CÁLCULO

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CÁLCULO En la antigüedad se utilizaba en ciertas operaciones económicas de comercio, un sistema contable basado en la utilización de piedrecillas. Es por eso que el término cálculo proviene del latín calculus, que significa justamente ese: Piedrecillas. Hoy cálculo en matemáticas significa un sistema de operaciones orientado a la solución de un problema matemático. ¡IMPORTANTE! Por convención, cuando hablamos de cálculo infinitesimal, nos referimos al cálculo diferencial y al integral. CALCULO DIFERENCIAL Rama del cálculo infinitesimal, que estudia el cálculo de las derivados de las funciones. CALCULO INTEGRAL Rama del cálculo infinitesimal, que consiste en la solución de integrales.

NOCIONES PRELIMINARES DEL CÁLCULO Teoría de los números Llamamos teoría de los números, a grandes rasgos, a los diferentes conjuntos de números. En este caso se estudian los conjuntos de números hasta llegar al conjunto de los números reales, que son los cuales vamos a trabajar en cálculo. Los principales conjuntos numéricos son: • El Conjunto de los Números Naturales • El Conjunto de los Números Enteros • El Conjunto de los Números Racionales

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• El Conjunto de los Números Irracionales • El Conjunto de los Números Reales y • El Conjunto de los Números Complejos

NOTA: Cada uno de los conjuntos, los vemos en le fascículo 1 y 2 matemática moderna. En este fascículo los veremos en forma somera y desde otro ángulo.

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES

Este conjunto está formado por todos los números ENTEROS y POSITIVOS. ¡IMPORTANTE! La tendencia últimamente es que el cerro (0) debe tomarse como Número Natural. Simbología El símbolo del conjunto de los Números Naturales es N. Una ene mayúscula. Ejemplo: N = {0, 1, 2, 3, 4. .............} Opuesto de Un Número Se roma como opuesto de un número el mismo número pero con signo contrario.

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Ejemplo El Número Su Opuesto 3 -3 5 -5 8 -8 y viceversa, el opuesto de –3 es 3, de – 5 es 5, de –8 es 8.

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

El conjunto de los números enteros está formado por la unión de los números positivos (Naturales) y los opuestos, es decir, los enteros negativos. Simbología El símbolo que representa el conjunto de los números enteros es una zeta y una paralela: Z Ejemplo

Z= {…-3, -2,-1 0, -1, 2, 3, …..}

NOTA Para entender los llamados números racionales se debe recordar los números fraccionarios. Si desea hacer un estudio completo de fraccionarios puede tomar nuestros fascículos de aritmética. No obstante, en este fascículo, daremos una breve explicación por lo menos de lo indispensable.

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NÚMEROS FRACCIONARIOS

Son los números llamados de la forma ba , donde a y b son enteros y

b ≠ 0 (Se lee: b es diferente de cero). “a” representa el numerador “b” representa el denominador Todo fraccionario representa una división en la cual el numerador es el dividendo y el denominador el divisor.

El nombre correcto de un número de forma ba es cociente indicado.

En otras palabras, todo número de la forma a/b representa un cociente indicado. ¡IMPORTANTE! Al realizar la división indicada, es decir, resolver el cociente indicado se puede dar que el cociente sea: Un Entero ó Un Decimal Por otra parte se puede dar que el cociente sea:

Exacto Inexacto Periódico ó Inexacto Mixto

¡IMPORTANTE!

Es importante observar que en un cociente indicado de la forma ba

donde a y b son números enteros y b≠0, que el cociente nunca será un decimal infinito no periódico. Siempre responderá a lo dicho anteriormente. Su resultado será: Un entero o Un decimal: Exacto o Infinito Periódico.

