CINEMATICA Y

DINAMICA

Unidad 1.

Ing. Roberto Reyes A. -Cinemática y Dinámica- U1

1

DINAMICA: ES LA PARTE DE LA MECÁNICA QUE SE ENCARGA DEL

ANÁLISIS DE LOS CUERPOS EN MOVIMIENTO.

Dinámica

Cinemática

Es el estudio de la geometría en movimiento, relaciona el

desplazamiento, la velocidad, la aceleración y el tiempo

Cinética

Estudia la relación existente entre las fuerzas, actuando sobre un cuerpo (masa y

movimiento

2

Ing. Roberto Reyes A. -Cinemática y Dinámica- U1

Movimiento Rectilíneo. Cambio de posición lineal de una partícula con

respecto a un sistema de referencia.

Cinemática rectilínea. La cinemática de partícula, se caracteriza al

especificar, en cualquier instante de tiempo, su posición, velocidad y

aceleración. Se define completamente, sabiendo:

1. Coordenada de posición.

2. Velocidad (instantánea).

3. Aceleración (instantánea).

3

Ing. Roberto Reyes A. -Cinemática y Dinámica- U1

Coordenada de Posición.

En cualquier tiempo t del movimiento de una partícula, esta ocupara una

posición P sobre la recta. Para definirla se escoge un punto de referencia O

se mide la distancia (+/-) OP.

La distancia x con un signo apropiado define la posición de la partícula, las

unidades son en (m, ft)

ejemplo:

x=+5m,

x´=-2m.

4

Ing. Roberto Reyes A. -Cinemática y Dinámica- U1

Desplazamiento.

Cambio de posición de una partícula, siendo igual al valor de la posición final

P´ menos la posición inicial P. Las unidades son en (m, ft)

5

Ing. Roberto Reyes A. -Cinemática y Dinámica- U1

Velocidad Promedio. Si la

partícula se desplaza una distancia

Δx, la vel. Promedio será:

Velocidad instantánea. Se

escogen valores de Δt y Δx, mas

pequeños.

6

Ing. Roberto Reyes A. -Cinemática y Dinámica- U1

(m/s, ft/s)

(m/s, ft/s)

Aceleración Promedio.

Conociendo la velocidad de la

partícula en dos puntos, la

aceleración promedio en Δt será:

7

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

(m/s2, ft/s2 )

Rapidez Promedio. Siempre es un

escalar positivo y es la distancia total

recorrida por una partícula ST entre

el intervalo de tiempo Δt.

(m/s, ft/s)

8

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Aceleración instantánea. Se escogen valores de Δt y Δv, mas pequeños.

Aceleración en

función del

desplazamiento

y la velocidad.

De la definición de vel instantánea,

despejando dt

Ejemplo.

Un tractor se mueve en línea recta desde el reposo, 7 seg después pasa por el

punto P1 que esta a 10 m del origen y 4 seg después pasa por el P2 a 18 m

del origen, 8 seg después alcanza su distancia máxima en P3 a 28m del origen,

19 seg después, finalmente se detiene en P4 a 5m del origen. Calcular:

a) Coordenadas de posición en para los cuatro puntos.

b) Desplazamiento entre P1 y P2.

c) Desplazamiento entre P3 y P4.

d) La distancia total recorrida.

e) La velocidad promedio desde P1 hasta P3.

f) La velocidad promedio entre P3 y P4.

g) La rapidez promedio.

9

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

Una camioneta se desplaza en línea recta de modo que durante un corto

tiempo su velocidad está determinada por v= (3t2 – 2t) ft/s. Determine su

posición y aceleración cuando t=3 seg. Suponga que en t=0, la camioneta esta

en el origen.

10

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

Un guepardo se encuentra a 20 m de un autobús de turistas. Al tiempo t=0 el

felino se prepara para atacar a un antílope que se encuentra a 50 m de la

camioneta, emprende el ataque y durante los 2 primeros segundos del ataque,

la posición del felino varia con respecto a la ecuación, x= (20 + 5 t2 ) m, calcular:

a) Desplazamiento del felino entre 1 y 2 seg.

b) La velocidad promedio, en el mismo intervalo.

c) La velocidad instantánea en 1 y 2 seg.

d) La aceleración promedio, en el mismo intervalo.

e) La aceleración instantánea en 1 y 2 seg.

