capítulo xv: ruido e interferencia en la modulación...

Circuitos de RF y las Comunicaciones Analógicas

269

Capítulo XV:

Ruido e Interferencia en

la Modulación Analógica


270


271

15. Ruido e Interferencia en la Modulación Analógica

15.1 Introducción

Uno de los aspectos más importantes que caracterizan a los diferentes tipos de modulación es

su comportamiento frente al ruido. Usualmente este factor es proporcional al ancho de banda.

Esto último se estudiará cualitativamente y un parámetro estimador será la relación S/N.

Luego de revisar las convenciones de un sistema de comunicaciones completo, se analizará el

efecto de la interferencia y el ruido para los diversos sistemas de modulación.

15.2 Modelo de un Sistema de Comunicación:

Fig. 15.1 Modelo de un Sistema de Comunicación

las convenciones serán las siguientes:

1. X21 ABX(t)=W

1. El canal solo atenúa, no distorsiona.

2. El filtro pasa-banda BPF con HR(f) tiene ganancia unitaria sobre BR BT

3. El filtro pasa-bajos LPF tiene ancho de banda W.

4. De esta forma:

)(1

)(; tXtSS

cRT

LL

(15.1)

Para cada tipo de modulación calcularemos ST.

15.3 Señales Pasa-Banda

Es útil su presentación en la forma:

a. Envolvente – Fase

b. Componente en fase – componente en cuadratura.

Sea xc(t) es la representación envolvente – fase:

xc(t) = R(t).Cos(ct + (t)) (15.2)

Si en esta expresión se expande el coseno; se obtiene la representación componente en fase y

componente en cuadratura:

xc(t) = R(t). Cos(t).Cosct – R(t).Sen(t) .Senct (15.3)


272

xc(t) = xi(t) Cosct – xq(t)Senct (15.4)

Donde :

xi(t)= R(t) Cos(t) Componente en fase (15.5)

xq(t)= R(t) Sen(t) Componente en cuadratura. (15.6)

En consecuencia las señales moduladas analógicamente pueden ser representadas en términos

de su componente en fase y su cuadratura.

AM :

xAM(t) = Ac [1+mx(t)] Cosct

a) R(t) = Ac [1+mx(t)] ; (t) = 0 (15.7)

b) xi (t) = Ac [1+mx(t)] ; xq(t) = 0 (15.8)

DSB :

xDSB(t) = Ac x(t) Cosct

a) R(t) = Ac x(t) ; ( ) { ( ) ( )

} (15.9)

b) xi (t) = Ac x(t) ; xq(t) = 0 (15.10)

SSB:

c cSSB

A Aˆ(t) (t) Cos (t) Sen

2 2c cx x t x t

a) 2 2cˆA

ˆ ; ( ) arctg2

xR t x x t

x

(15.11)

b) c ci q

A Aˆ(t) ( ); (t) ( )

2 2x x t x x t

(15.12)

VSB:

c cVSB

A A(t) (t) Cos '(t) Sen

2 2c cx x t x t

a) 2 2c'A

( ) ' ( ); ( ) arctg2

q

q

xR t x t x t t

x

(15.13)

b) c ci q

A A(t) ( ); (t) ' ( )

2 2qx x t x x t

(15.14)

FM:


273

t

FM c c c0

(t) A Cos 2 x( )d A Cos (t).Cos A Sen (t).Senc f c cx t K t t

a) c0

A ; ( ) 2 ( )t

fR t t K x d (15.15)

b) i c q c(t) A ( ); (t) A ( )x Cos t x Sen t

(15.16)

PM:

PM c c c(t) A Cos ( ) A (t).Cos A Sen (t).Senc P P c P cx t K x t CosK x t K x t

a) c( ) A ; ( ) ~ ( )PR t t K x t (15.17)

b) i c q c(t) A ( ); (t) A ( )p px CosK x t x SenK x t

(15.18)

15.4 Salida de los diferentes detectores:

Es importante conocer la salida de los diferentes detectores:

Llamando y(t) = Salida del detector:

Con detector de envolvente:

y(t) = K1R(t) (15.19)

Con detector Sincrónico:

y(t) = K2 xi(t) ó K3 xq(t) (15.20)

Con detector de Fase:

y(t) = K4(t) (15.21)

Con detector de frecuencia:

y(t) = K5dt

td )(

(15.22)

15.5 Interferencia de un Tono en la Modulación Lineal.

Señal interferente: Amplitud = AI; frecuencia = fc + fI

Señal que llega al modulador (antes de la detección)

ciaInterferen

IcI

adaSeñalModul

c tCosAttCostRt )(.))(().()(

(15.23)

Expandiendo los cosenos:

tSentSenAtCostCosAtSentSentRtCostCostRt cIIcIIcc ..).()().().()(

Llamando:


274

tCosAtCostRtx IIi )()()( (15.24)

tSenAtSentRtx IIq )()()( (15.25)

Luego:

tSenxtCostxt cqci )()( (15.26)

15.5.1 AM con detector de envolvente:

tCosAtCostRt IcIc )()()( (15.27)

a) Con interferencia pequeña: AI << R(t): Ver Fig. 15.2

Fig. 15.2 Esquema fasorial para detección de envolvente

tCosAtRtR IIT )()( (15.28)

Si fI > W (ancho de banda del mensaje), la interferencia se elimina con el filtro pasa-

bajo que sigue al detector.

