capítulo 4 dinâmica dos osciladores lineares discreto e ... · 4.8 osciladores generalizados de...
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Capítulo 4
Dinâmica dos osciladores lineares discreto e contínuo
4.8 Osciladores generalizados de um grau de liberdade.
O caso da viga de Euler-Bernoulli.
Osciladores generalizados com um grau de liberdade
Trata-se de osciladores com propriedades de inércia,
amortecimento e rigidez com distribuição contínua no seu corpo
)y()t(q)t,y(u)y()t(q)t,y(u)y()t(q)t,y(u
φ=φ=φ=
&&&&&&
e nos quais a deformada dinâmica pode ser representada por uma
função de forma )y(φ respeitando as condições de fronteira
cinemáticas (e portanto o campo de deslcoamentos relativos)
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Por aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais às forças
aplicadas (de inércia, dissipativas e de restituição elástica) e às
deformações resultantes de uma variação infinitesimal (virtual) da
configuração deformada )t(q)y()t,y(u δφ=δ :
PTV (mais concretamente, a sua versão dos deslocamentos
virtuais)
IE WW δ=δ
Trabalho realizado pelas forças exterior, de inércia e
dissipativa ∫ δ++=δ
L
0DIEE dy)y(u)fff(W
Força de inércia
)t,y(u)y(m)t,y(f tI &&−=
Força dissipativa )t,y(u)y(c)t,y(fD &−=
( )∫ δ++−=δL
0gE dy)y(u)t,y(u)y(c))t(u)t,y(u)(y(mW &&&&&
Recordando a definição do campo virtual de deslocamentos:
)t(q)y()t,y(u δφ=δ
qdy)y()y(mudy)y()y(c
dy)y()y(m)t(qW L
0g
L
0
2
L
0
2
E δ
φ+φ
+φ−=δ
∫∫∫
&&
&&
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O trabalho δWI depende do tipo de modelo estrutural adoptado.
Caso da viga com hipótese de Euler-Bernoulli
)t,y(k)y)(EI()t,y(M =
)t,y(u)t,y(k ''=
Trabalho realizado pelo campo de tensões no campo de deformações virtuais
∫ δ=δL
0I dy)y(k)t,y(MW
∫ δ=δL
0yy,yy,I dy)y(u)y(uEIW
Expressando a derivada yy,u e a sua variação virtual yy,uδ em função do campo de deslcoamentos assumido
q)y()y(u)y()t(q)t,y(u
''yy,
''yy,
δφ=δφ=
( ) qdy)y(EI)t(qWL
0
2''I δ
φ=δ ∫
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( )0q
dy)y()y(mudy)y(EI)t(q
dy)y()y(c)t(qdy)y()y(m)t(q
WW
L
0g
L
0
2''
L
0
2L
0
2
IE
=δ
φ+φ
+φ+φ⇔
⇔δ=δ
∫∫∫∫
&&
&&&
Equação de equilíbrio do OL1GL correspondente ao grau
de liberdade dinâmico )t(q
)t(uL)t(qK)t(qC)t(qM g&&&&& =++
Massa generalizada associada a )t(q
∫ φ=
L
0
2 dy)y()y(mM
Coeficiente generalizado de amortecimento associado a
)t(q
∫ φ=L
0
2 dy)y()y(cC
Coeficiente generalizado de rigidez associado a )t(q
( )∫ φ=L
0
2'' dy)y(EIK
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Massa generalizada associada à excitação )t(ug&& : L− ∫ φ−=
L
0dy)y()y(mL
Frequência própria associada ao oscilador generalizado definido pela configuração )y(φ
( )
∫∫
φ
φ==ω L
0
2
L
0
2'
2n
dy)y()y(m
dy)y(EI
mK
Equação transformada correspondente à resposta do oscilador generalizado (fictício)
g2nn u
ML)t(q)t(q2)t(q &&&&& =ω+βω+
MK2C β=
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Aula 12
Aplicação do método de Rayleigh a osciladores discretos
de vários graus de liberdade: o caso do “shear
building”.
Caracterização dos movimentos sísmicos em
Engenharia Sísmica.
Instrumentos de medição.
Quanto à variação no tempo: aceleração de pico,
velocidade de pico, aceleração quadrática média,
intensidade de Arias.
