bai giang - xu ly tin hieu so_do thi loan

1

MỤC LỤC

CHƯƠNG I : TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC........................................................... 3 1.1 Mở đầu.....................................................................................................................3

1.1.1 Phân loại tín hiệu...............................................................................................3 1.1.2 Xử lý tín hiệu số (DSP- Digital Signal Processing) ............................................6

1.2 Tín hiệu rời rạc.........................................................................................................7 1.2.1 Biểu diễn tín hiệu rời rạc ...................................................................................7 1.2.2 Các tín hiệu rời rạc ............................................................................................8 1.2.3 Các phép toán với tín hiệu rời rạc ....................................................................11

1.3 Hê thống tuyến tính bất biến...................................................................................15 1.3.1 Hệ thống tuyến tính .........................................................................................15 1.3.2 Hệ thống tuyến tính bất biến ............................................................................17 1.3.3 Hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả ........................................................20 1.3.4 Hệ thống tuyến tính bất biến ổn định ...............................................................24

1.4 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng...........................................................25 1.4.1 Phương trình sai phân tuyến tính......................................................................25 1.4.2 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng ....................................................26 1.4.3 Hệ thống số đệ quy(trong lối ra có các lối ra)...................................................28 1.4.4 Hệ thống số không đệ quy ...............................................................................28 1.4.5 Các phần tử thực hiện hệ thống bất biến ..........................................................29

1.5 Tương quan chéo của các tín hiệu...........................................................................30 1.5.1 Tương quan chéo.............................................................................................30 1.5.2 Hàm tự tương quan..........................................................................................31

CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU RỜI RẠC TRONG MIỀN Z..... 33 2.1 Mở đầu...................................................................................................................33 2.2 Biến đổi Z (ZT) ......................................................................................................33

2.2.1 Định nghĩa.......................................................................................................33 2.2.2 Sự tồn tại của biến đổi z...................................................................................34 2.2.3 Một vài biến đổi Z thông dụng.........................................................................38

2.3 Biến đổi Z ngược....................................................................................................38 2.3.1 Tính trực tiếp tích phân bằng lý thuyết thặng dư ..............................................39 2.3.2 Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa ...................................................41 2.3.3 Phương pháp khai triển thành tổng của các phân thức tối giản .........................41

2.4 Các tính chất của biến đổi Z ...................................................................................43 2.4.1 Tính chất tuyến tính.........................................................................................43 2.4.2 Tính chất trễ ....................................................................................................44 2.4.3 Tính chất nhân với hàm mũ an .........................................................................45 2.4.4 Đạo hàm của biến đổi Z ( tính đạo hàm của n.x(n) ).........................................45 2.4.5 Tích chập của hai dãy ......................................................................................46 2.4.6 Tương quan của hai tín hiệu.............................................................................47 2.4.7 Dãy liên hợp phức ...........................................................................................48 2.4.8 Định lý giá trị ban đầu .....................................................................................48 2.4.9 Tích của hai dãy ..............................................................................................49

2.5 Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền Z .................................................................49 2.5.1 Hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc ................................................................49 2.5.2 Hàm truyền đạt của một hệ thống tuyến tính bất biến được đặc trưng bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng. ............................................................50 2.5.3 Các phần tử thực hiện hệ thống tuyến tính bất biến ..........................................51 2.5.4 Phân tích hệ thống trong miền Z ......................................................................52 2.5.5 Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng nhờ biến đổi Z .....................53

2.6 Độ ổn định của hệ thống.........................................................................................55

2

2.6.1 Sự ổn định của một hệ thống tuyến tính bất biến..............................................55 2.6.2 Sự ổn định của một hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả ..........................56 2.6.3 Tiêu chuẩn ổn định Jury...................................................................................57

CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU...................................................... 58 RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC .................................................................. 59

3.1 Biến đổi Fourier của các tín hiệu rời rạc .................................................................59 3.1.1 Định nghĩa biến đổi Fourier (Fourier Transform).............................................59 3.1.2 Sự tồn tại của biến đổi Fourier .........................................................................61 3.1.3 Biến đổi Fourier ngược (Inverse Fourier Transform)........................................62

3.2 Các tính chất của biến đổi Fourier ..........................................................................63 3.2.1 Tính chất tuyến tính.........................................................................................63 3.2.2 Tính chất trễ ....................................................................................................64 3.2.3 Tính chất trễ tần số ..........................................................................................65 3.2.4 Tích chập của hai dãy ......................................................................................66 3.2.5 Tính chất đối xứng...........................................................................................67 3.2.6 Tương quan giữa hai tín hiệu ...........................................................................67 3.2.7 Quan hệ Parseval .............................................................................................67 3.2.8 Tích của hai dãy ..............................................................................................68 3.2.9 Vi phân trong miền tần số ................................................................................69 3.2.10 Tính chất đảo biến số .....................................................................................69

3.3 So sánh biến đổi Fourier và biến đổi Z ...................................................................69 3.3.1 Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi Z ....................................................69 3.3.2 Đánh giá hình học X(ejw) trên mặt phẳng Z......................................................70

3.4 Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục ..............................................71 3.4.1 Đáp ứng tần số.................................................................................................71 3.4.2 Các bộ lọc số lý tưởng .....................................................................................72

3.5 Lấy mẫu tín hiệu ....................................................................................................76 3.5.1 Định lý lấy mẫu ...............................................................................................76 3.5.2 Tần số Nyquist ................................................................................................78

CHƯƠNG 4: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG...................................................... 79 RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC .................................................................... 79

4.1 Mở đầu...................................................................................................................79 4.2 Biến đổi Fourier rời rạc đối với các tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ N........................79

4.2.1 Các định nghĩa.................................................................................................79 4.2.2 Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy tuần hoàn ................80 có chu kỳ N..............................................................................................................80

4.3 Biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy không tuần hoàn có chiều dài....................82 hữu hạn........................................................................................................................82

4.3.1 Các định nghĩa.................................................................................................82 4.3.2 Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy có chiều ..................82 dài hữu hạn ..............................................................................................................82 4.3.3 Khôi phục biến đổi Z và biến đổi Fourier từ DFT ............................................84

4.4 Biến đổi nhanh Fourier rời rạc (FFT)......................................................................85 4.4.1 Mở đầu............................................................................................................85 4.4.2 Thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo thời gian..............................................88 4.4.3 Thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo tần số ..................................................92 4.4.4 Tình FFT ngược ..............................................................................................93

3

CHƯƠNG I : TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC

1.1 Mở đầu

1.1.1 Phân loại tín hiệu

1.1.1.1 Định nghĩa tín hiệu

Tín hiệu là sự biến thiên của biên độ theo thời gian của một đại lượng vật lý.

Với những tín hiệu không điện thì ta có các cảm biến (sensor) để biến đổi thành

tín hiệu điện.

Nhiễu: Do chính bản than mạch hoặc môi trường truyền phát sinh ra hoặc từ bên

ngoài thâm nhập vào

Ví dụ:

- Các tín hiệu nhìn thấy là các sóng ánh sáng chuyển tải thông tin màu sắc, hình

khối tới mắt chúng ta.

- Các tín hiệu nghe thấy là các sự biến đổi của áp suất không khí truyền thông tin tới

tai chúng ta.

1.1.1.2 Biểu diễn toán học của tín hiệu

Về mặt toán học, tín hiệu được biểu diễn bởi hàm của một hoặc nhiều biến số

độc lập.

Ví dụ : Ta có tín hiệu microphone Sa(t) được biểu diễn trên hình 1.1

Hình 1.1

Sa(t)

n 0

t

4

Từ hình 1.1 ta thấy Sa(t) là hàm một biến số, biến số này là thời gian t. Vì là hàm

của một biến nên ta còn gọi là tín hiệu một chiều.

1.1.1.3 Phân loại tín hiệu

Các tín hiệu trên thực tế được phân loại như sau:

1.1.1.3.1 Định nghĩa tín hiệu liên tục ( y=f(x) )

Nếu biến độc lập của sự biến đổi toán học của một tín hiệu là liên tục, thì tín

hiệu đó được gọi là tín hiệu liên tục.

Nhận xét: Như vậy theo định nghĩa tín hiệu liên tục, thì từ liên tục ở đây được

hiểu là liên tục theo biến số, còn xét theo hàm hay biên độ thì ta có tín hiệu tương tự

Và tín hiệu lượng tử hóa.

+) Tín hiệu được gọi là tín hiệu tương tự nếu hàm (biên độ) của tín hiệu liên tục là

liên tục.

+) Tín hiệu được gọi là tín hiệu lượng tử hóa nếu hàm (biên độ) của tín hiệu liên tục

là rời rạc.

Mỗi mức lượng tử được chỉ định một giá trị số 8(n) bit, kết hợp 8(n) bit có 256

(2n) mức hay giá trị. Qui ước bit đầu tiên dùng để đánh dấu giá trị âm hoặc dương

cho mẫu. Bảy bít còn lại biểu diễn cho độ lớn; bit đầu tiên chỉ nửa trên hay nửa dưới

của dãy, bit thứ hai chỉ phần tư trên hay dưới, bit thứ 3 chỉ phần tám trên hay dưới

và cứ thế.

TÍN HIỆU

Tín hiệu rời rạc Tín hiệu liên tục

Tín hiệu tương tự

Tín hiệu lượng tử hóa

Tín hiệu lấy mẫu

Tín hiệu số

5

Ví dụ: Chúng ta có hai tín hiệu liên tục có biến số là thời gian t được biểu diễn trên

hình 1.2a là tín hiệu tương tự và hình 1.2b là tín hiệu lượng tử hóa.

(a) (b)

Hình 1.2: Hai tín hiệu liên tục có biến số là thời gian t

(a): Là tín hiệu tương tự (b): Tín hiệu lượng tử hóa

1.1.1.3.2 Định nghĩa tín hiệu rời rạc

Nếu tín hiệu được biểu diễn bởi hàm của các biến rời rạc, thì tín hiệu đó được

gọi là tín hiệu rời rạc.

Nhận xét: Theo định nghĩa thì từ rời rạc ở đây được hiểu là rời rạc theo biến số.

Nếu dựa vào hàm hay biên độ, chúng ta cũng có tín hiệu lấy mẫu và tín hiệu số.

+) Tín hiệu được gọi là tín hiệu lấy mẫu nếu biên độ của tín hiệu rời rạc là liên

tục (không bị lượng tử hóa). Tín hiệu lấy mẫu rời rạc theo hàm, liên tục theo biến.

+) Tín hiệu được gọi là tín hiệu số nếu biên độ của tín hiệu rời rạc là rời rạc.

Nhận xét: Như vậy tín hiệu số được gọi là tín hiệu rời rạc hóa cả về biến số và

biên độ. Còn tín hiệu tương tự là tín hiệu liên tục cả về biến số và biên độ.

Ví dụ : Chúng ta có hai tín hiệu rời rạc có biến số là thời gian t được biểu diễn trên

hình 1.3, thời gian t được rời rạc hóa với chu kỳ Ts. Hình 1.3 (a) là tín hiệu lấy mẫu

và (b) là tín hiệu số.

69

59

49

39

29

19

9

t t

xa(t) xa(t)

6

(a) (b)

Hình 1.3

1.1.2 Xử lý tín hiệu số (DSP- Digital Signal Processing)

Sơ đồ tổng quát của hệ thống xử lý tín hiệu (theo hình 1.4):

Hình 1.4

Trong đó:

- LPF: Low Pass Fillter (Bộ lọc thông thấp).

- S&H: Sample And Hold (lấy và giữ mẫu)

- ADC: Analog Digital Converter (Bộ chuyển đổi tín hiệu tương tự - số)

- DAC: Digital Analog Converter (Bộ chuyển đổi tín hiệu số – tương tự)

Nhận xét:

- Tín hiệu tương tự ở đầu vào được chuyển sang dạng số nhờ một bộ chuyển đổi

tương tự - số ADC.

- Tín hiệu tương tự ở đầu ra được thiết lập lại nhờ bộ chuyển đổi số - tương tự

DAC.

n.Ts n.Ts

xs(n.Ts)

Xa(t) LPF Đưa qua S&H ADC

DSP DAC LPF Ya(t)

Xd(t) Yd(t)

xd(n.Ts)

7

Như vậy, tín hiệu của bộ biến đổi ADC là tín hiệu số Xd(n), đó là tín hiệu của hệ

thống xử lý tín hiệu số DSP, DSP làm nhiệm vụ xử lý tín hiệu số Xd(n) và đưa ra tín

hiệu số Yd(n).

1.2 Tín hiệu rời rạc

1.2.1 Biểu diễn tín hiệu rời rạc

Tín hiệu rời rạc có hai loại :

- Tín hiệu lấy mẫu, ký hiệu là xs(nTs)

- Tín hiệu số, ký hiệu là xd(nTs)

Bây giờ ta thống nhất ký hiệu chung tín hiệu rời rạc là x(nTs). Như vậy nTs là biến

độc lập, n là số nguyên. Ts là chu kỳ lấy mẫu. Để tiện cho biểu biểu diễn tín hiệu rời

rạc chúng ta chuẩn hóa biến số độc lập nTs như sau:

x(nTs)

Có ba cách biểu diễn tín hiệu rời rạc hay dùng là :

- Biểu diễn bằng biểu thức toán học

- Biểu diễn bằng đồ thị

- Biểu diễn bằng liệt kê các phần tử.

1.2.1.1 Biểu diễn toán học

Tín hiệu rời rạc x(n) được biểu diễn dưới dạng toán học như sau:

Biểu diễn toán học với N1 ≤ n ≤ N2

x(n) =

0 với n còn lại

n, N1, N2 là nguyên (còn các giá trị không nguyên ta không xét)

Ví dụ: Hãy cho cách biểu diễn toán học của một tín hiệu rời rạc nào đó.

1 với 0 ≤ n ≤ 3

x(n) =


Ở đây N1 = 0, N2 = 3

1.2.1.2 Biểu diễn bằng đồ thị

x(n)

Chuẩn hóa với Ts=1

8

Để tiện minh họa một cách trực quan, trong nhiều trường hợp chúng ta dùng

biểu diễn đồ thị.

Ví dụ: Hãy vẽ đồ thị tín hiệu rời rạc trong ví dụ trên

1 với 0 ≤ n ≤ 3

x(n) =


Hình 1.5 Biểu diễn tín hiệu bằng đồ thị

1.2.1.3 Biểu diễn bằng dãy số

Chúng ta biểu diễn bằng cách liệt kê các giá trị của x(n) thành một dãy số như

sau :

x(n)=…, x(n-1), x(n), x(n-1), …

n

Để chỉ ra các giá trị của x(n) tại vị trí thứ n, ta dùng kí hiệu n , bởi vì khi dùng

biểu diễn này ta không biết đâu là x(n).

Vì tín hiệu rời rạc thực chất là các dãy số nên ta thường gọi là dãy x(n).

Ví dụ: Biểu diễn dãy sau bằng cách liệt kê các phần tử

x(n) = 1 với 0 ≤ n ≤ 3


Giải :

x(n) = …, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0,… (đánh dấu gốc tín hiệu n0)

0

1.2.2 Các tín hiệu rời rạc

1.2.2.1 Dãy xung đơn vị

Kí hiệu: δ(n) (n là số nguyên )

Trong miền n, dãy xung đơn vị được định nghĩa như sau :

≠

==

00

01)(

nKhi

nKhinδ

Ví dụ: Biểu diễn δ(n) và δ(n-5) bằng đồ thị

Giải :

31 2

1

40-1

x(n)

n

21

1

-1-2 0

n

9

- Với δ(n):

- Với δ(n-5):

Hình 1.6: Biểu diễn δ(n) và δ(n-5) bằng đồ thị

Mở rộng có dãy xung đơn vị δ(n - k) , với k là hằng số dương hoặc âm :

≠

==−

knKhi

knKhikn

0

1)(δ

Trên hình 1.6 là đồ thị của các dãy xung đơn vị δ(n - 5)

1.2.2.2 Dãy nhảy đơn vị

Dãy nhảy đơn vị được định nghĩa như sau trong miền n

≥

<=

01

00)(

nKhi

nKhinu

Đồ thị của dãy u(n) có dạng như hình vẽ sau :

Ví dụ : Biểu diễn u(n-2) và u(n+2) bằng đồ thị

Hình 1.7 Biểu diễn u(n-2) và u(n+2) bằng đồ thị

Mở rộng có dãy nhảy đơn vị u(n - k) , với k là hằng số dương hoặc âm :

<

≥=−

knKhi

knKhiknu

0

1)(

1.2.2.3 Dãy chữ nhật

3-1 21

. . . .

. . . . ∞0

1

u(n)

n

0 1 2

1

-1 43 5 0 1-3

1

-2 -1

. . . .

∞ ∞. . . .

. . . .

. . . .

n n

10

Trong miền n, dãy chữ nhật được định nghĩa như sau:

[ ][ ]

∉

∈=

−

−

)(,

)(,)(

100

101

N

N

nKhi

nKhinrect

N

Đồ thị của rectN(n) có dạng như hình bên :

Mở rộng có dãy chữ nhật rectN(n-k) với k là số nguyên dương hoặc âm.

[ ][ ]

−+∉

−+∈=−

)(,

)(,)(

10

11

kNk

kNkk

nKhi

nKhinrect

N

Ví dụ: Biểu diễn rectN(n-2) và rectN(n+2) bằng đồ thị

Hình 1.8 Biểu diễn rectN(n-2)

và rectN(n+2) bằng đồ thị.

1.2.2.4 Dãy mũ thực

Dãy hàm mũ thực được định nghĩa như sau trong miền n :

an với n ≥ 0

e(n) =

0 với n < 0

Dãy này tăng hay giảm phụ thuộc vào tham số a lớn hơn hay nhỏ hơn 1 như trên.

Hình 1.9 (a) và (b) trong ví dụ dưới đây

:

1.2.2.5 Dãy hình sin

Dãy hàm sin có dạng như sau :

( )nnnxN

0sinsin)(2

ωπ

=

= với

N

πω

20 =

e(n) e(n)

n n

a<1 (a) a>1 (b)

1 1

-1

. . . .

1

. . . .210 (N-1)

n

1 1

650 0-2 -13 32 -3 241 1-4-1

11

Dãy sin(ω0.n) là dãy vô hạn, hai phía, lẻ và phản đối xứng, liên tục, và tuần

hoàn với chu kỳ N. Đồ thị của dãy sin(ω0.n) ở hình 1.10 dưới đây :

Hình 1.10 Đồ thị dãy sin(w0n) với N=10

1.2.3 Các phép toán với tín hiệu rời rạc

1.2.3.1 Định nghĩa dãy tuần hoàn (dãy chu kì)

Một dãy x(n) được gọi là tuần hoàn với chu kì N nếu :

x(n) = x(n+N) = x(n+kN) với n, k, N nguyên, N: chu kỳ tuần hoàn.

Giá trị nhỏ nhất của N thỏa mãn công thức được gọi là chu kì cơ bản. Nếu không

có giá trị nào của N để công thức trên thỏa mãn thì tín hiệu là không tuần hoàn.

Ta kí kiệu dãy tuần hoàn như sau : xp(n)

Ví dụ: Hãy vẽ một dãy tuần hoàn với chu kỳ N=4

Giải : Dãy xp(n) cho trên hình 1.11

Hình 1.11 Biểu diễn dãy tuần hoàn bằng đồ thị.

1.2.3.2 Định nghĩa dãy có chiều dài hữu hạn

Một dãy x(n) xác định với một số hữu hạn mẫu thì được gọi là dãy có chiều dài

hữu hạn (chiều dài của dãy tính bằng số mẫu có giá trị khác 0)

Ví dụ: Tính chiều dài của các dãy số (hay các tín hiệu rời rạc)

- L[δ(n)] = 1

- L[u(n)] = [0,+ ∞] = ∞

xp(n)

n

0

-0,95

-0,59

321 104

0,59

-10 -5 5

0,95

12

- L[rectN(n)] = [0,N-1] = N

- L[x(n)] = [-∞,+∞] = ∞

- L[e(n)] = ∞

1.2.3.3 Năng lượng và công suất của dãy

1.2.3.3.1 Năng lượng của dãy

- Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N: ∑−

=

=1

0

2)(

N

n

x nxE

- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía hữu hạn có độ dài (2N + 1):

∑−=

=N

Nn

x nxE2

)(

- Đối với tín hiệu số x(n) một phía vô hạn:

∑∞

=

=0

2)(

n

x nxE

- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn:

∑∞

−∞=

=n

x nxE2

)(

1.2.3.3.2 Công suất trung bình của dãy

Công suất trung bình Px của tín hiệu số x(n) được tính như sau:

- Đối với tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N:

∑−

=

===1

0

22 )()(1 N

n

x nxnxNN

xEP

- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía hữu hạn có độ dài (2N + 1):

∑−=

=+

=+

=N

Nn

xx nxnx

NN

EP )()(

)()(22

12

1

12

- Đối với tín hiệu số x(n) một phía vô hạn:

∑−

=∞→∞→

===1

0

22)()(

1 N

nNNx nxnxLimLim

NN

xEP

- Đối với tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn:

∑−=∞→∞→

=+

=+

=N

NnN

x

Nx nxnxLimLim

NN

EP )()(

)()(22

12

1

12

1.2.3.4 Các phép toán đối với tín hiệu rời rạc

13

1.2.3.4.1 Phép cộng hai dãy

Định nghĩa: Tổng của hai dãy thu được là một dãy bằng cách cộng đôi một giá

trị mẫu của các phần tử có cùng trị số của biến độc lập.

Ví dụ: Cho hai dãy x1(n) = rect3(n-1) và x2(n) = rect2(n-2)

Tìm và vẽ x3(n) = x1(n)+x2(n)

Giải :

- Vẽ x1(n) :

- Vẽ x2(n) :

- Vẽ x3(n) :

1.2.3.4.2 Phép nhân hai hai dãy

14

Tích của hai dãy thu được là một dãy thu được bằng cách đem nhân tương ứng

các phần tử có cùng trị số của biến độc lập.

Ví dụ : Cho hai dãy số x1(n) và x2(n) như ví dụ trên

Tính x3(n) = x1(n).x2(n)

Giải :

Vẽ x3(n)

1.2.3.4.3 Phép nhân tín hiệu với một hằng số

Tích của một dãy với một hằng số là một dãy nhận được bằng cách nhân tất cả

các giá trị mẫu của dãy với chính một hằng số đó.

