo isósceles
11. El suplemento de es 1DBC 11. Definición de ángulos suplementarios
12. El suplemento de es 2ECB 12. Definición de ángulos suplementarios
13. DBC ECB 13. De 10, 11 y 12, por tener el mismo suplemento
14. BC BC 14. Propiedad reflexiva
15. BDC CEB 15. De 14, 13 y 4, por teorema L – A – L
Congruencia de triángulos. 45
30.
HIPÓTESIS: biseca a CE BF
TESIS: C E
1. 1. De hipótesis
2. El suplemento de es CBD 2. Definición de ángulos suplementarios
3. El suplemento de es EFD 3. Definición de ángulos suplementarios
4. CBD EFD 4. De 1, 2 y 3, por tener el mismo suplemento
5. BD DF 5. De hipótesis, biseca a CE BF
6. CDB FDE 6. Por ser ángulos opuestos por el vértice
7. BDC DFE 7. De 4, 5 y 6, por el teorema A – L – A
8. C E 8. De 7, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes
Congruencia de triángulos. 46
31. Se tiene un triángulo isósceles ABC, con AB AC , se toma un punto E sobre AB y se
toma un punto F sobre AC de tal manera que AE AF . Se traza la altura AH , se traza el triángulo EHF. Demostrar que EHA FHA y que EFH FEH
HIPÓTESIS ABC es isósceles
AB AC
AE AF
es alturaAH
TESIS 1) EHA FHA
2) EFH FEH
1. AE AF 1. De hipótesis
2. AH AH 2. Propiedad reflexiva
3. es alturaAH 3. De hipótesis
4. es bisectrizAH 4. De hipótesis, en un triángulo isósceles la altura sobre la base también es bisectriz del ángulo opuesto a la base del triangulo
5. 1 2 5. De 4, definición de bisectriz de un ángulo
6. AEH AFH 6. De 5, 1 y 2, por L –A – L
7. EHA FHA 7. De 6, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes
8. EH HF 8. De 6, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes
9. EHF es isósceles 9. De 8, definición de triangulo isósceles
10. EFH FEH 10. De 9, por ser los ángulos de la base de un triángulo isósceles
Congruencia de triángulos. 47
Algunos de estos ejercicios fueron tomados y modificados de los siguientes textos: Geometría Euclidiana de Nelson Londoño Geometría Euclidiana de Hemmerling Curso de Geometría. Reunión de profesores Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli Geometría de Edwin E. Moise De Internet
Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.