Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 73

2013

BAB VI. INTEGRAL TAK TENTU (ANTI TURUNAN) (Pertemuan ke 11 & 12)

PENDAHULUAN

Diskripsi singkat

Pada bab ini dibahas tentang integral tak tentu, integrasi parsial dan beberapa metode

integrasi lainnya yaitu integrasi fungsi trigonometri, integral dengan menggunakan substitusi

(aljabar, trigonomerti), integral fungsi pecah rasional, integral fungsi irasional.

Manfaat

Materi yang disampaikan di sini, masih merupakan dasar perhitungan integral. Yang

dibicarakan masih terbatas pada cara memecahkan persoalan-persoalan integral, dengan berbagai

metode integrasi yang diberikan. Untuk selanjutnya, setelah menerapkan batas-batas integrasi,

materi ini digunakan dalam banyak hal, yaitu di Mata kuliah Matematika II.

Relevansi

Integral dalam prakteknya banyak digunakan di berbagai bidang. Setelah integral tak tentu

ini dipahami, penggunaan selanjutnya misalnya untuk menghitung luas bidang datar, menentukan

titik berat, momen inersia, volume dan lainnya. Di bidang fisika, termodinamika, hitung integral ini

juga sangat diperlukan,

Learning Outcomes

Mahasiswa dapat mengenal, mamahami dan menyelesaikan persoalan integral tak tentu

ini dengan baik, serta dapat menerapkannya di bidang lain.

Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 74

2013

PENYAJIAN

Kita sebut F suatu anti turunan dari f pada selang interval I, jika pada interval I,

yakni jika untuk semua x dalam interval I. maka:

Contoh: carilah suatu anti turunan dari fungsi pada selang (- , ) ?

Penyelesaian: dicari suatu fungsi F yang memenuhi , untuk semua x riil.

Fungsi F yang memenuhi adalah: , , . Secara umum

dinyatakan: , dengan c = konstanta.

Famili tersebut di atas disebut anti turunan.

Teorema : kelinieran dari

Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k adalah

suatu konstanta, maka:

i.

ii.

integrant

Tanda integral

(notasi dari Leibniz)

Gambar 6-1

Gambar 6-2

x

y

Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 75

2013

Contoh, carilah integral berikut:

6.1. Rumus-rumus interal tak tentu.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 76

2013

Carilah integral tak tentu berikut:

1.

2.

3. ? subtitusikan , maka , atau

4. , substitusikan , , , maka:

5. , substitusikan ,

6. , substitusikan , , , maka:

7. , substitusikan & , , atau

maka:

, A & B dicari dulu

8. , dicari hasil baginya terlebih dahulu, sebagai berikut:

Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 77

2013

, maka:

9. , substitusikan , , atau

10.

11.

Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 78

2013

12. , komponen penyebut ditulis menjadi bentuk lain sebagai berikut:

, maka:

, substitusikan , , atau , maka:

13. , jika akar dari penyebut integran diturunkan maka

, selanjutnya pembilang dari integran,

ditulis dalam bentuk turunan dari penyebut integran, maka;

, atau , sehingga

14. , substitusikan , , atau , maka:

15. , jika penyebut integran diturunkan maka:

, selanjutnya pembilang dari integran,

ditulis dalam bentuk turunan dari penyebut integran, maka:

atau , sehingga

Contoh 12

Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 79

2013

16. , substitusikan ,

, atau , maka:

6.2. Integrasi parsial

Jika diturunkan, maka : , atau

Persamaan di atas diintegralkan, maka menjadi:

, atau menjadi

Contoh

1.

Penyelesaian: jika diturunkan, maka hasilnya adalah sebagai berikut

, atau

Dengan mensubtitusikan persamaan terakhir ke dalam soal, maka diperoleh :

Dengan menerapkan Persamaan Integral parsial, maka

Persamaan Integral parsial :

Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 80

2013

2.

Penyelesaian: jika diturunkan, maka hasilnya adalah sebagai berikut

, atau

Dengan mensubtitusikan persamaan terakhir ke dalam soal, maka diperoleh :

Dengan menerapkan Persamaan Integral parsial, maka

Jika diturunkan , , maka

Dengan mensubtitusikan lagi ke persamaan terakhir, maka:

kemudian diterapkan lagi Persamaan Integral parsial, maka:

, atau

Suku terakhir dibawa ke ruas kiri, maka:

, atau

, atau

6.3. Metode Integrasi

A. Integrasi Fungsi Trigonometri

1. Bentuk , dengan m dan n bulat positif.

a. m = ganjil dan n = genap

Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 81

2013

Contoh:

b. m = genap dan n = ganjil

Contoh:

c. m = genap dan n = genap

Contoh:

Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 82

2013

2. Bentuk atau

Sifat:

a. m = ganjil, n = ganjil, sama bila m = ganjil, n = genap

Maka:

b. m = genap, n = genap

Maka:

c. m = genap, n = ganjil

Maka:

Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 83

2013

Contoh:

1.