11

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN VARIABLE

Cuando el movimiento de la partícula es variable, posición, velocidad y

aceleración, no pueden describirse mediante una sola función matemática

continua, se requieren una serie de funciones para especificar su

movimiento en diferentes intervalos.

12

Ing. Roberto Reyes A. -Cinemática y Dinámica- U1

Características:

Movimiento Rectilíneo.

Aceleración Variable.

Se requieren varias funciones para especificar su movimiento en diferentes

intervalos.

Es conveniente especificar el movimiento como una grafica.

Si se puede trazar una grafica que relacione dos de las variables (a, v, x, t),

en base a esta se construyen gráficas subsecuentes que relacionen otras

dos variables.

Recuerden que las variables están relacionadas por las relaciones

diferenciales

Graficas.

Las formulas fundamentales tienen un significado geométrico.

Esta expresa que la velocidad en cualquier instante, es igual a la

pendiente de la curva de posición x-t. A partir de la grafica de posición se

construye la de velocidad.

13

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Esta expresa que la aceleración en cualquier instante, es igual

a la pendiente de la curva de velocidad v-t. A partir de la grafica de

velocidad se construye la de aceleración.

14

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Graficas en función de t, x-t, v-t y a-t.

Esta expresa que el área medida bajo la curva a-t desde t1

hasta t2, es igual al cambio de v durante ese intervalo. A

partir de la gráfica de velocidad v-t, se construye la de

posición x-t.

Esta expresa que el área medida bajo la curva v-t desde t1

hasta t2, es igual al cambio de posición x durante ese

intervalo. A partir de la gráfica de aceleración a-t, se

construye la de velocidad v-t.

15

Ing. R

oberto

Reyes A

. -Cin

em

átic

a y D

inám

ica- U

1

Graficas en función de x, v-x, y a-x.

Si se conoce la grafica v-x, la aceleración a en

cualquier posición x se determina por medio de la

ecuación.

16

Ing.

Rober

to

Reyes

A.

-Ci

nemát

ica

y

Di

námica-

U1

Graficas en función de x, v-x, y a-x.

Si se conoce la grafica a-x, la velocidad v en

cualquier posición x se determina por la integral de

la ecuación.

17

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

Una bicicleta rueda a lo lardo de una carretera recta de modo que la gráfica de la

fig describe su posición.

a) Construya las gráficas v-t y a-t en el intervalo 0≤ t ≤ 30 seg.

b) Determine la velocidad en t=20 seg.

c) Determine la aceleración en t=5 seg.

18

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

El automóvil de la figura arranca del reposo y viaja a lo largo de una pista recta de

modo que acelera a 10 m/s2 , durante 10 seg, y luego desacelera a 2 m/s2 . Trace las

gráficas de v-t, s-t y determine:

a) El tiempo t necesario para desacelerar el automóvil.

b) La distancia que recorrió al automóvil.

19

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

La gráfica v-s describe el movimiento de una motocicleta. Trace la gráfica a-s del

movimiento y determine el tiempo requerido para que la motocicleta alcance la

posición de 400 ft.

20

Ing. Roberto Reyes A. -Cinemática y

Dinámica- U1

Movimiento Rectilíneo Uniforme. Es un tipo de movimiento en línea recta,

donde la aceleración de la partícula a=0 para cualquier valor de t; realiza

desplazamientos iguales en tiempos iguales. (Caso especial del MRUA).

Si integramos la ecuación de la definición de velocidad, obtendremos una

ecuación que nos defina la posición de la partícula.

21

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

x0 ,

t0 x , t

Ejemplo.

22

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado. En este tipo de movimiento la aceleración es constante a=cte. Integrando ecuaciones de la definición de velocidad y de aceleración, obtendremos ecuaciones que nos relacionen la aC, v, x y t.

Velocidad como una función de tiempo.

23

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Posición como una función de tiempo.

24

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Velocidad como una función de posición.

Ejemplo.

Un motociclista viaja rumbo al este hacia una ciudad pequeña, después de pasar

el límite de entre ciudades, su aceleración es constante e igual a 4 m/s2. Al tiempo

t=0, se encuentra a 5 m del límite de la ciudad moviéndose a una velocidad de 15

m/s. Determinar:

a) Su posición y velocidad dos seg después.

b) Su posición al alcanzar una velocidad de 25 m/s.

