cinematica & plv

Universit degli Studi di Roma "La Sapienza" Prima Facolt di Architettura "Ludovico Quaroni" CORSO DI LAUREA SPECIALISTICA QUINQUENNALE IN ARCHITETTURA UE a.a. 2006/2007 1 semestre

Appunti per il corso di Statica: Cinematica e Principio dei Lavori Virtuali

Cesare Tocci

Appunti per il corso di Statica

Sommario

1.

Appunti di Cinematica ....................................................................................................... 2 1.1. Introduzione ............................................................................................................... 2 1.2. Spostamenti rigidi piani ............................................................................................. 3 1.2.1. Spostamento generalizzato..................................................................................... 5 1.2.2. Spostamenti traslatori ............................................................................................ 6 1.2.3. Spostamenti rotatori............................................................................................... 7 1.2.4. Spostamenti roto-traslatori .................................................................................... 9 1.2.5. Lipotesi di piccoli spostamenti............................................................................ 11 1.3. Il problema cinematico............................................................................................. 15 1.4. Esempi...................................................................................................................... 18 2. Applicazioni del Principio dei Lavori Virtuali................................................................. 27 2.1. Il principio dei lavori virtuali ................................................................................... 27 2.2. Applicazioni ............................................................................................................. 30

Immagine di copertina: ribaltamento monolitico di alcuni edifici per appartamenti durante il terremoto di Niigata del 1964 (da: http://www.ngdc.noaa.gov/seg/hazard/slideset/earthquakes/)

1


1.

APPUNTI DI CINEMATICA

1.1.

Introduzione

La Cinematica (dal greco , movimento) quella parte della Meccanica che si occupa dello studio del movimento dei corpi indipendentemente dalle cause che lo producono: queste formano loggetto della Dinamica (dal greco , forza) il cui obiettivo quello di predire il movimento e allinterno della quale si distingue, per ragioni eminentemente storiche, una parte denominata Statica (dal greco , atto a fermare) che si occupa di tutte le situazioni caratterizzate dallassenza di movimento (o equilibrio). Descrivere il movimento di un corpo significa descrivere, in funzione del tempo, la posizione occupata dal corpo o, per essere pi precisi, la posizione occupata da tutti i punti che compongono il corpo. Ci implica in primo luogo (i) la capacit di individuare in maniera univoca una generica posizione in modo da poter distinguere le diverse posizioni tra loro; in secondo luogo (ii) la capacit di precisare le modalit che caratterizzano il passaggio dalla posizione occupata in un dato istante alla posizione occupata in un istante successivo e, quindi, la velocit e laccelerazione con cui il cambiamento di posizione avviene. Nellambito della Meccanica Strutturale, e limitatamente ai problemi di equilibrio (Statica), loggetto della Cinematica abbastanza pi circoscritto nel senso che linteresse rivolto alla descrizione non tanto del movimento quanto dello spostamento dei corpi da una posizione allaltra. Ci equivale ad escludere qualunque considerazione riguardante la velocit e laccelerazione con cui lo spostamento stesso avviene ovvero a ritenere, di fatto, inessenziali sia lintervallo di tempo allinterno del quale lo spostamento si svolge sia le posizioni intermedie successivamente occupate dal corpo prima di raggiungere, a partire da quella iniziale, la posizione finale. Le applicazioni strutturali della Cinematica si caratterizzano pertanto pi propriamente come studio dello spostamento anzich come studio del movimento. Il problema che ci proponiamo di risolvere pertanto quello di descrivere i possibili spostamenti di un generico corpo senza riguardo alle cause che li determinano intendendo per spostamento, sulla base di quanto sopra affermato, il passaggio del corpo da una posizione a unaltra. Pi precisamente lo studio sar limitato alla descrizione di un particolare tipo di spostamenti ai quali ci si riferisce con la definizione di spostamenti rigidi piani. Lo spostamento di un corpo si definisce rigido quando, nel passaggio dalla posizione iniziale a quella finale, la distanza tra due punti qualunque del corpo rimane inalterata. Tale definizione non limita la natura dei corpi che possono esibire spostamenti rigidi, nel senso che2


questi possono riguardare anche corpi deformabili: tuttavia evidente che corpi rigidi, ovvero corpi per i quali le distanze tra coppie qualsiasi di punti rimangono inalterate, possono esibire solo spostamenti rigidi. Ai corpi rigidi sono limitate le considerazioni che seguono. Lo spostamento si definisce poi piano quando tutti i punti del corpo si spostano rimanendo paralleli a uno stesso piano che prende il nome di piano direttore. Anche un generico corpo tridimensionale pu esibire pertanto spostamenti piani se questi comportano, per tutti i punti del corpo, la permanenza in piani tra loro paralleli. Tuttavia, allo scopo di semplificare gli sviluppi analitici e senza perdere di generalit, le considerazioni che seguono saranno riferite a corpi simmetrici rispetto al piano in cui avviene lo spostamento. Ci giustifica lipotesi di considerare il corpo stesso come corpo piano concentrando nel piano di simmetria lintera sua massa. Tale assunzione si rivela sostanzialmente realistica in numerosi casi di rilevante interesse applicativo, soprattutto in quei casi nei quali le dimensioni dei corpi misurate perpendicolarmente al piano di simmetria sono molto pi piccole rispetto a una o entrambe le dimensioni misurate parallelamente al piano: si tratta dei corpi con i quali sono realizzate particolari tipologie strutturali come le lastre, le piastre, le travi. 1.2. Spostamenti rigidi piani

Consideriamo dunque un corpo rigido piano che, senza perdita di generalit, supponiamo di forma rettangolare e contenuto nel piano xy di una terna cartesiana ortogonale destrorsa O(x,y,z) (Figura 1).y C

B D yA A

xA

x

Figura 1.

Per individuare la posizione del rettangolo nel piano xy sufficiente assegnare le coordinate cartesiane di un suo punto qualunque e langolo che uno dei suoi lati forma con uno degli assi coordinati. Fissata infatti la posizione di un punto (nella Figura 1 si scelto lo spigolo A) lunica possibilit di movimento che rimane al rettangolo la rotazione attorno al punto stesso, ma questa impedita dallulteriore condizione che impone a uno dei lati del rettangolo una orientazione assegnata (nella Figura 1 langolo che il lato AB forma con lasse x). I tre parametri xA, yA e individuano, pertanto, univocamente la posizione del rettangolo nel piano xy. Ci a rigore vero solo se per il rettangolo lecita lipotesi di corpo rigido. In caso contrario, infatti, alla citata terna di parametri risulterebbero associate diverse configurazioni tutte3


caratterizzate da una identica posizione dello spigolo A e da un identico valore dellangolo della base rispetto allorizzontale, ma nulla si potrebbe dire, in assenza di ulteriori specificazioni, circa le posizioni occupate dagli altri punti del rettangolo (Figura 2a). daltra parte evidente che la scelta dei tre parametri xA, yA e non lunica possibile. La posizione del rettangolo si pu infatti fissare anche assegnando le coordinate di due suoi punti qualsiasi, ad esempio i due spigoli A e B, nel qual caso la posizione stessa risulta immediatamente determinata una volta assegnati i valori dei quattro parametri xA, yA, xB, yB (coordinate cartesiane degli spigoli).y C C' B' B D D' yA A yA AL

y C

yB D

B

xA (a)

x

xA (b)

xB

x

Figura 2.

Tuttavia non possibile assegnare valori arbitrari a tutti e quattro i parametri poich questi sono legati dalla relazione:L=

( x B x A )2 + ( y B y A )2

(1.1)

che traduce lipotesi di rigidit del rettangolo, in base alla quale la distanza tra due punti qualunque del rettangolo stesso, in questo caso i due spigoli della base, invariabile (Figura 2b). Se pertanto si assegna il valore, ad esempio, di xA, yA e xB il valore di yB resta univocamente fissato dalla (1.1); ci significa che, anche con questa seconda scelta, il numero di parametri indipendenti che occorre assegnare per definire la posizione del rettangolo pari a tre. Pertanto mentre risulta del tutto inessenziale quali siano i parametri che si scelgono per fissare una particolare posizione di un corpo rigido nel piano, essendo le diverse scelte dettate semplicemente da ragioni di convenienza concettuale o operativa, il numero di tali parametri non pu che essere pari a tre. Un numero minore di parametri lascia infatti indeterminata la posizione del corpo, mentre un numero maggiore superfluo o, per meglio dire, fittizio poich non tutti i parametri risultano indipendenti. Ai parametri indipendenti necessari a individuare la posizione di un corpo rigido si d il nome di coordinate generalizzate1 o lagrangiane o libere del corpo.Lattributo di generalizzate si riferisce al fatto che le coordinate individuano bens la posizione del corpo ma solo in senso, appunto, generalizzato: esse consentono cio di sapere dove si trova il punto A (nellesempio che qui stiamo considerando) e quale inclinazione caratterizza la base del rettangolo, ma nulla dicono circa la 41


