cinematica
DESCRIPTION
Breve descripcion de la CinematicaTRANSCRIPT
![Page 1: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/1.jpg)
C 1 CINEMÁTICA
• Movimiento Mecánico. Bases para su estudio.
• Métodos vectorial, de coordenadas y natural.
• Magnitudes cinemáticas.
• Movimiento unidimensional.
• Movimiento rectilíneo uniformemente variado. Movimiento rectilíneo uniforme.
• Caída libre
• Ejemplos
Bibliog. Sears, Física Universitaria
![Page 2: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/2.jpg)
Mecánica de
los cuerpos
macroscópicos
Movimiento
mecánico
![Page 3: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/3.jpg)
Cinemática: Rama de la Mecánicaque se dedica a la descripción delmovimiento mecánico sin interesarsepor las causas que lo provocan.
Dinámica: Rama de la Mecánicaque se dedica a investigar las causasque provocan el movimientomecánico.
![Page 4: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/4.jpg)
Movimiento Mecánico: Cambio deposición de un cuerpo respecto a otros,tomados como referencia.
Carácter: Relativo
Definir sistema
bajo estudio
Definir
Sistema de
Referencia
(SR)
![Page 5: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/5.jpg)
Bases para el estudio del movimiento mecánico
• Definición del Sistema de Referencia (SR)
• Utilización de magnitudes físicas apropiadas y
relaciones entre ellas.
• Empleo de modelos para el sistema físico:
Modelo de cuerpo rígido y Modelo de partícula.
• Utilización del principio de independencia de
los movimientos de Galileo así como del
principio de superposición.
![Page 6: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/6.jpg)
SR: Cuerpos que se toman como referencia para
describir el movimiento del sistema bajo estudio.
Bases para el estudio del movimiento mecánico
x(t)
y(t)
z(t)
Se le asocia
• Observador
• Sistema de Coordenadas
y
x
z
• Reloj
![Page 7: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/7.jpg)
Bases para el estudio del movimiento mecánico
SRI: Es aquel para el cual el
sistema bajo estudio en
ausencia de la acción de otros
cuerpos, se mueve con MRU.
![Page 8: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/8.jpg)
Bases para el estudio del movimiento mecánico
Magnitudes Físicas
Cinemáticas
Posición,
Velocidad,
Aceleración
Dinámicas
Fuerza, Torque
![Page 9: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/9.jpg)
Bases para el estudio del movimiento mecánico
Modelos
de Partícula: el cuerpo puede serconsiderado como un objeto puntual.
de Cuerpo Rígido: Las distanciasentre los diferentes puntos delcuerpo no varían.
![Page 10: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/10.jpg)
Traslación pura
![Page 11: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/11.jpg)
Rotación pura de cuerpo
sólido
Es aplicable el modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
![Page 12: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/12.jpg)
Objetivo
Determinación de las Leyes del
Movimiento
Posición (t), Velocidad (t), Aceleración (t)
Describir el
Movimiento
mecánico
![Page 13: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/13.jpg)
Métodos•Vectorial (conciso, elegante)
•de Coordenadas Mayor número de ecuaciones
•Natural Coordenadas curvilíneas
Problemas de la cinemática
Posición (t)
Velocidad (t)
Aceleración (t)
P.D
irecto
P.In
vers
o
Co
nd
.In
icia
les
![Page 14: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/14.jpg)
ttr
tr
)(: trposición
ttV
tV
dt
dr
t
rtVvelocidad
t
lim
0
)(:dt
dVtanaceleració )(:
mV r
t
rVmediavelocidad m
:
r
)()(: trttrrentodesplazami
t
tVttVanaceleració m
:
media
Vectorialdr
![Page 15: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/15.jpg)
)(tx
)(ty
)(tz)(),(),(: tztytxposición
,)(:dt
dxtVvelocidad x
dt
dytVy )(
dt
dztVz )(
dt
dVtanaceleració x
x )(:
dt
dVta
y
y )(
dt
dVta z
z )(
De Coord.