25

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

Una camioneta viaja con una velocidad constante e igual a 15 m/s, cuando

pasa por una zona escolar, donde la velocidad máxima permitida es de 10

m/s, al momento de entrar a la zona escolar, un policía en su moto se da

cuenta que la camioneta rebaza el límite de velocidad y del reposos

comienza su persecución con una aceleración constante e igual a 3 m/s2,

determine:

a) El tiempo que el policía se lleva para alcanzar a la camioneta.

b) La velocidad del policía cuando lo alcanza.

c) La distancia que recorre la camioneta y el policía.

26

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Caída Libre. a= cte = g = 9.81 m/s2

Los cuerpos en caída libre, son el ejemplo mas conocido de movimiento con

aceleración casi constante, están bajo la influencia de la atracción

gravitacional de la tierra. Aristóteles (siglo IV A.C.) pensaba que

erróneamente que los cuerpos más pesados, caían con mayor rapidez que

los livianos. Galileo afirmó que los cuerpos caían con aceleración constante e

independiente de su peso.

27

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

28

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

Usted lanza una moneda verticalmente hacia arriba desde la azotea de su casa.

La moneda abandona su mano a la altura de un barandal a una velocidad de 15

m/s, al bajar libra apenas el edificio, Determine:

a) La posición y velocidad para 1 y 4 seg.

b) La velocidad cuando la moneda esta a 5 m por encima del barandal y el

instante en que se alcanza.

c) La altura máxima alcanzada por la moneda y el instante en que se alcanza.

d) La aceleración de la moneda en el punto más alto.

29

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

Una partícula se mueve en línea recta, su posición esta definida por la ec.

x=6t2 – t3

donde t está en seg y y x en m. Grafique su posición, velocidad y aceleración.

30

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Movimientos Dependientes.

En algunos problemas el movimiento de una partícula dependerá del movimiento correspondiente de otra partícula. Ocurren cuando las partículas están interconectadas por cuerdas no extendibles y poleas. Sera del tipo rectilíneo.

31

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Si el bloque A se mueve hacia abajo, este provoca que el bloque B se

desplace hacia arriba. Para establecer las ecuaciones que describen este

movimiento hay que considerar lo siguiente.

1. Se establecen coordenadas de posición de cada bloque

2. Se establece un plano de referencia y un punto fijo O.

3. Se medirá a lo largo de cada plano inclinado en la dirección del

movimiento de cada bloque.

4.Son positivas del (Datum) al bloque (C a A y D a B).

5.Si la longitud de la cuerda es l, las coordenadas de posición están

relacionadas por la ecuación:

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

32

Si la longitud de la cuerda es l, las coordenadas de posición están

relacionadas por la ecuación:

Si derivamos con respecto al tiempo y se toma en cuenta que, si l y lCD son

constante, y sA y sB miden segmentos que cambian de longitud

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

33

Ejemplo.

34

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

Determine la rapidez del bloque A de la siguiente figura, si el bloque B tiene una rapidez hacia arriba de 6 ft/s.

35

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

Determine la rapidez del bloque A mostrado en la fig. si el bloque B tiene una rapidez hacia arribe de 6 ft/s.

36

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

Determine la rapidez del bloque B mostrado en la fig. si el bloque A tiene una rapidez hacia arribe de 2 m/s.

37

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

DINAMICA

I. Dinámica de las Partículas.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

DEFINICIÓN: ES LA PARTE DE LA MECÁNICA QUE SE ENCARGA DEL ANÁLISIS DE LOS CUERPOS EN MOVIMIENTO.

Dinámica

Cinemática

Es el estudio de la geometría en movimiento,

relaciona el desplazamiento, la

velocidad, la aceleración y el tiempo

Cinética

Estudia la relación existente entre las

fuerzas, actuando sobre un cuerpo (masa y

movimiento

Ing. R

ob

erto R

eyes Arce - D

inám

ica - U1

CONCEPTOS

Fuerza.

Es la acción que un cuerpo, puede ser capaz de modificar el estado de movimiento o reposo de otro cuerpo, o de deformarlo.

Fuerza externa.

Son las fuerzas a las que se somete un cuerpo por un cuerpo diferente.

Fuerzas internas.

Una parte de un cuerpo esta sometida a una fuerza, por otra parte del mismo cuerpo.

Ing. R

ob

erto R

eyes Arce - D

inám

ica - U1

Fuerza de contacto.

Es aquella fuerza que implica el contacto entre dos o mas cuerpos.