Dunque, le coordinate generalizzate di un corpo rigido nel piano sono tre. Si dice anche, in maniera del tutto equivalente, che un corpo rigido nel piano possiede tre gradi di libert (3 GL). Poich infatti alle coordinate generalizzate possono assegnarsi valori arbitrari e tra loro indipendenti, la variazione di ciascuna coordinata equivale a una possibilit di spostamento nel piano e, precisamente, dalla posizione individuata dal valore iniziale della coordinata alla posizione individuata dal valore della coordinata variata. Con ragionamento analogo a quello sin qui condotto facile riconoscere che i gradi di libert di un corpo rigido nello spazio sono sei, ovvero che per fissare la posizione del corpo rigido occorrono sei parametri indipendenti (sei coordinate generalizzate). Si pu ad esempio immaginare di fissare innanzitutto la posizione di un punto del corpo, attraverso le sue tre coordinate cartesiane, e successivamente di bloccare, attraverso tre parametri angolari, la possibilit del corpo di ruotare attorno a tre assi passanti per il punto e paralleli agli assi coordinati. Oppure si pu fissare la posizione di tre punti del corpo, attraverso le tre coordinate cartesiane di ciascun punto (nove parametri) e riconoscere che tra queste coordinate sussistono, per la rigidit del corpo, tre relazioni scalari analoghe alla (1.1) il che riduce a sei i parametri indipendenti. 1.2.1.T

Spostamento generalizzatoT

Sia {M } = {x A y A } il vettore algebrico che raccoglie le coordinate generalizzate del rettangolo considerato nel paragrafo precedente: tale vettore prende il nome di vettore posizione dal momento che una sua determinazione particolare individua una ben precisa posizione del rettangolo nel piano xy. Siano {M} e {M} due di tali posizioni che possiamo riguardare come posizioni rispettivamente iniziale e finale del rettangolo.y C' B' C '- B y'A yA D Ax'A - xA

D' A'

'

y'A - yA

xA

x'A

x

Figura 3.

Si definisce spostamento generalizzato del rettangolo e si indica con:posizione di un altro punto qualsiasi del rettangolo che deve essere determinata a partire dalla conoscenza della forma del corpo rigido e richiede pertanto ulteriori specificazioni. 5


x A' x A {S } = {M ' } {M } = y A' y A '

(1.2)

la differenza tra il vettore posizione finale e il vettore posizione iniziale, ovvero il vettore che sommato alla posizione iniziale individua la posizione finale del corpo (Figura 3). evidente che lo spostamento generalizzato dipende dalle particolari coordinate generalizzate scelte per descrivere la posizione del corpo. Se anzich il vettore {M} si fosse scelto un T T diverso vettore posizione, ad esempio il vettore {M 1 } = {x A y A x B } , si sarebbe ottenuto, anche qui come differenza tra due generici vettori posizione, lo spostamento generalizzato: {S 1 }T = {M 1' M 1 }T = {x A ' x A y A ' y A x B ' x B }T . Cambiando il vettore posizione cambia, dunque, il vettore spostamento generalizzato. Resta per invariato il numero di componenti di entrambi i vettori che, nel caso piano, sempre pari a tre ovvero uguale al numero delle coordinate generalizzate. Vale la pena precisare che lo spostamento generalizzato non rappresenta uno spostamento fisico reale nel piano xy come evidente dal fatto che si tratta di un vettore a tre componenti in uno spazio a due dimensioni, il piano ( un vettore algebrico e non geometrico); e, anzi, proprio da questa circostanza deriva lattributo di generalizzato. Inoltre, sebbene esso descriva in maniera univoca lo spostamento del corpo dalla posizione iniziale a quella finale, non fornisce direttamente lo spostamento di un punto qualunque del corpo poich il cambiamento di posizione (spostamento) definito con riferimento ai soli parametri scelti per definire le coordinate generalizzate. Cos, il vettore {S} espresso dalla (1.2) fornisce direttamente lo spostamento dello spigolo A e la rotazione del rettangolo ma nulla dice circa lo spostamento degli altri punti (cos come, allo stesso modo, il vettore {S1} fornisce solo lo spostamento dello spigolo A e la componente orizzontale dello spostamento dello spigolo B). Per ottenere dunque una descrizione completa dello spostamento di un corpo rigido, occorre poter determinare lo spostamento di un punto qualunque del corpo a partire dalla conoscenza del vettore spostamento generalizzato. A tale scopo cominciamo col distinguere i diversi tipi di spostamento che un corpo rigido pu esibire nel piano e che, come dimostreremo, si possono ricondurre ai soli spostamenti traslatori e rotatori. 1.2.2. Spostamenti traslatori

Uno spostamento rigido piano si definisce traslatorio quando tutti i punti del corpo subiscono lo stesso spostamento (il corpo si sposta rimanendo parallelo alla posizione iniziale). Tale definizione , in realt, generale e vale anche per spostamenti che non siano n rigidi n piani nel senso prima precisato. Con riferimento al rettangolo considerato nei paragrafi precedenti un generico spostamento traslatorio quello rappresentato nella Figura 4. Con la scelta (1.2) lo spostamento generalizzato che descrive la traslazione assume la forma:

6


x A ' x A u A {S } = y A' y A = v A 0 0

(1.3)

e le sue uniche componenti non nulle si identificano con le componenti cartesiane dello spostamento del punto A: s A = u A i + v A j .

Figura 4.

Lo spostamento di un punto P qualsiasi del rettangolo allora, per definizione di spostamento traslatorio, uguale allo spostamento di A, ovvero immediatamente noto una volta che siano assegnate le componenti dello spostamento generalizzato:

sP = s A1.2.3. Spostamenti rotatori

(1.4)

Uno spostamento rigido piano si definisce rotatorio quando esiste un punto del piano, appartenente o meno al corpo, a cui compete spostamento nullo. Tale punto prende il nome di centro di rotazione. A differenza di quanto detto per lo spostamento traslatorio, la definizione qui data di spostamento rotatorio, mentre continua a valere anche per spostamenti che non siano rigidi, non si pu estendere senza modifiche a spostamenti diversi da quelli piani. La modifica riguarda la sostituzione del concetto di centro di rotazione con quello di asse di rotazione. Nella Figura 5 illustrato uno spostamento rotatorio del rettangolo per il quale si ipotizzato il centro di rotazione coincidente con il punto A. Si tratta com ovvio di un caso particolare, dal momento che le coordinate del punto A sono usate per definire il vettore posizione {M}; tuttavia sempre possibile scegliere come coordinate generalizzate proprio le coordinate del centro di rotazione. Con tale scelta lo spostamento generalizzato che descrive la rotazione diventa:

7


0 0 {S } = 0 = 0 '

(1.5)

dove si indicato con langolo di rotazione, ovvero la differenza tra le orientazioni finale e iniziale della base del rettangolo rispetto allasse delle ascisse. Lespressione che fornisce lo spostamento di un punto P qualsiasi del rettangolo, a partire dallo spostamento generalizzato, non immediata come per lo spostamento traslatorio. Per ottenere tale espressione cominciamo con losservare che, per effetto della rotazione attorno ad A, il punto P si sposta in P muovendosi sullarco di circonferenza di centro A e raggio r pari alla distanza tra P e A: lo spostamento sP del punto P si identifica allora con la corda PP sottesa dallarco di circonferenza percorso.y

etP' ' yA A

sPP

P'

sPtP

r

sPr

er

A

xAFigura 5.

x

Tale spostamento (Figura 5) si pu scomporre nelle due direzioni radiale e tangente individuate dai due versori2 er ed et che si assumono positivi se concordi con i versi che vanno rispettivamente da P verso A e da P verso P. I due vettori componenti valgono: s Pr = r (1 cos ) e r s Pt = r sen e t (1.6)

e risultano espressi in funzione dellangolo di rotazione ovvero dellunica componente non nulla dello spostamento generalizzato.3

Le componenti cartesiane del versore radiale er si ottengono facilmente a partire dalle coordinate cartesiane dei punti P ed A dividendo il vettore PA = (xA xP) i + (yA yP) j per il proprio modulo; le componenti cartesiane del versore tangente et si ottengono da quelle di er tenendo conto della ortogonalit dei due versori. 3 Nel caso in cui si fossero scelte come coordinate generalizzate le coordinate cartesiane di un punto diverso dal centro di rotazione A lo spostamento del punto P si sarebbe ancora potuto esprimere mediante le (1.6) poich si dimostra (vedi infra, teorema di Chasles) che langolo di rotazione , terza componente dello spostamento generalizzato, indipendente dalla suddetta scelta.8

2


1.2.4.

