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Percursos em um grafo
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Definição
• Um percurso ou cadeia é uma seqüência de arestas sucessivamente adjacentes, cada uma tendo uma extremidade adjacente à anterior e a outra a subsequente (à exceção da primeira e da última)– Percurso fechado: a última aresta da
sucessão é adjacente a primeira;– Percurso aberto: caso contrário
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Notação
• A sucessão é indicada por:– Vértices– Arestas– Vértices e arestas alternados
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Exemplo
e
G
a
b
c
d
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Comprimento de um percurso
• Número de arestas por ele utilizado (incluindo repetições)
• O que é o comprimento de um percurso em um grafo valorado?
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Tipos de percurso
• Simples: não repete arestas
• Elementar: não repete vértices nem arestas (caminho)
• Ciclo: percurso simples e fechado
• Ciclo elementar: só há repetição do último vértice
• Uma corda é uma aresta que une dois vértices não consecutivos de um ciclo
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Percurso abrangente
• Um percurso é abrangente a um dos conjuntos do grafo quando utiliza todos os elementos desse conjunto ao menos uma vez
• Euleriano
• Hamiltoniano
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Conexidade
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Grafo Conexo
• u e v são ditos conectados se existir um caminho entre u e v em G.
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Grafo Conexo
• u e v são ditos conectados se existir um caminho entre u e v em G– Notação: caminho-(u,v)
• G é dito conexo se existir caminho entre quaisquer dois vértices de G
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Grafo Conexo
• u e v são ditos conectados se existir um caminho entre u e v em G– Notação: caminho-(u,v)
• G é dito conexo se existir caminho entre quaisquer dois vértices de G
Relação de Equivalência definida pela conexão entre os vértices
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• Reflexiva
Equivalência
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• Caminho-(u, u)
Equivalência
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• Caminho-(u, u)
• Simétrica
Equivalência
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• Caminho-(u, u)
• Se existe caminho-(u,v) então existe caminho-(v,u)
Equivalência
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• Caminho-(u, u)
• Se existe caminho-(u,v) então existe caminho-(v,u)
• Transitiva
Equivalência
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• Caminho-(u, u)
• Se existe caminho-(u,v) então existe caminho-(v,u)
• Se existem os caminhos-(u,v) e –(v,w) então existe caminho-(u,w)
Equivalência
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Componentes Conexas
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Componentes Conexas
• É possível particionar G em classes de equivalência: V1, V2, ..., Vp tal que dois vértices são conectados se e somente se pertence a um mesmo Vi
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Componentes Conexas
• É possível particionar G em classes de equivalência: V1, V2, ..., Vp tal que dois vértices são conectados se e somente se pertence a um mesmo Vi
• Os subgrafos G(V1), ..., G(Vp) são chamados de componentes conexas de G.
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Maximalidade (Minimalidade)
• Seja S um conjunto e S' S. Diz-se que S' é maximal em relação a uma certa propriedade quando S' satisfaz a propriedade e não existe subconjunto S'' S e S' S'' que também satisfaz . Isto é, S' não está contido propriamente em nenhum subconjunto de S que satisfaz .
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Maximal (Minimal)
• G´ G é maximal em relação a uma propriedade se não houver G’’ G´tal que G” tem a propriedade .
– Componentes conexas: são todos os subgrafos conexos maximais de G.
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Exemplo
G
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Exemplo
G é Conexo
G
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Exemplo
G
G é Conexo
H
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Exemplo
G
G é Conexo
H
H é desconexo
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Exemplo
G
G é Conexo
H
H é desconexo
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Exemplo
G
G é Conexo
H
H é desconexo
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Exemplo
G
G é Conexo
H
H é desconexo
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Exemplo
G
G é Conexo
H
H é desconexo
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Exemplo
G
G é Conexo
H
H é desconexo(G)= número de componentes conexas de G
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Decomposição por ConexidadeConex (s0 V)
entrada: G = (V,E) 1. v ← s0; 2. R(v) ← {v}; 3. Y ← ; 4. enquanto (R(v)) – R(v) faça 5. Y ← (R(v)) – R(v); 6. R(v) ← R(v) U Y; 7. fim-enquanto 8. Y ← R(v); 9. V ← V – Y;10. se V então11. Conex (s V)12. fim-se-entãosaída: componentes conexos de G
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Exemplo
a
b c
df
g
he
ji
G
a
b c
df
v ← a
Y ← , {b,c}, {d}
R(v) ← {a}, {a,b,c},{a,b,c,d}
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Decomposição por Conexidade
• Adaptação para grafos não orientados do Algoritmo de Malgrange
• Se baseia na determinação de vizinhanças dos vértices
• Complexidade: O(n2)
• Outros algoritmos disponíveis (Trémaux, Tarjan, Gondran e Minoux, Szwarcfiter)
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Teorema
Um grafo G é desconexo
sss
V pode ser particionado em dois subconjuntos V1 e V2 de maneira que não existe aresta em G com um dos vértices extremos em V1 e o outro em V2
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Teorema
Se um grafo (conexo ou desconexo) tem exatamente dois vértices de grau ímpar, então existe um caminho que liga esses dois vértices
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Exercícios
• Indique percursos simples e não simples em G1
• Indique percursos não elementares em G2
• Todo percurso elementar é simples. Todo percurso simples é elementar? Explique.
• Construa dois grafos de 5 vértices e 8 arestas que não sejam isomorfos.
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a
b
G1a
b c
d
e
ca b
d eG2
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Exercícios
• Aplique a adaptação do algoritmo de Malgrange no grafo G abaixo e indique o resultado.
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a
b
G a
b c
d
eca b
d e
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Teorema
Um grafo G é bipartido se e somente se não contém ciclo ímpar
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()
u
v
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()
u
v
P
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()
u
v
w
P
CC/EC/PPGI/UFES2010/1 Teoria dos Grafos(INF 5037/INF2781)
()
u
v
w
PQ
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()
u
v
w
u1
PQ
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()
u
v
w
u1
PQ
P1
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()
u
v
w
u1
PQ
P1
Q1
CC/EC/PPGI/UFES2010/1 Teoria dos Grafos(INF 5037/INF2781)
()
u
v
w
u1
PQ
CC/EC/PPGI/UFES2010/1 Teoria dos Grafos(INF 5037/INF2781)
()
u
v
w
u1
PQ
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Teorema
Um grafo simples G com n vértices e k componentes conexas pode ter no máximo
(n-k)(n-k+1)/2 arestas
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Prova
• Idéia:
n1 + n2 + ... + nk = n e ni ≥ 1, 1 ≤ i ≤ k
Desigualdade algébrica utilizada:
i=1,k ni2 n2 – (k-1)(2n-k)