bedömningsstöd i matematik på gymnasial nivå bedömning av … · 2018-01-15 · 2...

Bedömningsstöd i matematik, 20141

Materialet har framställts under 2013 av PRIM-gruppen vid Stockholms universitet i samarbete med Institu-tionen för tillämpad utbildningsvetenskap vid Umeå universitet med stöd från Skolverket.

Syftet med materialet är att stödja lärare vid bedömning av elevers prestationer när de arbetar med muntliga uppgifter i matematik. Materialet visar två olika bedömningssituationer dels ett gruppsamtal i likhet med munt-liga delprov i nationella prov för kurs 1 och dels elevpresentationer i likhet med motsvarande för kurs 2, 3 och 4.1 Materialet passar bra att använda på en studiedag. Det är viktigt att det finns tid till diskussion.

Innehåll1. Bedömning av muntliga prestationer. – Två modeller

Studiehandledning 2–5

Se film 1 Bedömning av muntliga prestationer

2. Muntlig Bedömning – gruppsamtal kurs 1

2.1 Spelande på internet, tabell (bilaga 1) 1:1

2.2. Uppgiften (bilaga 2) 2:1

2.2 Bedömningsmatris (bilaga 3) 3:1

2.3 Lärarnas gemensamma bedömning kurs 1 (bilaga 4) 4:1

Se film 2 Muntligt delprov i matematik kurs 1

Se film 3 Lärardiskussion kring bedömning kurs 1

3. Muntlig bedömning – presentationer (kurserna 2–4) 3.1 Bedömningsmatris och uppgifter (bilaga 5) 5:1–4

3.2 Elevernas skriftliga lösningar (bilaga 6) 6:1–6

3.3 Utskrifter av elevernas muntliga redovisningar (bilaga 7) 7:1–5

3.4 Exempel på lärarbedömningar (bilaga 8) 8:1–2

Se film 4 Muntligt delprov i matematik kurs 2 – Ylva, Frida, Robin

Se film 5 Robins presentation – Uppgift 3

Se film 6 Sofies presentation – Uppgift 3

Se film 7 Helenas presentation – Uppgift 3

1 Med kurs 1-4 avses i materialet kurserna matematik 1a, 1b och 1c, matematik 2a, 2b och 2c, matematik 3b och 3c samt matematik 4.

Bedömningsstöd i matematik på gymnasial nivå

Bedömning av muntliga prestationer


Studiehandledning till filmer kring bedömning av muntliga prestationerSedan drygt tio år har det nationella provet i årskurs 9 innehållit ett muntligt delprov. Även för gymnasieskolans matematik kurs C och D har det sedan 2003 funnits ett frivil-ligt muntligt bedömningsstöd.

Idag framhålls än tydligare elevens muntliga prestationer i matematik som en viktig aspekt i ämnesplanens syfte, förmågor och kunskapskrav. Med Gy 2011 infördes obliga-toriska muntliga provdelar i gymnasieskolans nationella prov.

Filmerna med tillhörande material som presenteras i denna studiehandledning kan fung-era som en del av en fortbildning/kompetensutveckling i bedömning av elevers muntliga prestationer.

Bedömning av muntlig kommunikation

Olika typer av kommunikationElever kan visa sina kunskaper i matematik på olika sätt: i handling, skriftligt eller munt-ligt. I den muntliga kommunikationen ingår att uttrycka sig begripligt och att använda korrekt och relevant matematisk terminologi. Dessutom ingår att ta del av andras argu-ment och själv kunna argumentera för sina synpunkter.

Olika typer av bedömningssituationerElevers muntliga prestationer i matematik kan bedömas i olika typer av situationer. Dessa kan illustreras med följande bilder.

FörhörEleven utreder problem eller svarar på frågor ställda av läraren.

Föredrag, presentationEleven håller en presentation, redovisar en problemlösning eller liknade inför en grupp eller en hel klass.

Grupparbete, samtalEleverna löser och diskuterar problem tillsammans i grupp eller för ett samtal. Läraren följer eller leder samtalet.

Det finns muntliga delprov i kurs 1 som är skapade enligt den tredje modellen och i kurs 2-4 enligt den andra modellen. Just nu är dessa delar endast obligatoriska på proven i kurs 1 och kurs 3.

elevlärare

elev

elev elev

elev

elev

elev

elevelev

lärare

lärare


Vad innehåller bedömningsstödet?Materialet innehåller, utöver denna studiehandledning, sju filmer och till dem relaterade pdf-filer i form av bilagor med med följande innehåll:

1. En diskussion kring muntlig bedömning i matematik och en kort presentation av materialet.

2. Ett gruppsamtal, med tre elever från kurs 1.

3. Lärardiskussion om hur dessa elevers visade kunskaper kan bedömas med stöd av en uppgiftsspecifik bedömningsmatris.

4–7. Muntligt prov, i form av redovisning i grupp, med tre elever från kurs 2 och två lärare. Dessutom tre kortare filmer som visar olika elevpresentationer av en och samma matematikuppgift. En av dessa kortare filmer ingår också som del i den större gruppredovisningen.