Ví dụ: cho x1(n) = rect3(n-1), tìm x2(n) = 2.x1(n)

Giải :

1 với 1 4≤≤ n

x1(n) = rect3(n-1) =


2 với 1 4≤≤ n

⇒ x2(n) = 2.x1(n) = 2.rect3(n-1) =


1.2.3.4.4 Phép trễ (dịch)

Dãy y(n) được gọi là trễ dịch lặp lại của x(n) nếu y(n)=x(n-n0) với mọi n, n0

nguyên.

Ví dụ :

1-n/4 với 1 3≤≤ n

Cho x1(n) =

1

x(n)

n

1 2 3

15


Tìm y(n) = x(n-2) ?

Giải :

1-(n-2)/4 với 1 3≤≤ n

y(n) = x(n-2) =


1.3 Hê thống tuyến tính bất biến

1.3.1 Hệ thống tuyến tính

1.3.1.1 Định nghĩa

Ký hiệu hệ thống:

- Dãy vào được gọi là dãy kích thích (hoặc kích thích).

- Dãy ra được gọi là dãy đáp ứng của hệ thống với kích thích đang khảo sát.

1.3.1.2 Đặc trưng của hệ thống

Một hệ thống xử lý số được đặc trưng bởi toán tử T, toán tử T làm nhiệm vụ

biến đổi dãy vào thành dãy ra.

Ký hiệu: T[x(n)] = y(n) hoặc x(n) y(n)

Ta có thể biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ :

1.3.1.3 Hệ thống tuyến tính

Một hệ thống được gọi là tuyến tính nếu toán tử T của nó thỏa mãn nguyên lý

xếp chồng, tức là :

Nguyên lý xếp chồng: Đáp ứng của hệ thống với tác động là tổng của các tín

hiệu bằng tổng các đáp ứng của hệ thống khi tác động đầu vào là từng tín hiệu riêng

lẻ.

Ta có:

T[a.x1(n) + b.x2(n)] = a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)] = a.y1(n) + b.y2(n)

Với mọi dãy tín hiệu đầu vào x1(n), x2(n) và a,b là hằng số

Trong đó: - y1(n) là đáp ứng của kích thích x1(n)

- y2(n) là đáp ứng của kích thích x2(n)

Dãy ra

T

T x(n) y(n)= T[x(n)]

Dãy vào

Hệ thống y(n)

x(n)

16

Nguyên lý xếp chồng có thể mở rộng đối với nhiều tín hiệu như sau:

x(n) = ∑−

=

1

1

M

k

akxk(n) T y(n) = ∑−

=

1

1

M

k

akyk(n)

Trong đó: yk(n) = T[xk(n)], k = 1, 2, …, M-1

Ví dụ: Kiểm tra tính chất bất biến của các hệ thống sau :

1. T[x(n)] = x(n)

2. T[x(n)] = x2(n)

Giải:

1. T[x(n)] = x(n)

⇔ T[a.x1(n) + b.x2(n)] = a.x1(n) +b.x2(n)

= a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)] (thỏa mãn nguyên lý xếp chồng)

Vậy hệ thống là tuyến tính

2. T[x(n)] = x2(n)

⇔ T[a.x1(n) + b.x2(n)] = [a.x1(n) + b.x2(n)]2

= a2.x21(n) + b2.x2

2 (n) + 2.a.x1(n).b.x2(n)

# a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)]

Vậy hệ thống không tuyến tính

1.3.1.4 Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính

Một dãy bất kỳ x(n) có thể được biểu diễn tổng quát như sau :

Giả sử ta có một hệ thống tuyến tính được đặc trưng bởi toán tử T (T thỏa mãn

nguyên lý xếp chồng), ta có thể viết :

y(n) = T[x(n)] = T

−∑

∞

−∞=k

knkx )().( δ = ∑∞

−∞=

−k

knkxT )]().([ δ

= ∑∞

−∞=

−k

knTkx )]([).( δ (vì x(k) độc lập với n)

Đặt h(n-k) = hk(n) = T[ )( kn −δ ]

T

⇒ y(n) = ∑∞

−∞=

−k

knhkx )().(

Đáp ứng h(n-k) được gọi là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính.

T δ(n- k) T[δ(n- k)] = hk(n)

17

1.3.2 Hệ thống tuyến tính bất biến

1.3.2.1 Định nghĩa :

Một hệ thống được gọi là một hệ thống tuyến tính bất biến nếu thỏa mãn hai

điều kiện sau :

- Hệ thống là tuyến tính

- Nếu lối vào của hệ thống là x(n), ta được lối ra là y(n) thì với lối vào là x(n-k), ta

thu được lối ra là y(n-k), hay T[x(n-k)] = y(n-k) nếu T[x(n)] = y(n)

Ví dụ: Hãy xét các hệ thống sau có phải là bất biến theo n hay không ?

1.T[x(n)] = 2.x(n)

2. T[x(n)] = n.x(n) (với n∈z)

Giải :

1.T[x(n)] = 2.x(n)

T[a.x1(n) + b.x2(n)] = 2.[a.x1(n) + b.x2(n)] = a.2.x1(n) +b.2.x2(n)

= a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)]

⇒Hệ thống là tuyến tính.

Ta có: y(n) = T[x(n)] = 2.x(n)

⇒y(n-k) = 2.x(n-k)

Mà T[x(n-k)] = 2.x(n-k)

⇒y(n-k) = T[x(n-k)]

Vậy hệ thống là tuyến tính bất biến.

2. T[x(n)] = n.x(n-k)

T[a.x1(n) + b.x2(n)] = n.[a.x1(n) +b.x2(n)] = a.n.x1(n) + b.n.x2(n)

= a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)]

⇒Hệ thống là tuyến tính.

Ta có: y(n) = T[x(n)] = n.x(n)

y(n-k) = (n-k).x(n-k)

mà T[x(n-k)] = n.x(n-k)

⇒y(n-k) # T[x(n-k)]

Vậy hệ thống không phải là hệ thống tuyến tính bất biến.

1.3.2.2 Công thức tính tích chập

18

Khi hệ thống của chúng ta là hệ thống tuyến tính và bất biến, thì ta có quan hệ :

T[ )(nδ ] = h(n)

T[ )( kn −δ ] = h(n-k) =hk(n)

⇒y(n) = ∑∞

−∞=k

xkhk(n) = ∑∞

−∞=

−k

knhkx )().(

Như vậy, hk(n) là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính. Còn h(n) là đáp ứng

xung của hệ thống tuyến tính bất biến, lúc này h(n) sẽ phụ thuộc vào k, tức là nếu

biến là thời gian thì ở mọi thời điểm khác nhau, đáp ứng xung của hệ thống tuyến

tính bất biến luôn là h(n). Đến đây thì ta có thể nói rằng đáp ứng xung h(n) sẽ đặc

trưng hoàn toàn cho một hệ thống tuyến tính bất biến.

Và ta có quan hệ : y(n) = ∑∞

−∞=

−k

knhkx )().( = x(n)*h(n) (1)

(1) là công thức tính tích chập của x(n) và h(n), tích chập được ký hiệu bằng dấu ‘*’

* Chú ý: Tích chập này chỉ đúng với hệ thống tuyến tính bất biến, vì nó được định

nghĩa chỉ cho hệ thống này.

Ví dụ: Cho x(n) =rect3(n) và

1- n/2 với 0 ≤≤ n 2

h(n) =


Giải :

Ta có: y(n) = x(n)*h(n) = ∑∞

−∞=

−k

knhkx )().(

1 với 0≤ k ≤2

x(k) = rect3(k) = (ta biến đổi n thành k)

0 với k còn lại

⇒y(n) = ∑=

−2

0

)(k

knh

* Nhận xét :

Với n<0 hoặc n ≥ 2 thì h(n) = 0 (giả thiết) ⇒h(n-k) = 0 khi và chỉ khi n < k hoặc

h(n) x(n) y(n)

19

n ≥ k+2

⇒y(n) = 0 với n < 0 hoặc n ≥ 4

+ Với n = 0 thì y(0) = ∑=

−2

0

)(k

kh = h(0) + h(-1) + h(-2) =1 + 0 + 0 = 1

+ Với n = 1 thì y(1) = h(-1) + h(0) + h(1) = 0 + 1 +1/2 = 3/2

+ Với n = 2 thì y(2) = h(2) + h(1) + h(0) = 1/2

+ Với n =3 thì y(3) = h(3) +h(2) + h(1) =1/2

Vậy y(n) = )3().2/1()2().2/1()1().2/3()( −+−+−+ nnnn δδδδ

1.3.2.3 Các tính chất của tích chập

Tích chập có các tính chất như sau:

- Tính chất giao hoán : y(n) =x(n) * h(n)

Chứng minh:

Ta có : x(n) * h(n) = ∑∞

−∞=

−k

knhkx )().(

Đặt m = n – k mnk −=⇔

Với k = - +∞→⇒∞ m

Với k = + −∞→⇒∞ m

⇒x(n) * h(n) = )(*)()().()().( nxnhmnxmhmhmnxmm

=−=− ∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

Vậy y(n) = x(n) * h(n) = h(n) * x(n)

-Tính chất kết hợp

y(n) = x(n) * [h1(n) * h2(n)] = [x(n) * h1(n)] * h2(n)

Chứng minh :

y(n) = x(n)*[h1(n)*h2(n)] = ∑∞

−∞=

−−k

knhknhkx )](1*)(2).[(

= ∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞=

−−k l

lknhlhkx ])(1).(2).[( = ∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞=

−−l k

lhlknhkx )(2].)(1).([

h(n) x(n) y(n) x(n) h(n) y(n) ≡

≡ h1(n) h2(n) h1(n)*h2(n)

y(n)

x(n) y(n) y1 x(n)

20

= ∑∞

−∞=

−−l

lhlnhlnx )(2)].(*)([ = ∑∞

−∞=

−−l

lnhlnxh )](1*)(.[2

= h2(n) * [x(n) * h1(n)] = [x(n) * h1(n)] * h2(n)

Vậy y(n) = x(n) * [h1(n) * h2(n)] = [x(n) * h1(n)] * h2(n)

Ngoài ra, theo hình vẽ ta có :

y1 = x(n) * h1(n)

y(n) = y1 * h2(n) =[x(n) * h1(n)] * h2(n)

= x(n) * [h1(n) * h2(n)] = x(n) * h(n)

⇒h(n) = h1(n) * h2(n) = h2(n) * h1(n)

-Tính chất phân phối

y(n) = x(n) * [h1(n) + h2(n)] = x(n) * h1(n) + x(n) * h2(n)

Chứng minh :

Ta có : y(n) = x(n) * [h1(n) + h2(n)] = ∑∞

−∞=

−+−k

knhknhkx )](2)(1).[(

= ∑∞

−∞=

−+−k

knhkxknhkx )](2).()(1).([

= ∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞=

−+−k k

knhkxknhkx )(2).()(1).(

= x(n) *h1(n) + x(n) * h2(n)

Vậy y(n) = x(n) * [h1(n) +h2(n)] = x(n) *h1(n) + x(n) * h(n)

1.3.3 Hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả


Một hệ thống tuyến tính bất biến được gọi là nhân quả nếu đáp ứng ra của nó ở

thời điểm bất kỳ n = n0 chỉ phụ thuộc vào tín hiệu vào trong quá khứ, tại thời điểm

hiện tại và không phụ thuộc vào tín hiệu đầu vào trong tương lai.(tại các thời điểm

n > n0 ).

h1(n)

h2(n)

+

x(n) y(n) ≡ h1(n)+h2(n)

x(n) y(n)

21

Nói một cách khác, một hệ thống nhân quả đáp ứng ra không bao giờ đi trước kích

thích của nó.

Hệ thống nhân quả luôn thỏa mãn điều kiện :

Nếu : Kích thích x(n) = 0 với mọi n < k

Thì : Đáp ứng y(n) = 0 với mọi n < k

1.3.3.2 Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả

Định lý: Một hệ thống tuyến tính bất biến được gọi là nhân quả nếu và chỉ nếu

đáp ứng xung h(n) của nó thỏa mãn điều kiện sau :

h(n) = 0 với 0<∀n (1.1)

- Chứng minh điếu kiện cần : Ta cần chứng minh, nếu hệ thống là tuyến tính bất

biến thì đặc tính xung h(n) thỏa mãn điều kiên h(n) = 0 với mọi n < 0

Xét hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả với kích thích là x(n) = x1(n) x2(n)

Với giả thiết rằng: x1(n) = x2(n) với ∀ n < n0 (n0 là một hằng số) và

x1(n) # x2(n) với ∀ n ≥ n0

Hai đáp ứng ra của hệ thống tuyến tính bất biến :

y1(n) = ∑∑∑∞

=

−

−∞=

∞

−∞=

−+−=−0

10

)().(1)().(1)().(1nk

n

kk

knhkxknhkxknhkx

y2(n) = ∑∑∑∞

=

−

−∞=

∞

−∞=

−+−=−0

10

)().(2)().(2)().(2nk

n

kk

knhkxknhkxknhkx

y(n) = y1(n) –y2(n) = ∑∑∞

=

−

−∞=

−−+−−0

10

)()].(2)(1[)(.)](2)(1[nk

n

k

knhkxkxknhkxkx

Vì x1(n) = x2(n) với mọi n < n0, nên [x1(k) – x2(k)] = 0 với mọi k < n0

Nên y(n) = y1(n) – y2(n) = ∑∞

=

−−0

)()].(2)(1[nk

knhkxkx (1.2)

Do hệ thống là nhân quả , nên nếu x1(n) – x2(n) = 0 với mọi n < n0

Thì ta có : y(n) = y1(n) –y2(n) = 0 với mọi n < n0 (1.3)

Vì x1(k) ≠ x2(k) với mọi k 0n≥ nên (1.2) chỉ đúng với (1.3) nếu :

h(n - k) = 0 với mọi k 0n≥ (1.4)

Đặt m = n – k, khi đó với ∀ k ≥ n0 và ∀ n < n0, thì m = n – k < 0, nên ta có thể

viết (1.4) dưới dạng : h(m) = 0 với ∀ m < 0

Vì m cũng là số nguyên nên có thể đổi lại biến m thành biến n :

h(n) = 0 với ∀ n < 0.

22

Đây cũng chính là (1.4), điều kiện cần của định lý đã được chứng minh.

- Chứng minh điều kiện đủ : Ta cần chứng minh, nếu hệ thống là tuyến tính bất

biến có đặc tính xung h(n) = 0 với mọi n < 0, thì hệ thống đó là nhân quả.

Vì đặc tính xung h(n) = 0 với mọi n < 0 nên đáp ứng ra của hệ thống là y(n) =

h(n) * x(n) = 0 với mọi n < 0. Nếu chứng minh được x(n) = 0 với mọi n < 0, thì theo

điều kiện (3) hệ thống tuyến tính bất biến là nhân quả.

Vì h(k) = 0 với mọi k < 0 nên ta có :

y(n) = ∑∑∞

=

∞

−∞=

−=−0

)().()().(kk

knxkhknxkh (1.5)

Vì đã có y(n) = 0 với mọi n < 0, trong khi h(k) ≠ 0 với mọi k ≥ 0, nên (1.5) chỉ

đúng nếu x(n - k) = 0 với mọi n < 0 và mọi k ≥ 0 (1.6)

Đặt m = n – k, khi đó với mọi n < 0 và k ≥ 0, thì m = n – k < 0, nên ta có thể

viết lại (1.6) dưới dạng : x(m) = 0 với mọi m < 0

Vì m cũng là số nguyên nên ta có thể đổi lại biến m thành n :

x(n) = 0 với mọi n < 0

Điều kiện đủ của định lý đã được chứng mịnh.

Như vậy định lý đã được chứng minh.

Ví dụ: Cho hai hệ thống

y1(n) = T[x(n)] = x(n+1) + x(n) + x(n-1)

y2(n) = T[x(n)] = x(n) + x(n-1)

Xét tính chất nhân quả của hai hệ thống tuyến tính bất biến trên.

Giải :

h(n) là nối ra của hệ thống khi nối vào là xung đơn vị )(nδ

Ta có : h1(n) = T1[ )(nδ ] = )1()()1( −+++ nnn δδδ

Do h(-1) = 1 ≠ 0 nên hệ thống tuyến tính bất biến không nhân quả

h2(n) = T2[ )(nδ ] = )1()( −+ nn δδ

Do h2(n) = 0 với mọi n < 0. Vậy hệ thống là tuyến tính bất biến nhân quả.

1.3.3.3 Dãy nhân quả

Dãy x(n) được gọi là nhân quả, nếu x(n) = 0 với mọi n < 0

Giả sử ta có một hệ thống tuyến tính nhân quả và lối vào x(n) là một dãy nhân

quả thì đầu ra được tính như sau :

23

y(n) = x(n) * h(n) = ∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

−=−kk

knxkhknhkx )().()().(

Do x(k) = 0 với mọi k < 0

Nên y(n) = ∑∞

−∞=

−k

knhkx )().( , mà h(n - k) = 0 khi n – k < 0 ⇔ k > n

Vậy ta có công thức tính : y(n) = ∑=

−n

k

knhkx0

)().(

Ví dụ: Cho hệ thống tuyến tính bất biến có h(n) và x(n) như sau:

an n ≥ 0 bn n ≥ 0

h(n) = x(n) =

0 n < 0 0 n < 0

Với 0 < a < 1 0 < b < 1 (a≠b)

Hãy tính y(n)?

Giải:

y(n) = ∑=

−n

k

knhkx0

)().( = ∑=

n

k 0

bk.an-k = an. ∑=

n

k 0

(a-1b)k

an.1 - (ba-1)n+1

1 - ba-1 = an+1 - bn+1

a - b n ≥ 0

⇒ y(n) = 0 n < 0

⇒ y(n) là nhân quả

Nhận xét: Hệ thống h(n) là nhân quả có kích thích vào x(n) nhân quả thì ta sẽ có đáp

ứng ra y(n) là nhân quả.

1.3.3.4 Tín hiệu và hệ thống phản nhân quả

Một hệ thống được goi là phản nhân quả nếu h(n) của nó thỏa mãn h(n) = 0 với

mọi n > 0.

Một dãy x(n) được gọi là phản nhân quả nếu x(n) = 0 với mọi n > 0

Ví dụ: Hệ thống nào là phản nhân quả trong các hệ thống có h(n) dưới đây:

(1) h1(n) = )3()2()1( +++++ nnn δδδ

(2) h2(n) = )()1()2( nnn δδδ +−+−

Giải:

(1) h1(n) = 0 với mọi n > 0, nên hệ thống là phản nhân quả.

(2) h2(n) = 0 với mọi n < 0, nên hệ thống là nhân quả.

24

1.3.4 Hệ thống tuyến tính bất biến ổn định


Một hệ thống được gọi là ổn định nếu ứng với dãy vào giới hạn, ta có dãy ra giới

hạn, nghĩa là :

|x(n)| < ∞ với mọi n thì |y(n)| < ∞ với mọi n.

Ví dụ: Cho hai hệ thống : h1(n) = rect4(n), h2(n) = u(n), giả sử lối vào của hai hệ

thống là x(n) = u(n). Hãy xét sự ổn định của hai hệ thống trên.

Giải:

Ta có:

1 với n ≥ 0

x(k) = u(n) =


⇒ |x(n)| < ∞ với mọi n (vì x(n) = 0 hoặc = 1)

Ta sẽ tìm lối ra của h1(n), h2(n) rồi dựa vào định nghĩa để kết luận

Ta có : y1(n) = x(n) * h1(n) = ∑∞

−∞=

−k

knhkx )(1).(

= ∑∑==

−=−3

0

3

0

)()().(1kk

knxknxkh

= x(n) + x(n - 1) + x(n - 2) + x(n - 3)

y1(-1) = x(-1) + x(-2) + x(-3) + x(-4) = 0

y1(0) = x(0) + x(-1) + x(-2) +x(-3) = 1

y1(1) = x(1) + x(0) + x(-1) + x(-2) = 2

y1(2) = 3

y1(3) = 4

y1(n) = 4 với mọi n ≥ 4

Như vậy : |y(n)| < ∞ với mọi n

⇒ h1(n) = rect4(n) là đáp ứng xung của một thống ổn định.

Với h2(n) = u(n), ta thấy x(n) nhân quả, chiều dài vô hạn và h2(n) nhân quả

chiều dài vô hạn.

⇒y2(n) = x(n) * h(n) = ∑=

−n

k

knhkx0

)(2).( = n + 1

⇒ y2(n) ∞→ khi n ∞→

25

Vậy ứng với x(n) giới hạn, ta có y2(n) không giới hạn ⇒ Hệ thống không ổn định.

1.3.4.1 Định lý: Một hệ thống tuyến tính bất biến là ổn định nếu và chỉ nếu đáp ứng

xung h(n) của nó có S = ∑∞

−∞=n

nh |)(| < ∞

Ta có thể dựa vào đáp ứng xung để xét sự ổn định của hệ thống mà không cần

tính đáp ứng đầu ra y(n).

Ví dụ: Cho một hệ thống có h(n) = 3.u(n). Hãy xét sự ổn định của hệ thống .

Giải:

Ta có: S = ∑∑∑∞

=

∞

−∞=

∞

−∞=

==0

|3||)(.3||)(|nnn

nunh = ∞

⇒ Hệ thống là không ổn định.

1.4 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

1.4.1 Phương trình sai phân tuyến tính

Ta có thể biểu diễn một hệ thống tuyến tính bằng phương trình sai phân tuyến

tính . Phương trình này thể hiện mối quan hệ giữa đầu vào và đầu ra hay mối quan

hệ giữa dãy vào và dãy ra. Dạng tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính:

∑=

N

k 0

ak.y(n - k) =∑=

M

r 0

br.x(n - r)

Trong đó: - ak = ak(n)

- br = br(n)

- N, M là các số nguyên dương.

- N: là bậc của phương trình sai phân.

Phương trình sai phân tuyến tính được viết dưới dạng khác như sau:

y(n) = ∑=

M

r 0

br

a0 .x(n - r) - ∑

=

N

k 1

ak

a0 .y(n – k) (a0 ≠0)

Ví dụ: Cho hệ thống được đặc trưng bởi phương trình sai phân tuyến tính sau:

(1) y(n) + y(n - 1) = x(n) + 2.x(n - 1) + x(n - 3)

(2) y(n) = x(n) + x(n - 3)

(3) y(n) = n.x(n)

Xác định : bậc, các hệ số ak, br của hai hệ thống trên.

