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INSTITUTO ESPÍRITU SANTO MATEMÁTICA 3º AÑO

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CUADERNILLO DE ACTIVIDADES Profesora Silvia Pastori

Apellido y Nombres:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curso: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


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PROGRAMA Unidad Nº 1: EL CONJUNTO DE LOS REALES *Números racionales e irracionales *Las seis operaciones en Q. Propiedades. UNIDAD N º2: FUNCIONES *Función: dominio, imagen *Crecimiento y decrecimiento, raíces y ordenada al origen. *Funciones definidas por fórmulas: afín, cuadrática, de proporcionalidad directa e inversa UNIDAD N º3: ECUACIONES *Ecuaciones de primer grado *Inecuaciones de 1º grado *Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas *Ecuaciones de segundo grado *Problemas UNIDAD N º4: CUADRILÁTEROS *Polígonos: generalidades, suma de ángulos interiores. *Cuadriláteros: generalidades, clasificación *Romboide: propiedades *Trapecios: propiedades * Paralelogramos: clasificación y propiedades *Perímetros y áreas. UNIDAD N º5: RAZONES Y PROPORCIONES *Razones y proporciones aritméticas *Proporcionalidad directa e inversa. Regla de tres simple, porcentaje y escala *Proporciones geométricas: Teorema de Thales, corolario. *Razones trigonométricas, resolución de triángulos rectángulos UNIDAD N º6: ESTADÍSTICA *Población, muestra, variables *Frecuencias, media, moda y mediana *Gráficos estadísticos


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LOS NÚMEROS REALES 1. Marca con una cruz a qué conjunto numérico pertenecen las siguientes expresiones:

45

√4 1 −12

2 √23 − 1 √25 − √36 1,387 0,2468…

ℕ0

ℤ

ℚ

ℝ

2. Clasifica las siguientes expresiones en racionales (Q) o irracionales (I). Justifica. a) √7 b) √121 c) √16 − 8 d) + 2 e) 5,0102030405 … f) 2√5

g) 3,14 h) √24 i)

j) k) √0 l) √−8

3. Sabiendo que √3 es irracional, indica si cada una de las siguientes expresiones es racional o irracional. Justifica. a) 8 + √3 b) √3 + −√3 c) 5√3 d) √3 + √3 e) 0√3 f) √3 4. Completa con < , > , = . Justifica: a) √283 … … … … √28 b) √43 … … … … √253 c) √6 … … … … √8 d) √9 + √16 … … … … √9 + 16 e) √3 + √4 … … … … 3 + 4 f) −√2 … … … … − √5


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5. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? Explica

a) √4 . 5 = √4 . √5 b) √3 = √ c) √2 ∶ 7 = √

√

d) √3 . 113 = √33 . 11 e) = − f) : = 6. Resuelve e indica en qué casos el resultado es racional: a) √2 + 3 + √2 − 3 = b) 3 + √3 − √3 − 3 =

c) √8 + √32 − √16 = d) √ . √

√

e) √48 − √3 ∶ √3 = f) √2. √8 + 3 = 7. Resuelve los siguientes ejercicios combinados:

a) 1 − + + 0,83 . 0,063

=

b) 1 + 0, 6 . 1, 63

+ ∙ (−1 − 0,5) =

c) −0,21: 0,23 + (0,4 − 1) + (−0,02) =

d) 3

− 2 − 1, 6 : − ∶ − √−83 =

e) −0, 3 + −1 +3 : + (−1 + 1,5) =

f) ∶ ∶

( ) ∶

= g) ∶ ( )

∙ =

h) , , ,

, ,∶

+ = i)

∶

=

j) , , ∙

− = k)

( , ) ∶ ,

, . =


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8. Resuelve trabajando con decimales: a) −0,2 : 0,1 . (3,4 + 9,23) − √0,36 ∶ 0,01 = b) 0,34 ∶ 1,7 + 0,6. (−1,5 + 4,5) + 1,01 ∶ −0,1253 = c) 1,3 + √0,2 + 0,0163 + (2 − 0,4 ): (−0,4) = d) (0,8 − 1,1) − √0,064 ∶ 0,5 + 2,5 . 0,16 =

e) ( , , ) ∶ ,

,= f) ,

,+ , − 0,45 .1,5 =

g) ( , , ) ∶ ,

, ∙ (0,075 − 0,1) = h) √ , √ ,

√ ,+ 4 . (−0,2) − ,

√ ,=

9. Resuelve aplicando la mayor cantidad posible de propiedades. Nombra cada propiedad aplicada.

a) − . − : − = b) (0,5 ) ∶ 0,5 = c) √0,0001 ∶ √0,1 = d) 4. √0,2. √0,3. √6 =

e) . ∶ = f) ∙ ∙ ∙ =

g) 0,1 . 1,1 = h) 0,0009 . 0,0004 ∶ 0,000025 =

i) + − ∙ = j) : 4 ∙ =


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EJERCICIOS DE REPASO 1. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son irracionales? a) 2 + 1 b) −2,34343434 … c) 1,4142434445 …

d) e) √11 − −√11 f) √24: √6

g) 3√5 − 1 − 3√5 h) √2 . √6 = i) 11: 121 2. Resuelve los siguientes ejercicios combinados:

a)

∶ ∙

∶ − =

b) √0,8 .0,7 − 1,6 .0,033 − 0,7 : 1,4 − 0,02 = 3. Aplica la mayor cantidad posible de propiedades para resolver. Nómbralas.

a) .3 . .3 = b) ∙ 5 : = c) 0,25 . 0,16 . 0,0004 =


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FUNCIONES 1. Indica cuáles de los siguientes gráficos corresponden a funciones. Justifica. 2. Manuel salió de su casa para ir al instituto de inglés. Durante el camino estuvo detenido dos veces. El gráfico muestra a qué distancia de su casa se encontraba Manuel durante la salida realizada; analízalo y luego responde: a) ¿Cuál es la variable independiente y cuál la dependiente? b) ¿Cuánto tiempo tardó en regresar a su casa? c) ¿A qué distancia de su casa está el instituto de inglés? ¿Cuánto duró la clase de inglés? d) ¿A qué distancia de su casa estaba al detenerse, a la ida, en un locutorio? e) ¿Cuánto tiempo estuvo en el locutorio? f) ¿A qué distancia de su casa se detuvo a la vuelta para conversar con un amigo? g) ¿Durante cuánto tiempo estuvo con su amigo?