Spostamenti roto-traslatori

Limportanza degli spostamenti traslatori e rotatori descritti nei paragrafi precedenti risiede nel fatto che essi esauriscono le possibili modalit di spostamento dei corpi rigidi nel piano, nel senso che uno spostamento rigido piano o traslatorio o rotatorio o una combinazione di entrambi (roto-traslatorio). questo, in sintesi, il contenuto di un importante teorema dovuto a Chasles (1793-1880) il cui enunciato e la cui dimostrazione vengono di seguito presentati nella forma che essi assumono con riferimento agli spostamenti rigidi piani. Teorema di Chasles: ogni spostamento rigido piano non traslatorio si riduce (i) in infiniti modi a uno spostamento roto-traslatorio (sempre con lo stesso angolo di rotazione) e, (ii) in un solo modo a uno spostamento rotatorio attorno a un centro opportuno, detto centro assoluto di rotazione (con identico angolo di rotazione). Il teorema consiste di due parti che conviene illustrare separatamente. Per dimostrare la prima parte del teorema consideriamo un generico spostamento non traslatorio del rettangolo ABCD per il qual scopo sufficiente che gli spostamenti di due punti qualsiasi, ad esempio A e B, risultino non paralleli (Figura 6). Siano sA e sB tali spostamenti. Lo spostamento del rettangolo dalla posizione iniziale ABCD alla posizione finale ABCD si pu ottenere imponendo (i) dapprima uno spostamento rotatorio con centro in A e angolo A tale da rendere il rettangolo stesso parallelo alla sua orientazione finale e, (ii) successivamente, uno spostamento traslatorio in cui tutti i punti si spostano di un vettore pari a sA. Oppure si pu imporre (i) prima una rotazione con centro in B e angolo B tale da rendere il rettangolo parallelo alla orientazione finale e (ii) poi una traslazione con tutti i punti che si spostano di un vettore sB.C D' B1 D A B C'

sB sAA1 A' B'

Figura 6.

Cambiando dunque il punto attorno al quale occorre far ruotare inizialmente il rettangolo per disporlo parallelamente alla posizione finale si possono ottenere infinite combinazioni di spostamenti rotatori e traslatori che portano comunque il rettangolo dalla posizione iniziale a quella finale. Tutte queste combinazioni sono caratterizzate da un diverso punto di rotazione (rispettivamente A e B nellesempio considerato), da un diverso spostamento traslatorio (rispettivamente sA e sB), ma da uno stesso angolo di rotazione (uguale ampiezza di rotazione e ugual verso) come facile convincersi osservando nella Figura 6 che gli angoli A e B sono angoli alterni interni tra le rette parallele AA1 e BB2, entrambe parallele alla orientazione finale del rettangolo, e pertanto A= B.9


Per dimostrare la seconda parte del teorema consideriamo lo stesso spostamento del rettangolo ABCD che per chiarezza viene riproposto nella Figura 7. Dal punto di mezzo dei due segmenti AA e BB, che misurano la lunghezza degli spostamenti sA e sB, conduciamo due rette perpendicolari ai segmenti stessi individuando in C la loro intersezione. I due segmenti rappresentano corde delle infinite circonferenze che si possono tracciare per le coppie di punti A-A e B-B e il punto C rappresenta il centro comune di due di queste circonferenze. Il punto A si sposta in A, dunque, percorrendo la circonferenza di centro C e raggio CA, cos come il punto B si sposta in B percorrendo la circonferenza di centro C e raggio CB. Ne discende luguaglianza dei due triangoli CAB e CAB in quanto triangoli aventi i lati ordinatamente uguali: CA=CA e CB=CB perch raggi di una stessa circonferenza, AB=AB perch il rettangolo un corpo rigido. Il triangolo CAB si trasforma dunque nel triangolo CAB per rotazione rigida attorno al centro comune delle due circonferenze (centro assoluto di rotazione) e il rettangolo ABCD, solidale con il lato AB del triangolo, subisce la stessa rotazione attorno allo stesso centro.C D' B D A' A B' C'

C

Figura 7.

Quanto al valore dellangolo di rotazione questo si identifica con gli angoli, tra loro uguali, formati dalle coppie di lati corrispondenti dei due triangoli CAB e CAB: due di questi angoli sono angoli al centro per le due circonferenze sottesi dalle corde AA e BB, ovvero ACA' e BCB' , il terzo angolo quello formato dai lati AB e AB ovvero dalle orientazioni iniziale e finale del rettangolo. Pertanto langolo di rotazione che compete allo spostamento rotatorio di centro assoluto C uguale agli angoli di rotazione che competono alle componenti rotatorie degli infiniti spostamenti roto-traslatori di cui parla la prima parte del teorema. Si noti, per concludere, che anche lo spostamento puramente traslatorio si pu assimilare a uno spostamento rotatorio con angolo di rotazione nullo e centro assoluto di rotazione coincidente con il punto improprio della direzione perpendicolare a quella della traslazione. Il teorema di Chasles evidenzia come la scelta del vettore (1.2) quale spostamento generalizzato risulti molto espressiva. Le componenti di detto vettore, infatti, altro non rappresentano se non lo spostamento di un punto del corpo e la rotazione del corpo attorno10


allo stesso punto e quindi descrivono sia la parte traslatoria sia la parte rotatoria dello spostamento complessivo del corpo (prima parte del teorema). Tale descrizione risulta evidentemente ancora pi semplice se il punto scelto per definire la parte traslatoria dello spostamento coincide con il centro assoluto di rotazione del corpo: in questo caso lo spostamento generalizzato espresso dalla (1.5) e il generico spostamento rigido piano considerato come rotazione attorno al centro stesso e non pi come spostamento roto-traslatorio (seconda parte del teorema). 1.2.5. Lipotesi di piccoli spostamenti

I risultati sin qui ottenuti assumono una forma particolarmente semplice se si opera nellambito di validit dellipotesi di piccoli spostamenti. Questa ipotesi giustificata dal fatto che gli spostamenti delle strutture reali devono essere effettivamente limitati per garantire la funzionalit in esercizio delle strutture stesse: un solaio non deve subire inflessioni eccessive sotto lazione del peso proprio e portato affinch non si danneggino, ad esempio, le tramezzature interne e, allo stesso modo, le oscillazioni indotte dal vento in un edificio alto non devono superare un certo limite per non impedire la fruizione dei piani alti delledificio. Per quanto attiene la analisi cinematica, lipotesi di piccoli spostamenti consente di assumere che gli spostamenti siano cos piccoli da poter ritenere infinitamente prossime le posizioni iniziale e finale occupate dal corpo. Conseguentemente, gli spostamenti sia traslatori che rotatori diventano quantit infinitesime e ci equivale a poter approssimare le funzioni che li descrivono con il loro sviluppo in serie di Taylor troncato ai termini del primo ordine. Lo studio dello spostamento si riconduce, cos, formalmente a quello della velocit il che consente di parlare indifferentemente di spostamento o atto di moto. La descrizione degli spostamenti traslatori non viene modificata dallassunzione che gli spostamenti stessi siano quantit infinitesime dal momento che il campo di spostamenti (1.4) uniforme e tale rimane anche quando le componenti dei vettori spostamento si devono ritenere quantit infinitesime anzich finite. Al contrario la descrizione degli spostamenti rotatori si semplifica notevolmente. Sostituendo alle funzioni seno e coseno che compaiono nelle (1.6) il loro sviluppo in serie di Taylor, di punto iniziale =0 e troncato ai termini del primo ordine:

sen = sen(0 ) + sen(0 ) + (1 2! ) sen(0 ) 2 + ... cos = cos(0 ) + cos (0 ) + (1 2! ) cos (0 ) 2 + ... 1si riconosce che lo spostamento rotatorio si identifica con il solo componente tangente:

(1.7)

sPr = r ( 1 cos ) er = 0 sPt = sP = r sen et = r et

(1.8)

e si pu dunque affermare che, per effetto di una rotazione infinitesima di centro A, il punto P si sposta ortogonalmente alla congiungente P con A di una quantit pari allampiezza della rotazione moltiplicata per la distanza del punto dal centro di rotazione (Figura 8).

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y

etP' P ' yA A A r P' P

sP = r

xAFigura 8.

x

Le componenti cartesiane di tale spostamento si ottengono facilmente (Figura 9) mediante le relazioni:

uP = sP sen = r sen = ( yP y A ) vP = sP cos = r cos = ( xP x A )

(1.9)

Figura 9.

nelle quali si assumono positive le rotazioni antiorarie e il segno meno per la componente uP tiene conto del fatto che detta componente ha verso opposto allasse x positivo. Possiamo a questo punto ritornare al problema posto alla fine del 1.2.1. ovvero quello di determinare lo spostamento di un punto qualunque del corpo a partire dalla conoscenza del vettore spostamento generalizzato.