Giải :

26

(1) Có bậc là 1, các hệ số a0 = 1, a1 = 1, b0 = 1, b1 = 2, b2 = 1

(2) Có bậc là 0, các hệ số a0 = 1, b0 = 1, b1 = 1

(3) Có bậc là 0, hệ số a0 = n

*) Nhận xét: Hệ thống (1), (2), (3) đều là hệ thống tuyến tính, nhưng (3) không phải

là hệ thống bất biến vì hệ số của nó không phải là hằng số, và phương trình y(n)

không phải là phương trình sai phân hệ số hằng. Còn hệ thống (1), (2) là bất biến vì

hệ số của nó là hằng số, và các phương trình (1), (2) là phương trình sai phân hệ số

hằng.

1.4.2 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

Dạng tổng quát: ∑=

N

k 0

ak.y(n - k) =∑=

M

r 0

br.x(n - r) Với ak, br là hằng số.

*) Cách giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng: Gồm 5 bước:

- Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (là phương trình chỉ

có một thành phần): ∑=

N

k 0

ak.y(n - k) = 0

Nghiệm này ký hiệu là y0(n), thông thường y0(n) có dạng là hàm mũ α n

Tìm α rồi ta sẽ tính được y0(n)

Để tìm được α , ta thay y(n) = α n vào phương trình thuần nhất ∑=

N

k 0

ak.y(n - k) = 0

⇔ a0.αn + a1. α

n-1 + a2. αn-2 +…+ aN. α n-N = 0

⇔ α n-N(a0.αn + a1. α

n-1 +…+ aN) = 0

⇔ a0.αN + a1. α

N-1 +…+ aN = 0 (Đây là phương trình đặc trưng của hệ thống).

Đa thức bên trái là đa thưc đặc trưng bậc N.

Phương trình này sẽ có N nghiệm: các nghiệm này có thể là số thực hoặc số phức.

Trên thực tế các hệ số ai (i = 0,1, …, N) là số thực nên nếu phương trình có nghiệm

phức sẽ là các cặp liên hợp phức. Nếu có nghiệm trùng nhau thì gọi là nghiệm bội.

+ Nếu tất cả các nghiệm đều là nghiệm đơn (α 1, α 2, …, α N )

⇒y0(n) = A1. α 1n + A2. α 2

n +…+ α N

n = ∑=

N

k 1

Ak.α kn

Dựa vào điều kiện ban đầu ta sẽ tìm được Ak

+ Nếu có nghiệm bội

Giả sử α 2 là nghiệm bội bậc m, các nghiệm khác là đơn (N - l)

27

⇒y0(n) = A1. α 1n +(A20. α 2

n + A21. n.α 2n + A22. n

2. α 2n +…+A2.(m -1). n

m-1.α 2n)

+ AN. α Nn

- Bước 2: Tìm nghiệm riêng của phương trình đầy đủ hai thành phần

Phương trình đầy đủ hai thành phần là phương trình ứng với đầu vào x(n) ≠ 0,

có dạng tổng quát như sau : ∑=

N

k 0

ak.y(n - k) =∑=

M

r 0

br.x(n - r)

Nghiệm riêng này, ta ký hiệu là yp(n)

Thông thường dạng của xp(n) được chọn giống dạng của x(n).

- Bước 3: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính

Ký hiệu : y(n) = y0(n) + yp(n)

- Bước 4: Tìm các hệ số bằng cách dựa vào điều kiện ban đầu

*) Chú ý: Nếu tìm được yp(n) là một thành phần của y0(n) thì ta sẽ xử lý giống như

trường hợp gặp nghiệm bội. tức là nếu y0(n) có dạng Aiα in thì yp(n) phải chọn là

Binα in.

Ví dụ: Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau:

y(n) + 2.y(n - 1) = x(n) với kích thích x(n) = u(n) và điều kiện ban đầu y(-1) = 0

Giải:

- Bước 1: Phương trình thuần nhất có dạng: y(n) + 2.y(n-1) = 0 (1)

Chọn dạng y0(n) là α n, thay vào phương trình (1) ta có:

α n + 2.α n-1 = 0

⇔ α n-1(α + 2) = 0 ⇔ α 1 = -2

Phương trình đặc trưng chỉ có 1 nghiệm đơn α 1=-2

⇒ y0(n) = A1 (-2)n

- Bước 2: Tìm nghiệm riêng yp(n)

Ta có phương trình có thành phần thứ 2: y(n) + 2 y(n-1) = n

Ta sẽ cho yp(n) giống dạng x(n) = n

yp(n) = Bn + C

Để tìm B, C ta thay y(n) = yp(n), x(n) = n vào phương trình sai phân

Bn + C + 2[B( n - 1 ) + C] = n

Bn + C + 2Bn – 2B + 2C = n (2)

Đồng nhất hai vế của phương trình (2) ta có:

B = 1/3

28

C = 2/9

⇒yp(n) = 1/3n + 2/9

- Bước 3: Tìm nghiệm tổng quát:

y(n) = y0(n) + yp(n) = A1.(-2)n + 1/3n + 2/9

- Bước 4: Tìm hằng số A1

Dựa vào điều kiện ban đầu y(-1) = 0

Ta có: y(-1) = 0 ⇔ A1.(-2)-1 – 1/3 + 2/9 = 0 ⇔ A1 = -2/9

Vậy ta có nghiệm tổng quát của phương trình là :

1/3n + 2/9[1 – (-2)n] với n ≥ 0

y(n) =


1.4.3 Hệ thống số đệ quy(trong lối ra có các lối ra)

Trong trường hợp N > 0 ta có PT_SP_TT HSH bậc N như sau:

y(n) = ∑=

M

r 0

br.x(n - r) - ∑=

N

k 1

ak.y(n - k) (N > 0)

- Định nghĩa: Hệ thống TTBB được đặc trưng bởi phương trình sai phân bậc N >

0 được gọi là hệ thống đệ quy tức là đầu ra của hệ thống ở thời điểm n phụ thuộc

vào đầu vào ở hiện tại, trong quá khứ và đầu ra trong quá khứ.

y(n) = F[x(n); x(n - 1);…; x(n – M); y(n - 1);…; y(n - N))]

F[.]: Kí hiệu hàm

Ví dụ: y(n) = y(n -1) + x(n) là hệ thống đệ quy (có bậc là 1)

*) Nhận xét:

- Hệ thống đệ quy có đáp ứng xung có chiều dài vô hạn.

- Ta luôn phải xét tính ổn định của hệ thống này.

- Hệ thống còn có tên gọi là IIR (Infinite duration Impulse Response System – Hệ

thống đáp ứng xung chiều dài vô hạn ).

1.4.4 Hệ thống số không đệ quy

Trường hợp N=0, PT_SP_TT HSH có dạng như sau:

y(n) = ∑=

M

r 0

br.x(n - r) (a0==1)

29

- Định nghĩa: Hệ thống TTBB được đặc trưng bởi phương trình sai phân bậc N =

0 được gọi là không đệ quy tức là đầu ra của hệ thống ở thời điểm n chỉ phụ thuộc

vào đầu vào ở hiện tại và trong quá khứ

y(n) = F[x(n), x(n - 1),…, x(n - M)]

*) Nhận xét:

Giả sử hệ thống có đáp ứng xung là h(n)

⇒y(n) = x(n) * h(n) = h(n) * x(n) = ∑∞

−∞=

−k

knxkh )().(

Mà y(n) = ∑=

M

r 0

br.x(n - r) = ∑=

M

k 0

bk.x(n - k)

bk với 0 Mk ≤≤

⇒ h(k) =

0 với k còn lại

⇒L[h(k)] = L[h(n)] = M + 1 < ∞

⇒Hệ thống không đệ quy có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn. Nó còn có tên goi

khác là hệ thống FIR (Finite Duration Impulse Response System – Hệ thống đáp

ứng xung chiều dài hữu hạn).

1.4.5 Các phần tử thực hiện hệ thống bất biến

1.4.5.1 Phần tử cộng : Phần tử cộng dùng để cộng hai hay nhiều tín hiệu số, nó là

phần tử không nhớ và được ký hiệu như trên hình 1.12:

y(n) = x1(n) + x2(n) y(n) = ∑=

M

i 1

xi(n)

Hình 1.12 Ký hiệu phần tử cộng

1.4.5.2 Phần tử nhân : Phần tử nhân dùng để nhân hai hay nhiều tín hiệu số, nó là

phần tử không nhớ và được ký hiệu như trên hình 1.13.

+ + y(n) y(n) x1(n)

x2(n)

x1(n)

x2(n)

xi(n)

xM(n)

X X y(n) y(n) x1(n)

x2(n)

x1(n)

x2(n)

xi(n)

xM(n)

30

y(n) = x1(n) * x2(n) y(n) = ∏=

M

i 1

xi(n)

Hình 1.13 Ký hiệu phần tử nhân.

1.4.5.3 Phần tử nhân với hằng số : Phần tử nhân với hằng số dùng để nhân một tín

hiệu số với một hằng số, nó là phần tử không nhớ và được ký hiệu như trên hình

1.14.

Hình 1.14 Ký hiệu một phần tử nhân với hằng số.

Để nhân tín hiệu số x(n) với hằng số a, sử dụng bộ nhân hai số với một đầu vào là

tín hiệu số x(n), còn đầu vào kia là giá trị mã của a.

1.4.5.4 Phần tử trễ đơn vị : Phần tử trễ đơn vị dùng để giữ trễ tín hiệu số x(n) một

mẫu, nó là phần tử có nhớ và được ký hiệu như ở hình 1.15

Hình 1.15 Ký hiệu phần tử trễ.

Đối với mạch phần cứng, để thực hiện giữ trễ tín hiệu số x(n), người ta sử dụng

bộ ghi dịch, thanh ghi chốt hoặc bộ nhớ, chúng thường được sản xuất dưới dạng vi

mạch số 4 bit hoặc 8 bit.

Ví dụ: Vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống có phương trình sai phân như sau:

y(n) =2.x(n) + 3.x(n - 1)

Giải:

Hình 1.16 Sơ đồ thực hiện hệ thống y(n) =2.x(n) + 3.x(n - 1).

1.5 Tương quan chéo của các tín hiệu

1.5.1 Tương quan chéo

x(n) y(n) = a.x(n) a

x(n) y(n) = x(n - 1) D

x(n) y(n)

3

2

2.x(n)

x(n - 1) D 3.x(n - 1)

a+

31

Hàm tương quan chéo của hai dãy tín hiêu x(n), y(n) là một dãy được xác định

như sau:

rxy(n) = ∑∞

−∞=

−m

nmymx )().( (n là số nguyên)

*) Chú ý: Một trong hai dãy x(n) hoặc y(n) phải có năng lượng hữu hạn.

Ví dụ: Cho x(n) = (1 – n/2).rect3(n), y(n) = rect3(n)

Tìm rxy(n) = ?

Giải:

Ta có: 1- n/2 với 0 2≤≤ n

x(n) = (1 – n/2).rect3(n) =


1 với 0 2≤≤ n

Và: y(n) =


rxy(n) = ∑∑=

∞

−∞=

−=−2

0

)().()().(mm

nmymxnmymx

⇒ rxy(0) = ∑=

2

0

)().(m

mymx = x(0).y(0) + x(1)y(1) + x(2).y(2)

= 1 + 1/2 + 0 =3/2

rxy(1) = ∑=

−2

0

)1().(m

mymx = x(0).y(-1) + x(1).y(0) +x(2).y(1)

= 0 + 1/2 + 0 = 1/2

rxy(2) = ∑=

−2

0

)2().(m

mymx = x(0).y(-2) + x(1).y(-1) + x(2).y(0)

= 0 + 0 + 0 = 0

Với n ≥ 3 thì rxy(n) = 0

Vậy rxy(n) = (3/2). )1().2/1()( −+ nn δδ

1.5.2 Hàm tự tương quan

Trong định nghĩa tương quan chéo, nếu ta có x(n) ≡ y(n) thì ta có định nghĩa tự

tương quan.

Vậy hàm tự tương quan được định nghĩa như sau:

32

rxx = ∑∞

−∞=

−m

nmxmx )().(

rxx(n) là hàm tự tương quan của dãy x(n).

33

CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU

RỜI RẠC TRONG MIỀN Z

2.1 Mở đầu

- Có nhiều cách để thể hiện một tín hiệu:

+ Biểu diễn nó trong miền thời gian n

+ Biểu diễn nó trong miền số phức (z)

+ Biểu diễn nó trong miền tần số liên tục (w)

+ Biểu diễn nó trong miền tần số rời rạc (k)

Mỗi một cách biểu diễn có ưu, nhược điểm. Biểu diễn tín hiệu trong miền z

thuận lợi cho việc khảo sát sự ổn định của hệ thống và triển khai hệ thống, nó cho

kết quả khả quan, mà nếu khảo sát trực tiếp trong miền biến số độc lập tự nhiên sẽ

không có được. ZT

IZT

Trong đó:

+ ZT: Z-Transform: Biến đổi Z

+ IZT: Inverse Z-Transform: Biến đổi Z ngược.

2.2 Biến đổi Z (ZT)

2.2.1 Định nghĩa

2.2.1.1 Biến đổi Z hai phía, thường gọi là biến đổi Z

Định nghĩa: Biến đổi Z hai phía của dãy x(n) được định nghĩa như sau:

Ký hiệu: X(Z)

X(Z) = ZT[x(n)] = ∑∞

−∞=n

x(n).z-n (1) (z = rejw là biến số phức)

*) Nhận xét: Biến đổi z hai phía X(Z) = ∑∞

−∞=n

x(n).z-n là một chuỗi lũy thừa vô hạn, nó

tồn tại chỉ đối với các giá trị của z mà tại đó chuỗi này hội tụ.

Miền n Miền Z

34

Các giá trị của z để cho (1) hội tụ xác định trong mặt phẳng Z gọi là miền hội tụ

ROC (region of convergence). Miền hội tụ liên quan mật thiết với biến đổi Z do vậy

phải luôn luôn được đề cập tới.

Ví dụ: Xác định biến đổi Z và miền hội tụ của tín hiệu x(n) = (1/2)n.u(n)

Giải:

x(n) = 1, ½, (1/2)2, (1/2)3, ...,(1/2)n,...

X(Z) = 1+1/2.z-1 + (1/2)2.z-2 + ... + (1/2)n.z-n + ... = ∑∞

=0nn

(1/2)n.z-n = ∑∞

−∞=n

(1/2.z-1)n

Được biết: 1 + A + A2 + … + An + … = 1

1 - A nếu |A| < 1

Vậy ROC sẽ là |1/2.z-1| < 1 hay z > ½ vì X(Z) = 1

1 - 1/2.z-1

2.2.1.2 Biến đổi z một phía (dùng để giải phương trình sai phân)

Biến đổi z một phía của dãy x(n) là:

X1(z) = ZT1[x(n)] = ∑∞

=0n

x(n).z-n

Sự khác nhau giữa biến đổi Z một phía và hai phía

- Tổng theo n chạy từ 0 đến ∞.

- Không biểu diễn được tín hiệu x(n) đối với miền biến số độc lập âm (n<0).

- Biến đổi Z một phía và hai phía của tín hiệu nhân quả là như nhau.

- Đối với tín hiệu nhân quả thì chỉ có biến đổi Z một phía vì tín hiệu nhân quả bằng

0 với n < 0.

- Biến đổi Z một phía kí hiệu là X1(Z), ZT1. Còn biến đổi Z hai phía thì không kí

hiệu gì X(Z), ZT.

Ví dụ: Tìm biến đổi Z một phía của các tín hiệu sau:

X1(n) = δ(n)

X2(n) = 2δ(n+2) + δ(n) + 3δ(n-1)

Giải: X11 (Z) = ∑

∞

=0n

x1(n)Z-n = ∑∞

=0n

δ (n)Z-n = 1.Z0 (với mọi Z)

X21(Z) = ∑

∞

=0n

x2(n)Z-n = ∑∞

=0n

[2δ(n+2) + δ(n) + 3δ(n-1)]Z-n = 1+ 3Z-1 (với Z ≠ 0)

2.2.2 Sự tồn tại của biến đổi z

2.2.2.1 Mặt phẳng Z

35

- Ta có thể sử dụng mặt phẳng Z để biểu diễn miền hội tụ của biến đổi Z

- Z là một biến phức ⇒ Z = Re(z) + j.Im(z)

- Ta có thể biểu diễn z trên mặt phẳng gồm có hai trục:

Trục thực để biểu diễn Re(z)

Trục ảo để biểu diễn Im(z)

Re[z] = r.cos(w) (dựa vào tính chất của tam giác vuông)

Im[z] = r.sin(w)

r = (Re(z) + Im(z))1/2

z = r.cos(w) + j.r.sin(w) = r.(cos(w) + j.sin(w)) = r.ej.w

*) Chú ý: Trong mặt phẳng Z, có đường tròn tâm O bán kính R = 1, z = r.ej.w

Được gọi là vòng tròn đơn vị, vòng tròn này có vai trò quan trọng trong việc đánh

giá một số tính chất của hệ thống như tính ổn định của hệ thống.

2.2.2.2 Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy

Dùng để xét sự hội tụ của một chuỗi (chuỗi lũy thừa). Một chuỗi có dạng là:

∑∞

=0

)(n

nx là hội tụ nếu lim |x(n)|1/n < 1

n ∞→

Ví dụ: Xét sự hội tụ của các dãy sau:

(1) ∑∞

=0

)(n

nu = 1 + 1 +…+ 1

(2) ∑∞

=0n

(2

1)n = 1 +

2

1 +…+ (

2

1)n + …

Giải:

(1) Ta có: lim |u(n)|1/n = lim |1|1/n = 1 với mọi n ⇒Chuỗi không hội tụ.

Im

Re

z

Re(z)

Im(z)

w

z

36

n ∞→ n ∞→

(2) Ta có: lim |x(n)|1/n = lim |(2

1)n|1/n = lim |

2

1| =

2

1 < 1 với mọi n ⇒Chuỗi hội tụ.

n ∞→ n ∞→ n ∞→

2.2.2.3 Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy để tìm miền hội tụ của biến đổi Z

Miền hội tụ của biến đổi Z là tất cả các giá trị của z để chuỗi X(Z) hội tụ.

X(Z) = ZT[x(n)] = ∑∞

−∞=n

x(n).z-n = ∑−

−∞=

1

n

x(n).z-n + ∑∞

=0n

x(n).z-n

Đặt: X2(z) = ∑−

−∞=

1

n

x(n).z-n và X1(z) = ∑∞

=0n

x(n).z-n

- Tìm miền hội tụ của X1(z)

X1(z) hội tụ khi lim |x(n).z-n|1/n < 1 ⇔ lim |x(n)|1/n.|z-n|1/n < 1

n ∞→ n ∞→

⇔ |z| > lim |x(n)|1/n = Rx-

n ∞→

- Tìm miền hội tụ của X2(z)

X2(z) = ∑−

−∞=

1

n

x(n).z-n = ∑−∞=

0

n

x(n).z-n – x(0)

Đặt m =-n, ta được:

X2z) = ∑∞

=0m

x(-m).zm – x(0)

Giả sử x(0) là hữu hạn

⇒ X2(z) chỉ hội tụ khi và chỉ khi lim |x(-m).zm|1/m < 1

m ∞→

⇔ lim |x(-m)|1/m.z < 1 ⇔ z < 1

lim |x(-m)|1/m = Rx+

m ∞→ m ∞→

*) Kết luận về miền hội tụ (Region Convergence - RC)

+ Nếu Rx- ≥ Rx

+ thì miền hội tụ RC[X(Z)] = φ

+ Nếu Rx- < Rx

+ thì RC[X(Z)] = RC[X1(z)] ∩ RC[X2(z)]

*) Chú ý: Miền hội tụ của X(Z) có thể rộng ra khi xuất hiện các điểm không, các

điểm không triệt tiêu (các điểm cực) trong quá trình tổ hợp tuyến tính.

Thông thường X(Z) thường có dạng như sau:

37

X(Z) = )(

)(

zD

zN, trong đó: N(z), D(z) là các đa thức của z.

- Điểm không : là những điểm tại đó X(Z) = 0, ký hiệu là Zor

⇒ Điểm không chính là nghiệm của N(z)

- Điểm cực: là những điểm mà tại đó X(Z) = 0, ký hiệu là Zpk

⇒Điểm cực chính là nghiệm của D(z)

Ví dụ: Tìm miền hội tụ X(Z) của x(n) = (3

2 )|n| với mọi n.

Giải: n với n ≥ 0

ta có |n| =

-n với n <0

Ta có: X(Z) = ∑∞

−∞=n

x(n).z-n = ∑−

−∞=

1

n

x(n).z-n + ∑∞

=0n

x(n).z-n

+) Đặt X1(z) = ∑∞

=0n

x(n).z-n = ∑∞

=0n

(3

2 )|n|.z-n =∑∞

=0n

[3

2 .z-1]n =

X1(z) hội tụ khi và chỉ khi lim |[(3

2 ).z-1]n|1/n < 1

n ∞→

⇔ lim |(3

2 ).z-1| < 1 ⇔ |z| > 3

2

n ∞→

+) Đặt X2(z) = ∑−

−∞=

1

n

x(n).z-n = ∑−

−∞=

1

n

(3

2 )|n|.z-n = ∑−∞=

0

n

[(3

2 )|z]-n – 1

Đặt m = -n ⇒ X2(z) = ∑∞

=0m

[(3

2 ).z]m – 1

X2(z) hội tụ ⇔ lim |(3

2 )Z|1/m < 1 ⇔ lim |(3

2 ).z| < 1 ⇔ z < 2

3

m ∞→ m ∞→

⇒ X(Z) = X1(z) + X2(z) = .

.3

21

1

z−

+

3

.21

1z

−

Với 3

2 <|z| < 2

3

⇒Miền hội tụ của X(Z) là hình vành khăn với bán kính trong là 3

2 và bán kính

ngoài là 2

3 mặt phẳng Z, Rx

- = 3

2 , Rx+ =

2

3.