Avsikten med filmerna är att lärare ska få möjlighet att analysera vilket kunnande eleverna i filmerna visar, men också att de ska få stöd i sin analys och bedömning av utarbetade bedömningsunderlag. Lärardiskussionen i materialet kan ses som ett extra bidrag till det stödet.

Det skriftliga materialet innehåller uppgifter och bedömningsanvisningar till uppgifterna men också bland annat förslag till hur bedömningsstödet kan användas. Observera att filmerna inte har spelats in då eleverna genomfört det muntliga delprovet i samband med nationella proven utan eleverna har utifrån autentiska bedömningssituationer fått olika roller att spela.

Hur kan filmerna användas?Filmerna visar exempel på situationer för bedömning av muntliga prestationer.Det första exemplet visar bedömning av muntliga prestationer i kurs 1. En lärare fördelar frågor och leder en diskussion mellan tre elever. Varje elev har fått statistiska resultat i form av en tabell och ett diagram kring spelande på internet. Uppgiften går ut på att varje elev utifrån den givna statistiken får besvara några frågor. Vi får följa hela det muntliga delprovet.

I nästa film får vi sedan följa en grupp lärare som bedömer elevprestationerna. Lärarna har sett filmen och fyllt i bedömningsmatrisen var och en för sig. Deras enskilda bedöm-ningar har sedan sammanställts. Lärarna diskuterar sedan utifrån sammanställningen med målet att enas om en gemensam bedömning.

Nästa exempel visar muntliga prestationer i kurs 2. Eleverna har någon dag tidigare förberett sig genom att lösa var sin matematikuppgift och sedan tänka ut en presentation av lösningen till denna uppgift. I den första filmen får vi följa ett genomförande av ett muntligt delprov med en grupp med tre elever och två lärare. Eleverna presenterar sina lösningar för varandra och för lärarna.

Slutligen finns det tre kortare filmer som var och en visar en elevpresentation, där elever-na har löst samma matematikuppgift. (En av dessa filmer ingår också som del i den första filmen med gruppredovisningen.) Tanken med dessa tre filmer är att visa på och göra det möjligt att jämföra olika kvaliteter i elevernas redovisningar, vilket kan vara enklare om det är samma matematikuppgift som eleverna behandlar.I det övriga material som följer med så finns exempel på bedömning med hjälp av den generella bedömningsmatris som hör till det muntliga delprovet för kurs 2 (bilaga 5). Det finns också möjlighet att se elevernas skriftliga lösningar samt utskrifter av elevernas muntliga redovisningar (bilagor 6 och 7).

4 Bedömningsstöd i matematik, 2014

Filmerna passar bra att använda som fortbildning på en studiedag. Det är viktigt att det finns tid för diskussioner. Materialet är inte framtaget som instruktionsfilmer för bedöm-ning av nationella prov.

Bedömningsmaterialet för kurs 2–4 är hämtat från det nationella kursprovet för kurs 2 vårterminen 2012 men kan även användas som fortbildningsmaterial för kurserna 3 och 4 då samma generella bedömningsmatris används i alla dessa kurser. Principen för genomförandet är densamma även om innehållet i uppgifterna skiljer sig åt på grund av kursernas olika centrala innehåll.

Ett sätt att använda filmen för kurs 1 för fortbildning är 1. Läs igenom uppgift och bedömningsmatris (bilaga 1, 2 och 3).

2. Titta på filmen som visar elevernas arbete. Gör anteckningar, men kommenterahelst inte. Bedömningsmatris till uppgiften finns som bilaga 3. Gör bedöm-ningen under filmens gång.

3. Titta gärna igenom samma avsnitt ännu en gång och stanna upp och ta om avsnitt när det finns behov av det.

4. Jämför era iakttagelser, argumentera för er bedömning av de olika eleverna och försök att enas om en bedömning. Vad gjorde att ni kunde enas? Vad gjorde att ni inte kunde enas?

5. Titta nu på lärardiskussionen och jämför med er bedömning. Observera att filmens lärare inte levererar något facit. Se deras bedömning (bilaga 4) som ett exempel på hur man kan bedöma elevers muntliga prestationer.

