cebir Öncesi: 3, 4 ve 5. sınıf Öğrencilerinin fonksiyonel İliúkileri … · 2019-02-01 ·...

Volume 7 / Issue 1, 2019

Eğitimde Nitel Araştırmalar Dergisi - ENAD

Journal of Qualitative Research in Education - JOQRE

344

Cebir Öncesi: 3, 4 ve 5. Sınıf Öğrencilerinin Fonksiyonel İlişkileri

Genelleme Düzeyleri††

Early Algebra: The Levels of 3th, 4th and 5th Grade Students’ Generalisations of Functional

Relationship

Handegül Türkmen**

Dilek Tanışlı***

To cite this acticle/Atıf için: Türkmen, H. ve Tanışlı, D. (2019). Cebir öncesi: 3. 4. ve 5. sınıf öğrencilerinin fonksiyonel ilişkileri genelleme

düzeyleri. Eğitimde Nitel Araştırmalar Dergisi – Journal of Qualitative Research Education, 7(1), 344-

372. doi:10.14689/issn.2148-2624.1.7c1s.16m

Öz. Bu çalışmanın amacı, cebir öncesi dönemde olan üçüncü, dördüncü ve beşinci sınıf

öğrencilerinin fonksiyonel ilişkileri genelleme düzeylerini belirlemektir. Araştırma yöntemi olarak

temel nitel araştırma yaklaşımı benimsenmiştir. Araştırmanın katılımcıları cebir öncesi dönemde olan orta sosyo-ekonomik düzeyde yer alan bir okulda öğrenim gören üçüncü sınıflardan 45,

dördüncü sınıflardan 36 ve beşinci sınıflardan 35 kişi olmak üzere toplam 116 öğrenciden

oluşmaktadır. Veriler araştırma amacı doğrultusunda açık uçlu sorular yardımıyla toplanmıştır. Verilerin analizinde tematik analiz yöntemi kullanılmıştır. Bu bağlamda alanyazında daha önce

geliştirilmiş olan fonksiyonel düşünme düzeyleri dikkate alınmış ve bu düzeylerden bazıları bu

araştırma kapsamında kullanılmış aynı zamanda bazı düzeylere ilişkin alt düzeyler oluşturulmuştur. Tüm sınıf düzeylerindeki öğrencilerin genel olarak fonksiyonel düşünmenin birçok göstergesine

sahip olduğu görülmüştür. Ancak genel kuralı y=mx+n formunda olan ilişkileri genelleyebilme ve

temsil etmede bazı öğrencilerin daha çok zorlandığı araştırmanın önemli görülen sonucundan birisi olmuştur. Bu sonuç cebir öncesi dönemde yer alan öğrencilerin fonksiyonel düşünmelerinin

geliştirilebilir olduğu göstermektedir. Bu nedenle daha erken yaşlarda fonksiyonel düşünmeyi

geliştirici etkinliklerin programlarda ve ders kitaplarında artırılması gerekmektedir.

Anahtar Sözcükler: Cebir öncesi, fonksiyonel düşünme, genelleme

Abstract. The purpose of this study is to determine the students’ levels of generalisation of

functional relationships in third, fourth and fifth grade. The design of the study was a basic qualitative research study. Participants were 116 students; 45 from the third grade, 36 from the

fourth grade and 35 from the fifth grade from a middle school. The data were collected with the help

of open-ended questions. Thematic analysis was used to analyze the data. In this context, the levels

of functional thinking previously developed in the literature have been taken into consideration and

some of these levels have been used in this research and at the same time some levels of lower

levels have been formed. It has been seen that most students at all grade levels have many indications of functional thinking in general but some students have more difficulty in generalizing

and representing the general rule y=mx+n. This result shows that the functional thinking of the

students in the early algebra period can be improved. Therefore, it is necessary to increase the activities that develop functional thinking in curriculum and textbooks at an earlier age.

Keywords: Early algebra, functional thinking, functional relationship, generalization

Makale Hakkında

Gönderim Tarihi: 11.11.2018

Düzeltme Tarihi: 19.12.2018

Kabul Tarihi: 27.01.2019

†† Bu çalışma 23-25 Mayıs 2018 tarihlerinde Afyonkarahisar’da düzenlenen Uluslararası Bilim ve Eğitim Kongresi’nde-ICSE2018

(International Congress on Science and Education) sözlü bildiri olarak sunulmuştur. ** Milli Eğitim Bakanlığı, Konya, Türkiye, e-mail: [email protected] ORCID: 0000-0003-4129-6816 *** Sorumlu Yazar / Correspondence: Anadolu Üniversitesi, Eskişehir, Türkiye, e-mail: [email protected] ORCID: 0000-0002-2931-

5079

mailto:[email protected]


Cilt 7 / Sayı 1, 2019



345

Giriş

Okul matematiğinin önce aritmetik ile başlayan daha sonraki dönemlerde cebir ile devam eden

geleneksel yaklaşımının cebir öğrenmede başarısızlığa yol açması cebir öncesinin temel olarak

matematik derslerine girmesini sağlamıştır (Kaput, 1998; Kaput, Carraher ve Blanton, 2008; Stephens,

vd. 2017). Son on yılda birçok matematik eğitimcisi cebirin erken yaşlardan itibaren başlaması

gerektiğini tartışarak, cebir öncesinin ilköğretim matematik dersi öğretim programının bir parçası

haline gelebilmesini sağlamıştır (NCTM, 2000; Carraher vd., 2006). Cebir öncesinin sezgisel ve

informal yollarla cebirsel düşünmenin temelini oluşturarak, hem cebir öğreniminde ortaya çıkan

problemlerin giderilmesinde hem de cebirdeki başarıyı artırmada kritik bir önemi olduğu bilinmektedir

(Stephens vd. 2017). Aynı zamanda cebir öncesinin öğrencilerin genelleştirilmiş aritmetik, eşitlik ve

değişken gibi temel cebirsel kavramları daha derinden anlamalarını sağlayarak aritmetik ve cebir

arasında köprü görevi gördüğü de tartışılmaktadır (Akkan, Baki ve Çakıroğlu, 2011; Stephens vd.,

2016).

Cebir öncesi, aritmetiği genelleme ve örüntüler ile çalışarak fonksiyonel ilişkiyi tanımlama diğer bir

değişle fonksiyonel düşünme şeklinde iki temel alana odaklanmaktadır. Bu çalışmanın da temel konusu

olan fonksiyonel düşünme en genel anlamıyla nicelikler ve nicelikler arası ilişki bilgisi olarak

tanımlanabilir (Smith, 2003). Matematik sayılar, modeller ve değişkenler, bunlar arasındaki ilişkiler ve

bunların dönüşümü (ya da değişim) dür. Matematiğin gücü de ilişkiler ve dönüşüme dayanır. İlişkinin

ve dönüşümün temeli ise fonksiyonel düşünmedir (Scandura, 1971; akt. Warren ve Cooper 2005). Bu

nedenle fonksiyonel düşünme matematik eğitiminin bütününü etkileyen genel bir düşünme yoludur

(Hoffkamp, 2011; Vollrath, 1989).

Fonksiyonel düşünme fonksiyon kavramı ile güçlü bir şekilde bağlantılıdır (Vollrath, 1989). Bu

bağlamda fonksiyonel düşünmenin kazanımı hem cebire hem de fonksiyon kavramına girişi

kolaylaştırır (Kabael ve Tanışlı, 2010). Bu nedenle fonksiyonel düşünmenin erken yaşlardan itibaren

aşamalı olarak ve uzun bir zaman diliminde kazandırılması gerekmektedir (Warren, Cooper ve Lamb,

2006). Alanyazın incelendiğinde ise okulöncesinden başlamak üzere küçük yaştaki öğrencilerin

fonksiyonel düşünebildiklerini (Blanton ve Kaput, 2004; Warren ve Cooper, Lamb, 2006) fonksiyonel

düşünebilen öğrencilerin nicelikler arasındaki fonksiyonel ilişkiyi anlayabildiklerini, bu ilişkiyi

kullanarak yeni değerleri tahmin edebildiklerini (Carraher vd. 2008), genel kuralı sözel ve sembolik

olarak ifade edebildiklerini (Carraher vd., 2008; Cooper ve Warren, 2008), küçük çocukların nicelikler

arasındaki ilişkileri temsil etmek için değişken notasyonu kullanmaya başlayabileceklerini (Blanton

vd., 2015), sembolik ifadelerle başarılı bir şekilde fonksiyonel ilişkileri temsil edebildiklerini (Wilkie,

2016) göstermektedir. Blanton ve arkadaşları (2015) matematiksel ilişkileri ve yapıyı genelleme, temsil

etme, kanıtlama ve muhakeme gibi erken cebirsel düşünme uygulamalarının daha erken yaşlardan

itibaren sınıflara başarıyla entegre edilebileceğine dair kanıtlar sunmuştur. Stephens ve arkadaşlarının

(2017) cebir öncesi dönemde olan öğrencilere yaptıkları öğretim deneyi araştırmalarının sonucunda ise

öğrencilerin sayılar arasındaki ilişki hakkında giderek daha fazla fikir sahibi olduğu, genel kuralları

belirleme becerilerinin geliştiği ve aynı zamanda fonksiyonel ifadenin genel kuralını sembollerle ve

kelimelerle ifade edebilen öğrenci sayısının arttığı gözlemlenmiştir. Bahsedilen bu araştırma

sonucunda genel olarak erken yaştaki öğrencilerin bile fonksiyonel düşünebildikleri, fonksiyonel

düşünmenin gelişimine okulöncesinden itibaren başlanabileceği vurgulanarak cebir öncesi dönemin

önemine dikkat çekilmiştir.




346

Türkiye’de ise 2005’ten itibaren yenilenen ilköğretim matematik dersi öğretim programları

incelendiğinde, cebirsel düşünme ve özelde fonksiyonel düşünmenin gelişimini sağlayacak yönde

kazanımların ve etkinliklerin, uluslararası matematik eğitimi alan yazınında önerildiği şekilde olmasa

da, programlara dâhil edildiği görülmektedir. Türkiye’de cebir öncesi dönemde olan öğrencilerin

fonksiyonel düşünebilmeleri üzerine uluslararası alan yazının aksine çok az sayıda çalışmanın (Tanışlı,

2011) yapıldığı da dikkati çekmiştir. Yapılan bu çalışmada ilköğretim beşinci sınıfta öğrenim gören

dört öğrencinin fonksiyon tablosu ile temsil edilen sayı örüntülerine ilişkin fonksiyonel düşünme

becerileri araştırılmıştır. Araştırma sonunda dört öğrencinin başarı farklılıkları da olsa fonksiyonel

düşünme becerisine sahip oldukları belirlenmiştir. Ancak Türkiye’de bu çalışmanın yanı sıra cebir

öncesi dönemde yer alan farklı sınıf düzeylerinde ve farklı bağlam içeren etkinlikler ile öğrencilerin

gelecekte karşılaşacakları pek çok kavramın kazanımında önemli etkisi olan fonksiyonel düşünme

becerilerinin araştırılmasına yönelik daha fazla sayıda çalışmaya gereksinim vardır. Bu gereklilik

çalışmanın planlanmasında etkili olmuştur. Böylece Türkiye’de cebir öncesi dönemde olan

öğrencilerin konuya ilişkin genel durumları değerlendirilerek cebir öncesi döneme dikkat çekilecektir.

Amaç

Bu çalışmanın genel amacı, cebir öncesi dönemde olan üçüncü, dördüncü ve beşinci sınıf

öğrencilerinin fonksiyonel ilişkileri genelleme düzeylerini belirlemektir. Bu genel amaç doğrultusunda

aşağıdaki soruya yanıt aranmıştır:

Cebir öncesi dönemde olan üçüncü, dördüncü ve beşinci sınıf öğrencileri fonksiyonel düşünme

düzeylerinden hangisinde yer almaktadır?