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Per la seconda parte del teorema di Chasles, infatti, il generico spostamento rigido piano si pu interpretare come spostamento rotatorio attorno al centro assoluto di rotazione C e si pu dunque ottenere dalle (1.9) sostituendo alle coordinate di A quelle di C:

sP = uP i + vP j = ( yP yC ) i + ( xP xC ) j

(1.10)

La (1.10) si presta a una interessante considerazione che mette in evidenza una propriet generale degli spostamenti rigidi piani. Se infatti si considera, in luogo dello spostamento del punto P, lo spostamento di un qualsiasi altro punto Q allineato sulla verticale per P, ovvero per il quale risulti xQ = xP, si ha evidentemente:

vP = ( xP xC ) = vQ = ( xQ xC )

(1.11)

e cio risultano uguali le componenti verticali degli spostamenti dei due punti. Allo stesso modo, considerando un punto R allineato questa volta sulla orizzontale per P, ovvero per il quale risulti yR = yP, si ha:

uP = ( yP yC ) = uR = ( yR yC )

(1.12)

e cio risultano uguali le componenti orizzontali degli spostamenti dei due punti. Tale propriet ha validit generale e si pu enunciare dicendo che le componenti dello spostamento di due punti lungo la retta che li congiunge sono tra loro uguali e uguali alla componente, lungo la medesima direzione, dello spostamento di qualunque altro punto appartenente alla direzione stessa. Essa discende dallipotesi che gli spostamenti siano rigidi, in virt della quale due punti qualsiasi, appartenenti allo stesso corpo, non possono n avvicinarsi n allontanarsi durante lo spostamento pena il venir meno dellipotesi stessa.

Figura 10.

Linteresse di questa propriet nelle applicazioni ragguardevole e vale la pena fornirne una giustificazione diretta. Consideriamo a tale scopo i due punti A e P di un generico corpo rigido piano che, per effetto della rotazione di ampiezza e centro C, si spostano perpendicolarmente alle congiungenti AC e PC rispettivamente di sA=AC e sP=PC (Figura 10). Le componenti sAr e sPr degli spostamenti dei punti A e P lungo la congiungente r si ottengono proiettando gli spostamenti stessi su r. Ma, osservando che il triangolo avente come13


ipotenusa sA e uno dei due cateti coincidente con sAr simile al triangolo CAH e che il triangolo avente come ipotenusa sP e uno dei due cateti coincidente con sPr simile al triangolo CPH, si pu scrivere:

s Ar = AC cos = CH = h s Pr = PC cos = CH = h

(1.13)

In questo modo non solo si riconosce che le suddette componenti sono uguali, in accordo con la propriet prima enunciata sulla base dellipotesi che lo spostamento fosse rigido, ma si deduce anche che per valutare la componente dello spostamento di un punto qualsiasi lungo una direzione assegnata si pu fare riferimento allo spostamento del punto coincidente con il piede della perpendicolare abbassata dal centro di rotazione alla direzione stessa (nel caso in figura H). Ci semplifica notevolmente il calcolo quando le componenti di spostamento che interessa calcolare sono quelle cartesiane. Conoscendo dunque le coordinate del centro assoluto di rotazione C e langolo di rotazione dello spostamento rigido piano di un qualunque corpo la (1.10) consente di determinate lo spostamento di tutti i punti del corpo.

Figura 11.

Per avere una visione immediata di tali spostamenti, attraverso le rispettive componenti cartesiane, utile costruire il cosiddetto diagramma degli spostamenti (Figura 11). A tale scopo sufficiente proiettare il centro assoluto di rotazione del corpo sullasse x (y) del riferimento adottato ottenendo il punto Cx (Cy) e, quindi, ruotare lasse x (y) attorno a Cx (Cy) dellangolo . Le ordinate (ascisse) dellasse ruotato rappresentano le componenti cartesiane, lungo y (x), degli spostamenti dei punti del corpo allineati in verticale (orizzontale) con le ordinate stesse in virt della propriet espressa dalle (1.11), (1.12), (1.13). Nella Figura sono riportate a titolo di esempio le componenti cartesiane di un generico punto P interno al corpo rigido.

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Centro assoluto di rotazione e angolo di rotazione possono non essere noti direttamente. In questo caso per sono solitamente disponibili altri dati che ne consentono la determinazione. Una situazione abbastanza frequente nelle applicazioni quella nella quale sono note le direzioni dello spostamento di almeno due punti del corpo, essendo incognite sia lentit degli spostamenti stessi sia il loro verso. Tuttavia questa informazione sufficiente a determinare la posizione del centro assoluto di rotazione. Poich infatti nello spostamento attorno al centro C qualunque punto del corpo si sposta perpendicolarmente alla congiungente il punto con il centro, tracciando le perpendicolari alle direzioni note dei due spostamenti (a partire dalle posizioni iniziali dei due punti) il centro assoluto di rotazione si determina come intersezione delle perpendicolari suddette. Per determinare poi langolo di rotazione, una volta noto il centro, sufficiente conoscere modulo e verso dello spostamento di un punto qualsiasi del corpo perch, in questo caso, invertendo la (1.8) si ottiene langolo di rotazione cercato. Gli esempi che verranno discussi nel seguito chiariranno entrambe le procedure. 1.3. Il problema cinematico

Passiamo adesso a formulare ci che, nellambito della meccanica strutturale, si intende per problema cinematico. Il problema cinematico consiste essenzialmente nel ricercare se, nellintorno della posizione iniziale di una trave (di un sistema di travi), esistano o meno altre posizioni che si possano ottenere da quella iniziale mediante spostamenti rigidi (infinitesimi) compatibili con i vincoli applicati alla trave (al sistema di travi). I termini noti del problema cinematico sono dunque gli spostamenti dei punti vincolati, le incognite gli spostamenti dei punti non vincolati. Sebbene il problema cinematico si possa formulare (e se ne possa caratterizzare la soluzione) anche in presenza di vincoli perfetti, il caso in cui i vincoli sono invece cedevoli riveste un interesse applicativo molto maggiore. Un vincolo si definisce cedevole quando non riesce a impedire completamente gli spostamenti che esso dovrebbe contrastare; in questo caso gli spostamenti che violano la condizione di vincolo, e che si supporranno nel seguito sempre assimilabili a quantit infinitesime, prendono il nome di cedimenti vincolari. Ad esempio, un carrello il cui punto di applicazione si sposta anche perpendicolarmente al piano di scorrimento del carrello stesso (ovvero lungo la direzione efficace del vincolo), o un incastro che non impedisce completamente la rotazione della trave, sono vincoli cedevoli. La possibilit di ottenere una soluzione per il problema cinematico essenzialmente legata al numero di vincoli applicati alla trave (al sistema di travi). E dunque le condizioni che assicurano la compatibilit del problema sono diverse per le travi labili (per le quali il numero dei gradi di vincolo inferiore al numero dei gradi libert: GV < GL), isostatiche (GV = GL) e iperstatiche (GV > GL). Non discuteremo formalmente le condizioni di compatibilit del problema cinematico per le tre tipologie di travi (di sistemi di travi). Tuttavia, alcune considerazioni intuitive sulle caratteristiche con cui il problema cinematico si presenta nei tre casi sono ugualmente possibili e, sicuramente efficaci per una migliore comprensione del problema stesso. Per semplificare lesposizione, tali considerazioni saranno presentate facendo riferimento al caso di una trave singola.

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Se la trave isostatica, e si esclude la eventualit di vincoli mal disposti, la molteplicit complessiva dei vincoli esattamente pari a tre, ovvero al numero dei gradi di libert della trave considerata come corpo rigido nel piano. In questo caso facile convincersi che la soluzione del problema cinematico esiste, indipendentemente dal valore dei cedimenti vincolari, sulla base di una semplice considerazione. Si visto come lo spostamento di un corpo rigido nel piano sia completamente, e univocamente, definito non appena si assegni il vettore algebrico spostamento generalizzato, ovvero una terna di parametri che dipendono dalle particolari coordinate lagrangiane scelte per descrivere la posizione del corpo. Noto infatti lo spostamento generalizzato, sempre possibile risalire allo spostamento di un punto qualunque del corpo (mediante relazioni del tipo della (1.10) relativa ad uno spostamento generalizzato descritto dalle due componenti di spostamento del centro assoluto di rotazione e dallangolo di rotazione). Ora, poich le coordinate lagrangiane si possono scegliere arbitrariamente, lo spostamento generalizzato esso stesso arbitrario e, dunque, nulla vieta di assumere come spostamento generalizzato il vettore algebrico che raccoglie le tre componenti di spostamento che rappresentano i cedimenti vincolari. Ci assicura che qualunque insieme di cedimenti vincolari, purch beninteso di ampiezza infinitesima, porta la trave in una posizione variata rispetto a quella iniziale con soli spostamenti rigidi. In particolare, se i cedimenti sono tutti nulli (vincoli perfetti), la trave non si pu muovere e la soluzione del problema cinematico quella banale (che corrisponde a spostamenti nulli per tutti i punti della trave, vincolati e non vincolati). Pertanto, escludendo la presenza di vincoli mal disposti, per una trave isostatica il problema della ricerca di posizioni variate rispetto alla posizione iniziale cinematicamente determinato. Se la trave labile, la molteplicit complessiva dei vincoli inferiore a tre, ovvero al numero dei gradi di libert della trave considerata come corpo rigido nel piano. evidente, in questo caso, che i vincoli non sono sufficienti a bloccare tutti i possibili movimenti della trave la cui posizione risulta, pertanto, indeterminata. E tale rimane anche se i vincoli applicati alla trave subiscono dei cedimenti (di entit nota e, ripetiamo, infinitesima). Ragionando in termini di spostamento generalizzato, la presenza di un numero di vincoli inferiore a quello strettamente necessario, impedisce di assegnare un valore alle tre componenti del vettore spostamento generalizzato, ci che sancisce lindeterminazione del problema. In definitiva, per una trave labile, il problema della ricerca di posizioni variate rispetto alla posizione iniziale cinematicamente indeterminato. Se la trave iperstatica, la molteplicit complessiva dei vincoli superiore a tre, ovvero al numero dei gradi di libert della trave considerata come corpo rigido nel piano. In questo caso la soluzione del problema cinematico esiste, sempre, solo per cedimenti vincolari tutti nulli ed la soluzione banale (spostamenti nulli per tutti i punti della trave, vincolati e non vincolati). Viceversa, in presenza di cedimenti vincolari arbitrari non sempre possibile per la trave seguire i cedimenti stessi con soli spostamenti rigidi. Supponendo infatti di costruire, per mezzo di tre soli dei cedimenti vincolari assegnati, un vettore spostamento generalizzato e di determinare con questo gli spostamenti di tutti i punti della trave, non detto che tali16


