Capteurs Industriels

Premiere partie : generalites sur les capteurs

Master Sciences pour l’Ingenieur - Specialite MecatroniqueUFR Physique et IngenierieUniversite de Strasbourg

Edouard Larochelaroche@unistra.fr

http://eavr.u-strasbg.fr/~laroche/student

2011–2012

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Table des matieres

1 Introduction 3

2 Principe, limite et performances 42.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Imperfection des capteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 Linearite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Composante continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.3 Sensibilite aux conditions exterieures . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.4 Bande-passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.5 Bruit de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.6 Hysteresis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.7 Repetabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Etalonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Limite de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Principes physiques 83.1 Effet piezo-electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Effet Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Quelques exemples 104.1 Mesure de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.1.1 Gereralites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.1.2 Mesure incrementale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.1.3 Mesure absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.2 Les souris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.3 Jauge de contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.4 Accelerometre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.5 Mesure de distance, de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.6 Mesure de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.6.1 Shunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.6.2 Transformateur de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.6.3 Mesure par effet Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Capteur logiciel 155.1 Estimateur simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.1.1 Estimateur du flux dans les machines asynchrones . . . . . . . . . . 165.1.2 Estimation de la vitesse d’un moteur a courant continu . . . . . . . 17

5.2 Observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6 References 196.1 Wikimedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.2 Fabricants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.3 Site de l’enseignant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

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1 Introduction

Les capteurs sont des dispositifs permettant de rendre accessible une grandeur phy-sique donnee. Leur utilisation se generalise de plus en plus dans les systemes complexesque nous utilisons tous les jours. Prenons par exemple l’exemple de la voiture. Desormais,de nombreux vehicules sont equipes de capteurs de distance a l’arriere permettant d’as-sister le conducteur lors des manœuvres. Les capteurs sont egalement present dans lessystemes de regulation ou la grandeur a regulee est d’abord mesuree par un capteur avantd’etre envoyee au calculateur pour determiner la commande a appliquer au processus.

Ce cours de capteur industriels comprends deux parties. Dans la premiere partie, ons’interessera aux capteurs de maniere assez generale. On precisera les grandeurs permet-tant de caracteriser les performance des capteurs. On passera en revue un certain nombrede types de capteurs en expliquant les principes physiques a la base d’un certain nombrede ces capteurs. La seconde partie de ce cours concerne le capteurs photo-voltaıques etest assuree par Yves-Andre Chapuis.

Modalite de controle des connaissances

Cette premiere partie du cours de Capteurs Industriels sera evaluee sur deux points.

Etude bibliographique. Un travail personnel sur un sujet en relation avec le cours estdemande. Le sujet d’etude sera d’un des types suivants :

– un effet physique particulier et ses applications en mesure– un type de mesure donnee (position, debit...) ; vous ferez alors un recensement des

differentes technologies disponibles et des applications– un domaine d’application (automobile, aeronautique...) ; vous ferez alors un recense-

ment des differentes grandeurs mesurees et des technologies couramment employees.On appreciera un choix original correspondant a une orientation personnelle. Vous redigerezun rapport bibliographique sur le sujet et vous ferez une presentation orale presentantde maniere didactique le travail realise et les informations recoltees. Dans le rapportecrit, vous prendrez bien soin d’appliquer les regle qui s’imposent en matiere de citation.Comme il s’agit d’un rapport bibliographique, on ne s’attend pas a ce que vous produi-siez du contenu par vous meme. Votre valeur ajoutee consistera a selectionner les sourcesjudicieuses compte-tenu de votre theme. Il est imperatif de fournir une liste exhaustivedes references, et de preciser dans le corps du rapport les emprunts a ces references. Enoutre, il vous est demande de detailler au moins un document technique (type datasheet)correspondant a une utilisation typique. La presentation orale, d’une duree d’environ 10minutes aura lieur lors de la 4eme seance de cours, le 12 octobre. Le rapport sera etrefourni de preference sous format electronique lors de la soutenance. Le choix du sujet estlibre mais doit etre valide par votre enseignant lors de la seconde seance de TD.

Une evaluation ecrite d’une heure testera les capacites a resoudre un exercice en lienavec les exercices du cours.

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2 Principe, limite et performances

2.1 Principe

Assez peu de grandeurs physiques sont directement accessibles a la mesure. La gran-deur la plus facilement mesurable est la tension electrique. Un capteur est un systemepermettant un couplage entre une grandeur physique a mesurer et une grandeur physiquemesurable encore appelee signal de mesure. Notons y la grandeur a mesurer et ym le signalde mesure. Idealement, on s’attend a ce que le signal de mesure soit une fonction aussisimple que possible de la grandeur a mesuree. Notons ym = f(y) cette fonction. Il fautque cette fonction soit inversible, ce qui permet de determiner la grandeur physique apartir du signal : y = f−1(ym). Par exemple, si le signal de mesure varie lineairement enfonction de la grandeur physique, c’est-a-dire que le fonction s’ecrit f(y) = a y, alors ondetermine la grandeur par ym = 1

ay.

