3

B2001/UNIT 15/15

NOMBOR KOMPLEKS

UNIT 15

RAJAH ARGAND

OBJEKTIF

Objektif Am

: Memahami konsep penggunaan pembezaan

Objektif Khusus: Di akhir unit ini, anda dapat :

Menerangkan perwakilan graf nombor kompleks melalui rajah Argand.

Menggunakan rajah Argand untuk mewakilkan operasi penambahan dan penolakan.

15.0RAJAH ARGAND

Setelah mengetahui bentuk dan cara-cara mengolah operasi tambah, tolak, darab dan bahagi bagi nombor kompleks, sekarang marilah kita melihat bagaimana nombor kompleks boleh diwakilkan secara geometrik.

Perwakilan geometri nombor kompleks

Disebut sebagai garis terarah dalam satah

dua matra dengan asalan disebut kutub dan

paksi x sebagai paksi nyata dan paksi-y

sebagai paksi khayalan. ( Rajah 16.1)

Dengan menyatakan nombor kompleks

sebagai pasangan tertib ( x , y ),

sistem koordinat Cartesan menjadi sesuai

untuk perwakilan geometri dan penggunaan ciri-ciri vektor.

Rajah 15.2 menunjukkan titik P(x, y) mewakili nombor kompleks z = x + iy dan titik P1( x , - y). Selain itu, kedudukan P dan P1 boleh juga dinyatakan sebagai dan masing-masing. Rajah sedemikian dikenali sebagai Rajah Argand.

15.1 MODULUS DAN HUJAH NOMBOR KOMPLEKS

Jika P mewakili ( x + iy ) pada rajah Argand, jarak OP dikenali sebagai Modulus dan ditulis sebagai (z ( = (x + iy (dan adalah sentiasa positif.

Dengan menggunakan Teorem Pythagoras

(z ( = (x + yi (= r =

dan oleh kerana zz* = x2 + y2,

maka, zz* = (z (2Hujah nombor kompleks z = x + iy ialah sudut ( yang dicangkum

oleh garis OP dengan paksi x dan ditulis sebagai huj z = sudut ( di mana

( dinyatakan dalam radian.

Daripada rajah di atas tan ( = y/x

( = tan 1 ( y/x)

Secara amnya, jika z = x + iy , x , y ( R ,

Maka Modulus z = (z ( =

dan Huj z = tan 1 ( y/x)

Daripada rajah 15.3, kita juga boleh menyatakan x dan y dalam sebutan sin dan kos iaitu x = r kos ( dan y = r sin (Ini bermakna

z = ( x + iy ) = r ( kos ( + i sin ( )

Ringkasnya ia ditulis sebagai r ( ( dimana r ialah modulus z dan

( ialah hujah z.

Contoh 15.1

Cari modulus dan hujah bagi setiap nombor kompleks berikut

a. 1 i

b. 3 + 4i

Penyelesaian

a. (z ( = =

Huj z = tan 1 (-1/1)

= tan 1( -1)

= - 45 (

b. (z ( = = = 5

Huj z = tan 1 (4/-3)

= 53( 8( = 126( 52(

Aktiviti 15. 1

UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT

SELANJUTNYA! 1. Plotkan setiap nombor kompleks berikut pada rajah Argand yang berasingan dan dapatkan modulus dan hujah dalam setiap kes

a. 3i

b. 1 + 2i

c. 3 5i

d. 5 + 12i

Maklum Balas Aktiviti 15.1

1. a.

b.

huj = (/2

mod = 3

mod =

huj = (/2

huj = tan 1(2)

c.

d.

mod =

mod = 13

huj = tan-1 ( -5/3)

huj = tan 1 ( 12/-5)

15.2PERWAKILAN OPERASI PENAMBAHAN DAN PENOLAKAN NOMBOR KOMPLEKS PADA RAJAH ARGAND

Sepertimana yang telah dibincang di atas, suatu nombor kompleks z = x + iy juga boleh diwakili oleh vektor OP pada gambarajah Argand dengan P berkoordinat

(x, y).

a. Operasi Penambahan,

Katakan z1 = x1 +i y1 dan z2 = x2 + iy2 ialah 2 nombor kompleks yang masing-masing diwakili oleh OP1 dan OP2 , maka OP3 = OP1 + OP2 boleh diwakili di atas gambar rajah Argand seperti dalam rajah 15.4 dan 15.5 di bawah

dan jika z2 = ( -x2 , -y2 ) , maka OP4 = OP1 + (-OP2 )

OP4 = OP1 - OP2

= z1 z2

Modulus (OP3 ( = ( z1 + z2 (=

Dan Modulus (OP4 (= ( z1 - z2 (=

Contoh 15.2

Jika z1 = 3 + i dan z2 = -2 + 4i, tunjukkan pada satu gambar rajah Argand, garis-

garis yang mewakili z1 , z2 , z1 + z2 dan z1 - z2

Penyelesaian

OA = z1 = 3 + I

dan ( z1 + z2 (=

OB = z2 = -2 + 4I

=

OC = z 1 + z2 = 1 + 5i Huj ( z1 + z2 ) = tan 1 ( 5/1 )

OD = z1 - z2 = 5 - 3I

( z1 - z2 (= =

Huj ( z1 - z2 ) = tan 1 (-3/5 )

Aktiviti 15.2

UJIKAN KEFAHAMAN ANDA SEBELUM MENERUSKAN INPUT

SELANJUTNYA!