2.

3.

3. Bentuk :

a)

b)

c)

Contoh:

A. Integral dengan menggunakan substitusi

1. Substitusi Fungsi Aljabar

Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 84

2013

a. Bila inttegran memuat bentuk (a+bx) dengan pangkat pecahan: , maka

menggunakan substitusi:

Contoh:

1. , substitusi: → →

2. , subst.: → → →

b. Bila inttegran memuat bentuk , mengunakan substitusi:

Contoh:

, subst: → → →

, maka:

Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 85

2013

2. Substitusi Fungsi Trigonometri

Bila integran memuat bentuk:

a. , dengan substitusi

b. , dengan substitusi

c. , dengan substitusi

Contoh:

1. , substitusi: →

2. , substitusi: →

3. , substitusi: →

5

5

u 4x

Gambar 6-3

Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 86

2013

B. Integral Fungsi Pecah Rasional

1. Fungsi Aljabar

, dimana f(x) dan g(x) berbentuk polinomial

, n = bulat positif

a. Bila f(x) berpangkat lebih tinggi daripada pangkat g(x)

Maka:

Contoh: , berarti dan

b. Bila f(x) berpangkat lebih rendah daripada pangkat g(x)

Andaikan

Dengan

dan A1, A2, A3, . . . .An harus dicari.

Contoh:

Mengambil harga-harga untuk x:

x = 1 → 9 = -2A → A = 9/2

x = 2 → 11 = -B → B = -11

x = 3 → 13 = 2C → C = 13/2

Identitas

Koefisien x2: A + B + C = 0

X+3

2

Gambar 6-4

Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 87

2013

Koefisien x1: -5A – 4B – 3C = 2

Koefisien x0: 6A + 3B + 2C = 7

Bila g(x) memuat faktor linier berulang

A, B1, B2, ….,, Bp, C1, C2, C3, ... ., Cq dicari.

Contoh:

x = -2 → 75 = 25 A → A = 3

x = 3 → -20 = 5 B → B = -4

A + C = 3 → C = 0

Bila g(x) memuat faktor kuadratis

Contoh:

Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 88

2013

1 = A + C

1 = B + D

1 = 2A + C

2 = 2B + D

2. Fungsi Pecah Rasional

Menggunakan substitusi: → →

Contoh:

substitusi: → →

,

A = 0

B = 1

C = 1

D = 0

x/2

u

1

Gambar 6-5

Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 89

2013

C. Integral Fungsi Irasional

1. Bentuk , substitusi:

Contoh:

, Misal: → →

→

2. Bentuk , menggunakan substitusi:

Contoh:

, misal: → →

Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 90

2013

3. Bentuk , menggunakan substitusi:

atau

Bentuk: → menggunakan trigonometri

Contoh:

, menggunakan substitusi:

→

→

Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 91

2013

Tugas pertemuan ke 11. Selesaikan integral berikut.

1.

2.

Latihan untuk pertemuan ke 11. Selesaikan integral berikut.

1.

2.

Petunjuk.

1. Untuk menjawab soal , misalkan , maka dan .

jawabnya:

2. Untuk menjawab soal , gunakan rumus integrasi parsiil. Jawabnya:

Soal-soal

Cari integral tak tentu berikut :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

Matematika Teknik 1

s. johanes, dtm sv ugm 92

2013

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

PENUTUP

Tes formatif dan kunci tes formatif

Tentukan integral berikut:

1. , kunci jawaban:

2. , kunci jawaban:

3. , kunci jawaban:

4. , kunci jawaban:

Petunjuk penilaian dan umpan balik

Penilaian hasil tugas, latihan dan ujian debiri skor (nilai) antara 0 sampai dengan 100.

Kesahan hasil akhir bukanlan merupakan kesalahan yang fatal, kalaupun dikurangi skornya, hanya

sedikit saja (atau bahkan tak perlu dikurangi), tetapi kesalahan proses itu yang perlu pengurangan

nilai .

Tindak lanjut

Bagi mahasiswa yang skornya kurang dari 50, wajib mempelajari lagi uraian di depan, dan

selanjutnya diuji lagi.