Comme f ne sera connu qu’avec une precision limitee, introduisons f la caracteristiqueestimee du capteur. A l’aide de cette caracteristique, on determine l’estimee de la grandeurphysique que l’on nomme y = f−1(ym). En presence d’erreur de mesure, on a f 6= f etdonc y = f−1(f(y)) = (f−1 f(y)) 6= y.

2.2 Imperfection des capteurs

2.2.1 Linearite

Il est courant que la caracteristique d’un capteur soit legerement non-lineaire. Parexemple, au dela d’une certaine valeur, un phenomene de saturation peut etre rencontre.Ces non-linearite, si elles ne sont pas compensees, limite la precision du capteur. Dansune certaine limite, ces non-linearite peuvent etre compensees.

Exercice 1 (Compensation d’une non-linearite)Considerons le cas d’une caracteristique affectee par une saturation identifiee par la fonc-tion suivante :

ym = f(y) =ay

1 + αy2(1)

ou a et α ont ete determines a partir de mesures experimentales

1. Donnez l’allure de la caracteristiques du capteur.

2. Donnez la plage de linearite a 5 %.

3. Determinez l’expression de l’estimation de la mesure y en fonction de ym.

Exercice 2 (Identification de la caracteristique d’un capteur non-lineaire)Un capteur presente une caracteristique non-lineaire. On dispose d’un ensemble de me-sures (yk, ymk), k = 1...n avec n > 2 et ou yk a ete donne par une technique de mesurecomplementaire. On cherche a identifier une caracteristique du capteur sous la forme d’unmodele parametrique. Dans notre cas, on considere une caracteristique de la forme :

ym = f(y) =ay

1 + αy2(2)

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ou a et α sont les parametres a determiner. On notera θ = [a α]T le vecteur des parametres.

1. Recrivez l’equation du capteur sous une forme affine en fonction du vecteur desparametres :

A(y, ym) θ = b(y, ym) (3)

2. Deduisez-en l’equation lineaire que doit verifier le vecteur des parametres si onconsidere l’ensemble des mesures. Cette equation sera donnee sous la forme :

Aθ = B (4)

3. Determinez l’expression de θ qui satisfait l’equation (4) au sens des moindres carres,c’est-a-dire de maniere a minimiser la norme 1 de Aθ −B.

2.2.2 Composante continue

On parle aussi d’offset. Imaginons un capteur presque parfait, de caracteristique affinef(y) = ay + b. La valeur b introduit une composante continue sur le signal de mesure.Generalement, cette valeur peut-etre facilement evaluee en testant le systeme avec y = 0.Ce reglage peut etre effectue au moment de la calibration. S’il est amene a varier d’unessai a l’autre, il convient de le re-evaluer regulierement, ce qui est simple a mettre enœuvre.

2.2.3 Sensibilite aux conditions exterieures

On souhaite que le signal de mesure ne soit sensible qu’a la grandeur a mesurer.En realite, il sera sans doute (legerement) sensible a d’autres phenomenes (par exemplela temperature). Notons z un phenomene perturbateur. La loi de mesure s’ecrit alorsym = g(y, z) et, en theorie, il est impossible de determiner y sans connaıtre z. Notons

σy(y, z) = ∂g(y,z)∂y

la sensibilite par rapport a la grandeur a mesurer et σz(y, z) = ∂g(y,z)∂z

lasensibilite par rapport a la perturbation. Deux approches sont possibles suivant le rapportentre ces deux sensibilites.

1. Idealement, il faut que le capteur soit beaucoup plus sensible par rapport a lagrandeur a mesurer que par rapport a la grandeur perturbatrice, c’est-a-dire que|σy(y, z)| |σz(y, z)| pour toutes les conditions (y, z), alors on peut envisager denegliger les effets des perturbations et de considerer la caracteristique a z nominal :f(y) ' g(y, z∗) ou z∗ est la valeur nominale de la perturbation.

2. Si le capteur est trop sensible a la perturbation, il est necessaire de compenserses effets. Cela revient a considerer que l’on mesure cette perturbation et que l’ondetermine ensuite y tel que ym = g(y, z) ou z est la valeur mesuree de z. Par exemple,si la loi de mesure s’ecrit ym = ay + cz, l’estimation de la grandeur physique esty = 1

a(ym − cz).

1. On considere la norme euclidienne telle que ||x|| =√∑

k(xk)2 ou xk represente la keme composantesdu vecteur x.

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2.2.4 Bande-passante

Jusqu’a present, nous avons considere que le capteur donnait instantanement la me-sure. En realite, un capteur presente certaines dynamiques qui limitent la rapidite de sareponse. Ainsi, en cas de variation de la grandeur physique, le signal de mesure subitd’abord un regime transitoire avant de se stabiliser a une valeur de regime permanent.Dans cette situation, on mesure le temps de reponse a 5 % comme la duree qui s’ecouleentre l’instant de variation de la grandeur physique et l’instant ou le signal de mesure sestabilise dans une bande de 5 % autour de la valeur finale.