spostamenti siano compatibili con i cedimenti vincolari non usati per costruire lo spostamento generalizzato. In questo caso, dunque, solo particolari valori dei cedimenti vincolari assicurano che la trave si porti dalla posizione iniziale a quella variata mediante soli spostamenti rigidi. Naturalmente, rimuovendo lipotesi di rigidit, ovvero ammettendo che la trave si possa deformare, la soluzione esiste sempre. Pertanto, per una trave iperstatica e, limitatamente allambito di validit dellipotesi di corpo rigido, il problema della ricerca di posizioni variate rispetto alla posizione iniziale generalmente cinematicamente impossibile, a meno di particolari valori dei cedimenti vincolari per i quali il problema diventa cinematicamente determinato. Una sintesi delle condizioni di compatibilit del problema cinematico, per le travi labili, isostatiche e iperstatiche, riportata nella tabella seguente nella quale sono altres riassunte le analoghe condizioni di compatibilit del problema statico.

TRAVE Labile Isostatica Iperstatica1 2

Problema cinematico Cinematicamente indeterminato Cinematicamente determinato 1 (soluzione unica) Cinematicamente impossibile 2 (a meno di {s} particolari)

Problema statico Staticamente impossibile (a meno di {F} particolari) Staticamente determinato 1 (soluzione unica) Staticamente indeterminato 2

se i vincoli sono ben disposti nellambito della meccanica dei corpi rigidi {F} sistema delle forze attive {s} sistema dei cedimenti vincolari

Si ricorda che il problema statico consiste nel ricercare se, data una trave (un sistema di travi) vincolata al suolo in uno o pi punti e soggetta a un arbitrario sistema di forze attive (o direttamente applicate), esista un sistema di forze reattive (o reazioni vincolari) tale che la somma dei due sistemi sia equivalente a zero. In altri termini si tratta di ricercare se esiste un sistema di reazioni vincolari che garantisca lequilibrio della trave (del sistema di travi). Non avendo discusso formalmente il problema cinematico, attraverso la formulazione delle equazioni di compatibilit cinematica, non possiamo esplicitamente rimarcare la propriet di dualit che lega i due problemi, statico e cinematico, e che si traduce in un legame tra gli operatori matematici che descrivono i problemi stessi (le matrici dei coefficienti dei due sistemi di equazioni, quello di equilibrio statico e quello di compatibilit cinematica, risultano luna la trasposta dellaltra). Osserviamo semplicemente che mentre nel problema cinematico i termini noti sono rappresentati dai cedimenti vincolari, ovvero dagli spostamenti dei punti in cui sono applicati i vincoli, e le incognite dagli spostamenti dei rimanenti punti della trave (del sistema di travi), nel problema statico le incognite sono rappresentate dalle reazioni vincolari, ovvero dalle forze applicate nei punti vincolati, e i termini noti dalle forze applicate ai rimanenti punti della trave (del sistema di travi).

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1.4.

Esempi

Gli esempi seguenti chiariscono le modalit di risoluzione del problema cinematico per le strutture isostatiche, sia travi singole che sistemi di travi, in presenza di cedimenti vincolari.

Esempio 1.1Consideriamo la trave rigida piana rappresentata in Figura. La trave, lunga 15 m, vincolata in corrispondenza dello spigolo A con una cerniera e in corrispondenza dello spigolo B con un carrello a piano di scorrimento orizzontale. Si tratta dunque di una struttura isostatica.

Supponiamo che il carrello in B subisca un cedimento verso il basso di 2 mm e proponiamoci di risolvere il problema cinematico. Risolvere il problema cinematico significa descrivere lo spostamento rigido che porta la trave dalla posizione iniziale (a sinistra nella Figura) alla posizione finale assunta a seguito del cedimento impresso (a destra). I tre parametri di spostamento che si prestano ad essere assunti come componenti del vettore algebrico spostamento generalizzato della trave sono le tre componenti di spostamento (note) dei punti vincolati e, precisamente:

uA = 0 vA = 0 vB = 0.002 mPoich la (1.10) ottenuta nel 1.2.5 consente di determinare lo spostamento di qualunque punto di un corpo rigido quando lo spostamento generalizzato definito dalle coordinate del centro assoluto di rotazione del corpo (C) e dal suo angolo di rotazione (), il primo passo per la risoluzione del problema cinematico consiste nel definire, a partire dallo spostamento generalizzato descritto dai dati iniziali del problema, uno spostamento generalizzato che contenga le coordinate di C e langolo . Per il problema in esame tale passaggio immediato. Il punto A, vincolato al suolo con una cerniera, ha componenti di spostamento lungo gli assi cartesiani entrambe nulle: esso coincide pertanto con il centro assoluto di rotazione della trave. Daltra parte nota la componente verticale dello spostamento del punto B e, conseguentemente, per ottenere langolo di rotazione sufficiente invertire la (1.10):

18


vB = ( xB xC )

=

vB ( xB xC )

=

0.002 = 0.00013 rad (19 4 )

La trave ruota dunque con verso orario di 0.00013 rad attorno ad A(4, 4) e gli spostamenti verticali dei suoi punti sono direttamente proporzionali alle rispettive distanze da A. Nessun punto della trave subisce spostamenti orizzontali poich tutti i punti sono allineati con A equazione (1.12). Il diagramma degli spostamenti riportato nella Figura.

Esempio 1.2Supponiamo ora che, per la stessa trave dellesempio precedente, il sistema dei cedimenti vincolari sia rappresentato da un cedimento verso il basso di 2 mm della cerniera in A e proponiamoci, come prima, di risolvere il problema cinematico.

Il vettore algebrico spostamento generalizzato della trave che si pu costruire direttamente a partire dai dati del problema ha per componenti, al solito, le tre componenti di spostamento (note) dei punti vincolati, ovvero:

19


uA = 0 v A = 0.002 m vB = 0Per poter applicare la (1.10) che consente di determinare lo spostamento di qualunque punto di un corpo rigido quando lo spostamento generalizzato definito dalle coordinate del centro assoluto di rotazione del corpo (C) e dal suo angolo di rotazione () definiamo, a partire dallo spostamento generalizzato descritto dai dati iniziali del problema, uno spostamento generalizzato che contenga le coordinate di C e langolo . Per quanto riguarda la determinazione di C osserviamo che sono note le direzioni dello spostamento di due punti della trave: il punto A si sposta infatti in direzione verticale per effetto del cedimento del vincolo di cerniera mentre il punto B si sposta in direzione orizzontale (qualora effettivamente si sposti, ci che non si pu dire a priori) per la presenza del carrello a piano di scorrimento orizzontale. Il centro assoluto di rotazione della trave si trova dunque sullintersezione delle due rette perpendicolari alle direzioni dello spostamento dei due punti suddetti, ovvero la retta orizzontale per A e la retta verticale per B: detta intersezione coincide con il punto B che si identifica pertanto con il centro assoluto di rotazione della trave. Daltra parte, come gi visto nellesempio precedente, nota la componente verticale dello spostamento del punto A e, conseguentemente, per ottenere langolo di rotazione sufficiente invertire la (1.10):

v A = ( x A xC )

=

vA ( xA xC )

=

0.002 = 0.00013 rad ( 4 19 )

La trave ruota con verso antiorario di 0.00013 rad attorno a B(19, 4) e gli spostamenti verticali dei suoi punti sono direttamente proporzionali alle rispettive distanze da B. Nessun punto della trave subisce spostamenti orizzontali poich tutti i punti sono allineati con B equazione (1.12). Il diagramma degli spostamenti riportato nella Figura.

Esempio 1.320


Supponiamo, infine, sempre per la stessa trave appoggiata dei due esempi precedenti, che il sistema dei cedimenti vincolari sia rappresentato da un cedimento verso il basso di 2 mm del carrello in B e da un cedimento della cerniera in A con componenti pari a 1 mm verso destra e 6 mm verso il basso. Vogliamo risolvere il problema cinematico.