Ett sätt att använda filmerna för fortbildning för kurserna 2–4 är 1. Läs igenom och lös själv de matematikuppgifter som eleverna har i uppgift att presen-

tera och studera bedömningsmatrisen (bilaga 5). Fundera över vilka beskrivningar och förklaringar samt vilken terminologi som kan vara aktuell för de olika matematikupp-gifterna.

2. Titta på filmerna som visar elevernas presentationer och gör själv en bedömning av deras prestationer med hjälp av den generella bedömningsmatrisen (bilaga 5). Det kan vara bra att ha elevens skrivna lösning till hands i samband med detta, då blir det lätt-are att följa med i deras redovisning (se bilaga 6) Gör gärna anteckningar och försök göra bedömningen under filmernas gång.

3. Titta gärna igenom samma avsnitt ännu en gång och stanna upp och ta om avsnitt när det finns behov av det. Det finns också möjlighet att titta på utskrifter av elevernas muntliga redovisningar (bilaga 7).

4. Jämför era iakttagelser, argumentera för er bedömning av de olika eleverna och försök att enas.

5. Jämför till sist med det exempel på bedömning som följer med materialet (bilaga 8). Observera att denna bedömning endast ska ses som ett exempel och inte som ett facit.

Exempel på frågor att diskutera i anslutning till filmerna1. Hur kan man påverka så att eleverna känner trygghet och kan göra sitt bästa för att

visa sitt kunnande?

2. Hur påverkas bedömningen om läraren känner eleven?

3. Vilka elever gynnas eller missgynnas vid de olika bedömningssituationerna?

5 Bedömningsstöd i matematik, 2014

Frågor riktade enbart till modell för kurs 14. Hur ska man sätta samman elevgrupper, för att alla elever ska få maximal chans att

visa vad de kan?

5. Vilket matematiskt kunnande ger uppgiften möjlighet att visa och hur kan eleverna visa det?

6. Vilken är skillnaden på enkla, välgrundade och välgrundade och nyanserade matema-tiska resonemang?

7. På vilka olika sätt kan en elev visa delaktighet?

8. Hur mycket och när ska läraren lägga sig i diskussionen?

Frågor riktade enbart till modell för kurserna 2–49. Vid några tillfällen i filmerna går lärarna in och ställer några följdfrågor. Diskutera

om det var lämpligt att de gjorde så. På vilket sätt påverkade det er egen slutliga bedömning?

10. Var förekommer det beskrivningar och förklaringar i elevernas presentationer?

11. Vilka beskrivningar och förklaringar är nödvändiga?

12. Hur utförligt behöver eleverna redovisa?

13. När det gäller elevernas redovisning, vilka krav kan ställas på: 1) fullständighet, rele-vans och struktur; 2) förklaringar och beskrivningar; 3) terminologi?

14. Hur likvärdiga är de olika matematikuppgifterna som eleverna har fått?

15. Vilka egenskaper bör en matematikuppgift ha som är lämplig för den här typen av bedömning?

Bedömningsstöd i matematik, 20141:1

Bilaga 1 – Spelande på internet – tabeller

Tabellen visar hur stor andel av befolkningen som spelade spel på internet en genomsnitt-lig dag under tidsperioden 2004–2010 (%).

Kön Ålder

Totalt Män Kvinnor 9–14 15–24 25–44 45–64 65–79

2004 1 2 0 3 3 1 1 –

2005 3 4 1 9 5 2 1 1

2006 6 10 3 24 15 5 2 1

2007 7 9 4 27 18 4 2 1

2008 6 9 3 26 16 4 2 1

2009 7 10 4 26 19 5 2 1

2010 10 14 7 27 24 11 4 1

Diagrammet visar hur stor andel av befolkningen 9–79 år som spelade spel på internet en genomsnittlig dag år 2010 (%).

Källa: Nordicom-Sverige

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

0

Män

Kvinnor

9–14 år 15–24 år 25–44 år 45–64 år 65–79 år


Bilaga 2 – Det muntliga provet i matematik för kurs 1–uppgiften

Uppgiften är hämtad från den muntliga provdelen ur nationella provet Kurs 1 våren 2012. Hela denna version och ytterligare en version av kursprovet finns på www.prim-gruppen.se.

Följande påståenden får eleverna Julia (J), Emma(E) och Marcus(M) ta ställning till utifrån tabell och diagram.

1.(J): Andelen av befolkningen i åldersgruppen 15–24 år som spelade spel på internet en genomsnittlig dag minskade mellan år 2007 och år 2008.

3.(E): Ungefär en tredjedel av männen i åldern 15–24 år spelade spel på internet en genomsnittlig dag år 2010.

4.(M): Andelen kvinnor som spelade spel på internet en genomsnittlig dag har mellan åren 2009 och 2010 nästan fördubblats.

