cinematica & plv

Download Cinematica & PLV

Post on 08-Jul-2015

756 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

Universit degli Studi di Roma "La Sapienza" Prima Facolt di Architettura "Ludovico Quaroni" CORSO DI LAUREA SPECIALISTICA QUINQUENNALE IN ARCHITETTURA UE a.a. 2006/2007 1 semestre

Appunti per il corso di Statica: Cinematica e Principio dei Lavori Virtuali

Cesare Tocci

Appunti per il corso di Statica

Sommario

1.

Appunti di Cinematica ....................................................................................................... 2 1.1. Introduzione ............................................................................................................... 2 1.2. Spostamenti rigidi piani ............................................................................................. 3 1.2.1. Spostamento generalizzato..................................................................................... 5 1.2.2. Spostamenti traslatori ............................................................................................ 6 1.2.3. Spostamenti rotatori............................................................................................... 7 1.2.4. Spostamenti roto-traslatori .................................................................................... 9 1.2.5. Lipotesi di piccoli spostamenti............................................................................ 11 1.3. Il problema cinematico............................................................................................. 15 1.4. Esempi...................................................................................................................... 18 2. Applicazioni del Principio dei Lavori Virtuali................................................................. 27 2.1. Il principio dei lavori virtuali ................................................................................... 27 2.2. Applicazioni ............................................................................................................. 30

Immagine di copertina: ribaltamento monolitico di alcuni edifici per appartamenti durante il terremoto di Niigata del 1964 (da: http://www.ngdc.noaa.gov/seg/hazard/slideset/earthquakes/)

1

Appunti per il corso di Statica

1.

APPUNTI DI CINEMATICA

1.1.

Introduzione

La Cinematica (dal greco , movimento) quella parte della Meccanica che si occupa dello studio del movimento dei corpi indipendentemente dalle cause che lo producono: queste formano loggetto della Dinamica (dal greco , forza) il cui obiettivo quello di predire il movimento e allinterno della quale si distingue, per ragioni eminentemente storiche, una parte denominata Statica (dal greco , atto a fermare) che si occupa di tutte le situazioni caratterizzate dallassenza di movimento (o equilibrio). Descrivere il movimento di un corpo significa descrivere, in funzione del tempo, la posizione occupata dal corpo o, per essere pi precisi, la posizione occupata da tutti i punti che compongono il corpo. Ci implica in primo luogo (i) la capacit di individuare in maniera univoca una generica posizione in modo da poter distinguere le diverse posizioni tra loro; in secondo luogo (ii) la capacit di precisare le modalit che caratterizzano il passaggio dalla posizione occupata in un dato istante alla posizione occupata in un istante successivo e, quindi, la velocit e laccelerazione con cui il cambiamento di posizione avviene. Nellambito della Meccanica Strutturale, e limitatamente ai problemi di equilibrio (Statica), loggetto della Cinematica abbastanza pi circoscritto nel senso che linteresse rivolto alla descrizione non tanto del movimento quanto dello spostamento dei corpi da una posizione allaltra. Ci equivale ad escludere qualunque considerazione riguardante la velocit e laccelerazione con cui lo spostamento stesso avviene ovvero a ritenere, di fatto, inessenziali sia lintervallo di tempo allinterno del quale lo spostamento si svolge sia le posizioni intermedie successivamente occupate dal corpo prima di raggiungere, a partire da quella iniziale, la posizione finale. Le applicazioni strutturali della Cinematica si caratterizzano pertanto pi propriamente come studio dello spostamento anzich come studio del movimento. Il problema che ci proponiamo di risolvere pertanto quello di descrivere i possibili spostamenti di un generico corpo senza riguardo alle cause che li determinano intendendo per spostamento, sulla base di quanto sopra affermato, il passaggio del corpo da una posizione a unaltra. Pi precisamente lo studio sar limitato alla descrizione di un particolare tipo di spostamenti ai quali ci si riferisce con la definizione di spostamenti rigidi piani. Lo spostamento di un corpo si definisce rigido quando, nel passaggio dalla posizione iniziale a quella finale, la distanza tra due punti qualunque del corpo rimane inalterata. Tale definizione non limita la natura dei corpi che possono esibire spostamenti rigidi, nel senso che2