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“Shear Building” Trata-se de um modelo estrutural simplificado de pórtico plano: simplificadamente, assume-se que a rigidez de flexão das vigas é consideravelmente superior à dos pilares. Como consequência, as
configurações deformadas
podem ser integralmente
descritas pelos deslocamentos
horizontais das travessas (por ex. u1 e u2). Corresponde a um oscilador discreto de vários graus de liberdade. A força de corte entre os
pisos 1i − e i , iV , é dada por 0u,n...,,1i),uu(KKV 0pisos1iiiiii ==−=∆= − .
A energia de potencial de deformação é, assim, dada por:
∑∑=
−=
=−=∆=pisospisos n
1i0
21iii
n
1i
2iiP 0u,)uu(K
21K
21E
Constata-se que a expressão de PE é igual à forma quadrática associada à
matriz de rigidez [ ]K : [ ] [ ][ ]uKu21E T
P = .
Por sua vez, a energia cinética toma a expressão
∑=
=pisosn
1i
2ic um
21E &
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a qual pode também ser apresentada como a forma quadrática associada à
matriz (diagonal) de massa [ ]M : [ ] [ ][ ]uMu21E T
c &&=
A aplicação do método de Rayleigh permite estimar a frequência própria mais baixa do oscilador (associada ao modo fundamental de vibração):
[ ] [ ][ ][ ] [ ][ ]uMu
uKuT
T21 ≈ω
Considerando a idealização da estrutura como um oscilador de um grau de liberdade:
[ ] [ ]φ= )t(q)t(u Como consequência, os valores máximos de iu ocorrem simultâneamente, sendo dados por
[ ] [ ]φ= máxmáx qu
A determinação da resposta )t(q corresponde a resolver a equação
)t(uL)t(qK)t(qC)t(qM g&&&&& =++
sendo, [ ] [ ][ ]φφ= MM T
[ ] [ ][ ]φφ= KK T
[ ] [ ][ ]1MmL Tn
1iii
pisos
φ−=φ−= ∑=
MK2C β=
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Capítulo 5
Caracterização dos movimentos sísmicos em Engenharia Sísmica
O instrumento fundamental para o conhecimento das características do movimento sísmico é o acelerógrafo (“strong motion”). Trata-se essencialmente de um transdutor correspondendo a um OL1GL com características adequadas para o efeito de medição do movimento.
Esquema simplificado de um acelerógrafo analógico [K p56 S073.pcx]
Os parâmetros desse oscilador são seleccionados de modo a obter uma reprodução fiel do movimento ocorrido. Assim, para os acelerógrafos analógicos tem-se tipicamente Hz25fn = e %60=β , enquanto que para os digitais (mais recentes) se tem Hz50fn = e %70=β . Recordando a função de transferência entre aceleração harmónica imposta )t(ug&& e o deslocamento relativo da massa )t(u (vidé figura seguinte)
( ) ( ) 2n
d2222
nguu
)(R
21
11UU
)(Hg ω
ϖ=
βϖ+ϖ−ω==ω
&&&&
compreende-se que seja possível medir movimentos com conteúdo em frequência correspondendo a 5.0~ <ω , isto é cerca de 13 Hz ou 25 Hz, respectivamente, nos acelerógrafos analógicos e digitais. De facto, tem-se nesta gama de frequências que 1)(H uu g
≈ω&& o que favorece a qualidade
do registo.
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Função de transferência de aceleração imposta para deslocamento relativo para diversos valores de amortecimento.
[K p58 S072.pcx]
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Parâmetros de amplitude: valores de pico de aceleração, velocidade e deslocamento
Aceleração de pico máxgua &&= .Reflecte as componentes de
frequência mais elevada do movimento. Trata-se de um parâmetro importante já que está associada à força de inércia máxima introduzida no oscilador, em especial os de frequência própria mais elevada (i.e. as estruturas mais rígidas).
Velocidade de pico máxguv &= . Reflecte as componentes de
frequência intermédia do movimento. Deste modo expressa com mais propriedade o efeito sobre as estruturas mais comuns (com frequências próprias mais baixas, por exemplo, inferiores a 3 Hz). Como além disso, se correlaciona bem com a Intensidade de Mercalli, tem vindo a assumir o papel de parâmetro de amplitude de eleição. Esta correlação permite traduzir a informação pré-instrumental em valores de v.
Deslocamento de pico máxgud = . Parâmetro com medição mais
errónea já que reflecte as componentes de muito baixa frequência, nas quais a precisão dos registos é menor. A dependência de a, v e d relativamente ao conteúdo em frequência do movimento resulta numa relação frequentemente existente entre aquelas
grandezas: 15vda5 2 ≤≤ . Para um movimento harmónico tem-se 1
vda2 = .