6.(J): Andelen av befolkningen i åldersgruppen 45–64 år som spelade spel på internet en genomsnittlig dag ökade mellan år 2004 och år 2010 med 400 %.

7.(M): I åldersgruppen 9–14 år var det tre gånger så många som spelade spel på inter-net år 2010 jämfört med år 2005.

10.(E): Andelen män som spelade spel på internet en genomsnittlig dag år 2004 ut-gjorde 1 % av den totala befolkningen.

12.(M): Dubbelt så många 30-åriga män som 30-åriga kvinnor spelade spel på internet år 2010.

Här följer de diskussionsfrågor kring vilka eleverna diskuterar i filmen.

1. Hur förhåller sig tabell och diagram till varandra?

3. Fanns det inga kvinnor och ingen i åldersgruppen 65–79 år som spelade spel på inter-net en genomsnittlig dag år 2004?

6. Hur skulle man kunna förändra diagrammet för att förstärka skillnaden mellan ande-len män och kvinnor som spelade spel på internet?

7. Hur skulle en speltillverkare kunna använda informationen i tabell och diagram för sin spelutveckling?


Bilaga 3 – Bedömningsmatris till Spelande på internet, max 4/5/4

E C A

Begrepp

ProcedurerHantera procedurer och lösa uppgifter av stan-dardkaraktär.

Eleven gör någon enkel avläsning i tabell eller diagram.

+EP

Eleven gör flera korrekta avläsningar och använder dessa i beräkningar, t.ex. förhållande eller procentu-ella förändringar.

+CP

ProblemlösningAnalysera och lösa ma-tematiska problem samt tolka och värdera metoder och resultat.

Eleven gör enkla tolk-ningar utifrånsina avläsningar och beräkningar.(t.ex. i påstående 1–6)

+EPL

Eleven använder begrepp och samband mellan begrepp i problemlösning genom att skilja mellan antal och andel.(t.ex. påstående 7–8och vid enklare svar i påstående 9–12 eller i diskussionen)

+CPL

Eleven synliggör komplexi-tet i problemet, t.ex. ge-nom att påpeka att olika helheter och grupperingar påverkar slutsatsen.(t.ex. vid utförligare svar i påstående 9–12 eller i diskussionen)

+APL

Matematiska modeller

Matematiska resonemangFölja, föra och bedöma matematiska resone-mang.

Eleven för ett enkelt reso-nemang kring någon eller några avläsningar.

+ER

Eleven bidrar med enkla omdömen vid andra elevers redovisningar eller i diskussionen.

+ER

Eleven för välgrundade resonemang utifrån tabell och diagram samt bidrar med egna idéer och förklaringar vid andra elevers redovisningar eller i diskussionen.

+CR

Eleven för välgrundade och nyanserade matema-tiska resonemang och tar del av andras argument samt vidareutvecklar egna och andras resonemang.

+AR

KommunikationMuntligt kommunicera matematiska tankegångar.

Eleven uttrycker sig tydligt och det är möjligt att följa förklaringarna under större delen av provtillfäl-let.

+2CK

Eleven uttrycker sig med säkerhet och använder ett lämpligt matematiskt språk, t.ex. genom att genomgående korrekt använda relevanta mate-matiska begrepp.

+2AK


Bilaga 4 – Den gemensamma lärarbedömningen av elevprestationerna i kurs 1

E C A

Begrepp

ProcedurerHantera procedurer och lösa uppgifter av stan-dardkaraktär.

J E M

+EP

E M

+CP

ProblemlösningAnalysera och lösa ma-tematiska problem samt tolka och värdera metoder och resultat.

J E M

+EPL

E M

+CPL

E M

+APL

Matematiska modeller

Matematiska resonemangFölja, föra och bedöma matematiska resone-mang.

J E M

+ER

J E M

+ER

E M

+CR

E M

+AR

KommunikationMuntligt kommunicera matematiska tankegångar.

J E M

+2CK

M

+2AK

Julia (J): 4/2/0 Emma (E): 4/5/2 Marcus (M): 4/5/4

Den inbördes placeringen i rutan är slumpmässig.


Bilaga 5 – Kurs 2–4: Bedömningsmatris för bedömning av muntlig kommunikativ förmåga

Kommunikativ förmåga E C A Max

Fullständighet, rele-vans och struktur

Hur fullständig, rele-vant och strukturerad elevens redovisning är.

Redovisningen kan sakna något steg eller innehålla något ovidkommande.

Det finns en övergri-pande struktur men redovisningen kan bit-vis vara fragmentarisk eller rörig.

(1/0/0)

Redovisningen är fullständig och endast relevanta delar ingår.