Une autre grandeur pour caracteriser la rapidite d’un capteur est sa bande passante.Considerons que la grandeur physique varie de maniere sinusoıdale a la frequence favec une amplitude Y donnee. Si le capteur est lineaire, le signal de mesure varie alorsde maniere sinusoıdale a la meme frequence. Soit Ym l’amplitude du signal de mesureet G = Ym/Y le gain du capteur qui est fonction de f . Le capteur a un comporte-ment de type passe-bas. C’est-a-dire que pour les frequances faibles, le gain est constantegal a G0 et que au dela d’une certaine frequence, son gain chutte. La bande-passanteest la frequence fbp (en Hz) pour laquelle G(fbp) = G0/

√2. En decibels, cela donne

20 log(Gbp) = 20 log(G0)−3. Pour etre plus precis, on parle de “bande-passante a -3 dB”.On peut aussi considerer la pulsation de bande-passante ωbp = 2πfbp (en rad/s).

En assimilant le capteur a un systeme du premier ordre, on peut utiliser la relationsuivante entre temps de reponse et bande-passante :

ωbp tr = 3 (5)

Dans le cas ou le capteur a comportement plus complexe qu’un systeme du premier ordre,cette formule est tout de meme utilisable pour determiner tr a partir de ωbp ou le contraire.

Exercice 3 (Caracterisation d’un capteur)On suppose qu’un capteur est caracterise par une fonction de transfert suivante :

Ym(s)

Y (s)= G(s) =

K

1 + τs(6)

Pour les application numeriques, on prendra K = 2 et τ = 1 ms.

1. Determinez la gain statique du capteur.

2. Determinez la forme et l’allure de la reponse a un echelon du capteur.

3. Determinez l’expression du temps de reponse a 95% du capteur en fonction de τ .

4. Determinez l’expression de |G(jω)|, le gain frequentiel a la pulsation ω, en fonctiondes parametres du modele.

5. Tracez l’allure du gain frequentiel en echelle log/log.

6. Determinez l’expression de la bande-passante a -3 dB ωbp du capteur.

7. Pour ce capteur, determinez la valeur numerique de ωbp tr.

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2.2.5 Bruit de mesure

La mesure peut etre entachee d’un bruit de mesure considere comme un signal sto-chastique (aleatoire). Notons e cette erreur ; la mesure s’ecrit alors ym = f(y) + e si onconsidere une erreur additive. En considerant des mesures effectuees aux instants tk, lesmesures s’ecrivent ym(tk) = f(y(tk)) + e(k) ou e(k) sont des realisations d’un processusaleatoire. Pour caracteriser ce bruit de mesure, on peut preciser differentes proprietes

– Un signal est stationnaire si ses proprietes n’evoluent pas dans le temps.– L’esperance E(e(k)) est estimee en prenant la moyenne sur un nombre important de

mesures.– La variance est σ2 = E

((e(k)− E(e(k)))2).

– L’ecart-type σ est egal a la racine-carree de la variance.– Un bruit est gaussien s’il sa distribution statistique est gaussienne.– Un bruit estbanc si son spectre est uniforme.– Si le bruit n’est pas blanc, il etre colore, c’est-a-dire que la puissance varie en fonc-

tion de la puissance.

Par nature, il n’est pas possible de compenser une erreur aleatoire, a moins qu’elle soitissue d’un modele. Par contre, des techniques de filtrages peuvent etre appliquees afin dereduire son impact.

2.2.6 Hysteresis

Imaginons que, partant d’une valeur de la grandeur a mesuree y1 pour laquelle la me-sure donne ym1, que l’on fasse ensuite varier y puis que l’on revienne a la valeur initialey1 mais que dans ce cas on obtienne une nouvelle valeur de la mesure ym2 differente dela premiere. On se trouve alors dans une situation ou a une meme valeur de la grandeurphysique correspond plusieurs valeurs du signal de mesure. Inversement, pour une memevaleur du signal de mesure peut correspondre plusieurs valeurs de la grandeur physique,ce qui rend difficile le probleme de mesure.

Le phenomene que nous venons de decrire correspond generalement a un hysteresis.Il se rencontre notamment en magnetisme (hysteresis de la courbe induction/champmagnetique) et dans les jauges de deformation generalement utilisees pour les mesuresde force. Les courbes 1 et 2 illustrent ce phenomene. Le schema de simulation ayantpermis d’obtenir ces resultats est donne sur la figure 3.

2.2.7 Repetabilite

De maniere generale, la repetabilite est la possibilite de reproduire une experience ouun evenement. Pour un capteur, il s’agit de l’ecart entre les signaux de mesures obtenuspour la meme valeur de la grandeur physique atteinte de differente maniere. L’hysteresislimite la repetabilite d’un capteur.

