allgemein definiert man:. bedingte wahrscheinlichkeiten die belegschaft eines betriebes wird nach...
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Allgemein definiert man:
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Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Die Belegschaft eines Betriebes wird nach Rauchern und Nicht-rauchern eingeteilt. Dabei ergibt sich die folgende Tabelle:
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Also haben wir:
Allgemein definiert man:
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Pfadregel
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Dann hat man:
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1.1.2 1.2.2 2.1.1 2.1.2 2.1.3 3.2.1 3.2.2 3.3.11.2.1 3.3.2
1.1 1.2 2.1 3.1 3.2 3.3
1 2 3
START
p(1)p(2)
p(3)
p(1.1.2 1.1) p(2.1.1 2.1) p(3.3.1 3.3)
p(1.2 1) p(3.3 3)p(2.1 2)
(Eigentlich z. B. b(1.2.1) statt 1.2.1)
Baumdiagramm
1.1.1 1.2.3 3.1.1
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Wir betrachten eine Urne mit einer roten und 3 grünen Kugeln.
1. Stufe: Eine Kugel wird zufällig gezogen, ihre Farbe notiert. Anschließend werden diese und eine Kugel derselben Farbe in die Urne zurückgelegt.
2. Stufe: Nach dem guten Mischen wird erneut eine Kugel zufällig gezogen und deren Farbe notiert.
Urne mit roten und grünen Kugeln
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START
0 1
0 01 1
3/4 1/4
4/5 1/5 3/5 2/5
Baumdiagramm
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Allgemein:
Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
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Formel von der totalenWahrscheinlichkeit
Einkommensverteilung der Haushalte in einer bestimmten Gegend
Anteil der Haushalte, die ein Auto > EURO 30 000,- an-schaffen, in den verschiedenen Einkommensklassen
EURO 30 000,- an“
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Es ergibt sich:
Also nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit:
5
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Allgemein:
Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
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Satz von Bayes
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Satz von Bayes
In einer Stadt vermutet man, dass für die Bevölkerung die folgende Aufteilung in Deutsche, Italiener und Ausländer, die keine Italiener sind, besteht:
wobei die letzte Zeile den jeweiligen Anteil von Personen in der Bevölkerungsgruppe angibt, die gerne Spaghetti bestellen.
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Jemand bestellt in einer Gaststätte Spaghetti.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Gast ein Deutscher, ein Italiener oder ein nicht-italienischer Aus-länder ist?
D: „Der Gast ist ein Deutscher“I: „Der Gast ist ein Italiener“A: „Der Gast ist ein Ausländer, aber kein Italiener“S: „Der Gast bestellt Spaghetti“
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Satz von Bayes
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Nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit hat man:
Daraus ergibt sich nach dem Satz von Bayes
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Satz von Bayes
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Lernen aus ErfahrungBeispiel
Eine Urne enthält 4 Kugeln.Wir wissen, dass eine der folgen-den Situationen A1, A2 oder A3vorliegt:
A1: eine Kugel ist rot, die drei anderen sind grünA2: zwei Kugeln sind rot, die beiden anderen grünA3: drei Kugeln sind rot, eine ist grün
Die Wahrscheinlichkeiten für die drei Möglichkeiten sind un-bekannt. Wir setzen:
P(A1) = p1
P(A2) = p2
P(A3) = p3
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Wir ziehen aus der Urne n Kugeln mit Zurücklegenmit Berücksichtigung der Reihenfolge.
Nehmen wir nun an, dass das Ereignis B geschieht.
„Bei jedem Zug zeigt sich eine rote Kugel“
B
Dann hat man:
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Nach dem Satz von Bayes erhalten wir:
Ebenso:
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Für große n nähert sich die bedingte Wahr-scheinlichkeit für „A3 gegeben B“ dem Wert 1,während sich die bedingtenWahrscheinlich-keiten für A1 und A2 dem Wert 0 annähern.
Unabhängig von den Werten fürp1, p2 und p3 hat man:
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Grundbegriffe
der (deskriptiven) Statistik der Wahrscheinlichkeitstheorie
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Hier noch ein Beispiel zur bedingten Wahrscheinlichkeit
Drei Personen A, B und C befinden sich im Gefängnis.Einer von den Dreien ist zum Tode verurteilt, aber keiner der Drei weiß vor der Exekution über sein Schicksal Bescheid.Der Gefangene A fragt seinen Wärter, wer von den Beiden anderen, B oder C, exekutiert werden wird.
Man berechne die „Überlebenswahrscheinlichkeit“für A, wenn der Wärter mit B geantwortet hat.
Wir nehmen an, dass der Wärter, falls er dieWahl hat, mit Wahrscheinlichkeit p dieAntwort „B“ gibt und mit
Wahrscheinlichkeit 1 - p die Antwort „C“. Ansonsten antwortet er wahrheitsgemäß.