Jika z1 = 2 + 3i, z2 = -3 + 5i , z3 = -4 3i dan z4 = 5 4i, wakilkan setiap yang berikut di atas rajah Argand dan tuliskan koordinat setiap titik.

a. z1 , z2 , z3 , z 4

b. z1 + z2 c. z3 + z 4

d. z1 - z2

e. z4 - z 1f. z3 - z 2

Maklum Balas Aktiviti 15.2

a.( 2,3 ) , ( -3 , 5 ) , ( -4 , -3 ) , ( 5 , - 4 )

b. ( -1 , 8 )

c. ( -1 , - 7 )

d. ( 5 , - 2 )

e. ( 3 , - 7 )

f. ( -1 , -8 )

PENILAIAN KENDIRI 15

Anda telah menghampiri kejayaan. Sila cuba semua soalan dalam penilaian kendiri ini dan semak jawapan anda pada maklum balas yang disediakan.

Jika ada masalah yang timbul, sila berbincang dengan pensyarah anda.

Selamat mencuba dan semoga berjaya!!!

1. Jika z1 = 2 + 3i, z2 = -3 + 5i , z3 = -4 3i dan z4 = 5 4i, wakilkan setiap yang berikut dengan garislurus pada rajah Argand, dengan menunjukkan arah bagi setiap garis dengan anak panah.

a. z2 z4

b. z1 + z32. Jika z1 = 3 2i dan z2 = 2 + 4i, tunjukkan pada rajah Argand titik-titik yang mewakili setiap yang berikut:

a. ( z1 + z2 )

b.3z1 + 2z2

Maklum Balas Penilaian Kendiri 15

1. a. 8 + 9i

b. -2

2. a.

b.

x

x

P( x, y )

O

P( x, y )

y

y

O

x

r

(

(-5 , 12 )

(3, -5 )

(1,2)

_

(0,3)

x

y

x

y

P1 (x 1 , y1)

Z1

P2 ( x2 , y2 )

Z2

Z

Rajah 15. 5

O

Z1 + Z 2

P3 ( x1 + x2 , y1 + y2 )

Z2

P2 ( x2 , y2 )

Z1

P1 (x 1 , y1)

y

x

P4 ( x1 x2 , y1 y2 )

O

-Z2

P2 ( -x2 , -y2 )

EMBED Word.Picture.8

EMBED Word.Picture.8

INPUT

INPUT

EMBED MS_ClipArt_Gallery.2

EMBED MS_ClipArt_Gallery.2

INCLUDEPICTURE "C:\\Program Files\\Microsoft Office\\Clipart\\Popular\\AMCONFUS.WMF" \* MERGEFORMAT

x

C ( 1 , 5 )

B( ( 2 , -4 )

O

A ( 3 , 1 )

B ( -2 , 4 )

y

D ( 5 , - 3 )

INGAT !!!!!

Untuk lakar Gambar rajah Argand

Paksi x : bahagian nyata

Paksi y : bahagian khayal

Modulus : EMBED Equation.3

Hujah : tan-1 (y/x)

P 1 ( x , -y)

Rajah 15.2

Untuk penyelesaian, sila rujuk kepada contoh-contoh di atas dengan teliti.

( x +iy)(x-iy)= x2 + y2

z* ialah konjugat z

( diukur mengikut arah lawan jam

x

y

EMBED Equation.3

Nilai ( diukur dari -( ( ( ( ( . Oleh itu jika suatu titik yang terletak disukuan ketiga atau empat , (akan diukur mengikut arah jam mewakili .

dimana sudutnya adalah negatif

EMBED MS_ClipArt_Gallery.2

y

y

x

(1, -1)

x

(-3 , 4)

y

x

2,3

-4 , -3

Z 1

Z3

Z1 + Z3

y

x

Z4

Z2

z2 z4

y

x

2.5 , 1

y

x

4 , 8

13 , 2

3z1 + 2z2

2z2

3z1

9 , -6

O !!!

Gambar rajah Argand ni lebih kurang sama seperti sistem koordinat biasalah ye !!!! ..

EMBED MS_ClipArt_Gallery.2

x

x

x

y

y

y

Rajah 15. 4

Rajah 15.3

EMBED MS_ClipArt_Gallery.2

TAHNIAH!!!!..Semoga kejayaan sentiasa mengiringi kehidupan anda.

UNIT 16NIT 1

Paksi nyata

Paksi khayal

Rajah 15.1

_1052208874.unknown

_1057777209.unknown

_1066155474.unknown

_1091296626.unknown

_1062421556.unknown

_1062423553.unknown

_1052291994.unknown

_1052292163.unknown

_1052292191.unknown

_1052292039.unknown

_1052289284.unknown

_1052289424.unknown

_1052209056.unknown

_1052207593.unknown

_1052207677.unknown

_1052207724.unknown

_1052207651.unknown

_1052206604.unknown

_1051364737.doc