3

B2001/UNIT 14/13 NOMBOR KOMPLEKS

NOMBOR KOMPLEKS

OBJEKTIF

Objektif Am

: Memahami konsep nombor kompleks

Objektif Khusus: Di akhir unit ini, anda dapat :

Menyatakan perbezaan di antara nombor nyata dan nombor khayal.

Menyatakan bahawa nombor kompleks adalah gabungan bahagian nyata dan bahagian khayal.

Menerangkan bahawa nombor khayal boleh ditambah dan ditolak dari nombor-nombor khayal yang lain.

Menerangkan bahawa hasil darab dua nombor khayal ialah nombor nyata.

Menerangkan dan menghuraikan operasi-operasi tambah, tolak, darab, bahagi, konjugat kompleks dan kesamaan nombor kompleks.

14.0DEFINISI NOMBOR KOMPLEKS

Jika nombor 1, 2 , 3 , .. ditakrifkan sebagai nombor nyata, maka nombor-nombor seperti , dikenali sebagai nombor khayal .

Bagi sesuatu persamaan kuadratik ax2 + bx + c =0, punca-puncanya boleh diperolehi dengan menggunakan formula berikut:

Pertimbangkan persamaan kuadratik x2 4x +13 =0, maka dengan menggunakan formula di atas,

a = 1, b = -4, c = 13 dan punca-punca persamaan adalah

Adalah tidak mungkin untuk mencari nilai dalam bentuk nombor nyata, tetapi jika ditulis sebagai i di mana i2 = ()2 = -1 maka jawapan boleh ditulis sebagai . Nombor dalam bentuk sedemikian dikenali sebagai NOMBOR KOMPLEKS di mana 2 adalah bahagian nyata dan 3i bahagian khayal.

Secara am Nombor Kompleks ialah nombor yang berbentuk a + ib di mana a dan b adalah nombor nyata.

Contoh 14.1

Permudahkan bentuk nombor-nombor berikut:

a.

= = = 3ib.

= = = 5 iSecara amnya, = = = aiUntuk mencari nilai gandaan dalam bentuk i n , 3 perkara yang perlu diingati iaitu

i 2 = -1

(-1)nombor genap = 1

(-1)nombor ganjil = -1

Contoh 14.2

Dapatkan nilai-nilai bagi nombor kompleks berikut:

a.i 8 b.i 15 c.3 i34 - i 13 d.2 i 3 + 2 i 18 - 3 i 51Penyelesaian a.i 8 = i 2 (4) = (-1) = 1

b.i 15 = i 2(7) i = (-1) 7 i = (-1) i = -i

c.3 i34 - i 13

= 3 i 2(17) - i2(6) i

= 3 (-1) 17 - (-1)6 i

= 3 (-1) 1 i

= -3 - i

d.2 i 3 + 2 i 18 - 3 i 51

= -2 i2 i + 2 i 2(9) - 3 i 2(25) i

= -2 (-1) i + 2 (-1) 9 - 3 (-1) 25 i

= 2 i + 2 (-1) 3 (-1) i

= 2 i 2 +3 i

= 5 i - 2

Aktiviti 14.0

UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT

SELANJUTNYA!

1.Ringkaskan kuasa bagi i yang berikut:

a. i7

b. i 12

c. i 20

d i 36

e. 7i 56 i 3 6

f. 8i 59 + 5i 97

2.Cari punca-punca bagi persamaan

a. x2 6x +10 = 0

b. 2x2 + 9x + 7 = 0

c. 5x2 6x + 5 = 0

Maklum Balas Aktiviti 14.0

1.a. i 7 = i 2 (3)i = (-1)i = -i

b.i 12 = i 2 (6) = (-1) = 1

c. i 20 = i 2 (10) = (-1) = 1

d. i 36 = i 2 (18) = (-1) = 11

e. 7i + 1

f. 8 - i

2. a.3 + i , 3 - i

b.

,

c. ,

14.1OPERASI ALGEBRA PADA NOMBOR KOMPLEKS

(a) Penambahan dan Penolakan

Jika z = x + iy dan w = u + iv ialah 2 nombor kompleks dimana x, y , u dan v ( R , maka z + w = x + iy + u + iv

= ( x + u ) + ( y + v)

dan z w = x + iy - ( u + v

= (x u) + ( y v ) i

Ini bermakna ( 4 + 5i ) + ( 6 + 7i) = ( 4 + 6 ) + (5 + 7 )i

= 10 + 12iDan ( 4 + 5i ) - ( 6 + 7i) = ( 4 6 ) + ( 5 7 )i

= -2 - 2i

(b) Pendaraban

Jika z = 3 + 4i dan w = 2 3i, maka

zw = (3 + 4i )( 2 3i )

= 3(2) + ( 4i) (-3i ) + ( 4i ) (2 ) 3( 3i )

= 6 12i2 + 8i - 9i

= 6 - i + 12

= 18 i

Jika z = x + iy dan w = x - iy ialah 2 nombor kompleks di mana x dan y ( R, maka

zw = ( x + iy) ( x iy )

= x 2 - (yi)2 = x 2 + y2

dan w dikenali sebagai konjugat kompleks bagi z

Contoh 14.3

Tuliskan konjugat bagi

a. 2 + 3i

b. 3 + 4iPenyelesaian

a. (2 + 3i)( 2 3i) = 4 9i2 = 4 + 9 = 13

Maka konjugat bagi 2 + 3i ialah = 2 3ib. (3 + 4i)(-3-4i) = 9 16i = 9 + 16 = 25

Maka konjugat bagi 3 + 4i ialah -3 4i

(c) Pembahagian

Pembahagian suatu nombor kompleks boleh dilakukan jika penyebutnya dijadikan suatu nombor nyata

Misalnya

=

=

(d) Kesamaan Nombor Kompleks

Katakan z = x + iy dan w = u + iv ialah 2 nombor kompleks dengan z = w, maka

x + iy = u + iv

Dengan menyamakan bahagian nyata dan bahagian khayal di kedua-dua belah, maka

x + yi = 9 7i

Menyamakan bahagian nyata dan khayal, maka x = 9 dan y = -7

Aktiviti 14.1

UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT

SELANJUTNYA!