Bu araştırma cebir öncesi dönemin fonksiyonel düşünme becerileri üzerindeki önemine vurgu yaparak

öğrencilerin cebirde ve fonksiyon kavramında yaşadıkları zorlukların üstesinden gelebilmelerine

çözüm getirmesi amacıyla matematik eğitimi alan yazınına, programlara ve içeriklerine katkı yapacağı

düşünülmektedir.

Kavramsal Çerçeve

Cebir öncesi aritmetik ve cebiri birlikte işleyerek cebirsel karakterlerin ortaya çıkmasına ve

geliştirilmesine yardımcı olarak matematiksel yapıları genelleyebilmeyi sağlayan bir yaklaşımdır. Bu

yaklaşımda fonksiyonel düşünme aritmetiği genellemeden farklı olarak değişen örüntüleri tanımlama,

devam ettirme, genelleme, çoklu temsilleri kullanma ve bunlar arasında geçiş yapabilme, sembol

kullanarak bilinmeyen bir niceliği temsil etme, nicelikler arasındaki ilişkiyi araştırma gibi becerileri

gerektirir (Blanton, 2008). Bu becerilerin gelişiminde özellikle değişen şekil örüntülerini genelleme

çalışmaları yaygın olarak kullanılmaktadır (Stacey, 1989; Garcia-Cruz ve Martinon, 1997; Rivera,

2007, İmre, Akkoç ve Şahin, 2017). Yapılan bu çalışmalarda öğrencilerin yinelemeli ve fonksiyonel

olmak üzere iki tür genelleme yaklaşımını kullandıkları gözlenmektedir (Blanton vd., 2015).

Yinelemeli düşünen öğrencilerin örüntüdeki ardışık iki terim arasındaki ilişkiye, fonksiyonel düşünen

öğrencilerin ise iki nicelik arasındaki ilişkiye odaklandıkları bilinmektedir (Amit ve Neria, 2008;

Carraher vd., 2008; Lannin, 2005; Ley, 2005; Orton ve Orton, 1999; Samsan, Linchevski ve Olivier,

1999; Stacey, 1989). Diğer yandan girişte de ifade edildiği gibi, yapılan pek çok çalışma ile okul

öncesinden itibaren özellikle küçük yaştaki öğrencilerin yinelemeli düşünceden ziyade nicelikler

arasındaki ilişkileri açıklayabildikleri ve fonksiyonel düşünebildikleri görülmektedir (Blanton ve

Kaput, 2004; Carraher, Martinez ve Schliemann, 2008; Martinez ve Brizuela, 2006; Warren, Cooper ve

Cilt 7 / Sayı 1, 2019



347

Lamb, 2006). Ancak son zamanlarda fonksiyonel düşünmenin doğası, bu düşünmenin nasıl ortaya

çıktığı ve nasıl geliştiği konusu sınırlı sayıda da olsa yapılan çalışmalarla gündeme gelmiştir. Küçük

yaştaki öğrenciler üzerinde gerçekleştirilen bu çalışmalarda öğrenme yol haritaları geliştirilerek

örüntüleri genellemede öğrencilerin takip ettikleri öğrenme yolları çıkarılarak fonksiyonel düşünme

düzeyleri belirlenmiştir (Blanton vd., 2015, Stephens vd., 2016, Stephens vd., 2017). Bu çalışmalardan

biri Blanton ve arkadaşlarının (2015) okul öncesinden ikinci sınıfa kadar öğrenim gören öğrenciler

üzerinde gerçekleştirdikleri bir çalışmadır. Çalışmada 8 hafta süren bir sınıf öğretim deneyi

gerçekleştirilmiş ve öğrencilerin fonksiyonel düşünme gelişimlerine ilişkin öğretim dizileri

tasarlanmıştır. Bu öğretimlerde genel kuralı y=mx den y=mx+n e değişen fonksiyon türleri ele alınmış

ve Tablo 1’de görüldüğü gibi öğrencilerin fonksiyonel ilişkiyi genelleme düzeylerini belirlenmiştir.

Tablo 1. Fonksiyonel İlişkiyi Anlama Düzeyleri

Düzeyler Özellikleri

Ön yapısal Öğrenciler verilen bir problem durumunda herhangi bir matematiksel ilişkiyi

tanımlayamazlar ya da kullanmazlar (örtülü olarak). Ancak matematiksel olmayan

düzenli ilişkileri fark edebilirler.

Yinelemeli-Özel Öğrenciler bu düzeyde yalnızca belirli, özel durumlar için yinelemeli örüntüyü

kavramsallaştırırlar. Ancak verilen dizi ile sınırlı kalıp örüntüyü tanımlayabilirler.

Yinelemeli-Genel Bu düzeydeki öğrenciler, belirli örneklere bağlı kalmadan, keyfi ardışık değerler

arasında genel bir kural olarak yinelemeli örüntüyü kavramsallaştırırlar.

Fonksiyonel Özel Bu düzeyin kritik özelliği öğrencilerin belirli, özel durumlar için bir ilişkiyi

tanımlayabilmeleri, ancak dizinin tüm değerleri üzerinde genelleştirilmiş bir

fonksiyonel ilişki tanımlayamamalarıdır.

Basit Fonksiyonel-

Genel

Öğrenciler bu düzeyde, fonksiyonel bir ilişkiyi iki nicelik arasındaki genel bir ilişki

olarak kavramsallaştırırlar. Ancak iki keyfi nicelik arasında matematiksel bir dönüşüm

tanımlayamazlar. Genel bir kural verildiğinde bu kuralın doğruluğunu

değerlendirebilirler.

Gelişmiş

Fonksiyonel-

Genel

Bu düzey, eksik te olsa genelleştirilmiş bir fonksiyonel ilişkinin temel özelliklerinin

ortaya çıkışını yansıtmaktadır. Bu düzeydeki öğrenciler fonksiyonel ilişkinin yanında

karşılaştırılan nicelikleri de tanımlayabilirler. Ancak bu nicelikler arasındaki

matematiksel dönüşümü açıkça ifade edemezler.

Yoğun

Fonksiyonel-Genel

Öğrenciler bu düzeyde, fonksiyonel kuralı belirlemek için problem durumundaki iki

niceliği ve nicelikler arasındaki matematiksel dönüşümü sözcükler ve değişkenler

kullanarak açıkça ve doğru bir şekilde ifade ederler.

Nesne olarak

Fonksiyon

Öğrenciler bu düzeyde fonksiyonel ilişkilerin genelliğine dair sınırları algılarlar.

Öğrenciler fonksiyonel ilişkiyi yapısal olarak kendi içinde yeni süreçlerin

gerçekleştirilebileceği bir nesne olarak kavramsallaştırırlar.

Benzer bir çalışma da Stephens ve arkadaşlarının (2016), 3.-5. Sınıf düzeylerinde yer alan öğrenciler

üzerinde gerçekleştirdikleri çalışmadır. Bu çalışmada öğrencilerin fonksiyonel ilişkiyi genelleme ve

temsil etme becerilerinin gelişimi araştırılmıştır. Araştırmada her sınıf düzeyinde 17-18 ders saati süren




348

sınıf öğretim deneyi gerçekleştirilmiş ve öğrencilere sabit ve artarak değişen örüntü problemleri

sunulmuştur. Araştırma sonunda Blanton ve arkadaşlarının belirledikleri düzeyler geliştirilmiş ve

Tablo 2’de verilen düzeyler oluşturulmuştur.

Tablo 2. Fonksiyonel İlişkiyi Genelleme ve Temsil Etme Düzeyleri

Düzeyler Özellikleri

Yanıt yok Öğrenci herhangi bir cevap vermez.

Yeniden ifade etme Öğrenci verilen bilgiyi tekrarlar.

Yinelemeli örüntü-

özel

Öğrenci her bir değişkendeki yinelemeli örüntüyü sadece belirli sayılar üzerinden

yola çıkarak tanımlar.

Yinelemeli örüntü-

genel

Öğrenci her bir değişkendeki yinelemeli örüntüyü doğru bir şekilde tanımlar.

Kovaryans İlişki Öğrenci doğru bir kovaryans ilişki tanımlar. İki değişken ayrı ayrı belirtilmek

yerine koordine edilerek tanımlanır.

Fonksiyonel-Özel Öğrenci fonksiyonel bir ilişkiyi yalnızca bazı özel sayıları kullanarak tanımlar

ancak değişkenlerle ilgili genel bir açıklama yapamaz.

Fonksiyonel-Temel Öğrenci iki değişken arasındaki genel ilişkiyi tanımlar, ancak bu değişkenler

arasındaki dönüşümü tanımlayamaz.

Fonksiyonel-

Değişkenler ile ortaya

çıkan

Öğrenci değişkenleri kullanarak eksik bir fonksiyon kuralı tanımlar. Sık sık bir

değişken üzerindeki dönüşümü ifade eder ancak diğer değişkenle açıkça

ilişkilendiremez.

Fonksiyonel-kelimeler

ile ortaya çıkan

Öğrenci kelimeleri kullanarak eksik bir fonksiyon kuralı tanımlar. Sık sık bir

değişken üzerindeki dönüşümü ifade eder ancak diğer değişkenle açıkça

ilişkilendiremez ya da değişkenlerden birini açıkça tanımlayamaz.

Yoğun Fonksiyonel-

Değişkenler ile ortaya

çıkan

Öğrenci, iki değişken arasındaki genelleştirilmiş ilişkiyi açıklayan bir fonksiyon

kuralını değişkenler kullanarak doğru bir şekilde tanımlar.

Yoğun Fonksiyonel-

Kelimeler ile ortaya

çıkan

Öğrenci, iki değişken arasındaki genelleştirilmiş ilişkiyi açıklayan bir fonksiyon

kuralını kelimeler kullanarak doğru bir şekilde tanımlar.

Daha sonra Stephens ve arkadaşlarının (2017) 3.-5. sınıf düzeylerinde yer alan öğrenciler üzerinde

gerçekleştirdikleri bir başka çalışmada ise her sınıf düzeyinde 18 ders saati süren bir sınıf öğretim

deneyi gerçekleştirilmiştir. Bu süreçte üçüncü sınıf öğrencilerine genel kuralı y=mx ve y=x+b olan

lineer, dördüncü sınıf öğrencilerine genel kuralı y=x2 ve y=x2+b olan quadratik ve beşinci sınıf

öğrencilerine ise üstel fonksiyon türlerini içeren görevler sunulmuştur. Araştırma sonunda öğrencilerin

fonksiyonel düşünme düzeyleri yeniden revize edilmiş ve Şekil 1’deki verilen yapı oluşturulmuştur.

Cilt 7 / Sayı 1, 2019



349

Şekil 1. Fonksiyonel İlişkiyi Genelleme ve Temsil Etme Düzeyleri

Şekil 1’de görüldüğü gibi, her düzeye ilişkin verilen örnekler bu çalışmada da kullanılan Tablo 3’te

sunulan masa sayısı ve masaya oturan kişi sayısı arasındaki ilişkinin sorgulandığı örüntü problemine

aittir.

Bu çalışmada ise 3.-5. sınıf öğrencilerinin değişen şekil örüntülerine ilişkin fonksiyonel ilişkiyi

genelleme becerileri söz konusu belirlenen düzeyler bağlamında incelenmiş ve öğrencilerin bu

düzeylerden hangisinde yer aldığı, bu öğrencilerin öğrenme ilerleyişinin bu düzeyler ile uygun olup

olmadığı araştırılmıştır.

FONKSİYONEL DÜŞÜNME KANITI YOK

L0: Verilen yanıt ya da yeniden ifade etme yok. İki kişi bir masada oturabilir.

VARYASYONEL DÜŞÜNME

L1: Yinelemeli Örüntü-Özel: Öğrenci, her bir değişken için sadece belirli

sayılardan yola çıkarak, yinelemeli bir örüntüyü tanımlar. 2, 4, 6, 8.. olarak devam

eder.

L2: Yinelemeli Örüntü-Genel: Öğrenci, her değişken için doğru bir şekilde

yinelemeli örüntüyü tanımlar. Her seferinde insan sayısı 2 artıyor.