38

2.2.3 Một vài biến đổi Z thông dụng

Ta có một vài biến đổi Z thông dụng được cung cấp trong bảng dưới đây:

Miền n Miền z Miền hội tụ

)(nδ 1 z∀ (n ≥ 0)

δ (n – n0) z-no z∀ ≠ 0 hoặc z ≠ ∞

u(n) 11 - z-1

|z| > 1

U(-n - 1) 11 - z-1

|z| < 1

nu(n) z-1

(1 - z-1)2 |z| > 1

an.u(n) 11 - az-1

|z| > a

-anu(-n-1) 11 - z-1

|z| < a

n.anu(n) az-1

(1 - az-1)2 |z| > a

-n.anu(-n-1) az-1

(1 - az-1)2 |z| < a

(cos w0n).u(n) 1 – z-1cos w0

(1 – 2.z-1.cos w0 + z-2) |z| > 1

(sinw0n).u(n) z-1sinw0

1 - 2z-1cosw0 + z-2

|z| > 1

2.3 Biến đổi Z ngược

Biến đổi Z ngược cho ta xác định dãy x(n) từ biểu thức X(Z).

Công thức tính biến đổi Z ngược như sau:

x(n) = ∫ΠC

j.2

1zn -1.X(Z)dz (2.6) (theo định lý Cauchy- đọc thêm trong sách

Trong đó: C: là đường cong khép kín và nó nằm trong miền hội tụ bao

quanh gốc tọa độ, ngược chiều kim đồng hồ.

Theo quan điểm toán tử, chúng ta sẽ dùng ký hiệu toán tử IZT (Inverse Z –

Transfrom) để chỉ toán tử biến đổi Z ngược.

IZT[X(Z)] = x(n)

39

Vậy ta có cặp biến đổi Z như sau:

ZT[x(n)] = X(Z) = ∑∞

−∞=n

x(n).z-n

IZT[X(Z)] = x(n) = ∫ΠC

j.2

1zn -1.X(Z)dz

*) Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược

- Tính trực tiếp tích phân bằng lý thuyết thặng dư

- Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa

- Phương pháp khai triển thành phương thức tối giản

2.3.1 Tính trực tiếp tích phân bằng lý thuyết thặng dư

*) Nội dung của phương pháp

Biến x(n) = ∫ΠC

j.2

1zn -1.X(Z)dz thành tổng ∑

K

Res[X(Z).zn - 1]

Trong đó: Res[X(Z).zn - 1] được gọi là thặng dư của X(Z).zn – 1

X(Z).zn – 1 có bao nhiêu điểm cực (không kể đơn, bội) thì có bấy nhiêu thặng dư.

Ta sẽ đi tìm Res[X(Z).zn - 1] tại điểm cực z = zpk có bậc s (trong trường hợp có

nghiệm đơn thì s = 1)

Đặt )(zψ = X(Z).zn – 1(z - zpk)s

Khi đó: Res[X(Z).zn - 1] ( z = zpk) = )!1(

1

−s(ds – 1/dz

s – 1)[ )(zψ ] ( z = zpk)

Sau khi tính được tất cả các thặng dư, đem cộng lại thì ta được x(n)

Ở đây thì ds – 1/dzs – 1 là đạo hàm bậc (s - 1) theo biến z.

Nếu s = 1 thì Res[X(Z).zn - 1] ( z = zpk) = )(zψ ( z = zpk) = ψ (zpk)

Vậy giá trị của tích phân theo đường cong khép kín sẽ bằng tổng các giá trị thặng

dư của tất cả các cực trong đường cong đó.

Ví dụ: Tính biến đổi Z ngược của X(Z) =

2

1−z

z ,|z| > 1/2

Giải:

Áp dụng công thức (2.6) : x(n) = ∫ΠC

j.2

1zn -1.X(Z)dz

C là vòng tròn đơn vị (C thuộc mền hội tụ)

40

Ta sẽ đi tìm các thặng dư của X(Z).zn – 1 = zn/(z - 2

1), ta xét các trường hợp của n

*)Với n ≥ 0

Ta có: X(Z).zn – 1 = zn/(z - 2

1), có điểm cực là Zpk = ½ và s1 = 1; một cực đơn

ψ 1(Zpk) = zn

Như vậy đường cong c bao quanh chỉ một cực Zpk = ½ ta thu được ngay kết quả

⇒x1(n) = Res[X(Z).zn - 1] ( z = 2

1) = ψ 1(zpk) ( z =

2

1) = (

2

1)n

*) Với n < 0

Đặt: -m = n, ta đi tìm x(m)

x(-m) = ∫ΠC

j..2

1z-m/(z -

2

1).dz = ∫Π

Cj..2

11/[zm.(z -

2

1)].dz

Như vậy: X(Z).z-m-1 = 1/[zm.(z - 2

1)] có hai cực là:

và zp1 = 2

1 (nghiệm đơn) zp2 = 0 (nghiệm bội bậc m).

Ta sẽ đi tìm hai thặng dư ứng với hai cực trên

- Với cực là zp1 = ½ , s1 = 1 ta có: ψ 2(z) = 1/zm = (z)-m

Res[X(Z).z-m-1](tại z = 2

1) = ψ 2(z)|(tại z =

2

1) = (1/2)-m = 2m

- Với cực bội bậc m, s2 = m là zp2 = 0, ta có: ψ 3(z) = 1/(z - 2

1) = (z-1/2)-1

⇒Res[1/[zm.(z – 1/2)] 0=z = )!1(

1

−m.dm – 1/dz

m – 1[

2

11

−z

] 0=z

(Đạo hàm cấp m-1 theo biến z) = )!1(

1

−m(-1)-m-1(m - 1)!.(z -

2

1)-m 0=z

= -2m

⇒x(-m) = Res[X(Z).z-m-1] 2

1=z + Res[1/[zm.(z - 1)]] 0=z =2m – 2m = 0

Đổi biến –m = n =0 ta có: x(n) = 0 với n < 0

(1/2)n với n ≥ 0

Vậy: x(n) =

41

0 với n < 0

2.3.2 Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa

*)Ý tưởng: Xuất phát từ X(Z) = ∑∞

−∞=n

x(n).z-n

Ta sẽ khai triển X(Z) = ∑∞

−∞=n

an.z-n

Cả hai chuỗi này đều hội tụ trong miền hội tụ của X(Z). Vậy ta đồng nhất các hệ số

thì ta suy ra được x(n) = an

Có thể thực hiện theo cách chia tử số chô mẫu số.

Nhược điểm: Có khi phép chia không kết thúc

Chỉ tìm được 1 giá trị cụ thể của dãy x(n), khó có công thức tổng quát.

Ví dụ: Cho X(Z) = 2−z

z

Tìm x(n) với điều kiện hội tụ RC[X(Z)]: |z| > 2 nằm ngoài vòng tròn bán kính

2.

Giải:

|z| > 2, nằm ngoài vòng tròn bán kính 2.

Ta triển khai X(Z) thành chuỗi lũy thừa của z-1

X(Z) = z

z-2 = 1

1-2z-1

Thực hiện chia tử cho mẫu thì được dạng tổng quát:

X(Z) = ∑∞

=0n

2n.z-n = ∑∞

=0n

(2.z-1)n với |z| > 2

⇒ x(n) = 2n.u(n)

2.3.3 Phương pháp khai triển thành tổng của các phân thức tối giản

*) Ý tưởng: Khai triển X(Z) thành tổng của các phân thức tối giản. Sau đó tìm biến

đổi Z ngược của các phân thức tối giản, rồi đem cộng chúng lại ta được x(n).

Một số biến đổi Z ngược của các phân thức tối giản:

Miền Z Miền hội tụ Miền n

z/z - a |z| > |a| an.u(n)

z/z - a |z| < |a| -an.u(-n - 1)

1/z - a |z| > |a| an – 1.u(n - 1)

42

z/(z - a)m + 1 |z| > |a| n.(n - 1)…(n – m +1).an – m.u(n)/ m!

*) Nội dung phương pháp

Biểu diễn X(Z) dưới dạng: X(Z) = )(

)(

zD

zN, trong đó: N(z) là đa thức bậc M,

còn D(z) là đa thức bậc N.

Ta xét hai trường hợp liên quan đến bậc của đa thức:

(1) Nếu M ≥ N thì ta tiến hành chia N(Z) cho D(Z) kết quả thu được dưới dạng

tổng quát sau: X(Z) = S(z) +)(

)(

zQ

zP

Trong đó: S(z) là đa thức bậc M – N có dạng như sau:

S(z) = BM-NzM-N + BM-N-1zM-N-1 + B1Z

1 + B0

Q(z) = D(z) có bậc lớn hơn P(z)

(2)Nếu M < N thì ta có: )(

)(

)(

)(

zD

zN

zQ

zP=

Ta sẽ khai triển )(

)(

zQ

zPthành tổng của các phân thức tối giản tương ứng với các

trường hợp sau:

*) Trường hợp 1: Q(z) có N nghiệm đơn là z1, z2,…, zN

)(

...)2(

2

)1(

1

)(

)(

zNz

AN

zz

A

zz

A

zQ

zP

−++

−+

−= = ∑

= −

N

k zkz

Ak

1

, trong đó:

Ak = zkzzkzzQ

zP=− )(

)(

)(

*)Trường hợp 2: Q(z) có nghiệm bội

Giả sử Q(z) có một nghiệm bội, nghiệm đó là nghiệm thứ Zpl có bậc là s

⇒ Còn lại N – s nghiệm đơn

⇒ X(Z) = ∑∑=

−

≠=

+−

=s

j

sN

lkk zkz

Ak

zQ

zP

1,1)(

)( Cj

(z - zl)l

Ta sẽ đi tìm Ak, Cj

Ak = zkzzkzzQ

zP=− )(

)(

)(

Cj = )!(

1

js −d(s - j)/dz

(s - j)[)(

)(

zQ

zP(z - zl)

s]|z = zl

43

Ví dụ: Tìm biến đổi Z ngược của X(Z), với X(Z) = z+2

z2- 3z +2

Giải:

Ta khai triển X(Z) thành các phân thức tối giản như sau:

X(Z)

z = z+2

(z-1)(z-2)z . Có 3 điểm cực zp1 = 1; zp2 = 2; zp3 = 0.

⇒ X(Z)

z = z+2

(z-1)(z-2)z = A1

z-1 + A2

z-2 + A3

z

Đều là điểm cực đơn nên:

A1 = z+2

(z-2)z tại z = 1 ⇒A1 = -3

A2 = z+2

(z-1)z tại z = 2 ⇒ A2 = 2

A3 = z+2

(z-1)(z-2) tại z = 0 ⇒ A3 = 1

Vậy X(Z)

z = -3z-1 +

2z-2 +

1z

= -3zz-1 +

2zz-2 + 1

m = 0 thì

⇒x(n) = (-3)(1)nu(n) + 2.2nu(n) + δ(n)

2.4 Các tính chất của biến đổi Z

2.4.1 Tính chất tuyến tính

Giả sử ta có 2 dãy x1(n) và x2(n) và các biến đổi Z của nó như sau:

ZT[x1(n)] = X1(z) = ∑∞

−∞=n

x1(n)Z-n với RC[X1(Z)]: Rx1- < |z| < Rx1

+

ZT[x2(n)] = X2(z) = ∑∞

−∞=n

x2(n)Z-n với RC[X2(Z): Rx2- < |z| < Rx2

+

Giả sử x(n) là tổ hợp tuyến tính của 2 dãy: x(n) = a.x1(n) + b.x2(n) (a, b là hằng số)

Biến đổi Z của x(n) sẽ là:

ZT[x(n)] = X(Z) = ∑∞

−∞=n

[ax1(n) + bx2(n)]Z-n

= a∑∞

−∞=n

x1(n)Z-n + b ∑∞

−∞=n

x2(n)Z-n

44

= aX1(Z) + bX2(Z) với RC[X(Z)]: Rx- < |Z| < Rx

+

Trong đó: Rx- = max(Rx1

- , Rx2-), Rx

+ = min(Rx1+ , Rx2

+)

Ví dụ: Cho x1(n) = u(n), x2(n) = u(n - 1), x3(n) = u(n) + 2.u(n - 1)

Tìm biến đổi z và miền hội tụ của các dãy trên.

Giải:

Ta có: X1(z) = ZT[x1(n)] = ∑∞

=0n

z-n = z/11

1

− =

1−z

z với |z| > 1

X2(z) = ZT[x2(n)] = ∑∞

=1n

z-n = ∑∞

=0n

z-n – 1 = 1−z

z– 1 =

1

1

−

+

z

z , |z| > 1

Ta lại có: x3(n) = x1(n) + 2.x2(n), nên theo tính chất tuyến tính ta có:

X(Z) = X1(z) + 2.X2(z) = 1−z

z + 2.

1

1

−

+

z

z =

1

2.3

−

+

z

z với |z| > 1

2.4.2 Tính chất trễ

Có một dãy x(n) và ZT[x(n)] = X(Z), với +− << xx RRXRC zz ||:)]([

Nếu ta có dãy y(n) là trễ của x(n) như sau: y(n) = x(n – n0)

Và ZT[y(n)] = Y(Z) = ∑∞

−∞=n

y(n)Z-n = ∑∞

−∞=n

x(n – n0)Z-n

Đổi biến số, đặt m = n – n0 => n = m + n0

Ta có Y(Z) = ∑∞

−∞=m

x(m)Z-(m+n0) = Z-n

0 ∑∞

−∞=m

x(m)Z-m = Z-n0.X(Z)

với RC[Y(Z): Rx- < |Z| < Rx

+

Vậy cuối cùng ta có: ZT[x(n – n0)] = Z-n0.X(Z) => đây chính là tính chất trễ của

biến đổi Z

*) Chú ý:

Nếu n0 > 0 thì RC[Y(Z): Rx- < |Z| < Rx

+ tức là ta có thêm 1 điểm cực Zp1 = 0

Nếu n0 < 0 thì RC[Y(Z): Rx- < |Z| < Rx

+ tức là ta có thêm điểm không Z01 = ∞

Tính chất trễ thường được sử dụng để tìm biến đổi Z của các dãy trễ.

Ví dụ : Tìm : X(Z) = ZT[rectN(n)]

Giải :

rectN(n)=u(n) – u(n -N)

Ta có : )(

)]([1−

=z

znuZT với 1||: >zRC

Sử dụng tính chất tuyến tính và tính chất trễ nhận được :

45

ZT[rectN(n)] = ZT[u(n)] – ZT[u(n - N)] = 1−z

z - z-N.

1−z

z

Vậy : ZT[rectN(n)] = 1−z

z - z-N.

1−z

z với 1||: >zRC

2.4.3 Tính chất nhân với hàm mũ an

Ta có dãy x(n) và X(Z) = ZT[x(n)], RC[X(Z)]: Rx- < |z| <Rx

+, nhân dãy x(n) này

với dãy hàm mũ an ta có:

y(n) = an.x(n)

Lấy biến đổi z của y(n) ta có:

ZT[y(n)] = Y(Z) = ∑∞

−∞=n

y(n).z-n = ∑∞

−∞=n

an.x(n).z-n = ∑∞

−∞=n

x(n).(a

z)-n = X(

a

z)

Vâỵ: ZT[an.x(n)] = X(a

z) và RC[X(

a

z)]: |a|.Rx

- < |z| < |a|.Rx+

Ví dụ: Cho các dãy sau đây:

(1) x1(n) = (2

1)n.u(n)

(2) x2(n) = 2n.3n.u(n)

Hãy tìm biến đổi Z, miền hội tụ của biến đổi Z, các điểm cực, các điểm không.

Giải:

(1) Ta có: X1(z) = ZT[(2

1)n.u(n)] = ∑

∞

−∞=n

(2

1)n.u(n).z-n = ∑

∞

=0n

(2

1.z-1)n =

z.2

11

1

−

Với |2

1.z-1| > 1 ⇔ |z| <

2

1, điểm không là z = 0, điểm cực là z =

2

1

(2) Ta có: X2(z) = ZT[2n.3n.u(n)] = ∑∞

−∞=n

2n.3n.u(n).z-n

= ∑∞

=0n

2n.3n.z-n = ∑∞

=0n

(6.z-1)n =

z

61

1

−

Với |6.z-1| > 1 ⇔ |z| < 6, điểm không là z = 0, điểm cực là z = 6

2.4.4 Đạo hàm của biến đổi Z ( tính đạo hàm của n.x(n) )

Theo định nghĩa biến đổi Z ta có: X(Z) = ∑∞

−∞=n

x(n).z-n Rx- < |z| <Rx

+ (2.1)

Đạo hàm hai vế của (2.1) ta được:

46

dZ

zdX )( = ∑

∞

−∞=n

(-n).x(n).z-n-1 (2.2)

Nhân hai vế của (2.2) với (-z), ta được:

(-z).dZ

zdX )( = (-z).∑

∞

−∞=n

(-n).x(n).z-n-1 =∑∞

−∞=n

n.x(n).z-n = ZT[n.x(n)]

Vây: X(Z) = ZT[n.x(n)] = (-z).dZ

zdX )( (Với y(n) = n.x(n)) (2.7)

Ví dụ: Tìm biến đổi Z và miền hội tụ của dãy số: x(n) = n.anu(n)

Giải:

Gọi x(n) = nx1(n) => x1(n) = anu(n)

Ta đi tính X1(z): X1(z) = ∑∞

−∞=n

x1(n)Z-n = ∑∞

−∞=n

anZ-n = 1

1 - aZ-1 :RC z a>

Áp dụng biểu thức 2.7 ta có:

X(Z) =2

.. ( )

( 1)n d z a z

ZT n a u n zdz z a z

= − = − − với :RC z a>

2.4.5 Tích chập của hai dãy

Giả sử ta có: x3(n) = x1(n) * x2(n)

Ta có thể tìm X1(z), X2(z), X3(z) theo x1(n), x2(n) như sau :

Ta có: X1(z) = ∑∞

−∞=n

x1(n).z-n với Rx1- < |z| < Rx1

+

X2(z) = ∑∞

−∞=n

x2(n).z-n với Rx2- < |z| < Rx2

+

X3(z) = ∑∞

−∞=n

x3(n).z-n = ∑∞

−∞=n

[ x1(n) * x2(n)].z-n

= ∑∞

−∞=n

[ ∑∞

−∞=

−k

knxkx )().( ].z-n = ∑∞

−∞=k

x1(k).∑∞

−∞=n

x2(n - k).z-n

Đặt: m = n – k ⇒n = m + k

Khi n → ∞ thì m → ∞

⇒ Y(z) = ∑∞

−∞=k

x1(k).∑∞

−∞=m

x2(m).z-(k + m) = ∑∞

−∞=k

x1(k).z-k. ∑∞

−∞=m

x2(m).z-m

= X1(z). X2(z)

Vậy X3(z) = X1(z).X2(z) với Ry- < |z| < Ry

+ (2.8)

47

Trong đó: Ry- = max(Rx1

- , Rx2-), Ry

+ = min(Rx1+ , Rx2

+)

*) Chú ý: Miền hội tụ có thể mở rộng ra khi xuất hiện các điểm cực, điểm không.

Ví dụ: Cho hai dãy số x1(n) và x2(n) như sau:

x1(n) = u(n) và x2(n) = n.u(n)

Hãy tìm dãy x3(n) = x1(n) * x2(n) thông qua các tính chất của biến đổi Z

Giải:

Ta có: X1(z) = ZT[u(n)] = 1−z

z với |z| > 1

X2(z) = ZT[n.u(n)] = )1).(1( −− zz

z

X3(z) = X1(z).X2(z) = z2/(z - 1)3 = 1

1

−z+

)1).(1(

2

−− zz +

)1).(1).(1(

1

−−− zzz

Sử dụng biến đổi Z ngược ta tính được x3(n)

x3(n) = u(n - 1 ) + 2.(n - 1). u(n - 2) + 2

)3().2).(1( −−− nunn

2.4.6 Tương quan của hai tín hiệu

Tương quan của hai tín hiệu được định nghĩa như sau: rxy(n) = ∑∞

−∞=

−m

nmymx )().( .

Thì trong miền Z ta có quan hệ:

Rxy(z) = ZT[rxy(n)] = ∑∞

−∞=n

rxy(n).z-n = ∑∞

−∞=n

∑∞

−∞=

−m

nmymx )().( .z-n

= ∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞=

−m n

nmymx )().( .z-n

Đặt: k = m – n ⇔ n = m – k

Khi n ∞→ thì k ∞→

Nên ta có: Rxy(z) = ∑∞

−∞=n

x(m) ∑∞

−∞=k

y(k).z-(m-k)

= ∑∞

−∞=n

x(m).z-m. ∑∞

−∞=k

y(k).zk

= X(Z).Y(z

1)

Vậy Rxy(z) = X(Z).Y(z

1) (2.9)

Bây giờ ta xét miền hội tụ:

48

RC[X(Z)]: Rx- < |z| < Rx

+

RC[Y(z

1)]: 1/Ry

- < |z| < 1/Ry+

RC[Rxy(z)] = RC[X(Z)] ∩ RC[Y(z

1)]: max[Rx

-, 1/Ry-] < |z| < min[Rx

+, 1/Ry+]

Ví dụ:

Cho dãy x(n) như sau: x(n) = rect3(n)

Hãy sử dụng quan hệ (2.9) để tính hàm tự tương quan rxx(n)

Giải:

Ta có: X(Z) = ZT[x(n)] = ∑∞

−∞=n

rect3(n).z-n =∑=

2

0n

z-n = 1 + z-1 + z-2 , z ≠ 0

X(z

1) = ∑

=

2

0n

zn = 1 + z + z2

⇒ RxX(Z) = X(Z).X(z

1) = (1 + z-1 + z-2).(1 + z + z2)

= 3 + 2.z + 2.z-1 + z-2 + z2

Áp dụng công thức tính biến đổi z ngược ta tính được rxx(n):

rxx(n) = 3. )(nδ + 2. )1( −nδ + 2. )1( +nδ + )2( −nδ + δ (n + 2)

2.4.7 Dãy liên hợp phức

Giả sử chúng ta có hai dãy sau: x(n) và x*(n), dấu * ở đây có nghĩa là liên hợp

phức. Lấy biến đổi Z cả hai dãy này ta có:

ZT[x(n)] = X(Z) = ∑∞

−∞=n

x(n).z-n

ZT[x*(n)] = ∑∞

−∞=n

x*(n).z-n

Mà ta có: [X(Z)]* = [∑∞

−∞=n

x(n).z-n]*

X*(z) = ∑∞

−∞=n

x*(n).(z*)-n

⇒ X*(z*) = ∑∞

−∞=n

x*(n).[(z*)*]-n = ∑∞

−∞=n

x*(n).z-n (vì (z*)*) = z)

Vậy ta có: ZT[x*(n)] = X*(z*) với miền hội tụ: Rx- < |z| < Rx

+

2.4.8 Định lý giá trị ban đầu

49

Định lý giá trị ban đầu được phát biểu dưới dạng biểu thức như sau:

x(0) = lim X(Z) với X(Z) = ∑∞

=0n

x(n).z-n = x(0) + x(1).z-1 + x(2).z-2 +…+x(n).z-n

z ∞→

Nếu X(Z) hội tụ khi |z| > Rx- và nếu chúng ta có: lim z-n0.X(Z) = A < ∞

z ∞→

(với n0 là số nguyên) thì ta thu được : x(n0) = A và x(n) = 0 với n < n0

*) Chú ý: Định lý này chỉ có giá trị đối với dãy nhân quả vì định lý này cho phép

đưa ra giá trị tại gốc tọa độ của một dãy khi chúng ta biết biến đổi Z của nó.

