cap 2 campo eléctrico y ley de gauss 19 38-2011 i

Cuaderno de Actividades: Física II

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 19

22)) CCAAMMPPOO EELLÉÉCCTTRRIICCOO

YY LLEEYY DDEE GGAAUUSSSS



22..11)) DDeeffiinniicciióónn ddee ccaammppoo eellééccttrriiccoo,, E

El vector E

describe las propiedades eléctricas del espacio {medio}.

Donde:

CCaammppoo eellééccttrriiccoo:: DDiissccuussiióónn……

“Las interacciones del campo no son instantáneas”

“La carga q modifica el medio que la rodea (campo)”

0 0

0

: ,

0

q Carga de prueba q

q

E

0

eFE

q

eF

q

0q

P

E

P

q



EEccuuaacciioonneess ddee EE

ii)) qq

0

3

3

3

( )

0

,

:

( )

0r

q

q

kqq r r

r r kqrE s

kq r rE r

r

i rq r

En gener

r

al

iiii)) DDiissttrriibbuucciioonneess DDiissccrreettaass,, DDDD

31 1

i

i n i ni iqDD

i i i

kq r rE r E r

r r

iiiiii)) DDiissttrriibbuucciioonneess ccoonnttiinnuuaass::

jj)) VVoolluummééttrriiccaa

3

,r

vk dv r r

Er r

: representa el volumen

( )

q

rE

r

r

q P

( )iq

rE

r'ir r

iq P

iq



jjjj)) SSuuppeerrffiicciiaall

3

,r

ak da r r

Er r

o s : representa el área

jjjjjj)) LLiinneeaall

3

,r

l :k

rd

el

pr

resenta la longir

E dr

ur

t

“Las distribuciones de carga crean el campo”

OObbsseerrvvaacciioonneess

j) Nu EC

jj) 0

eFE

q

: definición operacional

jjj)

0 0

0

, : " "

:

.

e eF q E F Fuerza sentida por q .

E creado por cierta distribución de

cargas en la posición de q

jv) El E

es usado intensivamente en las ecuaciones.



22..22)) LLiinneeaass ddee ffuueerrzzaa,, LLFF

3r

k r dv r rE

r r

, E se obtiene por definicion

→ LEY DE GAUSS: ρdealta simetría .

→ Útil sólo para de alta simetría: E

“fácil” de calcular.

→ LF / LF=simetría .

DDeeffiinniicciióónn ddee lliinneeaass ddee ffuueerrzzaa

SSoonn llaass ttrraayyeeccttoorriiaass ddeessccrriittaass ppoorr llaass 0q ddeebbiiddoo aa llaa eF qE

ggeenneerraaddaa ppoorr

cciieerrttaa ..

““La forma de las LF esta ligada a cómo se distribuye la q”

r

r

Pr

LF

'r

0q

eF



LLFF ppaarraa ddiivveerrssaass ddiissttrriibbuucciioonneess ddee ccaarrggaa

ii)) q

ii) 1 2: q q

|q|

+-

d

Caso especial:

1 2

1

2

" "

q q q

q

q

d pequeña

0q

q

eF

q



iiiiii))

iivv))

q -q

d

O

O

Dipolo eléctrico: MMooddeelloo mmááss ssiimmppllee ppaarraa

ddeessccrriibbiirr ssiisstteemmaass ccaarrggaaddooss

((ccuuaannddoo dd ssee aapprrooxx.. aa 00))



vv)) 0 r

CCaarraacctteerrííssttiiccaass

jj)) E tg LF

jjjj))

jjjjjj)) NNoo ssee ccrruuzzaann

jjvv)) DDiissttrriibbuucciióónn ddee LLFF::

kk)) DDeennssiiddaadd LLFF:: RReellaacciioonnaaddaa aa llaa iinntteennssiiddaadd..

kkkk)) UUnniiffoorrmmiiddaadd LLFF:: RReellaacciioonnaaddaa aa ccaammppooss ccoonnssttaanntteess..

