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Universidade Federal do Paraná
Cálculo 1LISTA 2: FUNÇÕES II
Exercício 1. [resolução]Determine o domínio e a imagem de cada uma das funções abaixo.
a) f(x) = 1 + x2
b) f(x) = 1−√x
c) f(x) =√x2 − 3x
d) g(t) = 43−t
e) f(t) = 2t2−16
Exercício 2. [resolução]Encontre o domínio e esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções.
a) f(x) = −√x
b) f(x) =√x
c) g(x) = x|x|
d) g(x) =√|x|
Exercício 3. [resolução]Dizemos que s é proporcional a t se existe um número real c tal que s = ct. Tendo essa definição em vista,resolva os próximos exercícios.
A variável s é proporcional a t e s = 25 quando t = 75. Determine t quando s = 60.a) A variável s é proporcional a t e s = 25 quando t = 75. Determine t quando s = 60.
b) A energia cinética K de uma massa é proporcional ao quadrado de sua velocidade v. Se K = 12960joules quando v = 18m/s, qual o valor de K quando v = 10m/s?
Exercício 4. [resolução]
a) Esboce os gráficos das funções f(x) = x2 e g(x) = 1 + 4
x para identificar os valores de x para os quais
x
2> 1 +
4
x.
b) Confirme algebricamente sua resposta.
1
Exercício 5. [resolução]Trezentos livros são vendidos a 40 reais cada, resultando em uma receita de 12 mil reais. Para cada aumento de5 reais no preço, são vendidos 25 livros a menos. Represente a receita R em função do número x de aumentode 5 reais.
Exercício 6. [resolução]
Se f(x) = x+ 5 e g(x) = x2 − 3, resolva:
a) f(g(0))
b) g(f(0))
c) f(f(−5))
d) g(g(2))
Exercício 7. [resolução]Determine as regras de f ◦ g e g ◦ f em que:
a) f(x) = x2 e g(x) = 1−√x
b) f(x) = |x|x e g(x) = 4
1+x2
Exercício 8. [resolução]Seja f(x) = x
x−2 . Determine uma função g tal que (f ◦ g)(x) = x.
Exercício 9. [resolução]Esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções.
a) f(x) = (x− 1)2 − 4
b) f(x) = (x− 2)2 + 2
c) f(x) = −x2
d) f(x) = 1x−1 + 3
Exercício 10. [resolução]A figura a seguir mostra o gráfico de uma função f com domínio [0, 2] e imagem [0, 1]. Encontre os domíniose as imagens das funções a seguir e esboce seus gráficos.
2
a) g(x) = f(x) + 2
b) g(x) = −f(x)
c) g(x) = 2f(x)
d) g(x) = f(−x)
e) g(x) = f(x− 1)
Exercício 11. [resolução]Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo. Dica: lembre-se de usar translação.
a) f(x) = sen(2x)
b) f(x) = cos(x− π)
c) f(x) = − cos(πx)
d) f(x) = sen(x+ π
6
)+ 1
Exercício 12. [resolução]Determine o domínio de definição das seguintes funções.
a)x+ 2
2x− 3
b)sin(x)
cos(x)
c)x+ 1
2x2 + 2x− 12
d)x+ 1√
2x2 + 2x− 12
e)x+ 3
ln(x2 − 2x+ 1)
f)x+ 2
ln(x2 − 2)
3
1 Resoluções dos exercícios:
Resolução do Ex. 1 [voltar]a) f(x) = 1 + x2 tem domínio R e imagem [1,+∞[.
b) f(x) = 1−√x tem domínio R≥0 e imagem ]−∞, 1].
c) f(x) =√x2 − 3x =
√x(x− 3) tem domínio ]−∞, 0] ∪ [3,+∞[ e imagem R≥0.
d) g(t) = 43−t tem domínio R− {3} e imagem R− {0}.
e) f(t) = 2t2−16 tem domínio R− {−4, 4} e imagem R− {0}.
Resolução do Ex. 2 [voltar]
a) f(x) = −√x tem domínio R≥0.
b) f(x) =√x tem domínio R≥0.
c) g(x) = x|x| tem domínio R− {0}.
d) g(x) =√|x| tem domínio R.
Resolução do Ex. 3 [voltar]a) Temos s = c.t, com s = 25 quando t = 75, isso é 25 = c.75, logo c = 1/3. Quando s = 60, temos
60 = t/3, isso é t = 180. A variável s é proporcional a t e s = 25 quando t = 75. Determine t quandos = 60.
b) Temos K = mv2. Caso K = 12960 e v = 18, obtemos 12960 = m.182, logo m = 12960/182 = 40.Se v = 10, temos K = 40.102 = 4000.