KOVARYANS DÜŞÜNME

L3: Kovaryans İlişki: Öğrenci,

kovaryans ilişkisiyi tanımlar. İki

değişken ayrı ayrı belirtilmek yerine

koordine edilir. Bir masa

eklediğinizde daima iki kişi daha

eklersiniz.

BİREBİR EŞLEYEREK DÜŞÜNME

L4: Tek Örnekleme: Öğrenci, cebirsel ifadeyi ya da

denklemi, sayılarla ve/veya fonksiyon kuralının bir örneğini

bilinmeyenlerle yazar, ancak genellikle iki değişkeni

ilişkilendirmez. 2x2=4

L5: Fonksiyonel-Özel: Öğrenci belirli sayıları kullanarak

fonksiyonel bir ilişkiyi tanımlar ancak değişkenlerle ilgili

genel bir açıklama yapamaz. 1x2=2, 2x2=4, 3x2=6, 4x2=8,

…

L6: Fonksiyonel-Temel: Öğrenci değişkenler arasındaki

genel ilişkiyi tanımlar, ancak bunlar arasındaki dönüşümü

tanımlayamaz. O daima kendisinin iki katıdır.

L7/8: Gelişmiş Fonksiyonel: Öğrenci, değişkenleri (L7) ya

da sözcükleri (L8) kullanarak eksik bir fonksiyon kuralı

tanımlar. Genellikle tek bir değişkenin üzerindeki dönüşümü

açıklar ancak diğerleriyle açıkça ilişkilendiremez. mx2,

Masaları 2 ile çarpın.

L9/10: Yoğun Fonksiyonel: Öğrenci değişkenleri (L9) ya da

kelimeleri (L10) kullanarak iki değişken arasındaki

genelleştirilmiş ilişkiyi açıklayan fonksiyon kuralını

tanımlar. k=mx2, Eğer masa sayısını 2 ile çarparsan,

oturabilecek kişi sayısını elde edersin.




350

Yöntem

Araştırma Deseni

Bu araştırmada temel nitel araştırma yaklaşımı benimsenmiştir. Bu yaklaşım ile bir olgu, bir süreç ya

da ilgili kişilerin perspektifleri ve dünya görüşleri keşfedilmeye ve anlaşılmaya çalışılır. Temel nitel

araştırmada görüşmeler, gözlemler ve doküman incelemelerinde kullanılan sorular, belirlenen odak

noktaları ve kurulan ilişkiler araştırmanın kuramsal çerçevesine bağlı olarak gerçekleştirilmektedir

(Merriam ve Tisdell, 2016). Merriam ve Tisdell’e göre temel nitel araştırma nitel araştırmanın temel

özelliklerini taşımakla birlikte durum çalışması ve olgubilim gibi özel durumlar içermeyen araştırmalar

için kullanılabilir. Bu bağlamda araştırmada cebir öncesi dönemde yer alan toplam 116 öğrencinin

açık uçlu sorulara verdikleri yanıtların incelenmesi sonucu sahip oldukları bilgi yapıları araştırmanın

kuramsal çerçevesi doğrultusunda belirlenmeye çalışılmıştır. Bu süreçte kuramsal çerçeve yeniden

düzenlenmiş ve öğrencilerin sahip oldukları fonksiyonel ilişkiyi genelleme yapıları ortaya

konulmuştur.

Katılımcılar

Araştırmanın katılımcılarının seçiminde amaçlı örnekleme yöntemlerinden birisi olan ölçüt örnekleme

yöntemi kullanılmıştır. Katılımcıların orta sosyo-ekonomik düzeydeki bir ilkokulda öğrenim gören

üçüncü, dördüncü ve bir ortaokulda öğrenim gören beşinci sınıflardan seçilmesi ve seçilen sınıfların

kendi aralarında benzer başarı düzeyine sahip olmaları temel ölçüt olarak kabul edilmiştir. Öğrencilerin

başarı düzeylerinde ise karne notları temel alınmıştır. Öğrencilerin üçüncü, dördüncü ve beşinci

sınıflardan seçilmesinin nedeni bu sınıflardaki öğrencilerin cebir öncesi dönemde olmalarıdır. Özel

olarak üçüncü sınıftan itibaren öğrencilerin seçilmesinin sebebi ise aralarındaki farkın sabit olduğu

örüntüleri genişletme ve oluşturma kazanımının öğretim programında üçüncü sınıftan itibaren yer

almasıdır.

Araştırmaya üçüncü sınıf öğrencilerinden 45, dördüncü sınıf öğrencilerinden 36, beşinci sınıf

öğrencilerinden 35 kişi olmak üzere toplam 116 gönüllü öğrenci katılmıştır. Öğrencilerin ailelerinden,

okuldan ve sınıf öğretmenlerinden de gerekli izinler alınmıştır.

Verilerin Toplanması

Araştırmada cebir öncesi dönemdeki öğrencilerin fonksiyonel ilişkiyi genelleme düzeylerini araştırmak

amaçlanmıştır. Amaca bağlı olarak da veriler açık uçlu sorular yardımıyla toplanmıştır. Stephens,

Fonger, Blanton ve Knuth (2015) tarafından geliştirilen açık uçlu sorular Tablo 3’de gösterilmiştir.

Soruların ilk bölümünde öğrencilerin verilen bir örüntüyü ifade etme ve kuralı y=mx olan örüntüyü

genelleme becerileri (Görev 1), ikinci bölümünde ise kuralı y=mx+n olan örüntüyü genelleme

becerileri (Görev 2) sorgulanmıştır. Aynı zamanda, öğrencilerin fonksiyonel ilişki için buldukları

kuralın sınırlılıkları konusundaki farkındalıklarını belirleyebilmek amacıyla araştırmacıların sorularına

ek olarak iki madde (f, g) daha eklenmiştir.

Hazırlanan açık uçlu soruların uygunluğu önce uzman görüşüne sunulmuştur. Ardından aynı okulların

farklı sınıflarından seçilen 10 öğrenci üzerinde pilot çalışması gerçekleştirilmiştir. Pilot çalışma

sonucunda hazırlanan açık uçlu sorularda hiçbir değişiklik yapılmamıştır.

Cilt 7 / Sayı 1, 2019



351

Tablo 3. Değerlendirme Görevi

Görev 1:

Görev 2:




352

Verilerin Analizi

Araştırmada verilerin analizi iki aşamada gerçekleştirilmiştir. Birinci aşamada üçüncü, dördüncü ve

beşinci sınıf öğrencilerinin fonksiyonel düşünme düzeylerinin belirlenmesinde tematik analiz yöntemi

kullanılmıştır. Tematik analizde temalar ve örüntüler veri içinden çıkarılabileceği gibi çeşitli

modellerde kullanılan mevcut temalardan da yararlanılabilir (Liamputtong, 2009). Bu araştırmada ise

Blanton ve arkadaşları (2015) ile Stephens ve arkadaşlarının (2017) geliştirdiği fonksiyonel düşünme

düzeyleri dikkate alınmış ve bu düzeylerden bazıları bu araştırma kapsamında kullanılmış yanı sıra

elde edilen verilere dayalı olarak yeni bir düzey ve bazı düzeylere ilişkin alt düzeyler oluşturulmuştur.

Tablo 4.

Fonksiyonel Düşünmeyi Genelleme ve Temsil Etme Düzeyleri

FONKSİYONEL

DÜŞÜNME

KANITI YOK

D0. Ön Yapısal: Bu düzeydeki öğrenciler örüntüde herhangi bir matematiksel ilişkiyi

açıklayamazlar. Örüntüde yinelemeli ilişkinin farkına varamazlar.

VARYASYONEL

DÜŞÜNME

D1. Yinelemeli-Özel: Bu düzeydeki öğrenciler örüntüde yinelemeli ilişkiyi fark ederler ve bu

ilişkiyi sadece belirli örnekler üzerinden tanımlarlar.

D2. Yinelemeli-Genel: Bu düzeydeki öğrenciler belirli örneklerden bağımsız olarak

yinelemeli ilişkiyi bütüne genellerler.

KOVARYANS

DÜŞÜNME

D3. Karşılıklı Değişim: Bu düzeydeki öğrenciler D0, D1, D2 düzeylerindeki öğrencilerden

farklı olarak nicelikleri (sıra sayısı ve kişi sayısı) fark ederler ve her bir niceliğin kendi

arasındaki değişimi belirlerler. Ayrıca nicelikleri ayrı ayrı belirtmek yerine koordine edilmiş

bir şekilde ifade ederler. Ancak nicelikler arasında herhangi bir matematiksel ilişki

kuramazlar.

BİREBİR EŞLEYEREK DÜŞÜNME

D4. Fonksiyonel Özel: Bu düzeydeki öğrenciler D2 düzeyine benzer olarak belirli durumlar

için fonksiyonel ilişkiyi tanımlayabilirler. Ancak fonksiyonel ilişkiyi genelleyemezler.

D4.1. Toplamsal İlişki: Öğrenciler bu düzeyde yazdıkları matematiksel ilişkilere

niceliklerin toplamsal ilişkisinden yola çıkarak ulaşırlar.

D4.2. Çarpımsal İlişki: Öğrenciler bu düzeyde yazdıkları matematiksel ilişkilere

niceliklerin çarpımsal ilişkisinden yola çıkarak ulaşırlar.

D5. Temel Fonksiyonel: Bu düzey nicelikler arası ilişkilerin eksik bir şekilde ifade

edilmesine karşın fonksiyonel ilişkinin temel özelliklerinin oluşmaya başladığını gösterir. Bu

düzeydeki öğrenciler fonksiyonel ilişkinin yanı sıra nicelikleri de tanımlarlar. Ancak bu

nicelikler arasındaki dönüşümü açıkça ifade edemezler.

D5.1. Kelimelerle Ortaya Çıkan: Bu düzeydeki öğrenciler kelimeler kullanarak

eksik fonksiyonel bir kuralı belirlerler. Belirledikleri kuralda bir nicelik üzerinde

matematiksel dönüşüm tanımlarlar. Ancak bu dönüşümü diğer nicelikle açıkça

ilişkilendiremezler ya da niceliklerden birini açıkça tanımlayamazlar.

D5.2. Değişkenlerle Ortaya Çıkan: Bu düzeydeki öğrenciler değişkenler kullanarak

eksik fonksiyonel bir kuralı belirlerler. Belirledikleri kuralda bir nicelik üzerinde

matematiksel dönüşüm tanımlarlar. Ancak bu dönüşümü diğer nicelikle açıkça

ilişkilendiremezler ya da niceliklerden birini açıkça tanımlayamazlar. Öğrenciler

ifadede yeni bir değişken kullanmak yerine aynı değişkenin özel bir sayısını

kullanabilirler.

Cilt 7 / Sayı 1, 2019



353

Tablo 4. (devam)

D6. Gelişen Fonksiyonel: Bu düzeydeki öğrenciler fonksiyonel ilişkilerdeki nicelikleri hem

kelimelerle hem de değişkenlerle doğru bir şekilde ifade ederler. Aynı zamanda nicelikler

arasındaki matematiksel dönüşümü açıkça tarif edebilirler.

D6.1. Kelimelerle Ortaya Çıkan: Öğrenciler kelimeler kullanarak doğru bir

fonksiyonel ilişkiyi belirlerler. Bu fonksiyonel ilişki iki nicelik arasında

genelleştirilmiş ilişkiyi tanımlar. Bu ilişkide bir niceliğin dönüşümü ile diğer bir

nicelik elde edilir.

D6.2. Değişkenlerle Ortaya Çıkan: Öğrenciler değişkenler kullanarak doğru bir

fonksiyonel ilişki belirlerler. Belirledikleri ilişkide nicelikler arasındaki dönüşümü

ifade ederken eşitlik kullanırlar. Bu eşitlik iki nicelik arasındaki genelleştirilmiş

ilişkiyi tanımlar. Bir niceliğin dönüşümü aracılığı ile diğer bir nicelik elde edilir.

D7. Temel Düzeyde Nesne Olarak Fonksiyon: Bu düzeydeki öğrenciler belirledikleri

fonksiyonel ilişkiye yönelik oluşturdukları genel kuraldaki değişkenleri soyutlayarak o

değişkenlerin yerine farklı nesnelerin gelebileceğini anlarlar.