2.4.9 Tích của hai dãy

Giả sử trong miền n ta có: x3(n) = x1(n).x2(n) , thì trong miền Z ta có:

X(Z) = ∫ΠC

j..2

1X1(v).X2(

v

z).v-1dv

Với miền hội tụ: RC[X1(z)]: Rx1- < |z| < Rx1

+

RC[X2(z)]: Rx2- < |z| < Rx2

+

RC[X3(z)] = RC[X1(z)] ∩ RC[X2(z)]

Chú ý: C phải là đường tròn bao quanh gốc tọa độ và thuộc vùng hội tụ của

X1(v) và X2(1/v).

2.5 Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền Z

2.5.1 Hàm truyền đạt của hệ thống rời rạc

Trước hết ta tiến hành so sánh quan hệ giữa đầu vào, đầu ra và đáp ứng xung

trong miền n sau đó chuyển sang miền Z.

Miền n

x(n) y(n)

y(n) = x(n) * h(n)

= ∑∞

−∞=n

x(n)h(n-k)

h(n) = IZT[H(Z)]

Miền z

X(Z) Y(Z)

Y(Z) = X(Z).H(Z)

X(Z) = ZT[x(n)]

H(Z) = ZT[h(n)]

Y(Z) = ZT[y(n)]

H(Z) = Y(Z)X(Z)

Bảng 2.5.1

h(n) H(Z)

50

Bảng 2.5.1 sẽ cho ta sự so sánh này trong cả miền n và miền Z.

Hàm truyền đạt của một hệ thống rời rạc chính là biến đổi Z của đáp ứng xung

được kí hiệu là H(Z):

H(Z) = ZT[h(n)] và H(Z) = Y(Z)X(Z)

2.5.2 Hàm truyền đạt của một hệ thống tuyến tính bất biến được đặc

trưng bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng.

Giả sử ta có hệ thống tuyến tính bất biến được biểu diễn bởi phương trình sai

phân tuyến tính hệ số hằng.

∑=

N

k 0

ak.y(n - k) = ∑=

M

r 0

br.x(n - r) (2.10)

Biến đổi Z cả hai vế phương trình (2.10) ta được:

ZT[∑=

N

k 0

ak.y(n - k)] = ZT[∑=

M

r 0

br.x(n - r)]

⇔ ∑=

N

k 0

ak.ZT[y(n - k)] = ∑=

M

r 0

br.ZT[x(n - r)] (2.11)

Giả sử: ZT[y(n)] = Y(z) ⇒ZT[y(n - k)] = z-k.Y(z)

ZT[x(n)] = X(Z) ⇒ZT[x(n - r)] = z-r.X(Z)

(2.11) ⇔ ∑=

N

k 0

ak.z-k.Y(z) = ∑

=

M

r 0

br.z-r.X(Z)

⇔ H(z) = )(

)(

zX

zY= ∑=

M

r 0

br.z-r

∑=

N

k 0

ak.z-k

Ví dụ: Cho hệ thống tuyến tính bất biến được đặc trưng bởi phương trình sai phân

tuyến tính hệ số hằng :

y(n) – 2.y(n - 1) = x(n) – 3.x(n - 1) (1)

Tìm hàm truyền đạt của hệ thống.

Giải:

Thực hiện biến đổi Z cả hai vế của phương trình (1), ta được:

ZT[y(n)] – 2.ZT[y(n - 1)] = ZT[x(n)] – 3.ZT[x(n - 1)]

⇔ Y(z) – 2.z-1.Y(z) = X(Z) – 3.z-1.X(Z)

⇔ Y(z).(1 – 2.z-1) = X(Z).(1 – 3.z-1)

51

⇔ H(z) = )(

)(

zX

zY =

z

z

/21

/31

−

− =

2

3

−

−

z

z

2.5.3 Các phần tử thực hiện hệ thống tuyến tính bất biến

2.5.3.1 Phần tử cộng

Trong miền Z được sử dụng để cộng hai hay nhiều hàm ảnh Xi(z) và được ký hiệu

như trên hình 2.1

a. Y(z) = X1(z) + X2(z) b. ∑=

=M

i

i zz XY

1

)()(

Hình 2.1 : Ký hiệu phần tử cộng trong miền Z.

2.5.3.2 Phần tử trễ đơn vị

Theo tính chất trễ của biến đổi Z thì : )()]([)( 11 zznxZTz XY−=−=

do đó phần tử trễ đơn vị trong miền z có hàm hệ thống 1)( −= zzH và nó được ký

hiệu như trên hình 2.2.

Hình 2.2 : Ký hiệu phần tử trễ đơn vị trong miền z : )()( 1zzz XY

−= .

2.5.3.3 Phần tử nhân với hằng số

Phần tử nhân với hằng số dùng để nhân hàm ảnh X(Z) với hằng số a, nó được ký

hiệu như trên hình 2.3.

Hình 2.3 : Ký hiệu phần tử nhân với hằng số trong miền z :

Ví dụ: Hãy xây dựng sơ đồ cấu trúc trong miền Z của hệ sử lý số có quan hệ vào ra

)()()()( 15,0132 −−−+= nnnn yxxy

Giải :

Lấy biến đổi Z cả hai vế của phương trình trên nhận được :

)()()()( 11 5,032 zzzzzz YXXY−− −+= (2)

X(Z) Y(z) 1−z

X(Z) Y(z)

a

+ + X1(z) Y(z)) X2(z)

Xi(z)

Y(z))

X2(z) XM(z)

X1(z)

52

Từ đó xây dựng được sơ đồ cấu trúc trong miền Z của hệ trên hình 2.4.

Hình 2.4 : Sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số cho (2)

2.5.4 Phân tích hệ thống trong miền Z

*) Nguyên tắc chung:

- Phân tích hệ thống tổng quát thành những hệ thống nhỏ hơn.

- Tìm quan hệ ghép nối giữa những hệ thống nhỏ hơn này.

- Tìm hàm truyền đạt của những hệ thống nhỏ này.

- Tổng hợp lại theo mối quan hệ đã tìm thấy ở trên.

2.5.4.1 Hàm hệ thống H(z) của các khối liên kết nối tiếp

Xét hệ thống gồm m khối liên kết nối tiếp trên hình 2.5.

Khi đó đáp ứng của hệ sẽ được xác định theo biểu thức :

)().()()......().().()( 21 zzzzzzz HXHHHXY m ==

Từ đó suy ra : ∏=

=m

i

i zz HH

1

)()( (2.12)

Hàm hệ thống H(z) của các khối liên kết nối tiếp bằng tích các hàm hệ thống

Hi(z) thành phần

Hình 2.5 : Sơ đồ các khối Hi(z) liên kết nối tiếp.

2.5.4.2 Hàm hệ thống H(z) của các khối liên kết song song

Xét hệ xử lý số gồm m khối liên kết song song trên hình 2.6.

X(Z) Y(z)

3

2

- 0,5 1−z

1−z

+

X(Z) Y(z) H1(z)

H2(z)

Hm(z)

X(Z) Y(z) H1(z)

+

H2(z)

+

Hm(z)

53

Hình 2.6 : Sơ đồ các khối Hi(z) liên kết song song.

Khi đó phản ứng của hệ sẽ được xác định theo biểu thức :

)().(...)().()().()( 21 zzzzzzz mHXHXHXY +++=

Hay : [ ] )().()(...)()().()( 21 zzzzHzzz HXHHXY m =+++=

Từ đó suy ra : ∑=

=m

i

i zz HH

1

)()( (2.13)

Hàm hệ thống H(z) của các khối liên kết song song bằng tổng các hàm hệ thống

Hi(z) thành phần.

2.5.4.3 Hàm hệ thống H(z) của vòng phản hồi

Xét hệ xử lý số có vòng phản hồi trên hình 2.7, theo sơ đồ khối có :

)().()( 22 zzz HYX =

và : )().()()()()( 221 zzzzzz HYXXXX +=+=

[ ] )(.)().()()().()( 1211 zzzzzzz HHYXHXY +==

)().().()().()( 211 zzzzzz HHYHXY +=

[ ] )().()().()( 1211 zzzzz HXHHY =−

Từ đó suy ra : )().(

)(

)(

)()(

21

1

1 zz

z

z

zz

HH

H

X

YH

−== (2.14)

Hình 2.7 : Sơ đồ khối của vòng phản hồi.

Hàm hệ thống H(z) của vòng phản hồi trên hình 2.7 được tính theo biểu thức

(2.14)

2.5.5 Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng nhờ biến đổi Z

Dùng biến đổi Z một phía để giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng.

Trước tiên, chúng ta sẽ tìm hiểu tính chất trễ của biến đổi Z một phía.

2.5.5.1 Tính chất trễ của biến đổi Z một phía

X(Z) Y(z)

H2(z)

X2(z)

X1(z) + H1(z)

54

Ta có: ZT1[x(n)] = X1(z) = ∑∞

=0n

x(n).z-n

Ta sẽ tìm ZT1[x(n - k)] theo X1(z)

ZT1[x(n - k)] = z-k.X1(z) = ∑∞

=0n

x(n - k).z-n

Đặt: m = n – k ⇔ n = m + k

Khi n 0→ thì m k−→ , khi n ∞→ thì m ∞→

⇒ZT[x(n - k)] = ∑∞

−= km

x(m).z-(m + k) = z-k.∑∞

−= km

x(m).z-m

= z-k.∑−

−=

1

km

x(m).z-m + z-k.∑∞

=0m

x(m).z-m

= z-k.∑−

−=

1

km

x(m).z-m + z-k.X1(z)

2.5.5.2 Ý tưởng

Xuất phát từ phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng, ta sẽ tính được biến

đổi Z một phía Y1(z). Rồi từ biến đổi Z một phía, áp dụng biến đổi Z ngược ta sẽ

tìm được y(n).

Ví du: Cho y(n) – 3.y(n - 1) + 2y(n - 2) = x(n) (1), với điều kiện ban đầu là:

x(n) = 3(n-2)u(n), y(-1) = y(-2) = 0. Dựa vào biến đổi Z, hãy giải phương trình này.

Giải:

Thực hiện biến đổi Z một phía cả hai vế của phương trình (1) ta được:

ZT1[y(n) – 3y(n-1) + 2y(n-2)] = ZT1[x(n)]

⇔ ZT1[y(n)] + ZT1[-3y(n-1)] + ZT1[2y(n-2)] = ZT1[x(n)]

⇔ Y1(z) – 3.z-1[∑−

−=

1

1m

y(m).z-m + ∑∞

=0m

y(m).z-m] + 2z-2.[∑−

−=

1

2m

y(m).z-m + ∑∞

=0m

y(m).z-m +

Y1(z)] = ZT1[x(n)]

⇔ Y1(z) – 3.z-1.y(-1).z – 3.Y1(z).z-1 + 2z-2.y(-2).z2 + 2z-1.y(-1).z-1

+ 2z-2.Y1(z) = ZT1[x(n)]

⇔ Y1(z) – 3.y(-1) -3.Y1(z)Z-1 + 2y(-2) + 2z-1.y(-1) + 2z-2.Y1(z) = ZT1[x(n)]

⇔ Y1(Z)(1 – 3Z-1 + 2Z-2) = ZT1[x(n)]

Trong đó: ZT1[x(n)] = ZT [3(n-2).u(n)] = ZT[3-2.3n .u(n)] = 9( 3)

z

z −

55

Nên: Y1(Z) = 9( 3)

z

z −.

z2

z2-3z+2 = 3 3

29( 3)( 3 2) 9( 1)( 2)( 3)

z z

z z z z z z=

− − + − − −

Để tìm y(n) ta phải tìm IZT[Y1(Z)], ta sử dụng phương pháp khai triển thành phân

thức tối giản:

Y1(Z) = 3

31 2

9( 1)( 2)( 3) ( 1) ( 2) ( 3)

BB Bz

z z z z z z= + +

− − − − − −

Trong đó:

2

1

( 1)

9( 3)( 2)( 1)

z zB

z z z

−=

− − −|z = 1 ⇒

2

1

1 1

9(1 3)(1 2) 18B = =

− −

2

2

( 1)

9( 3)( 2)( 1)

z zB

z z z

−=

− − −|z = 2 ⇒

2

2

2 4

9(2 3)(2 1) 9B = = −

− −

2

3

( 1)

9( 3)( 2)( 1)

z zB

z z z

−=

− − −|z = 3 ⇒

2

3

2 1

9(3 2)(3 1) 2B = =

− −

Vậy ( ) 1 1 4 1 1 1

. . .18 ( 1) 9 ( 2) 2 ( 3)

Y z

z z z z= − +

− − −

⇒ 1 4 1

( ) . . .18 ( 1) 9 ( 2) 2 ( 3)

z z zY z

z z z= − +

− − −

⇒y(n) = 1 4 1

. ( ) .2 ( ) .3 ( )18 9 2

n nu n u n u n− +

2.6 Độ ổn định của hệ thống

Để một hệ thống có thể triển khai được về mặt vật lý thì hệ thống đó phải là hệ

thống tuyến tính, bất biến, nhân quả và ổn định.

2.6.1 Sự ổn định của một hệ thống tuyến tính bất biến

Trong miền n, ta dựa vào đáp ứng xung h(n) để xét sự ổn định của hệ thống. Một

hệ thống là ổn định nếu S = ∑∞

−∞=n

|h(n)| < ∞ .

Trong miền Z, ta cần khảo sát H(z)

H(z) = ∑∞

−∞=n

h(n).z-n

So sánh điều kiên ổn định trong miền n với công thức H(z), ta thấy rằng muốn

điều kiện trong miền n được thỏa mãn thì hàm truyền đạt H(z) phải hội tụ với |z| = 1

(tức là trên vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng Z), vì thế miền hội tụ của H(z) nhất

thiết phải chứa vòng tròn đơn vị.

56

Như vậy: Một hệ thống tuyến tính bất biến là ổn định nếu và chỉ nếu vòng tròn

đơn vị nằm trong miền hội tụ của hàm truyền đạt của hệ thống.

2.6.2 Sự ổn định của một hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả

Trong thực tế, chúng ta chỉ gặp những hệ thống nhân quả. Vì vậy, chúng ta

sẽ nghiên cứu điều kiện ổn định đối với hệ thống nhân quả.

Hàm truyền đạt của một hệ thống nhân quả được cho bởi công thức dưới đây:

H(z) = ∑∞

=0n

h(n).z-n

Miền hội tụ của H(z) nằm ngoài vòng tròn có bán kính là R, trong đó:

R = lim |h(n)|1/n < 1

n ∞→

Điều kiện của một hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả được phát biểu

như sau:

Một hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả là ổn định nếu và chỉ nếu tất cả các

điểm cực của hàm truyền đạt H(z) nằm bên trong vòng tròn đơn vị (tức là chỉ cần 1

điểm cực nằm trên hoặc bên ngoài đường tròn đơn vị là hệ thống không ổn định).

Ví dụ:Cho một hệ thống tuyến tính bất biến được đặc trưng bởi phương trình sai

phân sau: y(n) = Ay(n) + x(n) (1)

Tìm hàm truyền đạt H(Z), tìm h(n) và xét sự ổn định trong miền Z của hệ thống trên

Giải:

Thực hiện biến đổi Z hai vế của (1) ta được:

Y(z) = A.z-1.Y(Z) + X(Z)

⇔ (1 – A.z-1).Y(z) = X(Z)

⇔ H(z) = )(

)(

zX

zY =

11-A.z-1 =

zz - A Điểm cực z = A

An với n ≥ 0

⇒ h(n) = IZT[H(Z) =

0 với n < 0

Xét sự ổn định:

H(Z) = z

z - A ; D(Z) = z – A ⇒ z = A

57

A < 1 ⇒ hệ thống ổn định ; A ≥ 1 ⇒ hệ thống không ổn định

2.6.3 Tiêu chuẩn ổn định Jury

Trong phần 2.6.2, ta thấy rằng muốn biết một hệ thống có ổn định hay không,

chúng ta phải tìm các điểm cực của hàm truyền đạt H(z). Nhưng khi bậc của mẫu số

của H(z) lớn thì việc tìm các điểm cực sẽ gặp nhiều khó khăn. Để tránh tìm các

điểm cực mà vẫn biết được hệ thống có ổn định hay không, chúng ta có thể dùng

tiêu chuẩn ổn định Jury.

Giả sử ta có một hệ thống mà hàm truyền đạt H(z) của nó có dạng sau đây:

H(z) = ∑=

M

r 0

br.z-r

∑=

N

k 0

ak.z-k

= ∑=

M

r 0

br.zN – r

∑=

N

k 0

ak.zN – k

Gọi D(z) = ∑=

N

k 0

ak.zN – k

Chúng ta sử dụng các hệ số ak để xây dựng một bảng gồm 2.N – 3 hàng như

dưới đây:

Hàng Hệ số

1 a0 a1 a2 ... … … aN

2 aN aN- 1 aN-2 … … … a0

3 c0 c1 c2 … … cN-1

4 cN-1 cN-2 cN-3 … … c0

5 d0 d1 d2 … dN-2

6 dN-2 dN-3 dN-4 … d0

…….. ….. ….. ….. ….. ….. …..

2.N - 3 r0 r1 r2

Tiêu chuẩn ổn định Jury được phát biểu như sau:

Một hệ thống tuyến tính bất biến là ổn định nếu và chỉ nếu hàm truyền đạt H(z)

của nó thỏa mãn 3 điều kiện sau đây:

(1) D(z)|(z=1) > 0

(2) D(z)|(z=-1) > 0 với N chẵn

D(z)|(z=-1) < 0 với N lẻ

58

(3) 1 > |aN|

|c0| > |cN-1|

|d0| > |dN-1|

…..……..

|r0| > |r2|

Trong đó: ci = a0.ai – aN.aN-i (với i = 0, 1, 2,…., N - 1)

di = c0.ci – cN-1-i.cN-1 (với i= 0, 1, 2, , N - 2) N: Là bậc D(z)

Ví dụ: Cho một hệ thống có hàm truyền đạt như sau:

H(z) = 1

4 + 3Z-1 + 2Z-2 + Z-3 + Z-4

Hãy dùng tiêu chuẩn ổn định Jury để xét sự ổn định của hệ thống này.

Giải:

Viết lại H(Z) = 1/4Z4

Z4 + 3/4Z3 + 1/2Z2 + 1/4

Ta có D(z) = Z4 + 3/4Z3 + 1/2Z2 + 1/4, N = 4: là số chẵn, 2.N – 3 =5 hàng

a0 = 1 ; a1 = ¾ ; a2 = ½ ; a3 = ¼ ; a4 = ¼ .

c0 = 1 – a4a4 = 15/16

c1 = a1 – a4a3 = 11/16

c2 = a2 – a4a2 = 6/16

c3 = a3 – a4a1 = 1/16

d0 = c0c0 – c3c3 = 224/256

d1 = c0c1 – c3c2 = 159/256

d2 = c0c2 – c3c1 = 79/256

Ta sẽ lần lượt kiểm tra 3 điều kiện của tiêu chuẩn Jury

(1) D(z)|(z=1) = 1+3/4+1/2+1/4 = 11/4 > 0

(2) D(z)|(z=-1) = 1-3/4+1/2-1/4+1/4 = 5/2 > 0 (N chẵn)

(3) 1 > ¼ ⇒ 1 > |aN|

15/16 > 1/16 ⇒ |c0| > |c3|

224/256>79/256 ⇒ |d0| > |d2|

Như vậy, cả ba điều kiện của tiêu chuẩn Jury đều được thỏa mãn. Do đó, đây là

hệ thống ổn định.

CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU

59

RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC

3.1 Biến đổi Fourier của các tín hiệu rời rạc

Biến đổi Fourier là một trong các công cụ toán học để chuyển việc biểu diễn tín

hiệu và hệ thống rời rạc từ miền biến số độc lập n sang miền tần số liên tục w.

3.1.1 Định nghĩa biến đổi Fourier (Fourier Transform)


Biến đổi Fourier của một tín hiệu rời rạc x(n) được định nghĩa như sau:

X(ejw) = ∑∞

−∞=n

x(n).e-jw.n (3.1)

Như vậy, biến đổi Fourier đã chuyển việc biểu diễn tín hiệu x

w, tức là trên trục ảo jw, vì jw là biến ảo. Như vậy, X(ejw) là hàm phức của biến

số w.

