capitulo 2 osciladores

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x m d 2 x dt 2 = F F F x x F = -kx k m d 2 x dt 2 + kx = 0 x (t) = x m cos (ω 0 t - ϕ) d 2 x dt 2 + k m x = 0 ω 0 ω 0 = r k m m k F =0 x m ϕ x (0) ˙ x (0)

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Capítulo 2

Osciladores lineales

Pero el poder de la instrucción es rara vez de mucha e�cacia,con excepción de aquellas disposiciones felices en los que es casi super�uo.

Edward Emily Gibbon (1737 - 1794)

2.1. Movimientos sinusoidales en una dimensión

El sistema sinusoidal más simple, se reduce a un punto material que presenta un movimientode un solo grado de libertad, el que se desplaza en una única trayectoria. Su posición puede serestablecida por una sola coordenada x, tomando en ello un origen arbitrario. La ecuación demovimiento de dicho punto mas simple, se puede obtener si utilizamos la ecuación de movimientode Newton, que se expresa bajo la forma:

md2x

dt2= F (2.1.1)

donde F es la fuerza que actúa sobre el punto. Para que el movimiento sea sinusoidal, es necesarioque la fuerza F sea proporcional a x y dirigida en cada instante en sentido inverso al valor de x.Es una fuerza de restitución F = −kx, donde el valor de k , representa una constante y

md2x

dt2+ kx = 0 (2.1.2)

es una ecuación diferencial ordinaria, que tiene como solución

x (t) = xm cos (ω0t− ϕ) (2.1.3)

ya que

d2x

dt2+k

mx = 0 (2.1.4)

admite como solución a (2.1.3). La pulsación ω0 está dada por (2.1.4)

ω0 =

√k

m(2.1.5)

que se denomina pulsación propia del oscilador y se denomina así ya que depende de las constantescaracterísticas m y k del oscilador.El origen de las abscisas, está bien de�nido ya que F = 0 y ella es una posición de equilibrioestable para la masa puntual. Sin embargo, los valores de xm y ϕ se deben establecer por lascondiciones iniciales x (0) y x (0) del sistema.

1

CAPÍTULO 2. OSCILADORES LINEALES

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O

mg

α

G

l

(a) Rotación de un cuerpo rígido

α

G

l

O

mg

(b) Fuerzas y torques que actúan

Figura 2.1.1: Cuerpo rígido en rotación

2.1.1. Oscilaciones de un cuerpo rígido en rotación

En el caso de un sistema oscilante de un cuerpo indeformable, donde la inercia está caracterizadapor una masa constante m o de un momento de inercia IO constante respecto a un eje (ver �gura2.1.1); existe un movimiento de un grado de libertad: la abscisa angular α .La expresión fundamental para el movimiento de rotación es∑

~MO = IOd2~α

dt2(2.1.6)

establece que los torques aplicados en torno al eje de rotación O son proporcionales al momento deInercia en torno al eje que pasa por el punto O y su aceleración angular. Al aplicarla a la rotacióndel sólido rígido de la �gura 2.1.1a, se obtiene:

−mgl sinα = IOα (2.1.7)

obteniendo la ecuación diferencial no lineal de segundo orden en α:

α+mgl

IOsinα = 0 (2.1.8)

si usamos la expresión para la aproximación del sinα ≈ α− α3

6 +· · · hasta el primer orden, entoncesla expresión diferencial no lineal (2.1.8), la podemos aproximar a una ecuación lineal

α+mgl

IOα = 0 (2.1.9)

similar a la ecuación (2.1.2) con

ω2o =

mgl

IO(2.1.10)

Si ahora consideramos que toda la masa del cuerpo indeformable, se encuentra representada en elcentro de gravedad del cuerpo, se obtiene la ecuación para el péndulo simple con IO = ml2 y eneste caso la ecuación (2.1.10), se escribe como:

ω2o =

mgl

IO=g

l(2.1.11)

y la ecuación no contiene el valor de m al hacer coincidir la masa inercial y la masa gravitacional.

Medina V. 2

CAPÍTULO 2. OSCILADORES LINEALES

2.1.2. Carga eléctrica oscilante

Los sistemas de cargas eléctricas, también pueden presentar oscilaciones. La pulsación ó frecuenciasde la oscilaciones dependerán tanto de la masa del ión ó particula cargada, así como la cargaelectrica que presentan.Como un ejemplo de esto, estudiemos un un sistema conformado por una carga eléctrica q en lascercanías de un anillo cargado de radio a (2.1.2a) y carga total Q > 0; podemos calcular el campocreado por el anillo sobre el eje horizontal, ya que sabemos que

~F = q ~E = md2~r′

dt2(2.1.12)

Si consideramos constante la densidad lineal de carga1, se tiene λ = Q2πa , entonces cada elemento

del anillo cargado produce en un punto cualquiera del eje horizontal, a una distancia x del centro,creará un campo dado por:

d ~E =1

4πε0

dQ

r2u =

λa

4πε0

a2 + x2(cosϕı− senϕea)

=λa

4πε0

[x

(a2 + x2)32

dθı− a

(a2 + x2)32

dθea

](2.1.13)

siendo ea el vector unitario en el plano del anillo en el sentido de su radio. Al integrar θ entre 0 y2π, se obtiene:

~E1 =λa

4πε0

x

(a2 + x2)32

ˆ 2π

0

dθı

puesto que la segunda integral del lado derecho de (2.1.13) y el campo eléctrico solo tiene compo-nentes en el eje Ox, es decir:

~E(x) =λa

2ε0

x

(a2 + x2)32

ı

o en términos de la carga total del aro:

~E(x) =Q

4πε0

x

(a2 + x2)32

ı =Q

4πε0a3x[

1 +(xa

)2] 32

ı (2.1.14)

en el caso que xa � 1 entonces podemos aproximar[1 +

(xa

)2]− 32

≈ 1 +

(−3

2

)(xa

)2+

1

2

(−3

2

)(−3

2− 1

)(xa

)4+ · · ·

al primer orden se obtiene:

E(x) =Q

4πε0a2

xa[

1 +(xa

)2] 32

=Q

4πε0a3x

y puesto que el movimiento de la carga es en el eje del anillo, entonces la expresión (2.1.12) seescribe

−q E (x) = md2x

dt2

y la ecuación diferencial que se obtiene es

0 =q

mE (x) +

d2x

dt2

0 = x+( qm

)( Q

4πε0a3

)x

1Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que la carga Q es positiva

Medina V. 3

CAPÍTULO 2. OSCILADORES LINEALES

a

O

xq

(a) Carga eléctrica q cerca de un anillo car-gado

E(x)

−0.6

−0.3

0

0.3

0.6

−2.5 −1.25 0 1.25 2.5

(b) Campo E (x) (Curva normalizada)

Figura 2.1.2: Campo eléctrico creado por un anillo cargado

al considerar que el anillo tiene una carga Q contraria a la partícula con carga q entonces el valor

ω20 =

Qq

4πε0ma3(2.1.15)

y

x+ ω20x = 0 (2.1.16)

tendrá el mismo conjunto de soluciones que (2.1.3). La partícula cargada efectuará oscilacionesarmónicas entorno al centro del anillo cargado.

2.1.3. Deformaciones de un sólido

Ft

Γn

Fn

(S)

Γ

F

Figura 2.1.3

Consideremos un sólido cualquiera de forma alargada co-mo se muestra en la �gura (2.1.3). Si se aplica una fuerza~F a la sección (S) aplicada a dicho solido, se puede des-

componer dicha fuerza en dos componentes ~Fn y ~Ft, quea su vez pueden generar torques con una componentenormal ~Γn y tangencial ~Γt en (S). A la componente ~Fnse le denomina tracción y a la componente ~Ft, cizalla-miento; ~Γn se denomina par de torsión y ~Γt se denominapar de �exión.

Un resorte en espiral se deforma por �exión; un resortehelicoidal, constituido por un hilo enrollado en espiral,se deforma por �exión, si está sometido a un par pa-ralelo a la hélice y por torsión si se le aplica una trac-ción o una compresión al aplicarsele siguiendo a su eje.Las tracciones producen alargamientos y las cizalladurasproducen deformaciones angulares denominadas desliza-mientos. Por ello, podemos concluir que las deformacio-nes elásticas son proporcionales a los esfuerzos que las producen2: Ellas cambian de signo y no devalor a suspender el esfuerzo que las originó. En estas condiciones se de�nen diversas constantesde proporcionalidad, para sólidos homogéneos e isótropos:

2Hooke 1675

Medina V. 4

CAPÍTULO 2. OSCILADORES LINEALES

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����������������

����������������

F

F

L

(a) Alargamiento

F

F

β

S

(b) Cizalladura

Γ

L

α

β

(c) Deformación por torque

Figura 2.1.4: Algunas deformaciones de los sólidos

Entre el alargamiento δL y la tracción ~F de un paralelepípedo a un cilindro recto de longitudL y de sección S (�gura 2.1.4a)

δL

L=

1

Y

(F

S

)(2.1.17)

donde Y es el módulo de Elasticidad o módulo de Young

Entre el deslizamiento simple β y el par de fuerzas de cizalladura (�gura 2.1.4b)

β =1

G

(F

S

)(2.1.18)

donde G es el modulo de la rigidez

Entre el ángulo de torsión α y el momento Γ del par que lo produce (�gura 2.1.4c)

Γ = Cα (2.1.19)

donde C es la constante de torsión

Para los metales Y es del orden de 1011a 2 · 1011 Nm2 ; G de 5 · 1010a 1011 N

m2 ; C se puede expresaren términos de G.

2.1.4. Deformaciones elásticas de un �uido

Los �uidos, � gases o líquidos� no presentan una gran resistencia a los cambios de formas,solamente a los cambios de volumen, compresión o dilataciones que siempre son elásticas. Un�uido se caracteriza por su coe�ciente de compresibilidad χ:

χ = − 1

V

dV

dP(2.1.20)

Medina V. 5

CAPÍTULO 2. OSCILADORES LINEALES

donde −dVdP representa una pequeña variación del volumen debido al cambio de la presión. Paralos líquidos, χ varía entre 5 · 10−10 y 10−9m2N−1. Para un gas, es necesario distinguir entre elcoe�ciente de compresibilidad isoterma χT y el coe�ciente de compresibilidad adiabática χs queson casi indistinguibles en un líquido.En el caso de un gas perfecto, χT y χs son expresiones simples que se deducen de la ecuación deestado. En una transformación isoterma PV = Cte, y de ahí:

χT = − 1V

(dVdP

)T

=1

P(2.1.21)

Para el caso de una transformación adiabática; PV γ = Cte , donde γ =CpCv

siendo Cp y Cv loscalores especí�cos del gas a presión y volumen constante, respectivamente.

