V E T T O R I

Corso di Laurea in Ingegneria Civile

Corso di Meccanica Razionale

Prof.: Ing. Giuseppe Moscariello

Anno Accademico 2013–2014

1 Premessa

La stesura di questi appunti si e resa necessaria per fornire allo studente un linguaggioessenziale ed omogeneo fin dalle prime battute del corso di Meccanica Razionale eper riproporre, in una forma piu “immediata” (o “ingegneristica”), quei concetti dibase, acquisiti gia in altre materie, necessari per affrontare le diverse applicazioni chesi troveranno in questo corso.

2 Grandezze scalari, vettoriali, tensoriali

Assegnata una unita di misura, una grandezza e detta scalare se per individuarla bastaun solo numero (uno scalare, appunto) con un proprio segno1.

Per contro una grandezza e detta vettoriale (ad esempio una forza, una velocita,ecc.) se per individuarla e necessario assegnare, oltre all’unita di misura ed al numero(che ne indica il modulo o intensita), anche la direzione ed il verso2.

La direzione aggiunta al verso viene usualmente indicata come direzione orienta-

ta; essa e normalmente indicata con una freccia, che ne rappresenta il versore (vettoredi modulo unitario).

Insieme a queste grandezze ve ne sono altre piu sofisticate, di estrema importanzaed utilita nelle applicazioni ingegneristiche, quali quelle tensoriali (che saranno definiteed analizzate nelle loro proprieta durante lo sviluppo del corso), che sono rappresentateda matrici (i cui coefficienti sono delle grandezze scalari dipendenti dalla scelta fattadel sistema di riferimento) doppie simmetriche3 verificanti la proprieta fondamentale(detta proprieta invariantiva con la base), che le eleva dal semplice ruolo di matrici aquello piu sofisticato di “tensore”4.

Un tensore doppio e formato dagli elementi di una matrice piana individuabilicon un doppio indice (ai,j con i, j = 1, 2, 3) di dimensioni [3∗3]. Uno triplo da un insieme

1Ad esempio, 3 kg indica una quantita di materia pari a 3 volte l’unita (il kg) assunta per la suamisurazione; 10 J indica un lavoro pari a 10 volte l’unita di misura (il Joule) assunta per la misurazionedel lavoro, etc.

2Cosı, ad esempio, nell’indicare che un corpo ha un’accelerazione di 9,8 m/s2, e necessario precisare,oltre al numero che ne individua l’intensita, anche la direzione, ad esempio verticale, (rappresentatada un fascio di infinite rette tutte parallele) ed il verso (uno dei due possibili nella direzione data:ascendente o discendente).

3Sono matrici doppie quelle matrici i cui termini ai,j sono individuabili da un doppio indice,simmetriche se i termini verificano la condizione: ai,j = aj,i per ogni i e j.

4Si immagini di avere due contenitori identici, chiusi e non trasparenti (rappresentanti, nel banaleesempio, due matrici identiche), in uno dei quali sia contenuto un oggetto prezioso. Quando si scopreche esso e “ricco” (che verifica, cioe, la proprieta invariantiva rispetto alla base) lo si definisce “tensore”.Una volta, poi, che e stato accertato che tale grandezza e un tensore i valori numerici che essa porta inse possono essere giustificatamente utilizzati per ricavarne grandezze fisiche importanti, quali momentid’inerzia, deformazioni, tensioni ed altro ancora, necessarie nelle applicazioni ingegneristiche.

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di matrici piane (o da una matrice tridimensionale) i cui elementi sono individuabilida un triplo indice (bi,j,k con i, j, k = 1, 2, 3) di dimensioni [3 ∗ 3 ∗ 3], ecc.5.

Le notazioni adoperate sono:scalare: a b cvettore: u v w (versore: i j k e)tensore: tP YG

3 Vettore libero, vettore applicato

Un vettore, se non precisato diversamente, s’intende libero (o equipollente), vale a direun ente che contiene un modulo, una direzione ed un verso. Esso non ha un punto diapplicazione e puo, percio, essere spostato (non applicato!) in un punto qualsiasi diR3.

Un “vettore applicato” (A, u), diversamente da quello libero, ha anche un puntod’applicazione. Esso si puo, percio, immaginare come un vettore “incollato” al puntodove esso e applicato6.

4 Vettori e Pseudovettori

Una grandezza vettoriale quale, ad esempio, la velocita di un punto o una forza, vieneuniversalmente rappresentata con un vettore, che individua, attraverso la sua lunghezza,inclinazione e freccia, rispettivamente l’intensita, la direzione ed il verso di essa.

Cosı un vettore-velocita rivolto orizzontalmente verso destra trasmette la sen-sazione del movimento del punto verso destra, tanto piu veloce quanto piu lungo e ilvettore nella scala adottata; analogamente, un vettore-forza applicato nel baricentrodi un corpo avente direzione verticale ed orientato verso il basso, trasmette l’idea delpeso del corpo, tanto piu grande quanto piu lungo e il vettore nella scala adottata.

