Ley de Gauss

Para estudiar la ley de Gauss asociada con campos eléctricos, primero debemosentender el concepto “flujo del vector campo eléctrico”.

El flujo de un campo vectorial cualquiera puede entenderse como la formaescalar de medir la penetración de la propiedad vectorial a través de un elementofijo, real o imaginario, de una superficie.

Para tratar al flujo de un campo eléctrico, supongamos la situación de tener uncampo eléctrico uniforme, generado por un agente externo, y en su seno secoloca una superficie, tal y como se muestra en las siguientes imágenes.

1

Para la representación de laizquierda el vector campo eléctricoatraviesa la superficie de la formamás eficiente mientras que en larepresentación de la derecha elvector campo eléctrico no atraviesa ala superficie.

Podemos decir que el flujo del campoeléctrico es máximo en la primerarepresentación y nulo en la segundarepresentación.

𝐸 𝐸

Ley de Gauss

Para expresar las situaciones anteriores de forma matemática, debemos recordarque el flujo es una medida escalar pero el campo eléctrico es vectorial, por lotanto, requerimos de un segundo vector que nos permita obtener la medidaescalar denominada flujo.

En este punto es claro que el flujo no sólo depende del vector campo eléctricosino también de la “dirección” de la superficie analizada, por ello, lacaracterística vectorial que buscamos será asociada con la superficie. Con estefin, propondremos la existencia de un vector unitario que será normal a lasuperficie, de forma tal que, al realizar el producto escalar o producto puntoentre el vector normal unitario a la superficie y el vector campo eléctrico, elentre el vector normal unitario a la superficie y el vector campo eléctrico, elresultado será un escalar que asociaremos con el flujo.

El análisis anterior nos indica que el flujo de un campo eléctrico, F, se puedeexpresar como:

El flujo de un campo eléctrico tiene unidades de Nm2/C y es una medida escalar.

Φ = 𝐸⦁𝑛𝑆 = 𝐸 |𝑛𝑆|𝑐𝑜𝑠𝜃

2

Ley de GaussCon la definición anterior, ahora podemos “matematizar” el flujo del vector campoeléctrico que se analizó “intuitivamente” al inicio.

En el caso del flujo de campo eléctrico nulo, obsérvese que el vector campo eléctricoy el vector normal unitario a la superficie hacen un ángulo de 90 grados.

Φ = 𝐸⦁𝑛𝑆 = 𝐸 |𝑛𝑆|𝑐𝑜𝑠90

Φ = 0 Nm2/C 𝑛𝑆

𝐸 𝑛𝑆

𝐸

CUIDADO: Una superficie únicamente tendrá un vector normal unitario asociado.

En el caso del flujo de campo eléctrico máximo, podemos establecer que:

Cuando el flujo es positivo debe entender que el vector campo eléctrico “sale” de lasuperficie pero si el flujo es negativo entonces el vector campo eléctrico “entra” a lasuperficie. Esto depende de cómo se analiza el vector normal de superficie. 3

𝑛𝑆

𝑛𝑆

𝐸 𝐸

𝑛𝑆

En la imagen izquierda:

En la imagen derecha:

Φ = 𝐸⦁𝑛𝑆 = 𝐸 |𝑛𝑆|𝑐𝑜𝑠180 = − 𝐸 |𝑛𝑆|

Φ = 𝐸⦁𝑛𝑆 = 𝐸 |𝑛𝑆|𝑐𝑜𝑠0 = 𝐸 |𝑛𝑆|

Ley de GaussSupongamos que ahora ponemos, en el mismo campo eléctrico uniforme, uncuerpo geométrico de superficie cerrada como un cubo.

𝐸

𝑛𝑆1 𝑛𝑆2

𝑛𝑆3 𝑛𝑆4

𝑛𝑆5 𝑛𝑆6

En este caso se tendrían seis direcciones diferentes para el vector normal unitarioa la superficie, pues existen seis caras, por lo que el flujo total del vector de campoeléctrico será la suma de los flujos independientes:

Observando la dirección de los vectores normales unitarios asociados a lassuperficies S1, S2, S3 y S4, veremos que son perpendiculares con el vector campoeléctrico, por lo tanto, el flujo en estas superficies será cero, F = 0 Nm2/C.