FT[x(n)] = X(ejw)

3.1.1.2 Các phương pháp thể hiện X(ejw)

Ta có ba phương pháp thể hiện sau:

+ Thể hiện dưới dạng phần thực và phần ảo

Bởi vì X(ejw) là hàm biến số phức nên ta có thể biểu diễn X(ejw) trong miền tần

số w dưới dạng phần thực và phần ảo như biểu thức (3.2) sau đây:

X(ejw) = Re[X(ejw)] + j.Im[X(ejw)] (3.2)

Trong đó:

Re[X(ejw)]: phần thực của X(ejw)

Im[X(ejw)]: phần ảo của X(ejw)

+ Thể hiện dưới dạng modun và argument

X(ejw) là hàm biến số phức nên ta có thể thể hiện nó dưới dạng modun và

argument như biểu thức dưới đây:

X(ejw) = |X(ejw)|.ej.arg[X(ejw)] (3.3)

Trong đó:

||: Là modun

arg: Là argument

|X(ejw)|: gọi là phổ biên độ của x(n)

arg[X(ejw)]: gọi là phổ pha của x(n)

60

Quan hệ giữa phổ biên độ, phổ pha và phần thực, phần ảo được thể hiện thông

qua biểu thức sau:

|X(ejw)|2 = Re2[X(ejw)] + Im2[X(ejw)] (3.4)

arg[X(ejw)] = arctg Im[X(ejw)] /Re[X(ejw)] (3.5)

Đặt: ϕ (w) = arg[X(ejw)]

⇒ X(ejw) = |X(ejw)|.ej.ϕ (w) (3.6)

+ Thể hiện dưới dạng độ lớn và pha

Giả sử, X(ejw) có dạng: X(ejw) = A(ejw).ej.θ (w) (3.7)

Trong đó: A(ejw) là thực và |A(ejw)| = |X(ejw)|

<+

≥=

0

0

)()12(

)(2)](arg[

ω

ωω

π

πj

j

j

eKhik

eKhike

A

AA

Một cách tổng quát, ta có thể viết :

=

= −− ++ ])(])(

)(1[

2

121[

2

12)](arg[ ω

ω

ωππω j

eASignj

eA

jeA

kkAje

Với hàm dấu Sign[A(ejw)] = A(ejw)/ |A(ejw)|

Mặt khác, ta lại có: arg[X(ejw)] = arg[A(ejw)] + θ (w) = ϕ (w)

⇒ θ (w) = ϕ (w) - arg[A(ejw)]

Ví dụ : Cho X(e-jw) = e-jw.sin 2w (3.8)

Hãy tìm: a) Re[X(ejw)] và Im[X(ejw)]

b) A(ejw) và θ (w)

c) |X(ejw)| và ϕ (w)

Giải:

a) Ta có: X(e-jw) = e-jw.sin 2w = (cos w – j.sin w).sin 2w

= cos w.sin 2w – j.sin w.sin 2w

Do vậy: Re[X(ejw)] = cos w.sin 2w

Im[X(ejw)] = sin w.sin 2w

b) Từ (3.7), đối chiếu với (3.8) ta có: A(ejw) = sin 2w và θ (w) = -w

c) Ta có: |X(e-jw)| = |sin 2w| (từ biểu thức 3.6)

ϕ (w) = θ (w) + arg[A(ejw)] =

+− −+ ]2sin

2sin1[

2

12

w

wkw π (k nguyên)

61

Ví dụ : Hãy tìm biến đổi Fourier của các dãy sau đây:

a) x1(n) = δ (n-1) + δ (n) + δ (n+1)

b) x2(n) = 3n.u(n-1)

Giải:

a) Ta có: X1(ejw) = FT[x1(n)] = ∑

∞

−∞=n

x1(n).e-jwn

= ∑−=

1

1n

e-jwn = ejw + 1 + e-jw = 2.cos(w)+ 1

b)Ta có: X2(ejw) = ∑

∞

−∞=n

3n.u(n-1).e-iwn = ∑∞

=1n

3n.e-jwn

= ∑∞

=0n

(3.e-jw)n (*)

Vì |3.e-jw| = 3 > 1 nên chuỗi (*) không hội tụ

Do vậy: x2(n) không có biến đổi Fourier

3.1.2 Sự tồn tại của biến đổi Fourier

Qua các ví dụ 3.1 và 3.2 ta thấy rằng : biến đổi Fourier chỉ tồn tại nếu chuỗi

trong biểu thức (3.1) hội tụ. Mà chuỗi (3.1) hội tụ nếu và chỉ nếu x(n) thỏa mãn điều

kiện sau đây:

∑∞

−∞=n

|x(n)| < ∞ (3.9)

Nếu (3.9) được thỏa mãn thì chuỗi (3.1) sẽ hội tụ tuyệt đối về một hàm liên tục

của w.

Ta có công thức tính năng lượng là: Ex = ∑∞

−∞=n

|x(n)|2 ≤ [∑∞

−∞=n

|x(n)|]2 ≤ ∞ nếu (3.9)

được thỏa mãn hay nếu Ex hữu hạn thì (3.9) thỏa mãn. Như vậy, chúng ta có thể nói

rằng: Biến đổi Fourier của tín hiệu có năng lượng hữu hạn là luôn luôn tồn tại.

Ví dụ: Hãy xét sự tồn tại của biến đổi Fourier và tính năng lượng Ex của các dãy

x(n) sau đây:

a) x1(n) = δ (n-1) + δ (n)

b) x2(n) = u(n)

Giải:

a) Ta có:∑∞

−∞=n

|x1(n)|= ∑=

1

0n

|1| = 1 + 1 = 2

62

Ex = ∑=

1

0n

|1|2 = 1 + 1 = 2 < ∞

Vậy X1(ejw) tồn tại

b) Ta có: ∑∞

−∞=n

|x2(n)| = ∑∞

=0n

|1| = ∞

Ex = ∑∞

=0n

|1|2 = ∞

Vậy không tồn tại X2(ejw)

3.1.3 Biến đổi Fourier ngược (Inverse Fourier Transform)

Xuất phát từ công thức tính của biến đổi Fourier:

X(ejw) = ∑∞

−∞=n

x(n).e-jw.n

Nhân cả hai vế của nó với ejwm, rồi lấy tích phân theo biến w trong khoảng

[- ππ , ], ta có:

∫−

π

π

X(ejw).ejwm dw = ∫−

π

π

[∑∞

−∞=n

x(n).e-jw.n].ejwm dw = ∫−

π

π

[∑∞

−∞=n

x(n).ejw.(m-n)] dw

= ∑∞

−∞=n

x(n). ∫−

π

π

ejw.(m-n) dw

Mà:

≠

==∫

−

−

nmkhi

nmkhide

nmj

0

2)( πω

π

π

ω

⇒ ∫−

π

π

X(ejw).ejwm dw = ∑∞

−∞=n

x(n). ∫−

π

π

ejw.(m-n) dw = 2.π .x(m)

⇒ x(m) = π.2

1. ∫

−

π

π

X(ejw).ejwm dw

Vậy ta có cặp biến đổi Fourier sau đây:

x(n) = IFT[X(ejw)] = π.2

1. ∫

−

π

π

X(ejw).ejwn dw

X(ejw) = FT[x(n)] = ∑∞

−∞=n

x(n).e-jw.n

Ví dụ:

e-j4w |w| ≤ 2

π

63

Cho X(ejw) =

0 w còn lại

Hãy tìm x(n)

Giải:

Ta có: x(n) = IFT[X(ejw)] = π.2

1. ∫

−

π

π

X(ejw).ejwn dw = π.2

1∫

−

2/

2/

π

π

e-j4w.ejwn dw

= π.2

1∫

−

2/

2/

π

π

ej(n-4)w dw = π.2

1

)4(

1

−nj ej(n-4)w

2/

2/

π

π

−

= π.2

1.

)4(

1

−nj[cos(n-4)w + j.sin(n-4)] 2/

2/

π

π

−

= π.2

1.

)4(

1

−nj2j.sin(n-4).

2

π =

2

1

2)4(

2)4sin(

π

π

−

−

n

n

3.2 Các tính chất của biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier X(ejw) có chu kỳ 2π , vì vậy chúng ta chỉ cần nghiên cứu phổ

trong khoảng ( ππ ,− ) hoặc (0,2π ), khoảng tần số này ta gọi là khoảng cơ bản. Biến

đổi Fourier có các tính chất như sau:

3.2.1 Tính chất tuyến tính

Giả sử ta có hai tín hiệu x1(n) và x2(n) và biến đổi Fourier của chúng là:

X1(ejw) = FT[x1(n)]

X2(ejw) = FT[x2 (n)]

Chúng ta coi x(n) là tổ hợp tuyến tính của x1(n) và x2(n) như biểu thức dưới đây:

x(n) = a.x1(n) + b.x2(n) (a, b là hằng số) (3.10)

Biến đổi Fourier của x(n) được cho bởi:

X(ejw) = FT[x(n)] = ∑∞

−∞=n

(a.x1(n) + b.x2(n)).e-jwn

= a.∑∞

−∞=n

x1(n).e-jwn + b. ∑∞

−∞=n

x2(n).e-jwn

= a.X1(ejw) + b.X2(e

jw) (3.11)

Ví dụ: Cho x(n) = x1(n) + 2.x2(n)

(2

1)n n ≥ 0

64

Cho: x1(n) =

0 n còn lại

(4

1)n n ≥ 0

x2(n) =

0 n còn lại

Hãy tính biến đổi Fourier của tín hiệu trên.

Giải:

Theo tính chất tuyến tính của biến đổi Fourier ta có:

X(ejw) = X1(ejw) + 2.X2(e

jw)

Mà: X1(ejw) = ∑

∞

=0n

(2

1)n.e-jwn = ∑

∞

=0n

(2

1.e-jw)n

= jw

e−− .

2

11

1 =

jwe

−−2

2

X2(ejw) = ∑

∞

=0n

(4

1)n.e-jwn = ∑

∞

=0n

(4

1.e-jw)n

= jw

e−− .

4

11

1 =

jwe

−−4

4

⇒X(ejw) = jw

e−−2

2 +

jwe

−−4

4 =

wjjw

jw

ee

e2.68

.616−−

−

+−

−

3.2.2 Tính chất trễ

Giả sử ta có: y(n) = x(n – n0) thì Y(ejw) = e-jwn0.X(ejw)

Ví dụ:

Cho x(n) = rect3(n), x1(n) = rect3(n - 2), tính |X(ejw)|, |X1(ejw)|

Giải:

Ta có: X(ejw) = ∑∞

−∞=n

x(n).e-jwn = ∑=

2

0n

e-jwn = jw

wj

e

e−

−

−

−

1

1 3

=

).(

).(

222

2

3

2

3

2

3

jwjwjw

wjwjwj

eee

eee−−

−−

−

−

65

=

2sin.2.

2

3sin.2.

2

2

3

wje

wje

jw

wj

−

−

= e-jw.

2sin

2

3sin

w

w

⇒ |X(ejw)| =| e-jw.

2sin

2

3sin

w

w

| = | e-jw |.|

2sin

2

3sin

w

w

| = |

2sin

2

3sin

w

w

|

X1(ejw) = e-jw2.X(ejw) = e-j3w.

2sin

2

3sin

w

w

⇒ |X1(ejw)| = | e-j3w.

2sin

2

3sin

w

w

| = | e-j3w |.|

2sin

2

3sin

w

w

| = |2/sin

2/3sin

w

w|

3.2.3 Tính chất trễ tần số

Giả sử ta có: y(n) = ejw 0 n.x(n)

⇒Y(ejw) = ∑∞

−∞=n

y(n).e-jwn = ∑∞

−∞=n

ejw 0 n.x(n).e-jwn = ∑∞

−∞=n

e-jn(w-w 0 ).x(n)

= X(ej(w-w0))

Như vậy, ta thấy rằng việc nhân dãy x(n) với ejw0n trong miền biến số n sẽ tương

đương với việc dịch chuyển tần số của phổ X(ejw) đi một lượng là w0.

Ví dụ: cho x(n) có |X(ejw)| như sau:

-5π /2 -3π /2 -π /2 π /2 3π /2 5π /2 w

X(ejw

)

66

Vẽ |Y(ejw)| biết y(n) = cos 2

π .x(n)

Giải:

Ta có: cos 2

πn = [e 2

.njπ

+ e 2

.njπ−

]/2

⇒y(n) = 2

1 e 2

.njπ

.x(n) + 2

1 2

.njπ−

.x(n)

⇒Y(ejw) = 2

1X(e

)2

(π

−wj

) + 2

1X(e

)2

(π

+wj

)

⇒ |Y(ejw)| = |2

1 X(e

)2

(π

−wj

) | + |2

1 X(e

)2

(π

+wj

)|

⇒ |Y(ejw)| được biểu diễn như dưới đồ thị dưới đây:

3.2.4 Tích chập của hai dãy

Giả sử ta có: x(n) = x1(n) * x2(n)

⇒X(ejw) = X1(ejw). X2(ejw)

Ví dụ: Cho hai dãy số: x1(n) = rect4(n) và x2(n) = (1 – 2

n).rect4(n)

Hãy tìm x(n) = x1(n) * x2(n)

Giải:

Ta có: X(ejw) = X1(ejw). X2(ejw)

Mà: X1(ejw) = ∑∞

−∞=n

x1(n).e-jwn = ∑=

3

0n

e-jwn = jw

wj

e

e−

−

−

−

1

1 4

= 1 + e-jw + e-j2w + e-j3w

X2(ejw) = ∑∞

−∞=n

x2(n).e-jwn = ∑=

3

0n

(1 – 2

n).e-jwn

= 1 + 2

1.e-jw -

2

1e-j3w

-2π -π π 2π

w

|Y(ejw)|

67

⇒X(ejw) = (1 + e-jw + e-j2w + e-j3w).( 1 + 2

1.e-jw -

2

1e-j3w)

= 1 + 2

3.e-jw +

2

3. e-j2w + e-j3w

= ∑=

3

0n

x(n).e-jwn

⇒x(n) =

1,2

1,

2

3,

2

3,1 (với x(0) = 1)

3.2.5 Tính chất đối xứng

Giả sử dãy x(n) có dạng x(n) = Re[x(n)] + j.Im[x(n)]

Vậy dãy liên hợp của x(n) là x*(n) có dạng như sau:

x*(n) = Re[x(n)] – j.Im[x(n)]

Chúng ta sẽ tìm quan hệ giữa FT[x*(n)] và FT[x(n)]

Ta có: FT[x(n)] = X(ejw) = ∑∞

−∞=n

x(n)e-jwn

FT[x*(n)] = ∑∞

−∞=n

x*(n).e-jwn = [ ∑∞

−∞=n

x*(n).e-jwn]**

= ∑∞

−∞=n

x(n).ejwn* = X(e-jw)* = X*(e-jw)

Vậy: FT[x*(n)] = X*(e-jw)

Nếu x(n) là thực thì x*(n) ≡ x(n) và FT[x*(n)] = FT[x(n)].

Vậy đối với tín hiệu thực thì ta có: X*(e-jw) = X(ejw) hay phổ của tín hiệu có tính

chất đối xứng.

3.2.6 Tương quan giữa hai tín hiệu

Giả sử ta có: x(n), y(n), và rxy(n) = ∑∞

−∞=m

x(m).y(m - n)

⇒Rxy(ejw) = X(ejw). Y(ejw)

Nếu x(n) = y(n), x(n) thực thì:

Rxy(ejw) = Rxx(e

jw) = X(ejw). X(e-jw)

= X(ejw). X*(ejw) = |X(ejw)|2 (vì X*(ejw) = X(e-jw))

3.2.7 Quan hệ Parseval

Giả sử, ta có hai dãy x1(n) và x2(n), và:

X1(ejw) = FT[x1(n)]

68

X2(ejw) = FT[x2(n)]

Thì ta có: ∑∞

−∞=n

x1(n).x2*(n) = π2

1∫−

π

π

X1(ejw). X2*(ejw)dw

Nếu x1(n) = x2(n) = x(n) thì:

∑∞

−∞=n

x(n).x*(n) = π2

1∫−

π

π

X(ejw). X*(ejw)dw

⇔ ∑∞

−∞=n

|x(n)|2 = π2

1∫−

π

π

|X(ejw)|2dw

|X(ejw)|2 gọi là phổ mật độ năng lượng của x(n), nó thể hiện sự phân bố năng

lượng theo hàm của tần số. Ta kí hiệu nó là Sxx(ejw)

Vậy ta có: Sxx(ejw) = |X(ejw)|2

Mặt khác, ta lại có công thức tính năng lượng như sau:

Ex = ∑∞

−∞=n

|x(n)|2

Như vậy, quan hệ Parseval chính là quan hệ giữa năng lượng của tín hiệu và phổ

mật độ năng lượng của tín hiệu đó.

Ví dụ: Cho x(n) = (1/2)n.u(n), tính phổ mật độ năng lượng của x(n).

Giải:

Ta có: ∑∞

−∞=n

|x(n)| = ∑∞

=0n

(2

1)n =

2

11

1

−

= 2 < ∞

Vậy: FT[x(n)] tồn tại

Mà: X(ejw) = ∑∞

−∞=n

x(n).e-jwn = ∑∞

=0n

(2

1)n.e-jwn = ∑

∞

=0n

(2

1.e-jw)n

= jw

e−−

2

11

1

3.2.8 Tích của hai dãy

Giả sử, ta có hai dãy x1(n), x2(n) và x(n) = x1(n).x2(n)

Thì: X(ejw) = ∫−

−π

ππ

1)(

21 )().(2

111 dweXeX

wwjjw

Chứng minh:

69

Ta có: X(ejw) = ∑∞

−∞=n

x1(n).x2(n).e-jwn = ∑∞

−∞=n

[ 11 ..)(2

111 dweeXnjwjw

∫−

π

ππ

].x2(n).e-jwn

= 11)(

2 .)(.).(2

11 dweXenx

n

jwnwwj

∫ ∑−

∞

−∞=

−−π

ππ

= 1)(

21 ).().(2

11 dweXeX

wwjjw −−

−

∫π

ππ

Vậy ta có: X(ejw) = 1)(

21 ).().(2

11 dweXeX

wwjjw −−

−

∫π

ππ

= X1(ejw) * X2(e

jw) (3.12)

Quan hệ (3.12) được gọi là tích chập liên tục và tuần hoàn với chu kỳ 2π .

3.2.9 Vi phân trong miền tần số

Giả sử ta có: y(n) = n.x(n) và

FT[x(n)] = X(ejw) = ∑∞

−∞=n

x(n).e-jwn (3.13)

Lấy vi phân hai vế của (3.13) ta được:

∑ ∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

−−∞

−∞=

− −==

=

n n

jwnjwn

n

jwnjw

enxnjedw

dnxenx

dw

d

dw

edX).(.).().(

)(

⇔ j ∑∞

−∞=

− ==n

jwnjw

nnxFTenxndw

edX)]([).(.

)(

Vậy: FT[nx(n)] = jdw

edX jw )(

3.2.10 Tính chất đảo biến số

Giả sử ta có: y(n) = x(-n), thực hiện biến đổi Fourier hai vế của nó ta đươc:

FT[y(n)] = FT[x(-n)] = ∑∞

−∞=

−−n

jwnenx ).(

Đặt: m = -n, thì ta có: FT[x(m)] = ∑∞

−∞=

−−− =m

jwjwmeXemx )().( )(

Vậy: FT[x(n)] = X(e-jw)

3.3 So sánh biến đổi Fourier và biến đổi Z

3.3.1 Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi Z

Biến đổi Z của dãy x(n) được định nghĩa như sau:

X(z) = ZT[x(n)] = ∑∞

−∞=

−

n

nznx ).( (3.14)

70

Miền hội tụ: Rx- < |z| < Rx+

Z có thể được biểu diễn dưới dạng tọa độ cưc: z = r.ejw, trong đó:

|z| = r và arg[z] = w, thay vào (3.14) ta được:

X(z) = ZT[x(n)] = ∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞=

−−−− ==n n

njwnnnjwrnxFTernxernx ]).([.).().).((

Do đó: FT[x(n).r-n] = ZT[x(n)]

Nếu X(z) hội tụ tại |z| = 1, thì )(zX | jwez== ∑

∞

−∞=

− =n

jwnnxFTenx )]([).(

Như vậy: Biến đổi Fourier chính là biến đổi Z được đánh giá trên vòng tròn đơn

vị trong mặt phẳng Z.

Ví dụ: Cho các dãy số: x1(n) = (2

1)n.u(n), x2(n) = 2n.u(n)

Hãy tìm: X1(z), X2(z), X1(ejw), X2(e

jw)

Giải:

Ta có: X1(z) = ∑∑ ∑∞

= −

−∞

−∞=

∞

=

−−

−

===0 1

1

01

.2

11

1).

2

1(.)

2

1().(

n

n

n n

nnn

z

zzznx

Với: RC[X1(z)]: |z| > 2

1, chứa vòng tròn đơn vị.

X2(z) = ∑∑ ∑∞

=−

−∞

−∞=

∞

=

−−

−===

01

1

02

.21

1).2(.)2().(

n

n

n n

nnn

zzzznx

Với: RC[X2(z)]: |z| > 2, không chứa vòng tròn đơn vị.

⇒Không tồn tại X2(ejw)

X1(ejw) = X1(z) jwez=

= 1).(21

1−− jw

e

3.3.2 Đánh giá hình học X(ejw) trên mặt phẳng Z

Giả sử X(z) được biểu diễn dưới dạng cực và không như sau:

X(z) = C.

∏

∏

=

=

−

−

N

l

pl

M

r

r

zz

zz

1

10

)(

)(

Vì biến đổi Fourier chính là biến đổi Z được đánh giá trên vòng tròn đơn vị, có

|z| = 1 hay z = ejw, do đó:

71

X(z) jwez= = X(ejw) = C.

∏

∏

=

=

−

−

N

l

pl

jw

M

r

r

jw

ze

ze

1

10

)(

)( = C.

]arg[

1

]arg[

10

.||

.||

pljw

jw

zejN

l

pl

jw

zejM

r

r

jw

eze

eze

−

=

−

=

∏

∏

−

−

Nếu C là hằng số thực, thì ta có: X(ejw) = |x(ejw)|.ej.arg[X(ejw

)]

X(ejw) = C.

∏

∏

=

−−−

=

−

∑∑− ==

N

l

pl

jw

zezejM

r

r

jw

ze

eze

N

l

pljwjw

M

r

1

]]arg[]arg[[

10

||

.|| 11

⇒ |X(ejw)| = C.

