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CLASE 2: Técnicas de Conteo y Probabilidades
Sector: MatemáticasCurso: 1° Medio BSubsector: MatemáticasProfesora: Daniela Gaete
DIAGRAMA DE ÁRBOLPERMUTACIONES
Son estrategias utilizadas en situaciones en las que es difícil llevar a cabo una cuantificación por observación directa
Técnicas de conteo
Es una técnica de conteo que permite representar gráficamente un experimento que consta de n pasos, donde cada uno tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo.
Diagrama de árbol
Camila no sabe que usar hoy.
Diagrama de árbol:
Jeans
Blusazapatos
sandalias
Polerazapatos
sandalias
Shorts
Blusazapatos
sandalias
Polerazapatos
sandalias
¿Cuál es la probabilidad de que Camila use la polera, short y sandalias?
Aníbal juega un videojuego y debe escoger las siguientes características para su auto:
Auto deportivo
Llantas N°1
Rojo
Amarillo
Negro
Verde
Llantas N°2
Rojo
Amarillo
Negro
Verde
¿Cuál es la probabilidad de que elija el auto deportivo las llantas N°2 y el color sea negro?
Hammer
Llantas N°1
Rojo
Amarillo
Negro
Verde
Llantas N°2
Rojo
Amarillo
Negro
Verde
Indica que si un proceso se realiza de n maneras distintas y otro de m maneras distintas, existen nm maneras distintas de realizar ambos procesos.
Principio Multiplicativo
PERMUTACIONES
Son cada una de las ordenaciones posibles elementos de un conjunto finito
Una permutación de n elementos diferentes se calcula mediante
Es decir
Permutaciones sin Repetición
Sí entran todos los elementos.Sí importa el orden.No se repiten los elementos.
Un juego consiste en adivinar el orden de extracción de tres pelotas (Amarilla, Celeste y Fuccia). Ana apostó que el orden de las pelotas será Fucsia, Amarilla, Celeste ¿Cuál es la probabilidad de que gane la apuesta?
Resultados posibles al sacar la primera bolita
Resultados posibles al sacar la segunda bolita
Resultados posibles al sacar la tercera bolita
Análogamente, utilizando el principio multiplicativo se obtiene el total de casos posibles, esta situación corresponde a una permutación.
Posibilidades para la primera extracción
Posibilidades para la segunda extracción
Posibilidades para la tercera extracción
Total de casos
Permutaciones con elementos repetidos
Sí entran todos los elementos.Sí importa el orden.Sí se repiten los elementos.
Una permutación de n elementos, en los cuales existen r elementos iguales entre si, k elementos iguales entre sí, y m elementos iguales entre sí, se calcula dividiendo la cantidad de permutaciones de n elementos en el producto de permutaciones de r, k y m elementos repetidos .
Esto se generaliza mediante la expresión:
En una caja hay 3 bolitas, dos de ellas verdes y una roja ¿ cual es la probabilidad que de el orden de extracción sea verde-verde-rojo?
Permutaciones con elementos repetidos
Otra forma de cuantificar la situación, sin utilizar el diagrama de árbol, es considerar los elementos repetidos para calcular la extracción.
Hay 3! Casos posibles y 2 elementos repetidos
Permutaciones con elementos Repetidos
En una caja tenemos 10 pelotas, las cuales son 5 azules, 3 rojas y 2 verdes
¿ cuantas extracciones diferentes existen?
Ejemplo
10 !5 ! ∙3 ! ∙2 !
=10 ∙9 ∙8 ∙7 ∙6 ∙5 ∙4 ∙3 ∙2∙1
(5 ∙4 ∙3 ∙2∙1)∙(3∙2 ∙1) ∙(2 ∙1)=¿