Il vettore algebrico spostamento generalizzato della trave costruito con i dati del problema ha per componenti le tre componenti di spostamento (note) dei punti vincolati, ovvero:

u A = 0.001 m vA = 0.006 m vB = 0.002 mCome negli esempi precedenti, a partire da tale vettore occorre costruire un nuovo vettore spostamento generalizzato contenente le coordinate del centro assoluto di rotazione della trave (C) e il suo angolo di rotazione () al fine di poter applicare la (1.10). La determinazione di C leggermente pi laboriosa rispetto ai due esempi precedenti ma non presenta differenze concettuali. In questo caso nota la direzione dello spostamento del punto A del quale sono assegnate, come dati del problema, le due componenti cartesiane. Non invece nota, almeno direttamente, la direzione dello spostamento del punto B, del quale si conosce la sola componente verticale (non potendo escludere a priori che detto punto si sposti anche in orizzontale). In effetti, il punto B si sposta anche in orizzontale poich, essendo allineato in orizzontale con il punto A, dovr esibire la stessa componente orizzontale di spostamento. Pertanto, cos come nellEsempio 1.2, sono note le direzioni dello spostamento dei due punti A e B e il centro assoluto di rotazione della trave si trover sullintersezione delle due rette perpendicolari a tali direzioni (r ed s, rispettivamente) condotte per i punti stessi. Le equazioni delle due rette si ottengono molto semplicemente ricordando la condizione di perpendicolarit di due vettori che espressa dallannullarsi del loro prodotto scalare. Indicando con X(x, y) un punto generico della retta r, perpendicolare al vettore spostamento sA e passante per A, lequazione della retta si ottiene annullando il prodotto scalare tra il vettore AX e il vettore sA:

AX s A = 0

( x xA ) u A + ( y y A ) vA = 0

Nel riferimento cartesiano adottato in Figura si ha:

21


( x 4 ) (0.001) + ( y 4 ) ( 0.006 ) = 00.001 x 0.006 y + 0.02 = 0Allo stesso modo si ottiene lequazione della retta s, perpendicolare al vettore spostamento sB e passante per B (naturalmente ora il punto X(x,y) si immagina appartenente alla retta s):

BX sB = 0

( x xB ) u B + ( y y B ) v B = 0

( x 19 ) (0.001) + ( y 4 ) ( 0.002 ) = 00.001 x 0.002 y 0.011 = 0Lintersezione delle due rette r ed s, centro assoluto di rotazione della trave, si ottiene dunque come soluzione del sistema algebrico formato dalle equazioni delle rette stesse:

0.001 x 0.006 y + 0.02 = 0 x = 26.5 m 0.001 x 0.002 y 0.011 = 0 y = 7.75 mPer ottenere langolo di rotazione ora sufficiente invertire la (1.10), facendo riferimento a una qualsiasi delle componenti di spostamento note dei due punti A e B. Considerando, ad esempio, la componente vA si ottiene:

v A = ( x A xC )

=

vA ( xA xC )

=

0.006 = 0.00027 rad ( 4 26.5 ) uB ( yB yC )

Si controlla che lo stesso risultato si ottiene considerando uB:

uB = ( yB yC )

=

=

0.001 = 0.00027 rad ( 4 7.75 )

22


La trave ruota con verso antiorario di 0.00027 rad attorno a C(26.5, 7.75) e una visione sintetica degli spostamenti di tutti i suoi punti, in termini di componenti cartesiane, data dal diagramma degli spostamenti riportato in Figura.

Esempio 1.4Dato larco a tre cerniere ACB rappresentato in Figura, supponendo che la cerniera esterna in B subisca un cedimento orizzontale verso destra pari a 2 mm, determinare la nuova configurazione assunta dalla struttura.

La differenza tra la trave singola, considerata negli esempi precedenti, e i sistemi costituiti da pi travi reciprocamente connesse, dei quali larco a tre cerniere rappresenta un esempio elementare, consiste nella dimensione del vettore algebrico spostamento generalizzato. Per la trave singola lo spostamento generalizzato un vettore a 3 componenti, per i sistemi formati da n travi lo spostamento generalizzato un vettore a 3n componenti perch occorrono 3 parametri indipendenti per descrivere lo spostamento di ciascuna trave del sistema. Per descrivere dunque lo spostamento rigido dellarco a tre cerniere, conseguente al cedimento vincolare assegnato, occorre determinare coerentemente con quanto fatto negli esempi precedenti per la trave singola le coordinate dei centri assoluti di rotazione delle due travi (C1 e C2) e i rispettivi angoli di rotazione (1 e 2), ovvero in totale 6 parametri indipendenti. I dati del problema non contengono direttamente questi parametri ma si prestano comunque a costruire un vettore spostamento generalizzato che, mediante semplici elaborazioni, consente di ricavare centri assoluti e angoli di rotazione per le due travi del sistema. Lo spostamento generalizzato iniziale contiene, come per la trave singola, le componenti di spostamento (note) dei punti vincolati; con la differenza che, in questo caso, non ci sono solo le componenti assolute di spostamento dei vincoli esterni ma anche le componenti relative di spostamento dei vincoli interni. Tali componenti relative sono rappresentate dagli ultimi due parametri sotto riportati che impongono lannullarsi dello spostamento relativo delle estremit delle due travi in corrispondenza della cerniera interna C. In altri termini essi impongono che il punto C23


pensato appartenente alla trave AC esibisca lo stesso spostamento del punto C pensato appartenente alla trave BC.

uA = 0 vA = 0 uB = 0.002 m vB = 0

uC = uC ( AC ) uC ( BC ) = 0 vC = vC ( AC ) vC ( BC ) = 0Sulla base dei parametri sopra elencati agevole determinare il centro assoluto di rotazione e langolo di rotazione delle due travi. Per la trave AC il centro assoluto di rotazione coincide con la cerniera esterna in A dal momento che questa rimane ferma: C1A (vedi Esempio 1.1). Per la trave BC il centro assoluto di rotazione si determina come intersezione tra le rette r ed s perpendicolari alle direzioni (note) dello spostamento di due punti della trave (e passanti per i punti stessi) e, precisamente, lo spostamento del punto B, in corrispondenza del quale assegnato il cedimento vincolare, e lo spostamento del punto C che, appartenendo anche alla trave AC, si sposta perpendicolarmente alla congiungente A con C (vedi Esempi 1.2, 1.3). Lequazione della retta r, perpendicolare al vettore spostamento sB e passante per B si ottiene come nellEsempio 1.3:

BX sB = 0

( x xB ) u B + ( y y B ) v B = 0

( x 10 ) (0.002 ) + ( y 2 ) (0.0 ) = 0x = 10

Lequazione della retta s, perpendicolare al vettore spostamento sC e passante per il punto C, non altro che lequazione della retta passante per i punti A e C:x xA y yA = xC x A yC y A

x2 y2 = 6 2 6 2 y=x

Lintersezione delle due rette r ed s, centro assoluto di rotazione della trave CB (C2), dunque:

x = 10 x = 10 m y = x y = 10 mPer ottenere langolo di rotazione 2 ora sufficiente invertire la (1.10), essendo nota la componente orizzontale dello spostamento del punto B (che si identifica con lo spostamento totale del punto stesso, poich la cerniera in B rimane comunque attiva per la componente verticale dello spostamento, annullandola):

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uB = ( yB yC 2 ) 2

2 =

uB ( yB yC 2 )

2 =

0.002 = 0.00025 rad ( 2 10 )

Langolo 1 si ottiene infine uguagliando lo spostamento del punto C, calcolato pensando C appartenente alla trave BC, allo spostamento dello stesso punto, calcolato pensandolo questa volta appartenente alla trave AC. Anzich allo spostamento risultante pi comodo riferirsi a una qualsiasi delle sue componenti cartesiane; scelta, ad esempio, la componente orizzontale si pu scrivere:

uC ( AC ) = uC ( BC ) ( yC yC1 ) 1 = ( yC yC 2 ) 2

1 =

( yC yC 2 ) = (6 10 ) 0.00025 = 0.00025 rad ( yC yC1 ) 2 (6 2 )

Le due travi, AC e BC, ruotano attorno, rispettivamente, a C1(2, 2) e C2(10, 10) entrambe di 0.00025 rad ma con verso opposto (orario la prima, antiorario la seconda). Il diagramma degli spostamenti riportato nella Figura. Per disegnare la posizione variata della struttura, conseguente al cedimento impresso alla cerniera in B, serve conoscere gli spostamenti di alcuni punti significativi e, precisamente, la cerniera interna C e i gomiti delle due travi. Per la cerniera interna la (1.10) porge (ovviamente!) lo stesso valore di spostamento sia che il punto C venga considerato appartenente alla trave AC:

sC ( AC ) = ( yC yC1 ) 1 i + ( xC xC1 ) 1 j sC ( AC ) = ( 6 2 ) 0.00025 i + ( 6 2 ) 0.00025 j = 0.001 i 0.001 j

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sia che venga considerato appartenente alla trave BC:

sC ( BC ) = ( yC yC 2 ) 2 i + ( xC xC 2 ) 2 j sC ( BC ) = ( 6 10 ) 0.00025 i + ( 6 10 ) 0.00025 j = 0.001 i 0.001 j Quanto ai gomiti delle due travi, si osserva che per entrambi la componente verticale dello spostamento nulla, essendo i punti allineati sulla verticale per i rispettivi centri assoluti di rotazione delle due travi; mentre le componenti orizzontali sono uguali tra loro ed uguali alla componente orizzontale dello spostamento del punto C (come evidente dal diagramma degli spostamenti), essendo i punti questa volta allineati in orizzontale con la cerniera interna.

