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Estádistica Ciclo 6 Capacitación 2000

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MATEMÁTICAS MODERNAS

Teoría de Conjuntos

CONJUNTO Definición:

Es una expresión matemática que puede indicar una reunión o colección de elementos, un sólo elemento o la ausencia de elementos.

Elemento

Es cada uno de los sujetos que están en un conjunto. Ejemplo En el conjunto de las vocales, la letra i es un elemento de este conjunto. Lo mismo ocurre con cada una de las cuatro vocales restantes. IMPORTANTE! En un conjunto se debe tener en cuenta: a) Si hay colección de objetos ésta debe estar bien definida. Si para un elemento cualquiera nos preguntamos: ¿pertenece al

conjunto? La claridad de los elementos relacionados, debe permitirnos responder con exactitud “Si” o “No”.

b) Ningún elemento del conjunto se debe relacionar más de una vez. Cada

elemento del conjunto debe ser diferente de los demás y si por algún motivo se

repite. debe contarse una sola vez


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Ejemplo Establecer cuáles y cuántos elementos hay en la palabra MATEMÁTICAS Respuesta: ¿Cuáles? = M, A, 1, E, I, C, S ¿Cuántos elementos tiene? = 7 ¿Por qué no 11 elementos, si la palabra matemáticas contiene once letras? Porque 4 son repetidas y no se cuentan en el conjunto sino una sola vez. c) El orden en que se enumeran los elementos carece de importancia Ejemplo El conjunto de los números 1, 2, 3 es igual al conjunto 2, 3, 1 ó al conjunto 3, 2, 1


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CONJUNTO DE ELEMENTOS SIMILARES

CONJUNTO DE ELEMENTOS NO SIMILARES


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NOTACIÓN Habitualmente los conjuntos se representan con las letras mayúsculas y los elementos que lo forman, con letras minúsculas. Mas específicamente, para expresar un conjunto: 1.- Se bautiza el conjunto con la letra mayúscula. 2.- Se escribe el signo igual. 3.- A continuación se abre una llave. 4.- Se relacionan los elementos que corresponden al conjunto separados cada

uno por medio de comas. 5.- Hecha la relación de los elementos se cierra la llave. Ejemplo Representar el conjunto de las vocales al que llamaremos Conjunto “A’ Hagámoslo: 3 Se abre la llave

Correspondiente

A = {a, e, i, o, u} Nombre del conjunto Se cierra 1 la Clave 2 Elementos del Signo conjunto Separados Igual por comas 2 4


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FORMAS DE DETERMINAR UN CONJUNTO

Elaboremos otro ejemplo Representar el conjunto de los números 1, 2, 3 al que llamamos Conjunto “B” Hagámoslo:

B = { 1, 2, 3 }

Determinar un conjunto consiste en indicar un criterio, que permita decidir si un elemento se encuentra o no en dicho conjunto. Existen 2 formas para determinar un conjunto; par extensión y por comprensión. DETERMINACIÓN POR EXTENSIÓN Un conjunto se determina por extensión cuando se enumeran cada uno de sus elementos. Ejemplo Determinar por extensión al conjunto de las vocales teniendo en cuenta que a dicho conjunto le vamos a llamar el conjunto “V”. Hagámoslo:

V = {a, e, i, o, u}

Determinación por extensión. Es decir, Escribiendo todos los elementos


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DETERMINACIÓN POR COMPRENSIÓN

Un Conjunto queda determinado por comprensión cuando se indica la propiedad que caracteriza a todos sus elementos y solo a ellos. De esta forma si queremos determinar por comprensión el Conjunto “V” de las vocales decimos:

V= {x / x es Vocal}

La raya se lee: “Tal que”

Volvamos a escribirlo:

V= {x / x es vocal}

Se lee: El conjunto “V” formado por las “x”

tal que “x” es vocal. IMPORTANTE En este caso indica que cada “x” que haya que escribir en el conjunto puede ser reemplazado por una vocal. Hagamos un ejemplo más genérico: Si “A” es el conjunto cuyos elementos son aquellos que poseen la propiedad “P”, se escribe:

A = {x / x posee P}

Se lee: A es el conjunto de las x, tal que x Posee P o la propiedad P

Elaboremos otro ejemplo Definir por comprensión el conjunto “E” que son los miembros de la familia Pérez. Tenemos;

F = {x / x es un miembro de la Familia Pérez}

Se lee: El conjunto F es el conjunto de las x tal que x, o cano x es un miembro de la familia Pérez.

Ejercicios


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1) Dados los siguientes conjuntos por extensión, escribirlos por comprensión: Por Extensión a) A = {a, e, i, o, u} b) B = {1, 3,5,7, 9} c) C = {Quibdo, Cali, Popayán Pasto} Por comprensión a) A = {x / x es una vocal} b) B = {x / x es dígito impar} c) O = {x / x es capital de un departamento de la costa pacifica colombiana} 2) Dados los siguientes conjuntos por comprensión, escribirlos par extensión: Por Comprensión a) D = {x / x es un dígito par} b) E = {x / x es satélite natural de la tierra} Por Extensión a) D = {0, 2, 4, 6, 8} b) E = {Luna}


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CONJUNTOS ESPECIALES

CONJUNTO UNIVERSO O REFERENCIAL Es el conjunto más general al cual nos referimos en el desarrollo de un problema especifico. Este conjunto puede variar da acuerdo con la situación manejada. Se simboliza con la letra U. En el tratamiento de un problema podemos elegirlo a nuestra conveniencia con relativa libertad. Esta relativa libertad no implica que el Universo sea un conjunto falto de precisión o de naturaleza variable. Al determinarse el conjunto universo este permanece fijo y los conjuntos existentes en el mismo problema se estructuran con elementos de ese universo ya elegido. IMPORTANTE El conjunto universo o referencial nunca puede ser un conjunto Vacío (∅) Ejemplos 1.- Si los conjuntos a considerar por alguna razón son: Los ciclistas En este caso el conjunto Universo o Los boxeadores Referencial más adecuado es el Los nadadores conjunto de los Deportistas. Los luchadores 2.- Si tenemos el conjunto:

A = { x / x es la capital de un país latinoamericano } En este caso se puede tomar como Conjunto Universo o Referencial a todas las ciudades de América. O aún más restringido: podríamos tomar como conjunto Universo las ciudades latinoamericanas. Todavía más restringido: Las Capitales de América. El más restringido de todos sería: Las Capitales de Latinoamérica. En conclusión: Conjunto Universo o Referencial es aquel que engloba por lo menos, al total de los elementos del conjunto o de los conjuntos de un problema matemático específico.


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CONJUNTO VACÍO O CONJUNTO NULO

Es el conjunto que no posee elementos NOTA El símbolo de vacío es el siguiente ∅ ó { } NOTACIÓN Si decimos que el conjunto A es vacío, lo anotamos en la forma siguiente: A = { } ó A = Ø Ejemplo: En el conjunto A establecer el número de caballos con cuernos. Respuesta: A = { } ó A = Ø

CONJUNTO UNITARIO Es el conjunto que está formado por un sólo elemento. Ejemplo Establezca el conjunto A que esta formado por el número 3 respuesta:

En este caso es A = {3} unitario por que tiene un solo elemento. Elaboremos otro ejemplo Si C = { x / x + 5 = 7 } Si x es un número natural, a qué dígito es igual el conjunto C?

C = { 2 }

CONJUNTO FINITO Es aquel que se le puede contar sus elementos uno a uno en algún orden y el proceso de contar puede acabar.


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Ejemplo Si V = { a, e, í, o, u} decimos que V es finito porque tiene 5 elementos, es decir, se puede contar sus 5 elementos. Si B = { x/x sea árbol de la tierra } Decimos que B es finito aunque sea difícil determinar, porque los árboles de la tierra no son innumerables. Así sucesivamente, cualquier conjunto cuyos elementos pueden ser contados toman el nombre de conjunto finito.

CONJUNTO INFINITO Es el conjunto cuyo proceso de contar sus elementos no puede terminar. Veamos algunos conjuntos infinitos de uso común en matemáticas. a) Un conjunto infinito tratado comúnmente en matemáticas es el conjunto de números naturales. Se simboliza con la letra N. Donde N = {O, 1,2,3,4,5....} IMPORTANTE 1) Los puntos suspensivos después del número 5..., significan que siguen los números sin llegar a un límite. 2) Cuando se da un conjunto como: A = { 1, 2, 3, 4, 5, ........, 20} En este caso los puntos suspensivos significan que después del 5 siguen los números pero sólo hasta llegar al número 20. b) Sea el conjunto de “l”de los números Impares: I = {1, 3, 5, 7, 9, 11 > En este caso los puntos suspensivos indican que el conjunto es infinito.

RELACIONES QUE SE DAN ENTRE ELEMENTOS Y CONJUNTOS

Entre los conjuntos y sus elementos se presentan 3 relaciones básicas: La relación de pertenencia, la relación de inclusión y la relación de igualdad. IMPORTANTE: 1) La relación de PERTENENCIA solamente se da entre elemento y conjunto,


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RELACIÓN DE PERTENENCIA

es decir, va de un elemento a un conjunto y no entre dos conjuntos. 2) Las relaciones de INCLUSIÓN E IGUALDAD solamente se dan entre dos conjuntos y no entre elemento y conjunto. Al observar un conjunto, notamos los elementos que forman el conjunto. Poniéndose de manifiesto una relación entre el conjunto y sus elementos. Esta relación se llama de Pertenencia y decimos que los elementos pertenecen al conjunto. Ejemplo Dado el Conjunto V = { a, e, i, o, u } decimos que “a” es un elemento de V o que pertenece a V, “e” es un elemento de V ó que pertenece a y. Así sucesivamente. IMPORTANTE: La relación de pertenencia se da únicamente entre un elemento y un conjunto; no se da entre dos conjuntos. NOTACIÓN El símbolo de pertenencia es: ∈ se lee: “Es Elemento de” o “Pertenece a”:


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RELACIÓN DE NO PERTENENCIA

Si tenemos que V = { a, e, i, o, u } Decimos:

a ∈ V

Se lee; a es un elemento de V ó pertenece a V

i ∈ V

Se lee; i es un elemento de V ó pertenece a V

En términos generales, podemos decir: Si un elemento x pertenece a un conjunto A se expresa simbólicamente así:

x ∈ A Se lee; x pertenece al conjunto A ó x pertenece a A

Ejemplo Tomemos el conjunto D = { x/x es dígito } o sea: D = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } Como el cinco es un dígito podemos escribir:

5 ∈ D

Si observando un conjunto establecemos que entre los elementos que contiene no se encuentra cierto elemento, decimos que dicho elemento no pertenece al conjunto. IMPORTANTE El símbolo de no pertenencia es ∉y se lee: no pertenece a... Ejemplo Sea el Conjunto V = { x / x es vocal } Si nos preguntan, ¿3 pertenece al conjunto V? tenemos que decir: como 3 no es vocal, no pertenece al conjunto V. Simbólicamente podemos expresarlo:

3 ∈ V


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Se lee: tres no pertenece a V. En general: si en un conjunto “A” no se encuentra un elemento x, lo expresamos simbólicamente así:

x ∈ A

Veamos un ejemplo más. Tomemos el conjunto A = { x / x sea letra del abecedario } En otras palabras. El conjunto A está formado por las letras del abecedario. Como 5 no es una letra del abecedario, decimos que 5 no pertenece al conjunto A, lo cual lo expresamos simbólicamente así:

5 ∈ A Ejercicios Resueltos 1) Escribir en el espacio correspondiente marcado con un guión el símbolo ∈ ó ∉ según el caso: A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { a, b, c, d, e } C = { a, e, i, o, u } D = { v, w, x, y, z } a) 1 ∈ A b) 3 ∈ A c) 7 ∉ A d) a ∉ A e) a ∈ B f) a ∈ C g) a ∉ D h) u ∈ C i) x ∈ D j) m ∉ A 2) Escribir frente a cada enunciado una V o una F según sea verdadero o falso respectivamente: A = { 1, 3, 5, 7, 9 } B = { 1, 3, 5, } C = { a, e, i, o, u } a) 1 ∈ A: V b) 1 ∈ C: F


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RELACIÓN DE INCLUSIÓN

c) 1 ∈ B: V d) a ∈ A: F e) a ∈ B: F f) a ∈ C: V g) 5 ∉ A: F h) 5 ∉ B: F i) 5 ∉ C: V j) 6 ∉ A: V k) B ∈ A: Falso, porque la relación de pertenencia “∈” solo se utiliza entre un elemento y un conjunto nunca entre dos conjuntos Si al observar los conjuntos, A y B notamos que todos los elementos que pertenecen al conjunto A, pertenecen también al conjunto B, se dice entonces que el conjunto A está INCLUIDO en el conjunto B. IMPORTANTE: La relación de inclusión solamente se da entre dos conjuntos, no entre un elemento y un conjunto. La relación de inclusión también es llamada relación de CONTENENCIA o relación SUBCONJUNTO. NOTACIÓN: El símbolo de inclusión o subconjunto es: “incluido” ⊂, ó ⊆; se lee “Contenido” o “Subconjunto”. Ejemplos: 1) Si V = {a, e, i, o, u} y A = {a, e, o), como las vocales que pertenecen al conjunto A= {a, e, o} también pertenecen al conjunto V, se puede afirmar que el conjunto A está INCLUIDO en el conjunto V, o que el conjunto A está CONTENIDO en el conjunto V, o también que el conjunto A es SUBCONJUNTO del conjunto V. Lo anterior se simboliza así:

A ⊂ V, o también A ⊆ V

“A está incluido en V” Se lee “A está contenido en V” o “A es subconjunto de V” 2) D = {x/x es un dígito} = {0,1,2,3, ......9} P = {x/x es dígito par} = {0, 2, 4, 6, 8}


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I = {x/x es dígito impar} = {1, 3.5,7,9} Como todos los dígitos pares son en particular dígitos, luego P está incluido en D. Simbólicamente P ⊆ D ó P ⊂ D Se lee; P está incluido en D. De igual forma: I ⊆ D se lee:

I es subconjunto de D. IMPORTANTE: 1) “Todo conjunto es subconjunto de sí mismo”. Esta afirmación es lógica, puesto que para que un conjunto A sea subconjunto de otro conjunto B se debe cumplir que todos los elementos que están en A deben estar también en B. En particular A ⊆ A porque todos los elementos que están en el primer conjunto A, por lógica tienen que estar en el segundo conjunto A porque en realidad es el mismo conjunto. Ejemplo: A = {x/x es una vocal} A = {a, e, i, o, u}

luego A ⊆ A 2) Cuando se habla de que un conjunto es subconjunto de él mismo, se utiliza el símbolo “⊂”. IMPORTANTE; Cuando entre dos conjuntos A y B resulta que no hay ningún elemento en común, dichos conjuntos se llaman disyuntos.


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Ejemplo: 1) A = {1, 2, 3, 4, 5 } B = {6, 7, 8, 9} A y B no tienen ningún elemento en común, luego A y B son disyuntos. 2) A = {x/x es vocal} B = {x/x es consonante} Como no existe ninguna vocal que sea consonante, (ni viceversa), A y B son disyuntas. 3) A = {1, 3, 5, 7, 9,...}, impares B = {2, 4, 6,10,...}, pares Coma no existe ningún número impar que sea también par (ni viceversa), A y B son disyuntas. 4) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B = {3, 6, 9, 12, 15} Como los elementos 3 y 6 pertenecen tanto al conjunto A como al conjunto B, A y B si tienen elementos en común, luego A y B no son disyuntas.

RELACIÓN DE NO INCLUSIÓN Si al observar dos conjuntos Ay B se puede establecer que existe parlo menos un elemento “a” que pertenece al conjunto A y que dicho elemento “a’no pertenece al conjunto B, se dice que “A no está incluido en B”, o que “A no está contenido en B”o también que “A no es subconjunto de B”. El símbolo de “no incluido” es:

No está incluido en, o ⊂, ó ⊆; se lee: No está contenido en, o No es subconjunto de.

Ejemplos: 1) Sean: V = {a, e, i, o, u} y A= {a, e, o, m}. como m ∈ A y m ∉ v, se puede afirmar que el conjunto “A no es subconjunto de el conjunto V” y se simboliza: A ⊄ V, (Se lee: “A no es subconjunto de v”). Igualmente, como u ∈ V y u ∉ A, se puede afirmar que V ⊄ A, (se lee: “V no es subconjunto de A”).


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IMPORTANTE: “El conjunto vacío (∅), se considera como un subconjunto de cualquier otro conjunto”. Esta afirmación es lógica porque para afirmar que un conjunto A no es subconjunto de otro conjunto B, debemos hallar un elemento a e Ay que este mismo elemento a ∉ B. En particular en el caso del conjunto vacío no se puede hallar un elemento que pertenezca al conjunto vacío y que no pertenezca al conjunto B; luego: ∅ ⊂ B, (se lee: Vacío es subconjunto de B). 2) Escribir en el guión el símbolo ⊂ o ⊆ o ⊄de acuerdo a los siguientes conjuntos: A = {x/x es dígito} B = {0, 2, 4, 6, 8,} C = {x/x es dígito par} D = {0,1,2,3,4,5,6,8,9} E = {0, 1, 3, 5, 7, 8, 9} F = {0, 1, 6, 8, 9} a) B ⊂ A b) C ⊂ A c) D ⊂ A d) B ⊂ A e) A ⊄ B f) A ⊄ D g) B ⊄ C h) D ⊄ B i) B ⊂ D j) C ⊂ E K) E ⊄ C l) F ⊂ A m) F ⊄ B n) F ⊄ C o) F ⊂ D p) F ⊂ E q) F ⊆ F r) A ⊆ A 3) Escribir al frente de cada enunciado V o F según sea verdadero o falso respectivamente: A = {x/x es el abecedario} B = {x/x es vocal} C = {a, b, c, d, e, f} D = {u, v, w, x, y, z} a) B ⊂ A: V b) C ⊂ A: V c) D ⊂ A: V d) B ⊂ D: F e) D ⊂ B: F f) A ⊂ D: F g) A ⊆ A: V h) B ⊆ B: V i) D ⊆D: V j) a ⊂ A: Falso. Porque la relación de inclusión sólo se da entre

dos conjuntos y no entre un elemento “a” y un conjunto “A”

k) a ∈A: V


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IMPORTANTE: 1) Todo conjunto es subconjunto del conjunto universal que se tome de referencia. Si A es un conjunto cualquiera y U es el conjunto universal entonces A es subconjunto del conjunto universal; luego: A ⊂ U 2) El conjunto vacío “∅” es subconjunto de todo conjunto, en particular vacío es subconjunto del conjunto universal U luego: ∅ ⊂ U. 3) Todo conjunto es subconjunto de si mismo; en particular, el conjunto universal es subconjunto del conjunto universal; luego: U ⊆ U.

RELACIÓN DE IGUALDAD DE CONJUNTOS Primera Definición: Dos conjuntos Ay B son iguales si tienen los mismos elementos; no importa ni el orden ni que estén repetidos El símbolo de igualdad de conjuntos es: “=“. (se lee. “es igual a”) Ejemplos: 1) A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3} luego A=B (se lee “A es igual B”) porque A y B tienen exactamente los mismos elementos. 2) A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 3, 5, 2, 4} luego: A = B (Se lee: “A es igual a B”), porque A y B tienen exactamente los mismos elementos sin importar el orden en que estén. 3) A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3, 1, 2} luego: A = B (Se lee: “A es igual a B”), porque A y B tienen exactamente los mismos elementos sin importar que estén repetidos en B. En realidad tanto los elementos del conjunto A como los elementos del conjunto B son solamente los primeros tres números naturales 1, 2, 3. Este tercer ejemplo nos sugiere que en un conjunto no se deben repetir elementos, pues los elementos repetidos sobran. Es como si se tratara de una colección en la cual sobran los objetos que estén repetidos. Volviendo al ejemplo anterior, el conjunto B está conformado únicamente por los números 1, 2, y 3, es decir

B = {1, 2, 3, 1, 2} = {1, 2, 3}

No se repiten estos elementos


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REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CONJUNTOS

Segunda Definición: Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A. En símbolos:

A = B A ⊆ B ∧ B ⊆ A Ejemplo: A = {0, 1, 2, 3, ....., 9} B = {x/x es un digito} Para determinar que A = B se debe comprobar que A ⊆ B y B ⊆ A: a) Miremos que A ⊆ B: Si x ∈ A entonces x es un número de una sola cifra, es decir, x es un dígito, luego x ∈ B Como para todo x ∈ A, también x ∈ B, se concluye que: A ⊆ B b) Miremos que B ⊆ A: Si x ∈ B entonces x es un dígito, es decir, x es un número de una sola cifra, luego x ∈ A. Como para todo x ∈ B, también x ∈ A, se concluye que: B ⊆ A. De (a) y (b):

A ⊆ B ∧ B ⊆ A entonces A = B RELACIÓN DE NO IGUALDAD Dos conjuntos A y B son no iguales o diferentes si se puede establecer que hay un elemento que pertenece a uno de estos conjuntos y que dicho elemento no pertenece al otro conjunto. También: A y B no son iguales si se cumple que A no es subconjunto de B o que B no es subconjunto de A, es decir:

A ≠ B si A ⊄ B v B ⊄ A Ejemplo: A = {1, 2, 3, ...., 9} y B = {x/x es un dígito} A y B no son iguales porque existe o ∈ B y O ∉ A, es decir B ⊄ A Luego: A ≠ B


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¡IMPORTANTE! Gráficamente un conjunto suele representarse por los llamados “Diagramas de Venn” (en honor al gran lógico inglés John Venn). Definición: Un diagrama de Venn es una curva cerrada. Generalmente ovalada o rectangular. Forma de Interpretación Para interpretar correctamente los diagramas de Venn, podemos convenir en los siguiente: 1) Los elementos que pertenecen al conjunto, se representan por puntos interiores a la curva. 2) Los elementos que no pertenecen al conjunto, se representan por puntos exteriores a la curva. 3) Ningún punto se representa sobre la curva. 4) El conjunto universal (U), se representa por un rectángulo para diferenciarlo de los otros conjuntos que generalmente son ovalados. Ejemplo: 1) Utilizando los diagramas de Venn Representemos los conjuntos: a) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} b) B = {a, e, i, o, u}


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Solución a) A b) B

1 a 2 e

3 4 i 5 o 6 7 u 2) Representar los siguientes conjuntos utilizando diagramas de Venn.

U = {x/x es vocal} Se lee: El conjunto U es igual al conjunto de las x tal que x es vocal.

A = {x/x es vocal cerrada} Se lee: El conjunto A es igual al conjunto de las x tal x es vocal cerrada. Tenemos: U a A u i e O


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MATEMÁTICAS MODERNAS 2

Prosigamos en la explicación iniciada en el fascículo anterior sobre diagramas de Venn. En el fascículo anterior vimos un diagrama de Venn cuando intervienen hasta dos conjuntos, es decir, un conjunto universal y otro conjunto cualquiera que es subconjunto. Puede observar la última página del fascículo anterior. Pasemos a considerar los mismos diagramas de Venn. Pero en el cual intervienen 3 conjuntos: El universal y dos conjuntos, subconjuntos del universal. EJEMPLO Representar mediante los diagramas de Venn los conjuntos siguientes:

U = {x/x sea dígito} A = {0, 2, 5, 7} B = {0, 1, 5, 8}

La representación gráfica de los conjuntos U, a y B es: A B 2. 1.

3. 0. 6. 5.

7. 8. 9. 4.


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¡IMPORTANTE! 1) Los elementos que no pertenecen a los conjuntos A y B. Deben

escribirse dentro del Universal pero fuera de los conjuntos correspondientes (Observe la Figura).

2) Si los conjuntos A y B tienen elementos comunes como es el caso de “0”

y “5” que son comunes a los dos conjuntos deben escribirse en el área común a los dos conjuntos. (observe la figura).

Veamos otro ejemplo Si U = {a, b, c, d, e, f, g} A = {b, d, e} B = {a, b, d, e, f} Entonces: B a. A d. b. e. f. c. g. ¡IMPORTANTE! Como todos los elementos del conjunto “A” están en “B” para graficarlo, se puede colocar “A” dentro de “B”. Elaborar 4 casos más de gráficas de conjuntos.


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Ejercicios 1) Representan en un diagrama de Venn los siguientes conjuntos:

U = {x/x es un dígito} A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} B = {4, 5, 6, 7} C = {1, 3, 5, 7, 9}

A B .0 .6 .4 .2 .5 .3 .7 .1 .8 .9 C Explicación: 1) Los 3 conjuntos A, B y C se representan con óvalos de tal manera que

resulte una región en común; en esta región se escriben los elementos comunes de los 3 conjuntos que en el presente ejemplo es solamente el número 5 (observe que 5 está en a, en B y en C).

2) En forma similar existe una región común para los conjuntos tomados de

dos en dos. a) En la región común para los conjuntos A y B se escriben los elementos que

están tanto en A como en B; en el ejemplo son 4 y 5, como el 5 ya está, sólo se escribe el 4 (en la parte común de A y B pero no de C).

b) En la región común de A y C se escriben los elementos que están tanto en A como en C; en el ejemplo son 1, 3 y 5; como el 5 ya está, sólo se escriben 1 y 3 (en la parte común de A y C pero no de B).

c) En la región común de B y C los repetidos de B y C que en este ejemplo

son 5 y 7, como el 5 ya está, solo se escribe el 7 en la parte que le corresponde.


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DIAGRAMAS LINEALES

En el fascículo anterior se tuvo en cuenta los diagramas inglés Jhon Venn. (Óvalos y Rectángulos) pero además presentan los diagramas lineales. DEFINICIÓN: Diagrama Lineal es una forma de indicar por medio de Rectas cierta forma de inclusión de conjuntos, considerando el que se encuentra, o los que se encuentren, en la parte superior, como conjuntos que contienen a los que se encuentran en la parte inferior. Veáse un ejemplo para aclara la idea. Establecer un diagrama lineal de los conjuntos A y B teniendo en cuenta que B contiene a A Solución

A ⊆ B

B

A Veáse otro ejemplo Elaborar un diagrama lineal de los conjuntos A, B y C; en el cual se muestre que C contiene a B y B contiene a A. Simbólicamente

A ⊆ B ⊆ C

Solución

C

B

A


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Establecer un Diagrama Lineal de los siguientes conjuntos: O = {1}

P = {1, 2}

S = {1, 2, 3}

T = {1, 2, 3}

Solución

T S

P

O Elaborar un diagrama lineal de los conjuntos: N = {1, 2, 3}

M = {1, 2}

L = {2}

Solución

N

M L

Elaborando otro ejemplo Realizar un diagrama lineal que relacione los siguientes conjuntos: A = {0, 1, 2,}

B = {1, 2, 3, 4}

C = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

D


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C

A B

Considerando el diagrama siguiente:

F

G

H I J

Cuáles afirmaciones son verdaderas y cuales falsas.

1) F. Contiene a todos los conjuntos

2) H y I son disyuntos

3) H ⊆ G

4) I y H son disyuntos

El diagrama Lineal de estos conjuntos es:


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U

F

J

G

H I OPERACIONES CON CONJUNTOS

UNIÓN DE CONJUNTOS

DEFINICIÓN Unir dos conjuntos es establecer un nuevo conjunto que reúna el total de los elementos de ambos conjuntos, que generalmente se le llama conjunto unión. El símbolo de unión es: U Se lee: Unión o Reunión EJEMPLO Si se requiere unir el conjunto A y el conjunto B Simbólicamente se presenta.

A U B

Se lee:

A unión B ó

Unión de A y B


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EJEMPLO Tomando los conjuntos A = {a, b, c} y B = {d, e, f} De acuerdo a la definición se cumple que:

A = {a, b, c} y B = {d, e, f}

A U B = {a, b, c, d, e, f}

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Cuando se quiere presentar gráficamente la unión de dos conjuntos lo acostumbrado es usar un conjunto Universal, es decir, un paralelogramo y dentro de él se grafican los conjuntos correspondientes. Presentando algún sistema de rayado o de sombra que indique que los conjuntos constituyen unión: Ejemplo: Se requiere unir los conjuntos A y B. Representar gráficamente dicha unión. Con sistema de rayado A B

A U B Con sistema de sombra A B

A U B


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Otra forma de simbolizar la unión de conjuntos es la siguiente:

La unión de los conjuntos A1, A2, A3 ...... An.

Se lee: La unión de los conjuntos A Sub-uno, A sub-dos, A sub-tres, puntos suspensivos A Sub-ene. Usando el símbolo de unión “U” podemos simbolizarlo así:

A1, U A2, U A3 ...... U An

Se lee: A sub-uno, unión A sub-dos, unión A3 unión .... ..... A sub-ene OTRO Símbolo matemático utilizado es:

n Este símbolo en matemáticas significa: La unión U de los conjuntos con el subíndice i variando desde uno hasta ene.

i = 1 ¡IMPORTANTE! La i indica los subíndices de los conjuntos, es decir, el numerito pequeño que se escribe en la parte inferior. En el símbolo visto dice que i inicia variando desde uno hasta n. Si se quisiera que los subíndices iniciaran desde el tres, por decir algo, i=3, entonces el símbolo quedaría:

n Se lee: La unión de los conjuntos con el subíndice i variando desde 3 hasta n.

i = 3 Volviendo a escribir el ejemplo visto

A1, U A2, U A3 ...... U An Se lee: El conjunto A sub-uno unido al conjunto A sub-dos unido el conjunto A sub-tres .... unido al conjunto A sub-ene.


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Se puede escribir

n

Ai i = 1, 2, 3, ....n i = 1

Se lee: La unión de los conjuntos A con subíndice i que varia desde uno hasta n. i o el subíndice i es igual a 1, 2, 3 hasta n también se puede leer: El subíndice i que debe utilizarse es 1, 2, 3 hasta n subíndices Elaboremos otro ejemplo

Establecer el conjunto unión de los conjuntos m1, m2, m3, m4 y m5. En símbolos se puede escribir:

5

Mi = {x/x ∈ i para algún i, i = 1, 2, 3, 4, 5} i = 1 Se lee: Establecer la unión de los conjuntos “M” cuyo subíndice es i que varia desde 1 hasta 5. Ejemplo: Sean los conjuntos: M1 = {a, e}

M2 = {a, i} M3 = {e, i, o} M4 = {o, u} M5 = {a, o, u}

Entonces:


32

5

Mi = M1 U M2 U M3 U M4 U M5 = {a, e, i, o, u} i = 1 Se lee: La unión de los conjuntos M1 cuyo subíndice varía de 1 a 5 es

igual a M1 unión M2 unión M3 unión M4 unión M5 que es igual a el conjunto cuyos elementos son a, e, i, o, u.