χs = γχT (2.1.22)

γ = 1, 7 para los gases mono atómicos y γ = 1, 4 para un gas di-atómicos.

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���������������

���������������

x

V

m

S

Figura 2.1.5

En la �gura (2.1.5), se tiene un recipiente quecontiene aire comprimido a una presión cerca-na a la presión atmosférica y separado del ex-terior por un pequeño pistón de masa m y desección S que puede desplazarse en la columnadel recipiente, donde se puede medir el despla-zamiento del pistón a partir de su posición deequilibrio x . La ecuación de movimiento delpistón se escribe

mx = S · δP (2.1.23)

siendo δP la pequeña diferencia de presión en-tre el envase y la columna del recipiente. De acuerdo con (2.1.20) y (2.1.22), se tiene:

mx = S · δP = S · δPδV· δV

= S ·(dP

dV

)· δV = S ·

(− 1

V χs

)· δV =

= − SP

V χT· δV = − SP

V χT· S · x = − S

2P

V χT· x

�nalmente

mx = − S2P

V χT· x

x+

(S2P

mV χT

)· x = 0 (2.1.24)

y el pistón entonces realizará oscilaciones sinusoidales.

2.2. Estudio de la ecuación diferencial de movimiento

Las ecuaciones (2.1.4) (2.1.9) y (2.1.16) son ecuaciones diferenciales de segundo orden, lineales(contienen solamente potencias en x o α y sus derivadas), homogéneas, (no existen términosindependientes de x o α), de coe�cientes reales constantes y positivas. Los sistemas oscilantes querepresentan se dicen lineales.Las ecuaciones de este tipo, cualquiera que sea su orden, pueden ser integradas directamentemediante el empleo de funciones exponenciales que transforman una expresión diferencial, en unaecuación algebraica. En nuestro caso:

x (t) = ept (2.2.1)

Medina V. 6

CAPÍTULO 2. OSCILADORES LINEALES

donde p es una constante. La sustitución de (2.2.1) en (2.1.4), establece que

p = ±j√k

m= ±jω0 con j =

√−1 (2.2.2)

como la expresión (2.1.2) es lineal entonces la solución de (2.1.4) es de la forma

x (t) = C+ejω0t + C−e

−jω0t (2.2.3)

si recordamos la expresión o fórmula de Euler :

ejω0t = cos (ω0t) + sin (ω0t)

y podemos escribir

x (t) = C+ejω0t + C−e

−jω0t

= (C+ + C−) cos (ω0t) + j (C+ − C−) sin (ω0t) (2.2.4)

de la ecuación (2.2.4), se tiene que tanto la parte real <{x (t)} = cos (ω0t) y la parte imaginaria={x (t)} = sin (ω0t) son soluciones de la ecuación diferencial. Por ello una combinación lineal deeste par de soluciones linealmente independientes, también será solución. Es decir:

x (t) = C1 cos (ω0t) + C2 sin (ω0t) (2.2.5)

donde C1 y C2 son constantes reales. Si recordamos la expresión trigonométrica:

A cos (ω0t− δ) = (A cos δ) cos (ω0t) + (A sin δ) sin (ω0t) (2.2.6)

y comparamos el lado derecho de las ecuaciones (2.2.5) y (2.2.6), observamos que para todo valorde t, se debe cumplir:

C1 = A cos δ

C2 = A sin δ

o de manera equivalente

A =√C2

1 + C22

tan δ =C2

C1

Estas constantes se pueden determinar por las condiciones iniciales de movimiento del cuerpo.Por ejemplo, si tomamos como solución la ecuación (2.2.5), entonces

x (t) = −ω0C1 sin (ω0t) + ω0C2 cos (ω0t)

que al evaluar en t = 0, entonces

x (0) = +ω0C2 ⇒ C2 =x (0)

ω0(2.2.7)

Si evaluamos (2.2.5), en t = 0, se tiene

x (0) = C1 (2.2.8)

que al sustituir las condiciones iniciales (2.2.7) y (2.2.8) en (2.2.5) se tiene

x (t) = C1 cos (ω0t) + C2 sin (ω0t)

= x (0) cos (ω0t) +x (0)

ω0sin (ω0t)

Medina V. 7

CAPÍTULO 2. OSCILADORES LINEALES

2.2.1. Balance de Energía - Plano de Fases

Multiplicando la ecuación de movimiento (2.1.2) por xdt = vdt = dx se tiene

mdv

dt· vdt+ kxdx = 0

m · vdv + k · xdx = 0

y recordando que para cualquier variable d(z2)

= 2zdz, entonces

mv · d(

1

2v2)

+ k · d(

1

2x2)

= 0

ω0

x

x

P

Figura 2.2.1

que es equivalente a escribir:

d

(1

2mv2 +

1

2kx2)

= 0 (2.2.9)

Estableciendo de esta manera el principio de conserva-ción de la energía, a partir de la ecuación de movimiento

Ec + Ep = Em (2.2.10)

donde se ha de�nido en (2.2.9) la Energía Cinética comoEc = 1

2mv2 y la Energía Potencial como Ep = 1

2kx2.