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y x

y

x

a) b)

e)

c)

f) d)

g) h)


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3. Observa el gráfico de la siguiente función y escribe o responde:

4. Observa las siguientes gráficas y completa el cuadro

Gráfica 1 Gráfica 2 Gráfica 3

Dm

Im

Imagen de 7

Preimagen de 5

Raíces

Ordenada al origen

Crecimiento

Decrecimiento

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120tiempo (min)

dist

anci

a (m

)

-5-4-3-2-10123456789

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

a) Dm g) (−1) =

b) Im h) (3) =

c) Imagen de 8 i) (0) =

d) Preimagen de 8 j) (⋯ ) = −4

e) ¿ (−4; 0) ∈ ? k) (⋯ ) = 0

f) ¿ (3; 2) ∈ ? l) (⋯ ) = 8


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Gráfica 1

Gráfica 2

Gráfica 3

5. Completa la tabla para cada función y grafica en distintos S.C. a) = −2 + 3 b) = − 1 c) = − + 2

-3-2-101

23456

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-5

-4

-3

-2

-1

01

2

3

4

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x y

-1

0

1

x y

-2

0

2

x y

-4

0

4


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d) = 2 + 4 + 4 e) = 4 2 − 2 f) = − 2 + 4

g) = 3 h) = 2,5 i) = j) =

6. Para las funciones a), f), h), i) se pide completar el cuadro que sigue:

= − + = − + = , =

Dm

Im

( ) = −32 → =……

Raíces

Ordenada al origen

Crecimiento

Decrecimiento

x y

-4

-3

-2

-1

0

x y

-1/2

0

1

2

5/2

x y

-3

-2

0

2

3

x y

1

1,5

2

2,5

x y

0

1

2

3

x y

0,5

1

2

4

8

x y

1

2

3

4

6

12


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7. En un negocio venden las pizzas de muzzarella a $125 y cobran $10 por enviarlas a domicilio. a) Escribe la fórmula de la función, identificando variables independiente y dependiente. b) ¿Cuánto pagó Juliana si pidió que le envíen 5 pizzas? c) ¿Cuántas pizzas pidieron los padres de Melina si gastaron $ 885? d) ¿Qué tipo de función es? 8. Tengo una deuda total de $ 1.800 y me he propuesto pagar $ 120 por mes. a) Si d es el valor de la deuda y t el tiempo, ¿cuál es la fórmula de la función? b) ¿Cuánto tiempo me llevará pagar toda la deuda? c) Realiza el gráfico de la función, usando una escala conveniente en cada eje cartesiano. d) ¿Qué tipo de función es? 9. Considera rectángulos de distintas alturas pero todos con base igual a 6 cm. a) Escribe la fórmula del perímetro de dichos rectángulos en función de su altura b) ¿Cuál es el perímetro de un rectángulo cuya altura es de 8,6 cm? c) ¿Cuánto mide la altura de un rectángulo de perímetro igual a 22,8 cm? d) ¿Qué tipo de función es? 10. Considera distintos rectángulos de área igual a 64 cm2. a) Escribe la fórmula de la función que permite calcular la medida de la altura conociendo la base. b) Calcula la medida de la altura de un rectángulo sabiendo que su base es de 8 cm. c) ¿Cuánto mide la base de un rectángulo si su altura es de 5 cm? d) ¿Qué tipo de función es?


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EJERCICIOS DE REPASO 1. ¿Cuáles de los siguientes gráficos corresponden a funciones? ¿Por qué? 2. Observa la siguiente gráfica de la función f y determina:

3. Grafica las siguientes funciones confeccionando previamente una tabla: a) = − − 4 b) = 2 − 3 c) = 4. Un servicio técnico de reparación de electrodomésticos cobra $300 la visita más $150 la hora de trabajo. a) Escribe la fórmula de la función, indicando variable independiente y dependiente b) Calcula cuánto cobró un técnico que trabajó durante 6 horas. c) Calcula cuántas horas ha trabajado un técnico que cobró $975 por su trabajo

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

a) Dm b) Im c) )4(f d) .......3)( xxf e) intervalos de crecimiento y de decrecimiento f) raíces g) ordenada al origen

y

x

y

x

y

x

a) c) b)


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ECUACIONES 1. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a) (−6 + 4) = (2 + 0,5) b) −2 − = 0,5( − 4,4) c) −4(0,2 − 0,625) + 1,5 = 1,5(0,6 + ) d) 0,6 − 0,2(8 − 0,5 ) = 0,2 − 0,3 e) 1 − 2 . 0,2 = 2. − f) + 1 = −

g) − 4 = +

h) 2 − = +

i) − 8 − = j) 5 0, 2 + 0, 3 + 1,5 = 0,16

2. Plantea una ecuación para resolver cada problema: a) ¿Cuál es el número cuyo duplo más su cuarta parte es igual a 9/5? b) La mitad de un número más la tercera parte de su consecutivo es igual a 7. ¿Cuál es ese número? c) La cuarta parte de la diferencia entre un número y su mitad es 2. ¿Qué número es? d) La tercera parte de la suma de dos números consecutivos es igual a la mitad del mayor de ellos? ¿Cuáles son esos números? e) Un ángulo de un triángulo es el doble de otro. El tercer ángulo mide 5° más que el mayor de los dos primeros. Halla la abertura de cada ángulo. (Ayúdate con un gráfico…) f) Un ciclista recorre un trayecto en tres etapas: en la1ª, la tercera parte del total; en la 2ª, la cuarta parte del total y en la 3ª, 60 km. ¿Cuál es la longitud total del trayecto? g) Fabricio dice que existe un número real tal que la mitad de su siguiente es igual al doble de su anterior. ¿Es cierto lo que dice? h) Tres amigos hacen un viaje en automóvil y cada uno maneja durante una parte del trayecto. Uno de ellos maneja durante el primer quinto del recorrido, otro durante un tercio de lo que queda, y el tercero, 720 km. ¿Qué distancia recorrieron en total? i) Los 5/8 de un camino están asfaltados, los 2/3 del resto son de tierra y faltan construir 225 km. ¿Cuál es la longitud total del camino? j) Joaquín está leyendo un libro. La primera semana leyó la cuarta parte del total de páginas; la segunda semana, la sexta parte del resto. Si le falta leer 140 páginas, ¿cuántas páginas tiene el libro? 3. Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado y representa la solución en la recta numérica: a) −2 + 0,8 ≤ 0,5 − 2,2 b) −4,5( − 1) ≥ 0,5 − 2 c) 8 − 3( + 1) ≥ 4 − d) 3(3 − 1) ≤ 2 − √49 e) (−0,2 − ): 0,1 > 0,5 − 5 f) 1,7 − 2 > (0,4 − ): 0,2


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g) − (10 + 5) > 1 − : h) ≤ i) 0,25 − ≥ 2 + 0,2 j) 2 − 4 < − 4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de sustitución y de igualación. Luego, resuelve por el método gráfico los puntos a, c, d, e, j

a) 3 + = −3+ 2 = 4 b) 2 + 3 = 2

4 − 9 = −1 c) − + 3 = 4− 2 = −2

d) − 2 = −103 + = −9 e)

3 + 6 = 9 0, 3 + 0, 6 = 1 f)

+ 1,8 = −0,4+ 5 = −3

g) 0,5 − 0, 6 = 0,253 − 4 = 1,5 h) −3 + 2 = 5

4 + = −3 i) 4( − ) + 3 = 115 + 2 = + 14

j) − = 23 − = −1

k) −5 − 2 = −134 + = 14 l)