¿¿?? PPrreeppaarree mmaaqquueettaass ddee LLFFss

Q dvQ

0qE



22..33)) LLeeyy ddee GGaauussss

EEssttaabblleeccee llaa proporcionalidad eennttrree eell fflluujjoo eellééccttrriiccoo aa ttrraavvééss ddee cciieerrttaa ssuuppeerrffiicciiee

cceerrrraaddaa,, llllaammaaddaa ggaauussiiaannaa yy llaa ccaarrggaa eellééccttrriiccaa eenncceerrrraaddaa ppoorr ddiicchhaa ssuuppeerrffiicciiee..

(30 de abril de 1777, Brunswick – 23 de febrero de

1855, Göttingen)

DDeeffiinniicciióónn ddeell fflluujjoo eellééccttrriiccoo,, E

Es la cantidad física escalar que informa acerca de cuanto E

atraviesa la superficie.

. ,.

:

ES E

S S

ds da vector de area elementa

E ds E da

l

da da

da da

ad

da

da

E

S A

Johann Carl Friedrich Gauss, El príncipe de las matemáticas.



LLeeyy ddee GGaauussss

,

. NEE SG

SG

E da q

0

. NE

SG

qE da

PPaarraa ssiimmpplliiffiiccaarr llooss ccáállccuullooss vveerr qquuee::

cosE da E da

1º

2

0

º

E da E da

E cte E da E da E saledela

*SG, Superficie gaussiana {superficie. cerrada} ¿? Investigue por lo menos una biografía del Príncipe de las Matemáticas. ¿? Que otros flujos se usan en la Física. ¿? Será posible matematizar las LF

SG

NE

SG

q dV



EEjjeemmpplloo

1º Por la definición de E

3r

k dl r rE

r r

2 2ˆˆ ˆ

ˆ

r rj r r rj zk r r r z

r zk

3 22 2

3 22 2

3 22 2

ˆˆˆˆ

0,

¿?

y z

y

z po

k dz rj zkE r E j E k

r z

dz

r

E k r

simetria

r z

zdzE k

r z

Z

Y E

r

r

dl dz

dq dz

X



22ºº aallttaa ssiimmeettrrííaa GGaauussss

0

0

0

0

0 0 ,

2

2

NE

SG SCL STS STI

NE

SCL

SCL

qE da

da || E da E

q SG : E cteE da

HE d

E

a E r

r

H

E

SG=SCL+STS+STI

E

H

O

da

r r r

H



S1P22) a) Localice en la figura los puntos donde el campo eléctrico es cero. b) Trace un dibujo cualitativo que muestre las líneas de fuerza del campo

resultante. c) Haga un gráfico cualitativo de E vs. x, dónde E se evalúe en puntos del eje

X. Solución:

a) Para el punto S:k

E E2

q k

d 2

0

2 qq

d d2

5 q

d 21

2d

2 212 5

4d d d

2

1,2 1

12 4 4 3

21 2 103 2 0 0,9

2 2 3 6d d d d

Igual en Q:

kE

2 q

2

1

1

2

kE

d

5 q2 2

1 1 12

1

52 5 5

4d d d

d

2

1 1 11,2

5 25 45

3 5 04

d d d

53

4 5 100,3; 1,4

2 3 6

Q q- q+ E- P E+ S x d1 0 d0 d x



b) c) Para el punto S:

2 2 2 2

2 5 2 5ˆ ˆ ˆ ˆ

1 1

2 2

T T

k q k qE i i kq i E i

x xx x

2 2

2 5 1,

21

2

TE kq xx

x

hay que especificar para cada región

- + x

E- y ET E+

0,9 0 0,5 x E+ E+



S1P7) En la distribución mostrada 0 es constante y q0 es una carga puntual. Calcule la fuerza sobre q0 si d >> R0.