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Cociente indicado de la forma ba cuando el cociente es un Entero

Ejemplo

210 = 5, 5 ∈ Z

618− = -3, -3 ∈ Z

Cociente indicando de la forma ba cuando el cociente es un Decimal

Exacto Toma este nombre cuando el número de cifras decimales es limitado. Ejemplo

3 30 4 = 0,75 20 0,75 4 0 5 50 10 = 0,5 0 0,5 10 8 800 125 = 0,064 0500 0,75

125 0

“Fracción” Decimal Inexacta Se divide en dos clases Fracción Periódicamente Pura y Fracción Periódicamente Mixta

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Fracción Decimal Periódica Les llamamos fracción periódica, porque la forman periodos de números Periodos de Números Toman este nombre ciertos grupos de números que se repiten en un decimal en forma infinita Ejemplo Cada grupo toma el nombre de Períodos 0, 123 123 123….. Otra forma como se puede escribir el número es: Por conversión, el segmento 0,123 en la parte superior del número significa que dicho período se repite infinitamente

Fracción Decimal Periódica Pura Toma este nombre cuando el o los periodos decimales inician en las décimas. Ejemplo Inicia en las Décimas Periodo

0,555………… = 0,5

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0,432432…….. = 0,432

0,050505…….. = 0,05

Fracción Decimal Periódica Mixta Toma este nombre cuando el o los períodos decimales inician en un lugar diferente a las décimas. Ejemplo

Parte no periódica Períodos 0,00 345 345.... = 0,00345

0,02 456 456.... = 0,02456

Parte no periódica Períodos

Números Decimales no Periódicos

¡IMPORTANTE! Estos números (No periódicos) no pertenecen a los llamados de la forma a/b cuando a y b son enteros y b≠0. A estos decimales que no pertenecen a la clase explicada anteriormente, es decir, que no pertenecen a los enteros, que no son decimales exactos ni decimales inexactos periódicos, les llamamos Decimales Infinitos no Periódicos. Decimales no Periódicos Son los números cuya pare decimal se compone de infinitos dígitos sin que se repitan en un orden determinado. Ejemplo

π = 3,14115926535….

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¡IMPORTANTE! Los decimales no periódicos se dividen en trascendentes y no periódicos en sí. Trascendentes: Son los decimales no periódicos que tienen utilización muy especifica Ejemplo

π = 3.1415926535.... Resulta de dividir la longitud de la circunferencia sobre su diámetro e = 2,7182818224....

Número de Euler y base de los logaritmos neperianos

No Periódicos en Sí Es cualquier decimal no periódico que generalmente resulta de raíces inexactas. Ejemplo 2 = 1,4142135...... 3 = 1,7320508...... 8 = 2,828421..... 3 5 = ...... Etc.

Números Racionales Son los resultantes de a/b cuando a y b son enteros y b≠0. En otras palabras; son los números enteros (positivos y negativos), los decimales exactos y los decimales periódicos.

Números Irracionales Son los llamados Números Decimales no periódicos. En otras palabras son los Decimales Trascendentes y los decimales que resultan de raíces inexactas.

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O dicho en otra forma, son los trascendentes y las raíces inexactas. Simbología El símbolo de los números racionales es (Q), en otras palabras, es un CU con una rayita. El símbolo de los números irracionales es (Q’) En otras palabras, es un CU con una rayita y un apóstrofe. Número real Se toma como número real o números reales, al conjunto de todos los números racionales y todos los números irracionales. Simbología El símbolo de los números reales es (R) en otras palabras es una “erre”. Cuando se refiere a los números reales únicamente positivos es R+ y cuando se refiere a los números reales únicamente negativos es R- ¡IMPORTANTE! Teniendo en cuenta que el signo de unión es (U), podemos decir que número real es: R = Q U Q’

La Recta y los Números Reales Los números reales son considerados como el valor correspondiente a los infinitos puntos de la recta en la cual unos puntos parten del cero hacia la derecha y son considerados como números reales positivos (R+). Otros parten del cero a la izquierda y son considerados como números reales negativos (R-) Ejemplo

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

0

-2½ -4½

25

− 29

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El símbolo de pertenece es ∈ Se lee: Pertenece a… ¡IMPORTANTE! Usando la recta y el símbolo de pertenencia (∈) y suponiendo que “a” es un número cualquiera en la recta, se puede presentar uno de los tres casos siguientes (Ley de Tricotomía). Que a ∈ R+ ó Que a ∈ 0 ó Que a ∈ R- Desigualdades Los signos o símbolos de desigualdad son:

< Se lee: menor que ≤ Se lee: menor o igual a > Se lee: mayor que ≥ Se lee: mayor o igual a