Si fI < W aparece un tono que afecta una sola frecuencia de poca altura, luego no es de

mayor relevancia.

b) Con interferencia grande: AI >> R(t)

Fig. 15.3 Esquema fasorial con AI >> R(t)


275

tCostRAtR IIT )()( (15.29)

Bloqueando el nivel DC (AI)

tCostRtR IT )()(´ (15.30)

En este caso el mensaje se traslada a la frecuencia fI

Fig. 15.4 Efecto de la detección de envolvente

Si fI es pequeña el problema no es tan grave (cambian los tonos del mensaje, pero es

inteligible).

Si fI es grande: desaparece el mensaje con el filtro de salida.

15.5.2 AM con detector sincrónico

Con un detector sincrónico siempre se obtiene xi(t).

En el caso de AM:

xi(t)=R(t)+AI Cos 1t (15.31)

Si fI > W, el filtro de salida eliminará esta interferencia.

Si fI < W, sea grande o pequeña de amplitud, solo afecta una frecuencia específica.

Esta es una ventaja del detector sincrónico que también se hace presente en el análisis del

ruido. Es por esto que a veces se prefiere la detección sincrónica sobre el detector de

envolvente.

15.6 Ruido Pasabanda

Es un sistema de comunicación en general se supone que en el canal, la señal además de

atenuarse, también sufre el efecto de interferencia y ruido.

Ya en el receptor, lo primero que se encuentra es un filtro pasabanda como se ilustra en la

Fig. 15.5 empleando la Característica ideal.


276

Fig. 15.5 Filtro pasa banda del Receptor

Fig.15.6 Generación de Ruido pasabanda de Banda estrecha

Usualmente BR = BT << fc

El ruido a la salida de este filtro se llama RUIDO PASABANDA de banda estrecha.

Este ruido se puede describir a través de la forma:

a) Envolvente – fase:

n(t) = Rn(t) Cos(ct + n(t)) (15.32)

n(t)= Rn(t) Cosn(t )Cosct - Rn(t) Senn(t) Senct (15.33)

Llamando: ni(t) = Rn(t) Cosn(t) y nq(t) = Rn(t) Senn(t)

La señal resultante aparecerá como se aprecia en las Figuras 15.7 y 15.8.

Fig. 15.7 Ruido de envolvente Fig. 15.8 Componentes en fase y en cuadratura

b) Descripción mediante la componente en fase y la componente en cuadratura del ruido:


277

( ) ( ) ( ) (15.34)

En síntesis hay que describir Rn(t), n(t), ni(t) y nq(t)

Se puede demostrar que la componente en fase y la componente en cuadratura dl ruido pueden

describirse en términos de ( ):

( ) ( ) ( ) (15.35)

( ) ( ) ( ) (15.36)

Con estas expresiones de ni(t) y nq(t), se deduce:

E[ni(t). nq(t)] = 0 ni nq

E[ni(t)] = E[nq(t)] = 0 Si E[n(t)] = 0

La envolvente en fase del ruido:

( ) ( ) ( ) (15.37)

Dado que:

( ) ( ) (15.38)

( ) ( ) (15.39)

La DEP del ruido será: ( ) ( ) ( ) ( ) | | (15.40)

El valor cuadrático medio del ruido:

(15.41)

Si n(t) es gaussiano, ni(t) es gaussiano y nq(t) también es gaussiano.

Si ni(t) y nq(t) son ortogonales, y (media cero) los problemas de las 2

señales se reducen a que están decorrelacionadas y si son gaussianas y

decorrelacionadas, se dice que son independientes. Además tienen la misma varianza.

Función de densidad de probabilidad de ni:

2

2

2

2

1)(

i

i

n

in enP

(15.42)

Función de densidad de probabilidad de nq:

2

2

2

2

1)(

q

q

n

qn enP

(15.43)

Función de densidad de probabilidad de conjunta:


278

2

22

2

2

1),(

qi

iq

nn

qinn ennP

(15.44)

2 = varianza de ni, nq y n.

Ahora se puede determinar en función de la densidad de probabilidad de Rn(t) y (t):

22)( qin nntR

i

q

nn

nartant )(

(15.45)

)().()( tCostRtn nni )().()( tSentRtn nnq (15.46)

Cuando se tienen funciones de variables aleatorias (bidimensionales) se puede hablar del

“Equivalente bidimensional” que permite la transformación de variables aleatorias.

nnnnqiqnin ddRRPdndnnPnPqi

.)(.)()(1

(15.47)

Donde P(Rnin) es la función de densidad de probabilidad conjunta de Rn y n

Pero: nnnqi ddRRdndn ... se llega a:

)()(.