Non altrettanto accade, invece, per quelle grandezze vettoriali (che sono taliin quanto rappresentabili necessariamente da un modulo, una direzione ed un verso)quali, ad esempio, il momento polare Mo di una forza applicata rispetto ad unpolo “O” oppure la velocita angolare ω di un corpo rigido attorno ad un asse7, chedebbono trasmettere, appena si incontrano, il primo la sensazione della torsione delcorpo attorno alla direzione orientata del vettore Mo (in un piano, cioe, ortogonale

5In seguito, in questo corso, si analizzera unicamente il tensore doppio simmetrico riguardante imomenti d’inerzia di una sezione e relativo ad un punto di tale sezione (il baricentro). Tale tensoreverra chiamato “tensore d’inerzia”

6Si noti che un dato vettore applicato (di modulo, direzione e verso assegnati) ha vincolato nonsolo il punto d’applicazione ma l’intero vettore che non puo essere spostato (e tantomeno ruotato)dalla posizione in cui si trova.

7Questa grandezza speciale, in particolare, merita un approfondimento a parte, come sara fattopiu avanti in questi appunti.

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al vettore momento) e con un ben preciso verso ed il secondo la sensazione di unarotazione attorno ad una retta d’azione individuata dal vettore ω, in un dato verso,con maggiore o minore rapidita.

Rappresentare tali vettori con lo stesso simbolo con cui si indica, ad esempio,una forza o la velocita lineare di un punto, non consente di distinguere visivamente(attraverso, cioe, l’osservazione del vettore) i diversi fenomeni da essi rappresentati,con l’aggravante che una siffatta scelta puo generare confusione nello studente che,vedendoli simboleggiati allo stesso modo dei vettori ordinari, e indotto, erroneamente,ad applicare loro quelle proprieta valide solo per questi ultimi.

Non e, infatti, d’immediata comprensione il fatto che, nonostante l’identica rap-presentazione formale dei vettori, per due di essi, quali, ad esempio, i vettori-forza,puo essere fatta la somma, mentre per altri due (identicamente rappresentati), quali,ad esempio, i vettori-velocita angolare, no.

Percio, per distinguere i primi vettori dagli altri (spesso, in letteratura, denom-inati pseudovettori o “vettori assiali”) si e adottata, in questo corso, la convenzionedi rappresentare questi ultimi, oltre che con la sottolineatura (per indicare il caratterevettoriale della grandezza) anche con una doppia freccia8.

La doppia punta ha lo scopo, quindi, per un verso, di indicare visivamenteal lettore che ha a che fare con una grandezza vettoriale diversa dai comuni vettorie, contemporaneamente, di metterlo in guardia sulle operazioni che con tale vettoreandra a fare, in quanto, per essi, non sempre le operazioni valide per i vettori “ordinari”(indicati, cioe, da una sola punta) risultano lecite9.

Quindi un vettore-velocita indicato con una sola freccia (velocita lineare) trasmet-tera la sensazione del moto lungo tale direzione orientata, mentre, se lo stesso e indicatocon una doppia freccia (velocita angolare), generera la sensazione di una rotazione delcorpo (con una certa celerita, tanto maggiore quanto piu grande e l’intensita del vettore)attorno all’asse rappresentato dalla retta d’azione del vettore10.

8Si riporta la definizione di pseudovettore secondo l’Enciclopedia Treccani: “Un vettore le cui com-

ponenti cartesiane non cambiano di segno se si inverte il verso dei tre assi del sistema di riferimento”.Alla fine di questi appunti e riportato un necessario chiarimento circa questa grandezza, senza il qualela proprieta espressa da questa prestigiosa Enciclopedia a definizione dello pseudovettore sembrerebbeimpossibile a verificarsi.

9Questa “anomalia” viene rilevata in questo corso solo con i vettori velocita angolare ωi (e aglianaloghi vettori rotazione elementare dφi) ai quali non e applicabile la regola del parallelogrammanella somma (come sara appresso mostrato), mentre, nei confronti della stessa operazione fatta tradue vettori “ordinari” (quali velocita o forze) oppure tra vettori definiti da un prodotto vettoriale (chesono degli pseudovettori) tale proprieta e applicabile.

10Velocita angolare che avviene nel piano ortogonale al vettore e nel verso (convenzionale) che facciavedere all’“omino vettore”, posto con la testa in corrispondenza della doppia freccia, guardando i suoipiedi, la rotazione del corpo giacente sul piano su cui esso poggia, in senso antiorario.

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5 Lo pseudovettore velocita angolare

A maggior chiarimento, data la delicatezza dell’argomento ed il continuo uso che sene fara nelle applicazioni, si riporta un esempio in cui si mostra graficamente la nonsommabilita degli pseudovettori rotazione (o, equivalentemente, degli pseudovettorivelocita angolari, qualora ci si riferisca ad un dato intervallo di tempo)11.