Aceleração quadrática média dtuT1a
DT
0
2g
Drms ∫= &&
Intensidade de Arias dtug2
IDT
0
2ga ∫
π= &&
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Aula 14
Caracterização dos movimentos sísmicos em
Engenharia Sísmica quanto ao conteúdo em frequência:
espectro de Fourier, espectros de resposta em regime
elástico.
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Espectro de Fourier de uma série cronológica discreta (por exemplo, )t(ug&& .
∑∞
=
π=ω∆
π=ωφ+ω+=
1n nnnnn0g T
2nnT2)tsin(cc)t(u&&
Espectro de Fourier de amplitude: nc
s014.jpg
Espectro de Fourier de fase: nφ
Espectro de resposta (relativo a uma dada grandeza representativa do comportamento do OL1GL) de um certo movimento )t(ug&& é o gráfico )R,T( máxn representando os valores máximos da resposta R de cada oscilador com período próprio nT e fracção de amortecimento crítico β.
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Espectro de resposta de deslocamento relativo ),T,t(umáx),T(S),T(D ntnd β=β=β
Relaciona-se com o valor máximo da força de restituição elástica KDFmáx = .
Espectro de resposta de velocidade (relativa) ),T,t(umáx),T(S ntnv β=β &
Espectro de resposta de aceleração (total)
),T,t(umáx),T(S nt
tna t β=β &&
Pseudo-espectro de resposta de velocidade
DV),T(S),T(V
n
ndnω=
βω=β
Relaciona-se com a energia potencial de deformação elástica:
22
n
22máxmáxp mV
21Vk
21Dk
21uk
21E =
ω
===
Pseudo-espectro de aceleração
VDA),T(S),T(A
n2n
nd2nn
ω=ω=βω=β
Relaciona-se com o valor máximo da força de restituição elástica e com o valor do denominado coeficiente sísmico
WgAWmAF máx α===
coeficiente sísmico α: proporção entre a força de restituição elástica (estática) equivalente à ocorrência do valor máximo do pseudo-espectro de aceleração e o peso da massa do oscilador.
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Relação entre espectro de resposta de aceleração (total) e de pseudo-aceleração.
1)t(u2)t(u
)t(u0)t(u)t(u2)t(u
n2n
t
2nn
t
−ω
β−=
ω
=ω+βω+&&&
&&&
0=β AS1)t(u
)t(uta2
n
t=⇒−=
ω&&
No instante em que D)t(u = tem-se 0)t(u =& , logo AS ta =
A relação AS ta = é tão mais representativa quanto menor fôr β e menor Tn (maior ωn)
Relação entre espectro de resposta de velocidade (relativa) e de pseudo-velocidade.
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Relação entre A,V e D
VlogTlog)2log(Alog
VT2A
n
n+−π=
π=
A isolinha da pseudo-ordenada espectral de aceleração ( cA = )
n
n
n
Tlog'cVlog2clogTlogVlog
VlogTlog)2log(clog
+=
π+=
+−π=
é uma recta de declive igual a 1 num sistema de eixos logarítmicos )V,T( n
n
nTlog)2log(VlogDlog
T2VD
+π−=
π=
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A isolinha da ordenada espectral de deslocamento ( cD = )
n
n
n
Tlog'cVlog
Tlog2clogVlog
Tlog)2log(Vlogclog
−=
−
π=
+π−=
é uma recta de declive igual a -1 num sistema de eixos logarítmicos )V,T( n .
Equação das isolinhas de V, A e D num sistema de eixos logarítmico (Tn,V): representação trilogarítmica das respostas. Velocidade
'cVlogclogVlogcV =⇔=⇔= recta horizontal de ordenadas iguais a 'c .
Pseudo-aceleração
nTlog'cVlogcA +=⇔= recta de declive igual a 1
Pseudo-deslocamento
nTlog'cDlogcD −=⇔= recta de declive igual a -1
A representação gráfica de uma dada grandeza faz-se na direcção perpendicular à respectiva isolinha, logo a direcção de leitura de cada uma das grandezas V, A e D é:
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Isolinhas de V, A e D
Esta circunstância permite representar as respostas V, A e D num diagrama de três eixos logarítmicos
Error! Not a valid link. Diagram tri-logarítmico (Tn, V, A, D)
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0.5
15
1050
100
250 0.150 10 5 1 0.5
0.02 0.1 0.5 1 5 10 200.1
500
100
5010
51
Des
loca
men
to [c
m]
Aceleração [g]
Velo
cida
de [c
m/s
]
Período [s]
Diagram tri-logarítmico (Tn, V, A, D)
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Aulas 15 e 16
Factores que influenciam as ordenadas espectrais.