− − 3 = 0

2 − = −4

5. Resuelve los siguientes problemas planteando previamente un sistema de ecuaciones: a) La diferencia entre el doble de un número y otro es igual a 18. Además, la suma entre el triple del siguiente del primer número y la mitad del segundo es 50. ¿Cuáles son esos números? b) El perímetro de un triángulo isósceles es 30 cm y la base es 3cm más corta que cada uno de los lados congruentes. ¿Cuál es la medida de cada lado? c) En el estacionamiento de una fábrica hay 57 vehículos entre motos y autos; en total se cuentan 184 ruedas. ¿Cuántos vehículos de cada clase hay? d) Averigua dos números cuya diferencia es 3 y la suma entre el mayor de ellos y el doble del menor es 27. e) Claudio tiene $ 1080 en 30 billetes de $20 y $50. ¿Cuántos billetes de cada valor tiene? f) ¿Cuánto miden la base y la altura de un triángulo si su área es 25 cm2 y su altura es el doble de la base? g) ¿Cuántos cerdos y cuántas gallinas hay en un corral si se cuentan 30 cabezas y 94 patas? h) Entre Liliana y Guillermo tienen ahorrados $400. El doble de lo que tiene Liliana es igual a lo que tiene Guillermo menos $100. ¿Cuánto dinero tiene ahorrado cada uno de ellos? i) Se quiere comprar un libro de Biología y otro de Matemática. Si el libro de Biología cuesta $50 más que el doble del precio del libro de Matemática y éste cuesta $29 menos que el de Biología, ¿cuánto se pagó por cada uno de los libros? j) La diferencia entre dos números es igual a 7. El mismo resultado da la suma entre la tercera parte del mayor y la cuarta parte del menor. Halla ambos números. 6. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: a) 3 2 − 4 = 0 b) −10 2 + 1.000 = 0


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c) − − 1 = d) 2 + = 32 e) ( − 4) + √16 = 3 + 2 f) 5 2 − = 0 g) ( + 1) = 25 + h) 7 2 + 8 = 3 19 + 2 + 5 7. Aplica la fórmula de Baskara para resolver las ecuaciones siguientes: a) 3 2 − 6 + 4 = 0 b) 2 2 + 13 − 7 = 0 c) 4 2 − 11 − 3 = 0 d) 2 − 6 + 9 = 0 e) 2 2 − 3 − 5 = 0 f) 2 + 3 − 10 = g) ( + 1) − 1 = 1 h) 2 ( + 1) + 1 = −2 ( + 1)


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EJERCICIOS DE REPASO 1. Calcula el valor de x : a) + = b) 0,2(6 − 3) − 0,2 = 0,7( + 1) 2. Resuelve la inecuación y grafica el conjunto solución en la recta numérica: 0, 3 + 0,1 + 0,2 ≤ 0,3 + 0,4 3. Plantea una ecuación para resolver el problema: En una votación, la mitad de las personas eligió el SI, la cuarta parte del resto eligió el NO, y 15 personas se abstuvieron. ¿Cuántas personas votaron por el SI y cuántas por el NO? 4. Resuelve por los dos métodos conocidos:

a) − 3 = −

3 − = − b) 8 − + 6 = 0

−12 + = −0,5

5. Plantea un sistema para resolver cada problema: a) Luciana tiene 27 años menos que su papá. Dentro de 15 años, la edad de Luciana será igual a la mitad de la edad de su papá. ¿Cuál es la edad de cada uno? b) En un restaurante hay capacidad para cien personas. En total hay 21 mesas, algunas para 6 personas y otras para 4. ¿Cuántas mesas de cada capacidad hay en dicho restaurante? 6. Resuelve las ecuaciones cuadráticas:

a) 3 − − 2 = b) 2 + 4 + 1 = 4 − 2 + 3


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POLÍGONOS 1. Calcula la suma de ángulos interiores de los siguientes polígonos: a) heptágono b) eneágono c) undecágono 2. ¿Cuántos lados tiene un polígono si sus ángulos interiores suman 1.980°? 3. Calcula el valor de cada ángulo interior y exterior de un octógono regular. 4. Calcula la cantidad de lados de un polígono regular si cada ángulo interior mide 162°. 5. Calcula la cantidad de lados de un polígono regular si cada ángulo exterior es de 20°. 6. En el polígono convexo abcde, el ángulo es recto, los ángulos y son congruentes, mide 40° más que y es igual al duplo de . Calcula el valor de cada ángulo interior. 7. Calcula la amplitud de cada ángulo interior de los siguientes polígonos:

a) hexág abcdef :

⎩⎪⎨

⎪⎧

= 90° = 135°

= 2 − 10°= 3 = 4 = + 20°

b) pentág abcde :

= 2 = − 30°= + 50°= + 30°

8. Calcula la amplitud del ángulo en el polígono abcde : = 113°

≅ = + 14°= 90°


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CUADRILÁTEROS 1. ¿Verdadero o Falso? Corrige la expresión cuando sea falsa: a) Las diagonales de todo paralelogramo son congruentes b) La suma de los ángulos opuestos de un rombo es 180º. c) Un romboide tiene dos pares de lados consecutivos congruentes. d) Un cuadrado es también un rombo e) Las diagonales del romboide son mediatrices una de la otra e) Las diagonales de un rectángulo son congruentes f) Los ángulos opuestos de un cuadrado son suplementarios g) Los ángulos opuestos de un romboide son congruentes. h) Las diagonales del trapecio son congruentes i) Los cuatro ángulos interiores de un rombo son congruentes 2. Completa con a veces, nunca o siempre: a) Las diagonales de un trapecio ………………………….. son congruentes.

b) ………….…………. un cuadrado es un rectángulo.

c) …………………….. un rombo es cuadrado.

d) Un trapecio rectángulo ………………………. tiene dos ángulos interiores obtusos.

3. Calcula el valor de cada ángulo interior de los siguientes cuadriláteros. Justifica. a) romboide mnpq = 35° 20

= 120° 30′

b) romboide abcd = 100°

= − 10°

c) paralelogramo abcd : = − 20°= + 10°= 2

d

c a

b

a

b c

d α

β

q

p m

n

α


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d) trapecio isósceles abcd : = + 20°

= + 15°

e) paralelogramo abcd : = + 58°

= + 40°

f) rombo mnpq : = 3 − 37°= + 15°

5. Calcula la longitud de cada lado de las siguientes figuras. Justifica.

a) romboide mnpq: = 3 − 1 = 5 − 2 = + 6

b) rectángulo defg : = 2 + 5 = + 7

= 42

c) trapecio isósceles mnpq :

= + 3 = 2 − 1 = 3 − 2

= 22

d) En un trapecio isósceles la base mayor es el doble de la menor y su perímetro es 42 cm. Si cada uno de los lados congruentes es 3/10 de la base mayor, ¿Cuánto mide su base media? e) Calcula la medida de cada lado de un rombo sabiendo que sus diagonales miden 16 cm y 12 cm. 6. Plantea un sistema de ecuaciones para resolver los problemas:

m

n

p

q

b c

a d

a

n

m

p

q

b

m

q n

p

d

e f

g


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a) Calcula el valor de x y de y sabiendo que en el trapecio abcd :