Redovisningen är välstrukturerad.

(1/0/1) (1/0/1)

Beskrivningar och förklaringar

Förekomst av och utförlighet i beskriv-ningar och förklaringar.

Någon förklaring förekommer men tyngdpunkten i redo-visningen ligger på beskrivningar.

Utförligheten i de be-skrivningar och de för-klaringar som framförs kan vara begränsad.

(1/0/0)

Redovisningen inne-håller tillräckligt med utförliga beskrivningar och förklaringar.

(1/0/1) (1/0/1)

Matematisk terminologi

Hur väl eleven an-vänder matematiska termer, symboler och konventioner.

Eleven använder ma-tematisk terminologi med rätt betydelse vid enstaka tillfällen i redovisningen.

(1/0/0)

Eleven använder ma-tematisk terminologi med rätt betydelse och vid lämpliga tillfäl-len genom delar av redovisningen.

(1/1/0)

Eleven använder ma-tematisk terminologi med rätt betydelse och vid lämpliga till-fällen genom hela redovisningen.

(1/1/1) (1/1/1)

Summa (3/1/3)


Uppgift 1. Lösning av ekvationssystem Namn:________________________________________

a) Lös ekvationssystemet algebraiskt.

b) Lös ekvationssystemet grafiskt.

Vid bedömning av din muntliga redovisning kommer läraren att ta hänsyn till:Hur fullständig, relevant och strukturerad din redovisning ärHur väl du beskriver och förklarar tankegångarna bakom din lösningHur väl du använder den matematiska terminologin

{ 2x – y = 8 3x + 2y = 5

{ x – y = 8 2y + 4x = –6


Uppgift 3. Bestäm linjens ekvation Namn:________________________________________

I figuren visas grafen till en rät linje och grafen till en andragradsfunktion som har minsta värdet – 8. Linjen och grafen till andragradsfunktionen skär varandra på x-axeln.

Bestäm linjens ekvation.



Uppgift 4. Kaffetemperaturen Namn:________________________________________

Johan fyller en termos med hett kaffe och placerar den genast utomhus där temperaturen är 0°C. Temperaturen hos kaffet avtar exponentiellt med tiden. I tabellen visas kaffetemperaturen vid några olika tidpunkter. Kaffet anses drickbart så länge dess temperatur inte understiger 55°C.

Tid (h) Temperatur (°C)

0 93

6,0 50

Bestäm hur lång tid efter att Johan ställt ut termosen som kaffet är drickbart.



Bilaga 6 – Kurs 2: Elevernas skriftliga lösningar

Uppgift 1. Lösning av ekvationssystem Namn:________________________________________

a) Lös ekvationssystemet algebraiskt.

b) Lös ekvationssystemet grafiskt.


{ 2x – y = 8 3x + 2y = 5

{ x – y = 8 2y + 4x = –6

Ylva






Robin






Sofie






Helena


FridaUppgift 4. Kaffetemperaturen Namn:________________________________________

Johan fyller en termos med hett kaffe och placerar den genast utomhus där temperaturen är 0°C. Temperaturen hos kaffet avtar exponentiellt med tiden. I tabellen visas kaffetemperaturen vid några olika tidpunkter. Kaffet anses drickbart så länge dess temperatur inte understiger 55°C.

Tid (h) Temperatur (°C)

0 93

6,0 50

Bestäm hur lång tid efter att Johan ställt ut termosen som kaffet är drickbart.



Bilaga 7 – Utskrifter av elevernas muntliga redovisningar

Film 4: Muntligt delprov i matematik Kurs 2 – Ylva, Frida, Robin

Vi ska nu följa tre elever från kurs 2 i matematik som genomför ett muntligt delprov. Delprovet ingick i det nationella provet i matematik, kurs 2 våren 2012. Eleverna fick på lektionen dagen innan varsin matematikuppgift som de fick lösa och sedan också förbere-da en presentation av lösningen. Läraren samlade in deras arbetsmaterial efter lektionen. Vi kommer att få följa hela gruppredovisningen med eleverna Ylva, Frida och Robin och deras lärare Gunilla och Klas.

Klas: Igår så förberedde ni er och nu ska ni få tillbaks era uppgifter. Ylva här är din, Frida och Robin. Känner ni er redo för att börja? Vi börjar med dig Ylva, varsågod.

Ylva

Jag har då uppgift 1, lösning av ekvationssystem. Jag börjar med den algebraiska och den var då att jag skulle lösa och 2x – y = 8 och 3x + 2y = 5.Så jag multiplicerade jag med 2 här på den 1:a och fick 4x + 2y = 16 och den andra är samma då och sen så använde jag additionsmetoden här och fick 7x på ena sidan och 21 på andra och sen så delar jag med 7 på båda sidor och fick då att x = 3. Ja, och sen använ-der jag 1:a ekvationen igen och fick att 2 ∙ 3 – y = 8 så att 6 – y blir 8 då och att y = –2 och då är svaret då x = 3 och y = –2.