Sabiendo que la unión de dos conjuntos es la unión de todos sus elementos se puede decir. Simbólicamente.

A u B = {x/x ∈ A o X ∈ B }

Se lee: La unión de los conjuntos a y B es igual al conjunto de las equis tal que equis es elemento del conjunto A o X es elemento del conjunto B. ¡IMPORTANTE! Hay algunos libros que presentan la unión de conjuntos unidos con el signo más. Ejemplo: La unión de los conjuntos a y B la presenta A + B y la llaman suma conjuntista de A y B. Hay varios casos que se derivan de la unión de conjuntos. 1) Por ser una suma, la unión de conjuntos es Conmutativa. Es decir, el orden

de los sumandos no altera la suma. Y se tiene que;

A U B = B U A Ley conmutativa.


33

2) Los conjuntos sumandos empiezan a ser Subconjuntos del conjunto suma y tenemos que:

A ⊂ (AUB) y B ⊆ (AUB)

3) Si hay más de dos conjuntos se presenta la Ley Asociativa y se tiene:

A U (BUC) = (AUB) UC Ley Asociativa

4) Como en el conjunto unión no hay repetición de elementos, se presenta que si un conjunto se une consigo mismo es igual al mismo conjunto.

y queda:

A U A = A Ley Equivalente o idempotente. 5) Si un conjunto se une con su universo teniendo en cuenta que en el

conjunto unión no se repiten elementos el resultados sería el Conjunto Universo y queda:

A U U = U Ley de Denominación.

6) También es verificable que si un conjunto se une con un conjunto vacío, ya

que el conjunto vacío representa cero elementos, el resultado será el mismo conjunto y se tiene:

A U ∅ = A Ley de Identidad

INTERSECCIÓN ENTRE CONJUNTOS

DEFINICIÓN Intersección de dos o más conjuntos, es el conjunto formado con los elementos comunes en los conjuntos.


34

El símbolo de la intersección es el mismo de la unión pero al contrario. Se lee:

Intersección ó interceptado con:

EJEMPLO: Si se quiere presentar la intersección de los conjuntos A y B, simbólicamente queda:

A B

Se lee: A intersección B

La intersección también se puede definir:

A B = {x/x ∈ A y x ∈ B}


35

Se lee: El conjunto intersección de los conjunto A y B es igual al conjunto de las equis, siendo X elemento del conjunto A y equis elemento del conjunto B.

PRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA INTERSECCIÓN

Presentar gráficamente la intersección de los conjuntos A y B. A B

A B La parte sombreada. Donde se presenta la parte común a los dos conjuntos es lo que gráficamente se llama intersección. Veamos un Ejemplo: Tomando los conjuntos: U = {x/x es un dígito} A = {1, 2, 3} B = {1, 3, 5} OBSERVACIONES 1) El conjunto universal es un conjunto donde se encuentran todos los dígitos

es decir:


36

Los números del 0 al 9 2) Observe que los elementos 1 y 3 son comunes a ambos conjuntos. Estos

elementos comunes a ambos conjuntos son los que constituyen el conjunto Intersecto o en otras palabras el 1 y el 3 son los que constituyen el conjunto Intersección de los conjuntos.

Simbólicamente se tiene: A = {1, 2, 3} B = {1, 3, 5} A B = {1, 3} Se lee: El conjunto A intersección B es igual al conjunto formado por los elementos 1 y 3. Elaborando el mismo Problema Gráficamente .2 .1 .3 A =

.3 .1 .5 B =


37

Metiendo en el universal de los dígitos se tiene: A B 4. 6. .1 7. .2 8. .3 9. 0.

A B

OBSERVACIONES 1) Como el conjunto universal, representa todos los números dígitos, los

dígitos que no pertenecen a los conjuntos A y B se colocan fuera de los conjuntos como son: 44, 6, 7, 8, 9, 0.

2) Como no se repiten elementos en un conjunto y los elementos 1 y 3 están

repetidos, se escriben una sola vez, pero como dichos elementos pertenecen a ambos conjuntos, se escriben en la parte intersecta. Es decir, en la parte sombreada. Esto indica que dichos elementos se encuentran en ambos conjuntos.

3) Los elementos 2 y 5 se dejan en el conjunto que corresponde: 4) Toda la gráfica corresponde a mostrar el conjunto intersección entre A y B 5) Simbólicamente se puede decir:

A B = {1, 3} Porque: 1, 3 ∈ A y 1, 3 ∈ B


38

INTERSECCIÓN EN CONJUNTOS DISYUNTOS

Si se presentan dos conjuntos disyuntos es decir, si dichos conjuntos no tienen ningún elemento en común, obligatoriamente la intersección entre ellos es nula. Es decir, el conjunto intersección de los dos conjuntos es vacío. EJEMPLO Sean los siguientes conjuntos U = {1, 2, 3, 4, 5, ...... 10} A = {1, 2, 3} B = {5, 6, 7} En este caso:

A B = ∅ Se lee: La intersección de los conjuntos A y B es igual al conjunto vacío. Gráficamente A B .1 .5

. 4 . 8 .2 .6 . 9 .3 .7 . 10

A B

Observe que no hay ningún punto en común entre los conjuntos A y B. Elaboremos otro ejemplo Sean los conjuntos:

A1, A2, A3, ...... An

Conjuntos de un Universal U La intersección de A1, A2, A3, ..... An Es el conjunto formado por los elementos comunes, es decir, que deben estar en A1, A2, A3, ..... An


39

Simbólicamente se puede decir: Hallar la intersección de los conjuntos

A1, A2, A3, ...... An Se lee: Hallar la intersección de los conjuntos A sub-uno, intersección A sub-dos, intersección A sub-tres, intersección.... intersección A sub-n. También se puede presentar

n

M1 = {x/x ∈ i para algún i, i = 1, 2, 3, 4, 5} i = 1 Se lee: La intersección de los conjuntos A con subíndices i que varían desde uno hasta “ene” de donde i es igual a 1, 2, 3 sucesivamente hasta ene. También se puede presentar:

n

A1 = {x/x Ai, para todo i, i = 1, 2, 3, ..... n} i = 1 Elaboración de un ejemplo Sean los conjuntos

B1 = {0, 2, 4, 6} B2 = {0, 1, 3, 4, 6} B3 = {1, 3, 4, 6, 8} B4 = {0, 2, 4, 6} B5 = {0, 4, 8, 16}

De donde se establece: 5

B B2 B3 B4 B5 = Bi = {4}

i = 1


40

Se lee: La intersección de los conjuntos B con subíndices i que varían desde uno hasta 5 es igual al conjunto cuyo elemento intersecto es 4.

DEDUCCIONES LÓGICAS QUE SE PRESENTAN CON LA INTERSECCIÓN

1) Si un conjunto se intersecta consigo mismo el conjunto intersección es igual al mismo conjunto. Simbólicamente A A = A Ley equipotente o Idempotente Ejemplo

A = {1, 2, 3, 4, 5}

=> A A = {1, 2, 3, 4, 5} = A

2) Ley Conmutativa: La intersección es conmutativa, es decir, A B = B A EJEMPLO

A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {4, 5, 6, 7, 8}

A A = {4, 5} B A = {4, 5}

Luego

A B = B A 3) Si un conjunto se intersecta con el universo es igual al conjunto mismo. Simbólicamente

A U = A Ejemplo Ejemplo

U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

A = {1, 3, 5, 7}


41

A U = {1, 3, 5, 7}

4) Si un conjunto se intersecta con un conjunto vacío, el conjunto intersecto

es vacío. Simbólicamente

A ∅ = ∅ ejemplo A = {1, 2, 3, 4, 5} ∅ = { } => A ∅ = ∅


42


Volvamos a ver las propiedades con respecto a la unión e intersección Propiedad Asociativa El conjunto unión así como el conjunto intersección de varios conjuntos, no se altera aunque los conjuntos se agrupen en formas diferentes. Con respecto a la unión

1) A U (B U C) = ( A U B ) U C

Ejemplo: Verificar la propiedad Asociativa con los conjuntos siguientes:

A = {1, 2, 3} B = {3, 4, 5} C = {5, 6, 7}

Elaboremos la figura: A B C Conjunto unión no se altera 1. 6. 2) A U (B U C) = 3. 4. 5. {1,2,3} U {3,4,5,6,7} 2. 7. = {1,2,3,4, 5, 6, 7} A B C Conjunto unión no se altera 1. 3) (A U B) U C = 3. 4. 5. 6. {1,2,3,4, 5} u {5,6,7} 2. 7. = {1,2,3,4, 5, 6, 7} El conjunto unión no se altera aunque los conjuntos se agrupen en forma diferente. Con respecto a la intersección

1) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C


43

Ejemplo: Verificar la propiedad asociativa con los conjuntos siguientes:

2) A = {1, 2, 3} B = {3, 4, 5} C = {5, 6, 7}

Elaboremos las figuras A B C 3) A ∩ (B ∩ C) = 1. 3. 4. 5. 6. = ∅ {1,2,3} ∩ {5} = ∅ 2. 7.

A B C 4) (A ∩ B) ∩ C = 1. 3. 4. 5. 6. = ∅ {3} ∩ {3,6,7} = ∅ 2. 7. Nota: No hay un elemento común entre los 3 conjuntos A, B y C Propiedad Conmutativa El conjunto respuesta no se altera si se cambia el orden de los conjuntos. Con respecto a la unión:

1) A U B = B U A

Ejemplo: Verificar la propiedad conmutativa con los conjuntos:

2) A = {1, 2, 3} y B = {3, 4, 5}

3) A U B = {1, 2, 3, 4, 5}

4) B U A = {1, 2, 3, 4, 5} En la unión el conjunto Solución: está conformado por todos los elementos de los conjuntos que se unen, sin repetir ninguno.

Con respecto a la intersección

1) A ∩ B = B ∩ A Ejemplo: Verificar la propiedad conmutativa con los conjuntos:


44

2) A = {1, 2, 3} y B = {3, 4, 5} 3) A ∩ B = { 3 } y

4) B ∩ A = { 3 }

Lo visto demuestra que tanto la unión como la intersección presentan la propiedad conmutativa.