= 50° = 5 +

= 150° = 3 −

b) En un paralelogramo, la suma entre la mitad de uno de sus ángulos y la tercera parte de otro, no opuesto con el primero, es igual a 79°. ¿Cuál es la amplitud de cada uno de los ángulos interiores? c) Calcula la medida de los lados de un paralelogramo sabiendo que su perímetro es de 61 cm y que uno de los lados es el doble del otro disminuido en 7 unidades d) Calcula cada lado de un rectángulo cuyo perímetro es 80 cm y cuya altura mide 2/3 de lo que mide la base 7. Calcula el área de las siguientes figuras: a) Un rectángulo de 3cm de base y 4cm de altura. b) Un rombo con una diagonal de 8cm y cada lado de 5cm. c) Un trapecio con bases de 40cm y 60cm y altura igual a 2/3 de la base mayor. d) Un romboide con una diagonal de 15 cm y la otra igual a 4/5 de esta. 8. Plantea una ecuación para resolver cada problema: a) ¿Cuánto mide la altura de un paralelogramo si su área es de 800 cm2 y su base es la mitad de su altura? b) ¿Cuál es la longitud de la base menor de un trapecio sabiendo que su área es de 4 cm2, su altura 1 cm y su base mayor es de 5 cm? c) ¿Cuál es la longitud de la diagonal mayor de un rombo sabiendo que mide el doble de la diagonal menor y que el área es de 16 cm2? d) La longitud del lado de un cuadrado es la mitad de la longitud de la altura de un rectángulo de 5 cm de base y 20 cm2 de área, ¿cuál es el área de dicho cuadrado? 9. Calcula el área sombreada de las siguientes figuras (todas las medidas están en cm): a) b)

a

b c

d

23

12 10

12

23

28

10


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c) d) e) f) 10. Construye los siguientes cuadriláteros: a) Un trapecio isósceles cuya base mayor sea de 6,5cm; cada lado congruente mida 2,5 cm y forme con dicha base un ángulo de 52°. b) Un rombo cuyas diagonales midan 5,3cm y 3,2cm c) Un paralelogramo cuyos lados no paralelos midan 5,5cm y 3cm y el ángulo que forman sea de 40°. d) Un rectángulo cuyas diagonales midan 7 cm y uno de los ángulos comprendidos entre las diagonales sea de 35° e) Un romboide cuyas diagonales midan 4cm y 7cm y uno de sus lados sea de 3cm.

124

26

30

25,5 15

18

12

9 22

29

46

24


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EJERCICIOS DE REPASO 1. Calcula la amplitud de los ángulos interiores de:

a) paralelogramo abcd : = + 18°

= + 33° b) rombo abcd:

= 6 + 20°

= 11 − 10°

2. Calcula la longitud de cada lado de:

a) rectángulo fghi: = + 3

= − 6 = 68

b) trapecio isósceles abcd:

= 2 − 1 = 4 + 3

= 19 = 3 + 2

3. Plantea un sistema de ecuaciones para resolver el problema: En un rectángulo, la diferencia entre las longitudes de sus lados es de 8 cm. Si se alarga cada lado en 3 cm, el perímetro será de 86 cm. ¿Cuánto mide cada uno de los lados del rectángulo? 4. Si el perímetro del rectángulo acde es 19 cm, calcula el área del triángulo abc: 5. Construye: a) Un cuadrado cuya diagonal mide 5cm

b) Un romboide con lados de 3 y 6 que forman un ángulo de 120°

a c

d e

4 cm

b

m

a b

d c

n

f

g h

i


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RAZONES Y PROPORCIONES

PROPORCIONES ARITMÉTICAS 1. Calcula la razón entre: a) 9 y 15 b) 2,5 y 3,5 c) -3,5 y 7 d) 3 16 y 3 2 2. Un equipo de fútbol tuvo durante una temporada 12 victorias, 8 empates y 4 derrotas. Expresa la razón entre el número de victorias y el número de partidos disputados. 3. La densidad de una población es la razón entre el número de habitantes y la superficie. ¿Cuál es la densidad de una provincia que tiene aproximadamente una superficie de 88.000 km2 y una población de 264.000 habitantes? 4. Carina mezcló 9 l de jugo por cada 15 l de agua. Fernanda mezcló 8 l de jugo por cada 12 l de agua. ¿Qué refresco resultó más concentrado? 5. Plantea una proporción para responder: a) Un número es a su anterior como 15 es a 12. ¿Qué número es? b) ¿Cuál es el número cuyo doble es a su consecutivo como 3 es a 2? c) ¿Cuál es el número cuyo triple es a si anterior como 30 es a 8? 6. Calcula el valor de x en cada proporción:

a)

=

, b)

, . = ( , )

, ,

c) , ∶ ,

= ( )

, , .√ , d)

,=

, ∙ ∙ ,

e) ( , ) . √ ,

,=

, . √ , f)

∶ ( )=

( , ) ∶

g) , .

=

h) , .( , )

=√ , ∶

i) ( , . ) = ,

√ , ∶ , j)

= , ∶ √ ,


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k) = ( , ):( , ),

l) :

=, .

m) √ , .( , ),

= ( , , )∶√ , n)

, ∶ = ,

( ) . ( ) ∶ [( ) ]

7. Plantea un sistema de ecuaciones para resolver cada problema: a) Dos números suman 25 y la razón entre ellos es 1,5. ¿Cuáles son dichos números? b) La diferencia entre dos números es −28 y su razón es 0,2. ¿De qué números se trata? c) Los promedios de vida de la tortuga y el elefante, cuya suma es 100 años, guardan entre sí la relación 2/3. Calcula dichos promedios de vida. d) El número de goles a favor de Argentina en el mundial 86 es al número de goles en contra como 3,5 es a 1,25. Si la diferencia entre ambos números es 9, calcula el número de goles a favor y en contra e) En un paralelogramo la razón entre dos ángulos interiores consecutivos es 7/5. ¿Cuál es la amplitud de dichos ángulos? 8. Indica en cuáles de las siguientes tablas se relacionan magnitudes proporcionales, escribe el tipo de proporcionalidad, la constante y la fórmula correspondiente:

9. Plantea y resuelve los siguientes problemas de regla de tres simple, indicando si es directa o inversa: a) En una fábrica de mermeladas se envasan 200 frascos en 8 min. ¿Cuántos frascos se envasan en una hora? b) En un trabajo hecho con computadora, con letra tamaño 12, hay un promedio de 3780 palabras por cada 7 páginas. Si tenemos que escribir 7020 palabras, ¿cuánta páginas van a ocupar?

