beamer calculo infinitesimal

Sucesiones numericas

CALCULO INFINITESIMALGrado en Matematicas

Renato Alvarez-NodarseUniversidad de Sevilla

http://euler.us.es/renato/clases.html

Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla CALCULO INFINITESIMAL


Definicion

Una sucesion de numeros reales {an} no es mas que una regla quea cada numero natural le hace corresponder otro real:

an : N 7 R, an = f (n), n = 1, 2, 3, ...O sea, una sucesion es una funcion definida sobre N !

Por ejemplo: La sucesion constante an = 1

{1, 1, 1, 1, 1, ..., 1, 1, 1, ...}La sucesion de los numeros naturales an = n

{1, 2, 3, 4, 5, ..., n 1, n, n + 1, ...}

La sucesion de los inversos de los numeros naturales bn =1

n{1

1,

1

2,

1

3,

1

4...,

1

n 1 ,1

n,

1

n + 1, ...

}Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla CALCULO INFINITESIMAL


Monotona

Definicion

Una sucesion {an} es monotona creciente si n N, an+1 > an.

Por ejemplo, la sucesion an = n2 es monotona creciente.

Definicion

Una sucesion {an} es monotona decreciente si n N, an+1 < an.

Por ejemplo, la sucesion an =1

nes monotona decreciente.

Definicion

Una sucesion {an} es monotona no decreciente si n N,an+1 an. y monotona no creciente si n N, an+1 an.Ejemplos: sucesion no decreciente {1, 1, 2, 2, 3, 3, ...} y nocrecientes {1, 1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3, ...}. {an} constante.



Acotacion

Definicion

Se dice que una sucesion {an} esta acotada superiormente sin N, existe un M R tal que an M.

Por ejemplo, la sucesion bn =1

n2esta acotada superiormente pues

bn 1, n N.Definicion

Se dice que una sucesion {an} esta acotada inferiormente sin N, existe un m R tal que an m.Por ejemplo, la sucesion bn = n

2 esta acotada inferiormente puesbn 1, n N .



Acotacion

Definicion

Se dice que una sucesion {an} esta acotada, si {an} esta acotadasuperior e inferiormente. Es decir si n N, existe un M R talque |an| M.

Por ejemplo, la sucesion bn = (1)n esta acotada pues |bn| 1,n N.Definicion

Se dice que una sucesion {an} es no acotada si M R, existe unn N tal que |an| > M.

Por ejemplo, la sucesion bn = (1)nn2 no esta acotada.



Lmite de una sucesion

Definicion

Una sucesion {an} tiene lmite a R si > 0, N N tal quen > N, entonces |an a| < y se denota lm

n an = a. O sea,

lmn an = a > 0, N N tal que n > N, |an a| < .

Geometricamente significa que > 0, en el intervalo a , a + se encuentran todos los terminos de la sucesion a partir de uncierto n = N, o sea los an, n N y por tanto en dicho intervalohay infinitos terminos, y fuera solo hay un numero finito determinos (los N primeros terminos) de la misma.

a

|



Lmite de una sucesion: interpretacion geometrica

lmn an = a

a a+

x x x x x

a

> 0, N N tal que n > N, |an a| <



Lmite de una sucesion

Definicion

Se dice que una sucesion {an} no tiene lmite a R cuandon si existe > 0 tal que para todo N N existe un n > N,que cumple con que |an a| y se denota lm

n an 6= a. O sea,

lmn an 6= a > 0, N N, n > N, tal que |ana| .

Ejemplo: la sucesion an = (1)n no tiene ningun lmite a R.



Lmite infinito de una sucesion

Definicion

Se dice que una sucesion {an} tiene lmite + si

lmn an = + M > 0, N N tal que n > N, an > M.

xx xx x

M

8

Geometricamente: M > 0, en (M,+) hay infinitos terminos dean y fuera de el, en (,M] un numero finito.Ejemplos: an = n, an = n

2.