..)(

1 qnin

nn

nnn

nn nPnPddR

ddRRRP

qi

(15.48)

)()(.)(1 qninnnn nPnPRRP

qi

(15.49)

Pero

0nR (siempre) y 222

nqi Rnn

Adicionalmente si Pni y Pnq son gaussianas, la probabilidad conjunta ( , )n nP R será: 2

222

1( , )

2

nR

n n nP R R e

(15.50)

Cálculo de la probabilidad marginal de n:

Dos cualidades a tener en cuenta: Rn no puede ser negativa y n está limitada [-, ]

2

1

2

1

2

1)()(

2

2

2

2

1

22

2

nn R

n

R

n

nnnnn edReR

dRRPP

(15.51)

Como [- < n < ] para evitar ambigüedades, se tiene que )( nnP está distribuida

uniformemente entre - y .


279

Fig. 15.10 Función densidad de probabilidad de la fase

De donde se puede deducir:

0n (15.52)

3

22

(15.53)

Probabilidad marginal de Rn. 2 2

2 22 2( )

2 22

n nR R

n nR Rn n n

R RP e d e

(15.54)

Esta función corresponde a una DISTRIBUCION DE RAYLEIGH (Fig. 15.11).

Fig. 15.11Probabilidad marginal de la envolvente de ruido

r

n

R

nn dRe

RrRP

n

2

2

2

2

2 2

2 22 2

nR r

n

r

P R r e e

(15.55)

La cual tiene las siguientes propiedades:

222

2222

22

2

4

22

.2

2

nnR

n

n

RR

R

R

n

(15.56)


280

Donde 2 es la varianza de n (ni, nq), pero no de Rn.

Conclusión: Se observa que n y Rn son estadísticamente independientes ya que:

)().(),( nnnRnnn PRPRP (15.57)

Densidad espectral de potencia de ni y nq:

( ) ( ) ( )

El ruido después del filtro HR(f) es de la siguiente forma:

Fig. 15.12 DEP del ruido después del filtro HR(f)

La salida sería el mismo que la entrada, puesto que HR(f) es de la forma:

Fig. 15.13 Filtro HR(f)

Filtro de detección es de la forma como es indicada en la Fig. 15.14

Fig. 15.14 Filtro para la detección

Luego hR(t) = 2h0(t) Cosct

h0(t): Respuesta impulso de H0(f)

hR(t): Respuesta impulso de HR(f)


281

Al aplicar la señal de ruido pasa-banda a la entrada del sistema pasa-banda ideal, la salida

debe ser n(t).

Fig. 15.15 Detección coherente

15.7 Ruido en la Modulación Lineal

Modelo del receptor, considerando la señal modulada más el ruido pasa-banda, se muestra en

la Fig. 15.16.

Fi. 15. 16 Modelo del receptor para estudio del ruido en la modulación lineal

Considerando la señal de salida del filtro HR(f)

( ) ( ) ( )Rt x t n t (15.58)

Dado L como la atenuación en potencia del canal de transmisión:

C

RR

A

AK

L

1

(15.59)

Potencia promedio de la señal de entrada al detector = SR:

T

C

RTR

Tc SA

ASK

SX. S

2

22

R

LL (15.60)

Potencia promedio del ruido:


282

2 .22

R T T

nn N B B

Luego:

TR BN (15.61)

Y la relación señal a ruido será:

TT

R

T

R

B

W

B

W

W

S

B

S

N

.

S

R

W

SDonde R

:

(15.62)

Así:

En AM: BT = 2W;

2

2.

S

R

W

W

N (15.63)

En DSB: BT = 2W;

2

2.

S

R

W

W

N (15.64)

En SSB: BT = W;

.

S

R W

W

N (15.65)

En VSB: 2

W BT W;

.S

2 R

N (15.66)

Para analizar D

S

Nes necesario conocer el tipo de detector utilizado.

15.7.1 Con Detector Sincrónico:

a) Doble banda lateral: DSB


283

XDSB(t) = ARX(t)Cosct y BT = 2W

Fig. 15.17 Detector Sincrónico

( ) ( )

( ) ( )Cos ( )Cos S

( ) [ ( ) ( )]Cos S

DSB

R c i c q c

R i c q c

t x t Ruido

t A x t t n t t n en t

t A x t n t t n en t

Salida del detector:

1 1( ) ( ) ( )

2 2D R iy t A x t n t

(15.67)

Se concluye:

El mensaje y el ruido son aditivos en la salida.

La componente en cuadratura del ruido se elimina.

El espectro de potencia del ruido en la salida:

Gni(t) = Gnq(t), se traslada al origen

La DEP antes de la detección se muestra en la Fig. 15.18:

Fig. 15.18 DEP del ruido antes de la detección

DEP después de la detección se muestra en la Fig. 15.19:


284

Fig. 15.19 DEP del ruido después de la detección

Potencia de entrada de señal al detector:

2

2 2( )2

RR R c

AS A x t Cos t x

(15.68)

Potencia de señal de salida del detector:

2

2 21 1 1( ) ( )

2 4 2D R RS A x t A x t

(15.69)

Cálculo de la potencia del ruido:

Señal de ruido antes de la detección:

( ) ( ) ( )

Señal de ruido después de la detección: (ver Fig. 15.20)

n1(t) = n(t)Cosct

Fig. 15.20 el ruido en la detección coherente

( ) ( ) ( )


285

( )

( )

( )