Cantidad de fruta(kg) Precio ($)

1 12 1,25 15

3 36 0,75 9

Cantidad de máquinas

envasadoras

Tiempo para envasar la

producción (h) 6 10 3 20

12 5 5 12

Cantidad de alfajores Precio

4 18 10 45 3 13,5 7 31,5

Edad (años) Peso (kg) 1 10 2 13 5 27

10 41

Área de un mosaico (cm2)

Cantidad de mosaicos para cubrir una pared

300 60 100 180 200 90


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c) Para empapelar una habitación se necesitan 20 rollos de papel de 0,5 m de ancho. ¿Cuántos rollos de papel se necesitarán si el ancho fuera de 0,75 m? d) Tres baldes de pintura alcanzan para cubrir un paredón de 2 m de alto por 9 m de largo. Con los mismos 3 baldes de pintura, ¿qué largo del paredón se puede cubrir pintando hasta una altura de 1,5 m? e) En un acuario se realizó una compra para alimentar a 220 peces durante 45 días. ¿Durante cuántos días se podrán alimentar a 450 peces con esa misma cantidad de comida? f) Si para pintar 180 m2 se necesitan 2 l de pintura, ¿cuántos litros de pintura se necesitarán para pintar una superficie de 12 m de largo por 10 m de ancho? g) Se sabe que el chita o guepardo recorre aproximadamente 58 m en 2 segundos, corriendo a máxima velocidad. ¿Cuántos metros recorre en 5 segundos a esa misma velocidad? h) Si una estación de servicio vende 1600 l de nafta por día, los depósitos le alcanzan para vender durante 5 días. Si aumentan las ventas a 2000 l por día, ¿para cuántos días le alcanzan sus depósitos? i) Con una determinada cantidad de tierra se pueden llenar 7 macetas de 15 dm3 cada una. ¿Cuántas macetas de 21 dm3 se pueden llenar con esa misma cantidad de tierra? j) ¿Cuál será la altura de una columna que produce una sombra de 4,5m sabiendo que, a la misma hora, una varilla vertical de 0,49m proyecta una sombra de 0,63m? 10. Resuelve los siguientes problemas de porcentaje: a) En un cajón con 60 manzanas, el 30% está en mal estado. ¿Cuántas manzanas están en buen estado? b) Al comprar en efectivo un artículo que cuesta $4.600 me descuentan el 15%. ¿Cuánto pago finalmente? c) Un terreno tiene una superficie de 120 m2. El 20% está ocupado por el parque y el resto por la casa, de los cuales el 45% corresponde al living. Calcula el área que ocupan el parque y el living. d) En una caja hay 14 alfajores de fruta, 20 de chocolate y 16 de dulce de leche. ¿Qué porcentaje de alfajores de cada sabor hay? e) De las 120 plantas que compró Diego 18 eran geranios. ¿Qué porcentaje de geranios compró? También compró un 25% de petunias. ¿Cuántas petunias compró? f) Luego de haber hecho un 20% de descuento en una compra, se ha abonado $2.000. ¿Cuánto era el importe inicial de la compra? g) Un cuadrado tiene 10 cm de lado. Si se aumenta a cada lado el 20% de la medida, ¿en qué porcentaje aumenta el perímetro del cuadrado? h) En un negocio se ofrecen liquidaciones: por ejemplo, una campera que antes costaba $ 1.400, ahora se vende a $ 1.050. ¿Qué porcentaje de descuento se le ha aplicado?


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EJERCICIOS DE REPASO 1. La tasa de natalidad es la razón entre la cantidad de nacimientos en un año y la población total de una ciudad o país. En una ciudad de 105.000 habitantes nacieron 21.000 niños en 1995. ¿Cuál fue la tasa de natalidad ese año? 2. Resuelve las siguientes proporciones:

a)

√ ,=

b) ,

√ ,=

, .( . , )

3. Con el agua de un estanque, 15 caballos pueden beber durante 8 días. Si el número de caballos disminuye en 9 unidades, ¿para cuántos días alcanzará el agua suponiendo que beben agua en las mismas condiciones que los anteriores? 4. En un negocio han entrado 800 artículos de los cuales: 320 son remeras, el 35% son pantalones y el resto, camisas. a) ¿Qué porcentaje de remeras han entrado? b) ¿Cuántos pantalones? c) ¿Cuántas camisas y qué porcentaje representa? 5. Plantea un sistema de ecuaciones para resolver: La razón entre las edades de dos hermanas es y la suma de ambas es 64. ¿Cuál es la edad de cada una de ellas?


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PROPORCIONES GEOMÉTRICAS: TEOREMA DE THALES 1. Completa con el segmento que corresponda, según los datos del gráfico:

a) = d) =

b) = e) =

c) = f) =

2. Calcula el valor de x y de los segmentos desconocidos:

a)

⎩⎨

⎧ = + 5 = 2 − 3 = 7,5 = 7

b)

= 2 − 13 = 8 = 6 = + 17

c)

= 3 + 4 = + 5 = 8 = 12

|| d)

⎩⎪⎨

⎪⎧ = + 1

= − 5 = 24 =

||

T’

b

c

d

A

B

C

D

T a

e

f

h

g

T T’

A

B

C a

b

c d

e

f

T T’

M

R

N

c

a

b

d

e

A//B//C M//N//R

a

b

c

e

d

c

a

b d

ee


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e)

= 4 = 4 + 1 = 5 = 4 + 2,75

f)

⎩⎨

⎧= 8

= 2 − 6′ = + 1 ′ = 12

3. Calcula el perímetro del triángulo rectángulo mnp:

= 1,5 = 4 − 2

= 2,5 = 3 + 4

// 4. Calcula en cada caso el perímetro del triángulo abc: a) b)

a b

m

n p

a

b c

n

r

d

M

N

P T T’’

R

A

S

n B

C

m m’m’

p p’

c

d e

b

A

C

B

T T’

a

⎩⎪⎨

⎪⎧ = 3 − 2

= 2 + 1 = 4 = 5 = 3

A//B//C

c a

b

nc

m

= 4 − 7 = 0,9 = 1,5

= 6 − 9

//


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c) 5. Aplica el teorema de Thales y planteando un sistema de ecuaciones, calcula la longitud de los segmentos desconocidos sabiendo que las rectas A, B, C, y D son paralelas:

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧ = 2 +

= 3 −= 4 = 5 = 6 = 2

d

a M

N

P

R S

c

b

e

⎩⎪⎨

⎪⎧ = 4 − 5

= + 4 = 10 = 7 = 9

M//N//P

q

A D B C

b c

p

a

s r

d


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EJERCICIOS DE REPASO 1. Calcula el valor de los segmentos desconocidos:

a)

= 12 = 21 = 2 + 1 = 3 − 3

A//B//C b) = 9 = + 5 = 2 + 3

= 6

//

2. Calcula el perímetro del triángulo pqr rectángulo en p

p

m n

q r

b

m

n

c a q r s

R C A B

m n

p T

= 2 − 2,25 = 5 = 7 =

//


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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 1. Escribe los nombres de los lados que forman cada razón trigonométrica:

2. Observa el dibujo y completa la tabla: 3. Teniendo en cuenta los datos de cada triángulo, calcula las razones trigonométricas pedidas: a) = = = b) = = =