Figura 1: Composizione di due pseudovettori

Consideriamo, percio (fig.1), un corpo rigido rappresentato a forma di libroed applichiamo ad esso dapprima una rotazione φ

1pari a π radianti attorno all’asse

che in figura e stato indicato con “x” (che porta il corpo nella posizione disegnata alcentro della figura) e, successivamente, una rotazione φ

2di ugual valore attorno all’asse

indicato con “y”, che porta il corpo nella posizione indicata nella parte destra dellafigura.

Immaginando di trattare i vettori rotazioni φi come dei comuni vettori, potrem-mo determinare la loro somma (vedi fig.2), rappresentata dal vettore φ3 = φ1 + φ2

(di valore√

2π che, in pianta, giace sulla retta “r” inclinata di 45 gradi rispettoall’orizzontale).

Facciamo ora compiere al corpo una rotazione pari a φ3 attorno alla retta “r”: sipuo constatare che la posizione raggiunta dal corpo in seguito a tale rotazione non coin-cide con quella ottenuta assegnando separatamente le due rotazioni φ1 e φ2 originarie,in quanto esso, in seguito a tale rotazione, non rimane nel piano iniziale (orizzontalein pianta), come invece risulta dall’applicazione delle due rotazioni12.

11Con questi tipi di vettori, quindi, non sara possibile applicare il quarto postulato della dinamica(noto anche come regola del parallelogramma) e, conseguentemente, il principio di sovrapposizionedegli effetti, tanto prezioso nelle applicazioni.

12In figura, per evitare complicazioni nella rappresentazione della posizione del corpo ruotato di√2π, e stata assegnata una rotazione diversa e pari solo a π, che rende evidente la posizione finale

del corpo. Essa lo ha portato, dalla posizione in pianta “verticale” (linea rossa) a quella “orizzontale”(linea blu). E’ evidente la diversa posizione occupata dal corpo in seguito a tale rotazione rispettoa quella prodotta dalle due rotazioni eseguite singolarmente attorno ai propri assi. Naturalmentesaremmo giunti allo stesso risultato qualora avessimo assegnato la rotazione giusta e pari a

√2π: la

figura non sarebbe rimasta nel piano del foglio, cosı com’e stato indicato in figura, ma la sua posizione

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Figura 2: Somma di due rotazioni

Si puo cosı prendere atto della non applicabilita del principio di sovrapposizionedegli effetti (o regola del parallelogramma per i vettori), che afferma: l’effetto13 prodot-to da piu cause14 agenti contemporaneamente (quando, cioe, si suppone agire la solaφ3) e uguale alla somma degli effetti prodotti dalle singole cause agenti separatamente(una per volta) attorno ai propri assi). Nell’esempio appena analizzato si e visto comequesto principio non sia stato verificato.

Figura 3: Rotazione attorno ad un asse

Si noti ancora, che, assegnando al corpo una rotazione φ4 di valore pari a πattorno all’asse “z” indicato in figura (a partire, naturalmente, dalla stessa posizioneoccupata dal corpo prima delle due rotazioni), la posizione di arrivo, in seguito a questaunica rotazione, com’e mostrato in figura 3, e la stessa di quella raggiunta dal corpo inseguito alle due rotazioni: prima φ1 e poi φ2.

Se non avessimo saputo quanto fin qui descritto, visto che la posizione occu-pata dal corpo, in seguito all’applicazione della rotazione φ4 e la stessa conseguente

non avrebbe mai potuto coincidere con quella ottenuta dall’applicazione separata delle due rotazioniche, come si e visto, hanno lasciato la figura nello stesso piano da dove era partita.

13Rappresentato dalla posizione occupata dal corpo14Rappresentate dalle due rotazioni φ1 e φ2

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all’applicazione delle due rotazioni φ1 e φ2, se il vettore φ4 fosse risultato la somma deidue vettori φ1 e φ2 avremmo detto che vale il principio di sovrapposizione degli effetti,ma cosı non e. Il vettore φ4 non puo essere la somma dei due vettori φ1 e φ2, intantoperche non vale

√2π (valore che si dedurrebbe dalla regola del parallelogramma o,

tenuto conto dell’ortogonalita dei due vettori, dal teorema di Pitagora) e poi perchenon giace nel piano dei due vettori (un vettore somma di altri due deve giacere sullostesso piano dei due vettori), anzi, ha una direzione addirittura ortogonale a tale piano!

