circuitos de segundo orden

Circuitos de segundo Orden

Un circuito de segundo orden se caracteriza por una ecuacin diferencial de segundo orden. El cual consta de resistores y el equivalente de dos elementos de almacenamiento de energa (un capacitor o un inductor).Circuito RLC en serie sin fuente

En este trabajo analizaremos la respuesta natural de un circuito que contiene una resistencia, una inductancia y una capacitancia ideales conectadas en serie como lo muestra la figura.Tambin tenemos que tener en cuenta las caractersticas fundamentales de los elementos bsicos que utilizaremos en el circuito, las que se muestran a continuacin en la tabla.

Cuando nos referimos a un circuito RLC sin fuente damos por hecho que el inductor y capacitor estn cargados respectivamente. El capacitor con una tensin inicial de V0 y el inductor con una corriente inicial IO.Las condiciones iniciales en t =0 de este circuito son conocidas, estas son:

Aplicando leyes de tensiones de Kirchhoff a lo largo de la malla, obtenemos la siguiente ecuacin:

Para facilitar la resolucin de esta ecuacin, derivamos con respecto a t, quedando una ecuacin sin integrales:

Obteniendo as una ecuacin diferencial de segundo orden. Para resolver esta ecuacin diferencial tenemos dos opciones:

Conocer el valor inicial de i y su primera derivada

Conocer el valor inicial de alguna v e i.

Como ya sabemos el valor inicial de i(0) y v(0). Reemplazamos

Ahora despejamos y obtenemos:

Hay varias formas de solucionar esta ecuacin, una de ellas consiste en suponer una solucin de la siguiente forma:

Reemplazamos en y de la realizacin de las derivadas necesarias nos queda.

Al factorizar por

Esta ecuacin cuadrtica se conoce como ecuacin caracterstica de la ecuacin diferencial ya que sus races dictan el carcter de i.

Una forma compacta de expresar estas races es:

Las races y se denominan frecuencias naturales medidas en nepers por segundo se conoce como frecuencia resonante o como frecuencia natural no amortiguada, medida en radianes por segundo

es la frecuencia neperiana o factor de amortiguamiento, medida en nepers por segundo

Podemos reemplazar la ecuacin con y

Los valores de y nos llevan a obtener un e , es decir:

Una solucin completa de la ecuacin requiere una combinacin lineal de e

Obteniendo la respuesta natural del circuito RLC en serie:

Los valores de y sern determinados a partir de los valores iniciales de i(0) y di(0)/dt.

Caso sobreamortiguado

Este caso ocurre cuando las races del circuito son diferentes, negativas y reales. Debido a que

Caso crticamente amortiguado

Este caso ocurre cuando las races son reales e iguales

Cuando , obtenemos la siguiente ecuacin.

Esta representa una ecuacin diferencial de primer orden con solucin . Reemplazando en obtenemos;

Que tambin se puede escribirse como:

Integrando respecto a dt:

Obteniendo una respuesta natural del circuito crticamente amortiguado la suma de dos trminos: una exponencial negativa y una exponencial negativa multiplicada por un trmino lineal.

Caso subamortiguado

Este caso ocurre cuando las races son complejas.

Las races serian:

Donde

Tanto como son frecuencias naturales, porque contribuyen a determinar la respuesta natural; mientras que a suele llamrsele frecuencia natural no amortiguada, se llama frecuencia natural amortiguada. La respuesta natural es

Usando identidades de Euler:

Nos queda

Al sustituir las constantes

Simulacin

Esquema circuito, caso sobreamortiguado:

Simbologa:

Grafico Voltaje vs. Tiempo .Bobina

Grafico Voltaje vs. Tiempo .Condensador

Esquema circuito, caso crticamente amortiguado:

Simbologa:



Esquema circuito, caso subamortiguado:

Simbologa:



Nota: no se pudo graficar la corriente en funcin del tiempo como se expresaba anteriormente en el informe, ya que, no tenamos un simulador que lo hiciera, lo cual tuvimos que utilizar solo un osciloscopio, el cual nos entregaba una grafica de voltaje versus tiempo.EjemplosDe la figura:

Caso sobreamortiguado:

Calculando las races:

Las races quedan:

Debido a que la respuesta es sobreamortiguada.Caso crticamente amortiguado:Caso subamortiguado:

ConclusinSe concluye esta seccin sealando las siguientes interesantes y peculiares propiedades de una red RLC:

1. El comportamiento de una red de este tipo se presenta en la idea de amortiguamiento, el cual es la prdida gradual de la energa almacenada inicialmente, como lo evidencia el continuo decremento de la amplitud de la respuesta. El efecto de amortiguamiento se debe a la presencia de la resistencia R. El factor de amortiguamiento a determina la velocidad con la cual se amortigua la respuesta. Si R = 0, entonces = O, y se tiene un circuito LC con como frecuencia natural no amortiguada. Dado que < en este caso, la respuesta no slo es no amortiguada, sino tambin oscilatoria. Se dice que el circuito es sin prdidas, porque el elemento disipador o amortiguador (R) est ausente- Ajustando el valor de R. la respuesta puede volverse no amortiguada, sobreamortiguada, crticamente amortiguada o subamortiguada.Observaciones:

R = 0 produce una respuesta perfectamente senoidal. Esta respuesta no puede cumplirse en la prctica con L y C, a causa de tas prdidas inherentes a ellos. La respuesta de un circuito de segundo orden con dos elementos de almacenamiento del mismo tipo, no puede ser oscilatoria.

2. La respuesta oscilatoria es posible debido a la presencia de los dos tipos de elementos de almacenamiento. La disposicin tanto de L como de C permite que el flujo de energa vaya y venga entre los dos. La oscilacin amortiguada exhibida por la respuesta subamortiguada se conoce como resonancia. Se deriva de la capacidad de los elementos de almacenamiento L y C para transferir energa de un lado a otro entre ellos.

3. En general, resulta difcil percibir la diferencia entre las respuestas sobreamortiguada y crticamente amortiguada en las formas de onda. Este ltimo caso es la frontera entre los casos subamortiguado y sobreamortiguado, y es el que decae con mayor rapidez- Con tas mismas condiciones iniciales, el caso sobreamortiguado tiene el mayor tiempo de estabilizacin, porque es en el que la energa inicial almacenada tarda ms en disiparse. Si se desea la respuesta que aproxime con ms rapidez el valor final sin oscilacin o resonancia, el circuito crticamente amortiguado es la opcin correcta. EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4






Existen tres posibles casos:

Si EMBED Equation.DSMT4 , caso sobreamortiguado.

Si EMBED Equation.DSMT4 , caso crticamente amortiguado.

Si EMBED Equation.DSMT4 , caso subamortiguado.














ALEXANDER, C.K.; F.N. SADIKU. 2000. Fundamentos de circuitos elctricos. Circuitos de segundo orden. 3ed. Espaa, The McGraw-Hill. 901p.

Figura obtenida de ALEXANDER, C.K.; F.N. SADIKU. 2000. Fundamentos de circuitos elctricos. Circuitos de segundo orden. 3ed. Espaa, The McGraw-Hill. 901p.



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circuitos de segundo orden

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