Cuando hay una línea cruzándolos los niega Ejemplo < Se lee: no es menor que ≤ Se lee: no es menor o igual a > Se lee: no es mayor que ≥ Se lee: no es mayor o igual que ¡IMPORTANTE! Una cantidad es mayor que otra cuando su diferencia es positiva Ejemplo 8 > 5 Se lee: Ocho es mayor que cinco

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Probemos si 8-5 arroja valor positivo y tenemos: Por ser 3 Positivo podemos 8 – 5 = 3 establecer que 8 es mayor que 5 Por el contrario una cantidad es menor que otra si la diferencia es negativa. Ejemplo

7 < 10 Se lee: Siete es menor que 10

Probemos si 7 menos 10, arroja valor negativo y tenemos: Por ser -3 Negativo 7 – 10 = -3 podemos establecer que 7 es menor que 10 NOTA Establecer si hay desigualdad entre dos cantidades, es confirmar si una de ellas es menor o mayor que la otra. También es importante notar lo siguiente: a) Si a>0 entonces a es positivo Ejemplo a = 1 y 1 > 0 entonces 1 es positivo b) Si a<0 entonces a es negativo Ejemplo a = -1 -1<0 Porque el valor de a, es decir, -1 es negativo Generalizando Si a es positivo a>0 y entonces –a por ser negativo es menor que cero y quedaría -a<0 En otras palabras, si una cantidad es mayor que cero (0) su opuesto es menor que cero.

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Ejemplo 5>0 entonces -5<0

Ojo a lo siguiente Si a es negativo a<0, entonces –a sería positivo, por tanto –a>0 Ejemplo

a es negativo = -8 y –a es igual a –(-8) = 8

y podemos deducir a<0, o (8<0) y

-a>0, -8(-8>0) porque –(-8) = 8 Entonces 8>0

Miembros de una Desigualdad Al igual que en las ecuaciones en las desigualdades o inecuaciones también se presenta el caso de los dos miembros. Llamamos primer miembro a los términos que se encuentran al lado izquierdo del signo de la desigualdad y segundo miembro a los términos que se encuentran al lado derecho del signo de la desigualdad Ejemplo

Primer miembro a > b segundo miembro Término de una Desigualdad Al igual que en una ecuación, a los valores que intervienen en una desigualdad se les llama términos. Ejemplo

Primer miembro Segundo miembro

8 + 3 > 2 + 4

Términos

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Primer miembro Segundo miembro

a + b > d + c

Términos Sentido de las Desigualdades El sentido de las desigualdades se refiere a los signos “<” 0 “>”. Si dos desigualdades tienen el mismo signo se dice que tienen el mismo sentido

8 > 2 y 5 > 4 Tienen el Mismo sentido

8 > 2 y 7 < 9 Tienen sentido contrario Cambio de miembro de los términos de una Desigualdad Un término se puede pasar de un miembro a otro sin que la desigualdad cambie de sentido, si al término se le cambia el signo. Ejemplo

8 + 3 > 2 + 4

Entonces

8 > 2 + 4 – 3 Operaciones que pueden elaborarse con Desigualdades sin que estas cambien de Sentido.

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1) Si dos desigualdades del mismo sentido se suman conservando el mismo orden de sus miembros el resultado es otra desigualdad del mismo sentido. Ejemplo 5 > 3 a > b 4 > 2 ó c > d 5 + 4 > 3 + 2 a + c > b + d 2) Una desigualdad se puede elevar a cualquier potencia con la seguridad de que el sentido no cambia si sus términos, lo mismo que el exponente a elevar son positivos.

5 > 3 por tanto 5² > 5² a > b por tanto a² > b²

teniendo en cuenta que a y b son positivos: a>0 y b>0

3) Si los miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia impar positiva, su sentido no cambia Ejemplo -3 > -5 por tanto (-3)³ > (-5)³ por que: -3 · -3 · -3 = -27 -5 · -5 · -5 = -125 y -27 > -125 -a > -b por tanto (-a)³ > (-b)³ a > 0, b > 0 4) Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se les extrae raíz, el sentido no cambia Ejemplo 25 > 9 por tanto 25 > 9 porque 5 > 3 a > b por tanto a > b siendo a y b positivos (a > 0, b > 0)