( ) (15.70)

Después del filtro LPF:

( )

( ) (15.61)

Potencia de ruido detectada:

RD

RiDD

NN

nntnN

4

1

4

1

4

1)( 222

(15.62)

Luego:

RR

R

D

D

D N

S

N

S

N

S

N

S

2

4

12

1

(15.63)

NOTA: Al trasladar el mensaje y el ruido al origen de frecuencias el ruido lo hace en forma

INCOHERENTE, mientras que el mensaje lo hace COHERENTE y por esto:

RD N

S

N

S

2

(15.64)

b) AM (con detector sincrónico):

Señal antes de la detección:

Señal AM

( ) 1 ( )R c i c q c

Ruido

t A mx t Cos t n Cos t n Sen t

(15.65)

Potencia recibida de la señal AM:

2

2 2

22 2

1 22

Con 0 12

RR

RR

AS mx m x

Ax S m x

(15.66)

Potencia recibida del ruido:

NR=2W puesto que BT=2W

Luego


286

2 2 21

4 2

R

R

A m xS

N W

(15.67)

A la salida del detector síncrono, después del filtro LPF tenemos:

( ) 1 ( )D R iy t A mx t n (15.68)

Eliminando la DC: ' ( ) ( )D R iy t A mx t n

(15.69)

Por tanto la potencia detectada es:

2 2 2

D RS A m x (15.70)

Y la potencia de ruido detectado: ND= 2W

Luego: W

XmA

N

S R

D 2

222

(15.71)

Efectuando la relación:

2 2 2

2 2

2 22 2 2

22

1 21

4

R

D

R

R

S A m x

m xN W

S m xA m xN

W

(15.72)

Como: 2 2

2 2

1.

2 1R D

S S m x

N N m x

(15.73)

Y tendrá un máximo cuando:

2 2 12D

Sm x

N

(15.74)

Se concluye que DSB debe mandar la mitad de potencia que AM para lograr la misma DN

S

c) En SSB:



287

0

RuidoSeñal SSB

ˆ( ) ( ) ( )2

Ro o oi q

At x t Cos t x t Sen t n Cos t n Sen t

(15.75)

Donde: .

Potencia de la señal recibida:

2 22 22

4 2 2 4

R RR

A Ax xS x

(15.76)

El ruido está representado como pasabanda alrededor de:

Fig. 15.21Ruido pasabanda en SSB

El Detector empleado se muestra en la Fig. 15.22:

Fig. 15.22 Detector sincrónico para SSB

1 0 0(t) 2 i q cn n Cos t n Sen t Cos t (15.77)

1(t) 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) 2 2

ci q c c

W Wn n Cos t n Sen t Cos t

1(t) (2 ) (2 )i c q cn n Cos W t Cos Wt n Sen W t Sen Wt

Al pasar esta señal por el filtro LPF, resulta:


288

D( ) i qn t n Cos Wt n Sen Wt (15.78)

Luego: 22 2 2

2 2 .2 2 2 2

qi i iiD i

nn n nn n Pot n

Fig. 15.23 DEP detectada para SSB

Potencia de la señal detectada:

DD NWW

n 2

..22

(15.79)

Salida demodulada:

D (t) ( ) ( ) ( )2

Ri q

Ay x t n t Cos Wt n t Sen Wt

(15.80)

Potencia de la Señal demodulada:

RR

D SXA

S 4

22

(15.81)

La relación señal a ruido detectada:

R

R

R

D

D N

S

W

S

N

S

N

S

(15.82)

TABLA N°15.1 CUADRO RESUMEN COMPARATIVO CON DETECTOR SINCRONICO

TIPO SR (S/N)D

AM 22 21

2

RAm x

2 2

2 21

m x

m x

DSB 22

2

RAx

W

SR


289

SSB 22

4

RAx

W

SR

Si AR=1 y 2 1x

AM

2

1 2m

W

m

W

mm

22

1.

2

1 222

DSB

2

1

W2

1

SSB

4

1

W4

1

Si m=1 En AM: SR=1 ; (S/N)D=W2

1

En DSB: SR=2

1 ; (S/N)D=

W2

1

En SSB: SR=4

1 ; (S/N)D=

W4

1

Si SR=1 DAMDDSBDSSB N

S

N

S

N

S

2

(15.83)

15.7.2 Detección de AM con Detector de Envolvente:

Nuestro interés es el cálculo de la relación (S/N).

Antes de la detección:

( ) 1 ( )R c i c q ct A mx t Cos t n Cos t n Cos t (15.84)

Envolvente:

2 2( ) (1 ( ))T R i qR t A mx t n n

(15.85)

Pero esta expresión es difícil de analizar. Sin embargo pensando primero en el caso más

sencillo que es:

a) ruidotmXAR )(1


290

Efectuando un esquema fasorial, se obtiene:

Fig. 15.24 Esquema fasorial para la detección AM con detector de envolvente

iRT ntmXAtR )(1)( (15.86)

Eliminando el nivel DC

' ( ) ( )T R iR t A mx t n (15.87)

Queda lo mismo que con el detector sincrónico y el análisis es el mismo anterior. Por tanto la

relación señal a ruido detectada es:

2 2

2 2.