Analiz sürecinde öncelikle dokümanlar baştan sona sırasıyla numaralandırılmıştır. Daha sonra iki

araştırmacı bağımsız olarak tüm dokümanları inceleyerek Görev 1 ve Görev 2 için ayrı ayrı tablo

oluşturmuş ve her öğrencinin çözüm yollarını özetlemiştir. Aynı çözüm yoluna sahip öğrenciler bir

araya getirilmiştir. Farklılık gösteren öğrenciler ise diğerlerinden ayrıştırılmıştır. Daha sonra iki

araştırmacı bir araya gelerek hazırlamış oldukları içerikleri karşılaştırmış ve öğrenciler üzerinde

uzlaşmıştır.

Bu sürecin devamında iki araştırmacı öğrenci çözümlerini Blanton ve arkadaşlarının (2015)

fonksiyonel düşünme düzeyleri ve bu düzeyleri yeniden revize eden Stephens ve arkadaşlarının (2017)

geliştirdiği fonksiyonel düşünme düzeyleri ile karşılaştırmıştır. Ancak bazı öğrenci çözümlerinin iki

çalışmadaki fonksiyonel düşünme düzeylerini de tam olarak karşılamadığı görülmüştür. Bu durumda

iki araştırmacı çözümlere dayalı olarak bazı düzeylere ilişkin alt düzeyler ve yeni bir düzey

oluşturmuştur. Tablo 4’te görüldüğü gibi, alt düzeyler fonksiyonel özel olarak ifade edilen 4. düzeye

aittir. Bu düzeyde fonksiyonel ilişkiyi belirli durumlar için ifade eden öğrenciler bu süreçte toplamsal

ve çarpımsal olmak üzere iki tür muhakeme kullanmışlardır. Bu muhakeme türleri arasında bilişsel

anlamda bir hiyerarşinin olduğu göz önüne alınarak bu düzeye ait iki alt düzey oluşturulmuştur. Diğer

yandan araştırmada bir öğrencinin bilişsel yapısı gelişen fonksiyonel ve nesne olarak fonksiyon

arasında kaldığı için Blanton ve arkadaşları (2015)’nın nesne olarak fonksiyon şeklinde ifade ettikleri

düzeyin öncesi temel düzeyde nesne olarak fonksiyon şeklinde yeni bir düzey oluşturulmuştur.

Veri analizinin ikinci aşamasında ise betimsel analiz kullanılmıştır. Bu bağlamda Görev 1 ve Görev 2

için ayrı ayrı tüm düzeylere atanan öğrenci sayıları belirlenmiş ve yüzdeleri hesaplanmıştır. Daha sonra

düzeyler bazında üç sınıf birbirleriyle ve ayrı ayrı kendi içlerinde karşılaştırılmış ve bulgular

yorumlanmıştır. Bulguların sunumunda ise tablo ve grafik temsillerinden yararlanılmıştır.




354

Bulgular

Bu araştırmada cebir öncesi dönemde yer alan üçüncü, dördüncü ve beşinci sınıf öğrencilerinin

fonksiyonel ilişkiyi genelleme düzeylerinin belirlenmesi amaçlanmıştır. Bu amaçla öğrencilerin

genelleme becerilerine odaklanılmıştır. Bu bağlamda açık uçlu sorular yardımıyla toplanan veriler

üçüncü, dördüncü ve beşinci sınıf öğrencilerinin Fonksiyonel Düşünmeyi Genelleme Düzeylerine

İlişkin Tematik Bulgular ve Betimsel Bulgular olmak üzere iki başlık altında sunulmuştur.

Üçüncü, Dördüncü ve Beşinci sınıf Öğrencilerinin Fonksiyonel Düşünmeyi Genelleme

Düzeylerine ilişkin Tematik Bulgular

Bu bölümde üçüncü, dördüncü ve beşinci sınıf öğrencilerinin fonksiyonel düşünmeyi genelleme

düzeyleri tanımlanmış ve bu düzeylerin özellikleri ayrıntılı bir şekilde açıklanmıştır. Öğrencilerin

Tablo 3’te gösterilen açık uçlu sorulara verdikleri yazılı yanıtlardan doğrudan alıntılar ile hiyerarşik

olarak sıralanan düzeylerin özelliklerini en iyi yansıtan örnekler seçilerek düzeylerin tanımları

desteklenmiştir.

Fonksiyonel Düşünmenin Gözlenmediği Düzey

D0. Ön Yapısal Düzeyi: Öğrencilerden öncelikle masa/sıra sayıları ile kişi sayıları arasındaki ilişkinin

sorgulandığı t-tablosunu doldurmaları istenmiştir. Burada öğrencilerin t-tablosu kullanarak şekilsel

muhakemeleri aracılığıyla sayısal ilişkiler kurabilmeleri amaçlanmıştır. Bu süreçte ise öğrencilerden

tabloda oluşan örüntünün farkına varmaları ve örüntüde herhangi bir matematiksel ilişkiyi açıklamaları

beklenmiştir. Ancak bazı öğrenciler tabloda masa sayıları ile kişi sayıları arasında herhangi bir

matematiksel ilişki kuramamışlar ve örüntüdeki yinelemeli ilişkinin farkına varamamışlardır. Şekil

2’deki beşinci sınıf öğrencisinin yanıtı bu düzeye örnek olarak sunulabilir.

Şekil 2. Beşinci Sınıf Öğrencisinin Çözümü

Şekil 2’de görüldüğü gibi, öğrenci tabloda verilen kişi sayılarını rastgele sayılarla devam ettirmiştir.

Buna benzer davranışlar sergileyen bu düzeyde yer alan öğrencilerden fonksiyonel düşünmeye ilişkin

herhangi bir kanıt elde edilememiştir.

Cilt 7 / Sayı 1, 2019



355

Varyasyonel Düşünme

Bu düşünmenin göstergesi iki nicelik arasındaki ilişkiden ziyade tek bir niceliğe odaklanarak bu

nicelikte yer alan sayılar arasındaki ilişkinin farkına varılmasıdır. Varyasyonel düşünme yinelemeli

özel ve yinelemeli genel olmak üzere iki alt düzey ile ele alınmaktadır.

D1. Yinelemeli-Özel: Bu düzeydeki öğrenciler D0 düzeyinden farklı olarak t-tablosunda sadece kişi

sayılarına odaklanarak oluşan sayı örüntüsünde yinelemeli ilişkiyi fark etmişler ve bu ilişkiyi tabloda

verilen yedinci masadaki kişi sayısına kadar tanımlayabilmişlerdir. Bu düzeyde yer alan öğrenciler

tabloda 1’den 7’ye kadar verilen masa sayısı ile sınırlı kalmışlar yinelemeli ilişkiyi bütüne

genelleyememişlerdir. Bu düzeyde yer alan dördüncü sınıf öğrencisinin yanıtı Şekil 3’te gösterilmiştir.

Şekil 3. Dördüncü Sınıf Öğrencisinin Çözümü

Şekil 3’te görüldüğü gibi, öğrenci kişi sayısının oluşturduğu 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 şeklindeki örüntüyü

oluşturarak, örüntüdeki yinelemeli ilişkiyi fark etmiş ve tabloyu doğru bir şekilde tamamlamıştır.

Öğrenci ilişkiyi açıklarken sadece tablodaki değerler için “ikişer ikişer sayma vardır” şeklinde bir

açıklamada bulunmuş, henüz örüntünün kuralını bütüne genelleyememiştir.

D2. Yinelemeli-Genel: Bu düzeydeki öğrenciler yinelemeli ilişkiyi tablodaki her bir nicelik (masa

sayısı ve kişi sayısı) için ayrı ayrı tanımlamışlar, masa sayılarından ve kişi sayılarından bağımsız

olarak örüntüdeki yinelemeli ilişkiyi de bütüne genelleyebilmişlerdir. Diğer bir değişle D1 düzeyindeki

öğrencilerden farklı olarak tabloda 1’den 7’ye kadar verilen masa sayısı dışına çıkarak kişi sayıları

arasındaki 2 şer farkın devam ettiğini ifade etmişlerdir. Şekil 4’teki üçüncü sınıf öğrencisinin yanıtı bu

düzeye örnek olarak sunulabilir.




356

Şekil 4. Üçüncü Sınıf Öğrencisinin Çözümü

Şekil 4’te görüldüğü gibi, öğrencinin örüntü kuralını açıklarken “2 şer 2 şer gidiyor sayılar” ve her

iki nicelik için “Hep ritmik sayma gidiyor” ifadesini kullanması örüntünün kuralını bütüne

genelleyebildiğinin bir göstergesidir.

Kovaryans Düşünme

Bu düşünmenin göstergesi iki nicelik (masa sayısı ve kişi sayısı) arasındaki ilişkiye odaklanarak bu

niceliklerde yer alan sayılar arasındaki ilişkinin kurulmasıdır. Bu düşünme öğrencilerin sergilemiş

oldukları eylemlere dayalı olarak D3, D4, D5, D6 ve D7 şeklinde beş alt düzeye ayrılmaktadır. Ancak

D3 dışındaki düzeylerde kovaryans düşünmenin yanı sıra birebir eşleyerek düşünme şeklinde farklı bir

düşünme düzeyi de söz konusudur.

D3. Karşılıklı Değişim: Öğrencilerden görevin devam eden sürecinde masa sayıları ile kişi sayıları

arasındaki ilişkiyi veren kuralı ifade etmeleri istenmiştir. Öğrencilerin kuralı ifade ederken de

kelimeler ve değişkenler kullanmaları beklenmiştir. Bu süreçte öğrencilerden bazıları D0, D1, D2

düzeylerindeki öğrencilerden farklı olarak nicelikleri (masa/sıra sayısı ve kişi sayısı) fark etmişler ve

her bir niceliğin kendi arasındaki değişimini belirleyebilmişlerdir. Ayrıca nicelikleri ayrı ayrı belirtmek

yerine koordine edilmiş bir şekilde ifade edebilmişlerdir. Ancak nicelikler arasında herhangi bir

matematiksel ilişki kuramamışlardır. Bu düzeye örnek olarak üçüncü sınıf öğrencisinin yanıtı Şekil

5’te gösterilmiştir.


Cilt 7 / Sayı 1, 2019



357

Şekil 5’te görüldüğü gibi, öğrenci masa ve kişi olarak nicelikleri kullanmış ve her masaya oturan kişi

sayısındaki değişimi doğru olarak belirtmiştir. Ancak bu değişimi sadece her niceliğe ilişkin

yazabilmiş, masa sayısı ile kişi sayısı arasındaki matematiksel ilişkiyi kuramamıştır.

Birebir Eşleyerek Düşünme

Bu düşünmede öncelikle kovaryans düşünmenin gerçekleşmesi yani iki nicelik (masa sayısı ve kişi

sayısı) arasındaki ilişkinin kurulması gereklidir. Birebir eşleyerek düşünmenin göstergesi ise iki nicelik

arasındaki ilişkinin fonksiyonel olarak tanımlanmasıdır. Bu düşünme fonksiyonel düşünmenin

hiyerarşik olarak gözlenebildiği düşünme şeklidir ve dört alt düzeye ayrılmaktadır.

D4. Fonksiyonel Özel: Bu düzeydeki bazı öğrenciler D3 düzeyindeki öğrencilerden farklı olarak

sadece belirli durumlar için masa sayısı ve kişi sayısı arasındaki fonksiyonel ilişkiyi tanımlayabilmişler

ancak fonksiyonel ilişkiyi genelleyememişlerdir. Öğrenciler kendilerine verilen girdi değerine (100

masa) karşılık bir çıktı değeri (kişi) elde edebilmiş, aynı zamanda belirli örneklerden yola çıkarak bir

kural yazmaya da çalışmışlardır. Ancak bu süreçte öğrenciler niceliklerin var olduğunu sezgisel olarak

fark etmişler buna karşın yazdıkları kuralda nicelikleri ifade edememişlerdir. Diğer yandan fonksiyonel

özel düzeyindeki bu öğrenciler matematiksel ilişkileri toplamsal ve çarpımsal olarak iki şekilde ifade

edebilmişlerdir.

