bedingte wahrscheinlichkeiten die belegschaft eines betriebes wird nach rauchern und nichtrauchern...
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Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Die Belegschaft eines Betriebes wirdnach Rauchern und Nichtrauchern ein-geteilt. Dabei ergibt sich die folgende Tabelle:
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Also haben wir:
Allgemein definiert man:
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Hier noch ein Beispiel zur bedingtenWahrscheinlichkeit
Drei Personen A, B und C befindensich im Gefängnis.Einer von den dreien ist zum Tode verurteilt,aber keiner der drei weiß vor der Exekution über sein Schicksal Bescheid.Der Gefangene A fragt seinen Wärter, wervon den beiden anderen, B oder C, exekutiertwerden wird.
Man berechne die „Überlebenswahrscheinlichkeit“für A, wenn der Wärter mit B geantwortet hat.
Wir nehmen an, dass der Wärter, falls er dieWahl hat, mit Wahrscheinlichkeit p die
Antwort „B“ gibt und mit Wahrscheinlichkeit1 - p die Antwort „C“. Ansonsten antwortet er
wahrheitsgemäß.
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Formel von der totalenWahrscheinlichkeit
Einkommensverteilung der Haushaltein einer bestimmten Gegend
Anteil der Haushalte, die ein Auto> DM 40 000,- anschaffen, in denverschiedenen Einkommensklassen
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Es ergibt sich:
Also nach der Formel für die totaleWahrscheinlichkeit:
5
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Allgemein:
Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
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Satz von Bayes
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Satz von Bayes
In einer Stadt vermutet man, dass fürdie Bevölkerung die folgende Aufteilungin Deutsche, Italiener und Ausländer, diekeine Italiener sind, besteht:
wobei die letzte Zeile den jeweiligen Anteilvon Personen in der Bevölkerungsgruppeangibt, die gerne Spaghetti bestellen.
(Beispiel nach H. Haase: Stochastik für Betriebswirte)
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Jemand bestellt in einer Gaststätte Spaghetti.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dassdieser Gast ein Deutscher, ein Italiener oderein nicht-italienischer Ausländer ist?
D: „Der Gast ist ein Deutscher“I: „Der Gast ist ein Italiener“A: „Der Gast ist ein Ausländer, aber kein Italiener“S: „Der Gast bestellt Spaghetti“
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Nach der Formel für die totale Wahr-scheinlichkeit hat man:
Daraus ergibt sich nach dem Satz von Bayes
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Satz von Bayes
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Lernen aus ErfahrungBeispiel
Eine Urne enthält 4 Kugeln.Wir wissen, dass eine der folgen-den Situationen A1, A2 oder A3vorliegt:
A1: eine Kugel ist rot, die drei anderen sind grünA2: zwei Kugeln sind rot, die beiden anderen grünA3: drei Kugeln sind rot, eine ist grün
Die Wahrscheinlichkeiten für diedrei Möglichkeiten sind unbekannt.Wir setzen:
P(A1) = p1P(A2) = p2P(A3) = p3
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Wir ziehen aus der Urne m Kugeln mit Zurücklegen.
Nehmen wir nun an, dass dasEreignis B geschieht.
„Bei jedem Zug zeigt sich eine rote Kugel“
B
Dann hat man:
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Nach dem Satz von Bayeserhalten wir:
Ebenso:
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Für große m nähert sich die bedingte Wahrscheinlichkeitfür A3 gegeben B dem Wert 1,während sich die bedingten Wahrscheinlichkeiten für A1 und A2 dem Wert 0 annähern.
Unabhängig von den Werten fürp1, p2 und p3 hat man:
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Grundbegriffe
der (deskriptiven) Statistik
der Wahrscheinlichkeitstheorie
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Verteilungsfunktion der Normalverteilung I
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Verteilungsfunktion der Normalverteilung II
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Beispiel „Haushaltsgröße“
Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980(laut Schlittgen)
Verteilungsfunktion
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Zufallsvariablen
VerteilungVerteilungsfunktion
WahrscheinlichkeitsfunktionWahrscheinlichkeitsdichte
Verteilung
Die Verteilung einer ZV ist ein Wahr-scheinlichkeitsmaß auf den reellen Zahlen
diskret stetig
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diskret
f nennt man Wahrscheinlichkeitsfunktion
von X
stetig
f nennt man Dichtefunktion
von X
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Verteilungsfunktion
diskret stetig
diskret
stetig
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Erwartungswert und Varianz I
Der endliche Fall
Erwartungswert
Varianz
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Beispiel „Haushaltsgröße“
Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980(laut Schlittgen)
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Der diskrete unendliche Fall
Dabei nehmen wir an, dass
Erwartungswert
Varianz
Erwartungswert und Varianz II
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Der stetige Fall
f ist die Wahrscheinlichkeitsdichte. Dabei nehmen wir an, dass
Erwartungswert
Varianz
Erwartungswert und Varianz III
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Gegeben seien n Zufallsvariablen
Dann gilt immer:
Wenn gilt
dann hat man auch
Gleichheit von Bienaymé