Exemplo do pseudo-espectro de aceleração. Intensidade
sísmica baseada na velocidade. Intensidade espectral.
Espectro de dimensionamento. O caso do espectro de
Newmark e Hall
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Factores que influenciam a ordenada espectral A(Tn,β) A ordenada espectral ),T(A n β reflecte as características do movimento
superficial e pode ser conceptualmente apresentada na seguinte forma:
),T(Aa),T(A nn β=β
em que a
),T(A),T(A nn
β=β representa o pseudo-espectro normalizado
pelo valor da aceleração de pico do solo tendo o significado de pseudo-
amplificação espectral. Logo, tem-se 1),T(Alim n0Tn
=β→
reflectindo o
facto de para osciladores de elevada frequência própria o deslocamento
relativo ser desprezável.
Os principais factores que influenciam a ordenada espectral ),T(A n β
podem ser resumidos na seguinte equação:
),T,Sup,R(A)R,h,M(aA n β=
em que as variáveis têm o seguinte significado:
M – medida da severidade da génese sísmica (habitualmente uma das
definições de magnitude)
h – profundidade focal
R – distância epicentral
Sup – condições geológicas e geotécnicas locais
Influência de M
A magnitude sísmica espelha a energia potencial libertada na ocorrência
sísmica, pelo que, nas mesmas condições relativamente aos outros
factores, se têm valores de pico a crescentes com a magnitude. O efeito de
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M na forma do pseudo-espectro de amplificação ),T(A n β não é
facilmente equacionável dada a dificuldade em identificar e, por
conseguinte individualizar, o efeito que o mecanismo de génese sísmica
exerce naquela forma.
Influência de h
A profundidade focal desempenha um papel preponderante no padrão do
movimento superficial devido às diferenças existentes entre mecanismos
de génese sísmica profundos e superficiais (inferiores a duas dezenas de
quilómetros).
No entanto tal dependência é presentemente explicitada somente no que
respeita ao valor de pico a, tipicamente através de uma relação inversa do
tipo 0),R(faln >α= α− .
Influência de R
A propagação das ondas sísmicas processa-se com decaímento de
amplitude em resultado da dissipação energética devido à histerese do
meio atravessado (amortecimento de natureza mecânica), ao aumento da
frente de onda (amortecimento de natureza geométrica) e perdas pontuais
no atravessamento de interfaces entre meios de rigidez contrastante
(refracções e reflexões). O carácter dispersivo dos meios atravessados leva
a que a dissipação das ondas se processe com rapidez diferente consoante a
sua frequência: quanto maior a frequência da onda (i.e. menor o seu
comprimento de onda para a mesma velocidade de propagação) maior a
dissipação por unidade de comprimento.
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Em resumo: A maiores distâncias epicentrais correspondem menores
acelerações de pico e um maior conteúdo relativo para nT crescentes.
Influência de Sup
Como se disse, a propagação das ondas sísmicas desenrola-se,
essencialmente em material rochoso, ao longo de distâncias variáveis
(desde poucos até algumas centenas de quilómetros) num processo
dissipativo que inclui fenómenos pontuais nas interfaces entre meios de
velocidade de propagação contrastantes. Na proximidade da superfície a
existência de formações geologicamente mais recentes (por exemplo
terrenos aluvionares) introduz uma singularidade significativa no processo
de propagação superficial. Em primeiro lugar, a ocorrência de reflexão e
refracção acompanhadas de dissipação energética por fenómenos
essencialmente radiativos. Depois, pelo mecanismo não linear de
propagação nos terrenos recentes, devido ao qual as características em
frequência (espectrais) do trem de ondas são alterados num processo de
filtragem assimilável ao que o movimento imposto na base de um
oscilador linear de um grau de liberdade é sujeito pela função de
transferência do oscilador. A este efeito de concentração do conteúdo em
frequência em redor de certas frequência associadas aos modos de
propagação das ondas nos solos superficiais e do condicionamento dos
valores de pico do movimento dá-se, correntemente, o nome de efeito
sísmico de sítio (cf. acetato 78 e figura abaixo).