En el triángulo amd cmd abc

= =

cos = =

= =

= cos =

m

α

b c

a d

8

6

α

β

β 13

12 α

δ

β a d

α

c

ε

b


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4. Completa, usando la calculadora: sen 77° 45′47" =………………….. sen 38° 23′ =………………………… cos 24° 17" =……………………. cos 67° 18′32" =……………………… tg 54° 7′29" = …………………. tg 34° 12" = …………………. 5. Encuentra el ángulo correspondiente utilizando la calculadora: sen = 0,485 → =……………. sen = 0,627 → =……………. cos = 0,798 → =…………… cos = 0,28 → =…………… tg = 2,075 → =…………… tg = 1 → =…………… 6. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos:

a) = 6,5 = 37°

b) = 12

= 48°

c) ℎ = 7 ℎ = 5,5

d) = 8,4 = 1,2

7. Haz un gráfico, plantea, y resuelve los siguientes problemas: a) Desde un faro de 30 m de alto, ubicado a orillas del mar, un vigía observa un velero bajo un ángulo de depresión de 70°. ¿A qué distancia de la costa se encuentra el velero? b) ¿A qué altura de un poste se puede colgar un pasacalle si se utiliza una escalera de apoyo de 5 m de largo que forma un ángulo de 75° con el suelo? c) Martín se encuentra a una cuadra del obelisco y puede observar su extremo superior bajo un ángulo de elevación de 33°5′. Si Martín mide 1,85 m, ¿cuál es la altura del obelisco? d) Una escalera de 2,8 m de longitud está apoyada sobre una pared a 1,9 m del piso. ¿A qué distancia de la pared está el pie de la escalera? ¿Qué ángulo forma la escalera con el piso? e) La base de un triángulo isósceles mide 53 cm y cada lado congruente es de 40 cm. ¿Cuánto miden sus ángulos interiores?

a

b

c

d

f e

g

h

i

r

m

t


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f) ¿A qué distancia de la pantalla está la lámpara? g) Martín está remontando un barrilete. Cuando suelta 150 m de hilo, éste forma con la horizontal un ángulo de 35°. ¿A qué altura está el barrilete si la mano de Martín está a 1,6 m del suelo? h) Una escalera está apoyada en la terraza de un edificio de 14 m de alto formando con el suelo un ángulo de 59°. ¿Qué largo tiene la escalera? i) Calcula el área del rombo de la figura: j) ¿Cuál es la longitud de la altura del trapecio rectángulo de la figura si su diagonal mide 5,7 cm?

67º

4 cm

40º 40 cm

a

46º

d

b c


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EJERCICIOS DE REPASO

1. Resuelve el triángulo rectángulo abc: a) = 13

= 5 b) = 60° = 8

2. Para subir unas cajas a su camioneta, Lucas usa una madera para formar una rampa. La parte trasera de su camioneta tiene una altura de 0,90 m y la madera que consiguió es de 2 m de largo. ¿Qué ángulo formará la madera con el piso, si apoya un extremo en el piso y otro en la camioneta? 3. Un barrilete clavado al piso vuela a 40 m de altura y su hilo forma con la horizontal un ángulo de 34°. ¿Qué longitud tiene el hilo que lo sostiene? 4. Calcula el perímetro del rectángulo abcd sabiendo que = 24

b a

c

a b

c d 52º


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ESTADÍSTICA 1. Relaciona con una flecha cada variable y su clasificación: Grupo de música preferido Cualitativa Distancia desde la casa de un alumno al colegio Cantidad de habitaciones de una vivienda Cuantitativa discreta Estado del tiempo Temperatura máxima diaria de Enero Cuantitativa continua Altura de cada alumno de un curso 2. Lee atentamente y responde: Una encuestadora privada realizó un estudio para averiguar la preferencia de los argentinos respecto de los candidatos para las próximas elecciones. Se encuestaron en total 6.000 personas de 18 años de ambos sexos que viven en las provincias de Córdoba y Buenos Aires. a) ¿Cuál es la variable? Clasifícala. b) ¿Cuál es la población? c) ¿Cuál es el tamaño de la muestra? 3. Completa la tabla escribiendo ejemplos de variables que tengan relación con la que aparece como dato en cada renglón. Observa el ejemplo de la primera fila:

4. Teniendo en cuenta los datos, completa la tabla y realiza un gráfico de barras y un gráfico circular: a) Notas que obtuvieron los alumnos de 3º año en una evaluación de Matemática:

Cualitativa Cuantitativa discreta Cuantitativa continua

Tipo de flor Cantidad de flores vendidas en distintos puestos

Longitud del tallo de una flor

Equipo de fútbol preferido

Cantidad de kilómetros que recorre un taxista por día

Cantidad de hojas de un libro leídas por día

3 4 6 2 5 8 3 9 1 4 7 9 6 8 3 7 6 8 9 2 8 5 6 5 4 4 7 9 5 6 4 8 3 5 6 6 5 1 4 8 2 7 3 4 5 4 6 3 4 7 3 10


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b) Cantidad de libros de distintos géneros vendidos:

c) Valores obtenidos al lanzar un dado 50 veces: 5. Completa la tabla y realiza un histograma en cada caso: a) Sueldo semanal de los empleados de una pequeña empresa

Sueldo f xn fr Fr

porcentual F

[0 ; 250) 2

[250 ; 500) 5

[500 ; 750) 12

[750 ; 1000) 14

[1000 ; 1250) 6

[1250 ; 1500) 3

Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f

fr

fr (%)

F

Género de libros f fr fr porcentual F Novelas 35

Ciencia ficción 18

Cuentos 8

Poesía 4

Valores f fr fr

porcentual F

1 2 3 4 5 6

1 3 4 1 5 2 6 4 2 6 4 1 5 6 3 2 6 2 2 6 4 5 1 4 3 2 4 5 2 2 3 4 1 5 3 4 2 2 1 6 5 1 4 4 3 5 1 4 2 2


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b) Estatura (en cm) de los alumnos de 3º año de una escuela de Salta:

c) Estudio realizado en una clínica acerca del peso (en kg) que tuvieron 25 bebés al nacer:

6. Completa la tabla correspondiente a cada situación y calcula media, moda y mediana a) Cantidad de días que pacientes con una misma afección deben tomar un medicamento

0100200300400500600700800900

1000

1 2 3 4 5

cantidad de días

paci

ente

s

estatura f xn fr Fr

porcentual F

[130;140) [140;150) [150;160) [160;170) [170;180) [180;190)

Peso (kg) f xn fr Fr

porcentual F

[2;2,500)

Cantidad de días Pacientes

1 2 3 4 5

136,7 152,7 155,8 176,7 157,6 159,8 152,8 167,2 182 149,9 175,2 159,2 163,2 180,9 157,1 179,3 167,2 165,5 153,4 153,5 161,9 155,3 145,3 166,8 153 141,5 150,9 160,2 154,4 148,2

2,395 4,000 3,500 3,250 2,600 3,450 2,950 3,010 2,950 2,800 2,515 3,100 2,485 3,720 3,850 3,000 3,200 3,900 2,450 3,800 3,750 2,500 2,700 2,650 2,700


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b) Cantidad de mascotas por vivienda que hay en un pueblito

7. En el histograma se muestran los puntajes obtenidos por alumnos ingresantes a la Universidad de una provincia argentina. Completa la tabla y calcula la media y la mediana.

