Fu grazie alle nuove idee della fisica quantistica che Bohr Bohr riuscì a «superare» le difficoltà incontrate da Rutherford, apportando una fondamentale «correzione» al modello planetario dell’atomo.

Gas rarefatto incandescente

Gas rarefatto freddo

Spettro a righe

(discontinuo)

Spettro continuo

Spettro di assorbimento

Le ricerche di Bohr si basarono essenzialmente sull’analisi analisi spettrale spettrale della luce emessa e assorbita da vari materiali.

Si distinguono tre situazioni fondamentali.

Sorgente densa calda

Sorgente densa calda

EmissioneEmissione

AssorbimentoAssorbimento

Utilizzando lo stesso gas, gli spettri di assorbimento ed emissione corrispondono come l’uno il negativo negativo dell’altro.

Ogni gas ha uno spettro specifico (serie di righe spettrali) tanto da essere come la sua impronta digitaleimpronta digitale Le righe non sono disposte a caso, ma sembrano seguire una certa regolaritàregolarità. Un aspetto particolare è l’accumulo accumulo delle righe man mano che si va verso lunghezze d’onda maggiori

Equazione di Rydberg

In pratica, sostituendo a n1 il numero d’ordine della zonazona spettrale osservata e a n2 il numero d’ordine della rigariga all’interno della zona, con l’equazione di Rydberg si ottiene il valore della λλ (colore) della riga analizzata.

Le righe, in ogni zona, si «accumulano» da sx a dx.Non sono disposte a caso: si dimostrò che la loro posizione ubbidisce ubbidisce ad una legge matematica!legge matematica!

Spettro dell’idrogeno

Zone spettrali (nZone spettrali (n11))

Righe spettrali (nRighe spettrali (n22))

Serie di BalmerBalmer Serie di LymanLyman

Serie di PaschenPaschen

Zona Visibile Zona Visibile nn11=2=2

• R =costante di Rydberg• n1= numero d’ordine di zona spettrale • n2= numero d’ordine di riga• λ λ = lunghezza d’onda (colore)

Il gas idrogeno presenta righe ben precise nelle tre zone principali dello spettro (infrarossa, visibile, Ultravioletta).

Zona alta frequenzan1=1

Zona I.F.n1=3

La nascente fisica dei «quanti» suggerì a BohrBohr la risposta.

Di seguito, in sintesi, la strada seguita da Bohr per spiegare lo spettro dell’idrogeno alla luce della teoria quantistica.

L‘emissioneemissione e l’assorbimentoassorbimento di segnali luminosi (elettromagneticielettromagnetici) da parte di un corpo materiale (es. gas idrogeno) sono sicuramente sicuramente da collegare con le cariche elettriche cariche elettriche all’interno degli atomi e con la variazionevariazione del loro stato di moto (dalla teoria di Maxwell), ma…

Perché i colori emessi sono sempre e solo proprio quelli, con le posizioni e i valori ben Perché i colori emessi sono sempre e solo proprio quelli, con le posizioni e i valori ben precisi di precisi di λλ??

Ancora una volta, utilizzando le leggi classiche dell’elettromagnetismo (equazioni di Maxwell) non si riusciva non si riusciva a spiegare perché la serie di righe spettrali dell’idrogeno rispetta l’equazione empirica di Rydberg.

L’ee--, in quanto corpo in moto circolare, ha un momento angolare L=mvrL=mvr

Considerando un atomo di H a riposoriposo, il momento angolare dell’ e e- - mvmv00rr00=k=k. (mm=massa ; vv00= = velocità a riposo; rr00= = raggio a riposo)

Il raggio rr00 dell’atomo di H, da varie sperimentazioni, risultò 0,5 angstrom

La massa mm dell’ e e- - si conosceva grazie a Thomson e Millikan.

La velocità dell’ e e- - vv0 l’aveva ricavata Rutherford.

Si potè, quindi, facilmente calcolare Il momento momento angolare Langolare L00.

Bohr, confrontando tale valore con i lavori di Planck,

notò che valeva LL00 = mvmv00rr0 0 = = h/2h/2ππ

(dove h= costante di Planckh= costante di Planck).

+ _

VV00

L=mvL=mv00rr00

rr00mm

Un atomo, tuttavia, non rimane sempre a riposo: può essere eccitatoeccitato.