4

Φ = Φi

6

𝑖=1

= �⃗�⦁𝑛𝑆i

6

𝑖=1

𝑛𝑆3

Ley de GaussEn el caso del vector normal unitario asociado a la superficie S5, este forma unángulo de 180 grados con el vector campo eléctrico así que el flujo en estasuperficie será negativo (entrante) mientras que el vector normal unitario asociadoa la superficie S6 forma un ángulo de 0 grados con el vector campo eléctrico por loque el flujo será positivo (saliente).

Al realizar la suma de las seis contribuciones para obtener el flujo total del vectorcampo eléctrico, encontraremos que este será cero, F = 0 Nm2/C.

Φ5 = 𝐸⦁𝑛𝑆5 = − 𝐸 |𝑛𝑆5| Φ6 = 𝐸⦁𝑛𝑆6 = 𝐸 |𝑛𝑆6|

El resultado anterior es entendible por que el vector campo eléctrico es uniforme yel área de la superficie S5 y S6 son de la misma cantidad, recuerda que es un cubo,entonces la suma de los flujos asociado a estas dos superficies tendrán la mismacantidad pero de signo contrario, resultando en un flujo cero.

Ejercicio 1.Encuentre el flujo eléctrico en el siguiente prisma triangular de lados A, B y C. Elcampo eléctrico es uniforme, con dirección a la derecha y paralelo al lado C.

5

A

B

Cb

Ley de GaussSi colocamos el prisma triangular en el campo eléctrico uniforme, tendremos:

En este caso se tendrían cinco direcciones diferentes para el vector normal unitario

𝑛𝑆5 A

B

C

𝐸 𝑛𝑆1

𝑛𝑆2

𝑛𝑆3 𝑛𝑆4

b

En este caso se tendrían cinco direcciones diferentes para el vector normal unitarioa la superficie, pues existen cinco caras, por lo que el flujo total del vector decampo eléctrico será la suma de los flujos independientes:

Observando la dirección de los vectores normales unitarios asociados a lassuperficies S1, S3 y S4, veremos que son perpendiculares con el vector campoeléctrico, por lo tanto, el flujo en estas superficies será cero, F = 0 Nm2/C.

6

Φ = Φi

5

𝑖=1

= �⃗�⦁𝑛𝑆i

5

𝑖=1

Ley de GaussEn el caso del vector normal unitario asociado a la superficie S5, este forma unángulo de 180 grados con el vector campo eléctrico así que el flujo en estasuperficie será negativo (entrante).

En el caso del vector normal unitario asociado a la superficie S2, este forma unángulo de 90–b con el vector campo eléctrico debido a la inclinación que tiene lasuperficie S2, así que el flujo será:

Φ5 = 𝐸⦁𝑛𝑆5 = − 𝐸 |𝑛𝑆5|

Φ2 = 𝐸⦁𝑛𝑆2 = 𝐸 |𝑛𝑆2|cos (90 − 𝛽)

Para resolver el flujo asociado a S2 requerimos del área de la superficie, la cual, alser un rectángulo, es el producto de sus lados. Uno de los lados es B pero el otrolado es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son A y C, es decir,[A2+C2]1/2. Por lo tanto, el área de S2 será: B[A2+C2]1/2.

Además, sabemos que cos(90–b) es igual a sen(b) cuando b es menor a 90 grados.

Si multiplicamos el área por el cambio de la identidad trigonométrica, tendremos:

7

Φ2 = 𝐸⦁𝑛𝑆2 = 𝐸 |𝑛𝑆2|cos (90 − 𝛽)

Φ2 = 𝐸 |𝑛𝑆2| cos(90 − 𝛽) = 𝐸 B[A2 + C2]1/2 sen(𝛽)

Ley de GaussSi seguimos reduciendo los términos, podemos darnos cuenta que [A2+C2]1/2,hipotenusa del triángulo rectángulo, multiplicado por el sen(b) representa el catetoopuesto de dicho triángulo rectángulo, es decir, el lado A. Así que el flujo sería:

El resultado anterior brinda un flujo positivo, lo cual es coherente con el hecho deque el vector campo eléctrico “sale” por la superficie S2.

Si ahora sumamos los flujos del vector campo eléctrico resultante para las cincocaras obtendremos:

Φ2 = 𝐸 B[A2 + C2]1/2 sen(𝛽) = 𝐸 BA

caras obtendremos:

Pero el área de la superficie S5 es el producto de los lados BA, así que el flujo totaldel vector campo eléctrico será cero, F = 0 Nm2/C.