Ejercicio: Define lmn an = .Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla CALCULO INFINITESIMAL


Propiedades de las sucesiones convergentes

Definicion

Una sucesion {an} que tenga lmite (finito) se denominaconvergente y si el lmite no existe o es infinito () se llamadivergente.

Teorema

La manipulacion de un numero de terminos de una sucesion noaltera el caracter convergente o divergente de la misma.

Teorema

(Unicidad del lmite de una sucesion.)Si la sucesion {an} es convergente entonces tiene un unico lmite.

Ejercicio: probar que la afirmacion anterior es valida si el lmite es+ o .




Teorema (Condicion necesaria de existencia de lmite)

Si la sucesion {an} es convergente entonces es acotada.

Corolario

Toda sucesion {an} no acotada es divergente.

Lemma

Sean {an} y {bn} dos sucesiones que tienden a cero. Entonces,cualquiera sea M R las sucesiones Man y an + bn sonconvergentes y tambien tienen lmite cero, o equivalentemente:

Si las sucesiones {an} y {bn} tienden a cero, entonces para todos, R, la sucesion an + bn tambien tiende a cero.




Teorema

Sea {an} una sucesion convergente con lmite a. Las siguientesafirmaciones son equivalentes:

1. lmn an = a, 2. lmn an a = 0, 3. lmn |an a| = 0.

Teorema (Teorema de las tres sucesiones)

Sean las sucesiones {an}, {bn} y {cn} tales que

an cn bn para todo n N N.

Si {an} y {bn} son convergentes con lmn an = l y lmn bn = l ,

entonces, {cn} es convergente y

lmn cn = l .



Ejemplos

Ejercicio: Demuestra que:

lmn cos xn = 1, lmn

sin xnxn

= 1.

Ejercicio: Prueba que una sucesion convergente {an} de terminosno positivos (no negativos) tiene lmite no positivo (no negativo).O sea, si an 0 an a 0 y si an 0 an a 0.

Ejercicio: Prueba que si una sucesion tiene todos sus terminosmayores (menores) que un cierto m entonces el lmite de an nopuede ser menor (mayor) que dicho m.

Ejercicio: Probar que si lmn an = a, y lmn bn = b, y an bn para

todo n, entonces a b.



Propiedades algebraicas de los lmites

Teorema

Sean dos sucesiones convergentes {an} y {bn} con lmn an = a, y

lmn bn = b. Entonces:

1 lmn an + bn = a + b.

2 lmn an bn = a b. En particular, R, lmn an = a.

3 Si n N, bn 6= 0, b 6= 0, entonces, lmn

anbn

=a

b.



Propiedades de las sucesiones monotonas

Teorema (Criterio de Weierstrass para las sucesiones monotonas)

Para que una sucesion {an} monotona sea convergente esnecesario y suficiente que este acotada. Ademas, el lmite de lasucesion es el supremo o el nfimo del conjunto A = {an, n N}de los valores de an, i.e.,

lmn an =

{nf A si an es decrecientesup A si an es creciente

.

Demostracion: Sea an y S = sup A, sea n > N

S aN < an S

|



Propiedades de las sucesiones monotonas

Teorema

Si {an} esmonotona no decreciente (no creciente) y no acotadasuperiormente (inferiormente), entonces lm

n an + ().

Ejemplo: La sucesion an =1

nesta acotada |an| 1, n N y es

decreciente, por tanto an es convergente y

lmn an = nf A = nf

{1

n, n N

}= 0.

La sucesion bn = n no es acotada y lmn bn = nf A = +

Ejemplo: Sea {an} la sucesion definida mediante la formula:a1 =

2, an+1 =

2 + an.

Demostrar que tiene lmite y encontrarlo.Renato Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla CALCULO INFINITESIMAL


Calculo practico de lmites

Teorema (Criterio de la raz)

Sea {an} una sucesion de terminos positivos tal quelmn

an+1an

= l . Entonces, lmn

n

an = l .

Ejemplo: Calcula los lmites lmn

n

an

n!, a R y lm

nn

n.