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Resolução do Ex. 4 [voltar]a) Seguem os gráficos das funções f(x) = x
2 e g(x) = 1 + 4x .
Da para ver no gráfico que x2 > 1 + 4
x ⇐⇒ x ∈]− 2, 0[∪[4,+∞[.
b) Algebricamente, temos:
• se x > 0, então: x2 > 1 + 4
x ⇔x2
2 > x + 4 ⇔ x2 − 2x − 4 > 0 ⇐⇒ x > 2 (o último passousando uma tabela de sinais).• se x < 0, então: x
2 > 1 + 4x ⇔
x2
2 < x + 4 ⇔ x2 − 2x − 4 < 0 ⇐⇒ x < 4 (o último passousando uma tabela de sinais).
Resolução do Ex. 5 [voltar] Denotemos porR a receita, a qual é proporcional ao número n de livro vendidosR = p.n, onde p denota o preço de um livro. Ambos um número de livros, e o preço do livro dependem donúmero x de aumentos de r$, obviamente p = 40 + 5x, e n = 300− 25x.. No final obtemos:
R(x) = (40 + 5x)(300− 25x).
Resolução do Ex. 6 [voltar]
a) f(g(0)) = f(02 − 3) = f(−3) = −3 + 5 = 2.
b) g(f(0)) = g(0 + 5) = g(5) = 52 − 3 = 22.
c) f(f(−5)) = f(−5 + 5) = f(0) = 0 + 5 = 5.
d) g(g(2)) = g(22 − 3) = g(1) = 12 − 3 = −2.
Resolução do Ex. 7 [voltar] Determine as regras de f ◦ g e g ◦ f em que:a) Se f(x) = x2 e g(x) = 1−
√x, então:
f ◦ g(x) = f(g(x)) = f(1−√x) = (1−
√x)2 = 1− 2
√x+ |x|,
g ◦ f(x) = g(f(x)) = g(x2) = 1−√x2 = 1− |x|.
5
b) Se f(x) = |x|x e g(x) = 4
1+x2, então:
f ◦ g(x) = f(g(x)) = f
(4
1 + x2
)=
∣∣∣ 41+x2
∣∣∣4
1+x2
= 1,
g ◦ f(x) = g(|x|x
) =4
1 +(|x|x
)2 = 2.
Resolução do Ex. 8 [voltar]Resolvendo, com g(x) 6= 2 necessariamente:
(f ◦ g)(x) = x⇔ f(g(x)) = x
⇔ g(x)
g(x)− 2= x
⇔ g(x) = x(g(x)− 2)
⇔ g(x)(1− x) = −2x
⇔ g(x) =−2x
1− x
Resolução do Ex. 9 [voltar]
a) Segue o gráfico de f(x) = (x− 1)2 − 4: b) Segue o gráfico de f(x) = (x− 2)2 + 2:
6
c) Segue o gráfico de f(x) = −x2: d) Segue o gráfico de f(x) = 1x−1 + 3:
Resolução do Ex. 10 [voltar]
a) A função g(x) = f(x) + 2 tem domínio [0, 2] eimagem [2, 3].
b) A função g(x) = −f(x) tem domínio [0, 2] eimagem [−1, 0].
c) A função g(x) = 2f(x) tem domínio [0, 2] eimagem [0, 2].
d) A função g(x) = f(−x) tem domínio [−2, 0] eimagem [0, 1].
e) A função g(x) = f(x− 1) tem domínio [1, 3] eimagem [0, 1].
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Resolução do Ex. 11 [voltar]
a) Segue o gráfico de f(x) = sen(2x)
b) Segue o gráfico de f(x) = cos(x− π)
c) Segue o gráfico de f(x) = − cos(πx)
d) Segue o gráfico de f(x) = sen(x+ π
6
)+ 1
Resolução do Ex. 12 [voltar]
a) Para x+22x−3 ser definida, é preciso o denominador 2x− 3 ser diferente de 0, isso é x 6= 3/2. O domínio de
definição éR− {3/2} =]−∞, 3/2[∪ ]3/2,+∞[.
8
Segue o gráfico da função:
b) Para sin(x)cos(x) ser definida, é preciso cos(x) 6= 0⇔ x 6= π
2 + kπ, k ∈ Z. O domínio de definição é
R− {π2, k ∈ Z} =
⋃k∈Z
]k − π
2, k +
π
2[.