D4.1. Toplamsal İlişki: Öğrenciler bu düzeyde yazdıkları matematiksel ilişkilere niceliklerin toplamsal

ilişkisinden yola çıkarak ulaşmışlardır. Bu düzeye Şekil 6’da sunulan beşinci sınıf öğrencisinin yanıtı

örnek olarak gösterilebilir.


Şekil 6’da görüldüğü gibi, örüntünün uzak bir adımının sorulduğu soruya öğrenci 100+100=200

şeklinde yanıt vererek niceliklerin toplamsal ilişkisini kullanmıştır.

D4.2. Çarpımsal İlişki: Öğrenciler bu düzeyde yazdıkları matematiksel ilişkilere niceliklerin çarpımsal

ilişkisinden yola çıkarak ulaşmışlardır. Bu düzeye Şekil 7’de sunulan üçüncü sınıf öğrencisinin yanıtı





358


Şekil 7’de görüldüğü gibi, öğrenci masa sayısı ile kişi sayısı arasındaki ilişkiyi 1x2=2, 2x2=4, 3x2=6

… şeklinde niceliklerin çarpımsal ilişkisini kullanarak ifade etmiştir.

Öte yandan öğrencilerden bazıları çarpımsal ilişkiyi sadece y=mx genel kuralına sahip görev 1 de

kullanabilirken, bazıları hem y=mx hem de y=mx+n genel kuralına sahip görev 1 ve görev 2 de

kullanabilmiştir. Örneğin bazı öğrenciler sadece y=mx şeklindeki matematiksel ilişkiye niceliklerin

çarpımsal ilişkisinden yola çıkarak ulaşmışlar, y=mx+n şeklindeki matematiksel ilişkilerde eksik ya da

hatalı olarak niceliklerin çarpımsal ilişkisini kullanmışlardır. Bu düzeye Şekil 8’de sunulan beşinci

sınıf öğrencisinin yanıtı örnek olarak gösterilebilir.


Şekil 8’de görüldüğü gibi, öğrencinin genel kuralı y=mx+n olan ifade için yazmış olduğu sözel kural

hatalıdır. Öğrenci burada görev 2 için geçerli olan kuralı (y=mx+n), görev 1 için geçerli olan kurala

(y=mx) genellemiştir. Yani öğrenci y=mx şeklindeki ifadeyi temsil eden “bir masada 4 kişi oturmuş

oldu”, 1 ile 4’ü çarparsak 4 olur, 4 ile 4’ü çarparsak 16 olur. Yani her kişi sıra sayısını 4 ile

çarpacağız. Çünkü bir masada 4 kişi olur” şeklinde bir sözel kural yazmıştır. Ancak hatalı da olsa

yazdığı matematiksel ifade de masa sayısı ile kişi sayısı arasında çarpımsal ilişkiyi kullanmıştır.

Şekil 9’da sunulan örnek ise dördüncü sınıf öğrencisinin hem y=mx hem de y=mx+n genel kuralına

sahip görevlerdeki matematiksel ilişkilere niceliklerin çarpımsal ilişkisinden yola çıkarak ulaşıldığının

bir göstergesidir.

Cilt 7 / Sayı 1, 2019



359

Şekil 9. Dördüncü Sınıf Öğrencisinin Çözümü

Burada öğrencinin y=mx+n biçimindeki göreve ilişkin matematiksel ifadeyi niceliklerin çarpımsal

ilişkisini kullanarak doğru bir şekilde ifade ettiği görülmektedir. Öğrenci burada Fonksiyonel Özel

düzeyinin bir özelliği olarak belirli bir örnek için fonksiyonel ilişkiyi tanımlamıştır.

D5. Temel Fonksiyonel: Fonksiyonel ilişkinin temel özelliklerinin oluşmaya başladığını gösteren bu

düzeyde yer alan öğrenciler, D4 düzeyindeki öğrencilerden farklı olarak masa sayısı ve kişi sayısı

arasındaki fonksiyonel ilişkiyi eksik de olsa ifade edebilmişler, aynı zamanda nicelikleri de

tanımlayabilmişlerdir. Ancak bu nicelikler arasındaki dönüşümü açıkça ifade edememişlerdir. Bu

düzeyin iki alt düzeyi de söz konusudur. Bu alt düzeylerde yer alan öğrencilerden bazıları fonksiyonel

ilişkiyi sadece kelimelerle bazıları da kelimelerin yanı sıra değişkenleri de kullanarak ifade

edebilmişlerdir.

D5.1. Kelimelerle Ortaya Çıkan: Bu düzeyde yer alan öğrenciler kelimeleri kullanarak masa sayısı ile

kişi sayısı arasındaki fonksiyonel kuralı eksik olarak belirlemişlerdir. Belirledikleri kuralda bir nicelik

üzerinde matematiksel dönüşüm tanımlamışlar, ancak bu dönüşümü diğer nicelikle açıkça

ilişkilendirememişler ya da niceliklerden birini açıkça tanımlayamamışlardır. Şekil 10’da sunulan

dördüncü sınıf öğrencisinin yanıtı ve Şekil 11’de sunulan beşinci sınıf öğrencisinin yanıtı bu düzeye


Şekil 10. Dördüncü Sınıf Öğrencisinin Çözümü Şekil 11. Beşinci Sınıf Öğrencisinin Çözümü

Şekil 10’da görüldüğü gibi, dördüncü sınıf öğrencisinin “Sıra sayısını 2 ile çarparsak doğru sonuç

çıkar” şeklindeki ifadesi niceliklerden yalnızca birinden bahsettiğini iki nicelik arasındaki




360

matematiksel dönüşümü henüz tam olarak tanımlayamadığını göstermektedir. Benzer şekilde Şekil

11’de görüldüğü gibi, beşinci sınıf öğrencisinin genel kuralı y=mx+n olan göreve ilişkin ifadeyi “Ben

burada yine aynısını yaparım. Masa sayısı ile 2 çarpıp 2 eklememiz lazım buradaki kural (2. adımı

işaret ediyor) ise 4 ile başlayıp 2’şer 2’şer devam edebiliriz” şeklinde kelimelerle eksik bir şekilde

tanımlaması bu düzeye ait başka bir örnektir.

D5.2. Değişkenlerle Ortaya Çıkan: Bu düzeydeki öğrenciler masa sayısı ile kişi sayısı arasındaki

fonksiyonel kuralı kelimelerin yanı sıra değişkenler kullanarak eksik olarak belirleyebilmişlerdir.

Belirledikleri kuralda bir nicelik üzerinde matematiksel dönüşüm tanımlamışlar, ancak bu dönüşümü

diğer nicelikle açıkça ilişkilendirememişler ya da niceliklerden birini açıkça tanımlayamamışlardır. Bu

öğrenciler ifadede yeni bir değişken kullanmak yerine aynı değişkenin özel bir sayısını

kullanabilmişlerdir. Şekil 12’de sunulan üçüncü sınıf öğrencisinin yanıtı ve Şekil 13’te sunulan

dördüncü sınıf öğrencisinin yanıtı bu düzeye örnek olarak gösterilebilir.

Şekil 12. Üçüncü Sınıf Öğrencisinin Şekil 13. Dördüncü Sınıf Öğrencisinin Çözümü

Şekil 12’de görüldüğü gibi, öğrenci masa sayısı ile kişi sayısı arasındaki ilişkiyi harfli ifade kullanarak

bir eşitlik ile belirtmiştir. Ancak burada nicelikleri tam olarak doğru ifade edememiştir. Burada öğrenci

katsayıya bir değişken atamış ve “axb=b” şeklinde bir eşitlik oluşturmuştur. Benzer olarak Şekil 13’te

görüldüğü gibi, bir başka öğrenci de Görev 2 için belirli örnekler üzerinden fonksiyonel kuralı “axb+b,

bxb+b, sxm=m ve m+s=m” şeklinde değişkenler kullanarak ifade etmeye çalışmış ancak doğru bir

kural yazamamıştır.

D6. Gelişen Fonksiyonel: Bu düzeydeki öğrenciler D5 düzeyindeki öğrencilerden farklı olarak

fonksiyonel ilişkideki nicelikleri hem kelimelerle hem de değişkenlerle doğru bir şekilde ifade

edebilmişler, aynı zamanda nicelikler arasındaki matematiksel dönüşümü de açıkça tarif

edebilmişlerdir. Bu düzeyin de D5 düzeyinde olduğu gibi iki alt düzeyi söz konusudur. Bu alt

düzeylerde yer alan öğrencilerden bazıları fonksiyonel ilişkiyi sadece kelimelerle bazıları da

kelimelerin yanı sıra değişkenleri de kullanarak ifade etmişlerdir.

D6.1. Kelimelerle Ortaya Çıkan: Bu düzeydeki öğrenciler kelimeler kullanarak masa sayısı ile kişi

sayısı arasında doğru bir fonksiyonel ilişkiyi belirlemişlerdir. Bu fonksiyonel ilişki iki nicelik arasında

genelleştirilmiş ilişkiyi tanımlamaktadır. Bu ilişkide bir niceliğin dönüşümü ile diğer bir nicelik elde

edilmektedir. Şekil 14’de sunulan dördüncü sınıf öğrencisinin yanıtı ve Şekil 15’te sunulan beşinci

sınıf öğrencisinin yanıtı bu düzeye örnek olarak gösterilebilir

Cilt 7 / Sayı 1, 2019



361


Şekil 14’te görüldüğü gibi, öğrenci genel kuralı y=mx biçimindeki göreve ilişkin ifadeyi “masa sayısı

ile kişi sayısı arasındaki ilişki şudur her bir masaya 2 kişi oturabildiği için kişi sayısı masa sayısının

hep 2 katıdır” şeklinde kelimelerle ifade etmiştir. Bu açıklamadan öğrencinin masa sayısı ile kişi sayısı

arasındaki fonksiyonel ilişkiyi “hep” kelimesini kullanarak bütüne genelleyebildiği de görülmektedir.

Şekil 15’te ise bir başka öğrenci genel kuralı y=mx+n olan görevi “ … kişi sayısı masa sayısının iki

katının iki fazlası olur” şeklinde kelimelerle doğru bir şekilde ifade edebildiği görülmektedir.

D6.2. Değişkenlerle Ortaya Çıkan: Bu düzeydeki öğrenciler kelimelerin yanı sıra değişkenler

kullanarak da doğru bir fonksiyonel ilişki belirlemişlerdir. Belirledikleri ilişkide nicelikler arasındaki

dönüşümü ifade ederken eşitlik kullanmışlardır. Bu eşitlik iki nicelik arasındaki genelleştirilmiş ilişkiyi

tanımlamakta, bir niceliğin dönüşümü aracılığı ile diğer bir nicelik elde edilmektedir. Şekil 16’te

sunulan dördüncü sınıf öğrencisinin yanıtı ve Şekil 17’da sunulan beşinci sınıf öğrencisinin yanıtı bu

düzeye örnek olarak gösterilebilir.


Şekil 16’da görüldüğü gibi, öğrenci masa sayısı ile kişi sayısı arasındaki fonksiyonel ilişkiyi

değişkenlerin etiket anlamını (masa sayısı için m harfi, kişi sayısı için k harfi) kullanarak doğru bir

şekilde ifade etmiştir. Şekil 17’de ise bir başka öğrencinin fonksiyonel ilişkiyi ilginç bir şekilde iki

eşitlik kullanarak ifade ettiği görülmektedir. Bu öğrenci önce sıra sayısına karşılık gelen değişkeni a

harfi ile temsil etmiş ve kişi sayısını c ile temsil ederek ax2=c eşitliğini oluşturmuştur. Daha sonra kişi




362

sayısına sabit terimi ekleyerek yeni oluşan kişi sayısını da d harfi ile temsil ederek “c+2=d” şeklinde

ikinci eşitliğini yazmıştır.