Teorema (Stolz)

Sea an/bn una sucesion tal que bn , y bn + y sealmn

an an1bn bn1 = l . Entonces lmn

anbn

= lmn

an+1 anbn+1 bn =

Ejemplo: Calcula lmn

1 + 2 + + nn2

, lmn

1 + 1/2 + + 1/nlog n



Lmites notables.

1 lmn

(1 +

1

n

)n= e.

2 lmn

n

x = 1, para todo x R, x > 0.3 lm

nn

n = 1.

4 lmn x

n = 0, para todo x R, |x | < 1.

5 lmn

1

n= 0, para todo R, > 0.

6 lmn

ln n

n= 0, para todo R, > 0.

7 lmn

n

an= 0, para todo a > 1, > 0.

8 lmn

xn

n!= 0, para todo x R. (n! = 1 2 3 n)

9 lmn

n!

nn= 0. (n! = 1 2 3 n)



Definicion

Dos sucesiones {an} y {bn} se denominan equivalentes silmn

anbn

= 1, y se escribe an bn.

Ejemplo: an =n + 1

n + 2y bn =

n2 + 1

(n + 1)2.

La sucesion an = n! es equivalente a bn =

2pinennn

Definicion

Una sucesion {an} se denomina infinitesimal si lmn an = 0.

Definicion

Dos sucesiones {an} y {bn} se denominan infinitesimosequivalentes y se escribe an bn si lm

n an = 0, lmn bn = 0 y

lmn

anbn

= 1.



Infinitesimos equivalentes

Teorema

Si {an} es una sucesion infinitesimal, entonces:

1 sen an an.2 tan an an.3 arc sen an an.4 arctan an an.5 1 cos an a

2n

2.

6 (1 + an) 1 an.

7 ean 1 an, ban 1 an ln b .8 ln(1 + an) an, logb(1 + an) an logb e .



Subsucesiones

Sea N = {n1, n2, ..., nk , ..., k N} el conjunto formado por loselementos {nk} de una sucesion estrictamente creciente denumeros naturales. Importante: nk k y sea {an} una sucesion denumeros reales.

Construyamos a partir de {an} una sucesion cuyos elementos seanlos elementos de an correspondientes a los valores nk de N . Esdecir, construyamos el subconjunto {ank , k N} del conjunto{an, n N}.La nueva sucesion as obtenida la denotaremos {ank} y lallamaremos subsucesion de {an}.Por ejemplo, sea an = (1)n. Escojamos los los subconjuntosN1 = {2, 4, ..., 2k , ..., k N} y N2 = {1, 3, ..., 2k 1, ..., k N} yconstruyamos las subsucesiones a2k y a2k1 de los elementos parese impares, respectivamente. Es obvio que a2k = 1 y a2k1 = 1.



Subsucesiones

Teorema

Cualquier subsucesion {ank} de una sucesion convergente {an} esconvergente. O sea, si

lmn an = a = lmnk ank = a.

Teorema (Bolzano-Weierstrass)

De toda sucesion acotada se puede extraer una subsucesionconvergente.



Sucesiones de Cauchy

Definicion

Una sucesion {an} es de Cauchy si para todo > 0 existe unN N tal que si n,m > N, entonces |an am| < .

m

> 0, N N, t.q. n > N, p N |an+p an| < .

Ejemplo: La sucesion an =1n es de Cauchy y la sucesion

bn = 1 +12 + + 1n no es de Cauchy.

Proposicion

1. Toda sucesion convergente es de Cauchy.2. Toda sucesion de Cauchy es acotada.



Sucesiones de Cauchy

Teorema (Criterio de Cauchy para las sucesiones)

Una sucesion {an} es convergente si y solo si es de Cauchy.

Para terminar mostraremos un ejemplo de aplicacion del Teoremade Cauchy para probar otro importante teorema:

Teorema

Para que una sucesion sea convergente es necesario y suficienteque cualquiera de sus subsucesiones sea convergente y tenga elmismo lmite.


Sucesiones numricas

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