1. Ungkapkan yang berikut dalam bentuk a + ib

a. 3 +

b. 2 +

c. 8 -

2. Ringkaskan setiap yang berikut:

a. ( 3 + 4i) + ( 5 2i)

b. ( 7 + 6i) ( -4 3i)

3. Ungkapkan yang berikut dalam bentuk a + ib:

a.

b.

4. Dalam setiap kes berikut, cari nilai x dan y.

a. x + iy = ( 3 + i )(2 3i)b. ( x + iy ) ( -2 + 7i ) = -11 4i

c. x + iy =

Maklum Balas Aktiviti 14.1

1. a. 3 + 3i

b. 2 + 2i

c. 8 4i

2. a. 8 + 2i

b. 11 + 9i

3. a1 i

b(1 + 3i)/5

4. a. x = 9, y = -7

b. x = 6/53 , y = 85/53

c. x = -3/2 , y = 7/2

PENILAIAN KENDIRI 14

Anda telah menghampiri kejayaan. Sila cuba semua soalan dalam penilaian kendiri ini dan semak jawapan anda pada maklum balas yang disediakan.

Jika ada masalah yang timbul, sila berbincang dengan pensyarah anda.

Selamat mencuba dan semoga berjaya.

1. Selesaikan persamaan berikut

a. x2 + 6x + 13 = 0

b. 3x2 - 2x + 5 = 0

2. Ringkaskan

a. i3

b. i9

c.

d.

3.Ringkaskan setiap yang berikut dan berikan jawapan dalam bentuk x + iy

a. ( 7 5i ) + ( -4 2i )

b. ( -8 + 11i ) ( 6 5i )

c. ( 8 3i )( 7 + 4i )

d.

4.Cari bahagian nyata dan khayal bagi setiap yang berikut

a.

b.

Maklum Balas Penilaian Kendiri 14

Adakah anda telah mencuba dahulu????? Jika YA, sila semak jawapan anda.

1. a. 3 ( 2i

b. 0.33 ( 1.25i

2. a. i

b. i

c. 2

d. 3i

3. a. 3 7i

b. 14 +16i

c. 44 23i

d.

4. a.

b.

INCLUDEPICTURE "C:\\Program Files\\Microsoft Office\\Clipart\\Popular\\AMCONFUS.WMF" \* MERGEFORMAT

EMBED MS_ClipArt_Gallery.2

INPUT

EMBED Word.Picture.8

EMBED Word.Picture.8

Untuk menjadi sebagai nombor nyata, darabkan Pengangka dengan Konjugat Kompleks

EMBED MS_ClipArt_Gallery.2

Nombor Nyata : 1 , 2 , 3, ..

Nombor Kompleks : 1 + 2i , 2 i

iaitu a + ib

INPUT

i2 = 1

Bagi penambahan dan penolakan nombor kompleks , bahagian nyata dan khayal di olah secara berasingan

Jika z = x + iy maka

konjugat z ialah x - iy

dimana konjugat ditulis

sebagai EMBED Equation.3 = x iy

dan z EMBED Equation.3 = x2 + y2

EMBED MS_ClipArt_Gallery.2

Nombor Kompleks= Bahagaian Nyata+i (Bahagian Khayal)

= a + ib

EMBED MS_ClipArt_Gallery.2

TAHNIAH!!!!..Semoga kejayaan sentiasa mengiringi kehidupan anda.

UNIT 14

Dalam kehidupan seharian, konsep nombor kompleks sering digunakan di dalam bidang-bidang sains dan kejuruteraan umpamanya di dalam analisis vektor ( Kejuruteraan Awam) dan dalam mencari nilai arus atau voltan dalam litar arus ulang alik (Kejuruteraan Elektrik) )Kejuruteraan Elektrik

EMBED MS_ClipArt_Gallery.2

a. EMBED Equation.3 b. EMBED Equation.3

_1052133073.unknown

_1057761582.unknown

_1062341083.unknown

_1062341175.unknown

_1066154376.unknown

_1087133440.unknown

_1087133829.unknown

_1062341239.unknown

_1062341146.unknown

_1057766318.unknown

_1057766479.unknown

_1057767004.unknown

_1057767073.unknown

_1062329075.unknown

_1057766565.unknown

_1057766372.unknown

_1057763437.unknown

_1057763470.unknown

_1057761859.unknown

_1057761939.unknown

_1057761796.unknown

_1052135915.unknown

_1052205239.unknown

_1052205398.unknown

_1057761454.unknown

_1052205501.unknown

_1052205267.unknown

_1052205098.unknown

_1052205122.unknown

_1052205055.unknown

_1052133149.unknown

_1052135871.unknown

_1052133104.unknown

_1052132935.unknown

_1052133008.unknown

_1052133033.unknown

_1052132795.unknown

_1052132821.unknown

_1052132859.unknown

_1051364737.doc

_1052132757.unknown