21D

S m x

D m x

(15.88)

c) En el caso en que domine el ruido frente a la señal, es decir (S/N)R pequeña:

Ruido Señal AM

( ) ( ) ( ( )) 1 ( )n c n R ct R t Cos t t A mx t Cos t

(15.89)

tCostmXAtSentSentRtCostCostRt cRcnncnn )(1).()().()()( (15.90)

Envolvente:

22 2 2 2( ) ( ) 1 ( ) 2 1 ( ) ( )T n n R R n n n nR t R Cos t A mx t A R mx t Cos t R Sen

22 2( ) 1 ( ) 2 1 ( ) ( )T n R R n nR t R A mx t A R mx t Cos t

2 1 ( ) ( )( ) 1

R n

T n

n

A mx t Cos tR t R

R

1 ( ) ( )( ) 1

R n

T n

n

A mx t Cos tR t R

R


291

( ) 1 ( ) ( )T n R nR t R A mx t Cos t (15.91)

Fasorialmente:

Fig. 15.25 Esquema fasorial en la detección AM con detector de envolvente.

Se observa que hay un término de ruido Cosn(t) que multiplica al mensaje x(t), mutilándolo y

en este caso no tiene sentido pretender el cálculo de una relación señal a ruido.

Sin embargo se puede detectar en que nivel de RN

S

comienza a influir seriamente la

mutilación o pérdida del mensaje. Es decir, hay que buscar un UMBRAL sobre el cual la

mutilación es despreciable. Este fenómeno es conocido como “efecto umbral en la detección

de envolvente”.

15.7.3 Efecto Umbral en la Detección de Envolvente:

En general si AR >> Rn considerando 2 2 1m x se dice que no hay mutilación del mensaje.

Definimos el punto de decisión ó umbral como aquel que produce P[AR Rn] = 0.99 P[Rn

AR] = 0.01

Pero:

2

2

2

2][

n

n

R

nnR e

RRP

Distribución de Raleigh

01.0][2

2

2

2

22

2

R

R

n

n

A

A

R

nRnR ee

RARP

(15.92)

Potencia de la señal recibida:

2

2 21 22

RR

AS mx m x

(15.93)

Si:

2 2 2 2 20 y 1 y R R Rx m x S A N n


292

10210,9)01.0ln(2

201.0ln01.0

2

RUR

R

R

RN

S

N

S

N

S

N

Se R

R

Luego:

10

RUN

S dB

N

S

dBU

10,

(15.94)

Pero:

dB

10 202 2

10log 20 13dB

umbralumbral

R

umbral

S

N

(15.95)

En la práctica requiere: 30 (con margen de seguridad)RU

SdB

N

En magnitud: 10000.1

RUN

S

,

2.0002

10log 2.000 33

umbral

R

umbral dB

S

N

dB

(15.96)

Si 2

RN

S se espera mutilación del mensaje con pérdida de información.

15.8 Interferencia en la Modulación Angular

El Modelo en diagrama de bloques para el este caso se muestra en la Fig. 15.26:

Fig. 15.26 Modelo para el estudio de la interferencia y ruido en la modulación angular



293

i(t) ciaInterferenmodulada Señal

)())(()(

ttCosAttCosAt IcIcR

(15.97)

15.8.1. Interferencia Pequeña:

AI << AR L

CR

AA

(15.98)

Fig. 15.27 Diagrama fasorial en la modulación angular con interferencia

i

IIR

IIi

ttCosAA

ttSenA

))((

))((tg

(15.99)

Como AI << AR AR >> AI Cos(It- (t)), luego se desprecia este término así:

a) Con detector de fase daría: (PM)

))(()()( ttSenA

Att I

R

IT

(15.100)

b) Con el detector de frecuencia diaria: (FM)

1

( )1 1 ( ) 1 ( )( ( ))

2 2 2

T II

R

d t Ad t d tf Cos t t

dt dt A dt

(15.101)

En ambos casos se tiene el mensaje más una señal modulada interferente con la diferencia.

a) Para PM la amplitud de esa interferencia es constante y pequeña 1R

I

A

A

b) Para FM la amplitud crece con fI: R

II

A

fA

Para analizarlo mejor suponer que (t) = 0 en un intervalo, Así:

Interferencia tSenA

APM I

R

I


294

Sinusoide de amplitud pequeña y constante.

Interferencia tCosfA

AFM II

R

I

Sinusoide de amplitud proporcional a fI.

Fig. 15.28 Interferencia en la modulación angular

En conclusión:

PM es mejor si fI es grande (canales adyacentes).

FM es mejor si fI es pequeño.

Si W < fI < BT/2, la interferencia pasa la primera etapa del receptor pero después del detector

se bloquea.

15.8.2 Deénfasis y Preénfasis

En FM, el hecho de que la interferencia es mayor mientras mayor sea fI, sugiere un método de

mejorar el FM. Si se atenúan las altas frecuencias después de detectar, la interferencia de alta

frecuencia (que es la más molesta) disminuye. Pero evidentemente este proceso también

atenúa las altas frecuencias del mensaje.