Nota Bene: e necessario chiarire, pero, fin d’ora, che lo pseudovettore velocita

angolare ω (o quello rotazione φ) e un “simbolo” con il quale si riesce a rappresentarel’insieme delle velocita lineari vP di tutti i punti del corpo in rotazione (quello che inseguito sara denominato “campo vettoriale velocita” o “atto di moto”). Dalla conoscen-za del suo modulo, della sua direzione e del suo verso si puo risalire alla velocita (lineare)vP di ogni punto del corpo. Vale, infatti, la relazione fondamentale della cinematicarigida15 che individua il vettore velocita lineare vP del punto P:

vP = (Ct − P )Xω,

(con Ct traccia dell’asse di rotazione individuato dal vettore ω) e questa velocita, cometutti i vettori ordinari, puo essere composta con altri vettori omogenei applicati allostesso punto16. Applichiamo quanto detto all’esempio riportato nella prossima figura4.

In essa (parte a) e mostrato in forma grafica cio che esprime il vettore velocitaangolare ω agente su di un disco circolare attorno all’asse ortogonale al piano dellafigura passante per G17. In tale figura sono stati evidenziati i vettori velocita dei puntidi due diametri del corpo ed in particolare le velocita dei punti A (VA1) e B (VB1),indicati in figura, dovuta alla rotazione del corpo.

Nella parte b di figura e stato rappresentato l’atto di moto del disco derivanteda una traslazione del corpo in direzione orizzontale con velocita VG. Il punto A (maanche il punto B, cosı come tutti gli altri punti), per effetto di tale traslazione, ha unavelocita pari a VG.

15Che sara dimostrata durante il corso16Si immagini un vortice marino, visto da un elicottero, che fa muovere i natanti (fermi rispetto

all’acqua) in senso antiorario, lasciando piana la superficie dell’acqua. L’intero vortice e rappresentatodal vettore ω, che avra una lunghezza tanto maggiore quanto piu forte e la velocita dei natanti mossidall’acqua, di direzione ortogonale alla superficie dell’acqua e rivolto verso il cielo (tale, cioe, da vederei natanti muoversi in senso antiorario). L’intero fenomeno del vortice e rappresentato cinematicamentedal vettore ω. Esso, come abbiamo visto, non puo sommarsi ne con un altro “vettore-vortice” (a menoche non giaccia sullo stesso asse del primo) ne con un singolo vettore velocita (non avrebbe sensonon essendo i due vettori omogenei), pero, attraverso di esso, puo ricavarsi la velocita di ogni natantedovuta al vortice e questa puo sommarsi (vettorialmente) con la velocita del natante rispetto all’acqua,prodotta dal motore del singolo natante.

17La rotazione del corpo e stata indicata dall’arco di cerchio orientato; lo pseudovettore ω eortogonale alla figura, passa per il punto G ed ha un verso che lo porta ad entrare nel foglio.

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Figura 4: Composizione di ω e V in un punto

Quando al disco vengono assegnate contemporaneamente la velocita di traslazioneVG e quella angolare ω, non e pensabile comporre (sommare) i due vettori, perche essinon sono omogenei. Il primo, infatti, rappresenta un ben preciso vettore (la velocitadi un punto), mentre il secondo rappresenta un insieme di vettori velocita (“l’atto dimoto”) diversi l’uno dall’altro18 .

Si potranno, invece, comporre i due vettori-velocita riguardanti lo stesso punto(ad esempio il punto A di figura): quella VA1 = rω derivante dalla velocita di rotazionee quella VA2 = VG derivante dalla traslazione.

In figura 4 (parte c) e mostrato cio per tutti i punti del diametro verticale deldisco ed anche per il solo punto indicato con B.

6 Terna levogira o antioraria

In questo corso tutte le applicazioni riguardanti operazioni sui vettori saranno effettuatecon riferimento ad una terna trirettangola levogira (o antioraria). Per definire unasiffatta terna, indicati con x, y e z gli assi della terna considerata e con i, j e k,rispettivamente, i loro versori, si orientino in modo arbitrario due dei tre assi, adesempio x ed y (assegnando i versi ai loro rispettivi versori i e j). Per individuarequale dei due possibili versi deve avere l’asse z (e con esso il versore k) affinche la ternarisulti levogira o antioraria, immaginiamo l’asse z trasformato in un omino avente latesta in corrispondenza della freccia arbitrariamente assegnata ed i piedi sul piano x-y.La freccia risultera assegnata nel verso giusto se l’omino, guardando i suoi piedi, vedra

18Per creare (forzatamente) una maggiore discontinuita tra i due tipi di vettori si potrebbe dire cheil vettore velocita angolare rappresentata “un’atmosfera” che trasmette all’osservatore la sensazionedi un moto rotatorio subıto da tutti i punti del corpo.

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(idealmente) ruotare il primo vettore (i) sul secondo (j), secondo l’angolo minore di π,in senso antiorario19.

Figura 5: Terna antioraria

Sul lato destro di questa figura e stato rappresentato con un cerchietto il sim-bolo del versore k ortogonale al foglio. Dentro di esso vi e un punto (rappresentantela punta del vettore) se k sta uscendo dal foglio, una croce (rappresentante la coda delvettore), se vi sta entrando.