∏

∏

=

=

−

−

N

l

pl

jw

M

r

r

jw

ze

ze

1

10

||

||

arg[X(ejw)] = ∑ ∑= =

−−−M

r

N

l

pl

jw

r

jwzeze

1 10 ]arg[]arg[

Đánh giá biên độ và pha của X(ejw) có thể được thực hiện trực tiếp trong mặt

phẳng Z, các giá trị Mor (với Mor = |ejw – z0r|) và Mpl (với Mpl = |ejw - zpl| ) là modun

của các véc tơ nối các điểm cực và các điểm không của X(z) với một điểm M cần

đánh giá nằm trong vòng tròn đơn vị (z = ejw), các giá trị argument r0ϕ và plϕ là các

góc tạo bởi các véc tơ trên với hướng song song với trục thực.

3.4 Biểu diễn hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục

3.4.1 Đáp ứng tần số


Trong miền n, thì hệ thống được đặc trưng bởi đáp ứng xung h(n),

và y(n) = x(n) * h(n) = h(n) * x(n)

Nếu x(n) = ejwn (với w là tần số) thì đáp ứng ra của hệ thống sẽ là:

y(n) = ∑ ∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

−− ==−k k k

jwnjwkknjweekhekhknxkh .]).([).()().( )(

Đặt H(ejw) = jwk

k

ekh−

∞

−∞=

∑ .)( (3.15)

⇒y(n) = H(ejw).ejwn

72

H(ejw) được gọi là đáp ứng tần số của hệ thống. Từ (3.15) ta thấy H(ejw) chính là

biến đổi Fourier của h(n). Ngược lại ta cũng tính được h(n) khi ta biết trước H(ejw)

theo công thức sau:

h(n) = IFT[H(ejw)] = ∫−

−π

ππ

jwnenh ).(

2

1

3.4.1.2 Biểu diễn H(ejw)

Ta thấy H(ejw) là hàm biến số phức của tần số w và có thể được biểu diễn như

sau:

H(ejw) = Re[H(ejw)] + j.Im[H(ejw)]

hoặc: H(ejw) = |H(ejw)|.ej )(wϕ ( )](arg[)( jweHw =ϕ )

Trong đó:

- |H(ejw)| gọi là đáp ứng tần số của biên độ hay gọi tắt là đáp ứng biên độ của

hệ thống.

- )(wϕ gọi là đáp ứng tần số của pha hay gọi tắt là đáp ứng pha của hệ thống.

Quan hệ giữa đáp ứng biên độ và đáp ứng pha được thể hiện qua biểu thức sau:

)](Re[

)](Im[)(

jw

jw

eH

eHarctgw =ϕ

3.4.2 Các bộ lọc số lý tưởng

Một ứng dụng quan trọng nhất của xử lý tín hiệu là lọc số. Các bộ lọc số dần dần

đã thay thế các bộ lọc tương tự.

Việc thiết kế các bộ lọc số thực tế đều đi từ lý thuyết các bộ lọc số lý tưởng, vì

vậy cần phải nghiên cứu các bộ lọc số lý tưởng. Chúng ta sẽ nghiên cứu bốn loại bộ

lọc số lý tưởng tiêu biểu là:

- Bộ lọc số thông thấp

- Bộ lọc số thông cao.

- Bộ lóc số thông dải.

- Bộ lọc số chắn dải.

Lọc ở đây chúng ta hiểu là lọc tần số chính, vì vậy mà tất cả các đặc trưng của

lọc tần số đều được đo theo đáp ứng biên độ.

3.4.2.1 Bộ lọc số thông thấp

73

Bộ lọc thông thấp lý tưởng được định nghĩa theo đáp ứng biên độ. Đáp ứng biên

độ của bộ lọc số thông thấp lý tưởng được định nghĩa như sau:

≤≤−

=khácw

wwweH

ccjw

0

1)( (-π π≤≤ w )

Các đoạn khác thì lặp lại.

Hình 3.1 Đồ thị của đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông thấp lý tưởng.

Ta thấy |H(ejw)| là đối xứng, tức là chúng ta đã định nghĩa bộ lọc số thông thấp

lý tưởng với h(n) là thực, và sau này nếu |H(ejw)| là đối xứng thì ta chỉ cần xét một

nửa chu kỳ (0 π≤≤ w ) là đủ. Nếu chỉ xét một nửa chu kỳ thì các tham số của bộ lọc

thông thấp lý tưởng sẽ như sau :

- Wc : tần số cắt

- 0 cww ≤≤ : dải thông

- π≤≤ wwc : dải chắn

Ví dụ: Hãy tìm h(n) của bộ lọc số thông thấp lý tưởng, với đáp ứng biên độ cho như

sau:

≤≤−

=

khácw

weH

jw

0

122|)(|ππ

Giải:

Ta có: h(n) = IFT[H(ejw)] = ∫−

−=

π

ππ

π

ππ 2/

2/

2

1

2

1

jn

edwe

jwnjwn

= nnjjn 2

sin.2

1

2sin.2.

.2

1 π

π

π

π=

3.4.2.2 Bộ lọc số thông cao lý tưởng

Bộ lọc số thông cao lý tưởng được định nghĩa theo đáp ứng biên độ. Đáp ứng

biên độ của bộ lọc số thông cao lý tưởng được định nghĩa như sau:

π -wc wc π

|H(ejw)|

w

74

≤≤

−≤≤−

=

khácw

ww

ww

eH c

c

jw

0

1)( π

π

(- ππ ≤≤ w )

Hình 3.2 Đồ thị của đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông cao lý tưởng.

Ta có nhận xét sau: |H(ejw)| là đối xứng, như vậy thì h(n) là thực và như vậy

trong miền tần số w, ta chỉ cần xét |H(ejw)| trong một nửa chu kỳ (0 π≤≤ w ) là đủ.

Nếu xét trong một nửa chu kỳ thì các tham số của bộ lọc thông cao lý tưởng sẽ như

sau:

- Wc : tần số cắt

- 0 cww ≤≤ : dải chắn

- Wc π≤≤ w : dải thông

Ví dụ: Cho bộ lọc thông cao lý tưởng pha không ( 0)( =wθ ) như sau:

≤≤

−≤≤−

=

khácw

w

w

eHjw

0

1

2

2)(

ππ

ππ

(với ππ ≤≤− w )

Tìm h(n) của hệ thống.

Giải:

Ta có: h(n) = ∫ ∫−

−

−π

π

π

πππ

2

2

2

1

2

1dwedwe

jwnjwn

= n

n

nnjn

jn

jn

j

.2

sin)(

2sin.

2.

2

1sin.

2.

2

1

π

π

δπ

ππ

π−=−

*) Nhận xét:

-π -wc 0 wc π

|H(ejw)|

w

75

- Bộ lọc số thông cao lý tưởng có h(n) đối xứng và tâm đối xứng nằm tai mẫu n = 0

bởi vì )(wθ là tuyến tính và )(wθ = 0

- Nếu ta ký hiệu bộ lọc số thông thấp lý tưởng là Hlp(ejw) và hlp(n); bộ lọc thông cao

lý tưởng là Hhp(ejw) và hhp(n) thì ta thấy rằng đối với các bộ lọc pha không ta có

quan hệ sau đây:

≠

=

=−

−

0

0)(

)(

)0(1

n

n

nhn

lph

lph

hp

- Nếu các bộ lọc số thông thấp, thông cao có cùng đáp ứng pha ta sẽ có các quan hệ

sau đây: hhp(n) = 1 – hlp(n) và Hhp(ejw) = 1 - Hlp (e

jw)

3.4.2.3 Bộ lọc số thông dải lý tưởng (ideal band pass filter)

Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông dải lý tưởng được định nghĩa như sau:

≤≤

−≤≤−

=

khácw

www

www

eH cc

cc

jw

0

121

12

|)(| (- ππ ≤≤ w )

Hình 3.3 Đồ thị của đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông dải lý tưởng.

*) Nhận xét:

Đáp ứng biên độ |H(ejw)| là đối xứng trong một chu kỳ (- ππ ≤≤ w ). Vì vậy

chúng ta chỉ cần xét trong một nửa chu kỳ (0 π≤≤ w ). Trong một nửa chu kỳ này,

bộ lọc thông dải chỉ cho thông qua các thành phần tần số từ wc1 đến wc2.

Các tham số của bộ lọc thông dải lý tưởng như sau:

- Wc1 : tần số cắt dưới

- Wc2 : tần số cắt trên.

- 21 cc www ≤≤ : dải thông.

- 10 cww ≤≤ , π≤≤ wwc2 : dải chắn.

-π -wc2 -wc1 wc1 wc2 π

H(ejw)

w

1

76

3.4.2.4 Bộ lọc số chắn dải lý tưởng (ideal band stop filter)

Đáp ứng biên độ của bộ lọc số chắn dải lý tưởng được định nghĩa như sau:

≤≤

≤≤−

−≤≤−

=

khácw

ww

www

ww

eHc

cc

c

jw

0

1

2

11

2

|)(|π

π

(với ππ ≤≤− w )

Hình 3.4 Đồ thị của đáp ứng biên độ của bộ lọc số chắn dải lý tưởng.

3.5 Lấy mẫu tín hiệu

3.5.1 Định lý lấy mẫu

Giả sử chúng ta có một tín hiệu tương tự có năng lượng hữu hạn xa(t), tức là tín

hiệu tương tự này phải thỏa mãn điều kiện: ∞<∫∞

∞−

dttxa

2)(

Khi một tín hiệu tương tự có năng lượng hữu hạn thì tín hiệu có bề rộng phổ hữu

hạn: Xa(wa) = 0 với |wa| > aΩ

hay: Xa(wa) ≠ 0 với |wa| < aΩ (3.16)

Trong đó: aΩ là một tần số hữu hạn.

Bởi vì phổ Xa(wa) là hữu hạn nên ta có:

Xa(wa) = ∑∞

−∞=

Ω

n

njw

na

a

ea

π.

. (3.17)

Trong đó: an = ∫Ω

Ω−

Ω

Ω

a

a

a

a

a

njw

aa

a

dwewX

π.

).(2

1

⇔ 2.an. aΩ = ∫Ω

Ω−

Ωa

a

a

a

a

njw

aa dwewX

π.

).( (3.18)

Theo định nghĩa về biến đổi Fourier ta có:

xa(t) = a

tjw

aa dwewX a ..)(2

1∫∞

∞−π

-π -wc2 -wc1 0 wc1 wc2 π

77

= a

tjw

aa dwewX a

a

a

..)(2

1∫

Ω

Ω−π

(từ 3.16) (3.19)

Chúng ta giới hạn việc tính xa(t) tại các thời điểm rời rạc t = naΩ

π

xa(naΩ

π) = a

njw

aa dwewX a

aa

a

Ω

Ω

Ω−

∫π

π

.

.)(2

1

⇔ 2π .xa(naΩ

π) = a

njw

aa dwewX a

aa

a

Ω

Ω

Ω−

∫π

.

.)( (3.20)

Từ (3.18) và (3.20) ta có: 2.an. aΩ = 2π .xa(naΩ

π)

⇔ an = )(.a

a

a

nxΩΩ

ππ (3.21)

Vì xa(naΩ

π) không còn là tín hiệu liên tục nữa nên ta thay nó bằng x(n

aΩ

π)

Vấn đề đặt ra ở đây là ta tìm lại tín hiệu tương tự từ các giá trị rời rạc x(naΩ

π).

Thay thế giá trị của an ở (3.21) vào (3.17), ta có:

Xa(wa) = ∑∞

−∞=

Ω

Ωn

njw

aa

a

a

ew

nx

πππ .

)..(. (3.22)

Thay thế Xa(wa) vào (3.19) ta được:

xa(t) = a

tjwtjw

n aa

dweenx aa

a

a

..)(2

1∫ ∑

Ω

Ω−

∞

−∞= ΩΩ

ππ

π

= a

ntjw

n aa

dwenx a

aa

a

).(

)(2

1 Ω−Ω

Ω−

∞

−∞=∫∑

ΩΩ

ππ

(3.17 hội tụ do X(ejw) hữu hạn).

= a

a

ntjw

a

n aa

a

a

e

ntj

nxΩ−

Ω

Ω−

ΩΩ

Ω−∞

−∞=

∑).(

.)(

1.)(

2

1π

π

=

Ω−Ω

Ω−

ΩΩ∑

∞

−∞=

)(sin.)(

2.)(

2

1

a

a

a

n aa

nt

nt

nxπ

π

π

78

Vậy ta có: xa(t) = ∑∞

−∞=

Ω−Ω

Ω−Ω

Ωn

a

a

a

a

a nt

nt

nx

)(

)](sin[

).(π

π

π (3.23)

Biểu thức (3.23) được gọi là công thức nội suy, bởi vì theo biểu thức này xa(t)

được nội suy một cách hoàn chính xác từ tập hợp các giá trị rời rạc x(naΩ

π). Như

vậy thì biểu thức (3.23) chính là nội dung của định lý lấy mẫu.

Định lý lấy mẫu trong miền tần số được phát biểu như sau:

Một tín hiệu tương tự có bề rộng phổ hữu hạn trong khoảng [-Fa, Fa] được xác

định một cách hoàn toàn chính xác bởi tập hợp các mẫu x(nTs) của nó nếu tần số lấy

mẫu Fs thỏa mãn điều kiện sau đây : Fs ≥ Fa

Trong định lý trên, thì Fa = π2

aΩ, Fs =

πaΩ

3.5.2 Tần số Nyquist

Tần số lấy mẫu lấy giá trị 2.Fa được gọi là tần số Nyquist, ký hiệu là FaNy

FaNy = 2.Fa, aaNy Ω=Ω 2 , TaNy = aaNy FF 2

11=

79

CHƯƠNG 4: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG

RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC

4.1 Mở đầu

Trong chương 3, chúng ta đã nghiên cứu cách biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời

rạc trong miền tần số liên tục w. Việc nghiên cứu trong miền w rất thuận lợi cho

việc phân tích và tổng hợp các hệ thống số. Trong chương 4 này, chúng ta sẽ nghiên

cứu cách biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số rời rạc wk hay nói

gọn lại là miền k. Thực chất của cách biểu diễn này là ta lấy từng điểm rời rạc trên

vòng tròn đơn vị trong mặt phẳng Z để biểu diễn. Để chuyển cách biểu diễn tín hiệu

và hệ thống rời rạc sang miền tần số rời rạc, chúng ta sẽ dùng một công cụ toán học

gọi là biến đổi Fourier rời rạc (Discrete Fourier Transform : DFT). Việc biểu diễn

trong miền tần số rời rạc đặc biệt hiệu quả khi xuất hiện các thuật toán tính nhanh

DFT, ta gọi là biến đổi Fourier nhanh (Fast Fourier Transform: FFT).

4.2 Biến đổi Fourier rời rạc đối với các tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ N

4.2.1 Các định nghĩa

4.2.1.1 Định nghĩa biến đổi Fourier rời rạc

Giả sử chúng ta có dãy tuần hoàn có chu kỳ N là ~

x (n),

tức là: ~

x (n) = ~

x (n + l.N)

Biến đổi Fourier rời rạc của các dãy tuần hoàn ~

x (n) có chu kỳ N được định

nghĩa như sau:

nk

NjN

n

enxkX..

2.1

0

~~

).()(π

−−

=

∑= (4.1)

Ví dụ: Cho dãy tuần hoàn ~

x (n) như sau:

≤≤

≤≤=

64

30

0

1~

n

nx

Với chu kỳ N = 5, hãy tìm )(~

kX

Giải:

80

Ta có: kj

kj

kj

n

knjnkn

j

n

e

k

k

e

eeenxkX 5

2

5

2

35

22

0

5

2..

22

0

~~

5sin

5

3sin

1

1).()(

π

π

πππ

π

π−

−

−

=

−−

=

=

−

−=== ∑∑

Đặt:

k

k

k

k

kA

5

5sin

.5

3

5

3sin

3)(~

π

ππ

π

=

Do đó ta có: )(~

)](arg[~

5

2~~

.)(.)().()(~

kjkXjkj

ekXekXekAkXϕ

π

===−

Và: Sgn[)(

)()](

~

~~

kA

kAkA = ] (Do )(

~

kA là thực)

Như vậy thì: )()(~~

kAkX = và [ ] )(125

2)( kASgnkk −+

−=

ππϕ

4.2.1.2 Định nghĩa biến đổi Fourier rời rạc ngược

Biến đổi Fourier rời rạc ngược được định nghĩa như sau:

∑−

=

=1

0

2~~

).(1

)(N

n

knN

j

ekXN

nx

π

(4.2)

Như vậy, ta đã lấy cách biểu diễn dãy tuần hoàn )(~

nx có chu kỳ N bởi tổng các

dãy hàm mũ làm định nghĩa cho biến đổi Fourier rời rạc ngược.

Ký hiệu: IDFT (Inverse Decrete Fourier Transform )

4.2.1.3 Bản chất của DFT

Ta có: nk

NjN

n

enxkX..

2.1

0

~~

).()(π

−−

=

∑= =∑−

=

−1

0

)2

sin2

)(cos(N

n

knN

jknN

nxππ

=∑−

=

1

0

2cos).(

N

n

knN

nxπ

- j∑−

=

1

0

2sin).(

N

n

knN

nxπ

Đặt: ~

A = ∑−

=

1

0

2cos).(

N

n

knN

nxπ

: Gọi là biến đổi cosin

~

B = -∑−

=

1

0

2sin).(

N

n

knN

nxπ

: Gọi là biến đổi sin

4.2.2 Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy tuần hoàn

có chu kỳ N

81

4.2.2.1 Tính chất tuyến tính

Giả sử ta có: )()()( 2

~~

13

~

nxbnxanx += thì:

DFT[ )(3

~

nx ] = )()()(~

21

~~

3 kXbkXakX += (4.3)

Ở đây, tất cả các dãy đều tuần hoàn với chu kỳ N.

4.2.2.2 Tính chất trễ

Giả sử ta có dãy )0(~

nnx − là dãy trễ của dãy )(~

nx cũng có chu kỳ tuần hoàn là N

như )(~

nx , thì: DFT[ )( 0

~

nnx − ] = )(.~2

0

kXekn

Nj

π

Và : )(.)(~.

2

0

~0

nxekkXIDFTkn

Nj

π−

=

+

4.2.2.3 Tính đối xứng

Nếu ta có dãy )(~

nx tuần hoàn với chu kỳ N và ][)(~~

xDFTkX = thì:

DFT )()(~*~

kXnx −=

và DFT )()(~*~

kXnx =

− (* là dấu liên hợp phức)

Ta cũng có các công thức tính biến đổi Fourier rời rạc của phần thực và phần ảo

của )(~

nx .

DFTRe

−+=

*~~~

)()(2

1)( kXkXnx

−=

)()(2

)(Im~~~

kXkXj

nxDFT

4.2.2.4 Tích chập tuần hoàn

Tích chập tuần hoàn của hai dãy tuần hoàn )(~

1 nx và )(~

2 nx có chu kỳ N là một

dãy )(~

3 nx tuần hoàn có chu kỳ N:

)(~

3 nx = ∑−

=

−1

0

~

2

~

1 )().(N

n

mnxmx

)(*)()( 2

~

1

~

3

~

kXkXkX =⇔

4.2.2.5 Tích của hai dãy

Giả sử chúng ta có: )().()( 2

~

1

~~

3 nxnxnx = , trong đó các dãy đều tuần hoàn với chu

kỳ N. Khi đó ta có:

82

∑−

=

−=1

0

2

~

1

~~

3 )().(1

)(N

m

mkXmXN

kX

4.2.2.6 Tương quan tuần hoàn

Nếu chúng ta có hai dãy tuần hoàn )(1

~

nx và )(2

~

nx có chu kỳ N, thì hàm tương

quan chéo của hai dãy sẽ được tính toán trên một chu kỳ:

∑−

=

−=1

0

2

~

1

~~

12 )().(N

m

nmxmxr

⇔ ∑ ∑−

=

−

=

−

−=1

0

1

0

2

2

~

1

~~

12 ).().(N

m

N

n

knN

j

enmxmxR

π

4.3 Biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy không tuần hoàn có chiều dài

hữu hạn

4.3.1 Các định nghĩa

Cặp biến đổi Fourier rời rạc (DFT) đối với các dãy không tuần hoàn có chiều dài

hữu hạn được định nghĩa như sau:

Biến đổi Fourier thuận:

DFT[x(n)] =

≠

−≤≤∑=

−

=

−

k

NkkX

N

n

knN

jenx

0

1

0

2

).( 10)(

π

Biến đổi Fourier ngược:

IDFT[X(k)] =

≠

−≤≤∑=

−

=

−

n

Nnnx

N

k

knN

jekX

N

0

1

0

2

).(1

10)(

π

Ví dụ: Cho

≠

−≤≤=

n

Nnnx

n

0

2 10)( , hãy tìm DFT[x(n)]

Giải:

Ta có: DFT[x(n)] = X(k) = ∑∑−

=

−−−

=

=1

0

221

0

).2(2N

n

nk

Njkn

NjN

n

nee

ππ

= k

Nj

Nk

Nj

e

eπ

π

2

2

.21

).2(1−

−

−

−

4.3.2 Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với các dãy có chiều

dài hữu hạn

4.3.2.1 Tính tuyến tính

83

Giả sử ta có hai dãy x1(n) và x2(n) có chiều dài lần lượt là N1 và N2 và

x(n) =a.x1(n) + b.x2(n), thì ta có:

X(k) = ∑−

=

−1

0

2

).(N

n

knN

j

enx

π

với N = max(N1, N2)

4.3.2.2 Trễ vòng

Giả sử ta có: x1(n) = x(n – n0) và DFT[x(n)] = X(k)N, N là chiều dài của x(n)

Thì: DFT[x1(n)] = ekn

Nj

π2−

X(k)N

Nếu IDFT[X(k)N] = x(n)N thì DFT[X(k – k0)] = N

knN

j

nxe )(0

2π−

Ví dụ: Cho

≠

≤≤=

−

n

nnx

n

0

41 40

)( 4 , hãy tính DFT[x(n - 3)4] = ?

Giải:

Trước tiên ta tính DFT(x(n))4, rồi sau đó mới tính DFT[x(n-3)4]

Ta có: X(k)4 = DFT[x(n)4] = ∑−

=

−1

0

2

).(N

n

knN

j

enx

π

X(0)4 = ∑=

−3

0

).4

1(n

n=

2

5

4

1

2

1

4

31 =+++

X(1)4 = 2

1

2

1

4

1

2

1

4

31).

41( 2

33

0

22 jeeeen j

n

jjnj

−=+++=−−

=

−−−

∑π

πππ

X(2)4 = ∑=

− =−3

0 2

1).