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2. APPLICAZIONI DEL PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI

2.1.

Il principio dei lavori virtuali

Il principio dei lavori virtuali rappresenta una delle leggi pi generali della natura. La sua validit si estende a diversi settori della meccanica e, nellambito della meccanica strutturale, esso si rivela uno strumento di straordinaria potenza operativa per lo studio delle condizioni di equilibrio dei corpi rigidi e deformabili. Lenunciato pi generale e profondo del principio stato fornito da E. Mach in un bellissimo libro dedicato ai fondamenti concettuali e allo sviluppo storico dei princip della meccanica classica4. Non lenunciato che pi facilmente si presta a una traduzione operativa del principio dei lavori virtuali, ma sicuramente quello che ne penetra pi a fondo il significato e ne svela pi chiaramente lessenza. Esso afferma che in natura nulla accade se nulla pu accadere. Apparentemente criptico, tale enunciato esprime in realt, in maniera molto semplice, un fatto incontrovertibile: e, cio, che se non esistono le condizioni perch un determinato fenomeno possa verificarsi, quel fenomeno non si verifica. Si tratta, in altri termini, di una affermazione della permanenza delle leggi della natura; per cui, se un qualsiasi fenomeno stato invariabilmente osservato come conseguenza di un certo insieme di circostanze, non esistono ragioni sufficienti per ritenere che ci non debba accadere anche in futuro. Quel fenomeno sar, cio, sempre determinato dalle stesse circostanze e, in assenza di queste, non potr verificarsi. Fino ad oggi una simile aspettativa non mai stata smentita. Ora, nella meccanica strutturale, noi siamo in primo luogo interessati alle circostanze che assicurano lequilibrio dei corpi o, equivalentemente, alle circostanze in corrispondenza delle quali lequilibrio viene meno. Lenunciato generale di Mach pu dunque essere reso pi espressivo dicendo che un corpo permane in uno stato di equilibrio se non esistono le condizioni perch il corpo possa muoversi. Il problema diventa allora quello di riconoscere quali siano le condizioni determinanti del movimento ovvero, quali siano le circostanze in corrispondenza delle quali invariabilmente il movimento si innesca. Tali circostanze chiamano in causa il concetto di lavoro.

4

E. Mach, La meccanica nel suo sviluppo storico critico, Bollati Boringhieri, 1992.27


Ogni volta che il punto di applicazione di una forza si sposta indipendentemente dal fatto che lo spostamento sia provocato o meno dalla forza la forza compie lavoro. E, precisamente, si definisce lavoro della forza F nello spostamento s il prodotto scalare:L = F s = F s cos

(2.1)

Coerentemente con la nozione di prodotto scalare, dunque, il lavoro di una forza misurato dal prodotto del modulo della forza per la componente dello spostamento nella direzione della forza. Esso una quantit positiva, negativa o nulla a seconda che lo spostamento abbia lo stesso verso della forza, verso opposto o sia perpendicolare alla forza. Si pu allora dire che le forze che favoriscono il movimento e cio quelle il cui punto di applicazione si sposta nel verso della forza compiono lavoro positivo; le forze che ostacolano il movimento lavoro negativo. In altri termini, il movimento dei corpi sempre associato al fatto che le forze su di esso applicate compiono lavoro positivo. Poich tale circostanza riveste un ruolo essenziale nella formulazione del principio dei lavori virtuali, vale la pena fornirne una diversa giustificazione. Consideriamo a tale scopo il semplice caso di un punto materiale che si mette in movimento, a partire da uno stato di quiete, sotto lazione di una forza F. Il movimento del punto descritto dalla seconda legge di Newton:

F = ma = m

dv dt

(2.2)

dalla quale, moltiplicando scalarmente ambo i membri per uno spostamento infinitesimo ds, si ottiene:

F ds = m

dv ds dt

(2.3)

dove il termine a primo membro rappresenta il lavoro infinitesimo dL compiuto dalla forza agente sul punto materiale. Dalla (2.3) si ricava dopo semplici passaggi:dv ds dt 1 dL = d mv 2 = dT 2 dL = m dv dv ds dL = m = m v dt dt dt dt dL = m dv v

(2.4)

avendo indicato con T lenergia cinetica acquisita dal punto. Integrando rispetto al tempo si ottiene infine:L = T

(2.5)

e cio che il lavoro compiuto dalla forza agente sul punto materiale uguaglia lincremento di energia cinetica del punto stesso. Poich qualunque corpo rigido o deformabile si pu in ogni caso considerare come un insieme di punti materiali, la (2.5) si pu facilmente generalizzare, estendendone la validit a sistemi meccanici comunque complessi, considerando lenergia cinetica e il lavoro come somma dei contributi di energia e di lavoro pertinenti a tutti i punti materiali del sistema.

28


Pertanto, ogni volta che un corpo abbandona uno stato di quiete e si mette in moto esso guadagna energia cinetica e, poich questa una quantit essenzialmente positiva, le forze ad esso applicate compiono lavoro positivo. Se, allora, tra tutti i possibili spostamenti in conseguenza dei quali un corpo potrebbe abbandonare la propria configurazione iniziale (di quiete), non ve ne nessuno per il quale le forze applicate al corpo compiono lavoro positivo, quegli spostamenti non possono innescarsi e il corpo rimane in equilibrio. Viceversa, se esiste almeno uno spostamento per il quale le forze applicate compiono un lavoro positivo, quello spostamento avviene. Pertanto, una formulazione del principio dei lavori virtuali pi precisa rispetto a quelle precedentemente proposte, potrebbe essere questa: un corpo permane in uno stato di equilibrio se per qualunque spostamento a partire dalla sua configurazione iniziale, le forze su di esso agenti compiono un lavoro negativo o nullo. La condizione L 0 si configura pertanto come condizione sufficiente di equilibrio. Che essa sia anche necessaria tuttavia un assunto indimostrabile, in accordo con la natura di principio che connota la legge dei lavori virtuali. Ora, gli spostamenti ai quali siamo interessati, nella meccanica strutturale, sono quelli che comunque mantengono il corpo in un intorno arbitrariamente prossimo alla sua configurazione iniziale. Come abbiamo visto, tale ipotesi detta dei piccoli spostamenti equivale ad approssimare gli spostamenti con la parte del primo ordine del loro sviluppo in serie di Taylor a partire dalla configurazione iniziale, ovvero a sostituire gli spostamenti con le velocit (atti di moto). Moltiplicando per le velocit per un tempo fittizio t queste divengono, dimensionalmente, degli spostamenti e a questi ci si riferisce come spostamenti virtuali. Spostamento virtuale (s) dunque uno spostamento che ha le caratteristiche proprie della velocit in un atto di moto. Esso , inoltre, virtuale anche nel senso che non si tratta di uno spostamento reale ma solo di uno dei possibili spostamenti del corpo a partire dalla posizione iniziale, purch rispettoso di tutte le limitazioni derivanti sia dalla presenza di eventuali dispositivi esterni al corpo (vincoli) che dalla compagine materiale del corpo stesso. Si definisce, a questo punto, lavoro virtuale (L) il lavoro compiuto dalle forze applicate al corpo per uno spostamento virtuale. E si pu enunciare il principio dei lavori virtuali nella forma canonica: Condizione necessaria e sufficiente per lequilibrio di un corpo rigido in una configurazione assegnata che risulti negativo o nullo (L 0) il lavoro virtuale compiuto da tutte le forze agenti sul sistema per ogni spostamento virtuale a partire dalla configurazione iniziale. Se poi gli spostamenti che un corpo pu subire sono tutti reversibili, nel senso che ad ogni spostamento ne corrisponde un altro che si ottiene dal primo per un semplice cambiamento di segno, la condizione precedente diviene assai pi restrittiva e porta ad affermare che, in una situazione di equilibrio, il lavoro virtuale pu solo essere nullo. Qualora infatti risultasse L < 0, per un assegnato insieme di spostamenti virtuali a partire dalla configurazione iniziale equilibrata, cambiando segno a tutti gli spostamenti e, dunque, ottenendo comunque un insieme di spostamenti virtuali, in virt della reversibilit degli spostamenti stessi si otterrebbe L > 0. Ne consegue che, nellipotesi di reversibilit degli spostamenti, la condizione di equilibrio diventa L = 0. I dispositivi usati per collegare al suolo le strutture (vincoli) sono tali da consentire solo spostamenti reversibili (quando non bloccano completamente tutti gli spostamenti), ovvero29


sono modellabili come tali. Tali dispositivi prendono il nome di vincoli bilaterali e per essi si aggiunge, solitamente lulteriore ipotesi che si tratti di vincoli lisci. In questo caso il principio dei lavori virtuali si pu enunciare nel seguente modo: Condizione necessaria e sufficiente per lequilibrio di un corpo rigido in una configurazione assegnata, e dotato di vincoli bilaterali e lisci, che risulti nullo (L = 0) il lavoro virtuale compiuto da tutte le forze agenti sul sistema per ogni spostamento virtuale a partire dalla configurazione iniziale. 2.2. Applicazioni