Fuerza a distancia.

Es aquella en la cual los cuerpos se someten a fuerzas en donde no hay contacto. La fuerza de gravedad, fuerza magnética y la fuerza eléctrica son ejemplos.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Ley de la Gravitación Universal.

Dos partículas de cuerpos cualesquiera tienen una fuerza de atracción mutua actuando entre ellos.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

1ra. Ley de newton.

Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es cero la partícula permanecerá en reposo o se moverá con velocidad constante en una línea recta a=0. Cuerpo en equilibrio.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

2da. Ley de Newton.

La aceleración de una partícula es proporcional a la fuerza resultante que actúa sobre ella y tiene dirección y el sentido de dicha fuerza.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Masa.

Es una magnitud que cuantifica la cantidad de materia de un cuerpo.

Peso.

Es una magnitud vectorial, la cual define como la fuerza de un cuerpo actúa sobre un punto de apoyo debido a la atracción de este cuerpo por la fuerza de gravedad.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Nota: La masa es una cantidad absoluta, el peso depende de donde se mida

Ecuación de movimiento Vectorial.

Cuando mas de dos fuerzas actúan sobre una partícula la fuerza resultante se determina mediante la suma vectorial de todas las fuerzas.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Nota: Es aplicable bajo un marco de referencia inercial, o sea que no gira y esta fijo o se traslada con velocidad cte. a=0

Ecuación de Movimiento: Coordenadas Rectangulares.

Cuando la partícula se mueva en el espacio, la ecuación de movimiento puede expresarse en forma de componentes.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

EJEMPLO. Un velero para hielo descansa sobre la superficie horizontal sin fricción.

Sopla un viento constante hacia el este, de modo que, 4 seg después de soltarse el velero, adquiere una velocidad de 6 m/s. Determine la fuerza que el viento ejerce, si la masa del velero y del tripulante es de 200 kg.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

Del ejemplo anterior, supongamos que, una vez que el velero comienza a moverse, su posición en función del tiempo es

x = (1.2 t2 – 0.2 t3) m

Determine

a) La fuerza que el viento ejerce sobre el velero, para t=3 seg.

b) En que instante de tiempo la fuerza es cero

c) En que intervalos de tiempo la fuerza es positiva

d) En que intervalos de tiempo la fuerza es negativa

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

EJEMPLO

Del ejemplo anterior suponga que el viento sopla en forma constante en dirección +x, tiene una aceleración de 1.5 m/s2

Existe ahora una fuerza de fricción horizontal constante de 100 N que se opone al movimiento del velero.

Determine la fuerza que el viento debe ejercer sobre el velero, la masa del velero y del tripulante es de 200 kg.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

EJEMPLO

Un elevador y su carga tienen masa total de 800 kg y originalmente esta bajando a 10 m/s, se le detiene con una aceleración constante en una distancia de 25 m. Calcule la tensión T del cable que soporta el elevador.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Una mujer de 50 kg se para en una bascula dentro del elevador del ejemplo anterior. Que peso marca la bascula.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

EJEMPLO

EJEMPLO

Un tobogán cargado de estudiantes en vacaciones se desliza por una larga cuesta nevada. La pendiente tiene un ángulo α, y el tobogán esta tan bien encerado que la fricción es despreciable. Determine la aceleración del tobogán

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

FUERZAS DE FRICCION

La fuerza de fricción y la fuerza normal, son ejemplos de fuerzas de contacto, para la primera es una fuerza importante para muchos aspectos de nuestra vida. Ejemplos:

El aceite de motor, reduce la fricción entre las piezas móviles, pero sin fricción entre las ruedas y el camino no podría avanzar el coche ni dar vuelta.

El arrastre del aire en los automóviles, reduce el rendimiento del combustible en los autos, pero hace posible que los aviones vuelen o funcionen los paracaídas.

Sin fricción los clavos se saldrían, las bombillas o las tapas de los frascos se destornillarían sin esfuerzo.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Fricción

Cinética Es una fuerza que resiste el

movimiento de dos superficies en contacto que se deslizan entre si

Estática Es una fuerza que resiste el

movimiento de dos superficies en contacto sin que se deslicen.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Fuerza de Fricción Estática.