D7. Temel Düzeyde Nesne Olarak Fonksiyon: Bu düzeyde yer alan bir öğrenci belirlediği fonksiyonel

ilişkiye yönelik oluşturduğu genel kuraldaki değişkenleri soyutlayarak o değişkenlerin yerine farklı

nesnelerin gelebileceğini ifade etmiştir. Şekil 18’de sunulan dördüncü sınıf öğrencisinin yanıtları bu

düzeye örnek olarak gösterilebilir.

Şekil 18. Dördüncü Sınıf Öğrencisinin Çözümleri

Şekil 18’de görüldüğü gibi, öğrenci genel kuralı y=mx ve y=mx+n olan görevlere ilişkin matematiksel

ifadelerdeki değişkenleri soyutlayarak o değişkenlerin yerine başka nesneleri atamıştır. Diğer bir

değişle bu öğrenci öncelikle masa sayısı ile kişi sayısı arasındaki fonksiyonel ilişkiyi değişkenler

kullanarak doğru bir şekilde ifade etmiş yanı sıra bulduğu kuraldaki masa sayısı ile kişi sayısı

şeklindeki nicelikler yerine çift ve çorap sayısı şeklinde farklı nesneler kullanabilmiştir.

Üçüncü, Dördüncü ve Beşinci sınıf Öğrencilerinin Fonksiyonel Düşünme Düzeylerine İlişkin

Betimsel Bulgular

Öğrenciler verdikleri yanıtlar doğrultusunda genel kuralı y=mx olan matematiksel ifadeleri genelleme

becerilerine göre (Görev 1), tanımlanan fonksiyonel düşünme düzeylerine atanmışlardır. Her bir

fonksiyonel düşünme düzeylerinde yer alan öğrenci sayıları tüm sınıf düzeyleri için belirlenmiş daha

sonra öğrencilerin düzeylerde yer alma yüzdeleri hesaplanmıştır. Hesaplanan yüzdeler tablo temsili ile

Tablo 5’te, grafik temsili ile Şekil 19’da sunulmuştur.

Cilt 7 / Sayı 1, 2019



363

Tablo 5.

Genel Kuralı y=mx Olan Göreve İlişkin Öğrencilerin Fonksiyonel Düşünme Düzeylerinde Yer Alma

Yüzdeleri

DÜZEYLER

y=mx

3. Sınıf 4. Sınıf 5. Sınıf

Fonksiyonel Düşünme Yok D0: Ön-Yapısal %2.2 %0 %8.6

Varyasyonel Düşünme D1: Yinelemeli-Özel %20 %11.1 %0

D2: Yinelemeli-Genel %15.6 %8.3 %0

Kovaryans

Düşünme

D3: Karşılıklı Değişim %0 %2.8 %2.9

Birebir

Eşleyerek

Düşünme

D4:

Fonksiyonel

Özel

D4.1:

Toplamsal

İlişki

%0 %0 %2.9

D4.2:

Çarpımsal

İlişki

%46.7 %44.4 %34.2

D5: Temel

Fonksiyonel

D5.1:

Kelimelerle

Ortaya Çıkan

%8.9 %19.4 %8.6

D5.2:

Değişkenlerle

Ortaya Çıkan

%2.2

%0

%0

D6: Gelişen

Fonksiyonel

D6.1:

Kelimelerle

Ortaya Çıkan

%4.4 %8.3 %11.4

D6.2:

Değişkenlerle

Ortaya Çıkan

%0 %2.8 %31.4

D7: Nesne Olarak Fonksiyon %0 %2.8 %0

Şekil 19. Genel Kuralı y=mx Olan Göreve İlişkin Öğrencilerin Fonksiyonel Düşünme Düzeylerinde

Yer Alma Yüzdeleri




364

Tablo 5’te ve Şekil 19’da görüldüğü gibi, öğrencilerin genel kuralı y=mx olan göreve ilişkin

matematiksel ifadeleri genelleme becerilerine göre düzeylerde yer alma yüzdeleri incelendiğinde her

üç sınıf düzeyi için de öğrencilerin büyük bir kısmının Fonksiyonel Özel-Çarpımsal İlişki düzeyinde

yer aldığı görülmüştür. Üçüncü sınıf öğrencilerinin %4.4’ünün Temel Fonksiyonel-Kelimelerle Ortaya

Çıkan düzeye kadar çıkabildiği gözlemlenmiştir. Aynı zamanda dördüncü sınıf öğrencilerinin

%2.8’inin en üst düzey olan Nesne Olarak Fonksiyon düzeyine kadar çıkabildiği oldukça dikkat çekici

bir bulgu olmuştur. Diğer yandan beşinci sınıf öğrencilerinin ise kayda değer bir çoğunluğunun

(%31.4) Gelişen Fonksiyonel-Değişkenlerle Ortaya Çıkan düzeyde yer aldığı görülmüştür.

Benzer şekilde öğrenciler verdikleri yanıtlar doğrultusunda genel kuralı y=mx+n olan göreve ilişkin

matematiksel ifadeleri genelleme becerilerine göre tanımlanan fonksiyonel düşünme düzeylerine

atanmışlardır. Her bir fonksiyonel düşünme düzeylerinde yer alan öğrenci sayıları tüm sınıf düzeyleri

için belirlenmiş daha sonra öğrencilerin düzeylerde yer alma yüzdeleri hesaplanmıştır. Hesaplanan

yüzdeler tablo temsili ile Tablo 6’da, grafik temsili ile Şekil 20’de sunulmuştur.

Tablo 6.

Genel Kuralı y=mx+n Olan Göreve İlişkin Öğrencilerin Fonksiyonel Düşünme Düzeylerinde Yer Alma

Yüzdeleri

DÜZEYLER

y=mx+n

3. Sınıf 4. Sınıf 5. Sınıf

Fonksiyonel Düşünme Yok D0: Ön-Yapısal %26.7 %16.7 %8.6

Varyasyonel Düşünme D1: Yinelemeli-Özel %6.7 %2.8 %0

D2: Yinelemeli-Genel %4.4 %0 %0

Kovaryans

Düşünme

D3: Karşılıklı Değişim %13.3 %11.1 %14.2

Birebir

Eşleyerek

Düşünme

D4:

Fonksiyonel

Özel

D4.1: Toplamsal İlişki %0 %0 %0

D4.2:

Çarpımsal

İlişki

y=mx+n

de “n”

sabitini

göz ardı

etme

%28.9 %33.3 %22.9

y=mx+n %17.8 %25 %14.2

D5: Temel

Fonksiyonel

D5.1: Kelimelerle Ortaya

Çıkan

%2.2 %5.6 %8.6

D5.2: Değişkenlerle

Ortaya Çıkan

%0 %2.8 %5.7

D6: Gelişen

Fonksiyonel

D6.1: Kelimelerle Ortaya

Çıkan

%0 %0 %2.9

D6.2: Değişkenlerle

Ortaya Çıkan

%0 %0 %22.9

D7: Nesne Olarak Fonksiyon %0 %2.8 %0

Cilt 7 / Sayı 1, 2019



365

Şekil 20. Genel Kuralı y=mx+n Olan Göreve İlişkin Öğrencilerin Fonksiyonel Düşünme Düzeylerinde

Yer Alma Yüzdeleri

Tablo 6’da ve Şekil 20’de görüldüğü gibi, öğrenciler genel kuralı y=mx+n olan göreve ilişkin

fonkşiyonel ilişkileri genelleme becerilerine göre düzeylerde yer alma yüzdeleri incelendiğinde her üç

sınıf düzeyi içinde öğrencilerin büyük bir kısmının Fonksiyonel Özel-Çarpımsal İlişki düzeyinde yer

aldığı görülmüştür. Aynı zamanda üçüncü sınıf öğrencilerinin %2.2’sinin Temel Fonksiyonel-

Kelimelerle Ortaya Çıkan düzeye kadar çıkabildiği gözlenmiştir. Dördüncü sınıf öğrencilerinin ise

%2.8’inin en üst düzey olan Temel Düzeyde Nesne Olarak Fonksiyon düzeyine kadar çıkabildiği

gözükmektedir. Ancak bu durumun istisna olduğu genel olarak dördüncü sınıf öğrencilerinin Temel

Fonksiyonel-Değişkenlerle Ortaya Çıkan düzeye (%2.8) kadar çıkabildiği söylenebilir. Beşinci sınıf

öğrencilerinin ise yine kayda değer bir çoğunluğunun (%22.9) Gelişen Fonksiyonel-Değişkenlerle

Ortaya Çıkan düzeyde yer aldığı görülmüştür. Ayrıca Tablo 6’da görüldüğü gibi, üçüncü sınıf

öğrencilerinin %28.9’u, dördüncü sınıf öğrencilerinin %33.3’ü ve beşinci sınıf öğrencilerinin %22.9’u

y=mx+n olan göreve ilişkin fonksiyonel ilişkiyi belirlerken “n” sabitini göz ardı ederek genelleme

yapmışlardır. Öte yandan verilen örüntüde herhangi bir matematiksel ilişki kuramayarak her üç sınıf

düzeyinde de D0’da yer alan öğrencilerin olduğu görülmüştür. Özellikle dördüncü ve beşinci sınıftaki

bazı öğrencilerin bu düzeyde bulunmaları oldukça dikkat çekici olmuştur. D1 ve D2 düzeylerinde ise

üçüncü ve dördüncü sınıftan öğrencilerin bulunduğu, beşinci sınıftan hiçbir öğrencinin bulunmadığı

gözlenmiştir. Bu bağlamda D0’da bulunan beşinci sınıf öğrencilerinin istisna olduğu, beşinci sınıfların

D3’ten itibaren düzeylerde yer aldığı söylenebilir.

Sonuç, Tartışma ve Öneriler

Cebir öncesi dönemde yer alan öğrencilerin fonksiyonel düşünme düzeylerinin belirlendiği bu

araştırmanın önemli sonuçlarından biri alanyazında bulunan fonksiyonel düşünme düzeylerine ek

olarak (Blanton vd., 2015; Stephens vd., 2017) bazı düzeylere ilişkin alt düzeylerin ve yeni bir düzeyin

oluşturulmasıdır. Bu durum mevcut düzeyler ile bir karşılaştırmanın yapılması açısından önemlidir.

Araştırmada elde edilen bir diğer önemli sonuç ise üçüncü sınıf öğrencilerinin yaklaşık yarısının,

dördüncü ve beşinci sınıf öğrencilerin ise yarısından fazlasının fonksiyonel düşünmenin var olduğunu

gösteren düzeylerde (D3, D4, D5, D6, D7) yer almalarıdır. Aynı zamanda kovaryans düşünme




366

kapsamında ele alınan düzeylerde yer alan bu öğrenciler her bir nicelikteki değişimi kendi içinde

belirleyerek nicelikleri birbirleriyle koordine edebilmişlerdir (Confrey ve Smith, 1995). Bu durum

Türkiye’de cebir öncesi dönemde yer alan bu öğrencilerin fonksiyonel düşünebildiğinin bir

göstergesidir. Elde edilen sonuç bu öğrencilerin cebirin temel kavramlarını daha kolay edinebilmelerini

sağlama açısından önemlidir. Alanyazındaki fonksiyonel düşünme üzerine gerçekleştirilen pek çok

çalışmada da (Blanton ve Kaput, 2004; Blanton ve Kaput, 2011; Blanton vd.,2015; Miller, 2016;

Warren ve Cooper, 2005; Warren, Cooper ve Lamb 2006) öğrencilerin erken yaşlardan itibaren fonksiyonel düşünme becerisine sahip olabildiğini göstermektedir. Bu çalışmalar da, küçük çocukların

nicelik ve nicelikler arasındaki ilişkiyi tanımlayabildikleri ve gelişiminin de okulöncesinden itibaren

başlaması gerektiği vurgulanmaktadır (Warren, Cooper ve Lamb, 2006). Bu bağlamda araştırmadan

elde edilen bu sonuç Türkiye’de ilköğretim matematik dersi öğretim programının cebir öncesini

desteklediğinin bir göstergesi olabilir.