Por tanto y para que el método tenga sentido se debe acentuar las componentes de alta

frecuencia del mensaje antes de ser transmitido.

Este tipo de procesamiento se llama DEÉNFASIS A LA ATENUACION (en el receptor) y

PREÉNFASIS A LA ACENTUACION (en el transmisor) y tienen las siguientes

características:

En el TX: PREÉNFASIS. Ver Fig. 15.29

Fig. 15.29 Preénfasis, acentuación en las atas frecuencias


295

En el RX: DEÉNFASIS Ver Fig. 15.30

Fig. 15.30 Deénfasis, atenuación en las altas frecuencias

Donde:

1( )

( )Hpe f

Hde f ; f W

Fig. 15.31Sistema de Comunicación con sistema de preénfasis y deénfasis.

El filtro LPF sigue siendo necesario para eliminar las componentes con f > W.

Esta configuración reduce la interferencia de tal forma que si se vuelve a graficar la amplitud

de la interferencia Vs frecuencia se obtiene la curva que se muestra en la Fig. 15.32.

Fig.15.32 Sistema con deénfasis


296

Esta técnica también se puede emplear en sistemas de sonido: Las altas frecuencias son

usualmente preenfatizadas antes de grabarse, para luego ser desenfatizadas durante la

reproducción. Esto reduce el ruido superficial de alta frecuencia.

El sistema DOLBY va más allá, ya que ajusta la cantidad de deénfasis y preénfasis en función

del contenido de alta frecuencia.

Por otra parte usar deénfasis y preénfasis en modulación lineal o PM no vale la pena ya que la

interferencia no depende de la frecuencia. Algo mejora estos circuitos pero no como para

justificar la complejidad de este sistema.

15.8.3 Redes de Preénfasis y Deénfasis

EL FILTRO DEENFASIS usualmente es un filtro RC como se muestra en la Fig. 15.33: Fig. 15.33 Filtro deénfasis

La función de transferencia del filtro mostrado es:

1

1( )

1 1de

j cH f

j RCR j

j c

RCB

B

fj

fH de

de

de2

1

1

1)(

(15.102)

de

de

de

de

de Bfjf

B

Bf

B

fjfH

;

;1

1)(

1

(15.103)

CIRCUITO DE PREÉNFASIS:


297

de

de

de

dede

Pe BfB

jf

Bf

B

fj

fHfH

;

;1

1)(

1)(

(15.104)

En alta frecuencia el filtro actúa como un derivador. Pero derivar una señal antes de modularla

en FM es PM y por lo tanto la interferencia se convierte en una interferencia en PM y por esto

las curvas se parecen. En este caso FM es mejor que PM para cualquier tipo de interferencia.

CIRCUITO TIPICO

Con R>>Ro

Fig. 15.34 Circuito de Preénfasis

0 0

00

( 1)( )

(1/ ) ( 1)

(1/ )

Pe

R R Rj cH f

R j c R Rj c RR

R j c

(15.105)

0 00

0

( 1/ ) 1( ) ( ) 1

( 1/ ) 1Pe

pe

R j c R R fH f R j c j

R j c R R R B

(15.106)

1

2pcB

RC La amplitud de la máxima frecuencia es aumentada en un factor 1

deB

W

15.9 Ruido en la Modulación Exponencial

El modelo para el análisis de ruido en la modulación exponencial se muestra en la Fig. 15.35.

Fig. 15.35 Modelo para análisis de ruido en la modulación exponencial.


298

Potencia de la señal y potencia del ruido en el punto R de recepción:

2

2

RR

AS NR = BT

Luego: T

R

R B

A

R

S

2

2

(15.107)

Si BT muy grande, RR

S

se hace pequeña.

Observe que BT de la modulación exponencial es mucho más grande que el BT de la

modulación lineal.

lineal R,exp R

R

S

R

S

(15.108)

Por tanto a mayor BW (ancho de banda) más ruido.

¿Qué efecto tendrá el detector?

Calcularemos la potencia de salida de la señal sin ruido y la potencia del ruido utilizando una

portadora sin modular. Esta aproximación se justifica sobre todo en FM banda ancha ya que:

a) Ancho de banda del mensaje = W

b) Ancho de banda del ruido = BT >> W

Por tanto la potencia del ruido varía mucho más rápido que la potencia de la señal modulada la

cual sigue el ritmo W. De donde, en un intervalo 1/W es como si se tuviera una portadora sin

modular.

1) Cálculo de la potencia de la señal:

La señal obtenida con un:

Demodulador PM es: (t)=Kpx(t)

Demodulador FM es: 1 ( )

( )2

f

d tfc K x t

dt

NOTA: Kp también se denota como .

Kf también se denota como f.