Se eccitato, eccitato, l’elettrone certamente cambia orbita (si allontana o si avvicina al nucleo)

La massa mm si suppone rimanga invariata, ma il raggio rr e la velocità vv dovranno essere

diversi da quelli a riposo per cui lo sarà anche il momento angolare mvmv11rr11 ≠ mv ≠ mv00rr00.

v1= 2πmr1

nh

+

VV00

L=mvL=mv00rr00

rr00 mm

Da questa formula si ricava …

VV11 rr11

mm Bohr, riuscì a «far quadrare i conti», mettendo d’accordo dati sperimentali e teoria di Maxwell, ponendo la condizionecondizione che il nuovo momento angolare abbia un valore multiplo intero multiplo intero di quello a riposo (h/2h/2ππ))

LL1 1 = mv= mv11rr1 1 = = nnh/2h/2ππ (dove n n = 1,2,3,4… numero intero).

LL11=mv=mv11rr11

Considerando valido il modello planetario di Rutherford, in ogni momento Fel= -Fc ,cioè m m x x vv22 = = KKelel q q22

rr

v1= 2πmr1

nhv0= 2πmr0

h

Considerando i due momenti, a riposoriposo ed in eccitazioneeccitazione avremo:

e

Sostituiamo la velocità VV11 utilizzando la precedente formula m m xx n n22hh22 44ππ22mm22rr11

22 = =

KKelel q q22

rr

nn22hh22 44ππ22mmrr11

== KKelel q q22 Si ricava il raggio KKelelqq2244ππ22mm

nn22hh22 rr1 1 ==Cioè la distanza della nuova orbita

Osservando bene quest’ultima formula: solo nn risulta variabile! (tutti gli altri parametri sono costanti).Questo significa che le distanze (raggi delle orbite) permesse all’ee-- non possono essere di qualsiasi valore, ma solo multiple intere della distanza minima possibile (0,5 angstrom per l’H)

Considerando l’atomo planetario, ad ogni orbita corrisponde una specifica energia.Passando, perciò, da una all’altra l’ee-- subirà una variazione della sua EETT.

Considerando due, riposo ed eccitato, avremo EE00 ed EE11.

Nel cambio di stato cambio di stato avremo una variazione variazione di energia ΔΔE=EE=E11 – E – E00

Riprendendo la formula di Rutherford per la E EETT = - ½ = - ½KKelel q q22

rr Si avrà…

- ½- ½ KKelel q q22

rr11½½ KKelel q q22

rr00EE11 –– E E0 0 = = ++ΔΔE=E=

KKelelqq2244ππ22mm

nn22hh22 rr ==Nella diapositiva precedente abbiamo ricavato

Sostituendo, rispettivamente rr11 e rr00 , e semplificando l’equazione, si arriverà a…

ΔΔE=E= 2K2Kelel2 2 qq4 4 mm π π22

nn0022hh22 nn00

22 nn1122

1 1 1 1 -( )

ΔΔE=E=2K2Kelel

2 2 qq4 4 mm π π22

nn0022hh22 nn00

22 nn1122

1 1 1 1 -( )Ovviamente l’ee- - (quindi l’atomo) assume momentaneamentemomentaneamente il nuovo valore di energia EE11 (stato eccitato) per poi ritornare, immediatamente, a quello di riposo EE00. Dato che vale la legge della conservazione dell’energia, queste variazioni di energia ΔΔEE non vengono dal nullanulla, né svaniscono nel nullanulla… Per eccitare un atomo occorre fornirglifornirgli energia dall’esterno (calore, elettricità, luce ecc.).Per tornare allo stato di riposo l’atomo, deve cedere la stessa quantità di energia assorbita.Una carica elettrica, come lo è l’ee- - , può assorbire energia di varia natura, ma può cederla solosolo in forma elettromagnetica elettromagnetica (radiazioni).Visto, inoltre, che energia assorbita e ceduta devono coincidere (conservazione dell’energia), noi possiamo conoscere il valore di ΔΔEE tra due stati (riposo ed eccitato) analizzando lo spettro spettro dei segnali elettromagnetici dell’atomo (righe di assorbimento o di emissione).

Osservando bene anche questa equazione, come la precedente le uniche variabili sono le

nn, cioè numeri interi numeri interi (1,2,3,4…).Si può ben intuire, quindi, che i valori di ΔΔEE non possono essere causali e imprevedibili, ma devono assumere valori ben intervallati tra loro, cioè «quantizzatiquantizzati».Lo spettro, allora, sarà costituite da ben precise ben precise righe di colori.

Ora i valori di K Kelel, q, m, , q, m, ππ, h, n, h, noo C C sono fissi e noti: possiamo indicarli con una sola lettera RR.