Appunti per il corso di Statica

questi possono riguardare anche corpi deformabili: tuttavia evidente che corpi rigidi, ovvero corpi per i quali le distanze tra coppie qualsiasi di punti rimangono inalterate, possono esibire solo spostamenti rigidi. Ai corpi rigidi sono limitate le considerazioni che seguono. Lo spostamento si definisce poi piano quando tutti i punti del corpo si spostano rimanendo paralleli a uno stesso piano che prende il nome di piano direttore. Anche un generico corpo tridimensionale pu esibire pertanto spostamenti piani se questi comportano, per tutti i punti del corpo, la permanenza in piani tra loro paralleli. Tuttavia, allo scopo di semplificare gli sviluppi analitici e senza perdere di generalit, le considerazioni che seguono saranno riferite a corpi simmetrici rispetto al piano in cui avviene lo spostamento. Ci giustifica lipotesi di considerare il corpo stesso come corpo piano concentrando nel piano di simmetria lintera sua massa. Tale assunzione si rivela sostanzialmente realistica in numerosi casi di rilevante interesse applicativo, soprattutto in quei casi nei quali le dimensioni dei corpi misurate perpendicolarmente al piano di simmetria sono molto pi piccole rispetto a una o entrambe le dimensioni misurate parallelamente al piano: si tratta dei corpi con i quali sono realizzate particolari tipologie strutturali come le lastre, le piastre, le travi. 1.2. Spostamenti rigidi piani

Consideriamo dunque un corpo rigido piano che, senza perdita di generalit, supponiamo di forma rettangolare e contenuto nel piano xy di una terna cartesiana ortogonale destrorsa O(x,y,z) (Figura 1).y C

B D yA A

xA

x

Figura 1.

Per individuare la posizione del rettangolo nel piano xy sufficiente assegnare le coordinate cartesiane di un suo punto qualunque e langolo che uno dei suoi lati forma con uno degli assi coordinati. Fissata infatti la posizione di un punto (nella Figura 1 si scelto lo spigolo A) lunica possibilit di movimento che rimane al rettangolo la rotazione attorno al punto stesso, ma questa impedita dallulteriore condizione che impone a uno dei lati del rettangolo una orientazione assegnata (nella Figura 1 langolo che il lato AB forma con lasse x). I tre parametri xA, yA e individuano, pertanto, univocamente la posizione del rettangolo nel piano xy. Ci a rigore vero solo se per il rettangolo lecita lipotesi di corpo rigido. In caso contrario, infatti, alla citata terna di parametri risulterebbero associate diverse configurazioni tutte3

Appunti per il corso di Statica

caratterizzate da una identica posizione dello spigolo A e da un identico valore dellangolo della base rispetto allorizzontale, ma nulla si potrebbe dire, in assenza di ulteriori specificazioni, circa le posizioni occupate dagli altri punti del rettangolo (Figura 2a). daltra parte evidente che la scelta dei tre parametri xA, yA e non lunica possibile. La posizione del rettangolo si pu infatti fissare anche assegnando le coordinate di due suoi punti qualsiasi, ad esempio i due spigoli A e B, nel qual caso la posizione stessa risulta immediatamente determinata una volta assegnati i valori dei quattro parametri xA, yA, xB, yB (coordinate cartesiane degli spigoli).y C C' B' B D D' yA A yA AL

y C

yB D

B

xA (a)

x

xA (b)

xB

x

Figura 2.

Tuttavia non possibile assegnare valori arbitrari a tutti e quattro i parametri poich questi sono legati dalla relazione:L=

( x B x A )2 + ( y B y A )2

(1.1)

che traduce lipotesi di rigidit del rettangolo, in base alla quale la distanza tra due punti qualunque del rettangolo stesso, in questo caso i due spigoli della base, invariabile (Figura 2b). Se pertanto si assegna il valore, ad esempio, di xA, yA e xB il valore di yB resta univocamente fissato dalla (1.1); ci significa che, anche con questa seconda scelta, il numero di parametri indipendenti che occorre assegnare per definire la posizione del rettangolo pari a tre. Pertanto mentre risulta del tutto inessenziale quali siano i parametri che si scelgono per fissare una particolare posizione di un corpo rigido nel piano, essendo le diverse scelte dettate semplicemente da ragioni di convenienza concettuale o operativa, il numero di tali parametri non pu che essere pari a tre. Un numero minore di parametri lascia infatti indeterminata la posizione del corpo, mentre un numero maggiore superfluo o, per meglio dire, fittizio poich non tutti i parametri risultano indipendenti. Ai parametri indipendenti necessari a individuare la posizione di un corpo rigido si d il nome di coordinate generalizzate1 o lagrangiane o libere del corpo.Lattributo di generalizzate si riferisce al fatto che le coordinate individuano bens la posizione del corpo ma solo in senso, appunto, generalizzato: esse consentono cio di sapere dove si trova il punto A (nellesempio che qui stiamo consideran