Con la ayuda de la solución de (2.1.2), y (2.2.10), Po-demos establecer el valor total constante de esta energíamecánica:

Em =1

2mx2 +

1

2kx2

=1

2mω2

0

x2

ω20

+1

2mω2

0x2

=1

2mω2

0

[(x

ω0

)2

+ x2

](2.2.11)

y como la solución de (2.1.2), es (2.1.3), entonces

x = xm cos (ω0t− δ)x = −ω0xm sin (ω0t− δ)

y por ello la expresión para la energía mecánica (2.2.11) es

Em =1

2mω2

0x2m (2.2.12)

es decir, un valor constante. Si combinamos las expresiones (2.2.11) y (2.2.12), podemos escribir:

1

2mω2

0

[(x

ω0

)2

+ x2

]=

1

2mω2

0x2m

que al simpli�car, obtenemos

x2m =

(x

ω0

)2

+ x2 (2.2.13)

que de�ne una familia de circunferencias concéntricas en el plano cartesiano establecido por las

coordenadas(x, xω0

)(ver �gura 2.2.1). Como la velocidad x decrece cuando x aumenta, entonces

las curvas se describen en el sentido horario.

Medina V. 8

CAPÍTULO 2. OSCILADORES LINEALES

En realidad se de�ne el espacio de fase a como el conjunto cartesiano obtenido a partir de lospares ordenados (x, p), donde p = mx, es la cantidad de movimiento asociada (o conjugada) a lavariable x. Las circunferencias de�nidas en la ecuación (2.2.13), establecerán ecuaciones de elipsesen el espacio de fases (x, p) ya que de la ecuación (2.2.13), se tiene

1 =p2

(mω0xm)2 +

x2

x2m(2.2.14)

donde los valores de los semiejes mayor y menor de la elipse, así de�nida, dependerán de los valoresde xm y mω0xm.

2.3. Oscilaciones con una fuerza de amortiguamiento propor-

cional a la velocidad

Los sistemas oscilantes precedentes repiten periódicamente inde�nidamente el mismo estado demovimiento y se mantiene la energía mecánica dada inicialmente. Se dice en este caso que el sistemaes ideal. En la realidad, la amplitud del movimiento disminuye, hasta que �nalmente alcanza suestado de reposo. Se dice en este caso que el movimiento es amortiguado.

���������������������������������

���������������������������������

r

m

k

Figura 2.3.1: Oscilador Amortiguado

Para estudiar el movimiento real es necesariomodi�car la ecuación de movimiento del cuer-po, de tal manera que se tome en consideraciónla in�uencia del medio ambiente donde se en-cuentra el cuerpo a estudiar. Una de tales fuer-zas a considerar, es el rozamiento o la viscosi-dad que se origina por la interacción del gasque conforma la atmósfera, con el movimien-to del sistema. Si se desea conservar la carac-terística lineal de la ecuación diferencial, quefacilite su solución, es necesario que la fuerzade rozamiento sea proporcional a la velocidady dirigida en el sentido opuesto al movimiento:Es decir, F = −rx = −rv, donde r representa a una constante positiva. La ecuación de movimientoen lugar de (2.1.2) es ahora:

md2x

dt2+ r

dx

dt+ kx = 0 (2.3.1)

En la práctica se encuentra que la resistencia que ofrece un �uido al movimiento de un sólido,debida a la viscosidad, es de la forma rv con la condición que estos movimientos sean bastantelentos3. De ahí el nombre de rozamiento viscoso. El esquema de un sistema mecánico que obedecea la ecuación (2.3.1), esta representado en la �gura (2.3.1).Se puede constatar que existen otros ejemplos de sistemas físicos en los que su comportamientotemporal se encuentran determinados por una ecuación parecida a (2.3.1): En un circuito eléctricoRCL, la resistencia � Efecto Joule� juega el papel de la fuerza debida al fenómeno de la viscosidad;la emisión de ondas elásticas o electromagnéticas, pueden dar origen a fuerzas de amortiguamientoproporcional a la velocidad.

2.3.1. Estudio de la ecuación del movimiento amortiguado

Al dividir la expresión (2.3.1) por la masa obtenemos la expresión:

d2x

dt2+ 2β · dx

dt+ ω2

0x = 0 (2.3.2)

3La condición, es que la velocidad del sólido (v) sea mucho menor que la velocidad del sonido en el medio (c).Es decir, (v � c), (velocidades subsónicas)

Medina V. 9

CAPÍTULO 2. OSCILADORES LINEALES

donde hemos de�nido

ω20 =

k

m(2.3.3)

β =r

2m(2.3.4)

El valor de ω0 recibe el nombre de pulsación propia, y β, se denomina decremento logarítmico. Sisuponemos que la solución homogénea es de la forma

x (t) = Aept (2.3.5)

entonces la expresión de la ecuación diferencial (2.3.2) en x (t), se expresa como

Aept(p2 + 2β + ω2

0

)= 0 (2.3.6)

el polinomio de segundo grado en p, recibe el nombre de ecuación característica de la ecuacióndiferencial asociada. Esta ecuación tiene como raíces:

p = −β ±√β2 − ω2

0 (2.3.7)

que dependerá de los valores de la cantidad subradical. Estos casos se pueden clasi�car en (verFigura 2.3.2)

1. Caso β2 − ω20 > 0 (Amortiguamiento Fuerte): Podemos de�nir

σ =√β2 − ω2

0 (2.3.8)

y los valores para p son:

p = −β ± σ

las soluciones de nuestra ecuación diferencial se escriben como

x (t) = C1e−(β+σ)t + C2e

−(β−σ)t

= e−βt(C1e

−σt + C2e+σt)