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5) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo número positivo, el sentido de la desigualdad se mantiene. Ejemplo 3 > 2 por tanto 3 x 5 > 2 x 5 porque 15 > 10 a > b por tanto 5a > 5b a > b por tanto c · a > c · b Siendo c positivo, es decir, c > 0 6) Si los dos miembros de una desigualdad se dividen por un mismo número positivo, el sentido de la desigualdad se mantiene Ejemplo

20 > 15 por tanto 520 >

515

porque 4 > 3

a > b por tanto ca >

cb

Si c > 0 7) Si los dos miembros de una desigualdad se les resta un mismo número, el sentido de la desigualdad se mantiene Ejemplo

20 > 15 por tanto 20 – 5 > 15 – 5 porque 15 > 10

20 – 25 > 15 – 25 porque –5 > –10 a > b por tanto a – c > b – c

8) Si a los dos miembros de una desigualdad se las suma un mismo número ya sea este positivo o negativo, el sentido de la desigualdad se mantiene Ejemplo

20 > 10 por tanto 20 + 15 > 10 + 15 porque 35 > 25

20 > 10 y 20 + (-15) > 10 + (-15)

porque 5 > -5 a > c por tanto a + b > b + c

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Cuando el Sentido de la Desigualdad Cambia 1) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por una cantidad negativa, el sentido de la desigualdad se invierte Ejemplo

4 > 3 por tanto 4 x (-2) < 3 x (-2) porque -8 < 8

a > b por tanto a · c < b · c Siendo c negativo, es decir, c < 0

2) Si los dos miembros, positivos o negativos de una desigualdad se dividen por una cantidad negativa, el sentido de la desigualdad si invierte Ejemplo

8 > 6 por tanto 8 ÷ (-2) < 6 ÷ (-2) porque -4 < -3

-10 > -12 por tanto –10 ÷ (-2) < -12 ÷ (-12) porque 5 < 6

a > b por tanto a ÷ c < b ÷ c Siendo c negativo, es decir, c < 0

3) Si a los dos miembros de una desigualdad se les cambia el signo, el sentido de la desigualdad se invierte Ejemplo

10 > 8 por tanto -10 < -8

-15 > -20 por tanto 15 < 20

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a > b por tanto -a < -b

4) Si en una desigualdad, manteniendo el mismo signo a sus términos, se invierten ambos miembros, hay que invertir también el sentido de la desigualdad. Ejemplo

20 < 30 por tanto 30 > 20

a < b por tanto b > a 5) Si los dos miembros de una desigualdad son positivos, y se elevan a una potencia negativa, el sentido de la desigualdad se invierte Ejemplo

3 > 2 por tanto 3-2 < 2-2

porque 91 <

41

a > b por tanto a-n < b-n a > 0, b > 0, n > 0

6) Si los dos términos de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia por positiva, el sentido de la desigualdad se invierte Ejemplo

Potencia par positiva

-3 < -2 por tanto (-3)2 > (-2)2

porque 9 > 4

a < b por tanto (a)2 > (b)2 Siendo a y b negativos, es decir: a < 0, b < 0

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7) Si los dos términos de una desigualdad son negativos y se elevan a una misma potencia impar negativa, el sentido de la desigualdad se invierte. Ejemplo

Potencia par positiva

-5 < -2 por tanto (-5)-3 > (-2)-3

porque )³5(

1−

> )³2(

1−

1251

− >

81

Sea a < 0, b < 0 por tanto: Si a < b entonces a-3 > b-3

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CÁLCULO 2

DESIGUALDADES CONDICIONALES (INECUACIONES)

Definición Una desigualdad condicional o inecuación es aquella en la cual aparece una incógnita que responde a cierta condición Ejemplo

2x + 3 > 5x – 9

En este caso para que la desigualdad sea

verdad, a la x le corresponden ciertos valores

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SOLUCIONES A DESIGUALDADES

CONDICIONALES Regla: 1) Se trasladan todos los términos que contienen la incógnita a un solo miembro, preferible al miembro izquierdo. Al pasar un término de un miembro a otro, cambia de signo. 2) Se reducen los términos semejantes si los hay. 3) Se dividen todos los términos de ambos miembros por el coeficiente de la incógnita, teniendo en cuenta las propiedades de las desigualdades. Ejemplo: Hallar los valores de x en la desigualdad, siguiente:

2x + 3 > 5x – 9 Solución de acuerdo con la regla Se trasladan todos los términos que contienen la incógnita a un solo miembro. Preferible al miembro izquierdo. Hagámoslo:

a) 2x + 3 > 5x – 9 Elaborando la operación, queda:

b) 2x - 5x > - 9 – 3 Se reducen los términos semejantes si los hay. Y queda:

- 3x > · - 12

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3) se dividen todos los términos de la inecuación por el coeficiente de la incógnita (-3); recordar que al dividir por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido. -3x -12 < entonces x < 4 -3 -3

Cambia de sentido ¡IMPORTANTE! Recuerde que si ambos miembros de una desigualdad se dividen por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte. Es casualmente lo que hicimos en el caso anterior. También hubiéramos podido elaborar el mismo caso visto, en la forma siguiente:

a) –3 > -12

Se invierte la desigualdad al haber dividido por un número negativo (-3)

Entonces -12 b) <

-3 Entonces c) x < 4 Solución Gráfica La parte subrayada corresponde a todos los x menores que 4

0 1 2 3

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¡IMPORTANTE! Váyase acostumbrando a la idea de límite. Observe que la expresión matemática vista anteriormente (x < 4) quiere decir que x puede expresar un sin número de valores, pero todos estos valores siempre deben ser menores que 4; tan cercanos a 4 como quiera pero sin llegar a ser nunca igual a 4. Ejemplo: Si son enteros podrían ser… -1, 0, 1, 2, 3. si se incluyen racionales (enteros y decimales), por decir algo, sería ∞…,2,3,..,3,9,3.99,3.999;… Teniendo en cuenta que x siempre debe ser menor que 4. Vaya haciéndose a la idea de límite. Límite de una variable “x” es el valor al cual tiende la variable sin llegar a él. Otros ejemplos de inecuaciones: 1) 3(x – 5) ≥ -5(x – 1) Se resuelven primero las multiplicaciones (propiedad distributiva):

a) 3x – 15 ≥ 5x – 5 Se trasladan las incógnitas al miembro izquierdo:

b) 3x – 5x ≥ -5 + 15 Se reducen los términos semejantes:

c) -2x ≥ 10

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Se dividen todos los términos de la inecuación por el coeficiente de la incógnita (-2); como se va a dividir por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte:

-2x 10 ≤ -2 -2

El sentido se invierte Luego: x ≤ – 5 Solución gráfica: La parte subrayada corresponde a todos los x menores o iguales a -5 (incluye a 5). 2) 3(x² + 5x – 1) > 3(x + 2)² En el miembro izquierdo se resuelve la multiplicación (propiedad distributiva) y en el miembro derecho se resuelve el producto notable (cuadrado de un binomio): a) 3x² + 15x – 3 > 3 (x² + 4x + 4) b) 3x² + 15x – 3 > 3x² + 12x + 12 Se trasladan las incógnitas a un solo miembro: c) 3x² - 3x² + 15x – 12x + 12 > 12 + 3 Se reducen términos semejantes: d) 3x > 15

,,, -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

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Se dividen ambos miembros por tres: 3x 15 > 3 3 3 > 5 Gráfica: La parte subrayada corresponde a todos los x > 5. (no incluye a 5). -3x – 4 6x + 3 3) ≥ 2 -3 Como 2 y -3 están dividiendo, pasan a los miembros contrarios multiplicando; además como (-3) es negativo, al pasar a multiplicar hace cambiar el sentido de la desigualdad:

a) – 3( -3x – 4) ≤ 2 (6x + 3)

Cambia el sentido

b) 9x + 12 ≤ 12x + 6 c) 9x – 12x ≤ 6 – 12 d) -3x ≤ -6

-6 x ≥

-3 Cambio el sentido de la desigualdad porque se dividió por –3 que es negativo Luego: f) x ≥ 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ,,,

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ,,,

Grafica: ¡IMPORTANTE! Para resolver inecuaciones de 2º grado o cuadráticas, es necesario dominar las operaciones de unión e intersección con INTERVALOS.

INTERVALOS Definición Conjunto que incluye a los números reales que se encuentran entre dos números también reales llamados extremos y en el que se pueden incluir a estos últimos o no. Ejemplo sobre intervalos: Determina en la recta real el conjunto de puntos (números reales), que se encuentren entre 2 y 7.