In

g. R

ob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Fuerza de Fricción Cinética.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Ejemplo

Un transportista descargo frente a su puerta una caja de 500 N llena de equipo para hacer ejercicio. Para moverla hacia la cochera se necesita tirar con una fuerza horizontal de magnitud 230 N. Una vez que la caja comienza a moverse, puede mantenerse a velocidad constante con solo 200 N. Obtenga los coeficientes de fricción estática y cinética.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Ejemplo

Del ejemplo anterior, determine la fuerza de fricción, si la caja esta en reposo y se le aplica una fuerza horizontal de 50 N

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Ejemplo

Del ejemplo 7, suponga que ata una cuerda a la caja y tira de ella con un ángulo de 300 sobre la horizontal. Determine la fuerza que se debe aplicar para mantener la caja en movimiento con velocidad constante.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

Del ejemplo del tobogán la cera se raspo por lo ahora tiene un coeficiente de fricción cinético μk. La ladera tiene justo el ángulo necesario para que el tobogán baje con rapidez constante. Deduzca una expresión para el ángulo en términos de w y de μk .

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Ejemplo

Qué sucedería si el mismo tobogán con el mismo coeficiente de fricción se desliza colina abajo, pero la colina es más empinada ? Ahora el tobogán se acelera. Deduzca una expresión para la aceleración en términos de g, α, μk y w.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Movimientos Dependientes.

En algunos problemas el movimiento de una partícula dependerá del movimiento correspondiente de otra partícula. Ocurren cuando las partículas están interconectadas por cuerdas y poleas.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Si el bloque A se mueve hacia abajo, este provoca que el bloque B se desplace hacia arriba. Para establecer las ecuaciones que describen este movimiento hay que considerar lo siguiente.

1. Se establecen coordenadas de posición de cada bloque

2. Se establece un plano de referencia y un punto fijo O.

3. Se medirá a lo largo de cada plano inclinado en la dirección del movimiento de cada bloque.

4. Son positivas del (Datum) al bloque (C a A y D a B).

5. Si la longitud de la cuerda es l, las coordenadas de posición están relacionadas por la ecuación:

Ejemplo.

Una carga de 15 kg de tabiques pende de una cuerda que pasa por una polea pequeña sin fricción y tiene un contrapeso de 28 kg en el otro extremo. Se liberan del reposo, determine

a) La aceleración de los tabiques.

b) La tensión que hay en la cuerda.

c) La velocidad de los tabiques después de 2 seg.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Ejemplo. El bloque A de 100 kg es liberado del reposo. Si se desprecian las masas de las poleas y cuerdas, determine

a) La rapidez del bloque B de 20 kg en 2 seg.

b) La aceleración del bloque A.

c) La tensión de la cuerda. In

g. R

ob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

a) VB =13.1 m/s b) aA= - 3.27 m/s2 c) T=327 N

Ejemplo.

La caja fuerte pesa 200 lb y esta sostenida mediante poleas y cuerda. Si el extremo de la cuerda es dado a un niño de 90 lb, determine:

a) La aceleración del niño, si no suelta la cuerda.

b) La aceleración de la caja

c) La tensión de la cuerda. Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

Determine la masa requerida del bloque A de manera que cuando sea liberado del reposo, mueva el bloque B de 5kg, 75 cm hacia arriba a lo largo del plano inclinado liso en t=2 s. Desprecie la masa de las poleas y la cuerda.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

MOVIMIENTO CURVILÍNEO GENERAL

Coordenada de posición. En un

instante de tiempo t la partícula

ocupa una posición P. El vector r =

r(t) define la posición de la partícula

respecto a O.

71

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Desplazamiento. Suponga que

durante un intervalo de tiempo Δt se

mueve la partícula una distancia Δs.

El desplazamiento Δr, representa el

cambio de posición de la partícula.

Ocurre cuando una partícula se desplaza a lo largo de una trayectoria

curva. Si se mueve en tres dimensiones, se utilizara un análisis vectorial

para definir la posición, velocidad y aceleración.

Velocidad.

La Velocidad promedio de la partícula

durante un Δt es:

72

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Aceleración.

La aceleración promedio de la

partícula es:

La Velocidad instantánea, se

determina

La aceleración instantánea, se

determina,

•La aceleración es tangente a la

hodógrafa y en general no es

tangente a la trayectoria del

movimiento.

•La dirección de a es siempre hacia

el interior o lado cóncavo de la

trayectoria.

73

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Posición. En un instante dado la partícula esta en un punto (x,y,z) de la

trayectoria curva s, el vector de posición r, define sus posición.