8

Φ2 = Φ1 + Φ2 + Φ3 + Φ4 + Φ5 = 0 + 𝐸 BA + 0 + 0 − 𝐸 |𝑛𝑆5|

𝑛𝑆5 A

B

C

𝐸 𝑛𝑆1

𝑛𝑆2

𝑛𝑆3 𝑛𝑆4

b

Ley de GaussDadas las situaciones anteriores (cubo y prisma triangular) podemos establecerque para cualquier superficie cerrada de área total A, inmersa en un campoeléctrico uniforme, el flujo total del vector campo eléctrico estaría definido por:

Sin embargo, resolver la integral de superficie en presencia de un campo eléctricouniforme y externo a la superficie cerrada, independientemente de la forma de lasuperficie, daría como resultado que: F = 0 Nm2/C.

Φ = Φi

𝑁

𝑖=1

= 𝐸⦁𝑑𝑛𝑆

Para evitar la situación anterior, es requerido alguna de las siguientes condiciones:

• Que el vector de campo eléctrico externo no sea uniforme en el espacio.

• Que el campo eléctrico no sea externo; es decir, que el elemento con cargaeléctrica que genera la perturbación de campo eléctrico esté encerrado por lasuperficie cerrada.

Analicemos ahora las condiciones anteriores…

9

Ley de GaussLa primera condición requiere de un campo eléctrico externo que no sea uniforme,para ello consideremos un vector campo eléctrico, medido en N/C, descrito por:

En este campo eléctrico colocaremos un cubo de lado L, L = 2.0 m, que seráconfigurado de forma que un vértice coincida con el origen del espacio euclidianotridimensional y con el cubo situado en el primer octante (x+, y+, z+).

𝐸 = 5𝑥𝑖̂ + 3𝑗̂ − 4𝑘

z

El área de cada una de las seis superficies será L2, A = 4.0 m2, pero los vectoresnormales serán:

10

xy

𝑛𝑆1 𝑛𝑆2

𝑛𝑆3 𝑛𝑆4

𝑛𝑆5 𝑛𝑆6

xy

z 𝑛𝑆1 = 4𝑘

𝑛𝑆2 = −4𝑖̂

𝑛𝑆3 = −4𝑘

𝑛𝑆4 = 4𝑖̂

𝑛𝑆5 = −4𝑗̂

𝑛𝑆6 = 4𝑗̂

Ley de GaussRealizando el producto del vector campo eléctrico por cada vector normal desuperficie, tendremos los flujos individuales del vector campo eléctrico :

Como puede observarse, los flujos asociados con las superficies S y S , paralelas

Φ1 = 𝐸⦁𝑛𝑆1 = 5𝑥�̂� + 3𝑗̂ − 4𝑘 ⦁ 4𝑘 = −16 Nm2/C

Φ2 = 𝐸⦁𝑛𝑆2 = 5𝑥𝑖̂ + 3𝑗̂ − 4𝑘 ⦁(−4�̂�) = −20𝑥 Nm2/C

Φ3 = 𝐸⦁𝑛𝑆3 = 5𝑥𝑖̂ + 3𝑗̂ − 4𝑘 ⦁ −4𝑘 = 16 Nm2/C

Φ4 = 𝐸⦁𝑛𝑆4 = 5𝑥𝑖̂ + 3𝑗̂ − 4𝑘 ⦁(4𝑖̂) = 20𝑥 Nm2/C

Φ5 = 𝐸⦁𝑛𝑆5 = 5𝑥𝑖̂ + 3𝑗̂ − 4𝑘 ⦁(−4𝑗̂) = −12 Nm2/C

Φ6 = 𝐸⦁𝑛𝑆6 = 5𝑥�̂� + 3𝑗̂ − 4𝑘 ⦁(4𝑗̂) = 12 Nm2/C

𝑛𝑆1 𝑛𝑆2

𝑛𝑆3 𝑛𝑆4

𝑛𝑆5 𝑛𝑆6

xy

z

Como puede observarse, los flujos asociados con las superficies S1 y S3, paralelasal eje cartesiano z, se anulan entre ellas debido a que la componente z del vectorcampo eléctrico es constante. Situación equivalente sucederá con los flujosasociados con la superficies S5 y S6, paralelas con el eje cartesiano y.

Sin embargo, para determinar el valor del flujo en las superficies S2 y S4 esnecesario asignar un valor de “x” ya que el campo eléctrico es dependiente de estacoordenada. Si observamos la superficie S2 se tiene asociada una coordenadax = 0m pues ahí corta el eje x , por lo tanto el flujo en esta superficie será ceromientras que la coordenada x asociada con la superficie S4 es x = 2 m, resultandoen un flujo de 40 Nm2/C.