Segue o gráfico da função:
c) Para x+12x2+2x−12 ser definida, é preciso o denominador 2x2 + 2x − 12 ser diferente de 0. Calculando o
Bhaskara, ∆ = b2 − 4ac = 100 > 0, obtemos as duas raízes:
λ1 =−b−
√∆
2a= −3
λ2 =−b−
√∆
2a= 2
logo 2x2 + 2x− 12 = 2(x+ 3)(x− 2) 6= 0⇔ (x 6= −3, x 6= 2). O domínio de definição é
R− {−3, 2} =]−∞,−3[∪ ]− 3, 2[∪ ]2,+∞[.
Segue o gráfico da função:
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d) Para x+1√2x2+2x−12 ser definida, é preciso serem preenchidas duas condições:
• 2x2 + 2x− 12 tem que ser positivo pela raiz√
2x2 + 2x− 12 ser definida,
• o denominador√
2x2 + 2x− 12 tem quer não nulo, isso é:
√2x2 + 2x− 12 6= 0⇔ 2x2 + 2x− 12︸ ︷︷ ︸
2(x+3)(x−2)
6= 0⇔ x 6= −3 e x 6= 2.
No final, é preciso 2x2 + 2x− 12 ser estritamente positivo pela função ser definida. Usando a fatoração2x2 + 2x− 12 = 2(x+ 3)(x− 2) da questão c) e a seguinte tabela de sinais:
x -∞ -3 2 +∞x+ 3 - 0 + + +x− 2 - - - 0 +
2x2 + 2x− 12 + 0 - 0 +
obtemos x2 + 2x− 12 > 0⇔ x < −3 ou x > 2. O domínio de definição é
R− [−3, 2] =]−∞,−3[∪ ]2,+∞[.
Segue o gráfico da função:
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e) Para x+3ln(x2−2x+1)
ser definida, é preciso serem preenchidas as seguinte condições:
• o polinômio x2 − 2x + 1 tem que ser estritamente positivo pelo logaritmo ln(x2 − 2x + 1) serdefinido (pois o domínio de ln é R>0). Aqui, x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 é sempre positivo, más seanula para x = 1.• o denominador ln(x2 − 2x + 1) tem de ser diferente de 0 pela fração ser bem definida. O único
valor em que ln se anula é 1 (ln(1) = 0) então basta calcular que:
ln(x2 − 2x+ 1) 6= 0⇔ x2 − 2x+ 1 6= 1
⇔ x2 − 2x︸ ︷︷ ︸=x(x−2)
6= 0
⇔ x 6= 0 e x 6= 2
No final, x tem de ser diferente de 1, 0 e 2, logo o domínio de definição é:
R− {0, 1, 2} =]−∞, 0[∪ ]0, 1[∪ ]1, 2[∪ ]2,+∞[.
Segue o gráfico da função:
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Observação: Note que neste gráfico, "parece que a função tem um valor para x = 1". Não é o caso : afunção não esta definida em x = 1 ! O que acontece é que x+3
ln(x2−2x+1)tem um limite, o qual é 0, quando
x→ 1. Assim, daria para "completar"a função por este valor em x = 0, para obter uma função contínua.Diz-se que a função é "prolongável por continuidade"em x = 1. Isto a gente vai ver no capítulo de limitee continuidade.
f) Para x+2ln(x2−2) é preciso serem preenchidas as seguinte condições:
• o polinômio x2 − 2 tem que ser estritamente positivo pelo logaritmo ln(x2 − 2) ser definido. Aqui,x2 − 2 = (x+
√2)(x−
√2) nem sempre o é, mas usando a tabela de sinais:
x -∞ −√
2√
2 +∞x+√
2 - 0 - + +x−√
2 - - - 0 +2x2 − 2 + 0 - 0 +
vemos que x2 − 2 > 0⇔ x ∈ x < −√
2 ou x >√
2.
• o denominador ln(x2− 2) tem de ser diferente de 0 pela fração ser bem definida. O único valor emque ln se anula é 1 (ln(1) = 0) então basta calcular que:
ln(x2 − 2) 6= 0⇔ x2 − 2 6= 1
⇔ x 6= −√
3 e x 6=√
3.
No final, o domínio de definição é:
R− [−√
2,√
2]− {−√
3,√
3} =]−∞,−√
3[∪ ]−√
3,−√
2[∪ ]√
2,√
3[∪ ]√
3,+∞[.
Aqui, é bom ver que −√
2 < −√
3 <√
2 <√
3, e√
2 ' 1, 2 enquando√
3 ' 1, 3. Segue o gráfico dafunção:
Observação: De novo, semelhantemente com o caso precedente e), parece no gráfico que a função temvalores em x = ±
√2, más não é o caso. Só os limites nestes pontos que existem.
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