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Figure 1 – Effet d’un hysteresis sur un signal : signaux temporels en entree et en sortied’une hysteresis

2.3 Etalonnage

Au fur et a mesure de leur vieillissement et de leur utilisation, les capteurs sont sus-ceptibles de voir leurs caracteristiques f evoluer. La procedure d’etalonnage consiste acomparer des mesures issues du capteur avec celles donnees par un capteur de referencedont on est assure du bon fonctionnement. Ces essais permettront de determiner unenouvelle caracteristique f plus precise permettant de determiner avec precision y ' y.

Pour un capteur de caracteristique affine f(y) = ay + b, l’etalonnage consiste adeterminer les valeurs numeriques (a, b) des parametres (a, b) les plus precises possibles.

La relation inverse s’ecrit alors y = f−1(ym) = ym−ba

= aay + b−b

a.

2.4 Limite de fonctionnement

On distingue generalement deux types de limite de fonctionnement qui concernent lagrandeur a mesurer mais egalement l’environnement (la temperature par exemple) :

– une premiere limite au dela de laquelle la precision de la mesure n’est plus garantie.Au dela de cette limite, les imperfections du capteur se font ressentir plus fortement(notamment les non-linearites). Il est possible d’utiliser le capteur au dela de cettelimite sans degradation.

– une seconde limite au dela de laquelle le capteur sera endommage de maniereirreversible.

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Figure 2 – Cycle parcouru par une hysteresis

Figure 3 – Schema de simulation pour l’illustration de l’hysteresis (backlash)

3 Principes physiques

A la base d’un capteur, on trouve un transducteur, capable de transformer une gran-deur physique en une autre. A titre indicatif, voici quelques principes physiques utilisesdans les capteurs : effet Hall, effet gyroscopique, piezo-resistivite, effet piezo-electrique,effet Doppler, temps de propagation.

3.1 Effet piezo-electrique

Les ceramiques piezo-electrique ont la propriete de developper un champ magnetiquelorsqu’elles subissent une contrainte mecanique 2. Cet effet est utilise pour developperdes capteurs de pression, d’acceleration ou de deformation. L’effet piezo-electrique est

2. Vous pourrez vous referer au site http://en.wikipedia.org/wiki/Piezoelectricity ou http:

//fr.wikipedia.org/wiki/Pizolectricit pour plus de details sur cet effet.

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reversible. Ainsi, des actionneurs peremttent de realiser de faibles deplacements grace al’application d’un champ electrique 3.

3.2 Effet Hall

Un materiaux place dans un champ magnetique d’induction ~B et parcouru par uncourant i dans la direction ~ui voir apparaıtre une difference de potentiel electrique dansla direction transverse 4.

L’applications principale est la mesure de courant avec isolation galvanique (isola-tions electrique des circuits primaires et secondaires) 5. On peut utiliser cette techniquepour mesurer des tensions de maniere isolee en mesurant le courant traverse par uneresistance. Les sondes a effet Hall sont egalement utilisees dans certains moteurs syn-chrones auto-pilotes (DC brushless) afin de detecter la position du rotor et de commanderen consequence le courant du stator.

4 Quelques exemples

4.1 Mesure de position

4.1.1 Gereralites

La mesure de position angulaire se realise generalement au moyen d’une roue surlaquelle sont places un certain nombre de pistes composees de portions opaques et claires.En regard, un detecteur opto-electronique permet de detecter si on se trouve en faced’une piste opaque ou d’une piste claire. Ce principe est detailles dans la suite. Une autrepossibilite est de recourir a un potentiometre rotatif dont la resistance varie lineairementavec la position. Cette derniere technique a un cout moindre mais ne permet pas d’obtenird’aussi bonnes precisions.

4.1.2 Mesure incrementale

C’est la technique la plus repandue. Elle permet une bonne precision a un cout raison-nable. Comme son nom l’indique, elle ne permet que de compter le deplacement depuisla mise en route et ne permet pas de determiner la position absolue. Toutefois, celle-cipourra etre determinee de maniere alternative 6. De plus, l’utilisation d’une pile electriquepermet de conserver la position en memoire meme lorsque l’alimentation du systeme estcoupee.

3. Voir par exemple la gamme de Cedrat sur http://www.cedrat.com.4. http://www.stielec.ac-aix-marseille.fr/cours/abati/hall.htm

5. Voir le site du fabricant LEM, specialise dans les mesures de tension et de courant electriques :http://web4.lem.com/

6. Par exemple, en robotique, on peut demander au robot de se deplacer jusqu’a une butee articulaireafin d’initialiser la position.

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Figure 4 – Signal delivre par un codeur incremental a 1000 points par tour

Le codeur est equipe de deux pistes qui permettent de delivrer deux signaux encreneaux qui varient en fonction de la position. Ces deux signaux sont decales d’un quartde periode afin de permettre la determination du sens de rotation. Un circuit numerique decomptage/decomptage sera ensuite utilise afin de permettre la determination du nombrede pas de rotations. Chaque piste comptant N creneaux, la precision exprimee en radianest de 2π/4N . Le nombre de points par tour peut atteindre plusieurs milliers.

