bab 6 turunan (derivative) - arisgunaryati's … · web viewkonsep turunan secara fundamental...
TRANSCRIPT
Program Studi Teknik Informatika, FTKI, Universitas Nasional
Pertemuan-11
TURUNAN FUNGSI
1. Definisi : Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat
fungsi yang mendekati nilai input. Untuk fungsi yang bernilai real dengan
variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan dari
garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara umum, turunan suatu
fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik fungsi pada titik
tersebut.
42
Grafik dari sebuah fungsi (garis hitam) dan sebuah garis singgung terhadap fungsi (garis merah). Kemiringan garis singgung sama dengan turunan dari fungsi pada titik singgung
Garis singgung pada (x, f(x)). Turunan f'(x) dari sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.
Program Studi Teknik Informatika, FTKI, Universitas Nasional
Konsep turunan secara fundamental lebih maju dan rumit daripada konsep yang
ditemukan di aljabar. Dalam aljabar, seorang murid mempelajari sebuah fungsi dengan
input sebuat angka dan output sebuah angka. Tetapi input dari turunan adalah sebuah
fungsi dan outputnya juga adalah sebuah fungsi.
Untuk memahami turunan, seorang murid harus mempelajari notasi matematika. Dalam
notasi matematika, salah satu simbol yang umumnya dipakai untuk menyatakan turunan
dari sebuah fungsi adalah apostrofi. Maka turunan dari f adalah f' (dibaca f aksen).
.
Jika input dari sebuah fungsi adalah waktu, maka turunan dari fungsi itu adalah laju
perubahan di mana fungsi tersebut berubah.
Jika fungsi tersebut adalah fungsi linear, maka fungsi tersebut dapat ditulis dengan
y=mx+b, di mana:
.
Ini memberikan nilai dari kemiringan suatu garis lurus. Jika sebuah fungsi bukanlah
garis lurus, maka perubahan y dibagi terhadap perubahan x bervariasi, dan kita dapat
menggunakan kalkulus untuk menentukan nilai pada titik tertentu. Kemiringan dari
suatu fungsi dapat diekspresikan:
di mana koordinat dari titik pertama adalah (x, f(x)) dan h adalah jarak horizontal antara
dua titik.
Untuk menentukan kemiringan dari sebuat kurva, kita menggunakan limit :
43
Program Studi Teknik Informatika, FTKI, Universitas Nasional
Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva f′(x) di suatu titik
adalah kemiringan dari garis singgung terhadap kurva di titik tersebut. Kemiringan ini
ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan.
Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi f(x) = x2 pada titik (3,9):
2. Rumus Dasar Turunan :
a. y = Xn turunannya y’ = nXn-1
Contoh : y = 10x3 + 8x2 - x – 3 y’ = 30x2 + 16x -1
y = 1/x2 = x -2 y’ = -2x -3 = -2/x3
y = x = x1/2 y’ = ½ x -1/2 = 1/2x
b. y = c, dengan c adalah konstanta turunannya y’ = 0
Contoh : y = 5 y’ = 0
c. y sebagai fungsi trigonometri :
y = sin x turunannya y’ = cos x
y = cos x turunannya y’ = -sin x
y = tg x turunannya y’ = sec2x
44
Program Studi Teknik Informatika, FTKI, Universitas Nasional
y = ctg x turunannya y’ = -cosec2x
y = secx turunannya y’ = secx tgx
y = cosecx turunannya y’ = -cosecx ctg x
Contoh : y = -3tgx y’ = -3sec2x
y = ctg2x y’ = -2cosec2 2x
y = sec2x y’ = 2sec2x tg2x
y = cosec3x y’ = -3cosec3x ctg3x
y = cos(1-x2) y’ = 2xsin(1-x2)
d. y sebagai fungsi logaritma :
y = ln x turunannya y’ = 1/x
y = glogx turunannya y’ = 1/xlng
Contoh : y = 3logx 1 / x ln3
y = ln 2x 1 / 2x
e. y sebagai fungsi eksponen :