y
x
zzyxentodesplazami ,,:
![Page 16: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/16.jpg)
,)(: Vdt
dstVvelocidad
dt
dVtaT )(
Ta
a
22
TNaaa
n
0s0s
nV
dt
dVtanaceleració N
2
)(:
Na
Natural
)()(: Vdt
d
dt
dVtanaceleració
n
)(: tsposición
0s
![Page 17: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/17.jpg)
Metodología
• Identificar sistema físico
• Selección del SRI (Ubicación del Observador)
• Selección del método o métodos (vectorial, decoordenadas o natural)
• Resolver el problema directo (derivando) o elindirecto (integrando) o ambos: Hallaranalíticamente la dependencia temporal de laposición, la velocidad y la aceleración; yDibujar las gráficas
![Page 18: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/18.jpg)
![Page 19: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/19.jpg)
y
x
t1
t2
A
B
r
r(t1)
r(t2)
r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2
![Page 20: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/20.jpg)
Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] esta dado por:
¿Es importante conocer la trayectoria
del móvil para hallar el vector
desplazamiento?
)t()t( 12rrr
![Page 21: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/21.jpg)
B
t1
t2No es necesario conocer la trayectoria para determinar el
vector desplazamiento en el intervalo de tiempo deseado, solo
es necesario conocer las posiciones en dichos instantes de
tiempo
A
r
![Page 22: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/22.jpg)
Vector velocidad media
Se define el vector velocidad media
en el intervalo de tiempo [t1 , t2]
como:
s
m
tt
rr
t
rV
12
ttm
12
![Page 23: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/23.jpg)
y
x
t1
t2
A
B
rmV
r//Vm
)(t1r
)(t 2r
La velocidad media apunta en la
misma dirección del vector
desplazamiento
![Page 24: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/24.jpg)
Y(m)
x(m)
t1
t2Δl
:Δl Distancia total recorrida en el
intervalo de tiempo [t1 , t2]
r
![Page 25: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/25.jpg)
Rapidez media
La rapidez media es igual a la
distancia total recorrida entre
el tiempo total empleado
t
l
empleadotiempo
recorridadistanciav~m
• La rapidez media no es un vector
• la rapidez media no es igual al modulodel vector velocidad media (para el mismointervalo de tiempo)
mm Vv
![Page 26: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/26.jpg)
![Page 27: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/27.jpg)
t2
t'2
t"2
t1
B
A
Y(m)
x(m)
v
r1
r
r2
mV
r2'
r'
mV
r2"
r"
mV
![Page 28: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/28.jpg)
t3
A
Y(m)
x(m)
El vector velocidad
instantánea es
tangente a la
trayectoria que
describe la partícula
t2
t1
)v(t1 )v(t2)v(t3
vv
![Page 29: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/29.jpg)
La velocidad instantánea es la
derivada del vector posición
respecto del tiempo
Velocidad instantánea
dt
dr
t
rlimv(t) 0t
![Page 30: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/30.jpg)
Esta expresión podemos
expresarla en función de sus
componente rectangulares
dt
dx(t)vx
dt
dy(t)vy
dt
dz(t)vz
dt
dr
t
rlimv(t) 0t
![Page 31: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/31.jpg)
Rapidez instantánea
t
lv
(t)
0
~t
lim
Si 0Δtr
t1
t2
Δl
rl dr
vtd
dr
![Page 32: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/32.jpg)
Rapidez instantánea
La rapidez instantánea es igual al
modulo de la velocidad instantánea
dt
dr
t
rlimv~ 0t(t)
)t((t) vv~
Al modulo de la velocidadinstantánea se le conoce comorapidez instantánea
![Page 33: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/33.jpg)
![Page 34: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/34.jpg)
A
Y(m)
x(m)
t2t1
12
12m
tt
)V(t)V(ta
)v(t1
)v(t2
![Page 35: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/35.jpg)
Aceleración media
Se define la aceleración media como la
rapidez de cambio de la velocidad
instantánea en un determinado intervalo
de tiempo
212
12m
s