Por lo tanto, el flujo total del vector campo eléctrico será F = 40 Nm2/C.11

Ley de GaussLa segunda condición requiere que el elemento de carga eléctrica que genera elcampo eléctrico esté encerrado por la superficie cerrada, así que consideremos unacarga puntual positiva, Q, que está en el centro de una superficie esférica de radioR.

Como es sabido, el vector campo eléctrico generado por una partícula de cargaeléctrica positiva tiene una dirección que siempre apunta de forma opuesta a la

R

+

eléctrica positiva tiene una dirección que siempre apunta de forma opuesta a laposición de la partícula, por lo que al elegir cualquier punto de la superficieesférica, el vector normal unitario de la superficie y el vector campo eléctrico seránparalelos.

En este momento es adecuado mencionar que la superficie cerrada que encierra alelemento de carga eléctrica que produce el vector campo eléctrico, se conoce bajo elnombre de superficie gaussiana. 12

𝑑𝑛𝑆

𝐸

R

+ Φ = 𝐸⦁𝑑𝑛𝑆 = 𝐸 |𝑑𝑛𝑆|𝑐𝑜𝑠𝜃 = �⃗� |𝑑𝑛𝑆|

El flujo total del vector campo eléctrico estaría dado por:

Ley de GaussAntes de resolver la integral de superficie encontrada y así determinar el flujo delvector campo eléctrico, recordemos que la carga eléctrica está en el centro de laesfera, por lo tanto, la distancia de separación entre la carga eléctrica y cualquierelemento diferencial de la superficie gaussiana es igual al radio de la esfera.

Si retomamos que la magnitud del campo eléctrico generado por una cargaeléctrica puntual depende de la distancia de separación entre el punto de análisis yla carga eléctrica, entonces:

𝐸 =𝑘𝑄

𝑅2

Lo que nos da un campo eléctrico, en magnitud, que es constante para cualquierelemento diferencial de la superficie gaussiana, permitiéndonos extraer estetérmino de la integral de superficie.

Como puede verse, únicamente nos resta resolver la integral de superficie asociadacon los elementos diferenciales de la superficie gaussiana pero dicha integralcorresponde con el área de la superficie gaussiana. Como la superficie gaussianaes esférica, entonces:

13

Φ = �⃗� |𝑑𝑛𝑆| = 𝐸 |𝑑𝑛𝑆| =𝑘𝑄

𝑅2|𝑑𝑛𝑆|

𝐸 =𝑅2

|𝑑𝑛𝑆| = 4𝜋𝑅2

Ley de GaussAhora sustituiremos el resultado de la integral de superficie en la ecuación del flujodel vector campo eléctrico para determinar el valor de este último:

Cambiando la constante de Coulomb por su definición en términos de lapermitividad del vacio, e0, y reduciendo al máximo la ecuación, encontraremos:

Φ =𝑘𝑄

𝑅2|𝑑𝑛𝑆| =

𝑘𝑄

𝑅24𝜋𝑅2

Φ =𝑘𝑄

𝑅24𝜋𝑅2 =

𝑄

4𝜋𝜀0𝑅24𝜋𝑅2 =

𝑄

𝜀0

En donde podemos observar que cuando el elemento de carga eléctrica estáencerrado por la superficie gaussiana, entonces, el flujo del vector campo eléctricoes independiente de la geometría de la superficie gaussiana así como de la distanciade separación entre el elemento de carga eléctrica y la superficie gaussiana,dependiendo únicamente de la carga eléctrica encerrada, Q.

Lo anterior permite expresar la ley de Gauss, la cual relaciona el flujo del vectorcampo eléctrico con la carga eléctrica encerrada, Q, de la siguiente forma:

14

Φ =𝑘𝑄

𝑅24𝜋𝑅2 =

𝑄

4𝜋𝜀0𝑅24𝜋𝑅2 =

𝑄

𝜀0

Φ = �⃗�⦁𝑑𝑛𝑆 =𝑄

𝜀0 Ley de Gauss

Ley de GaussLa ley de Gauss sirve para determinar, de forma sencilla, la magnitud del vectorcampo eléctrico cuando se tienen elementos de carga eléctrica con alta simetría.

La elección de la superficie gaussiana, aunque arbitraria, tiene relevancia parafacilitar la determinación de la magnitud del vector campo eléctrico.

