Condicao de equacoes de Lyapunov acopladas generalizadas

para a estabilidade exponencial estocastica dos sistemas

singulares com saltos Markovianos

Amanda L. P. Manfrim,

Depto de Ciencias Exatas, FCAV, UNESP,

14884-900, Jaboticabal, SP

E-mail: amanda@fcav.unesp.br,

Eduardo F. Costa

Depto de Matematica Aplicada e Estatıstica, ICMC, USP,

Campus de Sao Carlos

13566-590, Sao Carlos, SP

E-mail: efcosta@icmc.usp.br,

Marco H. Terra

Depto de Engenharia Eletrica, EESC, USP,

Campus de Sao Carlos

13566-590, Sao Carlos, SP

E-mail: terra@sc.usp.br.

Palavras-chave: Estabilidade exponencial, sistemas estocasticos, cadeia de Markov

Resumo: Este trabalho refere-se a estabilidade exponencial dos sistemas lineares singularesdiscretos com saltos de Markov. E proposto um conjunto de equacoes de Lyapunov acopladasgeneralizadas que determina uma condicao necessaria para verificar essa propriedade desta classede sistemas.

1 Introducao

Os sistemas singulares tem despertado interesse consideravel na literatura devido ao fato destaclasse ser apropriada para modelar sistemas que sao muito utilizados em diversas areas. Ex-emplos classicos de aplicacao sao encontrados em modelagem de sistemas: aeronauticos [22], decircuitos [18], [19], economicos [14], interconectados em larga escala [13], roboticos [7], [12] ecom processos quımicos [11], [6].

Outra classe de sistemas que tem recebido grande atencao e a dos sistemas estocasticos, cujaevolucao e influenciada por fatores aleatorios. Falhas, reparos em maquinas e modificacoes emparametros de sistemas sao exemplos classicos em que o uso exclusivo de argumentos deter-minısticos nao e apropriado. Uma abordagem importante dessa classe de sistemas e baseadaem modelos com saltos Markovianos nos parametros, que vem se tornando muito popular porpossuırem propriedades eficientes para descrever este tipo de comportamento em sua dinamica,veja [4], [23], [17], e as suas referencias. Exemplos de aplicacao podem ser encontrados em [5] e[21].

Ao incorporar saltos de Markov nos parametros de um sistema singular convencional, obtem-se uma classe bastante ampla de sistemas, denominada de sistemas lineares singulares sujeitos a

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saltos Markovianos (SLSSM). Esta classe tem grande potencial de aplicacoes em sistemas fısicose economicos, veja por exemplo [10] e [20].

O objetivo deste trabalho e obter um metodo que possa resolver as equacoes de Lyapunovque surgem na analise da estabilidade de SLSSM, cujas solucoes apresentam um grau elevadode dificuldade.

As equacoes de Lyapunov acopladas generalizadas (ELAG) para SLSSM em tempo discretoque sao consideras neste artigo, servem para caracterizar a estabilidade exponencial do sistema.Esta analise exponencial da estabilidade estocastica complementa os resultados apresentados em[15], onde estabelecemos uma condicao de Lyapunov para a estabilidade na media quadraticade SLSSM.

Nesse trabalho, e apresentado um conjunto de equacoes de Lyapunov acopladas generalizadas(ELAG) para SLSSM em tempo discreto que estendem resultados apresentados em [8] e [9],para sistemas singulares convencionais, e os resultados apresentados em [2], para os sistemaslineares singulares sujeitos a saltos Markovianos (SLSM) convencionais. Essas ELAG servempara caracterizar a estabilidade exponencial do sistema. Essa analise exponencial da estabilidadeestocastica complementa os resultados apresentados em [15] onde estabelecemos uma condicaode Lyapunov para a estabilidade na media quadratica de SLSSM e [16].