m
tt
)V(t)V(ta
![Page 36: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/36.jpg)
![Page 37: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/37.jpg)
Y(m)
x(m)
La aceleración en este
pequeño intervalo de tiempo
apunta hacia la concavidad
de la trayectoria
t)v(t
t1 )v(t1
v
v at
Vlima ot(t)
a
![Page 38: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/38.jpg)
dt
ˆdv
dt
dvˆa
La aceleración instantánea es igual ala derivada del vector velocidadinstantánea respecto del tiempo t
(t)a dt
ˆvd
dt
dV
nv
v
ˆdt
dva
naˆaa n
dt
dva
2
nv
a
2n
2 aaa
![Page 39: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/39.jpg)
Na
Ta
Es la aceleración normal , responsable
del cambio de dirección de la velocidad
Es la aceleración tangencial responsable
del cambio del modulo de la velocidad
![Page 40: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/40.jpg)
dt
(t)dva x
x dt
(t)dva
y
y dt
(t)dva z
z
Expresado en componentes rectangulares
dt
dVa
![Page 41: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/41.jpg)
Resumen:
Si se conoce la posición de la partícula con el
tiempo r(t) podemos determinar su velocidad y
aceleración instantánea por simple derivación
dt
drv
(t)(t)
2
(t)2
(t)(t)
dt
rd
dt
dva naa
Problema directo
![Page 42: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/42.jpg)
Así mismo si se conoce la aceleración con el tiempo
es posible encontrar la posición y la velocidad usando
el camino inverso, es decir integrando:
dtadvdt
dva (t)
(t)(t)
t
t
(t))(t(t)
O
Odtavv
t
t
(t))(t(t)
O
Odtavv
dtvdrdt
drv (t)
(t)(t)
t
t
(t))(t(t)
O
Odtvrr
Son los vectores posición y velocidad en el instante to
Problema inverso
![Page 43: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/43.jpg)
Ejemplo 1:Si el vector posición de una partícula esta dada por:
ktj1)2t(ti1)(2tr 423
(t)ˆˆˆ
Hallar:
1) el vector posición para t= 0 y 2 s
2)El vector desplazamiento en el intervalo [0,2]s
3) su velocidad media en el intervalo [0,2]s
su velocidad instantánea en t = 0 y t=2 s
5) su aceleración media en el intervalo [0,2]s
6) su aceleración instantánea en t = 0 y 2s
![Page 44: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/44.jpg)
Movimiento en una
dimensión
![Page 45: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/45.jpg)
Podemos aplicar lo discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviendose en una
sola dimensión, por ejemplo
a lo largo del eje x
![Page 46: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/46.jpg)
ivvix(t)r (t)(t)(t)
iaa )t()t(
x
)(tov
(t)v
)(tor
(t)r
Para el movimiento en el eje X las ecuaciones
se reducen a:
0ta
![Page 47: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/47.jpg)
Movimiento rectilíneo variado
va Movimiento rectilíneo acelerado
v y a igual signo
va
)t(a)t(vtx
Movimiento rectilíneo retardado
v y a signos opuestos
![Page 48: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/48.jpg)
![Page 49: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/49.jpg)
X(t)
t
p
Q
R 0v
0v
0v
dt
dxv (t)
Velocidad instantánea
![Page 50: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/50.jpg)
tti tf
t
a > 0
a = 0
a < 0
Aceleración instantánea
dt
dva
(t)
![Page 51: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/51.jpg)
tti tf
t
En toda gráfica v versus t el área bajo la
curva es igual al desplazamiento del móvil
curvalabajoarea 2
1
t
t
vdtΔx
vdt
dx
![Page 52: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/52.jpg)
Ejemplo 1:
En la gráfica velocidad versus
tiempo, haga un análisis del tipo de
movimiento e indique en que tramos
el movimiento es acelerado o
desacelerado
![Page 53: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/53.jpg)
2 4 8 12 16t(s)
V(t)
![Page 54: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/54.jpg)
![Page 55: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/55.jpg)
Diremos que un movimiento
rectilíneo es uniforme variado si la
aceleración del móvil permanece
constante en todo momento.