Gli spostamenti rigidi che una struttura subisce come conseguenza di cedimenti vincolari assegnati rientrano sicuramente nella categoria degli spostamenti virtuali: essi sono infatti approssimabili, come si visto, a quantit infinitesime (in virt dellipotesi di piccoli spostamenti) e rispettano sia la compagine materiale del sistema (si tratta di spostamenti rigidi) sia i vincoli ad esso applicati. Tale circostanza suggerisce un metodo per calcolare le reazioni vincolari in una struttura isostatica che, sebbene possa sembrare a prima vista computazionalmente laborioso, possiede il grosso vantaggio di consentire il calcolo diretto di una sola componente di reazione vincolare senza passare per la risoluzione dellintero schema statico. Il metodo si sviluppa attraverso i seguenti quattro passi: (i) si imprime alla struttura un cedimento vincolare (spostamento virtuale) in corrispondenza del vincolo elementare relativo alla componente di reazione cercata; (ii) si determina lo spostamento (virtuale) rigido della struttura conseguente al cedimento assegnato; (iii) si uguaglia a zero il lavoro virtuale totale, compiuto da tutte le forze agenti sulla struttura le forze esterne direttamente applicate (note) e la componente di reazione (incognita) corrispondente al cedimento vincolare; (iv) si determina la reazione vincolare incognita. Gli esempi seguenti chiariranno il metodo.

Esempio 2.1Consideriamo larco a tre cerniere dellEsempio 1.4 e supponiamo che sia soggetto a un carico uniformemente ripartito, di intensit 4 kN/m, agente sulla parte orizzontale delle due travi AC e BC.

30


Vogliamo determinare, con il principio dei lavori virtuali, la componente orizzontale (XB) della reazione vincolare della cerniera in B. A tale scopo, e seguendo il metodo sopra enunciato, imponiamo un cedimento vincolare orizzontale alla cerniera in B (spostamento virtuale sB = uBi), determiniamo lo spostamento (virtuale) rigido della struttura che ne consegue e uguagliamo a zero il lavoro virtuale totale. Otteniamo una equazione che contiene come unica incognita proprio la componente orizzontale XB della reazione della cerniera in B che compie lavoro nella componente di spostamento uB (le altre componenti di reazione incognite non compiono lavoro dal momento che i vincoli relativi non subiscono cedimenti, mentre il lavoro delle forze direttamente applicate una quantit nota). Nel caso in esame, lo spostamento virtuale della struttura coincide, a meno del valore del cedimento orizzontale in B, con lo spostamento rigido esaminato nellEsempio 1.4. I centri assoluti di rotazione delle due travi sono dunque gli stessi e le due cinematiche differiscono solo per i diversi angoli di rotazione. Nel caso in esame questi valgono (vedi Esempio 1.4):

2 = 1 =

( yB yC 2 )

uB

=

( 2 10 )

uB

=

uB8

rad

( yC yC 2 ) = (6 10 ) uB ( yC yC1 ) 2 (6 2 ) 8

=

uB8

rad

Noti centri assoluti e angoli di rotazione delle due travi si possono calcolare le componenti di spostamento dei punti di applicazione delle forze agenti sulla struttura, nella direzione delle forze stesse5 (vedi il diagramma degli spostamenti riportato in Figura).

Poich il lavoro , per definizione, il prodotto scalare tra il vettore forza e il vettore spostamento (vedi equazione (2.1)), ai fini del calcolo del lavoro di una forza interessa conoscere solo la componente dello spostamento nella direzione della forza.31

5


Per quanto riguarda i carichi ripartiti agenti sul tratto orizzontale di ciascuna delle due travi, questi possono essere preliminarmente sostituiti con i loro risultanti pari entrambi a 4 kN/m4 m = 16 kN e le componenti verticali degli spostamenti dei rispettivi punti di applicazione valgono:

v16 ( AC ) = ( x16 xC1 ) 1 = ( 4 2 ) v16 ( BC )

m 8 4 u u = ( x16 xC 2 ) 2 = ( 8 10 ) B = B m 8 4

uB

=

uB

La componente orizzontale della reazione in B compie lavoro nella componente orizzontale dello spostamento della cerniera che si identifica ovviamente con il cedimento imposto uB. Annullando il lavoro virtuale totale si ottiene dunque:

u LV = X B u B + 2 16 B 4

=0

Il lavoro virtuale della componente di reazione XB negativo poich la componente di spostamento uB ha verso opposto a quello della forza; mentre il lavoro virtuale del risultante dei due carichi ripartiti positivo poich le componenti verticali di spostamento dei relativi punti di applicazione hanno lo stesso verso delle forze. Poich lequazione precedente deve valere per qualunque valore dello spostamento virtuale uB, purch si tratti beninteso di una quantit infinitesima, si pu scrivere:

( X B + 8 ) uB = 0

( X B + 8) = 0

X B = 8 kN

Un risultato notevole della statica dellarco a tre cerniere, soggetto a una distribuzione uniforme di carico sullorizzontale, individua la componente orizzontale delle reazioni vincolari delle cerniere (esterne ed interna) la cosiddetta spinta dellarco (H) attraverso la relazione:

XB = XB = H =

q L2 8 f

che, nel caso in esame risultando q = 4 kN/m, L = 8 m, f = 4 m porge naturalmente il valore gi determinato con il principio dei lavori virtuali

Esempio 2.2Con riferimento alla stessa struttura dellesempio precedente determiniamo ora, sempre con il principio dei lavori virtuali, la componente verticale della reazione vincolare della cerniera interna. A tale scopo imponiamo un spostamento relativo, in direzione verticale, tra le estremit delle due travi AC e BC in corrispondenza della cerniera interna, determiniamo lo spostamento (virtuale) rigido della struttura che ne consegue e uguagliamo a zero il lavoro virtuale totale ottenendo una equazione che contiene come incognita proprio la componente verticale (YC) della reazione vincolare interna nella cerniera C.

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Poich le due cerniere esterne non subiscono cedimenti, esse si identificano con i centri assoluti di rotazione delle due travi. Se allora si assegna uno spostamento verticale [vC(AC)] al punto C della trave AC, diretto, per fissare le idee, verso il basso, la trave AC ruota con verso orario attorno ad A di:

1 =

vC ( AC ) vC ( AC ) v ( AC ) = = C rad 4 ( xC xC1 ) (6 2 )

e il punto C si sposta anche orizzontalmente (verso destra) di:

uC ( AC ) = ( yC yC1 ) 1 = ( 6 2 )

vC ( AC ) ( AC ) = vC 4

Conseguentemente, dovendo risultare comunque nullo lo spostamento relativo orizzontale in corrispondenza della cerniera interna C, il punto C della trave BC deve esibire la stessa componente orizzontale di spostamento. In virt della simmetria del sistema, la trave BC ruota pertanto con lo stesso verso e con lo stesso angolo con cui ruota la trave AC (2 = 1) e la componente verticale dello spostamento della sua estremit C uguale alla componente verticale dello spostamento della estremit C della trave AC ma risulta diretta verso lalto:

vC

( BC )

vC ( AC ) ( AC ) = ( yC yC 2 ) 2 = ( 6 10 ) = vC 4

La posizione variata assunta dalla struttura, a seguito del cedimento imposto, rappresentata in figura. Gli spostamenti dei punti di applicazione dei risultanti dei carichi ripartiti agenti sul tratto orizzontale delle due travi sono:

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v16

( AC )

vC ( AC ) vC ( AC ) m = ( x16 xC1 ) 1 = ( 4 2 ) = 4 2 vC ( AC ) vC ( AC ) m = 4 2

v16 ( BC ) = ( x16 xC 2 ) 2 = ( 8 10 )

Annullando il lavoro virtuale totale si ottiene dunque:

v ( AC ) v ( AC ) LV = 2 YC vC ( AC ) + 16 C 16 C =0 2 2 Il carico ripartito agente sulla trave AC compie dunque lavoro positivo, il carico ripartito agente sulla trave BC compie lavoro negativo, le reazioni vincolari interne compiono lavoro positivo. Poich lequazione precedente deve valere per qualunque valore dello spostamento virtuale vC(AC), purch si tratti beninteso di una quantit infinitesima, si pu scrivere:

( 2YC + 8 8 ) vC( AC ) = 0

( 2YC + 8 8 ) = 0

YC = 0

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cinematica & plv

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