Oluşturulan fonksiyonel düşünme düzeylerine göre araştırmada üçüncü ve dördüncü sınıf

öğrencilerinden bazılarının yalnızca varyasyonel düşünme kapsamında yinelemeli örüntüye

odaklandığı ve daha üst düzeylere çıkamadığı sonucuna ulaşılmıştır. Çeşitli araştırmalar da bu duruma

benzer olarak öğrencilerin başlangıçta değişen nicelikler arasındaki ilişkilerden ziyade bağımlı

değişkendeki yinelemeli örüntüye odaklanma eğiliminde oldukları öne sürülmektedir (Lannin vd.

2006; Carraher vd., 2008; Warren ve Cooper, 2008). Araştırmalar yinelemeli örüntülerin küçük

yaştaki çocukların fonksiyonel düşünmelerinin gelişiminde nicelikler arasındaki ilişkileri anlamalarının

ön koşulu olabileceğini ve bu ilişkiler hakkında düşünmelerini kolaylaştırabileceğini savunmalarına

karşın (Blanton vd., 2015; Herbert ve Brown, 1997; Kabael ve Tanışlı, 2010), Blanton ve Kaput (2011)

erken yaşlarda yinelemeli örüntülere soyut bir şekilde vurgu yapılmasının öğrencilerin kovaryans ve

birebir eşleyerek düşünmelerinin gelişimlerini engellediğini ileri sürmüştür. Bu nedenle öğrencilerin

fonksiyonel düşünebilme gelişimlerini engellememesi amacı ile erken yaşlardan itibaren öğretimi

başlanan örüntülerin iki ya da daha çok niceliğin birbirlerine göre nasıl değiştiğine vurgu yapılarak ele

alınması gerektiği söylenebilir.

Araştırmadan çıkarılan bir başka sonuç ise hem genel formu y=mx olan görev hem de genel formu

y=mx+n olan görev için her sınıf düzeyindeki öğrencilerin büyük bir çoğunluğu Fonksiyonel Özel-

Çarpımsal İlişki düzeyinde yer almalarıdır. Öğretim programında çarpma işleminin üçüncü sınıftan

itibaren başlaması ve dördüncü, beşinci sınıflarda da devam etmesi öğrencilerin büyük bir

çoğunluğunun Çarpımsal İlişki düzeyinde yer almasında etkisi olduğu düşünülebilir.

Araştırmada yanı sıra bazı öğrenciler fonksiyonel ilişkinin genel kuralını önce sözel olarak açıklamış,

daha sonra değişken kullanarak ifade etmişlerdir. Ancak Stephens ve arkadaşlarının (2017) yapmış

olduğu çalışmada ise bu durumun aksine bir durum gözlenmiş ve öğrencilerin ilişkilerin altında yatan

genel ifadeleri önce sembol kullanarak tanımlayabilme eğiliminde oldukları ifade edilmiştir. Stephens

ve arkadaşları çalışmalarında cebir öncesi dönemde yer alan öğrencilere değişken kavramının

verilebileceğini savunmuşlar ve öğrencilere bu yönde bir öğretim vermişlerdir. Dolayısıyla değişken

kullanma eğiliminin sözel açıklamadan önce ortaya çıkması verilen eğitimin bir sonucu olabilir. Diğer

yandan araştırmada elde edilen diğer bir sonuç ise her iki göreve ilişkin temel fonksiyonel düzeyde

sözel olarak ilişkiyi açıklama yüzdeleri beşinci sınıf öğrencilerinde en düşük iken, gelişen fonksiyonel

düzeyde değişken kullanarak ilişkiyi açıklama yüzdeleri beşinci sınıf öğrencilerinde en yüksek olarak

gözlenmiştir. Bu durum beşinci sınıf öğrencilerinin değişken kullanmaya daha hazır olduklarını ve

değişken kullanmaya başladıklarında ise sözel açıklamalarının azaldığı şeklinde açıklanabilir. Nitekim

Stephens ve arkadaşlarının gerçekleştirdikleri çalışmada bu düşünceyi desteklemektedir.

Cilt 7 / Sayı 1, 2019



367

Araştırmada dördüncü ve beşinci sınıftaki bazı öğrencilerin genel kuralı y=mx ve y=mx+n olan

ifadeleri doğru bir şekilde genellemesi, bu ifadeleri önce sözel daha sonra değişkenler yardımıyla

temsil edebilmesi, yanı sıra üçüncü sınıftaki öğrencilerden bazılarının da tam olarak doğru olmasa da

ifadeleri genellemeye çalışması da önemli sonuçlardan biridir. Türkiye’de matematik dersi öğretim

programında değişken kavramının altıncı sınıfta başlaması ve araştırmadaki öğrencilerin harfli

ifadelerle ilgili herhangi bir deneyimlerinin olmaması bu sonucun nedenini sorgulamaktadır. Her ne

kadar araştırma kapsamındaki öğretmenlerden bu konuya ilişkin bilgi edinilmese de bu öğretmenlerin

sınıf uygulamalarında değişken kullanımı yönünde bir çalışma yapmış olma ihtimalini akla

getirmektedir. Son zamanlarda yapılan çalışmalar da elde edilen bu sonuçları destekleyecek biçimde

erken yaştaki öğrencilerin matematiksel ilişkileri ve yapıları genelleyebildiklerini göstermiştir (Blanton

vd.,2015; Carraher, Martinez ve Schliemann, 2008; Martinez ve Brizuela, 2006; Stephens vd., 2017;

Warren, Cooper ve Lamb, 2006; Wilkie, 2016).

Araştırmada aynı zamanda her sınıf düzeyinde bazı öğrenciler genel kuralı y=mx+n biçiminde verilen

örüntüyü genellerken (genel kuralı y=mx e göre) daha zorlanmışlar ve matematiksel ilişkiyi

kuramamışlardır. Stephens ve arkadaşları (2015) ile Blanton ve arkadaşları (2015) tarafından

gerçekleştirilen çalışmalarda da benzer bir sonuç elde edilmiştir. Öğrencilerin genel formu y=mx+n

olan örüntüde sabit terimi göz ardı etmelerinin ve problem bağlamı ile sabit terimi

ilişkilendirememelerinin bu sonucu doğurduğu söylenebilir.

Araştırmanın bir başka sonucu ise dördüncü sınıf öğrencilerinden birinin ilginç bir şekilde fonksiyonel

düşünme düzeylerinden en üst düzeye atanmasıdır. Öğrenci hem y=mx formundaki hem de y=mx+n

formundaki ifadeleri genelleyerek doğru bir fonksiyonel kuralı hem sözel hem de değişkenlerin etiket

anlamını yani kişi ve masa kelimelerinin baş harflerini kullanarak ifade etmiştir. Dahası yazdığı genel

kuraldaki değişkenleri soyutlayarak temel düzeyde nesne olarak fonksiyon düzeyine kadar çıkmıştır.

Öğrencinin bu düzeye kadar çıkabilmesinin nedenleri arasında öğrencinin sosyo-ekonomik düzeyi, ön

deneyimi ya da öğretmen faktörü gösterilebilir. Benzer şekilde beşinci sınıf öğrencilerinin önemli bir

çoğunluğu da her iki görev için de fonksiyonel ilişkiyi doğru bir şekilde hem sözel hem de

değişkenlerle temsil etmişlerdir. Yazılan genel kurallarda bazı öğrenciler değişkenlerin etiket

anlamının dışına çıkarak farklı harfleri ya da sembolleri kullanmışlardır. Bunun yanı sıra öğrencilerden

bazıları ikinci görevin genel kuralını iki farklı eşitlikten yola çıkarak iki adımda yazmıştır. Bu sınıf

düzeyindeki öğrencilerin henüz cebirsel ifadelerle karşılaşmamış olmasına karşın sahip oldukları

fonksiyonel düşünebilme ve genelleme becerileri oldukça umut vericidir. Aynı zamanda bazı üçüncü

sınıf öğrencilerinin de tam olarak doğru ifade etmemiş olsalar da eşitlik işareti kullanarak değişkenlerle

fonksiyonel ilişkinin kuralını yazmaya çalışmaları önemlidir.

Öğretim programları incelendiğinde değişken kavramının yer aldığı kazanımların altıncı sınıftan

itibaren başladığı dikkate alındığında öğrencilerin herhangi bir öğretim almadan harfli ifadeleri doğru

bir şekilde kullanabilmesi oldukça sevindiricidir. Buradan hareketle öğretim programlarına cebirsel

düşünmeyi, özel olarak fonksiyonel düşünmeyi, geliştirici etkinliklerin eklenmesi öğrencilerin daha

sonra cebir ve ileri matematikte yaşayacakları problemlerin üstesinden daha kolay gelmelerini

sağlayabilir. Aynı zamanda öğretmen faktörünün öğrencilerin fonksiyonel düşünme becerileri

üzerinde önemli etkilerinin olduğu düşünülmektedir. Bu nedenle öğretmenlere eksik oldukları

noktalarda hizmet içi, web destekli vb. eğitimler verilerek onların mesleki gelişimlerinin arttırılması

sağlanabilir. Yanı sıra daha büyük örneklemli ve sosyo-ekonomik düzeyleri farklı okullarda öğrenim

gören öğrencilerin fonksiyonel düşünmeleri üzerine büyük çaplı çalışmalar yapılabilir.




368

Kaynaklar/References

Akkan, Y., Baki, A., & Çakıroğlu, Ü. (2011). Aritmetik ile cebir arasındaki farklılıklar: Cebir öncesinin önemi.

İlköğretim Online, 10(3), 812-823.

Amit, M., & Neria, D. (2008). “Rising to the challenge”: Using generalization in pattern problems to unearth the

algebraic skills of talented pre-algebra students. The International Journal on Mathematics Education,

40, 111-129.

Blanton, M.L. (2008). Algebra and the elementary classroom. Transforming thinking, transforming practice.

Portsmouth, NH: Heinemann.

Blanton, M. L., & Kaput, J. J. (2004). Elementary grade students’ capacity for functional thinking. In M. J.

Høines, & A. B. Fuglestad (Eds.), Proceedings of the 28th conference of the international group for the

psychology of mathematics education (Vol. 2, pp. 135–142). Bergen, Norway: PME.

Blanton, M. L., & Kaput, J. J. (2011). Functional thinking as a route into algebra in the elementary grades. In J.

Cai & E. Knuth (Eds.), Early algebraization: A global dialogue from multiple perspectives (pp. 5–23).

Heidelberg, Germany: Springer.

Brizuela, B. M., Blanton, M., Sawrey, K., Newman-Owens, A., & Gardiner, A. (2015). Children’s use of

variables and variable notation to represent their algebraic ideas. Mathematical Thinking and Learning,

17(1), 34–63. doi:10.1080/ 10986065.2015.981939

Blanton, M., Brizuela, B. M., Gardiner, A., Sawrey, K., & Newman-Owens, A. (2015). A learning trajectory in

six-year-olds’ thinking about generalizing functional relationships. Journal for Research in Mathematics

Education, 46(5), 511-558.

Carraher, D.W., Martinez, M.V., & Schliemann, A.D. (2008). Early algebra and mathematical generalization.

The International Journal on Mathematics Education, 40, 3-22.

Carraher, D. W., Schliemann, A. D., Brizuela, B. M., & Earnest, D. (2006). Arithmetic and algebra in early

mathematics education. Journal for Research in Mathematics Education, 37, 87-115.

Confrey, J. Smith, E. (1995). Splitting, covariation, and their role in the development of exponential functions.

Journal for Research in Mathematics Education, 26(1), 66-86.

Garcia-Cruz, J.A., & Martinon, A. (1997). Actions and invariant schemata in linear generalizing problems. In E.

Pehkonen (Ed.) Proceeding of the 21th Conference of the International Group for the Psychology of

Mathematics Education, 2, 289-296. Universty of Helsinki.

Herbert, K. & R. Brown. (1997). Patterns as tools for algebraic reasoning. Teaching Children Mathematics, 3,

340-344.

Hoffkamp, A. (2011). The use of interactive visualizations to foster the understanding of concepts of calculus:

design principles and empirical results. The International Journal on Mathematics Education, 43, 359–

372.