4

12

20

32

4551

48

36

21

13

0

10

20

30

40

50

60

(0;10]

(10,20]

(20;30]

(30;40]

(40;50]

(50;60]

(60;70]

(70;80]

(80;90]

(90;100

]

notas

alum

nos

Cantidad de mascotas f fr F

0 10

1 10

2 31

3 15

4 5

5 3

6 3

7 2

8 21

notas f F xn f. xn (0;10]


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8. En la siguiente tabla se registró la distancia que existe entre la casa de cada paciente y la clínica en donde se atiende. a) Completa la tabla b) Calcula la media aritmética c) ¿A qué intervalo pertenece la mediana? d) Confecciona el histograma y señala en él la media

notas f F xn f. xn

[0;2,5) 45

[2,5;5) 26

[5;7,5) 32

[7,5;10) 23

[10;12,5) 29

[12,5;15) 16

[15;17,5) 16

[17,5;20) 13


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EJERCICIOS DE REPASO

1. Teniendo en cuenta los datos, completa la tabla, realiza un gráfico circular y determina la media, la mediana y la moda:

2. Los datos siguientes corresponden a la estatura de los jugadores de un equipo de fútbol (en cm). Organiza la información en 5 intervalos de amplitud 5 a) Completa la tabla b) Confecciona el histograma c) Calcula la media d) Determina a qué intervalo pertenecen la mediana y la moda.

Valores f fr fr

porcentual F ángulo central

0

1

2

3

4

5

alturas f F xn f. xn

Cantidad de veces que fue al cine durante el último año cada empleado de una oficina: 4 1 5 2 1 0 0 2 3 4 1 4 4

168 – 164 – 175 - 182 - 174 – 164 176 – 184 – 167 - 171 – 170 - 165 180 – 172 – 178 - 169 – 173 – 166 174 - 162 – 168 - 160 – 173- 175


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EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (ℝ) El conjunto de los números reales (ℝ) está formado por los números racionales (ℚ) y los irracionales ( ). A cada número real le corresponde un punto en la recta numérica y viceversa, lo que significa que el conjunto ℝ completa la recta numérica; por ese motivo, dicha recta se denomina recta real. Los números racionales son aquellos que pueden ser expresados como una razón entre dos números enteros, el segundo de ellos no nulo. Un mismo número racional puede expresarse de dos maneras: como fracción o como expresión decimal. La expresión decimal puede tener una cantidad finita de cifras decimales significativas (decimal exacto) o bien, infinitas cifras decimales que se repiten indefinidamente (decimal periódico puro o mixto). Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como una razón entre dos números enteros, y se caracterizan por tener infinitas cifras decimales no periódicas. Hay distintos tipos de números irracionales importantes, por ejemplo: a) Los resultados de radicaciones no exactas de números racionales: √2 = 1,414213562 … √43 = 1,587401052 … √34 = 2,024397458 … b) Los resultados de operar un número irracional con números racionales: 1 + √3 = 2,732050808 … √7 − 3 : 9 = −0,039360965 … c) Los números que se determinan a partir de una cierta ley de formación: 4,369121518… 0,123456789… -25,1223334444… d) El número π: número que aparece en la fórmula usada para calcular la longitud y la superficie de un círculo. Se define como la relación entre la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro. Su expresión decimal es 3,1415926535…, aunque en la práctica se utilizan como valores aproximados el 3,14 o el 3,1416. Los griegos, en un principio, creyeron que era racional, pero más tarde sospecharon que podía no serlo. Sin embargo, su irracionalidad no se probó hasta el siglo XVIII. e) El número Φ: número que los griegos pitagóricos obtuvieron como relación entre la diagonal y el lado de un pentágono regular. Es igual a √ = 1,6180339887 … , fue llamado número de Fidias, y, más tarde, número de oro. Se usa con frecuencia en el arte. f) El número e: es el número de Nepper, es la base del logaritmo natural o neperiano y su valor es 2,718281…. Posiblemente es el número más importante en las matemáticas superiores. Aparece en fórmulas que describen por ejemplo: ciertos procesos de crecimiento (de una bacteria, de una población vegetal, etc), la desintegración radiactiva, la curva que describe una cadena que cuelga de sus extremos.


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LOS NÚMEROS Y SUS ORÍGENES. Existe una frase muy popular que declara: “los números gobiernan el mundo”. Evidentemente es un poco exagerada, ya que la matemática no puede identificarse solamente con números. Hay ramas como la geometría que utilizan otros conceptos. Si tenemos en cuenta tanto las edades, como los domicilios, las estaturas, las distancias, el tiempo, las temperaturas, la presión arterial, los números telefónicos y los de documentos, las calificaciones, las fechas… todos estos datos se indican con números, y podríamos seguir dando más ejemplos. Seguramente esta profusión de números a nuestro alrededor dio origen a la frase que mencionamos; quizá pueda decirse que son indispensables, pero no son los “gobernadores” de este mundo. Los conjuntos de números no aparecieron, históricamente, en el orden en que hoy se los estudia en la escuela. En la actualidad, se define a los números naturales mediante axiomas; luego a los enteros, que se obtienen mediante las diferencias entre dos naturales; los racionales, que son razones entre enteros, con el divisor distinto de cero, y se puede definir a los números reales de distintas maneras. Veamos algunos aspectos del largo camino que los hombres recorrieron, descubriendo, negando y aceptando, hasta llegar a enunciar la sólida teoría que hoy los sostiene. En los remotos tiempos de la Prehistoria, cuando aún no existía la escritura, las comunidades humanas precisaron contar cuando se hicieron sedentarias, al comenzar el periodo neolítico. Aparecieron sistemas de numeración en forma oral y es allí donde se originan los números naturales. Al parecer la escritura comienza la Historia, entre el 4000 a.C. y el 3500 a.C. Tanto en Egipto como en la Mesopotamia asiática, al adquirir la escritura, también aparecen sistemas de numeración. Estos pueblos manejaron los números naturales y más tarde, las fracciones. Éste es el origen de los números racionales, aunque sólo consideraban los positivos. En el siglo VI a.C. Pitágoras, uno de los mayores exponentes de la antigua cultura griega, fundó su famosa escuela. Los pitagóricos sostenían que el principio de todo era el número. Consideraban que los números eran los enteros positivos, o sea, los naturales, y que las fracciones derivaban de ellos. Los pitagóricos hicieron un notable descubrimiento: los números irracionales. Al intentar calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles con catetos de 1 unidad, apareció √2 como medida de la hipotenusa, originándose un segmento que no podían medir porque siempre tiene un decimal más… Esto produjo una gran conmoción en la escuela pitagórica y decidieron mantenerlo en secreto, lo cual prueba que fuertes sentimientos acompañaron el desarrollo de la Matemática en su historia. Irene Zapico. Matemática 3. Logonautas Ed. Puerto de Palos.2008