Solución:

Por superposición:

0 0 0' 2

0

' ˆ;/ 2

q Qq Q q

kQ kQE E E i

d Rd

3

3 00 0 0

4 4, '

3 3 2 8

R QQ R Q

R0 0 centro de la circunferencia q0 R0/2

d

0 0’ q r R0/2 d R0

0

Q Q’ 0 0’

+ r

- 0

0



0 0

3

0 0 2 2

0

4 1 1 ˆ3

82

ˆq qE k R i

d RE

d

i

00 1

RSi d R

d{despreciando los cuadrados}

2 2

0 0 0

2 2

2 0

1 11 1 1

2 21

2

R R R

d d ddRd

d

Usando la aproximación del Binomio de Newton:

(1 ) 1 1nx nx cuando x

0 0

4qE k

3

300

2

1 /1

8

R dR

d

0

3

0 00 2

4 11 1

3 8q

R RE k

dd

0

3

0 00 2

17

6q

R RE k

dd

¿? Encuentre este resultado usando la definición. Analice la expresión integral. Ahora, usando

0F q E

0

3

0 00 0 2

1 ˆ76

q

R RF q k i

dd



S1P19) Un anillo fino aislante de radio R tiene una carga con densidad lineal

( )= 0 cos , donde 0 es una constante positiva y el ángulo azimutal, ¿Cuál es el modulo del vector campo eléctrico? a) En el centro del anillo b) En su eje a una distancia d de su centro. Analice la expresión

obtenida para d >> R.

a) 3

( ) '0

'

k dl r rE

r r

ˆ ˆ0, ' cosr r R i Rsen j

ˆ ˆ' cosr r R i Rsen j

3

1 3r r R

; dl Rd

2

20

0

1ˆ ˆ0 cos 22

kE d i sen d j

R

1

1 cos22

0 0ˆ0 0k

E i ERR

k

b) ˆ ˆ ˆ, ' cosr zk r R i Rsen j

ˆˆ ˆ' cosr r R i Rsen j zk

3/ 23 2 2' ; Rr r R z dq d

Z P

z d

0 y

R x dq



22

20

3/ 2 02 2

1 ˆˆ ˆcos 2 cos2

k R zE z d i sen d j d k

RR z

2

0

2

0

3/ 22 2

3/ 22 2

ˆ ,k R

E z ik R

R zE z

R z

2

0

3limz R

k RE z

z

S1P47) Determine el campo eléctrico de un disco de radio R con densidad

superficial de carga uniforme, sobre puntos en el eje axial del disco. Solución:

A) Usando coordenadas polares ( coordenadas cilíndricas en el plano)

y

da=(rd )dr dr

d r x

3

'

'

kdq r rE r k I

r r

dq da rd dr

0,0,r z

z

r

r y

'r

x



' cos , ,0r r rsen

3/ 22 2

cos , ,

s

k rd dr r rsen zI

r z

2

3/ 20 0 2 2

cos , ,R r rsen z rd dr

r z

2

0cos d = 0

2

0sen d = 0 (por evaluarse en sus periodos)

2

3/ 20 0 2 2

ˆR rzdrd

I kr z

2

3/ 20 0 2 2

ˆR zrdr

d kr z

3/ 20 2 2

ˆ2R rdr

z kr z

2 2

ˆ2z z

E z k kz R z

¿? Encuentre este resultado usando la definición con un elemento de área

cartesiano. Analice la expresión integral.

¿? Qué ocurre si R

R

ˆ2ˆ2

ˆ2

k kzE z k k

z k k



0 0

12 2

4 2E z k

: El E de un plano!

(verifíquelo usando LG)

B) Usando anillos de = dr

b) ˆ ˆ ˆ, ' cosr zk r r i rsen j

ˆˆ ˆ' cosr r r i rsen j zk

3/ 23 2 2' ;r r r z dq rd

2

3/ 2 02 2

ˆˆ ˆcosk rdr

dE z r d i rsen d j zd kr z

3/ 2 3/ 22 2 2 2

0

(2 ) (2 )ˆ ˆR

k zrdr k zrdrdE z k E z k

r z r z

2 2

ˆ2z z

E z k kz R z

z

r

r y

'r

x

cap 2 campo eléctrico y ley de gauss 19 38-2011 i

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