Por ello, se sugiere que la simetría de la superficie gaussiana tenga las mismascaracterísticas geométricas que el elemento que tiene la carga eléctrica, así lamagnitud del vector campo eléctrico será constante y podrá salir de la integral, conlo que la integral de superficie corresponderá con el área de la superficie gaussiana.

Ejercicio 2.Determina la expresión que permite determinar la magnitud del vector campoeléctrico a una distancia r de un alambre recto muy largo de longitud L que tienedensidad lineal de carga eléctrica, l.

Como el alambre es muy largo, la longitud de la superficie gaussiana deberá detener el mismo largo que el alambre para encerrar toda la carga eléctrica.

15

l

Ley de Gauss

Dado que el elemento de carga eléctrica es un alambre recto muy largo, elegiremosuna superficie gaussiana que sea cilíndrica con la misma longitud que el alambre ycuyo radio corresponda con la distancia r a la que se desea medir la magnitud delvector campo eléctrico. Esta es la superficie que mejor representa la simetría delalambre.

lr

Aplicando la ley de Gauss, tendremos:

Si l es positiva, entonces, el ángulo q entre el vector campo eléctrico y el vectornormal a la superficie será cero grados y, con ello, el flujo será positivo (saliente)pero si l es negativa, entonces, el ángulo q entre el vector campo eléctrico y elvector normal a la superficie será 180 grados y el flujo será negativo (entrante).

Considerando que l es positiva, el cosq será uno y como la distancia r entrecualquier punto del alambre y la superficie gaussiana es constante, dado que lossistemas son coaxiales (coinciden sus ejes), entonces, podemos asumir que lamagnitud del vector campo eléctrico será constante y saldrá de la integral.

16

∯ �⃗�⦁𝑑𝑛𝑆 =𝑄

𝜀0 … ∯ �⃗� |𝑑𝑛𝑆| 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑄

𝜀0

Ley de Gauss

En esta ocasión la integral de superficie corresponde con el área de la chaqueta delcilindro, pues es esta parte la que encierra al alambre. No consideraremos el áreade las tapas del cilindro de la superficie gaussiana porque esta es muy larga al igualque el alambre.

El área de la chaqueta de la superficie gaussiana cilíndrica que equivale a resolverla integral de superficie, se puede determinar multiplicando el arco del círculo porla longitud del alambre, es decir, A = 2pr L.

∯ 𝐸 |𝑑𝑛𝑆| =𝑄

𝜀0 … �⃗� ∯|𝑑𝑛𝑆| =

𝑄

𝜀0

Al sustituir el área de la superficie gaussiana en vez de la integral de superficie ydespejar la magnitud del vector campo eléctrico se tiene:

Si revisas tu apunte de clase (día 11 de marzo) para distribución lineal de cargaeléctrica en el ejercicio para determinar el vector campo eléctrico generado por unalambre cuando se mide en un punto sobre la bisectriz y te sitúas en la condiciónde alambre infinito, verás que la ecuación es exactamente la misma que la queacabamos de demostrar pero con un procedimiento más sencillo.

17

𝐸 ∯|𝑑𝑛𝑆| =𝑄

𝜀0 … 𝐸 [2𝜋 𝑟 L] =

𝑄

𝜀0 … 𝐸 =

𝑄

2𝜋 𝑟 L 𝜀0 … 𝐸 =

𝜆

2𝜋𝑟 𝜀0=

2𝑘𝜆

𝑟

Ley de Gauss

Apliquemos ahora la ley de Gauss para determinar la magnitud del vector campoeléctrico en sistemas de alta simetría como son las esferas con carga eléctrica.

Esfera metálica o esfera hueca.

La determinación de la magnitud del vector campo eléctrico se realizará en tresregiones que están definidas por:

Consideremos una esfera hueca o esfera metálica de radio Rque tiene distribuida uniformemente una carga Q positivaen su superficie.

R

regiones que están definidas por:

• Un punto situado a una distancia r del centro, tal que r > R.

• Un punto situado a una distancia r del centro, tal que r = R.

• Un punto situado a una distancia r del centro, tal que r < R.

Para dar solución al planteamiento establecido elegiremos, en todos los casos, unasuperficie gaussiana esférica de radio r, ya que esta simetría conserva la geometríadel elemento que tiene la carga eléctrica. Adicionalmente, como la carga eléctrica espositiva, en todos los casos el vector campo eléctrico y el vector normal harán unángulo q de cero grados entre ellos y, con ello, el cosq = 1.