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FUNCIONES: ¿QUÉ SON? El precio del transporte depende del precio del petróleo. El espacio recorrido es función de la velocidad. La presión atmosférica es función de la altura. Expresiones semejantes, que puedes oír todos los días, ilustran bastante bien lo que es una función en matemática. Las de arriba significan que: * a cada precio del petróleo le corresponde un precio del transporte (supuestas iguales otras circunstancias que pueden influir); * a cada velocidad corresponde un espacio recorrido (en un intervalo de tiempo determinado); * a cada altura le corresponde una presión atmosférica. A esta asignación se la llama función. El conjunto de elementos a los que se les asigna algo se llama el conjunto de partida o dominio de la función. El conjunto de esos algos que se les va asignando a cada elemento se llama conjunto de llegada de la función. La función es, por lo tanto, una asignación: a cada elemento del conjunto de partida le asigna un valor del conjunto de llegada. Aunque se hable de valores, no tiene que ser necesariamente un número (a cada persona su nombre). Y tampoco es necesario que los valores sean distintos para dos elementos del conjunto de partida (dos atletas pueden tener el mismo récord). Lo que sí es importante es que a cada “cosa” se le asigne una “sola cosa”. Las funciones que más nos van a interesar en matemática son aquellas que asignan a cada número de un cierto conjunto de números otro número. Estas son las funciones numéricas. Es decir, el conjunto de partida es un conjunto de números y el conjunto de llegada es también un conjunto de números. Estas funciones se pueden expresar simbólicamente. Así por ejemplo, si a cada número real x le asignamos su doble, es decir 2x lo podemos expresar simbólicamente de varias maneras: 1) → 2 2) : → ( ) = 2 3) ( ) = 2 o = 2 La letra f simboliza la asignación u operación que hay que hacer con cada “cosa”, x, a la que se aplica para obtener la imagen, y (a veces a una función se la llama aplicación). La x, que representa los distintos elementos del conjunto de partida, se llama variable independiente o pre-imagen. El valor y o f(x), que es un elemento del conjunto de llegada, se llama variable dependiente o imagen. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

FUNCIONES: HISTORIA

La noción actual de función comienza a gestarse en el siglo XIV cuando los filósofos escolásticos medievales comenzaron a preocuparse por medir y representar gráficamente las variaciones de ciertas magnitudes como la velocidad de un cuerpo en movimiento o la diferencia de temperatura en los distintos puntos de un objeto metálico. El personaje más influyente en este proceso inicial fue probablemente Nicole Oresme (1323-1382), en París, que llegó a ser obispo de Lisieux. Él fue el primero en hacer uso sistemático de diagramas para representar magnitudes variables en el plano, señalando los valores de la variable independiente a lo largo de una recta y los de la dependiente a lo


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largo de otra perpendicular a la primera. Ese apoyo geométrico tuvo una importancia extraordinaria en el desarrollo posterior de la matemática. Con él comenzaba una interacción muy fructífera entre geometría, cálculo y álgebra. El nombre de función proviene de Leibniz y el estudio más profundo de Leibniz sobre funciones fue estimulado sobre todo por su interés geométrico en analizar, matemáticamente, los puntos de las curvas donde éstas alcanzan su máximo y su mínimo valor y en dar con un método general para la determinación de la recta tangente a ellas en un punto determinado. Durante los siglos XVIII y XIX el concepto de función se hace el eje central de la matemática, sobre todo en el análisis matemático. Su estudio, a través del cálculo y sobre todo de las ecuaciones diferenciales, se hace totalmente indispensable para llevar adelante todo el desarrollo científico y tecnológico, primero alrededor de la Física y luego en muchos otros campos. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

ISAAC NEWTON (1642-1727) Cuando Isaac Newton nació en 1642, nadie hubiera sospechado que aquel niño se iba a convertir con el tiempo en uno de los genios científicos más grandes de todos los tiempos. Nació prematuramente, extraordinariamente pequeño y débil de constitución, huérfano de padre y medio abandonado por su madre, quien, al casarse cuando el niño contaba dos años, lo cedió a su abuela. Su infancia fue más bien triste y solitaria. Al acabar sus estudios en la escuela, su madre quiso convertirlo en granjero, pero resultó, en tales tareas, un verdadero fracaso y a los 18 años ingresó en uno de los centros de la Universidad de Cambridge, el Trinity College. Al principio no sobresalió absolutamente en nada, hasta que dio con Isaac Barrow, profesor de Matemática. Barrow reconoció pronto al genio que Newton llevaba dentro y, no sólo le ayudó mucho en su formación, sino que una vez que Newton recibió su título, se retiró de su puesto como profesor de Cambridge a fin de que Newton ocupase su lugar. De esta forma, a sus 26 años, Newton estaba ya plenamente establecido y en condiciones inmejorables para desarrollar la enorme cantidad de ideas que habían surgido en su mente en circunstancias pintorescas. A los 30 años fue nombrado miembro de la Royal Society, la más alta distinción científica en Inglaterra. Para entonces, sin embargo, Newton apenas había mostrado al mundo más que una pequeña parte de lo que llevaba en su espíritu. Sus ideas sobre el cálculo habían aparecido en 1671 por primera vez, pero la teoría de la gravitación no fue pública hasta 1687 en sus Principia Mathematica. La porción realmente fructífera y genial de su larga vida de 83 años transcurrió entre sus 25 y sus 55 años. En 1696 Newton dejó la Universidad de Cambridge para ocupar cargos importantes en la administración británica. Desde entonces hasta su muerte apenas publicó nada de importancia.


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LAS RAZONES EN LO COTIDIANO En la confección de mapas, planos, algunas ilustraciones y maquetas, se utilizan medidas a escala; es decir, se encuentra una longitud adecuada, más pequeña o más grande, para representar las longitudes reales. La escala, representada por la letra e, es una razón, ya que es el cociente entre dos medidas: la longitud representada y su correspondiente longitud real Si < 1, la representación es una reducción. Si > 1, la representación es una ampliación. Si en el plano de un departamento leemos que la escala es 1: 100, esto significa que cada centímetro del plano representa 100 cm reales (o 1m); es decir, que el plano es 100 veces más pequeño que el tamaño real. El porcentaje, o “tanto por ciento”, es también una razón de uso muy frecuente en distintas actividades de la vida cotidiana. Esta razón expresa cuántas partes se consideran de las cien (100) en que se divide una cantidad. El porcentaje se denota utilizando el símbolo %, que matemáticamente equivale al factor 0,01 y que se debe escribir después del número al que se refiere, dejando un espacio de separación. Por ejemplo, «treinta y dos por ciento» se representa mediante 32 % y significa ‘treinta y dos de cada cien’. El 32 % de 2000, significa la parte proporcional a 32 unidades de cada 100 de esas 2000, es decir, 640 unidades en total. Analicemos el cálculo que debe hacerse:

32% 2.000 =32

100× 2.000

= 0,32 × 2.000 = 640 Otra razón, que por ejemplo se usa en Medicina, es el índice de masa corporal. Se utiliza para medir el tamaño relativo de una persona. Este índice es la razón entre la masa de una persona, expresada en kilogramos, y el cuadrado de su estatura, expresada en metros. Se simboliza con las iniciales IMC Estudios realizados por médicos y nutricionistas, demostraron que es conveniente para la salud tener un IMC comprendido entre 20 y 25. Para lograrlo es necesario alimentarse adecuadamente con una dieta equilibrada, y realizar actividades físicas apropiadas. Por último, otra razón muy utilizada en la Física, la Química y otras ciencias es la densidad. Esta es una constante física propia de cada sustancia, y debido a ella se pueden reconocer los materiales que componen cada cuerpo. Se llama densidad a la relación entre la masa de un cuerpo y el volumen que este ocupa. El símbolo que se utiliza para representarla es la letra griega δ (delta) y las unidades de medida más usadas son el , el y la . Así, por ejemplo, la densidad del agua es de 1 g/cm3; la del aceite, 0,92 g/cm3 y la del hierro, 7,8 g/cm3.

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