2 Notacoes e Conceitos Preliminares

Nesta secao, apresentamos as notacoes para referencia posterior. Rn denota o espaco linear

Euclidiano de dimensao n, Rr,n (respectivamente, Rn) o espaco linear normado formado portodas as matrizes reais de dimensao r× n (respectivamente, n× n) e Rn0 (Rn+) o cone convexofechado das matrizes simetricas semidefinidas positivas (o cone aberto das matrizes simetricasdefinidas positivas); U ′ denota o transposto de U , U ≥ V (U > V ) significa que U − V ∈ Rn0

(U − V ∈ Rn+).Seja Mn,q o espaco linear formado por um numero N de matrizes tais que Mn,q =

{

U =(U1, . . . , UN ) : Ui ∈ Rn,q, i = 1, . . . , N

}

; ainda, Mn ≡ Mn,n. Denotamos como Mn0 (Mn+) oconjunto Mn quando ele e constituıdo de Ui ∈ Rn0 (Ui ∈ Rn+) para todo i = 1, . . . N . Define-se,tambem, como U ≥ V (U > V ) a representacao de Ui ≥ Vi (Ui > Vi), para cada i = 1, . . . , N ;estendemos, de forma analoga, esta representacao para as outras relacoes matematicas. ParaU ∈ Mn0, definimos ||U || = max0≤i≤Nσ(Ui), sendo σ (Ui) o maior valor singular de Ui , edenotamos Ui(j, l) como a j-esima linha e l-esima coluna da matriz Ui. Denotamos, sempre quenao houver risco de confusao, o valor esperado condicional E{·|x0, θ0} simplesmente por E{·} ea variancia por V ar (·).

Com o objetivo de desenvolver as ELAG para os SLSSM, e apresentado, ainda nesta secao,alguns conceitos preliminares. Considere o sistema Ψ dado por

Ψ :{

Sθ(k) x(k + 1) = Fθ(k)x(k) +Gθ(k)u(k),

para k = 0, 1, . . ., sendo o par (x(k), θ(k)) o estado do sistema, com θ ∈ T = {1, . . . , N},chamado de variavel de salto ou modo e x(k) a variavel do sistema dinamico associado a cadamodo θ(k), y(k) a saıda do sistema e u(k) a entrada de controle do sistema. θ(k) e o estadode uma cadeia de Markov discreta no tempo com espaco de estado finito e com matriz deprobabilidade de transicao P = [pij ], i, j = 1, . . . , N , tal que pij := P (θ(k + 1) = j | θ(k) = i)e a probabilidade do sistema passar do modo de operacao i para j; portanto pij ≥ 0 deve ser

satisfeita, para i, j ∈ T e, para cada i,∑N

j=1 pij = 1. Define-se a distribuicao da cadeia deMarkov, dada por πi(k), como πi(k) = P (θ(k) = i) sempre que i ∈ T. Sempre que θ(k) = i eθ(k+1) = j, Sθ(k) = Si, Fθ(k) = Fi, Gθ(k) = Gi e Hθ(k) = Hi, sendo Si uma matriz singular, composto(Si) = ri ≤ n. Considera-se os seguintes conjuntos de matrizes conhecidas de dimensoesapropriadas S = (S1, ..., SN ), F = (F1, ..., FN ) e G = (G1, ..., GN )

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Com o objetivo de estabelecer uma condicao de ELAG para a estabilidade estocastica ex-ponencial, e apresentado, na sequencia, alguns resultados encontrado na literatura de sistemasestocasticos, veja [4] e referencias nele citadas.

Definicao 1. Dizemos que o Sistema Ψ e estocasticamente exponencialmente estavel se paraalgum β ≥ 1, 0 < ζ < 1, temos para todo x(0) admissıvel e todo θ(0) ∈ Θ,

E{

‖x(k)‖2}

≤ βζk‖x(0)‖2, k ≥ 0.

O proximo resultado se refere a observabilidade que e uma propriedade fundamental a serverificada na analise da estabilidade do Sistema Ψ, veja [1].

Definicao 2. Considere S ∈ Rn, F = (F1, . . . , FN ) ∈ Mn e Q = (Q1, . . . , QN ) ∈ Mn0. OSistema Ψ e observavel em Q, ou (S, F, Q) e observavel, se para todo k ≥ 0 existirem γ > 0 eT > 0, independentes de k e de θ(k) = θk, tais que

E

{

k+T∑

t=k

x′(t)Qθ(t) x(t)∣

∣Fk

}

≥ γ‖x(k)‖2.

Atendendo a condicao necessaria e suficiente para a verificacao da observabilidade no casoem que k = 0, temos que Sθ(k) e Fθ(k) nao dependem explicitamente de k. Dessa maneira osseguintes lemas, apresentado em [16], sao verificados.