Propiedad Idempotente o Tautológica

La unión o la intersección de un conjunto consigo mismo es igual al mismo conjunto. Con respecto a la unión

1) A U A = A Ejemplo: Verificar la propiedad idempotente del conjunto siguiente

2) A = {1, 2, 3} 3) A U A = {1, 2, 3}

Porque el conjunto unión de dos conjuntos lo conforman todos sus elementos, escritos una sola vez.

Con respecto a la intersección

1) A ∩ A = A

Ejemplo: Verificar la propiedad idempotente del conjunto:

2) A = {1, 2, 3}

El conjunto intersección de dos conjuntos está conformado por todos los elementos comunes a los conjuntos dados. Por tanto si, A y A son el mismo conjunto, los elementos comunes son todos los elementos de A, por tanto,

3) A ∩ A = A

Propiedad de la Absorción


45

La intersección de dos conjuntos con la unión de uno de ellos es igual al conjunto con el cual se presenta la unión.

1) A U (B ∩ A) = a Ejemplo: Verificar la propiedad de absorción con los conjuntos:

2) A = {1, 2, 3} y B = {3, 4, 5} 3) A ∩ B = { 3 }

4) Luego: A U (B ∩ A) = {1, 2, 3} U { 3 } = {1, 2, 3} Por tanto A U (B ∩ A) = {1, 2, 3} = A La unión de dos conjuntos con respecto a la intersección con uno de los conjuntos, es igual conjunto con el cual se presenta la intersección

1) A ∩ (B U A) = A Ejemplo: Verificar la propiedad de absorción con los conjuntos:

2) A = {1, 2, 3} y B = {3, 4, 5} 3) B ∩ A = {1, 2, 3, 4, 5 }

4) A ∩ (B U A) = {1, 2, 3} = A 5) {1, 2, 3} ∩ {1, 2, 3, 4, 5} = {1, 2, 3}

Propiedad Distributiva Se presenta dos casos:

1º De la unión con respecto a la intersección 2º De la intersección con respecto a la unión

De la unión con respecto a la intersección

1) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)


46

Un conjunto unidos a dos conjuntos intersectos es igual a la unión del conjunto con el primer intersecto, intersectado con el mismo conjunto unido con el segundo entersecto. Ejemplo: Verificar la propiedad distributiva de la unión con respecto a la intersección con los conjuntos siguientes:

2) A = {1, 2, 3} B = {3, 4, 5} C = {5, 6, 7} 3) A U (B ∩ C) = {1, 2, 3, 5} 4) {1, 2, 3} U { 5 } = {1, 2, 3, 5} 5) (A U B) = {1, 2, 3, 4, 5} 6) (A U C) = {1, 2, 3, 5, 6, 7}

Entonces: 7) (A U B) ∩ (A U C) = {1, 2, 3, 5} Luego: 8) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

De la intersección con respecto a la unión

Un conjunto intersector con la unión de dos conjuntos, es igual al conjunto intersecto con el primer conjunto unido al conjunto intersecto, intersecto con el segundo conjunto. Simbólicamente la propiedad distributiva de la intersección con respecto a la unión es:

1) A ∩ (B U C) = (A ∩ B ) U (A ∩ C) Ejemplo: Verificar la propiedad distributiva de la intersección con respecto a la unión de los conjuntos:

2) A = {1, 2, 3} B = {3, 4, 5} C = {5, 6, 7} 3) BUC {3, 4, 5, 6, 7}

4) A ∩ ( B U C ) = { 3 }

5) {1, 2, 3} ∩ {3, 4, 5, 6, 7}


47

6) A ∩ B = { 3}

7) A ∩ B = { ∅}

8) (A ∩ B) U (A ∩ C) = { 3 }

Conjunto Complementario o Conjunto Complemento

Definición Se entiende por conjunto complementario de un conjunto “A” o simplemente complemento de “A”, con respecto a B, a los elementos que se encuentran en B y no se encuentran en A. Ejemplo:

1) A = {1, 2, 3, 4} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Elaboremos la figura: 5. 6. 2) 1. 2. 3. 4. B A 7. Observe que fuera de los elementos de “A” se encuentran otros elementos que solo pertenecen a “B”. Esos elementos que pertenecen a B y que no pertenecen a A, es lo que conforma el complemento de “A” con relación a B.

Símbolos de Complemento

Como símbolo de complemento se utiliza el nombre del conjunto y un guión en la parte superior o una comilla.


48

Ejemplo: _ 1) A se lee: Complemento de A ó complemento del conjunto A 2) A’ se lee: Complemento de A ó complemento del conjunto A

Símbolo del complemento con respecto a otro conjunto 3) CB A se lee: Complemento de A con respecto a B. ó complemento

del conjunto A con respecto a B, ó complemento en B de A.

Usando los símbolos podemos ver el Ejemplo: de la siguiente forma: 4) A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 5) Luego: A = A’ = CB A = {5, 6, 7}

complemento con respecto al universo. Se presenta que:

1) A U A’ = U Se lee: El conjunto A unido a su complemento es igual al conjunto

universo.

Veamos un Ejemplo:

2) A = {1, 2, 3} 3) U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 4. 5, 6. 7. 8. 9. U 4) 1. 2. 3. A


49

Observe que el conjunto A, está conformado por los elementos {1, 2, 3} Observe que el complemento de A, está conformado por los elementos {4, 5, 6, 7, 8, 9} Si unimos A con el complemento nos encontramos que el conjunto resultante es U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Elaboremos otro Ejemplo: Establecer el complemento del conjunto A con respecto al conjunto C., según los datos siguientes: 1) A = {a, e} C = {a, e, i, o, u} Observe que el complemento de A o el conjunto complemento de A con respecto a C, lo conforman todos los elementos que se encuentran en C y no se encuentran en A. Observe los conjuntos, los elementos que se encuentran en C y no se encuentran en A, son: i, o, u. Por tanto podemos decir: 2) A’ = {i, o, u} ó CCA = {i, o, u} Por tanto nos queda decir: 3) A U A’ = C = {a, e, i, o, u}

leyes de Morgan

Observemos la primera Ley.

1) ( A U B )’ = A’ ∩ B’

Se lee: El conjunto complementario de la unión de dos conjuntos es igual a la intersección de los conjuntos complementarios de los mismos conjuntos. Elaboremos un Ejemplo: Tenemos un conjunto universal que está conformado por los números dígitos. 2) U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 3) A = {1, 2, 3} B= {3, 4, 5} Elaboremos la gráfica


50

4) .6 1. 2. 3. 4. 5. .7 .8 A B .9 Observe que si unimos A y B, lo que quede por fuera de A U B es complemento con respecto a U. En otras palabras, el complemento de 5) (A U B )’ = (6, 7, 8, 9) 6) A’ = ( 4, 5, 6, 7, 8, 9 ) 7) B’ = {1, 2, 6, 7, 8, 9} El conjunto intersecto de A complemento y B complemento, está conformado por los elementos comunes a ambos conjuntos. En otras palabras.

8) A’ ∩ B’ = {6, 7, 8, 9} ¡Importante! Si compara el conjunto complemento de la unión, con el conjunto

correspondiente a la intersección de los complementos de los conjuntos

observará que son idénticos. En otras palabras, tenemos que:

9) (A U B)’ = A’ ∩ B’ = { 6, 7, 8, 9 } Esta igualdad corresponde a la primera ley de Morgan. Hemos verificado la primera ley de Morgan utilizando las figuras Venn. Veámosla utilizando los signos. Recuerde sus significados.

∈ = Elemento de... ∉ = No es un elemento de... ⇒ = Implica ó entonces ⊂ = Subconjunto de... ∧ = Y


51

Demostremos que:

( A U B)’ ⊂ (A’ ∩ B’)

Si x ∈ (A U B)’ ⇒ x ∉ (A U B)

De lo anterior establecemos que:

X ∉ A ∧ x ∉ B Luego:

X ∈ A’ ∧ x ∈ B’ ⇒ x ∈ (A’ ∩ B’) Porque los elementos intersectos son los comunes a los conjuntos. Si no entiende este razonamiento, observe las figuras de Venn, ya vistas.

Segunda Ley de Morgan

1) (A ∩ B)’ = A’ U B’ Se lee: El complementario de la intersección de dos conjuntos es igual a la unión de los complementos de los conjuntos. Elaboremos un Ejemplo: con los conjuntos vistos anteriormente. Verificar la segunda ley de Morgan con los conjuntos siguientes: 2) U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 3) A = { 1, 2, 3} B = {3, 4, 5} Elaboremos el diagrama U 4) .6 1. 2. 3. 4. 5. .7 .8 A B .9


52

Observe la figura. 5) A ∩ B = { 3 } Se lee: A intersección B es igual 3 Busquemos el complemento del conjunto intersección. El complemento son todos los elementos que a excepción de {3} se encuentran en el conjunto universal y tenemos: 6) (A ∩ B)’ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Se lee: El complemento o el complementario de la intersección de los conjuntos A y B es igual {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Por otra parte, tenemos: 7) A’ = {4, 5, 6, 7, 8, 9} Se lee: Complemento de A es igual a {4, 5, 6, 7, 8, 9} 8) B’ = {1, 2, 6, 7, 8,, 9} Se lee: Complemento de A es igual a {1, 3, 6, 7, 8, 9} 9) A’ U B’ = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Se lee: El conjunto unión de los complementarios de A es igual a a {1, 2, 4, 5,

6, 7, 8, 9} Observe que el conjunto unión de los conjuntos complementarios de A y B, es igual al conjunto complementario de la intersección de los conjuntos A y B y tenemos la Segunda Ley de Morgan: 10) ( A ∩ B )’ = A’ U B’ Se lee: El conjunto complementario del conjunto intersección de A y B, es igual al conjunto unión de los complementarios de a y B respectivamente.


53

¡ IMPORTANTE ¡ hemos verificado la segunda ley de Morgan con las figuras de Venn. Veámosla en signos. Repasemos los signos a utilizar.

∈ = Elemento de... ∉ = No es un elemento de... ⊂ = Subconjunto de... ∧ = Y ⇒ = Implica ó entonces ⇔ = Doble implicación, en otras palabras,

se cumple en uno y otro sentido que: ⊂ = Subconjunto de...

V = Para todo Como es una igualdad de conjuntos con los signos se demuestra que el uno es subconjunto del otro. Por Ejemplo: podemos demostrar que A’ ∩ B’ es subconjunto de (A U B)’ y tenemos que.