7 Componenti cartesiane di un vettore

Un qualsiasi vettore u in R3 puo essere espresso attraverso una combinazione linearedi una sua base, costituita, normalmente, dai versori i, j e k degli assi coordinati x, ye z20.

Ossia, si puo scrivere:

u = ux i + uy j + uz k

Le quantita scalari ux, uy ed uz (aventi un proprio segno!) sono dette componen-

ti cartesiane del vettore u (o numeri direttori della direzione individuata dal vettore).

Si puo cosı, ad esempio, scrivere:

i = 1 i + 0 j + 0 k

o, in forma compatta:

19La cosiddetta regola del cavatappi o della mano destra (o sinistra, a seconda di cosa identifica ognidito) che spesso genera confusione, perche non sempre si riesce a ricordare l’identita da assegnare adogni dito. L’ordine di rotazione puo essere modificato permutando gli assi nell’ordine: x → y → z → x(z deve vedere x sovrapporsi ad y in senso antiorario, x deve vedere y sovrapporsi a z (in sensoantiorario) ed y deve vedere z sovrapporsi ad x)

20Si ricorda che una base vettoriale in R3 e costituita da tre vettori linearmente indipendenti, cioetali che uno qualsiasi di essi non possa ricavarsi da una combinazione lineare degli altri due (il che,visivamente, si puo tradurre dicendo che i tre vettori non debbono giacere sullo stesso piano).

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i ≡ [1, 0, 0]

Analogamente si ha:

j ≡ [0, 1, 0] e k ≡ [0, 0, 1]

Un vettore u di modulo 2 giacente sulla bisettrice del 1 e 3 quadrante (nelpiano x-y), in forma cartesiana, si scrive:

u1 =√

2 i +√

2 j + 0 k

oppure:

u2 = (−√

2) i + (−√

2) j + 0 k

Il vettore u1 ≡ [√

2,√

2, 0] e orientato dall’origine verso un punto qualsiasi dellabisettrice del 1 quadrante, mentre quello u2 ≡ [−

√2,−

√2, 0] lo e nel verso opposto

(dall’origine verso il 3 quadrante).

In R3 gli assi dividono lo spazio in 8 regioni (ottanti). L’ottante positivo ela regione di spazio individuata dai punti con coordinate tutte positive. La rettapassante per l’origine degli assi, che forma lo stesso angolo con ognuno di essi, e dettatrisettrice dell’ottante positivo. Un vettore avente una tale direzione, se ha il versoche va dall’origine degli assi verso un punto dell’ottante positivo, presenta tutte e trele componenti uguali (e tutte positive). Indicato con “c” il valore comune delle suecomponenti si puo scrivere:

v = c i + c j + c k

ossia:

v ≡ [c, c, c]

Il modulo di tale vettore e dato da:

| v | = v =√

v2x + v2

y + v2z =

√3 c

La divisione del vettore per il suo modulo permette di ottenere il versore delladirezione orientata che, nell’esempio fatto, avra l’espressione cartesiana data da:

e = vers(v) = v

|v| = 1/√

3 i + 1/√

3 j + 1/√

3 k

ossia:

e ≡ [1/√

3, 1/√

3, 1/√

3] ≡ 1√3∗ [1, 1, 1].

Le componenti cartesiane di un vettore sono chiamate anche “numeri direttori”,mentre quelle di un versore “coseni direttori”21.

21Si chiamano cosı in quanto coincidono con i coseni degli angoli che il versore forma,rispettivamente, con gli assi coordinati scelti.

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8 Prodotto scalare

Dati due vettori u e v, si definisce prodotto scalare tra i due vettori lo scalare datodal prodotto dei moduli dei due vettori per il coseno dell’angolo tra essi formato22.

In formule:

u · v =| u | | v | cos(φ)

Figura 6: Angolo tra due vettori

In figura 6 l’angolo Φ1 e formato dal vettore F1 con l’asse y, Φ2 quello formatoda F2 con l’asse x, mentre Φ3 e l’angolo formato tra i due vettori.

In base a tale definizione si ha:

i · j = j · i = 0; i · k = k · i = 0; j · k = k · j = 0

i · i = 1; j · j = 1; k · k = 1

La forma cartesiana di un prodotto scalare, quindi, si scrive:

u · v = (uxi + uyj + uzk) ∗ (vxi + vyj + vzk) = uxvx + uyvy + uzvz.

9 Prodotto vettoriale

Dati due vettori u e v, scelta una terna trirettangola levogira, si definisce prodotto

vettoriale u × v il vettore w23 avente modulo pari a | u || v | sin(φ) (con φ l’angolotra i due vettori), direzione ortogonale al piano individuato dai due vettori e verso taleche la terna di vettori (nell’ordine u, v e w) sia antioraria o levogira.