y = ax turunannya y’ = ax ln a
y = ex turunannya y’ = ex y = eax turunannya y’= aeax
Contoh : y = 2x y’= 2xln 2
y = ex y’ = ex
y = x2 – e3x y = 2x – 3e3x
SOAL LATIHAN
1. Tentukanlah f ‘(x) fungsi-fungsi berikut ini.
a. f(x) = x2 + x b. f(x) = cos x
c. f(x) = (5x2 – 1) (3x – 2) d. f(x) = cos x sin x
2. Buktikan jika f(x) = x∛x2 maka f’(x) = 5/3 . ∛x2
Pertemuan - 12
45
Program Studi Teknik Informatika, FTKI, Universitas Nasional
TURUNAN FUNGSI (LANJUTAN)
1. Aturan Rantai Untuk Fungsi Tersusun
Untuk fungsi-fungsi yang bentuknya rumit, di mana y adalah fungsi dari u (atau
v), u dan v merupakan fungsi dari x, maka turunannya dicari dengan mengembalikannya
ke rumus dasar. Cara pengembaliannya adalah sebagai berikut :
1). y = U y’ = (U)’
Contoh : a) y = x3 + 2x2 + 4x + 6
=> y’ = 3x2 + 4x + 4
b) y = 2 + 4/x + 7x + 16
= 2x2/3 + 4x-1 + 7x1/2
=> y’= 2.2/3x-1/3 – 4x-2 + 7. 1/2x-1/2
= 4 _ - 4 + 7_ 3 x2 2x
c) y = = ( x2 + 1 )1/3
=> y’ = 1/3 (2x) (x2+1)-2/3
= 2x_____
3
2). y = U V y’ = U’ V’
Contoh : y = sin 2x + cos 2x
y’ = 2cos2x – 2sin2x
Contoh : y = tg3x – ctg23x
y’ = 3sec23x + 6cosec23x . ctg23x
dimana : Ctg23x = ctg3x . ctg3x
U = ctg3x , U’ = -3cosex23x
V = ctg3x , V’ = -3cosex23x
y’ = U’V + UV’
= -3cosex23x . ctg3x + ctg3x . -3cosex23x
= -6cosex23x . ctg23x
3). y = U.V y’ = U’V + UV’
Contoh : y = ( x2+1 ) ( 3x3–4x )
46
Program Studi Teknik Informatika, FTKI, Universitas Nasional
U = X2+1 , U’ = 2x
V = 3x3-4x , V’ = 9x2-4
y’ = U’V + UV’
= 2x . (3x3-4x) + (x2+1) . (9x2-4)
= 6x4 – 8x2 + (9x4-4x2+9x2-4)
= 15x4 – 3x2 – 4
Contoh : y = x3.2x
U = X3 , U’ = 3x2
V = 2x , V’ = 2xln2
y’ = U’V + UV’
= 3x2 . 2x + x3 . 2xln2
Contoh : y = 3x2.ex.tgx
U = 3x2 , U’ = 6x
V = ex , V’ = ex
W= tgx , W’ = sec2x
Y’ = U’VW + UV’W + UVW’
= 6x.ex.tgx + 3x2.ex.tgx + 3x2.ex.sec2x
Contoh : y = ( x2+1 ) ( 3x+4 )3
U = x2+1 , U’ = 2x
V = (3x+4)3 , V’ = 9(3x+4)2
y’ = U’V + UV’
= 2x.(3x+4)3 + (x2+1).9(3x+4)2
= ( 9x2+24x+16 ).(15x2+8x+9)
= 135x4+432x3+513x2+344x+144
Contoh : y = sinx.coshx
U = sin x , U’ = cosx
V = coshx , V’ = -sinhx
y’ = U’V + UV’
= cosx.coshx - sinx.sinhx
Contoh : y = sin2x.tghx
U = sin2x , U’ = -sin2x.cos2x
47
Program Studi Teknik Informatika, FTKI, Universitas Nasional
V = tghx , V’ = sechx
y’ = U’V + UV’
= cos2xsin2x . tghx + sin2xsechx