4.1.3 Mesure absolue

Afin de determiner de maniere absolue la position, le codeur comprends n pistes. Cha-cun des pistes sert a coder un bit de la decomposition binaire de la position. Par exempleavec n = 3 pistes, on peut coder 2n = 8 positions.Sur un tour, on rencontrera successi-vement les positions donnees dans le tableau 1. La precision en radian est de 2π/2n. Parrapport au codeur incremental, le codeur absolu a generalement une precision moindre.Son cout est plus eleve.

position piste 2 piste 1 piste 00 0 0 01 0 0 12 0 1 03 0 1 14 1 0 05 1 0 16 1 1 07 1 1 1

Table 1 – Succession des positions en code naturel a 3 bits

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Le code naturel a l’inconvenient d’entraıner des commutation simultanees de plusieursbits. Ainsi, pour passer de la position 3 a la position 4, l’ensemble des trois bits doiventcommuter. En realite, la commutation ne se fera pas instantanement. De ce fait, on risquede lire des valeurs intermediaires aberrantes. Par exemple, si le le bit 2 est le premier acommuter, on lira la valeur 7 lorsqu’il passera a 1. Pour eviter ce probleme, on utilise uncodage permettant une seule commutation a chaque changement de position. On appellecode Gray ce type de codage (voir tableau 2).

position piste 2 piste 1 piste 00 0 0 01 0 0 12 0 1 13 0 1 04 1 1 05 1 1 16 1 0 17 1 0 0

Table 2 – Succession des positions en code Gray a 3 bits

Exercice 4 (Codeur incremental)La roue d’un vehicule autonome, d’un diametre de 8 cm, est entraınee par un moto-redcuteur dont le reducteur a un rapport de 20. On considere que le moteur est equiped’un codeur incremental place du cote oppose au cote roue. Compte tenu d’une perioded’echantillonnage de 1 ms et sachant que l’on souhaite determiner la vitesse du vehiculeavec une precision de 1 mm/s, determinez le nombre de points par tour necessaires aucodeur.

4.2 Les souris

Les souris utilisees en informatique sont des capteurs permettant de determiner lestranslations dans le plan. Plusieurs technologies ont ete developpees 7. Auparavant, lespremieres generations de souris etaient mecaniques. Une bille en contact avec la tableroulait au fur et a mesure des deplacements de la souris. Au moyen de deux roues, lesdepalcement horizontaux etaient transmis a un codeur incremental de position.

Desormais, les souris sont optiques. La lumiere emise par une DEL (diode electroluminescente,ou encore LED en anglais) est reflechie par le plan de travail. Cette lumiere est ensuiterecue par une camera puis analysee. De l’analyse des ecarts entre deux images succes-sives, on deduit le deplacement. Les interets de cette technologie optique, par rapport a latechnologie mecaniques, sont : 1/ de ne pas s’encrasser (la boule et les roues de la sourismecanique recoltent les poussiere et finissent par ne plus tourner correctement) ; 2/ de

7. Voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Souris_(informatique).

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Figure 5 – Principe de fonctionnement d’une souris mecanique[http://fr.wikipedia.org/wiki/Souris_(informatique)]

fonctionner correctement sur des surfaces non planes. Inversement, elle a l’inconvenientde ne pas fonctionner sur des surface parfaitement uniformes et sans texture.

Le calcul du deplacement entre deux images peut se faire par un calcul de correlation.On deplace successivement la seconde image de differentes valeur et on observe a chaquefois la correlation entre l’image precedente et l’image actuelle decalee. La courbe dela correlation en fonction du deplacement presente un pic qui permet de determinerle deplacement entre les deux images. Cette technique est utilisee successivement danschacune des deux directions.

4.3 Jauge de contrainte

Les jauges de contraintes sont en fait des capteurs de deformations. Ils s’agit depieces mecaniques legerement deformables qui sont inserees dans une structure mecanique.Les contraintes exercees par la structure sur la jauge entraine une legere deformation.Differents transducteurs permettent de recuperer la valeur de la deformation : soit pareffet piezo-resistif (une resistance collee a la jauge voit sa valeur varier), soit par effetpiezo-electrique. Les jauges de contrainte permettent de realiser des capteurs d’effortspour 1 a 6 DDL.

4.4 Accelerometre

Les accelerometres sont generalement constitues d’une petite masselotte en translationreliee au boitier du capteur par un ressort. A l’equilibre, le deplacement de la masselotte estproportionnel a la composante de l’acceleration dans la direction de la mesure. Precisonsque ces capteurs sont sensibles a la gravite. Ils peuvent egalement servir d’inclinometreen quasi-statique.

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Exercice 5 (Accelerometre)

1. Faites un schema de principe du dispositif incluant la position x du capteur, cellede la masselotte, le ressort et l’amortisseur.

2. A partir de la relation fondamentale de la dynamique, determinez l’equation differentielleliant x, δ et leurs derivees.