In formule:22Si ricorda che l’angolo formato da due vettori e quello minore o uguale a π formato tra le frecce

dei due vettori.23Sarebbe piu corretto dire lo pseudovettore, cosı com’e stato precisato in questi appunti

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Figura 7: Prodotto vettoriale con terna levogira

w = u × v =| u || v | sin(φ) r

avendo indicato con r il versore della normale al piano formato dai due vettori,orientato in modo da formare con u e v una terna antioraria.

In base a tale definizione sia b il vettore risultante dal prodotto vettoriale tra iversori i e j. Cioe:

i × j = b

Si vede facilmente che tale vettore coincide proprio con il versore k. Infatti,essendo i due versori i e j tra loro ortogonali, il modulo del vettore b e unitario ede, percio, un versore; dovendo, poi, essere ortogonale al piano individuato da essi,deve risultare parallelo a z ed il suo verso deve essere tale che la terna i, j e b risultiantioraria, cosı come lo e la terna di versori i, j e k della terna x, y, z assunta comeriferimento. Non puo, quindi, che essere

b ≡ k

Si ricorda, poi, in base alla definizione di prodotto vettoriale che:

i × j = k mentre j × i = −k

Infatti, mentre il modulo e la direzione rimangono uguali per i due vettori alsecondo membro, i loro versi risulteranno opposti, in quanto uno deve “vedere” ruotareil primo vettore (i) sul secondo (j) secondo l’angolo minore di 180 gradi, in senso an-tiorario, mentre l’altro deve “vedere” ruotare il primo vettore (che ora e j) sul secondo(i) ancora in senso antiorario; perche cio possa avvenire il verso deve essere opposto aquello del primo vettore.

Analogamente, permutando ciclicamente (i → j → k → i) si ha:

j × k = i (k × j = −i) e k × i = j (i × k = −j)

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Due importanti precisazioni:

Se la terna di riferimento fosse stata scelta destrogira, (o oraria) il verso delvettore w = u × v sarebbe stato quello che avrebbe fatto “vedere” al vettore wla sovrapposizione del primo vettore u sul secondo v (secondo l’angolo minoredi π) in senso orario (parte (b) di figura). Notare come con la stessa notazione(“w = u × v”) avremmo avuto, a seconda della scelta della “classe” della terna(levogira o destrogira), due diverse rappresentazioni dello stesso vettore (unaopposta all’altra).

L’inversione dei tre assi di una terna levogira trasforma la stessa in destrogira(vedi figura, parte (c))

Figura 8: Terna oraria, antioraria e con assi invertiti nei versi

10 Componente ortogonale di un vettore secondo

una direzione orientata

Nelle applicazioni di Statica ci si imbatte continuamente nella determinazione del-la componente di un vettore (generalmente di una forza) secondo una determinatadirezione orientata. Spesso ad essa lo studente assegna erroneamente una direzioneorientata (una freccia) o le attribuisce un segno in base “all’umore del momento”, cherisulta, percio, non sempre corretto.

Ho voluto, quindi, per agevolare le successive applicazioni, riprendere la definizionerigorosa ed univoca di componente di un vettore u lungo una direzione r orientata (diversore e), aggiungendo dei semplici esempi.

E’ nota la componente ortogonale ur di un vettore u su una direzione rorientata di versore e lo scalare risultante dal prodotto del modulo del vettore per ilcoseno dell’angolo (≤ π) formato dai due vettori24.

24Definito, come gia detto in questi appunti, come l’angolo (≤ π) formato tra le frecce dei duevettori.

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In modo equivalente, tenuto conto della definizione data al prodotto scalare,viene definita la componente ortogonale ur di un vettore u su una direzione orien-tata “r” di versore e, lo scalare risultante dal prodotto scalare tra il vettore dato ed ilversore della direzione orientata r su cui si vuole la componente.

In formule: ur = u · e

ossia:

ur = |u| |e| cos(φ) ur = |u| cos(φ)25.

Da questa definizione scaturisce che :

1. la componente di un vettore e uno scalare che, per tale motivo, non puo essererappresentato con una freccia;

2. il vettore ottenuto dal prodotto della componente con il versore della retta su cuisi e proiettato, cioe ur = ure, e detto “vettore componente” ed esso puo (anzideve) essere rappresentato con un orientamento;

3. la componente ha un proprio segno: positivo se l’angolo formato tra le frecce deidue vettori e acuto, negativo in caso contrario. Avra, ovviamente, valore nullo sei vettori sono tra loro ortogonali;

4. la componente di un vettore non e data dalla proiezione (ortogonale) del vettoresulla retta su cui si va a proiettare. Cio e vero solo se l’angolo tra i due vettori eacuto. In caso contrario essa e data dall’opposto di tale proiezione;

5. in una somma simbolica di componenti e errato assegnare un segno, nella formula,alle singole componenti. Cosı, ad esempio, se u1 e un vettore parallelo e concorde

ad x (diretto, cioe, verso destra) e u2 un vettore parallelo e discorde ad x (diretto,quindi, verso sinistra) e errato esplicitare la somma assegnando ad ogni termineun segno in base all’orientamento del vettore. La scrittura:

∑

uix = u1x − u2x26

per rappresentare la somma dei due vettori e errata27.