Lema 1. Considere Qθ(k) ≥ 0 ∈ Rn, x(k) estavel e a funcao candidata de Lyapunov dada por

V (x(k), θ(k)) := E

{

T∑

t=k

x′(t)Qθ(t)x(t)∣

∣

∣Fk

}

, (1)

entaoE

{

V (x(k), θ(k))− V (x(k + 1), θ(k + 1))∣

∣

∣ Fk

}

= x′(k)Qθ(k) x(k). (2)

Lema 2. Se existirem Qθ(k) ≥ 0 ∈ Rn e S′i Xθ(k) Si ≥ 0 ∈ Rn tais que

x′(k)S′iXθ(k)Six(k) := E

{

∞∑

t=k

x′(t)Qθ(t)x(t)∣

∣

∣Fk

}

(3)

entao, para θ(k) = i ∈ T,

S′iXiSi = F ′

i

N∑

j=1

pij Xj

Fi +Qi + F ′iS0iRi +R′

iS′0iFi, i ∈ T (4)

nas quais Ri ∈ R(n−r)×n e S0i e tal que S′i S0i = 0.

Observacao 1. Note que (3) e valida considerando

limT→∞

{

T∑

t=k

x′(t)Qθ(k) x(t)∣

∣Fk

}

com termo final x′(T )S′i Mθ(T ) Si x(T ), ou seja, Qθ(T ) = S′

i Mθ(T ) Si.

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3 Resultado Principal

Nesta secao e apresentada uma analise de Lyapunov dos SLSSM que nos permite verificar aestabilidade estocastica exponencial. Esta e uma extensao dos resultados apresentados em [15].As analises convencionais encontradas na literatura, veja por exemplo [10] e referencias nelacitada, nao abordam estabilidade desta classe de sistemas Markovianos neste contexto.

Teorema 1. Considere o Sistema Ψ regular estocasticamente, (S, F, Q) observavel e S0i ∈Rn×(n−r) posto coluna plena tal que S′

i S0i = 0, ri = posto(Si). Seja a seguinte ELAG comvariaveis (Xi, Ri) ∈ Rn × R(n−r)×n

S′iXiSi = F ′

i

N∑

j=1

pijXj

Fi + F ′iS0Ri +R′

iS′0Fi +Qi, i ∈ T, (5)

na qual Si, Fi ∈ Rn. Se existir uma solucao para (5) com S′iXiSi ≥ 0, i ∈ T, entao o Sistema

Ψ e estocasticamente exponencialmente estavel.

Demonstracao. Para mostrar a estabilidade, considere

V (x(k), θ(k)) := E

{

∞∑

t=k

x′(t)Qθ(t)x(t)∣

∣

∣Fk

}

.

Do Lema 1 temos que

E

{

V (x(k), θ(k))− V (x(k + 1), θ(k + 1))∣

∣

∣Fk

}

= x′(k)Qθ(k)x(k), k ≥ 0. (6)

Empregando propriedades basicas do operador E{·}, de (6) temos que, para 0 ≤ k ≤ T ,

V (x(0), θ(0))− E

{

V (x(1), θ(1))∣

∣

∣F0

}

= E

{

x′(0)Qθ(0)x(0)∣

∣

∣F0

}

...

E

{

V (x(T − 1), θ(T − 1))∣

∣

∣F0

}

− E

{

V (x(T ), θ(T ))∣

∣

∣F0

}

= E

{

x′(T − 1)Qθ(T−1)x(T − 1)∣

∣

∣F0

}

.

(7)

Somando todas as equacoes de (7) obtemos

V (x(0), θ(0))− E

{

V (x(T ), θ(T ))∣

∣

∣F0

}

= E

{

T−1∑

t=0

x′(t)Qθ(t)x(t)∣

∣

∣F0

}

. (8)

Uma vez que (S, F, Q) e observavel, empregando a Definicao 2, podemos reescrever (8) como

V (x(0), θ(0))− E

{

V (x(T ), θ(T ))∣

∣

∣F0

}

≥ γ‖x(0)‖2, (9)

com γ > 0. Similarmente, para ℓ > 1 ∈ N, temos que

E

{

V (x (ℓT ) , θ (ℓT ))∣

∣

∣F0

}

− E

{

V (x ((ℓ+ 1)T ) , θ ((ℓ+ 1)T ))∣

∣

∣F0

}

= E

((ℓ+1)T )−1∑

t=ℓT

x′(t)Qθ(t)x(t)∣

∣

∣F0

> ‖x(ℓT )‖2.(10)