A’ ∩ B’ ⊂ ( A U B )’ De donde si: X ∈ A’ ∩ B’ ⇒ X ∈ A’ ∧ X ∈ B’ Porque los elementos que conforman la intersección, son elementos comunes a ambos conjuntos. Por pertenecer al complemento. ⇒ X ∉ A ∧ X ∉ B ⇒ X ∉ A U B Pero X ∈ (A U B)’ Veamos otros puntos importantes al álgebra de conjuntos con respecto al complemento, a la unión y a la intersección. 1) Elemento NEUTRO de la INTERSECCIÓN El conjunto Universal es un elemento neutro con respecto a la intersección porque no altera el conjunto con el cual se intersecta. Por tanto tenemos que: Porque la intersección la A ∩ U = A conforman los elementos comunes a los conjuntos 2) Complemento del conjunto UNIVERSAL y del conjunto VACÍO.


54

El complemento de un conjunto universal, obligatoriamente tiene que ser vacío ( ∅ ); y el complemento del vacío, tiene que ser el universal. Por tanto se presenta, que:

U’ = ∅ Y ∅ ` = U

3) Elemento NEUTRO de la UNIÓN El conjunto vacío es el conjunto neutro con respecto a la unión por que no altera al otro o a los otros conjuntos. Por tanto se presenta, que:

A U ∅ = A

4) Si se presenta el caso que A es menor que B o más claro, si se presenta que A está incluido en B indiscutiblemente B es mayor que A y el complemento de B tiene que ser menor que el complemento de A, por tanto se da, que:

Si A ⊂ B ⇔ B’ ⊂ A’

Se lee: Si A esta incluido en B entonces el complementario de B es subconjunto del complementario de A. A la inversa podemos decir, si el complementario de B es subconjunto del complementario de A, entonces A es subconjunto de B. Ejemplo:

A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3, 4, 5,, 6, 7, 8, 9} 4. 5. B 6. 1. 2. 3 7. A 8. 9.

A ⊂ B ⇔ B’ ⊂ A’


55

5) Recuerde estos dos signos 1) V = Para todo...

2) ( A’)’ = Complemento del complemento Si un conjunto A está incluido en un conjunto universal, sin lugar a dudas el conjunto complemento es el mismo conjunto. Veámoslo con el diagrama de Venn. 3) o U a, e, i 4) A = { a, e, i } A’ = { o, u } ( A’ )’ = { a, e, i } De lo anterior establecemos

5) ∀ A ⊂ U se presenta que: ( A’)’ = A Se lee: Para todo conjunto A, que es subconjunto de “U”, se presenta que el complemento del complemento es el mismo conjunto. 6) A nivel algebraico las leyes de Morgan las podemos presentar, así:

∀ A ⊂ U y ∀ B ⊂ U se presenta, que:

( A U B )’ = A’ ∩ B’

( A ∩ B )’ = A’ U B’

Estas ecuaciones las resolvimos a nivel de las figuras de Venn. Puede observarlos en las páginas anteriores. 7) Se presenta que si dos conjuntos, por decir, A y B copan los elementos del universal y si entre los conjuntos no hay elementos comunes, se presenta que:


56

1) Si A ∩ B = ∅ ⇔ A ⊂ B’ 2) Si A ∩ B = ∅ ⇔ B ⊂ A’ Lo anterior se da porque el complemento de B es A y el complemento de A es B. Veamos lo mismo utilizando las figuras de Ven.. U 1. 2. 3. 4. 5 6. 7. 8. 9.

A B Observe que:

A ∩ B = ∅ Por tanto, A ⊂ B’

A ∩ B = ∅ Por tanto, A ⊂ B’

Observe, para que las ecuaciones sean verdaderas los conjuntos deben ser disyuntos. 8) También se puede observar que si: A U B = U se presenta que A’ ⊂ B; y

Si A U B = U se presenta que B’ ⊂ A

Diferencia de Conjuntos

Definición Dados dos conjuntos, uno minuendo y otro sustraendo, toma el nombre de conjunto diferencia al que contiene los elementos del conjunto minuendo que no se encuentran en el sustraendo. En otras palabras: Dados los conjuntos A y B sin importar los conjuntos, se llama diferencia A – B al conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B.


57

Notación Se expresa la diferencia entre los conjuntos A y B por la expresión.

A – B

Se lee: A diferencia B ó A menos B Representación Gráfica Veamos, teniendo en cuenta los diagramas de Venn, como se presenta la diferencia de conjuntos. Representar gráficamente la expresión A – B en un conjunto universal. El diagrama queda en la forma siguiente:

A B

A - B la parte sombreada ¡ Importante ¡ El diagrama indica que si hay elementos comunes a los dos conjuntos, esos elementos no pertenecen al conjunto diferencia ya que en alguna forma pertenecen al conjunto sustraendo. Elaboremos un Ejemplo: 1) De A restar B Siendo a = {1, 2, 3, 6, 7} y B = {6, 7, 9, 11} El conjunto A – B será:

A – B = { 1, 2, 3 }


58

Observe que el conjunto A – B es igual a {1, 2, 3} porque estos son los únicos elementos que se encuentran en A y no se encuentran en B. Elaboremos la gráfica de los conjuntos A – B. A B 1. 6. 9. 2) 3. 2. 7. 10.

A – B

Expresión por compresión La diferencia entre dos conjuntos A y B se expresa por expresión, así: Recuerde el signo ∧ que significa y; y tenemos

3) A – B = { x/x ∈ A ∧ X ∉ B }

Se lee: A menos B es igual al conjunto de las X tal que X es elemento de A y X no es elemento de B.

Elaboremos un Ejemplo: Teniendo en cuenta los conjuntos U, A y B, establecer A – B 1) Si U = { x / x es dígito } A = { 1, 3, 5, 7, 9 } B = { 0, 2, 3, 4, 7 } Teniendo en cuenta que el conjunto A – B está conformado por los elementos de A que no están en B, tenemos:

A – B = { 1, 5, 9 }

Usando el mismo Ejemplo: Invirtamos los conjuntos. Establezcamos el conjunto diferencia,

2) B - A

En este caso el conjunto diferencia está conformado por los elementos que están en B pero no están en A, y nos queda:

3) B – A = { 0, 2, 4 }


59

Establezcamos los dos conjuntos diferencia y veamos que no son iguales: 4) A – B = { 1, 5, 9 } y B – A = { 0, 2, 4 } Observe que A – B ≠ B – A

Se lee: A – B es diferente a B - A Elaboremos el mismo Ejemplo: utilizando los diagramas de Venn. A B A B 6. 6. 1. 0. 1. 0. 5. 3. 2. 5. 3. 2. 9. 7. 4. 9. 7. 4. 8. 8. A – B B – A Lo sombreado Lo sombreado Suma Booleana o diferencia simétrica de conjuntos El signo que traduce diferencia simétrica

Es Δ por tanto ...

Δ = Diferencia Simétrica Definición La diferencia Simétrica entre dos conjuntos está conformada por los elementos que pertenecen a una unión de los conjuntos exceptuando los elementos comunes entre ambos conjuntos. Dicho en otra forma, la diferencia simétrica entre A y B está formada por el conjunto de elementos que pertenece a A U B y que no pertenece a A ∩ B. Notación La diferencia simétrica entre los conjuntos A y B se denota por: 1) A Δ B Se lee: A diferencia simétrica B


60

Dicho en otra forma: 2) A Δ B = ( A U B ) = ( A ∩ B ) Por comprensión se expresa así: A Δ B = { X / X ∈ A U B ∧ X ∉ A ∩ B Se lee: A diferencia simétrica B es igual al conjunto de las X, tal que X es elementos de A unión B y X no es elemento de A ∩ B. Representación Gráfica Establecer la diferencia simétrica de A y B en forma gráfica A B 3) A Δ B { la parte sombreada } Elaboremos un Ejemplo: en el cual veamos la diferencia entre diferencia común y corriente, y la diferencia simétrica. Establecer la diferencia de A – B y la simétrica ( A Δ B ) 4) A = { 1, 2, 3, 5, 9 } B = { 2, 3, 8 } A - B = { 1, 5, 9 }

A Δ B = { 1, 5, 8, 9 }

Solución: en forma gráfica

1. 2. 5. 3. 8.


61

9.

A - B

1. 2. 5. 3. 8. 9.

A Δ B


62


CONCEPTO DE PAR ORDENADO

1) Se dice que un par de elementos está ordenado, cuando responde a un orden preestablecido. Una pareja ordenada está conformada por dos elementos. EJEMPLO: En el plano Cartesiano un par ordenado es (x,y). Porque está preestablecido que en el plano Cartesiano se escribe primero la abcisa, es decir, “x” y en segundo lugar la ordenada, es decir, “y”. Por tanto, si queremos escribir un punto en el plano, la pareja ordenada es (x,y). 2) Se dice que un par de términos, está ordenado, cuando responde a un caso especial de correspondencia. Veamos algunos términos para poder entender la idea. CONJUNTO IMAGEN (OR) Llamado también conjunto de partida o Dominio El conjunto que agrupa los primeros términos de parejas ordenadas lo llamamos conjunto original, o Dominio. CONJUNTO IMAGEN (IM) Llamado también conjunto de llegada o Rango. El conjunto que agrupa los segundos términos le llamamos conjunto Imagen, conjunto Rango o Conjunto de llegada. La forma sintética para referirse a la relación de los dos conjuntos, es decir, del conjunto de origen con el conjunto imagen es la siguiente:

X R Y Se lee: x se relaciona con y

ó f : A B Se lee: B está en función de A La relación puede ser de tipo numérico como, multiplicar por tres, sumarle dos, etc. GIRO DIRECTO Si la relación establecida se mantiene, se dice que el giro es directo. GIRO INVERSO Si la relación establecida se cambia, se dice que el giro es inverso.


63

EJEMPLO DE SISTEMA ORDENADO

Si se convierte en representar las fracciones ba mediante la notación (a,b) se

verá que cualquier fracción es un par ordenado de elementos. Si se quiere

notar la fracción 53 = (3,5); si se quiere notar la fracción

21 = (1,2), y así

sucesivamente. ¡ IMPORTANTE ¡ No se puede invertir la relación porque no coincide, es decir, NO es Conmutativa EJEMPLO

21 = (1,) No es igual a

21 = (2,1), por tanto hay que mantener el orden de la

relación establecida.