Och så var nästa uppgift då som jag skulle lösa grafiskt och då var det att jag skulle lösa x + y = 9 och att 2y – 4 x = –6 och sen så skrev jag om det så att jag fick y på ena sidan och något annat på andra sidan och då fick jag att y = 9 – x och på den andra blev det y = 2x – 3 och sen ritar jag upp det så här i ett koordinatsystem med det här 9 – x och 2x – 3 och så tittar jag var de skär varandra.

Gunilla: Hur ritade du upp linjerna?

Jag har 9 här det är var den skär y-axeln och – 3 var den andra skär y-axeln och sen så kan jag se här att den alltså –1 ∙ x så man kan säga att man går 1 steg till höger och 1 steg ner och så kunde man rita linjen så. På den andra kunde jag göra likadant fast det står 2 så jag går 1 steg till höger och 2 steg upp och sen så blir det här…

Gunilla: OK, och själva lösningen?

Ja det blir då, ja där dom här möts då där x var 4 och y blir lika med 5.


Frida

Jag har uppgift 4, kaffetemperaturen och den lyder så här att Johan fyller en termos med hett kaffe och placerar den genast utomhus där temperaturen är 0 grader. Temperaturen hos kaffet avtar exponentiellt med tiden. I tabellen visas kaffetemperaturen vid några olika tidpunkter. Kaffet anses drickbart så länge dess temperatur inte understiger 55 gra-der. Vid tiden 0 timmar är temperaturen 93 grader och vid tiden 6 timmar så är tempera-turen 50 grader. Och jag ska då bestämma hur lång tid efter att Johan ställt ut termosen som kaffet är drickbart.

Och då tog jag den formeln och satte in dom värdena där, och sen så fick jag ju då att 93 ∙ a6 = 50 och det fick jag ju då eftersom att, jo att 93 är ju då starttemperaturen som är det här C-värdet och sen så har vi att x är ju då tiden i timmar efter och då ska ju va … när temperaturen är 50 grader det är ju y-värdet så ska ju det va 50 grader och då är ju 93 starttemperaturen och 6 ska ju då va x och sen ska jag ju räkna ut a här och då är det ju 93 ∙ a6 = 50 och då får jag att … och sen så delar jag på 93 och då så får jag att a6 = 50/93

och sen så tar jag att jo (a6) = ( ) som då gör att a 0,90 ungefär.

Och sen skulle jag bestämma hur lång tid efter att Johan ställt ut termosen som kaffet är drickbart och kaffet var ju drickbart så länge det inte understiger 55 grader. Så att då vill jag ju veta x, för x är ju tiden så då vill jag ju veta hur lång tid efter så att då har jag ju att 90 ∙ 0,9x = 55 (anmärkning: Lapsusfel, Frida säger 90 i stället för 93) och sen så tar jag ju då och delar på 93 på bägge sidor och då har jag ju 0,9x = 55/93 och sen så, jo sen så tar jag och logaritmerar detta och då får jag att (10lg0,9)x och så tar jag den upphöjt potensla-garna där (eller vad det nu heter) och så tar jag ju då att då blir det ju x ∙ lg0,9 = 10lg(55/93) och då så när basen är samma så är exponenterna samma och då får jag att x = lg(55/93) genom lg0,9 och sen så blir ju det, så slår jag det på miniräknaren och då så blir att x = 4,98 så att ungefär 5 timmar.

Gunilla: Okej, tack så mycket! Men jag undrar lite över det här, vad har du gjort här?

Jo detta är här att, det den här det är en graf och sen så, det här är ju då den linjen att, det är ju när y = 55 grader och den andra är ju då att y = 93 ∙ 0,9x och då visar ju detta att när, alltså när, den här y = 93 ∙ 0,9x är över den här y = 55 grader så är det ju drickbart för då är ju temperaturen över 55 grader så att de här 5 timmarna det är ju det x-värdet där linjerna skär varandra.

1–6

1–650__

93


Film 5: Robins presentation

Jag har ju uppgift 3 och jag ska bestämma en ekvation till en linje.Och jag har lite värden på den i en bild här för den skär en andragradsfunktion står det på x-axeln

Den här andragradsekvationen, den har värdena (6, – 8) då är det ett minsta värde och sen har den ett värde (10, 0) alltså den har ett värde 10 när den är 0 (eller tvärt om) och sen har jag en punkt på den här räta linjen som är (–3, –5) det är en punkt på linjen, så det vet jag, så då får jag använda det och sen den skar ju den här andragradsekvationen på x-axeln och då kallar jag den punkten P och då vill jag veta vad punkten P är. Då vet jag att y-värdet är 0 och x-värdet är ju 10 – 8 för att andragradsfunktionen är ju samma på höger o vänster sida om den där.