Para cada θ(k) conhecido, defina δ = sup(

σ(

S′iXθ(k)Si

))

, k ≥ 0, entao

V (x(k), θ(k)) ≤ δ ‖x(k) ‖2, k ≥ 0, (11)

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de (9) e (11) obtemos

V (x(0), θ(0))− E

{

V (x(T ), θ(T ))∣

∣

∣F0

}

≥ γδ

δ||x(0)||2 ≥ γ

1

δV (x(0), θ(0)) , (12)

de (12) temos que

E

{

V (x(T ), θ(T ))∣

∣

∣F0

}

≤(

1−γ

δ

)

V (x(0), θ(0)) . (13)

Similarmente, para ℓ > 1 ∈ N, obtemos

E

{

V (x (ℓT ) , θ (ℓT ))∣

∣

∣F0

}

− E

{

V (x ((ℓ+ 1)T ) , θ ((ℓ+ 1)T ))∣

∣

∣F0

}

>γ

δE

{

V (x (ℓT ) , θ (ℓT ))∣

∣

∣F0

} (14)

entaoE

{

V (x ((ℓ+ 1)T ) , θ ((ℓ+ 1)T ))∣

∣

∣F0

}

≤(

1−γ

δ

)

E

{

V (x (ℓT ) , θ (ℓT ))∣

∣

∣F0

}

. (15)

De (15) podemos escrever

E

{

V (x (ℓT ) , θ (ℓT ))∣

∣

∣F0

}

≤(

1−γ

δ

)

E

{

V (x ((ℓ− 1)T ) , θ ((ℓ− 1)T ))∣

∣

∣F0

}

≤(

1−γ

δ

)2

E

{

V (x ((ℓ− 2)T ) , θ ((ℓ− 2)T ))∣

∣

∣F0

}

...

≤(

1−γ

δ

)ℓ

E

{

V (x (0) , θ (0))∣

∣

∣F0

}

.

(16)

Note que, da Definicao 2, podemos escrever γ‖x(k)‖2 ≤ E

{

∑T−1k=0 x′(k)Qθ(k) x(k) ‖

∣

∣F0

}

, ou

seja,γ‖x(k)‖2 ≤ V (x(k), θ(k)) . (17)

Aplicando o valor esperado em (17), considerando k = ℓT , segue que

γE{

‖x(ℓT )‖2∣

∣

∣F0

}

≤ E

{

V (x(ℓT ), θ(ℓT ))∣

∣

∣F0

}

. (18)

Aplicando (11), (16) e (18), obtemos a seguinte desigualdade

γE{

‖x(ℓT )‖2∣

∣

∣F0

}

≤ E

{

V (x(ℓT ), θ(ℓT ))∣

∣

∣F0

}

≤(

1−γ

δ

)ℓ

V (x(0), θ(0))

≤(

1−γ

δ

)ℓ

δ ‖x(0) ‖2

(19)

assim, podemos reescrever (19) como segue

E

{

‖x(ℓT ) ‖2∣

∣

∣F0

}

≤ α ‖x(0) ‖2, (20)

na qual α =(

1− γδ

)ℓδ. Desta maneira, para ℓ suficientemente grande, α < 1 satisfazendo

δ ≥ 1.

Observacao 2. Pode-se verificar de forma direta que, quando N = 1, as ELAG (5) se reduzemas ELG dos sistemas lineares singulares convencionais (sem salto), veja [9]. Note que, comoP = 1, podemos reescrever (5) como

F ′1X1F1 − S′

1X1S1 + F ′1S01R1 +R′

1S′01F1 + C ′

1C1 = 0.

Alem disso, fazendo Si = I para todo i ∈ T, espaco de estados usual, as ELAG (5) se reduzemas ELGA dos SLSM, veja [3], dadas por

Xi = F ′i

N∑

j=1

pij Xj

Fi +Qi.

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4 Conclusao

Neste artigo propomos um conjunto de equacoes de Lyapunov Acopladas Generalizadas (ELAG),para sistemas lineares singulares com salto de Markov, que e utilizado como uma condicaosuficiente para a estabilidade exponencial.

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