Potencia de la señal detectada:


299

Para PM: 2 2

D pS K x (15.109)

Para FM (eliminando el DC): 2 2

D fS K x (15.110)

2) Cálculo de la potencia del ruido: (Portadora sin modular)

))(()()( ttCostRtCosAt ncncR (15.111)

a) Si AR >> Rn(t)

Fig. 15.36

15.9.1 Con el detector PM:

R

nn

nnR

nn

A

tSentR

tCostRA

tSentRt

)()(

)()(

)()(arctg)(

(15.112)

R

q

A

tnt

)()(

(15.113)

Aplicando FOURIER DEP

2 2 2

( )( ) ( )

2

qn

n

R R R

G fG f G f

A A S

(15.114)

Aclarando: tSentntCostntn ccq )()(ˆ)(

Luego: )()(2

1)(ˆ)(ˆ

2

1)( fcfGnfcfGnfcfnGfcfnGfGnq

)()(ˆ fGnfnG


300

ffcfGnfcfGnfGnq ; 22

)()()(

(15.115)

Fig. 15.37 DEP del ruido de fase

Con la potencia del ruido y de la señal detectada en la modulación de fase se puede determinar la

relación señal a ruido:

22

22

22

D2

.

S ; 2

PM

XR

S

W

XR

N

S

XRS

WW

AN

p

R

p

D

p

RR

D

PM

PM

(15.116)

Como 2 ; 1pR x

10 : máxima lamáx DPM

N

Ssería

N

S

D (15.117)

15.9.2 En FM: Se recibe:

R

qq

R A

n

dt

dn

Adt

d

2

1

2

1

Recordando que en PM: F [nq(t)] = Nq(f) tiene DEPPM = |Nq(f)|2 = Gnq(f)

En FM ( )

2 ( )q

q

dn tF j f N f

dt

tiene

| ( )| ( )

( ) (15.118)

Tomando la señal a la salida el detector de FM:


301

22 2 2

2 2

4 ( )1 1( )

2 2 4

q qnFM

R R

dn f Gn fdGn f F F

dt A dt A

(15.119)

A la salida del detector: 2

2

2

2

2 2

( )( ) ( )

( ) ( )

qFM PM

R

FMPM

R R

f Gn fGn f f Gn f

A

Gn f Gn f fA A

(15.120)

La DEP del ruido detectado en FM se muestra en la Fig. 15.38.

Fig.15.38 DEP a la salida del detector FM

Potencia del ruido detectada:

2

3

0

3

2

0

2

2

3

2

3

2

2

R

W

R

D

W

R

D

A

Wf

AN

dffA

N

(15.121)

Potencia de la señal y del ruido recibidas:

R

DR

RS

WN

AS

3 ;

2

32

Relación señal a ruido detectados en FM:

22 2

2 2 2

2

33 . 3 .

FM

f R f

D

K x S RSX x

D W W W

(15.122)

Donde = Kf / W, Kf > 0, Kf >> W por tanto se aprecia en forma sensible la mejora respecto a

PM.


302

Es interesante observar la característica parabólica de la DEP del ruido detectado en FM. Sin

embargo a mayor W, más ruido. Por tanto FM estéreo es más ruidoso que FM monofónico.

15.9.2 Análisis con Red de Deénfasis:

Utilizando una red de deénfasis del tipo:

W

WdeD

de

de

de

de

dffHfGnN

B

ffH

B

fjfH

2

12

2

1

)().(

1)(

1)(

(15.123)

En FM:

W

WdeR

D dfB

f

A

fN

FM

12

2

2

1

Cambio de variable:

Si 2 2 2 ; ; de de

de

fx df B dx f B x

B

3 2 2 1

2(1 )de

FM

de

WB

D deWBR

N B x x dxA

3 32

2 2 2 2

1 1 11.

1 1de de de

FM

de de de

W W WB B Bde de

D W W WB B BR R

B BxN dx dx dx

A x A x

3 2

2

2 22arctg

2FM

de RD R

R de de

B AW WN S

A B B

3

arctg FM

de

D

R de de

B W WN

S B B

(15.124)

Si W >> Bde 2

arctg

deB

W


303

2

Si :Además ; 2

22

3

W

SB

S

WBN

B

W

B

W

S

BN

Rde

R

deD

dedeR

deD

FM

FM

2

2 ;

FMde

f

de

D de

KSx B W

N B

(15.125)

Relación con y sin deénfasis:

2

2

2 2

2 2

2

2

33( )

FM

FMde

f

D de de

f

D de

RSx

N B BFactor de mérito

S R Wx

N B

(15.126)

Pero Bde << W Se ve la mejora en FM con deénfasis respecto a sin deénfasis.

PM con deénfasis:

W

WdeR

D dfB

f

SN

PM

12

12

2.arctg

arctg2

PM

deD

R de

de

de

B WN

S B

WSi W B

B

(15.127)

2 2

RR

2 S ; S .

WPMde

p R

D de

K x SSW

N B

2 2 2

PMde

p

D de

K x WS

N B

(15.128)

1 ; 2

PM

PMde

D dede

D

S

N BFactor de mérito PM W B

S W

N

(15.130)


304

Con deénfasis se observa una mejora, pero menos que FM

15.9.3 Efecto Umbral en FM

Las deducciones de (S/N)D realizadas hasta el momento son válidas si (S/N)R es grande.

(Antes se asumió Señal >> Ruido).

))(())(()( ttCosRttCosAt cncR

Fig. 15.39 Análisis para establecer el efecto umbral

Ahora si Rn(t) >> AR :

( ) ( )

( ( ) ( ))

(15.131)

Luego, el mensaje ha quedado mutilado, más allá de toda esperanza de recuperarlo.