...och då sen så har jag då att punkten (2, 0) och punkten (–3, –5) det är punkter på den här räta linjen och sen för jag in det i den här i det här uttrycket så att jag får att k = –1 (anmärkning: Lapsusfel: Robin har räknat rätt men säger fel här, ska vara +1.) k i funktionen y = kx + m och sen kan jag sätta in värden här så vet jag vad m är när jag satt in dom värdena och då får jag fram att m = –2 genom att lösa det uttrycket.

Så slutgiltiga svaret är att y = x – 2

Klas: Robin, det gick lite fort här, kanske du skulle…Robin: Den?Klas: k, ja

Robin: k, jo det är en formel som säger att k är delta-y genom delta-x, och då vill jag, då sätter jag in värdena här för punkten P som jag har så att 5 – 0 är lika med, – 5 – 0 är lika

med, nej så får man fram att k = 1, så att det är 5 och 5, så det är samma

(anmärkning: Här blir det rätt, k = 1).

– 5 – 0––––––– 3 – 2


Film 6: Sofies presentation

Gunilla: Okej Sofie, då är det din tur och du kan börja med att läsa uppgiften.

Ja, jag har uppgift 3, att jag ska bestämma linjens ekvation. I figuren visas grafen till en rät linje och grafen till en andragradsfunktion som har minsta värdet – 8. Linjen och grafen till andragradsfunktionen skär varandra på x-axeln och då ska jag bestämma linjens ekvation.

Jag hade ju det att minsta värdet var – 8 då har jag utgått från det eftersom det är där i mitten då är x = 6 det är sen 4 enheter från den här nollpunkten där x = 10 och eftersom det är i mitten och det är 4 steg så måste det även vara 4 steg åt andra hållet så den andra nollpunkten är ju då när x = 2.

Och det har jag ju kommit fram till för att jag behöver 2 punkter som är på den här linjen för att kunna bestämma dens ekvation.

Då sätter jag in dem i den här formeln för att kunna bestämma lutningen. Då får jag fram att

Då har jag k-värdet här sen sätter jag in det här i y = kx + m och då kommer jag fram till att y = x + m eftersom k = 1. Sen måste jag sätta in en punkt så att jag ska kunna få fram vad m är. Då sätter jag in punkten (2, 0) då blir det alltså att 0 = 2 + m och då blir det att m = –2 och sedan då, så gör det att lösningen blir y = x – 2

0 – (– 5)–––––––2 – (– 3)

k = = 1


Film 7: Helenas presentation

Klas: Jaja, nu var det din tur. Kan du ta och berätta om uppgiften?

Helena: Ja, jag fick uppgift 3, Bestäm linjens ekvation, och då har vi en figur där man har grafen till en rät linje och grafen till en andragradsfunktion med minsta värdet – 8 och linjen och andragradsfunktionens graf skär varandra på x-axeln och så ska man bestämma ekvationen till den räta linjen.

Och det vi vet är att den räta linjen skär grafen till andragradsfunktionen i en okänd punkt men den punkten är ett nollställe till andragradsfunktionen och då känner vi det andra nollstället (10, 0)

och vi vet att andragradsfunktionerna är symmetriska i sina maximum eller minimum så då går det en symmetrilinje genom där som jag har ritat ut.

och minimipunkten är där x = 6 och skillnaden mellan 10 och 6 är 4 och då är också skillnaden mellan 6 och det andra nollstället 4 eftersom det är en symmetrilinje och då får vi den punkten till (2, 0) och då har vi två punkter på den räta linjen (–3, –5) och (2, 0)

och riktningskoefficienten kan vi få som skillnaden i y-värdet delat med skillnaden i

x-värden och detta ger

Och 1:a-gradsekvationen kan skrivas som kx + m där k är riktningskoefficienten som vi har bestämt till 1. Och m är värdet där grafen skär y-axeln och m-värdet kan jag få genom att sätta in riktningskoefficienten och några kända y-värden i den ekvationen så y = kx + m då kan jag sätta in k som 1 och y och x då kan jag välja (2, 0) som den punkten jag sätter in och det ger 0 = 1 ∙ 2 + m och det ger m = –2 och då blir linjens ekvation y = x – 2.