MOVIMIENTO CURVILÍNEO: COMPONENTES RECTANGULARES

74

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

En algunos problemas del movimiento de una partícula puede describirse

mejor a lo largo de una trayectoria que este representada por un marco de

referencia fijo, x, y, z.

Las componentes x, y, z de r serán funciones de tiempo, x = x(t), y = y(t),

z = z(t), de modo que r(t).

Velocidad.

75

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Aceleración

.

La aceleración no es tangente a la

trayectoria.

76

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

Una partícula, esta inicialmente en reposo en la posición (3, 2, 5)ft, y esta sujeta a una

aceleración de a=(6t i + 12t2 k) ft/s2. Determina las funciones:

a) De la velocidad de la partícula.

b) De la posición de la partícula.

77

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

En cualquier instante x = (8t) pies, donde t esta en segundos, define la

posición horizontal del globo atmosférico. Si la ecuación de la trayectoria es y

= x2/10, determine la magnitud y dirección de la velocidad y la aceleración

cuando t = 2 seg.

78

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

Durante un breve lapso, y = (0.001x2 )m describe la trayectoria del avión que

se muestra en la fig. Si la componente de la velocidad en el eje y es

constante e igual a 10 m/s, determine la magnitud de la velocidad y

aceleración del avión cuando esté a y = 100 m.

79

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL. Se estudia en función de sus componentes rectangulares, cuando se hace

caso omiso a la resistencia del aire, la única fuerza que actúa en el proyectil

es su peso.

a = g = 9.81 m/s2 o a = g = 32.2 ft/s2 .

80

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

2m/s j-9.81g

ya a ˆ

v

X

Y

r

VECTOR DE POSICIÓN.

81

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

VECTOR DE VELOCIDAD.

82

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

VECTOR DE VELOCIDAD.

83

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL.

84

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

MOVIMIENTO HORIZONTAL.

85

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

MOVIMIENTO VERTICAL.

86

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

Un acróbata en motocicleta se lanza del borde de un risco. Justa en el borde,

su velocidad es horizontal con magnitud de 9 m/s. Obtenga la posición, la

distancia del borde y velocidad de la moto después de 0.5 s.

87

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

Desde el borde de un acantilado de 150 m de alto, se dispara un proyectil con una

velocidad inicial de 180 m/s a un ángulo de 30 grados respecto a la horizontal.

Despreciando la velocidad del aire, encuentre:

a) La distancia horizontal del cañón al punto donde el proyectil pega con el

suelo.

b) La máxima elevación que alcanza al proyectil respecto al suelo.

88

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

La pista para un evento de carreras fue diseñada de manera que los conductores

salten por la pendiente de 30 grados desde una altura de 1 m. Durante una carrera

se observo que un conductor permaneció en el aire por 1.5 s. Determine:

a) La rapidez con la que viajaba hacia afuera de la pendiente.

b) La distancia horizontal en el instante que toco el suelo.

c) La altura máxima que alcanzo.

89

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

MOVIMIENTO CURVILÍNEO: COMPONENTES NORMAL Y TANGENCIAL

90

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Movimiento en un plano. Cuando se conoce la trayectoria a lo largo de la cual

viaja una partícula, conviene describir el movimiento usando coordenadas n y t,

los cuales actúan de manera normal y tangencial a la trayectoria,

respectivamente y que en el instante considerado, tienen su origen ubicado en la

partícula

Se establece un sistema de ejes

coordenados normal y tangencial.

El eje tangencial t siempre va hacer

tangente a la trayectoria.

El eje tangencial es positivo en la

dirección creciente de la curva,

El vector ut representa la dirección

positiva del eje tangencial.

El eje normal n es perpendicular al

tangencial.

El eje normal tiene dirección positiva

hacia el centro de curvatura O´.

Esta dirección va hacia el lado

cóncavo de la curva

El vector un representa la dirección

positiva del eje normal.

“s” representa el desplazamiento de

la partícula y estará definida mediante

una función trayectoria s = s(t).

MOVIMIENTO CURVILÍNEO: COMPONENTES NORMAL Y TANGENCIAL

91

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Radio de curvatura.

El radio de curvatura cambia conforme se mueva la partícula, conociendo la

trayectoria, y=f(x), el radio de curvatura en cualquier punto sobre su trayectoria

esta determinado por:

92

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Velocidad.