La frequenza d’onda ff è proporzionalmente inversa alla lunghezza d’onda, f=C/f=C/λλ (dove

CC=velocità della luce) sostituendo

Quindi posso ammettere che la più piccola differenza di energia, assorbita o emessa da

un elettrone, equivalga a ΔΔE= hfE= hf

2K2Kelel2 2 qq4 4 mm π π22

nn0022hh22 nn00

22 nn1122

1 1 1 1 -( ) λλ

hChC==

Portando il fattore hC hC a destra…

2K2Kelel2 2 qq4 4 mm π π22

nn0022hh33CC nn00

22 nn1122

1 1 1 1 -( ) λλ

11==

nn0022 nn11

22

1 1 1 1 -( )

λλ11 == RR Ma questa è l’equazione empirica di Ma questa è l’equazione empirica di

Rydberg per lo spettro dell’idrogeno!Rydberg per lo spettro dell’idrogeno!

2K2Kelel2 2 qq4 4 mm π π22

nn0022hh22 nn00

22 nn1122

1 1 1 1 -( )

==

Ogni riga di colore è «prodotta», quindi, da una ΔΔEE, da un «quantumquantum» di energia assorbito o emesso quando l’ee-- passa da un’orbita ad un’altraOra, dato che si tratta di energia elettromagnetica, sappiamo che il suo valore più piccolo di

un segnale è proprio il «quantumquantum» scoperto da Planck E=hf E=hf

Bohr, in pratica, giunse alla formula empiricaformula empirica che Rydberg Rydberg e altri ottennero analizzando le righe spettrali…partendo da leggi leggi di Newton-Maxwell Newton-Maxwell applicate al moto dell’elettrone, come teorizzato da RutherfordRutherford, ma ponendo una condizione…i valori del momento angolare devono essere

mvr=mvr=nnh/2h/2ππ (cioè multipli interi di una quantità fissa) quantizzazione del momento angolare quantizzazione del momento angolare.

Questo, ovviamente, comporta l’esistenza di specifiche e determinate orbite permesse all’elettrone quantizzazione delle orbitequantizzazione delle orbite..

L’elettrone passando da un’orbita all’altra assorbe o emette solo determinatedeterminate quantità di energia, multipli interi del quantumquantum di Planck E=hfE=hf (differenza di energia tra le due orbite) e quindi ben precise righe spettrali quantizzazione delle quantizzazione delle energieenergie.

Dall’analisi delle righe dello spettro, Bohr ricavò per l’H 77 possibili orbite , che chiamò livelli livelli energeticienergetici nn, numerati da 1 a 7.

Le righe totali dello spettro sono molto più di 7, in quanto i «salti», da un’orbita all’altra, non sono sempre gli stessi (l’ee-- può fare salti singoli, doppi, tripli ecc. ), inoltre i salti singoli hanno valori energetici (quindi righe) differenti in base al livello di partenza.

1. L’elettrone si muove secondo un’orbita circolare intorno al nucleo ed il suo moto è regolato dalla forza elettrica di Coulomb e dalla forza centrifuga.

2. Il moto dell’elettrone è descritto dalle leggi di Newton, ma non tutte le orbite sono permesse: solo quelle di raggio r tale che il momento angolare mvr = nh/2π

3. Se l’elettrone permane in un’orbita, non emette alcuna radiazione elettromagnetica e pertanto la sua energia è costante: l’orbita viene detta orbita stazionariaorbita stazionaria.

4. Una radiazione elettromagnetica viene assorbita o emessa solo quando un elettrone salta da un’orbita all’altra: L’energia assorbita o emessa è «quantizzata», vale un quantum ΔE = hf . Il salto tra le orbite è definito «salto quantico».

1. L’elettrone si muove secondo un’orbita circolare intorno al nucleo ed il suo moto è regolato dalla forza elettrica di Coulomb e dalla forza centrifuga.

2. Il moto dell’elettrone è descritto dalle leggi di Newton, ma non tutte le orbite sono permesse: solo quelle di raggio r tale che il momento angolare mvr = nh/2π

3. Se l’elettrone permane in un’orbita, non emette alcuna radiazione elettromagnetica e pertanto la sua energia è costante: l’orbita viene detta orbita stazionariaorbita stazionaria.

4. Una radiazione elettromagnetica viene assorbita o emessa solo quando un elettrone salta da un’orbita all’altra: L’energia assorbita o emessa è «quantizzata», vale un quantum ΔE = hf . Il salto tra le orbite è definito «salto quantico».

Vengono definiti postulati postulati in quanto non dimostrabili e contro le leggi della fisica classica, ma necessari per giustificare i fenomeni osservati (così deve essere!).In altre parole, solo ammettendo quanto sopra è possibile giustificare gli spettri di emissione e assorbimento, nonché il fatto che una carica elettrica, come l’ee--, possa non emettere luce pur avendo un moto accelerato e, quindi, non perdere energia, anche se questo contrasta con le teorie classiche.

Il lavoro di Bohr si riassume nei seguenti postulati: