cc/ec/mestrado/ufes teoria dos grafos (inf 5037/inf2781) grafos orientados (digrafos)

Teoria dos Grafos

(INF 5037/INF2781)CC/EC/Mestrado/UFES

Grafos Orientados(digrafos)

Teoria dos Grafos


Grafo Orientado ou digrafo

• Consiste em um grafo G = (V,A) onde V = {v1, …, vn} é um conjunto de vértices e A =

{a1, …, ak} é um conjunto de arcos tais que

ak, k=1,…,m é representado por um par

ordenado (vi,vj) de vértices, i,j = 1,…,n.

c

d

e f

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Lista de adjacência

3 •2

1 4

2 •1

4 •1

4 •2

2 •3

1

2

3

5

4

1

2

3

4

5

4

2

1

2

13

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Matriz de Adjacência

• Seja G = (V,A)

• A = (aij), 1 ≤ i,j ≤ n

• aij = 1, quando (i,j) A

0, caso contrário

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a

e

b c

d

0 1 1 0 1

0 0 0 0 0

0 1 0 1 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

a b c d e

a

b

c

e

d

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• Diagonal principal nula:

• Matriz não necessariamente simétrica.

• Valores nulos: ausência de arestas

• Valores não nulos: presença de arcos

grafos sem laços

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Matriz de Incidência

• Seja G = (V,E)

• B = (bkl), 1 ≤ k ≤ n, 1 ≤ l ≤ m

• bkl = 1, quando o vértice k é extremidade inicial

do arco l

-1, quando o vértice k é extremidade final

do arco l

0, caso contrário

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Matriz de Incidência

(a,b) (a,c) (a,e) (c,b) (c,d) (d,b) (e,c)

+1 +1 +1 0 0 0 0

-1 0 0 -1 0 -1 0

0 -1 0 +1 +1 0 -1

0 0 0 0 -1 +1 0

0 0 -1 0 0 0 +1e

a

b

c

d

a

e

b c

d

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Relações de adjacência

• Em um digrafo G = (X, U), diz-se que y

X é sucessor de x X quando existe (x,y)

U. Diz-se também que x é antecessor

de y.

– + (x): conjunto de sucessores de x

– - (x): conjunto de antecessores de x

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Vizinhança

• Vizinho ou vértice adjacente de um vértice

x, em um grafo orientado ou não, é todo

vértice y que participa de uma ligação

(arco ou aresta) com x.

x x+ (x)

- (x)

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Vizinhança

• Seja A X. Então + (A) = U + (x) , x A

a

e

b c

d

A

Idem para

- (A)!

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Fechos Transitivos

• Conjuntos que representam ligações

diretas ou indiretas entre vértices em

grafos orientados.

• Diz-se que um vértice y é atingível a partir

de x em um grafo G quando existe em G

uma seqüência de sucessores que

começa em x e termina em y.

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Fecho Transitivo Direto

• + (x): conjunto de vértices de G atingíveis

a partir de x

^

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Fecho Transitivo inverso

• - (x): conjunto de vértices de G a partir

dos quais x é atingível

^

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Incidência

• Um arco incide exteriormente em x X se x for

extremidade inicial e interiormente se x for

extremidade final do arco.

• O arco (i,j) é incidente em A X de um grafo G,

se ele tem uma e só uma extremidade em um

vértice pertencente a A.

• (i,j) é incidente a A: interiormente (i A, j A)

exteriormente (i A, j A)

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Grau de um vértice

• Semigrau exterior (d+(x)): número de

arcos incidentes exteriormente a x

• Semigrau interior (d-(x)): número de arcos

incidentes interiormente a x

• d(x) = d+(x) + d-(x)

• Vértice nulo: d+(x) = d-(x) = 0

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Isomorfismo

• Seja G um digrafo e G´ o grafo

correspondente sem orientações.

• Seja G´ um grafo não orientado. Então G,

obtido a partir de G´ definindo-se uma

orientação arbitrária de suas arestas é dito

digrafo associado a G.

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Isomorfismo

• Se G é um digrafo e G´ é um grafo não

orientado obtido a partir de G: único.

• Se G é um grafo não orientado e G´ é

orientado, obtido a partir de G: várias

possibilidades.

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Isomorfismo

• Quando dois digrafos G1 e G2 são

isomorfos?

– Os grafos não orientados G1´ e G2´

correspondentes a G1 e G2 devem ser

isomorfos.

– As orientações entre as arestas

correspondentes devem ser as mesmas.

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Alguns tipos de digrafos

• Simples: sem laços ou arcos paralelos

• Assimétrico: possui no máximo um arco entre

cada par de vértices

• Simétrico: para cada par de vértices existe um

arco em cada direção

• Completo simétrico (n(n-1) arcos)

• Completo assimétrico (n(n-1)/2 arcos)

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Percursos

• Percurso simples direcionado de um vértice i para um vértice j: é uma seqüência alternada de vértices e arestas sucessivamente adjacentes. Nenhuma aresta aparece mais de uma vez, mas um vértice pode ser repetido.

• Caminho direcionado: percurso simples sem repetição de vértices

• Circuito: ciclo orientado com todos os arcos na mesma direção.

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Conexidade

• Grafo simplesmente conexo ou s-conexo:

todo par de vértices é unido por ao menos

um caminho no grafo correspondente não

direcionado a

d

b c

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Conexidade

• Grafo semi-fortemente conexo ou sf-

conexo: em todo par de vértices do grafo,

um deles é atingível a partir do outro (ou

seja, entre eles existe

um caminho em ao

menos um dos dois

sentidos possíveis)

a

d

b c

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Conexidade

• Grafo fortemente conexo ou f-conexo: é um grafo no qual todo par de vértices é mutuamente atingível. Assim, a todo par de vértices está associado um par de caminhos de sentidos opostos

• Todo vértice é atingível a partir de um vértice dado e todo vértice atinge todo vértice dado

a

b c

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Níveis de Conexidade

s-conexo

f-conexo

sf-conexo

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Componentes f-conexas

• Atingibilidade recíproca: (simetria)

• Todo vértice é atingível a partir de si

mesmo: (reflexividade)

• Se z é atingível a partir de y e y é atingível

a partir de x então z é atingível a partir de

x: (transitividade)

relação de equivalência sobre o conjunto de vértices de G

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Componentes f-conexas

• Um grafo orientado qualquer pode ser

particionado em componentes f-conexas

maximais.

• Se um grafo orientado é f-conexo: a

partição é o próprio conjunto de vértices

do grafo.

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Árvores

• Uma árvore é um digrafo s-conexo sem

circuitos ou ciclos no grafo não orientado

associado a

d

b c

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