INTERVALO

EXTREMOS DEL INTERVALO Volvamos a ver el mismo ejemplo, pero bauticemos con letras los extremos del intervalo. Se bautizan con letras mayúsculas.

0 1 2 7 8 9 ,,,

CÁLCULO

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Veamos la aplicación en el ejemplo dado:

EXTREMOS DEL INTERVALO m n

INTERVALO

¡IMPORTANTE! Observe que hay dos extremos. En este caso m y n. Podemos decir que:

m < n Clases de intervalos Con respecto a los intervalos y considerando que sus extremos sean “m y n”, se presentan 4 clases, así: Clase Símbolo Genérico Símbolo Geométrico 1) Cerrado [m,n] 2) Abierto (m,n) Semiabiertos: 3) Abierto en el [m,n) extremo derecho 4) Abierto en el (m,n] extremo izquierdo

0 1 2 7 8 9 ,,,

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1) INTERVALO CERRADO

Se denomina intervalo cerrado cuando se incluyen en el intervalo los extremos. En otras palabras: Se denomina intervalo cerrado entre los extremos m y n al conjunto de los infinitos números reales que hay entre m y n. incluyendo a estos mismos. Ejemplo Graficar el intervalo cerrado [2, 5] ¡IMPORTANTE! 1) Al extremo inferior (2) le vamos a llamar “m” 2) Al extremo superior (5) le vamos a llamar “n” 3) A cada número que conforma el intervalo, en este caso 3, 4 y todos

los números reales que hay entre 2 y 5 incluyendo los extremos por ser cerrado, los vamos a llamar “x”.

4) Es importante notar que todos los números tratados corresponden al conjunto de los números reales “R”.

5) Recuerde el símbolo de pertenencia (∈). Se lee: pertenece o es elemento de Con los datos vistos se puede simbolizar un intervalo cerrado cualquiera, así: m n [m, n] = {x ∈ |R/m ≤ x ≤ n} El corchete [ ] se utiliza para indicar que es cerrado.

m n

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

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Se lee: El intervalo cerrado [m, n] es igual al conjunto de las “x”, elementos del conjunto de los números reales, tal que, o de tal forma que “m” es menor o igual “x” (porque se incluye “m” como extremo) y “x” (un valor cualquiera del intervalo), menor o igual a “n” como extremo). ¡IMPORTANTE! Al escribir el intervalo en forma de conjunto: 1) si aparece el signo “≤” o “≥” significa que es cerrado, en ese extremo. 2) si aparece el signo “<” o “>” significa que es abierto, en ese extremo. Otros ejemplos gráficos de intervalos cerrados 1) [0,1] 2) [-5, -1] 3) [-3, 2]

2) INTERVALO ABIERTO

Se denomina intervalo abierto, cuando no se incluyen en el intervalo sus extremos. En otras palabras Se denomina intervalo abierto entre los extremos m y n al conjunto de los infinitos números reales que hay entre m y n sin incluir a estos mismos.

-1 0 1 2 3 ,,,

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 ,,,

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Ejemplo Graficar el intervalo abierto [-4.-, 3] ¡IMPORTANTE! 1) Al extremo inferior -4 le vamos a llamar “m” 2) Al extremo superior 3 le vamos a llamar “n” 3) Por ser abierto y en consecuencia no incluir sus extremos

hipotéticos, es decir “m” y “n”, siempre habrá un valor inferior más a la izquierda y un valor superior más a la derecha, sin llegar a los extremos.

4) A cada uno de estos infinitos números reales que conforman el intervalo abierto, es decir, los infinitos números reales que hay entre -4 y 3 sin incluirlos por ser abierto, los vamos a llamar “x”.