PAR ORDENADO POR SISTEMA SAGITAL Empleamos los diagramas de Venn o Diagramas Sagitales Origen + 4 Imagen 3 7 5 9 7 11 En este caso la relación es x + 4 y la primera pareja ordenada es (3,7). Por otra parte el conjunto origen a que se abrevia “OR” contiene los primeros términos y es de donde parten las flechas. El conjunto Imagen lo conforman los segundos términos y es el lugar de llegada de la flecha, la relación también puede constar de dos o más operaciones como multiplicar por tres y sumarle 4. En este caso a la relación se le llama operadores compuestos u operadores en cadena. De lo anterior establecemos que el operador es una aplicación que transforma los elementos del conjunto original en elementos del Conjunto Imagen. CONCLUSIÓN: Los dos elementos ordenados, numéricos o literales son aquellos que se anotan en un orden predeterminado e indican un estado determinado.

PRODUCTO CARTESIANO


64

Conjunto máximo de parejas que se pueden formar al tomar cada elemento del conjunto A con cada elemento de otro conjunto B. EJEMPLO: Elaborar el Producto Cartesiano de los conjuntos A y B donde:

A = { 1, 2, 3 } y B = { a, b, c} De donde

A · B = { 1, 2, 3 } · { a, b, c } = {(1,a),(1b),(1c),(2,a)(2b),(2c),(3,a),(3,b),(3,c)}

En forma Genérica A x B = {(x,y)/ x ∈ A ∧ y ∈ B } Se lee: “A” por “B” es igual a las parejas x,y tal que x es elemento de “A” y “y” elemento de B. IMPORTANTE El conjunto previsto de los posibles resultados se llama Tabla de grupo. Cuando se escribe un conjunto en la parte superior y el otro conjunto en el lado izquierdo, se llama Tabla de Doble Entrada. EJEMPLO

TABLA DE DOBLE ENTRADA Elaborar la tabla del Producto Cartesiano.

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y B = { 0, 1, 2, 3, 4 }

Producto Cartesiano

0 1 2 3 4 1 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 2 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 3 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 4 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 5 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 6 6,0 6,1 6,2 6,3 6,4

TABLA PITAGÓRICA La Tabla Pitagórica, es decir, la que usó Pitágoras como tabla de multiplicar es un caso especial del producto cartesiano, en la cual no se escriben las cantidades sino su producto. EJEMPLO:

0 1 2 3 4 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 6 8


65

3 0 3 6 9 12 4 0 4 8 12 16 5 0 5 10 15 20 6 0 6 12 18 24

PRODUCTO CARTESIANO DE LOS DADOS Los 36 valores posibles al tirar un par de dados, forman un producto Cartesiano si, cada dado tiene seis, caras, y cada cara varía en valores del uno al 6. Se presenta que: Llamando a un dado el conjunto A y al otro dado el conjunto B, se presenta que A • B queda:

1 2 3 4 5 6 1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 2 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 3 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 4 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4 5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 6 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 7,6

Como la relación en la parejas ordenadas es

suma, el máximo valor al tirar los

dados es 12.

REPRESENTACIÓN SAGITAL Se procede representando gráficamente mediante diagramas de Venn los dos conjuntos y señalando mediante flechas, (porque Sagita, quiere decir flecha) todos los pares ordenados. Cada flecha representa un par ordenado. El primer elemento de cada par es de donde sale la flecha y el segundo elemento es donde llega la flecha. EJEMPLO Establecer el producto cartesiano de los Conjuntos

A = { 1, 2, 3 } y B = { 6, 7 } por el sistema de Sagita A X B = {(1, 6) (1,7) (2,6) (2,7) (3,6) (3,7) }

A • B =


66

Resolviendo nos queda: 1. .6 A X B 2. 3. .7 A B

DIAGRAMA DE ÁRBOL

En el árbol se presentan dos partes: Las primeras ramas que corresponden al conjunto cuyos miembros ocupan el primer puesto en las parejas ordenadas y las ramas siguientes al segundo conjunto, es decir, al conjunto cuyos elementos corresponden al segundo valor en la pareja ordenada. ¡ IMPORTANTE ! El segundo conjunto se escribe tantas veces, como elementos tenga el primer conjunto. EJEMPLO: Con los conjuntos M = { 0,2 } y P { 1, 3, 4 }, hallamos M x P utilizando un diagrama ARBORESCENTE Hagámoslo: P M x P M 1 (0,1) 0 3 (0,3) 4 (0,4) 1 (2,1) 2 3 (2,3) 4 (2,4) De donde M x P = {(0,1), (0,3), (0,4), (2,1), (2,3), (2,4) } Utilizando los mismos conjuntos, hallemos M x P utilizando tabla de doble entrada y nos queda:

M = { 0,2 } y P = { 1, 3, 4 }


67

De donde Signo Por P

1 3 4 x 1,1 2,1 3,1 0 1,2 2,2 3,2 2 1,3 2,3 3,3

De donde M x P = { (0,1), (0,3), ((0,4), (2,1), (2,3), (2,4) }

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

1) Para elaborar la llamada representación gráfica se toman los ejes del plano cartesiano. 2) Los valores del primer conjunto se escriben en el eje “x” 3) Los valores del segundo conjunto se escriben en el eje “y” 4) Las parejas ordenadas se escriben en la intersección de las rectas perpendiculares a los ejes X y Y en los untos señalados. EJEMPLO: Representar gráficamente T x D Teniendo en cuenta que: T = { a,b } y D = { a, c, e } T x D = {(a, a), (a, c), (a,e), (b,a), (b,c), (b,e)} Gráficamente T x D queda: y

e

c (a,e) (b,e)

a (a,c) (b,c)

(a,a) (b,a)

0 a b x T EJEMPLO: Representar gráficamente A x B teniendo en cuenta que:

A = { 2, 4 } y B = { 1, 2, 3 }

M x B = M

D


68

Tenemos que:

A x B = { (2,1), (2,2), (2,3), (4,1), (4,2), (4,3) } y

(2,3)

(2,2)

(2,1)

0 1 2 3 4 x

NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO O CARDINAL DE UN

CONJUNTO

DEFINICIÓN Llamamos cardinal al número natural que representa el número de elementos de un conjunto. El número cardinal de un conjunto A se representa por el símbolo N ( A ) ó # ó Card. A y se lee: Cardinal de A o número de elementos de A. EJEMPLO Si A = { 1, 2, 3 } nA = 3 Si A = { a, b, c, d } nA = 4

APLICACIONES DE LA CARDINALIDAD

UNIÓN DE CONJUNTO Y SUBCONJUNTO EJEMPLO: B A N (AUB) = n(B) { porque todos los elementos de A pertenecen a B= A⊂ B} EN CONJUNTOS DISYUNTOS A B

4 3 2 1

(4,3)

(4,2)

(4,1)


69

En este caso:

n (AUB) = n (A) + n(B)

Porque la unión es la suma de todos los elementos sin repetir ninguno. EN CONJUNTOS SOLAPADOS A B En este caso:

n (AUB) = n (A) + n(B) – n(A ∩ B)

porque es la suma de los dos conjuntos menos la intersección de los dos conjuntos, porque el conjunto unión, debe contener todos los elementos de los dos conjuntos; pero no puede contener repetidos. Para no contener repetidos, hay que quitar los elementos intersectos de los dos conjuntos. Esto no sucede cuando los conjuntos son disyuntos. Más claro, cuando los conjuntos son disyuntos, n (A ∩ B) es cero. EJEMPLO En un centro de idiomas hay 100 estudiantes; 40 estudian Francés y 80 Inglés ¿Cuántos estudian los dos idiomas? SOLUCIÓN

Datos del Problema: Llamemos A a los que estudian Inglés Llamemos B a los que estudian Francés Total de alumnos en el plantel 100 y nos queda:


70

n (A) = 80 n (B) = 40 n(AUB) = 100 Resolviendo la ecuación queda:

n (AUB) = n (A) + n(B) – n(a ∩ B) Reemplazando por valores queda: 100 = 80 + 40 – n (a ∩ B) 100 = 120 + 40 – n (A ∩ B) De donde: n (A ∩ B) = 120 – 100 De donde: n (A ∩ B) = 20 Respuesta: De los 100, 80 estudian Inglés, 40 estudian Francés Porque hay 20 de las 100 que estudian los dos idiomas. CONJUNTO POTENCIA Se dice que el conjunto potencia es el conjunto formado por todos los subconjuntos posibles, de un conjunto dado. El número de elementos del conjunto potencia está dado por la fórmula 2 N Donde dos es constante y “N” representa el número de elementos del Conjunto. NOTACIÓN Para designar el conjunto potencia de un conjunto dado se le antepone una “P” y a continuación el conjunto dado. EJEMPLO El conjunto potencia del conjunto “A” es P(A) y se lee: El conjunto Potencia de “A” o el conjunto de partes de “A”. EJEMPLO Si A = {1,2} y 2N es igual al número de elementos de P (A) tenemos que:

P (A) = { { { }, {1}, {2}, {1,2} }

El conjunto vacío se toma Todo conjunto es como subconjunto de todo subconjunto de

conjunto. sí mismo.

Por otra arte observe que: NP (A) = 4 se lee: El número de partes del conjunto potencia es 4


71

El número de elementos de A = 2 y 2² = 4

CONJUNTOS COORDINABLES O EQUIPOTENTES Toman este nombre los conjuntos que tienen el mismo número de elementos. Por tener el mismo número de elementos se puede establecer una correspondencia Biunívoca entre los dos conjuntos, es decir, por cada elemento de un conjunto, corresponde un elemento del otro conjunto. EJEMPLO: A B a. 1

b. 2 c. 3 d. 4

¡IMPORTANTE! Cómo cada conjunto tiene el mismo número de elementos, se dice que son equipotentes. Los conjuntos equipotentes presentan las siguientes propiedades:

REFLEXIVA SIMÉTRICA TRANSITIVA

Utilizando el signo ∼ que se lee: “es semejante a”, y el signo ⇒ que, se lee: “Implica que”, por lo tanto tenemos: PROPIEDAD REFLEXIVA

A ∼ A ⇒ A ∼ A Se lee: A es semejante a A por tanto A es semejante a A

PROPIEDAD SIMÉTRICA

A ∼ B ⇒ B ∼ A Se lee: A es semejante a B por tanto B es semejante a A

PROPIEDAD TRANSITIVA

A ∼ B ∧ ⇒ A ∼ C

B ∼ C


72

Se lee: A es semejante a B ; B es semejante a C; por tanto A es semejante a C.