3. Donnez la fonction de transfert H(s) permettant de passer de x a δ.

4. Determinez le gain statique de H(s) et deduisez en la loi d’estimation ˆx = g(δ)valable en regime statique.

5. Deduisez-en la fonction de transfert H(s) entre x et ˆx.

6. Donnez l’allure de la reponse frequentielle du capteur (c’est-a-dire l’evolution dugain de H(s) en fonction de la pulsation).

7. Determinez l’expression de la frequence de resonance du capteur en fonction de sesparametres ainsi que sa valeur numerique.

4.5 Mesure de distance, de niveau

On peut utiliser les ultrasons ou un laser (plus precis). Une onde est emise dans unedirection donnee (ou dans un secteur donne). L’onde reflechie est ensuite receptionne.Le dephasage ou le retard entre l’onde emise et l’onde recue permet l’estimation de ladistance.

4.6 Mesure de courant

4.6.1 Shunt

Un shunt est un element resistif de faible resistance R qui est place dans un circuitelectrique afin d’en mesurer le courant i a l’aide d’un appareil de mesure de tension. Latension aux bornes du shunt est v(t) = Ri(t), ce qui permet de donner une mesure ducourant : i(t) = 1

Rv(t). L’avantage de cette technique est sa tres grande simplicite, d’ou

son faible cout. Ses inconvenients principaux sont : 1/ le manque d’isolation galvanique ;2/ sa limitation en frequence du fait que le courant traversant le shunt rayonne du fluxqui produit une force-electromotrice induite qui perturbe la mesure.

En effet, le circuit de mesure est une boucle qui coupe le flux rayonne par le passage ducourant. On peut considerer que le flux traversant le circuit de mesure est proportionnelau courant : φ(t) = Li(t) ou L est un coefficient d’inductance. La tension mesuree est

alors v(t) = Ri(t) + dφ(t)dt

= Ri(t) + Ldi(t)dt

.

En pratique, il faut torsader les fils de mesure afin de reduire la surface de la boucle etreduire ainsi la valeur de l’inductance. Toutefois, cette technique a ses limites. Des shuntsdits co-axiaux (ou planaires) ont la particularite de permettre aux fils de mesure d’accederaux points de mesure en traversant un espace ou le champ est nul. Ainsi, le champ coupant

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la boucle de mesure est nul. Ces shunts co-axiaux permettent une utilisation au dela de1 kHz alors que les shunts classiques sont limites a la centaine de Hertz.

4.6.2 Transformateur de courant

Les transformateurs de courant ou transformateurs d’intensite sont principalementdestines a la mesure de courants sur les lignes electriques 50 Hz (ou 60 Hz) en presence deforts courants. Ils ont l’avantage de permettre une mesure isolee (isolation galvanique). Ilsont l’inconvenient de ne pas laisser passer les composantes continues et de disposer d’unebande passante limitee.

4.6.3 Mesure par effet Hall

Les pinces de courant ont l’interet de permettre une mesure de courant sans contactde maniere flexible (la pince se met en place sans ouvrir le circuit principal). Elles sontconstitues d’un circuit magnetique que l’on place autour du courant a mesurer ou estinsere une sonde a effet Hall. Le flux induit est donne par la loi d’Hopkinson :

Rφ = i(t) (7)

ou R est la reluctance du circuit, principalement determinee par celle de la sonde :

R =e

µ0S(8)

ou e est l’epaisseur de la sonde, S est sa section et µ0 est sa permeabilite magnetique, egalea celle du vide. Le champ B est donne par B = φ/S. La sonde a effet Hall, traversee parun courant constant, permet ensuite de mesurer le champ B, ce qui permet de mesurer i.

Ce type de sonde permet des mesures a des frequences elevees, permettant par exemplede detecter des transitoires rapides. Toutefois, les imperfections du circuit magnetique(hysteresis et saturation) affectent la precision de la mesure.

Afin d’ameliorer les resultats, il est possible de placer un second circuit, faisant nspires autour du circuit magnetique. Soit j le courant le traversant. Avec une conventionadequate, la loi d’Hopkinson s’ecrit alors :

Rφ = i(t)− nj(t) (9)

A l’aide d’une boucle de regulation, on injecte le courant j permettant de maintenir nulle champ mesure par la sonde a effet Hall. Comme j est connu, cela permet de mesureri :

i(t) = nj(t) (10)

Cette technique permet de s’affranchir largement des imperfections du circuit magnetique.En bande passante, elle est uniquement limitee par la bande passante de l’alimentationdu courant j.

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5 Capteur logiciel

Dans certains cas, il est possible de remplacer un capteur par un calcul a partir dela mesure d’autres grandeurs. On parlera alors de capteur logiciel. Les avantages sont :1/ un cout moindre ; 2/ absence de risque de panne du capteur. Les inconvenients sontgeneralement une precision moindre car l’estimation s’appuie sur les equations du systemequi ne sont connues qu’avec une precision limitee. On distinguera deux types d’estimation :

– soit le signal est estime a partir d’un signal unique par simple inversion ;– soit on determine le signal a partir d’une fusion d’informations. Dans ce dernier

cas, le probleme est theoriquement surdetermine et on cherchera donc a minimisercertains criteres.