5) Recordando el signo de pertenencia ∈ podemos establecer la simbología general, para un intervalo abierto cualquiera,

m n (m, n) = {x ∈ |R/m < x < n} El paréntesis ( ) se utiliza para indicar que es abierto Se lee: El intervalo abierto (m, n) es igual al conjunto de las x elemento del conjunto de los números reales, tal que, o de tal forma que m es menor que x y s menor que n. Otros ejemplos resueltos de intervalos abiertos. (3, 4)

m n

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ,,,

0 1 2 3 4 5

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(-5, -2) (-3, 0)

3) INTERVALO SEMIABIERTO POR LA IZQUIERDA (m, n]

Se denomina intervalo semiabierto por la izquierda cuando se incluye únicamente al extremo del lado derecho. En otras palabras: Se denomina intervalo semiabierto por la izquierda, entre los extremos m y n, al conjunto de los infinitos números reales que hay entre m y n, incluyendo únicamente el extremo n. Ejemplo: (0, 4] ¡IMPORTANTE! 1) Al extremo inferior “0” lo vamos a llamar “m”. 2) Al extremo superior 4 le vamos a llamar “n”. 3) Por ser abierto al lado izquierdo y en consecuencia no tener en

cuenta al extremo “m” esta “m” será menor que cualquier elemento que se tome dentro del intervalo.

-5 -4 -3 -2 -1 0

-3 -2 -1 0 1

m n

-1 0 1 2 3 4 5

CÁLCULO

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4) Por ser cerrado en el lado derecho, el mayor valor en el lado derecho será el extremo “n”.

5) A cada uno de los infinitos números reales que conforman el intervalo (m, n) le vamos a llamar x.

6) Recordando el signo de pertenencia € podemos establecer la simbología general de un intervalo semiabierto por la izquierda, así:

m n

(m, n] = {x ∈ |R/m < x ≤ n} Se lee: El intervalo cerrado al lado derecho (m, n] es igual al conjunto de las “x” elementos del conjunto de los números reales tal que, o de tal forma que, m es menor que “x” y “x” es menor o igual a n. Veamos otro ejemplo: (-5, 3]

4) INTERVALO SEMIABIERTO POR LA DERECHA [m, n)

Se denomina intervalo semiabierto por la derecha cuando se incluye únicamente el extremo al lado izquierdo. En otras palabras: Se denomina intervalo semiabierto por la derecha entre los extremos m y n al conjunto de los infinitos números reales que hay entre m y n, incluyendo únicamente el extremo m.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

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Ejemplo: [1, 5) ¡IMPORTANTE! 1) Al extremo inferior 1 le vanos a llamar “m” 2) Al extremo superior 5 le vamos a llamar “n” 3) Por ser abierto al lado derecho y en consecuencia no tener en

cuenta el extremo “n”. “n” será mayor que cualquier “x” que se tome dentro del intervalo.

4) Por ser cerrado de lado izquierdo, el número menor en el lado

izquierdo, el número menor en el lado izquierdo será “m”. 5) A cada uno de estos infinitos números reales que componen el

intervalo [m, n) le vamos a llamar x. 6) Recordando el signo de pertenencia ∈ podemos establecer la

simbología general para un intervalo semiabierto por la derecha, así:

m n

[m, n) = {x ∈ |R/m ≤ x < n}

Significa que SI Significa que NO incluye al extremo “m” incluye al extremo “n” Se lee: El intervalo semiabierto por la derecha [m, n) es igual al conjunto de las “x” elementos del con junto de los números reales, tal que, o de tal forma que, “m” es menor o igual a “x” y “x” es menor que n.

m n

0 1 2 3 4 5 6

CÁLCULO

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Otros ejemplos [-2, 2) [-5, -1) ¡IMPORTANTE! Fuera de los signos vistos en los intervalos tratados como: > Mayor que < menor que ∈ pertenencia Existe otro signo

∞ Se lee: infinito, e indica un número desconocido infinitamente grande. -∞ Se lee: manos infinito, e indica un número desconocido infinitamente pequeño.

Nota: A los intervalos que contienen el signo infinito (∞) se les llama intervalos impropios, o ilimitados, o infinitos.

INTERVALOS ILIMITADOS O INFINITOS

Con estos intervalos se presentan los mismos casos vistos, menos el cerrado, casualmente porque en forma total o en alguna forma son ilimitados.

-3 -2 -1 0 1 2 3

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0

CÁLCULO

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¡IMPORTANTE! Vamos a llamar al extremo conocido “m”, independientemente que algunas veces se presente a la izquierda del intervalo y otras veces a la derecha del intervalo. En la misma forma que en los anteriores intervalos, llamaremos “x” a todos los infinitos números reales que conforman el intervalo.