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Ilustração da influência das condições geotécnicas superficiais no deslocamento superficial na Formosa 011.jpg
Influência de Tn
O valor de pico de ),T,t(u n β – determinado através do integral de Duhamel – depende do período próprio nT considerado. Para valores muito pequenos de nT , correspondentes a estruturas pouco esbeltas com
0Tn → , tem-se:
0D)t(u)t(u0)t(u gt →⇔≈⇔≈
e, ainda, 0T2V
n→
π= embora com menor significado e
máxgtmáx
2
nuuD
T2A &&&& →≈
π=
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Por sua vez, para valores elevados de nT – estruturas esbeltas – tem-se:
1u/D)t(u)t(u0)t(u máx;ggt ≈⇔−≈⇔≈ e, 0D
T2A
2
n→
π=
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Influência de β
Quanto maior a fracção de amortecimento crítico menor será a amplitude da resposta em deslocamento relativo
222d)2()1(
1)(Rβϖ+ϖ−
=ϖ
e por conseguinte se 12 β>β então n1n2n Tpara),T(A),T(A ∀β<β .
Espectro de resposta de dimensionamento
Um espectro de resposta constitui a assinatura espectral de um dado movimento sísmico e representa o conjunto das respostas de pico de um conjunto de osciladores Para o efeito de dimensionamento, a irregularidade típica de um espectro de resposta – derivada da individualidade e da irregularidade do movimento, a qual limita a sua representatividade estatística –aconselha a que se definam estatisticamente envolventes para o efeito de estabelecer uma configuração espectral com baixa probabilidade de excedência.
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Esta configuração, o espectro de resposta de dimensionamento, está associada a um conjunto de espectros de resposta os quais se tomam como representativos da sismicidade do local. O espectro de resposta de dimensionamento substitui, assim, a consideração individual de cada espectro na medida em que deles deriva e corresponde a um quantilho superior tido por suficientemente elevado. Um caso particular, de definição particularmente expedita uma vez conhecidos os valores de pico d, v e a, é seguidamente apresentado.
Espectro de resposta de dimensionamento de Newmark e Hall
Este espectro de resposta de pseudo-velocidade é composto por troços rectos no plano definido pelos eixos logarítmicos (Tn,V) os quais reflectem essencialmente três condições chave:
aA0Tn ≈⇒≈ dD0n ≈⇒≈ω
Os valores de pico do movimento dos osciladores resultam da amplificação conferida pela respectiva função de transferência, assim:
AaA α= para períodos baixos (sensíveis à aceleração) vvV α= para períodos intermédios (sensíveis à velocidade) ddD α= para períodos altos (sensíveis ao deslocamento)
Factores de amplificação
Mediana (percentil 50) Mediana+desvio padrão (percentil 84) aα β− ln68.021.3 β− ln04.138.4
vα β− ln41.031.2 β− ln67.038.3
dα β− ln27.082.1 β− ln45.073.2
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Ponto
Período
[s] Troço D
[m] V
[m/s] A
[m/s2] …A
A2T 2
π A
2Tπ
a
A 331
AB
1mmAA T
2TV +−
π
mmAA TTV −
(1) 1mm
AA TTV2 −−π
B 81
BC
A2T 2
π A
2Tπ
aaα
C
a
vC a
v2Tαα
π=
(3)
CD V
2Tπ
vvα
VT2π
D
v
dD v
d2Tαα
π=
(4)
DE ddα DT2π
DT2 2
π
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93
E 10
EF 1m
mEE T
2TV +−
π
mmEE TTV −
(2)
1mmEE TTV2 −−π
F 33
F… d
DT2π
DT2 2
π
(1)
mmAA
AB
ABAA
TTV)T(VTlogTlogVlogVlogm);TlogT(logmVlogVlog
−=−−
=−=−
(2)
mmEE
EF
EFEE
TTV)T(VTlogTlogVlogVlogm);TlogT(logmVlogVlog
−=−−
=−=−
(3)
a
vCv
Ca
aCvC
av2Tv
T2a
aA;vV
αα
π=⇔απ
=α
α=α=
(4)
v
dDd
Dv
adDvD
vd2Td
T2v
dD;vV
αα
π=⇔απ
=α
α=α=
A pseudo-ordenada espectral V relaciona-se directamente com a máxima
energia de deformação elástica armazenada pelo oscilador linear de
período nT . A soma destas energias representa uma medida da severidade
sísmica no que respeita ao comportamento elástico e linear. A tal conceito
corresponde a intensidade espectral de Housner )(SI β definido por:
∫ β=β5.2
1.0nn dT),T(V)(SI