18

Ley de Gauss

Para poder extraer la magnitud del vector campo eléctrico de la ecuación queexpresa la ley de Gauss, debemos hacer que las dos esferas, la que tiene la cargaeléctrica y la asociada con la superficie gaussiana, sean concéntricas (tengan elcentro en el mismo punto), en todas las situaciones.

Situación 1. (Un punto situado a una distancia r del centro, tal que r > R)

R

Dadas las condiciones de r, la superficie gaussiana encerrarátoda la carga Q distribuida en la esfera hueca por lo que alaplicar la ley de Gauss, tenemos:

∯ 𝐸⦁𝑑𝑛𝑆 =𝑄

𝜀0 … ∯ 𝐸 |𝑑𝑛𝑆| 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑄

𝜀0 … 𝐸 ∯|𝑑𝑛𝑆| =

𝑄

𝜀0

Observa que cuando la esfera metálica o esfera hueca se analiza a una distanciamayor a su radio, R, el sistema se comporta como carga eléctrica puntual.

19

Rr

En esta caso, la integral de superficie corresponde al área dela superficie gaussiana, es decir, 4pr2. Sustituyendo esteresultado y despejando la magnitud del vector campoeléctrico, encontramos:

∯ 𝐸⦁𝑑𝑛𝑆 =𝑄

𝜀0 … ∯ 𝐸 |𝑑𝑛𝑆| 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑄

𝜀0 … 𝐸 ∯|𝑑𝑛𝑆| =

𝑄

𝜀0

𝐸 ∯|𝑑𝑛𝑆| =𝑄

𝜀0 … 𝐸 [4𝜋𝑟2] =

𝑄

𝜀0 … 𝐸 =

𝑄

4𝜋𝑟2𝜀0=

𝑘 𝑄

𝑟2

Ley de Gauss

Situación 2. (Un punto situado a una distancia r del centro, tal que r = R)

Dadas las condiciones de r, la superficie gaussiana coincidecon el radio de la esfera hueca R así que encerrará toda lacarga Q, por lo que al aplicar la ley de Gauss, tenemos:

En esta caso, la integral de superficie corresponde al área dela superficie gaussiana, es decir, 4pr2 o 4pR2 dado que r = R.Sustituyendo este resultado y despejando la magnitud delvector campo eléctrico, encontramos:

Rr∯ 𝐸⦁𝑑𝑛𝑆 =

𝑄

𝜀0 … ∯ 𝐸 |𝑑𝑛𝑆| 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑄

𝜀0 … 𝐸 ∯|𝑑𝑛𝑆| =

𝑄

𝜀0

Situación 3. Un punto situado a una distancia r del centro, tal que r < R)

20

vector campo eléctrico, encontramos:

𝐸 ∯|𝑑𝑛𝑆| =𝑄

𝜀0 … 𝐸 [4𝜋𝑅2] =

𝑄

𝜀0 … �⃗� =

𝑄

4𝜋𝑅2𝜀0=

𝑘 𝑄

𝑅2

Rr

Dadas las condiciones de r, la superficie gaussiana está en elinterior de la esfera hueca por lo que no se encierra la cargaeléctrica, es decir, Q = 0 C. Por lo tanto la magnitud del vectorcampo eléctrico será cero, independiente del valor de r.

Magnitud del vector campo eléctrico justo en la

superficie de la esfera hueca.

Ley de Gauss

Los resultados anteriores pueden graficarse para tener un mejor panorama delcomportamiento de la magnitud del vector campo eléctrico como función de ladistancia al centro, r.

• Cuando r > R.

• Cuando r = R.

• Cuando r < R.

�⃗� =𝑘 𝑄

𝑅2

�⃗�

𝐸 =

𝑘 𝑄

𝑟2

𝐸 =𝑘 𝑄

𝑅2

𝐸 = 0 N/C

• Cuando r < R.

r

𝐸 = 0 N/C

R

Al realizar un análisis equivalente para el potencial eléctrico (te toca demostrarlo),como función de la distancia al centro, r.

• Cuando r > R.

• Cuando r = R.

• Cuando r < R.

rR

V

V =𝑘 𝑄

𝑅

𝑉 =𝑘 𝑄

𝑟

𝑉 =𝑘 𝑄

𝑅

𝑉 =𝑘 𝑄

𝑅

Ley de Gauss

Esfera aislante o esfera sólida.