0 – (– 5)–––––––2 – (– 3)

= 1


Bilaga 8: Exempel på lärarbedömning av elevprestationer i kurs 2Observera att dessa bedömningar endast ska ses som exempel och inte som ett facit.

Ylva: Uppgift 1. Lösning av ekvationssystem (3/1/1)

Kommunikativ förmåga E C A

1) Fullständighet, relevans och struktur X X

2) Beskrivningar och förklaringar X

3) Matematisk terminologi X X

1) Redovisningen är välstrukturerad. Redovisningen kompletteras efter lärarens frågor och kompletteringen gör redovisningen fullständig. (E, A)

2) Redovisningen innehåller mest beskrivningar och ett fåtal förklaringar. T.ex. förklaras inte varför den ena ekvationen multipliceras med två och inte heller varför ekvatio-nerna skrivs om i samband med den grafiska lösningen. (E)

3) Matematisk terminologi används med rätt betydelse genom delar av redovisningen. I den senare delen av redovisningen finns det brister i terminologin, t.ex. hänvisas det inte till ”räta linjens ekvation” i samband med omskrivningen av ekvationerna. I samband med uppritandet av linjerna används inte termen ”lutning”. (E, C)

Frida: Uppgift 4. Kaffetemperaturen (3/1/0)


1) Fullständighet, relevans och struktur X



1) Redovisningen är i huvudsak fullständig men i början görs ingen koppling mellan den valda formeln och att kaffetemperaturen är exponentiellt avtagande. Hur C-värdet i formeln bestäms är inte heller redovisat. Dessutom är redovisningen något ostrukture-rad då ekvationen 93 ∙ 0,9x = 55 ska lösas. (E)

2) Redovisningen innehåller både beskrivningar och förklaringar, även om vissa brister förekommer. Bland annat saknas förklaring till varför båda leden i ekvationen

3) Matematisk terminologi används med rätt betydelse och vid lämpliga tillfällen genom delar av redovisningen. Det finns dock brister, t.ex. används termerna ”logaritmera” och ”potenslagarna” felaktigt i samband med lösningen av ekvationen 93 ∙ 0,9x = 55. Dessutom hade det varit lämpligt att använda termen ”exponentialfunktion” i inled-ningen. (E, C)

50––93

a6 = upphöjs till 1/6. (E)


Robin: Uppgift 3. Bestäm linjens ekvation (3/0/0)


1) Fullständighet, relevans och struktur X


3) Matematisk terminologi X

1) Redovisningen har en övergripande struktur men några av stegen är otydligt redo-visade, bland annat är det otydligt hur symmetrin används för att ta fram det andra nollstället. (E)

2) Redovisningen innehåller i huvudsak beskrivningar och någon förklaring. Både be-skrivningar och förklaringar är ibland bristfälliga, t.ex. vid bestämningen av k respek-tive m. (E)

3) Matematisk terminologi används med rätt betydelse vid några tillfällen men det finns brister. I början nämns ”värde” men det är oklart om det är x-värdet eller y-värdet som avses. Även om ”k-värde” nämns så skulle termer som ”lutning” eller ”riktnings-koefficient” gett mer klarhet åt redovisningen. Termerna ”andragradsekvation” och ”andragradsfunktion” blandas ihop på några ställen och ”uttryck” används i stället för ”ekvation” på något ställe. Termen ”symmetri” används inte då det andra nollstället bestäms. (E)

Sofie: Uppgift 3. Bestäm linjens ekvation (3/1/2)



2) Beskrivningar och förklaringar X X


1) Redovisningen är fullständig och välstrukturerad, även om vissa förklaringar kommer i efterhand. Exempelvis kommer bestämningen av andragradsfunktionens nollställe före förklaringen till varför nollstället behövs. (E, A)

2) Redovisningen innehåller tillräckligt med utförliga beskrivningar och förklaringar. (E, A)3) Matematisk terminologi används med rätt betydelse i delar av redovisningen. Ter-

minologin är dock bristfällig vid hanteringen av funktionens symmetriegenskaper. Termen ”nollpunkt” används i stället för den mer lämpliga termen ”nollställe”. (E, C)

Helena: Uppgift 3. Bestäm linjens ekvation (3/1/3)



2) Beskrivningar och förklaringar X X

3) Matematisk terminologi X X X

1) Redovisningen är välstrukturerad och fullständig med användning av lämpliga be-grepp som gör redovisningen lätt att följa och förstå. (E, A)

2) Redovisningen innehåller tillräckligt med beskrivningar och förklaringar. (E, A)3) Matematisk terminologi används med rätt betydelse och vid lämpliga tillfällen genom

hela redovisningen. (E, C, A)

bedömningsstöd i matematik på gymnasial nivå bedömning av … · 2018-01-15 · 2...

Documents