(2.3.9)

que al utilizar los valores iniciales o condiciones iniciales x (0) y x (0), podemos �jar losvalores de las constantes C1 y C2, ya que

x (t) = −β · x (t)− σ · e−βt(C1e

−σt − C2e+σt)

al evaluar en t = 0, se tiene

x (0) = C1 + C2

x (0) = −β · x (0)− σ (C1 − C2)

obteniéndose el sistema de ecuaciones

x (0) = C1 + C2

−βσ· x (0)− x (0)

σ= C1 − C2

es decir que

C1 =1

2

(1− β

σ

)x (0)− x (0)

C2 =1

2

(1 +

β

σ

)x (0) +

x (0)

Medina V. 10

CAPÍTULO 2. OSCILADORES LINEALES

y

x (t) = e−βt{[

1

2

(1− β

σ

)x (0)− x (0)

]e−σt +

[1

2

(1 +

β

σ

)x (0) +

x (0)

]e+σt

}= e−βt

{[(e−σt + e+σt

2

)+β

σ

(e+σt − e−σt

2

)]x (0) +

x (0)

σ

(e+σt − e−σt

2

)}= e−βt

{[cosh (σt) +

β

σsinh (σt)

]x (0) +

x (0)

σsinh (σt)

}= = e−βt

[x (0) · cosh (σt) +

(x (0) + β · x (0)

σ

)sinh (σt)

]

2. Caso β2−ω20 = 0 (Amortiguamiento Crítico): Los valores de p = −β son raíz doble y la

solución se expresa como:

x (t) = e−βt (C1 + C2t) (2.3.10)

su derivada vale:

x (t) = −β · x (t) + C2e−βt

las constantes, en términos de las condiciones iniciales se expresan como:

x (0) = C1

x (0) = −β · x (0) + C2

es decir:

C2 = x (0) + β · x (0)

y en función de las condiciones iniciales:

x (t) = e−βt [x (0) + (x (0) + β · x (0)) t]

= e−βt [(1 + βt) · x (0) + x (0) t]

3. Caso β2 − ω20 < 0 (Amortiguamiento Débil ): En este caso podemos de�nir la pseudo-

pulsación

ω =√ω20 − β2 (2.3.11)

y los valores para p son:

p = −β ± jω

con j2 = −1, la unidad imaginaria las soluciones de nuestra ecuación diferencial se escribencomo

x (t) = C1e−(β+jω)t + C2e

−(β−jω)t

= e−βt(C1e

−jωt + C2e+jωt

)(2.3.12)

Estas soluciones se pueden escribir, en términos de las funciones trigonométricas, ya que apartir de la Fórmula de Euler, se tiene:

e±jωt = cos (ωt)± j · sin (ωt) (2.3.13)

Medina V. 11

CAPÍTULO 2. OSCILADORES LINEALES

T

Debil

FuerteCritico

0

Figura 2.3.2: Diferentes tipos de Amortiguamiento

y puesto que los coe�cientes de nuestra ecuación diferencial (2.3.2) son reales, entonces tantola solución real e imaginaria, serán soluciones linealmente independientes. Por esto:

x (t) = C1e−βt cos (ωt) + C2e

−βt sin (ωt)

= e−βt [C1 cos (ωt) + C2 sin (ωt)] (2.3.14)

de manera similar a los casos anteriores:

x (t) = −βe−βtx (t) + ωe−βt [−C1 sin (ωt) + C2 cos (ωt)]

que al evaluar en t = 0, tenemos que x (0) = C1 y x (0) = −βx (0) + ωC2. Al sustituir en(2.3.14), se tiene

x (t) = e−βt[x (0) cos (ωt) +

(x (0) + βx (0)

ω

)sinωt

]

2.3.2. Balance de Energía - Espacio de fases

De igual manera como se realizó en la sección (2.2.1) para el oscilador armónico, podemos obteneruna expresión de la energía mecánica a partir de la ecuación de movimiento para el sistemaamortiguado; al multiplicar (2.3.1) por xdt = vdt = dx :

−(mdv

dt· vdt+ kxdx

)= rx2dt

que es equivalente a escribir:

− d

dt

(1

2mv2 +

1

2kx2)

= rv2 (2.3.15)

Medina V. 12

CAPÍTULO 2. OSCILADORES LINEALES

A2

ω 2

0m

~E(t) =

2E(t)

β t−2

β t−2+

ε (t)

t

e

e

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Figura 2.3.3: Energía disipada en un oscilador subamortiguado

el término rv2 representa el trabajo de la fuerza de rozamiento por unidad de tiempo. Ella siemprees positiva si r es positivo y es igual a la disminución de la energía mecánica total del sistemaoscilante. El sistema no es conservativo: el sistema es disipativo.

Estudiemos la evolución de la energía para el caso del amortiguamiento débil (subamortiguado).Podemos usar la expresión general de la energía mecánica (2.2.11):

E (t) =1

2mω2

0

[(x

ω0

)2

+ x2

]

y tomando en consideración la solución de la ecuación diferencial correspondiente:

x (t) = Ae−βt cos (ωt− φ) (2.3.16)

tenemos entonces

x (t) = −Ae−βt [β cos (ωt− φ) + ω sin (ωt− φ)] (2.3.17)

y

x

ω0= −Ae−βt

[(β

ω0

)cos (ωt− φ) +

ω0

)sin (ωt− φ)

](x

ω0

)2

= A2e−2βt

[(β

ω0

)2

cos2 (ωt− φ) +

ω0

)2

sin2 (ωt− φ) +

+ 2

(ωβ

ω20

)cos (ωt− φ) sin (ωt− φ)

]