Como la partícula esta en movimiento, “s” es una función del tiempo, el vector

de velocidad v tiene una dirección que es siempre tangencial a la trayectoria y

su magnitud se determina por la derivada de la función trayectoria s = s(t)

respecto del tiempo,

93

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Aceleración.

La aceleración de la partícula es la razón de cambio con respecto al

tiempo de la velocidad.

98

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Casos especiales:

1. Si la partícula se mueve a lo largo de una línea recta entonces ρ→∞ por lo

que an = 0, at = dv/dt, por lo que la componente tangencial de la

aceleración representa el cambio en la magnitud de la velocidad.

2. Si la partícula se mueve a lo largo de una curva con una velocidad

constante, entonces at = dv/dt = 0 y an = v2/ρ. Por lo que la componente

normal de la aceleración representa el cambio en la dirección de la

velocidad. A esta aceleración an se le conoce como aceleración

centrípeta.

99

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

Cuando el esquiador llega al punto A a lo largo de la trayectoria parabólica, su

rapidez es de 6 m/s, la cual se incrementa a razón de 2 m/s2. Determine la dirección

de su velocidad y la dirección y magnitud de su aceleración en ese instante.

Desprecie la altura del esquiador

100

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

Un auto de carreras circula alrededor de la pista circular horizontal de 300 ft de

radio, si el auto aumenta su velocidad a un ritmo constante de 7 ft/s2, a partir del

reposo, determine:

a) El tiempo que necesita para alcanzar una aceleración de 8 ft/s2 (magnitud del

vector).

b) La velocidad que tiene en ese instante.

101

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

Las cajas de la fig. se desplazan a lo largo de la transportadora industrial. Si una

caja comienza a moverse desde el reposo en A e incrementa su rapidez de modo

que at = (0.2t) m/s2, donde t esta en segundos, determine la magnitud de su

aceleración cuando llegue al punto B.

102

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Movimiento Circular.

103

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Movimiento Circular Uniforme.

Velocidad y aceleración en términos del periodo.

104

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

Un automóvil BMW tiene aceleración normal de 0.87 G (1G=9.81 m/s2)

constante, esta es la aceleración máxima que puede lograr el auto sin que

derrape, si viaja a 144 km/h, Determine el radio mínimo de curva que puede

describir. (supóngase que no hay peralte).

105

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

En un juego mecánico, los pasajeros viajan con una rapidez constante en un

circulo de 5 m de radio, dando una vuelta cada 4 seg. Determine la aceleración.

106

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

Un satélite se mueve con velocidad constante en una órbita geocéntrica

(circular) alrededor del centro de la tierra, (radio medio de la tierra 6371 km), si

su aceleración es de 5 m/s2, determinar la velocidad y el tiempo que tarda en

dar una vuelta a una orbita:

a) Baja terrestre (0 - 2000 km) 500 km.

b) Media terrestre (2000 – 35786 km (limite de orbitas geosincronas)) 10000 km.

c) Alta terrestre (35786 – mayores (orbitas elípticas)) 35786 km.

107

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

MOVIMIENTO CURVILÍNEO: COMPONENTES POLAR Y CILÍNDRICA.

108

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Las coordenadas polares y cilíndricas pueden describir mejor el movimiento de

una partícula. Si solo se limita al plano son coordenadas polares.

Se puede especificar la ubicación de una partícula por medio de una

coordenada radial r, el cual se extiende hacia afuera del origen fijo O hasta la

partícula y una coordenada transversal θ, Los vectores unitarios ur y uθ definen

las direcciones positivas de las coordenadas r y θ.

MOVIMIENTO CURVILÍNEO: COMPONENTES POLAR Y CILÍNDRICA.

109

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Posición. En cualquier instante,

Velocidad. La velocidad instantánea

es:

111

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Aceleración.

113

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

El juego mecánico que se muestra en la figura consiste en una silla que gira

en una trayectoria circular horizontal de radio r, de modo que la velocidad

angular y la aceleración angular del brazo OB son , respectivamente.

Determine las componentes radial y transversal de la velocidad y aceleración

del pasajero, cuya estatura no se toma en cuenta.