La determinación de la magnitud del vector campo eléctrico se realizará en tresregiones que están definidas por:

• Un punto situado a una distancia r del centro, tal que r > R.

• Un punto situado a una distancia r del centro, tal que r = R.

Consideremos una esfera aislante o esfera sólida de radio Rque tiene distribuida uniformemente una carga Q positivaen su volumen.

R

• Un punto situado a una distancia r del centro, tal que r = R.

• Un punto situado a una distancia r del centro, tal que r < R.

Para dar solución al planteamiento establecido, elegiremos, en todos los casos, unasuperficie gaussiana esférica de radio r, ya que esta simetría conserva la geometríadel elemento que tiene la carga eléctrica. Adicionalmente, como la carga eléctrica espositiva, en todos los casos el vector campo eléctrico y el vector normal harán unángulo q de cero grados entre ellos y, con ello, el cosq = 1.

Para poder extraer la magnitud del vector campo eléctrico de la ecuación queexpresa la ley de Gauss, debemos hacer que las dos esferas, la que tiene la cargaeléctrica y la asociada con la superficie gaussiana, sean concéntricas (tengan elcentro en el mismo punto), en todas las situaciones. 22

Ley de Gauss

Situación 1. (Un punto situado a una distancia r del centro, tal que r > R)

r

Dadas las condiciones de r, la superficie gaussiana encerrarátoda la carga Q distribuida en la esfera sólida por lo que alaplicar la ley de Gauss, tenemos:

En esta caso, la integral de superficie corresponde al área dela superficie gaussiana, es decir, 4pr2. Sustituyendo este

∯ 𝐸⦁𝑑𝑛𝑆 =𝑄

𝜀0 … ∯ 𝐸 |𝑑𝑛𝑆| 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑄

𝜀0 … 𝐸 ∯|𝑑𝑛𝑆| =

𝑄

𝜀0

R

Observa que cuando la esfera aislante o esfera sólida se analiza a una distanciamayor a su radio, R, el sistema se comporta como carga eléctrica puntual.

23

la superficie gaussiana, es decir, 4pr2. Sustituyendo esteresultado y despejando la magnitud del vector campoeléctrico, encontramos:

𝐸 ∯|𝑑𝑛𝑆| =𝑄

𝜀0 … 𝐸 [4𝜋𝑟2] =

𝑄

𝜀0 … 𝐸 =

𝑄

4𝜋𝑟2𝜀0=

𝑘 𝑄

𝑟2

Ley de Gauss

Situación 2. (Un punto situado a una distancia r del centro, tal que r = R)

Dadas las condiciones de r, la superficie gaussiana coincidecon el radio de la esfera aislante R, así que encerrará toda lacarga Q, por lo que al aplicar la ley de Gauss, tenemos:

En esta caso, la integral de superficie corresponde al área dela superficie gaussiana, es decir, 4pr2 o 4pR2 dado que r = R.

r∯ 𝐸⦁𝑑𝑛𝑆 =𝑄

𝜀0 … ∯ 𝐸 |𝑑𝑛𝑆| 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑄

𝜀0 … 𝐸 ∯|𝑑𝑛𝑆| =

𝑄

𝜀0

R

24

la superficie gaussiana, es decir, 4pr2 o 4pR2 dado que r = R.Sustituyendo este resultado y despejando la magnitud delvector campo eléctrico, encontramos:

𝐸 ∯|𝑑𝑛𝑆| =𝑄

𝜀0 … 𝐸 [4𝜋𝑅2] =

𝑄

𝜀0 … �⃗� =

𝑄

4𝜋𝑅2𝜀0=

𝑘 𝑄

𝑅2

Magnitud del vector campo eléctrico justo en la

superficie de la esfera aislante.

Ley de Gauss

Situación 3. Un punto situado a una distancia r del centro, tal que r < R)

Dadas las condiciones de r, la superficie gaussiana se encuentraen el interior de la esfera sólida por lo que requerimos conocercuánta carga se está encerrando por la superficie gaussiana.

Para determinar el valor de la carga encerrada, recurriremos alconcepto de densidad volumétrica de carga eléctrica, r. Para ello,estableceremos que la carga eléctrica Q está distribuida en todo elvolumen de la esfera sólida de radio R.

r

R

𝜌 =𝑄

Volumen=

3 𝑄

4πR3

Para conocer la cantidad de carga eléctrica encerrada, multiplicaremos a ladensidad volumétrica de carga eléctrica por el volumen encerrado por la superficiegaussiana, VSG.