1) INTERVALO ILIMITADO A LA IZQUIERDA Y CERRADO A LA DERECHA (-∞, M]

Llamamos intervalo ilimitado a la izquierda y cerrado a la derecha al conjunto de los números reales “x” que son menores o iguales que el extremo cerrado “m”. Ejemplo: Graficar el intervalo (-∞, 3]

-∞ m ¡IMPORTANTE! 1) Al extremo superior 3 le llamamos “m”. 2) El extremo inferior es abierto en forma infinita por lo tanto lo

identificamos con (-∞). 3) Por ser abierto a la izquierda, los reales disminuyen

progresivamente hasta el -∞ 4) Por ser cerrado a la derecha el número mayor será “m” 5) Cada uno de estos infinitos números que componen el intervalo le

llamaremos “x” y

-2 -1 0 1 2 3 4 5

CÁLCULO

35

6) Recordando el signo de pertenencia ∈, y podemos establecer la simbología del (-∞, m], así:

(-∞, m] = {x ∈ |R/ -∞ < x ≤ m} Otra forma de verlo, es: -∞ < x ≤ m; x ∈ (-∞,m] Se lee: El intervalo ilimitado a la izquierda y cerrado a la derecha es igual al conjunto de las “x” elementos de los números reales, tal que, o de tal forma que, -∞ es menor que “x” y “x” es menor o igual a m. Ejercicios: 1) Graficar el intervalo infinito (-∞, -5]

-∞ 2) Graficar el intervalo (-∞, 0]

-∞ 3) Graficar el intervalo (-∞, 3]

-∞

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

-3 -2 -1 0 1

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

CÁLCULO

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2) INTERVALO ILIMITADO A LA

DERECHA Y CERRADO A LA IZQUIERDA [M, ∞)

Llamase intervalo ilimitado a la derecha y cerrado a la izquierda al conjunto de los números reales “x” que son mayores o iguales que el extremo “m”. Ejemplo: Graficar el intervalo [-3, ∞)

m ∞ ¡IMPORTANTE! 1) Al extremo inferior –3 le llamamos “m”. 2) El extremo superior es abierto e ilimitado (∞). 3) Por ser abierto e ilimitado a la derecha, los números reales

aumentarán ilimitadamente. 4) Por ser cerrado a la izquierda el número real menor será “m”. 5) Cada uno de estos infinitos números que componen el intervalo le

llamaremos “x”. 6) Recordando el signo de pertenencia ∈, podemos establecer la

simbología del [m, ∞), así: [m, ∞) = {x ∈ |R/ m ≤ x < ∞} Se lee: El intervalo ilimitado a la derecha y cerrado a la izquierda es igual al conjunto de las “x” siendo “x” elemento del conjunto de los números reales, tal que, o de tal forma que, “m” es menor o igual a “x” y “x” menor que ∞.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 ,,,

CÁLCULO

37

Ejemplos: 1) Graficar el intervalo infinito [2, ∞)

∞ 2) Graficar el intervalo [-3, ∞)

∞

3) INTERVALO ILIMITADO A LA IZQUIERDA Y A LA DERECHA

Llamamos intervalo ilimitado a la izquierda y a la derecha al conjunto de todos los números reales. Se usan como simbología general cualquiera de los anotados a continuación: – ∞ < x < ∞ x ∈ |R; (- ∞, ∞) = |R x ∈ (- ∞, ∞) ó (- ∞, ∞) = {x ∈ |R/ - ∞ < x < ∞}

0 1 2 3

-4 -3 -2 -1 0

CÁLCULO

38

4) INTERVALO VACÍO

Por definición se puede considerar cono un intervalo especial el conjunto vació. Simbólicamente: {x ∈ |R/ 5 < x < 5} = ∅ Ejercicios resueltos de cada uno de los intervalos estudiados: Graficar los siguientes intervalos: 1) [3, 5] 2) (-3, -2) 3) [-5, 0] 4) (-7, 3)

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

CÁLCULO

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5) (2, 4) 6) (0, 5] 7) [-3, 2) 8) [2, 4) 9) [3, ∞) 10) (5, ∞)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

CÁLCULO

40

11) (-2, ∞) 12) (-∞, 3) 13) (-∞, -2) 14) (-∞, 0] 15) (-∞, 1]

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4