25avendo indicato con φ l’angolo (≤ π) formato dai vettori u ed e26la prima col segno + in quanto u1 e diretto verso destra, la seconda col segno - perche diretto

verso sinistra27La forma corretta di scrittura della somma e:

∑

uix = u1x+u2x. Il segno degli scalari e portatoda ognuna delle componenti!

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11 Un suggerimento per il calcolo “pratico” delle

componenti di un vettore

Data l’importanza dell’argomento, ho ritenuto opportuno riportare degli esempi chemostrano come calcolare velocemente le componenti di un vettore su due direzioniorientate tra loro ortogonali.

Consideriamo a tal proposito (fig.8) il vettore u = A − O giacente sulla retta“r” la cui inclinazione e individuata dalle distanze note “a” e “b” indicate in figura28.

Figura 9: Componenti di un vettore

Immaginiamo di scomporre il vettore u nei due “vettori componenti” ad essoequivalenti:29 uxi ed uyj. Il verso dei vettori componenti ci suggerisce il segno perle componenti: positivo (come in questo caso) se concordi agli assi, negativo in casocontrario. Restano, quindi, da calcolare solo i valori assoluti: |ux| ed |uy| in funzionedegli elementi noti che sono il modulo del vettore u e le distanze “a” e “b” di figura.

Dalla similitudine dei triangoli BCO e ADO si puo scrivere (tenendo conto che|ux| = OD ed |uy| = AD):

BCCO

= ADDO

ossia ba

= |uy ||ux|

che permette di scrivere una componente in funzione dell’altra:

|uy| = ba|ux|.

Applicando quindi il teorema di Pitagora:

28Che rappresentano, a parte il segno, i numeri direttori della retta r.29L’equivalenza di due sistemi di vettori applicati costituisce un argomento che sara approfondito

durante lo svolgimento del corso. In questi esempi si richiede unicamente di scomporre un vettore neidue vettori componenti, secondo la regola del parallelogramma, e di lasciarli nello stesso punto in cuie applicato il vettore di partenza.

16

|ux|2 + |uy|2 = |u|2 cioe |ux|2 + ( ba|ux|)2 = |u|2

possiamo ricavare il modulo della componente ux:

|ux| = a√a2+b2

|u|

e, di conseguenza, quello della componente |uy| in funzione degli elementi noti:

|uy| = ba|ux| = b√

a2+b2|u|30

In definitiva la regola prevede l’assegnazione del segno delle componenti in baseal verso dei vettori componenti ed il calcolo dei loro moduli attraverso il teorema diPitagora.

Qualche esempio potra chiarire meglio quanto si e detto.

Figura 10: Struttura caricata da forze

In fig.10 e riportata una struttura caricata con una sollecitazione attiva costitui-ta da un carico uniformemente distribuito d’intensita pari a 2 kN/m (chilo-Newton ametro), da due forze concentrate F1 ed F2 d’intensita rispettivamente pari a 20 e 30 kN(chilon-Newton) e da un momento concentrato di 6 kNm (chilon-Newton per metro).Su tale struttura, inoltre, sono state indicate alcune delle reazioni vincolari esercitatedai vincoli: la reazione X1 del nodo A sul pendolo AC e le reazioni X2 (assiale) ed X3

(ortogonale all’asse CD) del nodo D sull’asta CD.

30Mentre a e b rappresentano i numeri direttori della retta r (a parte il segno) le quantita: α =a

√

a2+b2e β = b

√

a2+b2rappresentano i coseni direttori di essa.

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Nelle figure che seguono sono stati evidenziati i vettori componenti, lungo x edy, della forza attiva F1 (fig.11), di quella F2 (fig.12) e delle reazioni vincolari X1 ed X2

(fig.13). I loro versi indicano immediatamente i segni che hanno le componenti, mentrei loro moduli, legati dalle relazioni riportate sulle singole figure, vengono qui appressocalcolati con il teorema di Pitagora.

Figura 11: Componenti della forza attiva F1

Con riferimento alla figura 11, scomposto il vettore F1 nei due vettori componen-ti, si individua il segno positivo della componente su x (in quanto il vettore componentesu x risulta ad esso concorde), nonche quello su y che risulta negativo (perche il vettorecomponente su y e discorde ad y). Per quanto riguarda i moduli, si rileva che la rettaBD ha una inclinazione pari ad AD/AB = 6L/2L = 3. Cio sta a dire che il vettore F1

(che ha la stessa inclinazione della retta BD) ha il modulo della componente su xpari a 3 volte quello della componente su y.