Medina V. 13

CAPÍTULO 2. OSCILADORES LINEALES

que al sustituir en (2.2.11)

2E (t)

mω20

=

(x

ω0

)2

+ x2

= A2e−2βt

[(β

ω0

)2

cos2 (ωt− φ) +

ω0

)2

sin2 (ωt− φ) +

+ 2

(ωβ

ω20

)cos (ωt− φ) sin (ωt− φ)

]+A2e−2βt cos2 (ωt− φ)

= A2e−2βt

{[1 +

ω0

)2]

cos2 (ωt− φ) +

ω0

)2

sin2 (ωt− φ) +

+ 2

(ωβ

ω20

)cos (ωt− φ) sin (ωt− φ)

}de la ecuación (2.3.11)

ω2 = ω20 − β2 ⇒

ω0

)2

= 1−(β

ω0

)2

(2.3.18)

se tiene

2E (t) e2βt

mω20A

2=

[1 +

ω0

)2]

cos2 (ωt− φ) +

[1−

ω0

)2]

sin2 (ωt− φ) +

+2

(ωβ

ω20

)cos (ωt− φ) sin (ωt− φ)

= 1 +

ω0

)2 [cos2 (ωt− φ)− sin2 (ωt− φ)

]+

+2

(ωβ

ω20

)cos (ωt− φ) sin (ωt− φ)

= 1 +

ω0

)2

cos 2 (ωt− φ) +

(ωβ2

ω20β

)sin 2 (ωt− φ)

= 1 +

ω0

)2 [cos 2 (ωt− φ) +

β

)sin 2 (ωt− φ)

]= 1 +

ω0

)2[

cos 2 (ωt− φ) +

(ωω0

βω0

)sin 2 (ωt− φ)

]

= 1 +

ω0

)2

cos 2 (ωt− φ) +

√1−

(βω0

)2βω0

sin 2 (ωt− φ)

y �nalmente obtenemos

E (t) =1

2mω2

0A2e2βt

{1 +

ω0

)2

cos 2 (ωt− φ) +

+

√1−

(βω0

)2βω0

sin 2 (ωt− φ)

(2.3.19)

Si en lugar de (2.3.16), usamos

x (t) = Ae−βt sin (ωt− φ) (2.3.20)

Medina V. 14

CAPÍTULO 2. OSCILADORES LINEALES

la expresión (2.3.19) es

E (t) =1

2mω2

0A2e2βt

{1−

ω0

)2

cos 2 (ωt− φ) +

+

√1−

(βω0

)2βω0

sin 2 (ωt− φ)

(2.3.21)

si de�nimos

ε± (t) = 1±(β

ω0

)( β

ω0

)cos 2 (ωt− φ) +

√1−

ω0

)2

sin 2 (ωt− φ)

(2.3.22)

y observar que

ε±

(t+

T

2

)= 1±

ω0

)2

cos 2

(t+

T

2

)− φ

]+

√1−

(βω0

)2βω0

sin 2

(t+

T

2

)− φ

]

= 1±(β

ω0

)2

cos [2 (ωt− φ) + ωT ] +

√1−

(βω0

)2βω0

sin [2 (ωt− φ) + ωT ]

= 1±(β

ω0

)2

cos [2 (ωt− φ) + 2π] +

√1−

(βω0

)2βω0

· sin [2 (ωt− φ) + 2π]

= ε± (t)

es decir, que ε± (t) es periódica de periodo T2 y en particular

ε± (0) = ε±

(T

2

)= ε± (T ) (2.3.23)

La expresión para la energía (2.3.16) o (2.3.20) se expresa como

E (t) =1

2mω2

0A2e−2βtε± (t) (2.3.24)

se aprecia la curva normalizada en la �gura (2.3.3) de la disipación de energía en función deltiempo. Si ω ≈ ω0 entonces β

ω0≈ 0 y ε± (t) ≈ 1 (2.3.24), se reduce a

E (t) =1

2mω2

0A2e−2βt =

1

2mω2

0

(Ae−βt

)2(2.3.25)

muy similar a la expresión obtenida para el oscilador armónico (ecuación (2.2.12)).Se puede observar en la �gura 2.3.4a las grá�cas del espacio de fases (x, p) tanto para el caso noamortiguado como amortiguado. Para el caso no amortiguado (oscilador armónico) se puede verla curva cerrada (elipse) tal como se deduce de la ecuación (2.2.14) y se mantiene la conservaciónde la energía. Para la espiral que corresponde al amortiguamiento débil; se comprueba la pérdidade energía ya que la curva no es cerrada. En función de los valores iniciales

x (t) eβt = x (0)

[cos (ωt) +

β

ωsin (ωt)

]+x (0)

ωsin (ωt)

x (t)

ωeβt = −x (0)

[1 +

ω

)2]

sin (ωt) +x (0)

ω

[cos (ωt)− β

ωsin (ωt)

]

Medina V. 15

CAPÍTULO 2. OSCILADORES LINEALES

sin amortiguamiento amortiguado

−3

−2

−1

0

1

2

3

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

x

P

(a) Amortiguamiento Débil

P

x Amortiguamieto fuerte

0.16

0.17

0.18

0.19

0.2

0.21

−1 −0.98 −0.96 −0.94 −0.92

(b) Amortiguamiento Fuerte

Figura 2.3.4: Espacio de fases del movimiento amortiguado

En el caso del amortiguamiento fuerte, la curva no es cerrada y por ello no hay conservación dela energía. La grá�ca de (x, p) del espacio de fases correspondiente se puede apreciar en la �gura2.3.4b.

2.3.3. Relación entre amplitud y energía

Sabemos que la amplitud en el movimiento subamortiguado se expresa por la ecuación (2.3.16),y al evaluarla en t = 0, tenemos

x (0) = A cos (φ)

y en un período T , se tiene

x (T ) = Ae−βT cos (ωT − φ)

= A cos (φ) e−βT = x (0) e−βT

en consecuenciax (0)

x (T )= eβT ⇒ ln

(x (0)

x (T )

)= βT (2.3.26)

o en el caso de dos máximos consecutivos

β =1

Tln

(xmxm+1

)(2.3.27)

y el decremento logarítmico β se puede determinar de manera aproximada a partir de una grá�cacomo por ejemplo de la �gura (2.3.5). Tomando dos puntos, por ejemplo: T = 4, 9s− 0, 5s = 4, 4sy

β =1

4, 4sln

(0, 4

0, 9

)≈ −0, 18 · s−1

De igual manera, podemos usar la expresión (2.3.25), o (2.3.24), para escribir

E (0) =1

2mω2

0A2ε± (0)

E (T ) =1

2mω2

0A2e−2βT ε± (T ) =

[1

2mω2

0A2ε± (T )

]e−2βT

y de las anteriores, ya que se satisface (2.3.23), podemos escribir:

E (T ) = E (0) e−2βT

Medina V. 16

CAPÍTULO 2. OSCILADORES LINEALES

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1.33958 2.67916 4.01874 5.35832 6.6979 8.03748 9.37706 10.7166 12.0562 13.3958

Figura 2.3.5: Amortiguamiento débil

o de manera equivalente:

E (0)

E (T )= e2βT ⇒ ln

(E (0)

E (T )

)= 2βT (2.3.28)

combinando las ecuaciones (2.3.26) y (2.3.28) podemos concluir que

E (0)

E (T )=

(x (0)

x (T )

)2

(2.3.29)

la pérdida de energía es cuadráticamente proporcional a la amplitud.

2.3.4. Factor de Calidad

Una característica interesante, para el caso del oscilador subamortiguado, es que en el máximode la amplitud del oscilador, la velocidad es nula y en consecuencia también es nula la energíacinética:

x (t) = xme−βt cos (ωt− φ)

x (t+ T ) ={xme

−βt cos [ω (t+ T )− φ]}· e−βT

={xme

−βt cos (ωt+ 2π − φ)}· e−βT

= x (t) · e−βT (2.3.30)

Para el valor máximo de la amplitud en un ciclo xm, se tiene que la energía cinética se hace nulay la energía potencial es máxima. Para el caso del sistema masa+resorte, se tiene Ep = 1

2k · x2m y

Ep (t) =1

2k · x2 (t) =

1

2kx2me

−2βt cos2 (ωt− φ)

Medina V. 17

CAPÍTULO 2. OSCILADORES LINEALES

y para el ciclo siguiente

Ep (t+ T ) =1

2k · x2 (t+ T )

=1

2kx2me

−2βt · e−2βT · cos2 [ω (t+ T )− φ]

=

[1

2kx2me

−2βt]· e−2βT · cos2 [ωt+ ωT − φ]

=

[1

2kx2me

−2βt cos2 (ωt− φ)

]· e−2βT

= Ep (t) · e−2βT

es decir, que

Ep (t)− Ep (t+ T ) = Ep (t)− Ep (t) e−2βT

∆Ep = Ep (t)(1− e−2βT

)o de manera equivalente4 ∣∣∣∣∆EpEp

∣∣∣∣ = 1− e−2βT

En el caso que βT � 1 entonces∣∣∣∣∆EpEp

∣∣∣∣ = 1− e−2βT ≈ 2βT

≈ 2β

(2π

ω

)= 2π

(2β

ω

)

= 2π

(2β

ω0

[1−

ω0

)2]− 1

2

donde hemos usado a (2.3.18). Haciendo uso del desarrollo de la función (1 + z)n, podemos escribir:∣∣∣∣∆EE

∣∣∣∣ = 2π

(2β

ω0

[1−

ω0

)2]− 1

2

≈ 2π

(2β

ω0

[1− 1

2

ω0

)2

+3

8

ω0

)4

+ · · ·

]

= 2π

(2β

ω0

[1− 1

8

(2β

ω0

)2

+3

128

(2β

ω0

)4

+ · · ·

](2.3.31)

de la de�nición de factor de calidad

Q =

√km

r=

√kmm

2

(2mβ)=m ·

√km

(2mβ)=ω0

2β(2.3.32)

si ω ≈ ω0 y en consecuencia de (2.3.18) entonces podemos despreciar los términos de orden 2 osuperiores en 2β

ω0en la ecuación (2.3.31) y ahora escribimos∣∣∣∣∆EE

∣∣∣∣ = 2π

(2β

ω0

)=

Q(2.3.33)

4Del desarrollo de

ex = 1 + x+x2

2!+

x3

3!+ · · ·

Medina V. 18

CAPÍTULO 2. OSCILADORES LINEALES

y podemos relacionar el factor de calidad con el porcentaje de la energía perdida por ciclo

Q = 2π

(∆E

E

)−1(2.3.34)

2.4. Circuitos eléctricos

La expresión (2.3.1) se pueden encontrar en circuitos eléctricos, como el diagrama esquemáticode la �gura (2.4.1), donde la carga Q del condensador C hace las veces de variable dependiente,jugando el mismo rol que la variación, a partir del equilibrio, x del sistema masa resorte en laecuación (2.1.2).

C

LR

Figura 2.4.1: Circuito RCL en serie

Si inicialmente las placas del condensador se encuentran cargadas, entonces podemos utilizar laecuación de Voltajes de Kirchho� ∑

k

Vk = 0 (2.4.1)

para determinar los valores del potencial o la carga eléctrica en las armaduras del capacitor.Utilizando (2.4.1), para cada uno de los elementos de circuitos en la malla, se tiene

Vc + VR + VL = 0 (2.4.2)

Si recordamos la de�nición de corriente eléctrica

I =dQ

dt(2.4.3)

Así como que a partir de la Ley de Ohm, la diferencia de potencial en los extremos de un conductores proporcional a la corriente que pasa por el

VR = RI

Para el caso de la bobina o inductancia, tenemos que el cambio del �ujo de campo magnético

VL =dΦ

dt=d (LI)

dt= L

dI

dt(2.4.4)

genera una diferencia de potencial (o fuerza electromotriz) en los extremos de una bobina (Ley deFaraday); entonces podemos reescribir la ecuación (2.4.2) como

Q

C+RI + L

dI

dt= 0 (2.4.5)

Medina V. 19

CAPÍTULO 2. OSCILADORES LINEALES

que junto con (2.4.3), se escribe

Q

C+R

dQ

dt+ L

d2Q

dt2= 0

Q

LC+ 2

(R

2L

)dQ

dt+d2Q

dt2= 0 (2.4.6)

obteniendo una expresión similar a (2.3.1), donde

ω20 =

1

LC, β =

R

2L

establecen los valores la pulsación propia y del decremento logarítmico, tal como en (2.3.3) y(2.3.4), respectivamente.Si dividimos (2.4.6) por C, en lugar de obtener una ecuación diferencial en función de Q, obte-nemos la misma ecuación diferencial, en términos de la diferencia de potencial de las placas delcondensador. Esta cantidad es mucho más práctica de medir que la carga en las placas:(

QC

)LC

+ 2

(R

2L

) d(QC

)dt

+d2(QC

)dt2

= 0

ω20V + 2βV + V = 0 (2.4.7)

y por ello es más práctica para veri�car el comportamiento temporal de la diferencia de potencialen las placas del capacitor.

2.4.1. Balance de Energía

Si a la expresión (2.4.5), la multiplicamos por la corriente I, entonces se tiene

Q

C· dQdt

+ L · I dIdt

= −RI2

que al proceder como en la sección (2.2.1), obtenemos

− d

dt

(Q2

2C+

1

2LI2

)= −RI2 (2.4.8)

estableciendo que la potencia disipada por efecto Joule es igual al cambio de la suma de la energíaelectrostática y electromagnética del circuito.En el caso ideal en que la resistencia del circuito sea despreciable, se puede establecer la Conser-vación de la suma de la energía electrostática del condensador (comparable a la energía potencialde un oscilador) y de la energía electromagnética, similar a la energía cinética.

2.5. Tiempo de relajación

Las ecuaciones de la forma (2.3.1) como (2.4.6) o (2.4.5), se reducen a (2.1.2) si podemos despreciarel amortiguamiento. Si las fuerzas de inercia son despreciables frente a las fuerzas de restituciónelásticas y de amortiguamiento, obtenemos un sistema muy amortiguado y no existirán oscilacio-nes. El sistema es aperiódico y el primer término de (2.3.1) se desprecia y obtenemos

rx+ kx = 0 (2.5.1)

que es equivalente a escribir

dx

dt= −k

rx

Medina V. 20

CAPÍTULO 2. OSCILADORES LINEALES

una ecuación diferencial de primer orden cuya solución es

x (t) = x0e− tτ (2.5.2)

y el valor τ = rk se denomina tiempo de relajación o constante de tiempo, que corresponde a

la duración en la cual la elongación inicial decrece en un factor de 1e . La constante x0 se puede

determinar usando las condiciones iniciales.

exp(−t/tau)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2

Figura 2.5.1: Descarga de un condensador

Un ejemplo de ello, lo podemos obtener(ver �gura 2.5.1) si el valor de la induc-tancia es despreciable en el caso del cir-cuito eléctrico RCL en serie de la ecuación(2.4.5), y en este caso, obtenemos

Q

C+RI = 0 (2.5.3)

y por ello

dQ

dt= − t

RC

y el tiempo de relajación es τ = RC yobtenemos de (2.5.3)

Q (t) = Q0e− tRC

Si tomamos en consideración que la ecuación (2.3.2) se puede escribir como

d2x

dt2+ 2bω0 ·

dx

dt+ ω2

0x = 0 (2.5.4)

donde

b =ω0

β=

√km

r2m

=2√mk

r(2.5.5)

es la razón de amortiguamiento, coe�ciente sin dimensión. La pseudo-pulsación (ecuación (2.3.11))en términos de la razón de amortiguamiento es

ω = ω0

√1− b2

y la expresión (2.5.4), se denomina ecuación reducida. En algunos casos, es conveniente, utilizarla expresión reducida si de�nimos una variable independiente adimensional µ = ω0t y en este casola expresión reducida se escribe

d2x

d (ω0t)2 + 2b · dx

d (ω0t)+ x = 0

d2x

dµ2+ 2b · dx

dµ+ x = 0

mas propicia de resolver numéricamente.

Medina V. 21