clase07sistemas de segundo orden

7/25/2019 Clase07Sistemas de Segundo Orden

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Sistemas de segundo orden

Departamento de Control, Divisin de Ingeniera Elctrica

Facultad de Ingeniera UNAM

Mxico D.F. a 11 de Septiembre de 2006


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Sistemas de segundo orden 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Los sistemas de segundo orden continuos son aquellos que responden a

una ecuacin dierencial linea de segundo orden

)()()(

)()()(

212

2

0212

2

0 trbdt

tdrb

dt

trdbtca

dt

tdca

dt

tcda ++=++

Sin prdida de generalidad se anali!ar" un caso mu# com$n donde%

.0,,,1 102210 ====== bbKbapaa

&ue corresponde al siguiente sistema de segundo orden%

)( pssK+

)(sR )(sC)(sE K

p

donde

es una const.que representa

una ganancia.

es una const. real

representa al polo

del sistema.


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Su uncin de transerencia de la!o cerrado es%

Kpss

K

sR

sC

++= 2)()(

'omo se aprecia( los polos de la!o cerrado pueden ser de tres tipos


+

++

=

Kpp

sKpp

s

K

sR

sC

4242

)(

)(22

1. )eales dierentes si% Kp

>

4

2K

p =4

2

Kp

)(sC

La transormada in-ersa de Laplace de la ecuacin anterior es


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Fig. 'ur-as de respuesta al escaln unitario.

0 2 4 6 8 10 12

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

sa1>

ca1=

0=

2.0=

4.0=

7.0=8.0=

Figura. )espuesta

al escaln de

dierentes sistemas

de segundo orden.


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10/21


0 2 4 6 8 10 12

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

sa1>

ca1=

0=2.0=

4.0=

7.0=

Figura. )espuesta

al impulso de

dierentes sistemas

de segundo orden.


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Definicin de los parmetros de la respuesta transitoria

Las caracter3sticas de desempe4o de un sistema de control se comparan

bas"ndose en el tiempo de la repuesta transitoria. La caracter3sticatransitoria de los sistemas din"micos se presenta por la incapacidad de

responder de manera instant"nea a las entradas o perturbaciones. La

respuesta transitoria es com$n clasiicarla con base a los siguientes

par"metros.

1. 5iempo de retardo

2. 5iempo de crecimiento

*. 5iempo pico. Sobreimpulso m"ximo

7. 5iempo de establecimiento

rt

dt

pt

pM

st

a continuacin se deinen8

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t

c(t)

1

0

st

pM

rt pt


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5iempo de retardo

( . 9s el tiempo que tarda la respuesta en alcan!ar la mitad del

-alor inal por primera -e!.


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Sistemas de segundo orden2.: 5iempo de crecimiento

2.: 5iempo de crecimiento( . 9s el tiempo requerido para que la respuesta

aumente de 0 a 100; para sistemas subamortiguados( del 7 al


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0tan11costancos1cos 22 =

+=+ rdrdrdrdrd ttttt

o bien

d

d

d

d

rt 11 tan,tan

1 ==

=

drdt =

=2

1tan

el tiempo de crecimiento es

d


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*.: 5iempo pico( . 9s el tiempo requerido para que la respuesta alcance el

primer pico de sobreimpulso. 9l tiempo pico se obtiene deri-ando la ecuacin

de respuesta ct e igual"ndola a cero( con lo que se obtiene

pt

01

)(2

=

pntnpd etsen

d

ppd

pd

tt

sosobreimpulprimereleligese

sonecuacinestasatisfacenquevaloreslostsen

==

=.,,3,2,,0

,0

M


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Sistemas de segundo orden S=>)9,S=

1)( = pp tcM

+=

dd

dd sene

dn

2

)(

1cos

( ) ( ) ddn

ee

==

( ) 21=eMp

st

. 9s el -alor pico m"ximo de la cur-a de respuesta medido desde la

unidad o -alor deseado. 9l sobreimpulso m"ximo se obtiene de la

respuesta e-aluada en el tiempo pico.

pM


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7.: 5iempo de establecimiento(

7.: 5iempo de establecimiento( . 9s el tiempo m3nimo donde la cur-a derespuesta alcan!a # se mantiene dentro de un rango de error preestablecido(

generalmente es del 2; o del 7;( el rango m"s com$n es el del 2;. ,ara

sistemas de primer # segundo orden( la respuesta se mantiene dentro del 2;

despus de constantes de tiempo%

444 ===

ns

Tt


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Ejemplo% Deinir los par"metros de respuesta transitoria del sistema

)34(

75

+ss

)(sR )(sC

Desarrollo:

La uncin de transerencia de la!o cerrado es

7534

75

)(

)(2

++

=

sssR

sC

Se utili!a la siguiente igualdad

22

2

2 27534

75

nn

n

ssss

++=

++


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se obtiene

3752 =n

342 =n

375=n

877876.03752

34 ==

17=

partir de aqu3 se obtienen los par"metros de respuesta transitoria

segundostd

r 2849.0==

86=d

.499.0tan 1 radd ==

segundostd

p 33876.0==

( )%315.000315.0 === deM

p

segundosts 23529.04 ==

Nota:nali!ar porque prs ttt


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Ejemplo% De los siguientes par"metros de respuesta transitoria obtener

la uncin de transerencia.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t

c(t)

127

0

142

0.75

Desarrollo:de la gr"ica

1181.0127

127142 ==pM segundosts 75.0=9stos dos

,ar"metros

Son suicientes


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De st

3333.544 ===s

s

t

t

De # conociendopM

( )84335.7

ln===

pdp

MeM d

9ntonces

3333.5=

84335.7=d48486.9

22 =+= dn

56229.0===n

n

96256.89666.10

96256.89

2)(

222

2

++=

++=

sssssG

nn

n

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