5.1 Estimateur simple

A titre d’illustration, voici deux exemples reels.

5.1.1 Estimateur du flux dans les machines asynchrones

Les machines asynchrones (ou moteur a induction) ont l’avantage d’etre simple a fa-briquer mais elles ont l’inconvenient d’un modele relativement complexe par rapport auxtechnologies a courant continu et synchrones. Dans les algorithmes de commande les pluscouramment employes, i.e. la methode du flux rotorique oriente (FRO ou FOC pour fluxoriented control), on se place dans un repere tournant lie au flux magnetique du rotor.Generalement, on ne mesure pas le flux ; il est donc necessaire de l’estimer.

En notant φr l’amplitude du flux rotorique, on introduit le courant magnetisant im quiest une image du flux : φr = Mim ou M est un coefficient de mutuelle inductance entrele stator et le rotor. Le courant magnetisant est alors determine par l’equation suivante :

dimdt

+1

Trim =

1

Trisd (11)

ou Tr est un parametre appele constante de temps rotorique et isd est la composante di-recte du courant du stator dont la valeur peut etre consideree comme disponible a chaqueinstant.

Cette equation se reecrit sous forme de fonction de transfert im(s) = H(s) isd(s) ou :

H(s) =1

1 + Trs(12)

Pour estimer im, il suffit de realiser un filtre de fonction de transfert H(s) et lui fournir enentree isd(t). Cette estimation sera generalement realisee en temps discret sur un calcula-teur. L’algorithme implante sera une equation aux recurrences obtenue en remplacant lavariable de Laplace s par une approximation a temps discret 8.

8. Le lien entre l’operateur avance z et l’operateur derivee s est donne par z = exp(Ts) ou T est la

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Exercice 6 (Implantation d’un filtre sur calculateur)Donnez les equations aux recurrences a implanter sur un calculateur numerique permet-tant de realiser l’estimation du courant magnetisant a par partir de la composante directedu courant du stator. On traitera les methodes de discretisation de type Euler et Tustin.Donnez ensuite l’algorithme permettant de faire le calcul de im dans une tache periodique.

5.1.2 Estimation de la vitesse d’un moteur a courant continu

Les moteurs a courant continu destines a la variation de vitesse sont generalementequipe d’un codeur incremental grace auquel on peut estimer la vitesse avec une assezbonne precision. Toutefois, les variateurs prevoient generalement un mode d’asservisse-ment de vitesse meme sans capteur de position. Ce mode, parfois intitule “compensationRI” correspond a un calcul de la vitesse a partir de la mesure du courant.

L’equation de l’induit d’un moteur a courant continu s’ecrit :

u(t) = KΩ(t) +Ri(t) + Ldi(t)

dt(13)

ou u est la tension d’alimentation (connue), Ω est la vitesse de rotation du moteur (incon-nue), i(t) est le courant (connu car le moteur fonctionnant a vitesse variables est toujoursequipe d’une regulation de courant permettant de geree les limitations de courant), K estla constante de force electro-motrice, R est la resistance d’induit et L est l’inductance del’induit. On suppose que des valeurs numeriques approchees des parametres sont dispo-nibles : K, R et L.

Il est assez simple d’estimer la vitesse a partir de la tension et du courant :

Ω(t) =1

K(u(t)− Ri(t)− Ldi(t)

dt(14)

ou Ω est l’estimee de la vitesse. Cette notation est egalement utilise pour les parametresafin de rappeler qu’il faut connaıtre leur valeur numerique avec une assez bonne precisionpour que l’estimation de la vitesse soit precise 9.

En realite, le terme Ldi(t)dt

est rarement integre dans l’estimation. En effet, pour unmoteur a courant continu, ce terme est nul en regime permanent et ses variations sontbien plus rapides que celles de la vitesse. On pourra alors se contenter de calculer Ω1(t) =1

K(u(t) − Ri(t)) et de filtrer cette grandeur par un filtre passe-bas H(s) permettant de

filtrer les effets des Ldi(t)dt

. La bande-passante de ce filtre sera reglee de maniere a laisser

constante d’echantillonnage. On peut utiliser une approximation au premier ordre exp(ε) ' 1/(1 − ε),l’approximation d’Euleur : s = (1−z−1)/T . La transformee bilineaire de Tustin, issue de l’approximation

exp(ε) ' 1+s/21−s/2 valable au second ordre, donne s ' 2

Tz−1z+1 .

9. Le variateur peut etre choisi independamment du moteur. Ainsi, il sera necessaire de regler lesvaleurs estimees des parametres dans le variateur. De plus, ces valeurs sont susceptibles de varier aucours du fonctionnement, notamment la resistance en fonction de la temperature et l’inductance a causede la saturation magnetique.