Supongamos que una partícula
parte de la posición xo en el
instante t0=0 , con una velocidad vo
![Page 56: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/56.jpg)
x
t
0
v
v
adtdvo
a
ov (t)
vo
x
(t)x
t=0
Como a= cte. entonces dv/dt=a es fácil de
integrar
tvvo(t)
a Velocidad
instantánea
Problema inverso
![Page 57: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/57.jpg)
Podemos ahora determinar la posición de la
partícula en cualquier instante de tiempo t
t
0
(t)dtvdx
x
xo
t
0
ot)dtvdx a
x
xo
(
tvvo(t)
a
2
oo(t)t
2
1tvxx a
![Page 58: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/58.jpg)
x
a
ov (t)
vo
x
(t)x
t=0
Hallaremos ahora una expresión para
determinar la velocidad media en el intervalo de
tiempo [0, t]:
Δt
ΔxV
m
t
x-xV o(t)
m
![Page 59: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/59.jpg)
x
a
ov (t)
vo
x
(t)x
t=0
t
x-xV o(t)
m
2
oo(t)t
2
1tvxx a
t
v-va o(t)
Y usando las ecuaciones
anteriormente deducidas
![Page 60: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/60.jpg)
x
a
ov (t)
vo
x
(t)x
t=0
2
vv
t
x-xV o(t)o(t)
m
Finalmente obtenemos
![Page 61: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/61.jpg)
x
a
ov (t)
vo
x
(t)x
t=0
Δx2vv 2
0
2
(t)a
También se puede demostrar:
Donde :0(t)
xxΔx
Es el desplazamiento en el intervalo de tiempo
[0 , t]
![Page 62: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/62.jpg)
Δx2vv 2
0
2
(t)a
Resumen
0(t)xxΔx
[0 , t]
tvvo(t)
a
2
oo(t)t
2
1tvxx a
2
vv
t
x-xV o(t)o(t)
m
2
vv
tt
x-xV )(t)(t
12
)(t)(t
m1212
[t1 , t2 ]
ctea MRUADespejando t en la
1ra y sustituyendo
en la 2da, se
obtiene la 3ra
![Page 63: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/63.jpg)
Movimiento Uniformemente Acelerado
tvvo(t)
a
0 0
at
O tt
xo
x(t)
t
Pendiente = v0
pendiente = v(t)
2
oo(t)t
2
1tvxx a
O t
a
aPendiente = 0
a
![Page 64: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/64.jpg)
Movimiento Rectilíneo Uniforme MRU
datoa :
0
atVV 0
0
2
2
00
attVxx
0
a
V
x
t
t
t
x0
V0
Movimiento Parabólico0xa
xx VV 0
tVxx x00
MRU
Eje x
gay
gtVVyy 0
2
2
00
gttVyy y
MRUV
Eje y
![Page 65: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/65.jpg)
![Page 67: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/67.jpg)
jga jvv
00
y
0
gtvv0
2gt2
1tvyy
00
yg2vv 20
2
![Page 68: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/68.jpg)
av
x
t t
t
v0
-v0-g
tvtv/2
tv
H
jga
gtvv0
2gt2
1tvyy
00
![Page 69: Cinematica](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052623/559c59181a28ab726e8b45af/html5/thumbnails/69.jpg)
Problema 7
Una partícula de 2 kg es lanzada verticalmente
hacia arriba con una rapidez de 100 m/s,
determine:
a) El tiempo que permanece en el aire.
b) Su posición en el instante t = 5 s.
c) La altura máxima alcanzada.
d) Su desplazamiento entre 5 y 15 s
e) El tiempo que demora en cambiar la velocidad
de 60 m/s a -60m/s