Kabael, U. T. & Tanışlı, D. (2010). Cebirsel düşünme sürecinde örüntüden fonksiyona öğretim. İlköğretim

Online, 9(1), 213-228.

Kaput, J. (1998). Transforming algebra from an engine of inequity to an engine of mathematical power by

“algebrafying” the K-12 curriculum. In S. Fennel (Ed.), The nature and role of algebra in the K-14

curriculum: Proceedings of a national symposium (pp. 25–26). Washington, DC: National Research

Council, National Academy Press.

Kaput, J., Carraher, D., & Blanton, M. (2008). Algebra in the early grades. New York, NY: Erlbaum.

Lannin, J. K. (2005). Generalization and justification: The chalenge of introducing algebraic reasoning through

patterning activities. Mathematical Thinking and Learning, 7(3), 231-258.

Cilt 7 / Sayı 1, 2019



369

Lannin, J. K., Barker, D. D., & Townsend, B. E. (2006). Recursive and explicit rules: How can we build student

algebraic understanding?. Journal of Mathematical Behavior, 25, 299-317.

Ley, A. F. (2005). A cross-sectional investigation of elementary school student’s ability to work with linear

generalizing patterns: The impact of format and age on accuracy and strategy choice. Masters Abstract

International, 44(2), 124.

Liamputtong, P. (2009). Qualitative data analysis: conceptual and practical considerations. Health Promotion

Journal of Australia, 20(2), 133-139.

Martinez, M., & Brizuela, B. M. (2006). A third grader’s way of thinking about linear function tables. Journal of

Mathematical Behavior, 25, 285–298.

Merriam, S. B. & Tisdell, E.J. (2016). Qualitative research: A guide to design and implementation (3rd ed). San

Francisco, CA: Jossey-Bass.

Miller, J. (2016, July). Young indigenous students en route to generalising growing patterns. Paper presented of

the 39th Annual Meeting of the Mathematics Education Research Group of Australasia, Adelaide, South

Australia.

National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) (2000). Principles and standards for school mathematics.

Reston, VA: NCTM Publications.

Orton, A. & Orton, J. (1999). Pattern and the approach to algebra. In A. Orton (Ed.), Pattern in the teaching and

learning of mathematics (104-120). London and New York: Cassell.

Rivera, F. (2007). Visualizing as a mathematical way of knowing: understanding figural generalization.

Mathematics Teacher, 101(1), 69-75.

Sasman, M. C., Linchevski, L., & Olivier, A. (1999). Th e infl uence of diff erent representations on children’s

generalisation thinking processes. In J. Kuiper (Eds.), Proceedings of the Seventh Annual Conference of

the Southern African Association for Research in Mathematics and Science Education (pp. 406-415).

Harare, Zimbabwe.

Smith, E. (2003). Representational thinking as a framework for introducing functions in the elementary

curriculum. In J. Kaput, D. Carraher, & M. Blanton (Eds.), The Development of Algebraic Reasoning in

the Context of Elementary Mathematics. ss. 95-132.

Stacey, K. (1989). Finding and using patterns in linear generalising problems. Educational Studies in

Mathematic,. 20, 147-164.

Stephens, A., Fonger, N. L., Blanton, M., & Knuth, E. (2016, April). Elementary Students’ Generalization and

Representation of Functional Relationships: A Learning Progressions Approach. Poster to be presented

at the Annual Meeting of the American Education Research Association, Washington, DC.95-132

Stephens, A. C., Fonger, N. L., Strachota, S., Isler, I., Blanton, M., Knuth, E., & Gardiner, A. (2017). A

learning progression for elementary students’ functional thinking. Mathematical Thinking and

Learning, 19(3), 143-166.

Tanışlı, D. (2011). Functional thinking ways in relation to linear function tables of elementary school students.

Journal of Mathematical Behavior, 30(3), 206-223.

Vollrath, H. J. (1986). Search strategies as indicators of functional thinking. Educational Studies in Mathematics.

17, 387-400.

Warren, E. & Cooper, T. (2005). Introducing functional thinking in year 2: A case study of early algebra

teaching. Contemporary Issues in Early Childhood, 6 (2), 150-162.

Warren, E., & Cooper, T. J. (2008). Patterns that support early algebraic thinking in the elementary school. In C.

E. Greenes, & R. Rubenstein (Eds.), Algebra and algebraic thinking in school mathematics. 70th

yearbook of the national council of teachers of mathematics (pp. 113–126). Reston, VA: NCTM.




370

Warren, E. A., Cooper, T. J., & Lamb, J. T. (2006). Investigating functional thinking in the elementary

classroom: Foundations of early algebraic reasoning. Journal of Mathematical Behavior, 25, 208–223.

Wilkie, K. J. (2016). Students’ use of variables and multiple representations in generalizing functional

relationships prior to secondary school. Educational Studies in Mathematics, 93, 333–361.

Yeşildere-İmre, S., Akkoç, H. ve Baştürk-Şahin, B. N. (2017). Ortaokul öğrencilerinin farklı temsil biçimlerini

kullanarak matematiksel genelleme yapma becerileri. Turkish Journal of Computer and Mathematics

Education, 8(1), 103-129.

Yazarlar İletişim

Dr. Dilek TANIŞLI, Matematik ve Fen Bilimleri

Eğitimi bölümünde öğretim üyesidir. Çalışma

alanları arasında öğrenme ve öğretme, cebirsel

düşünme ve cebir öğretimi, öğretmen eğitimi ve

öğretmenlerin mesleki gelişimi yer almaktadır

Türkiye, e-posta: [email protected]

Doç. Dr. Dilek TANIŞLI, Anadolu Üniversitesi,

Eğitim Fakültesi, Matematik ve Fen Bilimleri

Eğitimi Bölümü, Yunusemre Kampüsü, Tepebaşı,

26470, Eskişehir, e-mail: [email protected]

Hnadegül TÜRKMEN, Anadolu Üniveristesi

Eğitim Bilimleri Enstitüsü, Matematik Eğitimi

Anabilim Dalı Tezli Yüksek Lisans öğrencisidir.

Handegül TÜRKMEN, Milli Eğitim Bakanlığı

Celtik İsakuşağı Ortaokulu Celtik / Konya

e-mail: [email protected]


Cilt 7 / Sayı 1, 2019



371

Summary

Purpose and Significance. Early algebra focuses on two main areas: Arithmetic generalisation and

functional thinking. Functional thinking, which is the main subject of this study, can be defined as the

relationship between quantity and quantity of the most general cases (Smith, 2003). Functional

thinking should be introduced gradually over a long period of time from an early age (Warren, Cooper,

& Lamb, 2006). Most of the research studies revealed that students have functional thinking skill

during the early ages (Blanton and Kaput, 2004; Warren, Cooper, Lamb, 2006), and that they might

begin to use variable notation to represent relationships between quantities (Blanton et al., 2015), and

that they might successfully represent functional relationships using symbolic expressions. (Wilkie,

2016). Blanton et al. (2015) have provided evidence that early algebraic thinking practices such as

generalization, representation, proof, and reasoning of mathematical relations and structure can be

successfully integrated into classes from an early age. As a result of the research experiments

conducted by the students in the early algebra period, Stephens et al. (2017) have observed that the

students have more and more ideas about the relationship between numbers, the ability to determine

the general rules, and also an increase for the number of students, who can express the general rule of

functional expression with symbols and words. The Turkish elementary mathematics curriculum

emphasises the development of algebraic and functional thinking since 2005, although not in the

manner proposed by the international mathematics education literature. In Turkey, unlike the

international literature, it has attracted attention that very few studies (Tanışlı, 2011) about thinking of

functional for early algebra students have been held. However, in addition to these activities in Turkey,

it is still necessary to investigate functional thinking skills, which have a significant impact on the

achievement of many concepts that students will encounter in different levels of class and different

contexts in the pre-algebra period. In this context, the general purpose of the study is to determine the

students’ levels of generalisation of functional relationships in third, fourth and fifth grade. This

research emphasizes the importance of early algebra on functional thinking skills and also it is thought

that it will contribute to mathematics education literature, programs and their contents in order to

overcome the difficulties in the concept of algebra and function.

Methodology. In this research, a basic qualitative research approach is adopted (Merriam ve Tisdell,

2016). Thus, the level of functional thinking of 116 students in early algebra period was examined by

examining their answers to open-ended questions. The criterion sampling method, which is one of the

purposive sampling methods, was used in the selection of the participants. In this context, a total of

116 volunteer students as 45 students of the third grade, 36 students from the fourth grade, and 35 from

the fifth grade students has participated. Data were collected with open-ended questions. The analysis

of the data was carried out in two stages. In the first stage, thematic analysis method was used to

determine the functional thinking levels of third, fourth and fifth grade students (Liamputtong, 2009).

In the analysis, functional thinking levels developed by Blanton et al. (2015) and Stephens et al. (2017)

were taken into consideration and some of these levels were used in this research. In addition, some

levels of lower levels were also adopted based on the the data obtained.

Results, Discussion and Recommendations. One of the important results of this study, in which the

levels of functional thinking of the students in the early algebra period were determined, is to establish

lower levels of some levels in addition to the levels of functional thinking found in the literature

(Blanton et al., 2015; Stephens et al., 2017). This is important in terms of making a comparison with

existing levels. Another important result of the study is that approximately half of the third year

students and more than half of the fourth and fifth grade students take place at the levels (D3, D4, D5,

D6, D7), which show that functional thinking exists. This case shows that these students involved in




372

early algebra period in Turkey can think functional. This is an indication of functional areas could

think of students in early algebra in Turkey. The result is important for these students to make them

easier to learn the basic concepts of algebra.

According to the level of functional thinking created, it was concluded that some of the third and

fourth grade students focused only on the recursive pattern and could not reach higher levels. Similar

to this, it is suggested that students tend to focus on the recursive pattern in the dependent variable

rather than the relationships between the varying quantities at the beginning (Lannin et al. 2006;

Carraher et al., 2008; Warren and Cooper, 2008). In the research, some students first explained the

general rule of functional relationship by using words and then using variable. However, in a study by

Stephens et al. (2017), an opposite situation was observed and it is stated that the students tend to be

able to define the general expressions underlying the relationships first by using the symbol. On the

other hand, as in the studies carried out by Stephens et al. (2015) and Blanton et al. (2015), some

students at each grade level had more difficulty in generalizing and representing the general rule of

expressions y = mx + n and could not establish a mathematical relationship.

In the pattern with the general form y=mx+n, it can be said that ignoring the fixed term and failing to

associate the fixed term with the problem context lead to this result. In addition, the third and fifth

grade students in the research cannot establish any mathematical relationship with the general form of

y = mx, and the percentage of fifth grade students, who cannot establish this relationship, is higher than

the percentage of third and fourth grade students. It is thought that the class teachers and mathematics

teachers play a role in this situation.

Another result of the research is the appointment of one of the fourth grade students from the level of

functional thinking to the highest level. The reasons for the student to reach this level can be shown as

socio-economic level, preliminary experience or teacher factor. Similarly, a significant majority of the

fifth grade students represented the functional relationship with both words and variables accurately for

both tasks. Although this class level students have not yet encountered algebraic expressions, their

functional thinking and generalization skills are very promising. At the same time, it is important that

some third-year students try to write the rule of the functional relationship with variables by using the

equality sign, even if they have not fully stated correctly. When the curriculums are examined,

considering that the gains from the concept of variable have started from the sixth grade, it is very

pleasing that the students can use the letter expressions without any teaching.

From this point of view, it is possible to add functional thinking, algebraic thinking and developmental

activities to the curriculum and to make it easier for the students to overcome the problems of algebra

and advanced mathematics. At the same time, it was seen that the teacher factor had significant effects

on the students' functional thinking skills. For this reason, teachers can be provided with in-service,

web-supported and similar trainings at points where they are lacking and their professional

development can be increased. In addition, large-scale studies can also be carried out on the functional

thinking of students studying in different schools with larger samples and socio-economic levels.

cebir Öncesi: 3, 4 ve 5. sınıf Öğrencilerinin fonksiyonel İliúkileri … · 2019-02-01 ·...

Documents