114

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

La barra OA de la figura gira en el plano horizontal de modo que θ= (t3) rad. Al

mismo tiempo, el collar B se desliza hacia fuera a lo largo de OA de modo

que r = (100t2) mm. Si en ambos casos t esta en segundos, determina la

velocidad y aceleración del collar cuando t = 1 seg.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

. -Cin

em

átic

a y

Din

ám

ica

- U1

115

Ecuación de Movimiento: Coordenadas Normal y Tangencial. In

g. R

ob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Ecuación de Movimiento: Coordenadas Normal y Tangencial.

Cuando una partícula se mueve en una trayectoria curva conocida, la ecuación de movimiento se da en las direcciones tangencial y normal.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Ejemplo. La plomada de un péndulo de 2 m describe un arco de circulo en un plano

vertical. Si la tensión en la cuerda es de 2.5 veces el peso de la plomada para la posición indicada en la figura, determine:

a) La velocidad.

b) La aceleración de la plomada en esa posición.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

v = 5.65 m/s

a n = 16.01 m/s2

at = 4.9 m/s2

Ejemplo. Determine el ángulo de inclinación lateral θ de la pista de manera que las

ruedas de los carros de carreras, no tengan que depender de la fricción para prevenir que algún carro se deslice hacia arriba o hacia abajo por la pista. Suponga que los carros tienen una masa m y que viajan alrededor de un radio R con rapidez v.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

Una niña que tiene masa de 15 kg, esta sentada sin moverse con respecto a la superficie de una plataforma horizontal a una distancia de 5 m. Suponga que movimiento angular de la plataforma aumenta lentamente de manera que la componente tangencial de la aceleración de la niña, es despreciable si μs= 0.2, determine la rapidez máxima que la niña tendrá antes de empezar a deslizarse hacia afuera.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

Un patinador de 60 kg se desliza cuesta debajo de la pista circular movido por la fuerza de la gravedad. Si parte del punto de reposo cuando θ=00, determine la magnitud de la reacción normal que la pista ejerce en él, cuando θ =600, ignore la estatura del patinador.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

N = 1530 N

Ejemplo.

El diseño de una pista de salto para esquiadores requiere conocer el tiempo de fuerzas que serán ejercidas sobre un esquiador y su trayectoria aproximada. Para este caso la pista puede ser aproximada por la parábola mostrada, si la velocidad en A es de 65 ft/s y el esquiador tiene un peso de 150 lb, determine:

a) La fuerza normal sobre el esquiador.

b) La aceleración en ese punto.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Fn = 347 lb

a n = 42.2 ft/s2

at = 0 ft/s2

Ejemplo.

Los paquetes con masa de 2 kg cada uno, son depositados por una banda transportadora en una rampa circular lisa con velocidad inicial de 1 m/s. Si el radio efectivo de la rampa es de 0.5 m, determine el ángulo θ= θmax en que los paquetes empiezan a dejar la superficie.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

La bicicleta y el conductor tienen un peso total de 180 lb donde tiene una velocidad inicial de 6 ft/s. determine:

a) La fuerza normal que actúa sobre la bicicleta en el punto A.

b) La aceleracion

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Ecuación de movimiento: Coordenadas Cilíndricas.

Se utiliza cuando el movimiento de la partícula es angular In

g. R

ob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Ecuación de movimiento: Coordenadas Cilíndricas.

Los datos se dan con respecto a la línea radial r, o cuando la trayectoria puede expresarse convenientemente en función de estas coordenadas.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

El doble anillo liso de 0.5 Kg que se muestra en la fig. puede deslizarse libremente sobre el brazo AB y la barra guía circular. Si el brazo gira a una velocidad angular constante de 3 rad/s. Determine la fuerza que el brazo ejerce sobre el anillo en el instante θ=45º El movimiento ocurre en el plano horizontal.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

Un cilindro C de 2 Kg tiene un pasador P a través de su centro el cual pasa por la ranura en el brazo OA. Si se hace que el brazo gire en el plano vertical a una razón constante de 5 rad/s. Determine la fuerza que el brazo ejerce sobre la clavija en el instante θ=60º.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1

Ejemplo.

Una lata de 0.5 Kg se mueve a lo largo de una ranura horizontal. La ranura tiene la forma de una espiral, la cual esta definida por la ecuación r = (0.1θ)m. Si el brazo OA gira a una velocidad constante 0.4 rad/s en el plano horizontal, determine la fuerza ejerce en la lata en el instante θ=π rad. Desprecie la fricción y el tamaño de la lata.

Ing

. Rob

erto

Reye

s A

rce

- Din

ám

ica

- U1