Este valor de carga eléctrica será sustituida en la ley de Gauss.

25

𝜌 =𝑄

Volumen=

3 𝑄

4πR3

Q𝑒𝑛𝑐 = 𝜌𝑉𝑆𝐺 =3 𝑄

4πR3

4 πr3

3=

𝑄 r3

R3

Ley de Gauss

En esta caso, la integral de superficie corresponde al área de la superficiegaussiana, es decir, 4pr2. Sustituyendo este resultado y despejando la magnitud delvector campo eléctrico, encontramos:

Al sustituir el valor de carga eléctrica encerrada por la superficiegaussiana en la ley de Gauss, tendremos:

∯ 𝐸⦁𝑑𝑛𝑆 =𝑄

𝜀0 … ∯ 𝐸 |𝑑𝑛𝑆| 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑄 𝑟3

𝜀0 𝑅3 … 𝐸 ∯|𝑑𝑛𝑆| =𝑄 𝑟3

𝜀0 𝑅3

r

R

Como puede observarse, el valor de la magnitud del vector campo eléctricodependerá del radio de la superficie gaussiana al interior de la esfera sólida pues deesta depende la cantidad de carga eléctrica encerrada.

Los resultados anteriores pueden graficarse para tener un mejor panorama delcomportamiento de la magnitud del vector campo eléctrico como función de ladistancia al centro, r.

26

𝐸 ∯|𝑑𝑛𝑆| =𝑄 𝑟3

𝜀0 𝑅3 … 𝐸 [4𝜋𝑟2] =𝑄 𝑟3

𝜀0 𝑅3 … 𝐸 =𝑄 𝑟

4𝜋𝑅3𝜀0=

𝑘 𝑄 𝑟

𝑅3

Ley de GaussAnálisis gráfico de la magnitud del vector campo eléctrico como función de ladistancia al centro, r.

• Cuando r > R.

• Cuando r = R.

• Cuando r < R.

�⃗� =𝑘 𝑄

𝑅2

�⃗�

r

𝐸 =𝑘 𝑄

𝑟2

R

𝐸 =𝑘 𝑄

𝑅2

𝐸 =𝑘 𝑄 𝑟

𝑅3

rR

Al realizar un análisis equivalente para el potencial eléctrico (te toca demostrarlo),como función de la distancia al centro, r.

• Cuando r > R.

• Cuando r = R.

• Cuando r < R.

rR

V

𝐸 =𝑘 𝑄 𝑟

𝑅3

𝑉 =𝑘 𝑄

𝑅

𝑉 =3 𝑘 𝑄

2 𝑅

𝑉 =𝑘 𝑄

𝑟

𝑉 =𝑘 𝑄

𝑅

𝑉 =𝑘 𝑄

𝑅

3

2−

𝑟2

2𝑅2

Ejercicio para resolver.

1) Aplicando la ley de Gauss demuestra la ecuación que permite determinar la magnitud delvector campo eléctrico cuando se tiene un plano muy grande (placa infinita) con densidad desuperficial de carga eléctrica, s.

2) En una superficie se encierran cinco protones y dos electrones. Determina el flujo total delvector campo eléctrico y el flujo independiente en cada cara de la superficie si la superficie es:

A) un cubo.B) un tetraedro regular.C) un octaedro regular.

3) Una esfera sólida con una carga eléctrica de 0.3 nC tiene una diferencia de potencialeléctrico, con respecto al infinito, de 500 V en su superficie. Si dos de estas esferas, con la

Ley de Gauss

eléctrico, con respecto al infinito, de 500 V en su superficie. Si dos de estas esferas, con lamisma carga y radio, se combinan para formar una sola esfera, ¿cuánto vale la diferencia depotencial eléctrico en la superficie de la nueva esfera con respecto al infinito?

4) Considera el átomo hidrogenoide de He+ como dos esferas concéntricas, una esfera sólida queserá el núcleo con radio 5.0x10-15 m y una esfera hueca de radio 0.15x10-10 m que tienedistribuida en su superficie la carga eléctrica del electrón. Cuánto vale la magnitud del vectorcampo eléctrico y el potencial eléctrico a una distancia del centro del núcleo de: A) 2.0x10-15 m.B) 1.0x10-12 m. C) 2.0x10-9 m.

5) Desarrolla, para un cilindro hueco de longitud infinita que posee densidadvolumétrica de carga eléctrica, la expresión de la magnitud del vector campoeléctrico en la superficie gaussiana definida en R1 < r < R2.

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