CONCEPTO DE

CORRESPONDENCIA

DEFINICIÓN Relación que asocia cada elemento de un conjunto con uno o más elementos de otro conjunto. En otras palabras, se llama correspondencia, cualquier criterio o propiedad que permita asociar los elementos de dos conjuntos, según pares o parejas. ELEMENTOS DE CORRESPONDENCIA Observe los conjuntos A y B y los nombres de cada uno. A B X X X X X

Conjunto Inicial Conjunto Final

Conjunto de Partida Conjunto de llegada Conjunto de Origen (OR) Conjunto Imagen ¡ IMPORTANTE ! cualquier correspondencia es un conjunto formado por pares, cuyas primeras componentes pertenecen al conjunto de partida y las segundas componentes al conjunto de llegada.


73

FORMA DE EXPRESAR LA CORRESPONDENCIA ENTRE DOS CONJUNTOS.

Se puede expresar: Mediante Pares Mediante una frase Mediante una expresión Matemática Mediante un diagrama cartesiano Mediante un diagrama de flechas Mediante un diagrama de entrada doble. REPRESENTACIÓN DE CORRESPONDENCIA El símbolo de correspondencia es “f” se lee “función y se aplica Así: f A B se lee: B es Función de A

ó f : A B se lee: Función de “A” sobre “B” EJEMPLO Dados los conjuntos A = { 1, 2, 3 } y B = { 4, 5, 6 } se establece la siguiente correspondencia: A cualquier número par de “A” le corresponde cualquier número impar de “B”. SOLUCIÓN POR SISTEMA SAGITAL f A B 1 4

2 5 3 6

EJEMPLO Dados los conjuntos A = { 1, 2, 3 } y B = { 4, 7, 6 } La correspondencia f = A B = { (1,6), (2,6), (3,6) }


74

En forma sagital se presenta: f A B 1 4

2 6 3 7

TIPOS DE CORRESPONDENCIAS La correspondencia entre dos conjuntos puede ser de dos formas:

UNIVOCA O PLURIUNIVOCA

UNIVOCA Se presenta cuando los elementos del conjunto de partida poseen como máximo una o ninguna imagen en el conjunto de llegada. EJEMPLO A B 1 4

2 5 3 6 S = {x/x es x + 3 }

PLURIUNIVOCA Se presenta cuando al menos existe algún elemento del conjunto de partida que tiene dos o más imágenes en el conjunto de llegada. EJEMPLO A B 3 6

4 7 5 8 9

APLICACIONES Llamamos aplicación a la correspondencia Unívoca entre dos conjuntos. Es decir, para establecer si una correspondencia es aplicación, observamos el conjunto de partida y establecemos que de cada elemento salga una sola flecha al conjunto de llegada.


75

EJEMPLO A B X X

X X X X

Observe que a un elemento del conjunto de llegada pueden coincidir dos flechas, pero del conjunto de partida, hay flechas por elemento, por tanto la correspondencia es aplicación. TIPOS DE APLICACIONES ¡ IMPORTANTE ! Si es aplicación se detecta observando el conjunto de partida, pero la clase de aplicación se detecta observando el conjunto de llegada.

APLICACIÓN SUPRAYECTIVA, SOBREYECTOIVA O EXHAUSTIVA

Toma este nombre cuando a todos los elementos del conjunto de llegada les llega por lo menos una flecha y puede suceder que a alguno de ellos más de una flecha.

A B X X

X X X X

APLICACIÓN INYECTIVA Se presenta cuando a cada elemento del conjunto de llegada le llega máximo una flecha y puede suceder que a alguno de ellos ninguna.


76

EJEMPLO A B X X

X X X

APLICACIÓN BIYECTIVA O BIUNÍVOCA Se presenta cuando a los elementos del conjunto de llegada les llega a cada elemento una flecha y solo una. EJEMPLO A B X X

X X

¡ IMPORTANTE ! Toda aplicación Biyectiva o Biunívoca es Suprayectiva, Biyectiva e Inyectiva. SUPRAYECTIVA Es la aplicación en la que el conjunto imagen coincide con el conjunto final. BIYECTIVA (Cuando se cumple la Inyectiva y la Suprayectiva) Es la aplicación en que todo elemento del Conjunto final es imagen de uno solo de los elementos que conforman el conjunto inicial. INYECTIVA Aplicación en la que todo elemento distinto, tiene imagen distinta. CONCEPTO DE FUNCIÓN Como hemos hablado de correspondencia, con el signo de función; aclaramos el concepto. Correspondencia es la representación de una función, teniendo en cuenta la correspondencia entre dos conjuntos. Se expresa por una ley matemática; y toda función representa una ley matemática que consta de variable y valor de la función en sí.


77

¡ IMPORTANTE ! variable es la que acepta los valores que transformados por la ley matemática, expresa el valor en sí de la función. Ejemplo:

Y = 2 x Función de “x” Variable que ó resultado del acepta valores valor d e “x” Puede escribirse

F (X) = 2x

En alguna forma “x” se corresponde con “y” y “y” con “x”. Es por esto que algunas veces se confunde correspondencia, aplicación y función, porque en alguna forma pueden ser sinónimos.

EJEMPLOS Y APLICACIONES RESUELTOS

1) Dados los conjuntos A = { 3,4 } ; B = { a,b,c } ; C = { 5,6 } encontrar el producto cartesiano A x B x C

Solución: Para hallar el producto cartesiano se utiliza el diagrama de Árbol, así:


78

3

a b c

5 6 5 6 5 6

(3, a, 5) (3, a, 6) (3, b, 5) (3, b, 6) (3, c, 5) (3, c, 6)

4

a b c

5 6 5 6 5 6

(4, a, 5) (4, a, 6) (4, b, 5) (4, b, 6) (4, c, 5) (4, c, 6)

Por tanto A x B x C = { (3,a,5) (3,a,6) (3,b,5) (3,b,6) (3.c.5) (3,c,6)

(4,a,5) (4,a,6) (4,b,5) (4,b,6) (4,c,5) (4,c,6) } Observe que la cardinalidad de A n(A) = 2; cardinalidad de B n(B) = 3 y la cardinalidad de C n(C) = 2. Al multiplicar las cardinalidades entre si tenemos que: n ( A x B x C) = n(A) · n(B) · n(C) = 2 · 3 · 2 = 12. Es decir que AxBxC tiene 12 elementos. 2) Dado el lanzamiento de una moneda, los resultados pueden ser C = cara

ó s = sello, sea D = { c, s } el conjunto de resultados, encontrar D³ y la cardinalidad de D³ es decir n(D³).

Solución: Puesto que la cardinalidad de D, n(d) = 2 (Número de elementos del conjunto D) entonces n(D³) = 2³ = 8. Es decir tendrá 8 elementos. Utilizando el diagrama de árbol tenemos:

c c s

c s c s

(c, c, c) (c, c, s) (c, s, c) (c, s, s)

c (s, c, c)


79

s

c s

s c s

(s, c, s) (s, s, c) (s, s, s)

D³ = { (c,c,c) (c,c,s) (c,s,s) (s,c,c) (s.c.s) (s,s,c) (s,s,s) } Ahora bien D³ representa todas las secuencias de resultados posibles de tres lanzamientos de la moneda o de el lanzamiento de 3 monedas. Entonces (c,c,c) Significa la posibilidad de salir cara, cara, cara

(c,c,s) Representa la posibilidad de salir cara, cara, sello (c,s,c) Representa la posibilidad de salir cara, sello, cara

Y así mismo se puede observar con cada una de las ternas. 3) Dados los conjuntos: U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} A = {2,4,5,6} B = {1,2,3,4,9} C = {2,3,6,7,9} Representar esta información en diagramas de Venn y hallar: a. A ∩ B ∩ C b. A ∪ B ∪ C c. (A ∪ C) ∩ B Solución: Se ubican los elementos en los conjuntos correspondientes y en sus respectivas intersecciones. Observe: - El número 2 se ubicó en la

intersección de los tres conjuntos ya que está en A, B, C.

- Luego en la intersección entre A y

B se ubicó el número 4 el cual pertenece a ambos conjuntos.

En la intersección entre B y C se ubicaron los números 3 y 9, ya que pertenecen a ambos conjuntos. En la intersección entre A y C se ubico el número 6, el cual pertenece a ambos conjuntos.

A B∪

C8.

5. 4.

2.

1.

8.3. 9.

7.


80

Luego se ubicaron los elementos restantes, así. El 5 en el conjunto A, 1 en el conjunto B y 7 en el conjunto C. Finalmente se ubica el número 8 fuera de los conjuntos A, B y C, ya que no pertenece a ninguno de ellos. A continuación graficamos A ∩ B ∩ C A ∩ B ∩ C = { 2 } Observe: La intersección entre los tres conjuntos es 2, ya que 2 pertenece a los tres conjuntos. A ∩ B ∩ C Ahora graficamos A ∪ B ∪ C A ∩ B ∩ C = Observe: La unión entre { 1,2,3,45,6,7,9 } los tres conjuntos A,B y

C la compone todos los Elementos que

Pertenecen a dichos conjuntos. A ∪ B ∪ C

A B∪

C8.

5. 4.

2.

1.

8.3.9.

7.

A B

C8.

5. 4.

2.

1.

8.3.9.

7.


81

Por último representamos gráficamente (A ∪ C) ∩ B (A∩C) ∩ B = Observe: Los elementos { 2,3,4,9 } que están en la inter-

sección entre la unión de los conjuntos A y C y el

conjunto B corresponden a la parte sombreada. (A∩C) ∩ B 4) Dado el conjunto A = { 1,2,3 } hallar el conjunto P (A) Solución: Recordemos que P(A) significa partes de A, y el número de elementos está dado por la fórmula 2n, donde n representa el número de elementos del conjunto A. por tanto el número de elementos de P(A) o la cardinalidad de P(A), C(P(A)) = 2n = 2³ = 8 elementos, los cuales son:

P(A) = { { }, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1,2 }, { 1,3 }, { 2,3 }, { 1,2,3 } } Observe que las partes de A P(A), la componen los subconjuntos del conjunto A.

A B

C8.

5. 4.

2.1.

8. 3.9.

7.

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