Dimana : sin2x = sinx . sinx
U = sinx , U’ = cosx
V = sinx , V’ = cosx
y’ = U’V + UV’
= cosx.sinx + sinx.cosx
= cos2x.sin2x
Contoh : y = coshx2 . cosx2
U = coshx2 , U’ = -2xsinhx2
V = cosx2 , V’ = -2xsinx2
y’ = U’V + UV’
= -2xsinhx2.cosx2 - coshx2.2xsinx2
= -2x {(sinhx2.cosx2 + coshx2.2xsinx2)}
Contoh : y = ( 3x2+1 ) ( sec2x )
U = 3x2+1, U’ = 6x
V = sec2x , V’ = 2sec2xtg2x
y’ = U’V + UV’
= (6x).(sec2x) + (3x2+1).(2sec2xtg2x)
= 2sec2x { 3x + (3x2+1).tgx }
Dimana : sec2x = secx.secx
U = secx , U’ = secxtgx
V = secx , V’ = secxtgx
y’ = U’V + UV’
= secxtgx.secx + secx.secxtgx
= sec2xtgx + sec2xtgx
= 2sec2xtgx
4). y = U/V y’ = U’V – UV’ V2
Contoh : y = _x 2 +1_
48
Program Studi Teknik Informatika, FTKI, Universitas Nasional
x+4
U = x2+1 , U’ = 2x
V = (x+4)1/2 , V’ = ½(x+4)-1/2
y’ = U’V – UV’ = (2x)(x+4) 1/2 – {(x 2 +1).1/2(x+4) -1/2 } V2 x + 4
= 2x.x+4 – 1 .(x2+1) 2 x+4______ x + 4
Contoh : y = x 2 +1__ x + lnx
U = x2+1 , U’ = 2x
V = x + lnx , V’ = 1 + 1/x
y’ = 2x.(x+lnx) – (x 2 +1).(1+1/x) (x + lnx)2
= 2x 2 +2xlnx – x 2 +x+1+1/x x2+2xlnx+lnx2
Contoh : y = tg2x = sin2x cos2x
U = sin2x , U’ = 2cos2x
V = cos2x , V’ = -2sin2x
y’ = 2cos2x.cos2x – sin2x . -2sin2x ( cos2x )2
= 2 ( cos 2 2x+ sin 2 2x ) = 2 = 2 sec22x Cos22x cos22x
Dimana : cos22x+ sin22x = 1
1/cos22x = sec22x
5). Aturan Rantai
Jika y = f(x) merupakan suatu fungsi tersusun, yaitu y = g(u) dan u = h(x) maka untuk
turunannya dicari dengan cara :
dy = dy . du dx du dx
Contoh : y = 2u4 – 4u2 – 5u dan u = 4x3 + 3x
Maka :
49
Program Studi Teknik Informatika, FTKI, Universitas Nasional
2. Turunan dari Fungsi Invers
Teorema : misal y = f(x) maka x(y) = f-1(y) disebut Fungsi Invers. Turunan dari Fungsi
Invers x(y) adalah x’(y) = atau
Teorema : Turunan fungsi f (x) = xr, r rasional adalah :
f(x) = xr => f’(x) = rxr-1
contoh :
Diberikan suatu fungsi f(x) = = (x2 – 2x)2/3, maka
f’(x) =
=
g(x) = cos
g’(x) = =
-
SOAL LATIHAN DAN JAWABAN
Tentukan Turunan dari :
1. f(x) =
2. f(x) = 3. f(x) = Jawab :
1) f(x) = =
f’(x) =
50
Program Studi Teknik Informatika, FTKI, Universitas Nasional
=
= =
2) f(x) =
f’(x) =
3) f(x) =
f’(x) =
cari dari x3 + y2 + x2 y3=3
di (1,1)
di (1.1)
jika diminta untuk mencari , maka
51
Program Studi Teknik Informatika, FTKI, Universitas Nasional
5 = – 5 , maka = –1 .
52