41(

n

nje

n π

X(3)4 = ∑=

−

+=−3

0

2

3

2

1

2

1).

41(

n

nj

jen

π

Áp dụng tính chất trễ ta có:

X1(k) = DFT[x(n-3)4] = ekj 3

2

π−

.X(k)4

⇒ X1(0) = X(0)4 = 2

5

X1(1) = e3

2

πj−

.X(1)4 = j(2

1

2

1j− ) =

2

1

2

1j+

X1(2) = e π3j− .X(2)4 = -1(2

1) =

2

1−

84

X1(3) = e 2

9πj−

X(3)4 = -j(2

1

2

1)

2

1

2

1jj −=+

4.3.2.4 Tích chập vòng

Tích chập vòng của hai dãy không tuần hoàn x1(n)N và x2(n)N có chiều dài hữu

hạn N là một dãy không tuần hoàn cũng có chiều dài N x(n)N được cho bởi quan hệ

sau:

x(n)N = NNN

N

m

NN nxnxmnxmx )((*))()(.)( 21

1

021 =−∑

−

=

(*)N là tích chập vòng chiều dài N.

Ngược lại: Nếu x(n)N = x1(n)N (*)N x2(n)N

thì: X(k)N = X1(k)N.X2(k)N

4.3.2.5 Quan hệ Parseval

Giả sử ta có tín hiệu x(n)N, thì:

−==

−−

=

−

=

−

=

−

=

∑∑∑∑kn

NiN

k

N

N

n

N

N

n

NN

N

n

N ekXN

nxnxnxnx

π21

0

*1

0

1

0

*1

0

2.)(

1)()()()(

= ∑ ∑∑−

=

−

=

−

=

−

−=1

0

1

0

*1

0

2* )(.)(

1.)(.)(

1 N

k

N

N

k

N

N

n

knN

j

NN kXkXN

enxkXN

π

= ∑ ∑−

=

−

=

=−1

0

1

0

22)(

1)(

1 N

k

N

k

kXN

kXN

∑ ∑−

=

−

=

=⇒1

0

1

0

22)(

1)(

N

n

N

k

kXN

nx

Như vậy: Năng lượng của tín hiệu bằng trung bình cộng của các bình phương

của các các biến đổi Fourier rời rạc.

4.3.3 Khôi phục biến đổi Z và biến đổi Fourier từ DFT

4.3.3.1 Khôi phục biến đổi Z

Giả sử ta có một dãy x(n)N có chiều dài hữu hạn N.

Ta có: X(z) = ∑∞

−∞=

−

n

n

N znx )(

Mà: x(n)N = IDFT[X(k)N] = ∑−

=

1

0

2

)(1 N

k

knN

j

N ekXN

π

( 0 1−≤≤ Nn )

∑ ∑∑ ∑−

=

−−

=

−∞

−∞=

−

=

==⇒1

0

11

0

221

0

).()(1

]..)(1

[)(N

k

nN

n

kN

j

N

n

n

knN

jN

k

N zekXN

zekXN

zX

ππ

85

=

−

−=

−

−

−

−−

=−

−

−

=

∑∑1

2

1

012

12

1

0.1

1.)(

1

.1

.1

.)(1

ze

zkX

Nze

ze

kXN k

Nj

NN

k

Nk

Nj

N

kN

j

N

k

N ππ

π

Vậy: X(z) = ∑−

= −

−

−

− 1

0 12

.1

)(1 N

k kN

j

N

N

ze

kX

N

zπ

(4.4)

*) Nhận xét: Ta nhận thấy N giá trị của X(k)N chính là các mẫu của X(z) được đánh

giá trên vòng tròn đơn vị tại các điểm rời rạc kN

π2. Như thế ta sẽ lấy mẫu X(z) tại

các điểm z = ek

Nj

π2−

: N

knN

jN

n

NkN

jkXenx

ez

zX )(.)()(21

0

2 ===

−−

=− ∑

π

π

Vậy (4.4) chính là công thức biến đổi Z từ N mẫu của X(z) trên vòng tròn đơn vị.

4.3.3.2 Khôi phục biến đổi Fourier

Ta có: X(ejw) = X(z) ∑−

= −

−

−

−=

=

1

0 )2

(1

)(1 N

k wkN

j

N

jwn

jw

e

kX

N

e

ezπ

= ∑−

=

+−

−

−

1

0

)2

1.(

.

2sin

)(2sin N

k

kN

Nwj

N e

kN

w

kX

N

wNπ

π

Vậy: X(ejw) = )

2

1.(1

0

.

2sin

2sin

)(1 k

N

NwjN

k

N e

kN

w

wN

kXN

π

π

+−

−−

=

−

∑ (4.5)

Biểu thức (4.5) chính là quan hệ cho phép tìm biến đổi Fourier bằng cách nội

suy từ các giá trị X(k)N.

4.4 Biến đổi nhanh Fourier rời rạc (FFT)

4.4.1 Mở đầu

Mục đích của biến đổi Fourier nhanh là để tăng khả năng tính toán của các phép

DFT. Để phát triển các thuật toán tính DFT với hiệu năng tính toán cao, người ta

thường chia nhỏ liên tiếp sự phức tạp của DFT N điểm (N là độ dài của dãy số biểu

diễn tín hiệu) thành các DFT cấp nhỏ hơn và đưa ra một loạt các thuật toán tính có

86

hiệu quả được gọi là các thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT – Fast Fourier

Transform).

Giả sử ta có: N = L.M (L, M là các số nguyên). Nếu N là số nguyên tố, thì ta có

thể thêm một số mẫu của dãy có giá trị bằng không để đảm bảo N luôn có thể được

phân tích thành tích của hai số nguyên.

Dãy x(n) có thể được lưu trong một mản hai chiều theo các cách khác nhau tùy

theo việc ánh xạ của chỉ số n cho các chỏ số (l, m)

l là chỉ số hàng 10 −≤≤ Ll

m là chỉ số cột 10 −≤≤ Mm

Giả thiết ta chọn ánh xạ:

N = M + m (4.6)

Điều này dẫn đến một sự sắp xếp, trong đó hàng đầu tiên chứa M phần tử đầu

tiên của dãy x(n), hàng thứ hai chứa M phần tử tiếp theo của dãy x(n), và cứ như

vậy, như được minh họa như sau:

M

L

0

1

2

…

M - 1

0 X(0) X(1) X(2) … X(M-1)

1 X(M) X(M+1) X(M+2) … X(2M-1)

2 X(2M) X(2M+1) X(2M+2) … X(3M-1)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

L - 1 X((L-1)M) X((L-1)M+1) X((L-1)M+2) … X(LM-1)

Một sự sắp xếp tương tự có thể được sử dụng để lưu các gía trị DFT được

tính toán. Trong thực tế, việc ánh xạ được thực hiện từ chỉ số k thành hai chỉ số (p,

q), trong đó 10;10 −≤≤−≤≤ MqLp . Nếu chúng ta lựa chọn cách ánh xạ: k =

Mp+q thì DFT được lưu theo kiểu hàng, trong đó hàng đầu tiên chứa M phần tử đầu

tiên của biến đổi X(k), hàng thứ hai chứa M phần tử tiếp sau, và cứ như vậy. Mặt

87

khác, nếu dùng ánh xạ: k = qL + P thì DFT được lưu theo kiểu cột, trong đó L phần

tử đầu tiên được chứa trong cột đầu tiên, L phần tử tiếp theo được chứa trong cột

tiếp theo và cứ như vậy. Cách sắp xếp trên chính là cơ sở hình thành biến đổi FFT

từ biến đổi DFT. Căn cứ vào cách sắp xếp như trên, ta giả sử x(n) được ánh xạ vào

trong một mảng chữ nhật x(l, m) và X(k) được ánh xạ vào một ma trận chữ nhật

tương ứng X(p, q). Khi đó DFT có thể được biểu diễn như một tổng kép của các

phần tử của mảng chữ nhật nhân với hệ số pha (chính là hệ số Nj

N eW

π2−

= ) tương

ứng. Khi đó ta có:

( ) ( ) ( ) ( )( )∑∑∑∑−

=

−

=

++−

=

−

=

==1

0

1

0

1

0

1

0

.,.,,M

m

L

l

lmLqMp

N

M

m

L

l

Nkn

WmlxWmlxqpX (4.7)

Mà: ( )( ) .... lq

N

Mpl

N

mLq

N

MLmp

N

lmLqMp

N WWWWW =++

Với: 1..2..

2

==== −−

pmjpmN

Nj

Nmp

N

MLmp

N eeWWπ

π

pl

L

pl

M

N

lpM

N

mq

M

mq

L

N

mqL

N WWWWWW ====..,

Do đó: (4.7) ( ) ( )∑ ∑−

=

−

=

=⇔

1

0

1

0

..,,L

l

lp

L

M

m

mq

M

lq

N WWmlxWqpX (4.8)

Biểu thức trong (4.7) liên quan đến việc tính toán các DFT có chiều dài là M và

L. Quá trình tính toán như trên bao gồm ba bước sau:

Bước 1: Chúng ta tính L DFT M điểm:

( ) ( ) 10.,,1

0

−≤≤= ∑−

=

MqWmlxqlFM

m

mq

M (4.8)

Với mỗi hàng l = 0, 1, 2,…, L – 1.

Bước 2: Ta tính một mảng chữ nhật mới G(l, q) được xác định như sau:

( ) ( )

−≤≤

−≤≤=

10

10,,

Mq

LlqlFWqlG

lq

N (4.9)

Bước 3: Tính toán M DFT L điểm

( ) ( )∑−

=

=1

0

,,L

l

lp

LWqlGqpX (4.10)

Với mỗi cột q = 0, 1, 2,…, M – 1 của mảng G(l, q).

88

Quá trình tính toán phải trải qua các bước trên, nhìn qua có vẻ phức tạp hơn việc

tính DFT trực tiếp. Tuy nhiên, ta sẽ đi vào đánh giá độ phức tạp của thuật toán trong

(4.8). Bước đầu tiên liên quan đến việc tính toán L biến đổi DFT, mỗi DFT có độ

lớn có độ lớn M điểm. Như vậy, ở bước này cần LM2 phép nhân số phức và LM(M

-1) phép cộng số phức. Bước thứ hai cần LM phép nhân số phức. Bước ba cần ML2

phép nhân số phức và ML(L - 1) phép cộng số phức. Do đó, độ phức tạp của quá

trình tính toán trên là:

Số phép nhân số phức là: LM2 + LM + ML2 = N(M + L + 1)

Số phép cộng số phức là : LM(M - 1) + ML(L - 1) = N(M + L - 2)

Với cách tính DFT trực tiếp thì số phép nhân số phức là N2 và số phép cộng là

N(N - 1). Trong khi tính theo FFT thì số phép nhân cần thực hiện được giảm xuống

còn N(M + L +1) và số phép cộng là N(M + L - 2). Như vậy, thì khối lượng tính

toán theo FFT đã được giảm đi rất nhiều.

4.4.2 Thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo thời gian

Giả sử chúng ta tính toán DFT với số điểm N = 2v bằng phương pháp chia và các

điều kiện như trong các bước ứng với các biểu thức (4.8), (4.9) và (4.10). Chúng ta

chọn M = 2

N và L = 2, tức là ta sẽ chia dãy số liệu N điểm thành hai dãy

2

Nđiểm là

f1(n) ứng với các mẫu chẵn (2n) và f2(n) ứng với các mẫu lẻ (2n+1).Như vậy ta có:

f1(n) = x(2n)

f2(n) = x(2n + 1) n = 0, 1,..., 12

−N

( ) ( ) ( ) ( )( )

∑∑∑−

=

+−

=

−

=

+==⇒12/

0

122

1)2/(

0

21

1

0

.).(.N

m

mk

N

N

m

mk

N

N

n

kn

N WmfWmfWnxkX

= ( )( )

( )( )

∑∑−

=

−

=

+12/

0

22

12/

0

21 ..

N

m

mk

N

k

N

N

m

mk

N WmfWWmf

Mà: km

N

kmN

jmkN

jmk

N WeeW 2/

.2/

22

22

===−−

ππ

Nên: ( ) ( )( )

( )( )

∑∑−

=

−

=

+=12/

02/2

12/

02/1 ..

N

m

km

N

k

N

N

m

km

N WmfWWmfkX

= F1(k) + k

NW F2(k) k = 0, 1,…, N-1 (4.11)

89

Trong đó: F1(k), F2(k) là các DFT N/2 điểm tương ứng với các dãy f1(m) và

f2(m). Vì F1(k) và F2(k) là tuần hoàn với chu kỳ 2

N, nên ta có:

F1(k) = F1(k +2

N) và F2(k) = F2(k +

2

N)

Mà: k

N

kN

jj

kN

jN

kN

jNk

N WeeeeW =−===−

−−

+−

+π

πππ 22

2

2

2 .

Nên: (4.11) ( ) ( ) ( ) ( )12.412

...,,1,021 −=+=⇔N

kkFWkFkXk

N

( ) ( ) ( )13.412

...,,1,02 21 −=−=

+

NkkFWkF

NkX

k

N

Để tính toán F1(k) cần 2

2

Nphép nhân số phức và cũng cần

2

2

Nphép nhân

cho việc tính F2(k), ngoài ra để tính toán ( )kFWk

N 2 cần 2

N phép cộng số phức. Do

đó, việc tính toán X(k) cần 2222

222

NNNN+=+

phép nhân số phức. Như vậy,

trong bước này ta đã giảm được số phép nhân từ N2 xuống 22

2NN

+ , mức giảm này

xấp xỉ hai lần khi N lớn.

Hình 4.1 Bước đầu tiên trong trong thuật toán chia theo thời gian.

Đặt: G1(k) = F1(k)

90

G2(k) = ( )kFWk

N 2

Từ đó (4.12) và (4.13) được viết lại như sau:

X(k) = G1(k) + G2(k)

X =

+

2

Nk G1(k) – G2(k) k = 0, 1, 2,…, 1

2−

N

Việc tính toán này được minh họa trong hình 4.1.

Quá trình trên đã thực hiên việc chia theo thời gian một lần, ta có thể lặp lại quá

trình này cho hai dãy f1(n) và f2(n). Mỗi dãy f1(n) và f2(n) được chia nhỏ thành hai

dãy 4

Nđiểm là:

V11(n) = f1(2n) n = 0, 1, 2,…, 14

−N

V12(n) = f1(2n + 1) n = 0, 1, 2,…, 14

−N

V21(n) = f2(2n) n = 0, 1, 2,…, 14

−N

V22(n) = f2(2n +1) n = 0, 1, 2,…, 14

−N

Ta sẽ tính toán DFT 4

N điểm, từ các DFT 4 điểm ta tính được các DFT

2

Nđiểm

F1(k) và F2(k):

( ) ( ) ( ) 14

,...,2,1,0. 12

2

111 −=+=N

kkVWkVkFk

N

( ) ( ) 14

,...,2,1,0.4 12

2

111 −=−=

+

NkkVWkV

NkF

k

N

( ) ( ) ( ) 14

,...,2,1,0. 22

2

212 −=+=N

kkVWkVkFk

N

( ) ( ) 14

,...,2,1,0.4 212

2

212 −=−=

+

NkkVWkV

NkF

k

N

Trong đó: ( ) ( )( )

∑−

=

=14/

0 4

N

n

kn

Nijij WnvkV

91

Mỗi phép tính Vij(k) cần 2

4

Nphép nhân, ta có 4 Vij(k) sẽ cần 4.

2

4

Nphép

nhân. Do đó việc tính F1(k) và F2(k) có thể thực hiện được bằng 24

2NN

+ phép nhân

số phức. Để tính toán X(k) từ F1(k) và F2(k) ta cần 2

N phép nhân số phức. Do đó để

tính toán X(k) ta cần NN

+4

2

phép nhân số phức. Như vậy số phép nhân lại tiếp tục

được giảm xuống xấp xỉ hai lần nữa.

Việc chia dãy số liệu có thể lại tiếp tục được lặp lại cho đến khi dãy cuối cùng

giảm xuống còn một điểm. Với N = 2v , việc chia này cso thể được thực hiện v =

log2 N lần. Như vậy tổng số phép nhân số phức được giảm xuống còn NN

2log2

. Số

phép cộng giảm xuống còn N.log2N.

Ví dụ: Hãy tính DFT 16 điểm của dãy x(n)10 bằng thuật toán FFT cơ số hai phân

chia theo thời gian.

Giải:

Để tính DFT 16 điểm, trong khi x(n) chỉ có 10 mẫu. Do vậy, ta cần thêm 6 mẫu

không vào cuối dãy x(n)10: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0000009876543210 xxxxxxxxxx

Với 82

16

2===

NM thì L = 2, nghĩa là mảng x(l, m) có 2 hàng và 8 cột như sau:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

0009531

0008420

xxxx

xxxx

Khi chuyển sang chỉ số mảng hai chiều, nhận được mảng x(l, m):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

7,16,15,14,13,12,11,10,1

7,06,05,04,03,02,01,00,0

xxxxxxxx

xxxxxxxx

Mỗi hàng có ba phần tử cuối cùng bằng 0 và hang có chỉ số l = 0 là các mẫu

chẵn x(2n)16 ; còn hàng có chỉ số l = 1 là các mẫu lẻ x(2n + 1)16

- Bước 1: Tính các DFT 8 điểm ứng với hai hàng và nhận được mảng F(l, q)

( ) 10,70).,(,7

08 ≤≤≤≤=∑

=

lqWmlxqlFm

mq

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=⇒7,16,15,14,14,12,11,10,1

7,06,05,04,03,02,01,00,0,

FFFFFFFF

FFFFFFFFqlF

92

- Bước 2: Tính mảng ( ) ( ) ( )

≤≤

≤≤==

−

70

10.,.,,

2

q

leqlFWqlFqlG

lqN

jlq

N

π

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=⇒7,16,15,14,14,12,11,10,1

7,06,05,04,03,02,01,00,0,

GGGGGGGG

GGGGGGGGqlG

- Bước 3: Tính 8 DFT 2 điểm ứng với 8 cột của mảng G(l, q) và nhận được

mảng X(p, q): ( ) ( )∑=

=1

02.,,

l

lpWqlGqpX

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=⇒7,16,15,14,14,12,11,10,1

7,06,05,04,03,02,01,00,0,

XXXXXXXX

XXXXXXXXqpX

Cuối cùng ta chuyển mảng X(p, q) thành dãy X(k) sắp xếp theo hàng như sau:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=15141312111098

76543210

XXXXXXXX

XXXXXXXXkX

4.4.3 Thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo tần số

Trong thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo thời gian, ta đã thực hiện lưu dãy

tín hiệu đầu vào theo hàng. Trong thuật toán phân chia theo tần số này, ta sẽ lưu dãy

tín hiệu đầu vào theo kiểu cột (M = 2 và L = N/2).

Để tạo ra thuật toán này, ta bắt đầu bằng việc tách công thức tính DFT thành hai

tổng. Trong đó một tổng liên quan đến việc tính tổng của N/2 điểm số liệu đầu tiên

và tổng thứ hai liến quan đến việc tính tổng của N/2 điểm số liệu còn lại. Do đó ta

nhận được:

( ) ( ) ( )( )

( )( )∑∑∑

−

=

−

=

−

=

+==1

2/

12/

0

1

0

...N

Nn

kn

N

N

n

kn

N

N

n

kn

N WnxWnxWnxkX

= ( )( ) ( )

∑∑−

=

−

=

++

12/

0

2/.12/

0

.2

.N

n

kn

N

kN

N

N

n

kn

N WN

nxWWnx (Đặt m = n + N/2).

Mà: ( )kkjkN

Nj

kN

N eeW 1.2/.

22/.

−=== −−

ππ

( ) ( ) ( )( )

∑−

=

+−+=⇒

12/

0 21

N

n

kn

N

kW

NnxnxkX (4.14)

Ta thực hiện chia X(k) ra thành hai dãy, một dãy ứng với các mẫu chẵn, một dãy

ứng với các mẫu lẻ như sau:

93

( ) ( )( )

12

,...,2,1,02

2 2/

12/

0

−=

++= ∑

−

=

NkW

NnxnxkX

kn

N

N

n

( ) ( )( )

∑−

=

−=

+−=+

12/

02/ 1

2...,,2,1,0

212

N

n

kn

N

n

N

NkWW

NnxnxkX

Ở đây: 2/2/

22

22

NN

jN

j

N WeeW ===−−

ππ

Đặt: ( ) ( )

++=

21

Nnxnxng (4.15)

( ) ( ) 12

...,2,1,022 −=

+−=

NnW

Nnxnxng

n

N (4.16)

( ) ( )( )

∑−

=

=⇒12/

02/1 .2

N

n

kn

NWngkX

( ) ( )( )

∑−

=

=+12/

02/2 .12

N

n

kn

NWngkX

Quá trình tính toán được lặp đi lặp lại qua việc chia nhỏ của các DFT N/2 điểm

của các dãy X(2k) và X(2k+1). Toàn bộ quá trình cần v = log2N bước chia nhỏ.

Việc tính toán DFT N điểm qua thuật toán FFT chia theo tần số cần ( )2/N log2N

phép nhân số phức và N.log2N phép cộng số phức.

4.4.4 Tình FFT ngược

FFT được tính dựa trên công thức như sau: ( ) ( ) ( )∑∑−

=

−−

=

==1

0

21

0

..N

n

knN

jN

n

kn

N enxWnxkX

π

Biến đổi Fourier nhanh ngược được tính theo công thức sau:

( ) ( )∑−

=

=1

0

2

.1 N

k

knN

j

ekXN

nx

π

94

Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Quốc Trung, Xử lý tín hiệu và lọc số, Nhà xuất bản khoa học kỹ thuật , Hà Nội

2003

[2] Quách Tuấn Ngọc, Xử lý tín hiệu số, Nhà xuất bản giáo dục, Hà Nội 1999

[3] Dương Tử Cường, Xử lý tín hiệu số, Nhà xuất bản khoa học kỹ thuật, Hà Nội 2001

[4]. Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer and Jhon R. Buck, Discrete Time Signal

Processing , Prentice Hall 1999

[5]. Vinay K. Ingle and Jhon G. Proakis Digital Signal Processing, using MATLAB

bai giang - xu ly tin hieu so_do thi loan

Documents