Cioe:

|F1x| = 3|F1y|

e, per il teorema di Pitagora, si ha:

F 21x + F 2

1y = F 21

cioe:

(3F1y)2 + F 2

1y = 202

10F1y2 = 400

|F1y| =√

40

Quindi

|F1x| = 3|F1y| = 3√

40

18

In definitiva, ricordando i segni, si ha:

F1x = 3√

40 e F1y = -√

40

Figura 12: Componenti della forza attiva F2

In figura 11 i segni delle due componenti scalari sono entrambi negativi ed i loromoduli sono in rapporto di 1 a 5 (|F2x| = 5 |F2y|).

Risulta:

(5F2y)2+ F 2

2y = 302V 26(F2y)

2 = 900 V |F2y|=30/√

26 e |F2x| = 5 |F2y| = 150/√

26

E, ricordando i segni, si ha:

F2x = −150/√

26 e F2y = −30/√

26.

Allo stesso modo in figura 12 sono stati evidenziati i vettori componenti di X 1

e X2.

Figura 13: Componenti delle reazioni vincolari X1 e X2

Le componenti (scalari) di tali vettori risultano pari a:

X1x = +2/√

5X1 e X1y = +1/√

5X1

X2x = −1/√

2X2 e X2y = +1/√

2X2.

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12 Un chiarimento sulla definizione analitica di pseu-

dovettore

Riprendiamo la definizione di pseudovettore riportata nella Enciclopedia Treccani: “Un

vettore le cui componenti cartesiane non cambiano di segno se si inverte il verso dei tre

assi del sistema di riferimento”. Essa, ad una lettura non sufficientemente attenta edapprofondita, genera il convincimento che la proprieta che sta alla base della definizionedi pseudovettore non corrisponda al vero per un vettore espresso da un prodotto vet-toriale. Proviamo a sviluppare, infatti, il ragionamento (errato) che porta al risultatosuddetto per capire dove si nasconde l’errore.

Fissiamo, quindi, una terna di riferimento [x,y,z] levogira e consideriamo il vet-tore w definito dal prodotto vettoriale tra i vettori u e v supponiamo, inoltre, persemplicita, che i vettori u e v siano sovrapposti, rispettivamente, agli assi x ed y esiano ad essi concordi. Il vettore w, come abbiamo visto, avra la direzione ed il versodell’asse z e, quindi, le prime due componenti nulle e la terza (su z) positiva (perche we concorde a z).

Invertiamo ora i versi di tutti e tre gli assi (ma non quello dei vettori, ovvia-mente). Il vettore w ora risulta giacere, come prima, sul nuovo asse z che, pero, ha ilverso opposto al primo e percio sara da esso discorde e, conseguentemente, avra la terzacomponente negativa. Dato che, invertendo gli assi, una delle componenti del vettorew (quella su z) cambia di segno dovremmo dedurre che esso non e uno pseudovettore.

Figura 14: Definizione formale di pseudovettore

Questo ragionamento presenta un sottile ma fatale errore: quello di non tenerconto che la terna di riferimento, assunta inizialmente levogira, nel momento in cuisi sono invertiti i versi degli assi, ha cambiato “classe”, cioe non rimane piu tale e,diventata destrogira, il prodotto vettoriale degli stessi vettori u e v, ancorche sia definitosempre allo stesso modo, non e piu lo stesso di prima, ma il suo opposto31. Il vettorew risulta, percio, ancora concorde al nuovo asse z, le sue componenti cartesiane sonorimaste invariate ed esso, ora, si puo qualificare come uno pseudovettore, secondo ladefinizione riportata nell’enciclopedia.

31Infatti, come si e visto, se la terna e destrogira il prodotto vettoriale vede la rotazione del primovettore sul secondo in senso orario!.

Indice

1 Premessa 3

2 Grandezze scalari, vettoriali, tensoriali 3

3 Vettore libero, vettore applicato 4

4 Vettori e Pseudovettori 4

5 Lo pseudovettore velocita angolare 6

6 Terna levogira o antioraria 9

7 Componenti cartesiane di un vettore 10

8 Prodotto scalare 12

9 Prodotto vettoriale 12

10 Componente ortogonale di un vettore secondo una direzione orientata 14

11 Un suggerimento per il calcolo “pratico” delle componenti di un vettore 16

12 Un chiarimento sulla definizione analitica di pseudovettore 20

Elenco delle figure

1 Composizione di due pseudovettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Somma di due rotazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Rotazione attorno ad un asse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Composizione di ω e V in un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Terna antioraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Angolo tra due vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Prodotto vettoriale con terna levogira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Terna oraria, antioraria e con assi invertiti nei versi . . . . . . . . . . . 149 Componenti di un vettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1610 Struttura caricata da forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1711 Componenti della forza attiva F1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1812 Componenti della forza attiva F2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1913 Componenti delle reazioni vincolari X1 e X2 . . . . . . . . . . . . . . . 1914 Definizione formale di pseudovettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20