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CIRCUITOS ELECTRICOS 12011-0

9. Circuitos de 2do. Orden

Profesor: Ing. Salomon Luque Gamero

Fuente: FUNDAMENTALS OF ELECTRIC CIRCUITSThird Edition Charles K. Alexander-Matthew N.O. Sadiku McGraw-Hill 2007

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9. Circuitos de Segundo Orden

9.1 Ejemplos de circuitos RCL de 2do orden9.2 Circuitos RLC en serie sin fuente9.3 Circuitos RLC en paralelo sin fuente 9.4 Respuesta a la funcin paso de un circuito

RLC en serie9.5 Respuesta a la funcin paso de un circuito

RLC en paralelo

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Objetivos del Proceso de AprendizajeAl termino de este capitulo debe tener habilidad y destreza para que:z Use los circuitos de segundo orden

z Encuentre los valores iniciales y finales de las variables del circuito

z Compare los circuitos RLC series y paralelo sin fuentes

z Determine la respuesta de un circuito RLC a una funcin paso

z Use los circuitos de segundo orden en general que incluyen Op Amp

z Aplique el PSpice para analizar circuitos de segundo orden

z Explique el concepto de dualidad

z Aplique lo aprendido a los circuitos de encendido del automvil y de aislamiento

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9.1 Ejemplo de Circuitos RLC deSegundo Orden (1)

Qu es un circuito de Segundo orden?Un circuito de segundo orden esta caracterizado por una ecuacin diferencial de segundo orden. Consiste en resistores y el equivalente de dos elementos almacenadores de energa.

RLC Serie RLC Paralelo RL tipo T RC tipo Pi

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9.2 Circuitos RLC serie sin fuente (1)

La solucin de un circuito RLC serie sin fuente es llamada como la respuesta natural de un circuito.

El circuito es inducido por la energa inicial almacenada en el capacitor y el inductor.

022

=++LCi

dtdi

LR

dtidLa Expresin

de 2do Orden

Cmo resolverla?

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9.2 Circuitos RLC serie sin fuente(3)

Existen tres soluciones posibles para la siguiente ecuacin diferencia de 2do orden:

022

=++LCi

dtdi

LR

dtid

Los tipos de solucin para i(t) dependen de los valores relativos de y .

=> 02202

2

=++ idtdi

dtid

LCand

LR 12 0

== Forma general de 2do orden

donde

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02 2022

=++ idtdi

dtid

Existen tres soluciones posibles para la siguiente ecuacin diferencia de 2do orden:

1. Si > o, sobre-amortiguadotsts eAeAti 21 21)( += 2022,1 =sdonde

2. Si = o,criticament- amortig.tetAAti += )()( 12 =2,1sdonde

3. Si < o, sub-amortiguado)sincos()( 21 tBtBeti dd

t += donde 220 =d

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9.2 Circuitos RLC serie sin fuente(5)

Ejemplo 1

Si R = 10 , L = 5 H, y C = 2 mF en 8.8, hallar , 0, s1 y s2.

Qu tipo de respuesta natural tendr el circuito?

Respuesta: sub-amortiguado

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9.2 Circuitos RLC serie sin fuente(6)

Ejemplo 2

El circuito mostrado ha alcanzado un estado estable en t = 0-.

Si el interruptor se mueve a la posicin b en t = 0, calcular i(t) para t > 0.

Respuesta: i(t) = e2.5t[5cos1.6583t 7.538sin1.6583t] A

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9.3 Circuitos RLC paralelo sinfuente(1)

La expresin de 2do orden. 0

112

2

=++ vLCdt

dvRCdt

vd

==0

0 )(1)0( dttvL

IiSi

v(0) = V0Aplicar KCL al nodo superior

=++t

dtdvCvdt

LRv 01

Tomando la derivada con respecto a t y dividindola entre C

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LCRCv

dtdv

dtvd 1

2102 0

202

2

===++ and where

Existen tres posibles soluciones para la siguiente ecuacin diferencial de 2do orden:

1. Si > o, sobre-amortiguadotsts eAeAtv 21 )( 21 += 2022,1 =sdonde

2. Si = o, criticamente-amortig.tetAAtv += )( )( 12 = 2,1sdonde

3. Si < o, sub-damped

)sincos()( 21 tBtBetv ddt += donde 220 =d

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9.3 Circuitos RLC paralelo sinfuente (3)

Ejemplo 3

Observar el circuito de la parte inferior. Hallar v(t) para t > 0.

Respuesta: v(t) = 66.67(e10t e2.5t) V

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9.4 Respuesta a la funcin paso enun circuito RLC en serie(1)

La respuesta al paso es obtenida por la sbita aplicacin de unafuente dc

La expresin de 2do orden LC

vLCv

dtdv

LR

dtvd s=++2

2

La ecuacin tiene la misma forma que la ecuacin de los circuitos RLC serie sin fuente. Los mismos coeficientes (importante para determinar los

parmetros de frecuencia) Un circuito diferente varia en la ecuacin

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La solucin de la ecuacin debera tener 2 componente:la respuesta transitoria vt(t) y la respuesta estado estable vss(t)

)()()( tvtvtv sst +=

La respuesta transitoria vt es igual a la del caso de fuente libre

La respuesta estado estable es el valor final de v(t). vss(t) = v() Los valores de A1 and A2 son obtenidos de las condiciones iniciales: v(0) and dv(0)/dt.

tstst eAeAtv 21 21)( += (sobre-amortg)

tt etAAtv

+= )()( 21 (criticam-amortig))sincos()( 21 tAtAetv dd

tt += (sub-amortig.)

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9.4 Respuesta a la funcin paso deun circuito RLC en serie(3)

Ejemplo 4

Habiendo estado en una posicin por un periodo de tiempo largo, el interruptor del circuito mostrado debajo es movido a la posicin b en t = 0. Hallar v(t) y vR(t) para t > 0

Respuesta: v(t) = {10 + [(2cos3.464t 1.1547sin3.464t)e2t]} V

vR(t)= [2.31sin3.464t]e2t V

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9.5 Respuesta a la funcin paso deun circuito RLC en paralelo(1)

La respuesta al paso es obtenida por la sbita aplicacin de una fuente dc

La expresin de 2do orden

La ecuacin tiene la misma forma que la ecuacin de los circuitos RLC serie sin fuente.

Los mismos coeficientes (importante para determinar losparmetros de frecuencia)

Un circuito diferente varia en la ecuacin

LCI

LCi

dtdi

RCdtid s=++ 12

2

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La solucin de la ecuacin debera tener 2 componentes:La respuesta transitoria vt(t) y la respuesta estado estable vss(t):

)()()( tititi sst += La respuesta transitoria it es igual que en el caso de fuente libre.

La respuesta de estado estable es el valor final de i(t). iss(t) = i() = Is Los valores de A1 y A2 son obtenidos de las condiciones iniciales: i(0) and di(0)/dt.

tstst eAeAti 21 21)( += (sobre-amortg)

tt etAAti

+= )()( 21 (criticam. amortg))sincos()( 21 tAtAeti dd

tt += (sub-amortig.)

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9.5 Respuesta a la funcin paso deun circuito RLC en paralelo(3)

Ejemplo 5

Hallar i(t) y v(t) para t > 0 en el circuito mostrado

Respuesta: v(t) = Ldi/dt = 5x20sint = 100sint V

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RESUMEN :Circuitos de segundo orden

1. La determinacin de los valores iniciales x(0) y dx(0)/dt y del valor final x () es crucial para analizar circuitos de segundo orden.

2. El circuito RLC es de segundo orden porque se describe mediante una ecuacin diferencial de segundo orden. Su ecuacin caracterstica es: s2 + 2s + o2, = 0, donde es el factor de amortiguamiento y o la frecuencia natural no amortiguada. En un circuito en serie, = R/2L, en un circuitoen paralelo, = 1/2RC, y en ambos casos o = 1/0 LC

3. Si no hay fuentes independientes en el circuito despus de la conmutacin (o cambio sbito), se considera el circuito comosin fuente. La solucin completa es la respuesta natural.

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4. La respuesta natural de un circuito RLC ser sobreamortiguada, subamortiguada o crticamente amortiguada, dependiendo de las races de la ecuacin caracterstica. La respuesta es crticamente amortiguada cuando las races son iguales (s1 = s2o = o ), sobreamortiguada cuando las races son reales y diferentes (s1 s2 o > o ) y subamortiguada cuando las races son complejas conjugadas (s1 = s2* o < o ).

5. Si en el circuito estn presentes fuentes independientes despus de la conmutacin, la respuesta completa es la suma de la respuesta natural y la respuesta forzada de estado estable.

6. PSpice se usa para analizar circuitos RLC de la misma manera que en el caso de los circuitos RC o RL.

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7. Dos circuitos son duales sin las ecuaciones delazo que describen a uno de ellos tienen la mismoforma que las ecuaciones nodales que describenal otro. El anlisis de un circuito implica el anlisis de su circuito dual.

8. El circuito de encendido de un automvil y el circuito de alisamiento son aplicaciones usualesdel material analizado.

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Figura 8.58 paraLas preguntas de Repaso 8.1 y 8.2

9.1

9.2

Preguntas de repaso

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9.3

9.4

09/01/2011 SLUQUEG 24

9.5

9.6

9.7

Figura 8.59 pregunta 8.7

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9.8

Figura 8.60 para la pregunta de repaso 8.8

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9.9

Figura 8.61 para la pregunta de Repaso 8.9

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9.10

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Respuesta: 9.1a, 9.2c, 9.3b, 9.4d, 9.5d, 9.6c,

9.7b, 9.8b, 9.9 i) c, ii) b, iii) a, iv) d,f,

9.10a.

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