Sin embargo hay un punto (S/N)R umbral:

Se define:

T

u

Tu

R

Rumbral B

W

B

W

W

S

N

S.10

(15.132)

)2(20

Ancha) Banda (FM )2(2:pero 10

u

TT

u WBW

B

(15.133)

Luego el umbral crece a medida que aumente ; fK

W


305

Sin embrago no se puede aumentar Kf arbitrariamente. Si se grafica (S/N)D vs (dB) para la

modulación de tono:

Fig. 15.40 Gráfica para mostrar el efecto umbral en FM

El cambio súbito de estas curvas representa el efecto umbral de la FM.

Si se quiere aumentar (S/N)D aumentando , el sacrificio sería innecesario ya que se caería en

la zona abrupta. Por ejemplo: se desea una (S/N)D=30dB con mínima potencia transmitida y

con A.B de transmisión =14W. Si no fuera por el umbral se usaría =5 y (S/N)D =30dB

=14dB, pero para =5, u = 21.5dB y (S/N)D=37dB. Con =2 y (S/N)D =30dB =22dB,

fuera de la región umbral. Para =2, u = 16dB. Por tanto si =2 y (S/N)D=30dB estaría fuera

de la región umbral, mientras que con (S/N)D=30dB y =5 estaría en la zona abrupta.

22

22

)2(60

Ancha Banda )2(20

3

XN

S

XN

S

DU

u

u

DU

(15.134)

En conclusión:

FM al igual que AM sufre de efecto umbral pero umbral depende de .

Si se tiene RN

S

fijo y se requiere aumentar

RN

S

aumentando, el sacrificio podría ser

innecesario ya que se podría caer en la zona abrupta de la gráfica.

Si se tiene << umbral para el fijado, sería preferible usar modulación lineal.


306

Si se quiere un diseño con mínima potencia, el umbral puede ser una restricción.

Como

2 2

2 2 2 2

2 2

3

3 . 3 20( 2)

60 ( 2)

D

Dumbral

D

Sx

N

Sx u x

N

Sx

N

(15.135)

15.10 Ejercicios Propuestos:

15.10.1 Resolver empleando Matlab: Un mensaje m(t) es definido como:

casoOtro

ttt

segtt

tm

.,........0

)3/23/,....(2

)3/0,.......(1

)( 00

0

1) Si el mensaje m(t) es modulado en DSB empleando como portadora:,

)2cos()( tftc c

la modulación resultante es y(t). Asumir t0=0.15 seg y fc=250 Hz.:

Obtener la expresión y(t).

Obtenga el espectro de m(t) y y(t).

Asumir que la señal mensaje es periódica con periodo T0= t0.. Determine la

potencia de la señal modulada.

Si se añade ruido tal que la SNR a la salida del modulador sea de 10 dB, encuentre

la potencia de ruido.

2) Si el mensaje m(t) es modulado en AM convencional con índice de modulación del

85% y fc=250 Hz y t0=0.15 seg:

Derive una expresión para la señal modulada: y(t).

Obtenga el espectro de m(t) y y(t).

Asumir que la señal mensaje es periódica con periodo T0= t0. . Determine la

potencia de la señal modulada y su eficiencia.



3) Si el mensaje m(t) es modulado en LSSB y fc=250 Hz y t0=0.15 seg:

Grafique la transformada de Hilbert de la señal mensaje.

Grafique la señal modulada y(t).


307

Asumir que la señal mensaje es periódica con periodo T0= t0 y determine la

potencia de la señal modulada.



15.10.2 Para el esquema de la Fig. 15.41:

Fig. 15.41 Ejercicio 15.10.2

Considere:

( ) ( ) [ ( )] ( )

Donde:

( ) y ( )tienen Ancho de Banda de 10 KHz.

( ) ( ) =0;

a) Hallar y graficar la DEP del ruido en el punto B.

b) Determine la (

) (

) (

) .

15.10.4 Un receptor de FM tiene un filtro da banda ideal de 225 KHz centrado en la

frecuencia de la portadora no modulada y un filtro pasa bajo ideal de 10 KHz a la salida. La

relación de potencia media de la portadora a la potencia media del ruido en la entrada del

limitador es de 40 dB. La señal moduladora es una sinusoide de 10 KHz, la cual produce una

desviación de frecuencia de 50 KHz.

Determine:

a) (

)

b) Si se inserta una red de deénfasis con una constante de tiempo antes del

filtro de salida, ¿Cuál es la nueva (

)

c) Que sucede si la amplitud de la señal se reduce a la mitad?


308

15.10.5 En esquema de la Fig. 15.42, asumir:

Señal ( ): Ancho de banda = 3 KHz, =1

Señal ( ): Ancho de banda = 5 KHz, =1

Fig. 15.42 Ejercicio 15.10.5

a) Encontrar (

)

y (

)

b) Si ( ) ( ) ( ), siendo ( ) con Ancho de Banda = 5 KHz y =1/2 watt y

tomando la señal de salida como:

( ) ( ) ( ).

Calcular y (

)

capítulo xv: ruido e interferencia en la modulación...

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