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passer les frequences correspondant a la dynamique de variation de la vitesse. La mention“compensation RI” indiquee sur les variateurs de la marque Maxon 10 signifie que le termeRi est bien integre dans l’estimation de la vitesse. D’autres produits peuvent s’appuyersur une estimation plus approximative en negligeant ce terme.

5.2 Observateur

La theorie de l’observation des systemes dynamiques est un domaine bien etabli danslequel on peut puiser de nombreuses methodes permettant de developper des capteurs lo-giciels. Dans ce paragraphe, on se limite a montrer le cas d’un systeme dynamique lineaire.

Soit un systeme dynamique lineaire de signal d’entree u(t) et de signal de sortie y(t),ces deux signaux etant mesures. En notant x le vecteur d’etat du systeme et z le signal aestimer, nous considerons le modele dynamique suivant :

x = Ax+Bu (15)

y = Cx+Du (16)

z = Ex+ Fu (17)

Plutot que d’utiliser un ou des capteurs pour determiner z, nous cherchons a l’estimergrace aux equations du systeme et aux mesures de u et y. Pour cela, on passera par l’es-timation de l’etat x. Une fois l’estimee x de l’etat disponible, la sortie du capteur logicielest donnee par z = Ex+ Fu.

Une premiere idee est simplement d’utiliser le signal d’entree u et d’integrer la premiereequation du systeme :

x(s) = (sI− A)−1Bu(s) (18)

Toutefois, il serait plus judicieux de tenir compte egalement du signal de mesure afin decorriger les erreurs diverses qui peuvent affecter l’estimation (bruit de mesure, erreursde modelisation, erreurs d’estimation des parametres). De plus, cette technique ne peutetre employee pour estimer l’etat d’un systeme instable. On construit alors un systemedynamique proche de celui du systeme en integrant un terme d’erreur de mesure y−Cx :

˙x = Ax+Bu+ L(y − Cx) (19)

ou L est une matrice de gain appelee gain de l’observateur.

Notons ε = x− x l’erreur d’estimation de l’etat. Sa dynamique s’ecrit :

ε = x− ˙x (20)

= Ax+Bu− (Ax+Bu+ L(y − Cx)) (21)

= Ax+Bu− (A− LC)x−Bu− L(Cx+Du)) (22)

= (A− LC)ε (23)

10. www.maxonmotor.com/

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On observe que la dynamique de l’erreur d’estimation e est independante de la com-mande u et est reglable grace au gain L.

Definition 1 (Observabilite)On dit que le systeme (A,C) est observable si les poles de A − LC peuvent etre placesarbitrairement en reglant L.

Definition 2 (Detectabilite)On dit que le systeme (A,C) est detectable s’il existe un gain L tel que A − LC soitHurwitz (tous ses poles sont a partie reelle negative, i.e. stable).

Lorsque le systeme est observable, le gain de l’observateur peut etre determine pardiverses methodes. La plus connue est sans doute la methode de Kalman qui determine,dans un contexte stochastique, l’estimee de variance minimale. Un reglage adequat dugain permettra :

1. de stabiliser l’estimation si le systeme de depart n’est pas stable ;

2. d’accelerer la convergence de l’observateur ;

3. d’attenuer les effets de perturbations exterieures.

Exercice 7 (Estimation de la vitesse d’un moteur a courant continu)Un moteur a courant continu a les equations suivantes :

u(t) = KΩ(t) +Ri(t) + Ldi(t)

dt(24)

JdΩ(t)

dt= Ki(t)− fΩ (25)

La tension d’induit u(t) et le courant i(t) sont mesures. On cherche a estimer la vitesseΩ(t) a partir d’un observateur de gain Lo.

1. En prenant comme vecteur d’etat x = [i Ω]T, donnez les matrices de la representationd’etat du systeme.

2. Donnez la representation d’etat de l’estimateur utilisant la mesure de u et i.

6 References

6.1 Wikimedia

– http://fr.wikipedia.org/wiki/Cat’egorie:Capteur

– http://fr.wikipedia.org/wiki/Transducteur

– http://fr.wikipedia.org/wiki/Pi’ezo’electricit

– http://fr.wikipedia.org/wiki/Effet_Hall

– http://fr.wikipedia.org/wiki/Capteurs_de_courant_‘a_Effet_Hall

– http://fr.wikipedia.org/wiki/Capteur_de_proximit’e

– http://fr.wikipedia.org/wiki/Jauge_de_d’eformation

– http://en.wikipedia.org/wiki/Accelerometer

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6.2 Fabricants

– Fabricant de capteurs multi-domaine : http://www.keyence.fr– LEM : fabricant de capteurs de tension et de courant electrique : http://web4.lem.com/hq/fr

– Cedrat, specialiste des capteurs et actionneurs piezo-electriques : http://www.cedrat.com/

– Analog Devices, fabricant de composants electroniques, produit sous forme de MEMS,des capteurs d’acceleration et des gyroscopes : http://www.analog.com/en/mems/products/index.html

6.3 Site de l’enseignant

– Fabricant de capteurs multi-domaine : http://eavr.u-strasbg.fr/~laroche/student/#MMecatro

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